o processo de poisson - sescma.com.br · 7 - particionamento aleatÓrio 1 - introduÇÃo 2 -...

O Processo de Poisson

Série: Processos Estocásticos

Disciplina: Métodos Matemáticos 1C

Dennis S. Poisson, Sceaux, France

PROCESSO DE POISSONPROCESSO DE POISSON

1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON

3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS

5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO





Processo de Contagem

Muitos fenômenos físicos são probabilisticamente descritospelo mesmo processo de formação de uma fila. Os clienteschegam aleatoriamente e independentemente um do outro auma taxa normalmente constante de λ clientes/segundo.

1

2

3

.

.

.

k

4

t

N

N(0)=0

P1 =λ∆t

P+ de 1 em ∆t = 0

∆t -> 0

Processo Aleatório de Contagem {Nt, 0≤≤ t<<+∞∞}

a. a variável aleatória de contagem Nt assume unicamentevalores inteiros não negativos e

N0 ≡ 0

b. o processo aleatório de contagem {Nt, 0≤ t<+∞} temestacionaridade e incrementos independentes.

c.P N N t tt t t[ ] ( )+ − = ≡ +∆ ∆ ∆1 0λ

d. P N N tt t t[ ] ( )+ − > ≡∆ ∆1 0

onde λ é uma constante positiva e onde 0(∆t) é uma funçãode ∆t a qual vai a zero mais rapidamente que ∆t, i.é., onde0(∆t) é uma função tal que

lim( )

∆

∆∆t

t

t→=

0

00

Um processo aleatório o qual satisfaz as hipóteses (a) a(d) é chamado um Processo de Contagem de Poisson e,como vamos mostrar, o número de eventos que ocorreem um dado intervalo de tempo tem uma Distribuição deProbabilidade de Poisson.

(1)

Das propriedades c e d tiramos que

P N N P N N

P N N P N N

t t t

t t

P N N t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t

[ ] [ ]

( [ ] [ ])

( ( ) ( ))

( )

[ ] ( )

+ +

+ +

+

− = = − − ≥ =

− − = + − > =

− + + =

− − =

⇒ − = = − +

∆ ∆

∆ ∆

∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

0 1 1

1 1 1

1 0 0

1 20

0 1 0

λ

λ

λ (2)

Vamos agora determinar a distribuição de probabilidade da

variável aleatória de contagem Nt. Consideremos o intervalo

(0,t+∆t] e dividamos ele em dois conforme figura abaixo:

0 t t+∆t

∆t

Introduzimos a notaçãop t P N kk t( ) [ ]≡ =

e

p t t t P N k N jj k t t t, ( , ) [ | ]+ ≡ = =+∆ ∆

Consideremos a probabilidade de que nenhum evento ocorra no intervalo (0,t+∆t]. Esta situação ocorre quando nenhum eventoocorre no intervalo (0,t] e nem no (t,t+∆t]. Intervalos não sobrepostos => incrementos v.a’s independentes:

p t t p t p t0 0 0 0( ) ( ) ( ),+ =∆ ∆

Segue-se (2) e (3) que

p t t t0 0 1 0, ( ) ( )∆ ∆ ∆= − +λ

Usando este resultado em (4), subtraindo p0(t) de ambos oslados e dividindo por ∆t, teremos

p t t p t

tp t p t

t

t0 0

0 0

0( ) ( )( ) ( )

( )+ −= − +

∆∆

∆∆

λ

(4)

Passando o limite ∆ t → 0, tem-se

d p t

d tp t0

0

( )( )= − λ

como a equação diferencial para probabilidade de que nenhumevento ocorra em um intervalo de duração t. Sua solução é,

p t ce t0 ( ) = −λ

notando que

p c0 0 1 1( ) = ⇒ =

segue-se

P N p t ett[ ] ( )= = = −0 0

λ

Tendo obtido p0(t) vamos determinar pk(t) para k ≥ 1.

Começando de N0=0, Nt+∆ t pode tornar-se igual a um inteiro k de

diversas formas: pode ser que não aconteça nenhum evento no

intervalo (0,t] e k eventos no (t,t+∆t]; pode acontecer um evento no

intervalo (0,t] e k-1 no (t,t+∆t]; etc. Dessa forma, podemos escrever

p t t p t p tk j j kj

k

( ) ( ) ( ),+ ==

∑∆ ∆0

pois são eventos mutuamente exclusivos.

(5)

Determinação de pk(t)

Passo A. Mostrar que p t tj k, ( ) ( )∆ ∆= 0

p t p t t t P N k N j P N N k j

P N k j

j k j k t t t t t t

t

, ,( ) ( , ) [ | ] [ ]

[ ]

∆ ∆ ∆ ∆

∆

≡ + = = = = − = − =

= −

+ +

se 0≤ j≤ k-2, então

k j k j− ≥ ⇒ − >2 1

Logo,

p t P N tj k t, ( ) [ ] ( )∆ ∆∆= > =1 0

0≤ j≤ k-2,

Passo B. Mostrar que

dp t

dtp t p tk

k k

( )( ) ( )+ = −λ λ 1

Como vimos em (5)

p t t p t p tk j j kj

k

( ) ( ) ( ),+ ==

∑∆ ∆0

assim

∑−

=−− ∆+∆+∆=∆+

2

0,,11, )()()()()()()(

k

jkkkkkkkjjk tptptptptptpttp

Como vimos no Passo A.

p t tj k, ( ) ( )∆ ∆= 0 0≤ j≤ k-2,

assim

∑−

=−− ∆+∆+∆=∆+

2

0,,11 )()()()()()(0)(

k

jkkkkkkjk tptptptptptttp

Lembrando que

p t P N k k t tk k t, ( ) [ ] ( )∆ ∆ ∆∆= = − = = − +0 1 0λ

e que

p t P N k k t tk k t− = = − + = = +1 1 1 0, ( ) [ ] ( )∆ ∆ ∆∆ λ

teremos que

)(0)()()(

)(0)()()()(0)(2

011

ttpttptp

ttpttptptttp

kkk

k

jkkjk

∆+∆−

+∆+∆+∆=∆+ ∑−

=−−

λ

λ

Subtraindo pk(t) em ambos os lados, dividindo por ∆ t e tomando o limite,

lim( ) ( )

lim

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )∆ ∆

∆∆

∆∆∆

∆∆ ∆

∆∆

t

k k

t

kj

j

k

k

kk

k k

p t t p t

t

p t

t

t

tp t p t

p tt

t

p t

tp t p t

t

t

→ →

=

−

−

−

+ −=

−+ + +

+ − +

∑0 0

0

2

1

1

0

0 0

λ

λ

⇒ = − + −

dp t

dtp t p tk

k k

( )( ) ( )λ λ1

dp

dtp p2

2 1+ =λ λ

mas, como visto,

assim

dp

dtp te

dp

dte e p tt t t2

22 2

22= − + ⇒ + =−λ λ λ λλ λ λ

[ ] [ ]d

dtp e t d p e tdtt t

22

22λ λλ λ= ⇒ =

K=2

p t te t1( ) = −λ λ

p tt

e t2

2

2( )

( )= −λ λ

dp

dtp p3

3 2+ =λ λ

mas, como vimos

assim

dp

dtp

te

dp

dte e p

tt t t33

23

3

3 2

2 2= − + ⇒ + =−λ λ

λλ

λλ λ λ( )

[ ] [ ]d

dtp e

td p e

tdtt t

3

3 2

3

3 2

2 2λ λλ λ

= ⇒ =

K=3

p tt

e t2

2

2( )

( )= −λ λ

p tt

e t3

3

3( )

( )

!= −λ λ

(idêntico)

Logo, por indução finita,

P N kt

ket

kt[ ]

( )

!= = −λ λ

Portanto, a variável aleatória contínua Nt tem uma distribuição deprobabilidade de Poisson.

Pode-se mostrar que

E[Nt]=var[Nt]=λ t

Determinar a relação entre a função distribuição de probabilidade do tempode chegada do k-ésimo evento, Tk, e a variável aleatória de contagem Nt :

Por definição

F t P T tT kk( ) [ ]= ≤

O evento [Tk ≤ t] é equivalente a [Nt > k-1], e dessa forma têm amesma probabilidade. Assim:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

T t N k

P T t P N k P N k

k t

k t t

≤ = > −

⇒ ≤ = > − = − ≤ −

1

1 1 1Escrevendo o resultado acima em termos das correspondentes funçõesdistribuição de probabilidade, teremos que

F F kT Nk t= − −1 1( )

Resultado válido para qualquer processo de contagem desde queN0=0.

(6)

Vamos aplicar o resultado anterior ao caso do processo de contagemde Poisson. Como visto

P N je t

jt

t j

[ ]( )

!= =

− λ λ

quando {Nt,0≤ t<+∞ } é um processo de contagem de Poisson. Dessa forma, para k≥ 1,

F k P N je t

jN t

t j

j

k

j

k

t( ) [ ]

( )

!− = = =

−

=

−

=

−

∑∑10

1

0

1 λ λ

Usando o resultado (6), segue-se então que

F t et

jTt

j

j

k

k( )

( )

!= − −

=

−

∑10

1λ λ para t≥ 0

para t<00

4- Tempos entre chegadas

Tendo considerado os tempos de chegada Tk de um um processode contagem aleatório {Ni, 0≤ t<+∝ }, vamos agora estudar algumasdas propriedades estatísticas dos intervalos entre sucessivos temposde chegada.

Chamaremos as durações destes intervalos Zk de intervalos entrechegadas, onde

Z T

Z T Tk k k

1 1

1

≡≡ − − ,para k=2,3,4,...

t0 t1 t2 tk-1 tk

z1 z2 zk

A seqüência de intervalos entre chegadas forma dessa forma umprocesso aleatório de parâmetro discreto com variável aleatóriacontínua {Zk, k=1,2,3,...}.

Vamos agora determinar a função distribuição de probabilidade doK-ésimo intervalo entre chegadas, Zk, em termos da distribuição deprobabilidade da variável aleatória de contagem Nt. Para isto vamos primeiro determinar a probabilidade

)z(F1]zZ[P1]zZ[PkZkk −=≤−=>

Segue-se, da definição de intervalo entre chegadas, que o evento[Zk>z] e [Tk - Tk-1>z] são equivalentes

[ ] [ ] [ ]Z z T T z T T zk k k k k> = − > = > +− −1 1

Suponha que o valor observado de Tk-1 é tk-1. O evento [TK>Tk-1+z|Tk-1=tk-1] ocorre iff o processo de contagem não incrementar durante o intervalo (tk-1,tk-1 + z]:

[ | ] [ ]T T z T t N Nk k k k t z tk k> + = = − =− − − +− −1 1 1 1 1

0

Desde que os eventos são equivalentes, eles têm probabilidades iguais.Obtemos então o resultado

P Z z T t P N Nk k k t z tk k[ | ] [ ]> = = − =− − +− −1 1 1 1

0

Dessa forma, segue-se que

F z T t P N NZ k k t z tk k k( | ] [ ]− − += = − =

− −1 1 1 10 (7)

Se o processo de contagem é estacionário, então segue-se que a probabilidade no lado direito da equação anterior é uma função unicamente de z; em particular,

P N N P Nt z t zk k[ ] [ ]

− −+ − = = =1 1

0 0

pois, por hipótese, N0 = 0.

A função distribuição condicional no lado esquerdo de (7) é dessaforma independente do valor particular de k, e temos finalmente que

F z P NZ zk( ) [ ]= − =1 0

para todo k=1,2,3,...

Como este resultado é independente do valor do índice k, segue-se que se o processo de contagem é estacionário, então os vários intervalosentre chegadas terão todos a mesma função distribuição de probabilidade.

PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]



5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS6- PROCESSO DE POISSON FILTRADO7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO



5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS6- PROCESSO DE POISSON FILTRADO7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS1º Passo:

Suponha que exatamente k eventos de um processo dePoisson ocorrem em um intervalo de duração t. Em outraspalavras Nt = k, onde Nt é uma variável aleatória dePoisson. Se particionarmos (0,t] em M subintervalosadjacentes para os instantes de tempo t’0, t’1, t’2,..., t’M,considerando:

ttet Mo == '

Mmparatt m ,...,2,1'' 1 =−= −τE definindo:

Temos a situação de partição representada a seguir:

Podemos escrever:

Não há relação a priori entre os tempos em que os eventosocorrem (tk) e os instantes da partição t’m.

∑=

=M

mmt

1

τ

mt ' tt M ='

mτ )( mτδ

L

2º Passo:

Número de eventos que ocorrem em um subintervalo:

Mmondett mmm ,...,2,1]','()( 1 == −τδ

Segue que:

Exatamente k eventos ocorreram no intervalo (0,t].

∑=

=M

mm kk

1

A probabilidade condicional conjunta de km eventosocorrerem durante o intervalo δ(τm), m = 1,2,..., M,considerando a hipótese de que k eventos ocorrem duranteo intervalo inteiro é:

===== ]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMMτττ

][

],,...,,[ 21 21

kNP

kNkNkNkNP

t

tMM

=

===== τττ

)1(][

],...,,[ 21 21

kNP

kNkNkNP

t

MM

=

==== τττ

)2(][],...,,[1

21 21 ∏=

=====M

mmM kNPkNkNkNP

mM ττττ

O número de eventos → Distribuição de Poissonpodemos reescrever

!

)(][

m

km

m k

ekNP

mm

m

λτλτ

τ

−

==!

)(][

k

tekNPe

kt

t

λλ−

==

Levando os resultados acima em (1):

Obtemos a probabilidade condicional conjunta:

===== ]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMMτττ

!)(

!)(

1

k

te

k

e

kt

M

m m

km

mm

λλ

λτ

−=

−

∏

!

!)(

1...)...( 2121

k

t

k

e

ek

M

m m

km

k

kkk

t

m

MM ∏=

+++

−

+++−

=

τ

λλ

λ

τττλ

∏=

=M

m m

km

k kt

k m

1 !

)(! τ

3º Passo:

Particionamento suficientemente bom → apenas um eventoocorra em cada subintervalo. Nesse caso, cada um dos ksubintervalos terá apenas um evento ocorrendo em suaduração, ou seja:

1!)( == mmk

m kem ττ

Não ocorrerá nenhum evento em cada um dos M-ksubintervalos restantes:

1!0!1)( 0 ==== mmk

m kem ττ

===== ]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMMτττ ∏

=

=M

m m

km

k kt

k m

1 !

)(! τ

Reindexaremos os k subintervalos, de modo que osubintervalo δ(τj) contenha o j-ésimo evento a ocorrer.

O tempo de ocorrência do j-ésimo evento é o tempo dechegada tj, ficamos apenas com a probabilidade condicionalconjunta de ocorrência dos eventos [tj ∈ δ(τj)], j = 1, 2, ..., k:

]|)(),...,(),([ 2211 kNtttP tkk =∈∈∈ τδτδτδ )3(!

1∏

=

=k

jjkt

kτ

4º Passo:

k eventos ocorrem durante [0,t], o mesmo resultado pode

ser obtido assumindo que os tempos de chegada tj são as

estatísticas de ordem dos tempos de evento (ou tempos de

chegada não-ordenados).

g Variáveis aleatórias mutuamente independentes

g Uniformemente distribuída em [0,t]

Podemos indexar os objetos que causam eventos

particulares pelos inteiros 1, 2, ..., k e denotar como ui o

tempo de evento que o objeto i leva para que um evento de

interesse ocorra.

5º Passo:

Seja Uj a v.a. da distribuição dos valores dos ui empíricos,dizemos que as v.a’s Ti são as estatísticas de ordem dasv.a’s Uj . Em seguida assumimos:

g Variáveis aleatórias mutuamente independentesg Uniformemente distribuídas em [0,t]

Estamos assumindo que dado Nt = k, os Uj sãomutuamente independentes e:

kicontráriocaso

tutkNuf i

tiU i,...,2,1,

,0

0,1

)|( =∀

≤<==

Como os Uj são v.a’s independentes:

kicontráriocaso

tutkNuuuf ik

tkUUU k,...,2,1,

,0

0,1

)|,...,,( 21,...,, 21=

≤<==

Existem k! diferentes conjuntos de tempos de eventos

[uj, i = 1, 2,..., k] que poderiam gerar um conjunto particular

de tempos de chegada. Daí:

)4(,...,2,1,,0

0,!

)|,...,,( 21,...,, 21kj

contráriocaso

ttt

kkNtttf jk

tkTTT k=

≤<==

Retornando aos k subintervalos δ(τj) da eq.(3), aprobabilidade de um T1 cair em um subintervalo δ(τ1), deduração τ1 , que T2 caia num subintervalo δ(τ2), de duraçãoτ2 , e assim sucessivamente é dada pela f.d.p condicionalconjunta escrita em (4), ou seja:

==∈∈∈ ]|)(),...,(),([ 2211 kNTTTP tkk τδτδτδ

∏∫∫∫=

=k

jjkkk t

kdtdtdt

t

kK 1

21)()()(

!!12

ττδτδτδ

LL

Esse resultado é idêntico ao obtido em (3), completandonossa prova.

Q.E.D

TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOSTEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS




5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO




5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO


6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADODefinição

Suponha que excitamos aleatoriamente um operador linearcom um processo de Poisson. Isto é, o processo aleatórioque descreve o fenômeno de interesse, [Xt , 0 ≤ t <+∞] podeser escrito:

ondeUthXtN

jjt ,)(

1∑

=

−=

g uj gera h(t- uj) em um tempo tg Nt descreve o nº de eventos que ocorreram em(0,t]g Uj são os TCNO dos eventos que ocorreram em(0,t]

Temos o chamado Processo de Poisson Filtrado.

Valor Esperado de Xt :

)1(]|[][][0

∑∞

=

===k

tttt kNXEkNPXE

PROCESSO DE POISSON FILTRADOPROCESSO DE POISSON FILTRADO

A média condicional E[Xt | Nt = k] é obtida tomando a médiada soma:

com relação aos tempos de chegada não-ordenadosU1, U2, ..., Uk.

∑=

−k

jjUth

1

)(

−== ∑

=

k

jjtt UthEkNXE

1

)(]|[

∑=

−=k

jjUthE

1

)]([

Resultados anteriores nos dão:

kjcontráriocaso

tutkNuf tU j

,...,2,1,,0

0,1

)|( =∀

≤<==

∑ ∑ ∫= =

−=−==k

j

k

j

t

jjjtt duutht

UthEkNXE1 1 0

)(1

)]([]|[

)2()(]|[0∫==t

tt duuht

kkNXE

Ficando:

Fazendo u = t-uj :

Substituindo (2) em (1), chegamos à esperança de Xt :

∑∫∞

=

==00

][)(1

][k

t

t

t kkNPduuht

XE ∫=t

duuh0

)(λ

Q.E.D

Distribuição de Xt :

−== ∑

=

t

t

t

N

jj

ivXX UthivEeEv

1

)(exp][)(φ

Analogamente:

Onde:

]|[][)(0

kNeEkNPv tivX

ktX

t

t=== ∑

∞

=

φ

−== ∑

=

k

jjt

ivX UthivEkNeE t

1

)(exp]|[

PROCESSO DE POISSON FILTRADO PROCESSO DE POISSON FILTRADO

Substituindo o resultado acima em:

== ∏

=

−k

j

Utivht

ivX jt eEkNeE1

)(]|[

[ ]∏=

−=k

j

Utivh jeE1

)(

ktuivh

k

j

t

j

utivh duet

duet

j

== ∫∏ ∫

=

−

0

)(

1 0

)( 11

]|[][)(0

kNeEkNPv tivX

ktX

t

t=== ∑

∞

=

φ

Relembrando a expansão da função exponencial em sériesde potências:

ktuivh

k

t

ktuivh

k

kt

X duek

eduetk

tev

t

=

= ∫∑∫∑

∞

=

−∞

=

−

0

)(

00

)(

0 !

11

!

)()( λ

λφ λ

λ

= ∫−

tuivht

X dueevt

0

)(exp)( λφ λ

[ ]

−= ∫t

uivh due0

)( 1exp λ

Q.E.D

PROCESSO DE POISSON FILTRADOPROCESSO DE POISSON FILTRADO

7- PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO7- PARTICIONAMENTO ALEATÓRIODado um Processo de Poisson Filtrado, [Xt , 0 ≤ t <+∞],formamos um novo processo [Zt , 0 ≤ t <+∞] selecionandoaleatoriamente apenas alguns dos eventos básicos. Isto é,se:

∑∑==

−=−=tt N

jjjt

N

jjt UthYZentãoUthX

11

)(,)(

g Têm P[Yj =1] = p e P[Yj =0] = 1-p = qg Mutuamente independentesg Independentes dos Uj’s

O processo particionado é um Processo de Poisson Filtradocom taxa p vezes a taxa do processo básico.

Valor Esperado do novo processo Zt :

)1(]|[][][0

∑∞

=

===k

tttt kNZEkNPZE

A esperança condicional E[Zt | Nt = k] é obtida tomando amédia de ambas as v.a’s U1, U2, ..., Uk e as v.a’sY1, Y2, ..., Yk.

−== ∑

=

k

jjjtt UthYEkNZE

1

)(]|[

∑=

−=k

jjj UthYE

1

)]([

Substituindo (2) em (1):

]|[ kNZE tt = ∑=

−=k

jjj UthYE

1

)]([

∑=

−=k

jjj UthEYE

1

)]([][

)2()()(1 00

∑ ∫∫=

=−=k

j

tt

jj duuht

kpduuth

t

p

∑ ∫∞

=

==

0 0

)(][][k

t

tt duuht

kpkNPZE

Pelo resultado anterior E[Zt] = p E[Xt], ou seja, o valoresperado depois do particionamento aleatório ésimplesmente p vezes o valor esperado antes doparticionamento.

Q.E.D

∑∫∞

=

==00

][)(k

t

t

kNkPduuht

p

∫=t

duuhp0

)(λ

∑ ∫∞

=

==

0 0

)(][][k

t

tt duuht

kpkNPZE

o processo de poisson - sescma.com.br · 7 - particionamento aleatÓrio 1 - introduÇÃo 2 -...

Documents