CURSO DE ESTATÍSTICA I

Ricardo Bruno N. dos Santos

FACECON-PPGE (UFPA)

Distribuição Binomial, Poisson

eHipergeométrica

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASDISTRIBUIÇÕES DISCRETAS: Imagine uma situação na qual

somente podem ocorrer dois possíveis resultados, “sucesso” e“fracasso”. Veja alguns exemplos:

- uma venda é efetuada ou não em uma ligação de call center;

- um contribuinte pode ser adimplente ou inadimplente;

- uma guia recolhida pode ter seu preenchimento ocorrido deforma correta ou incorreta; e

- um consumidor que entra em uma loja pode comprarou nãocomprar um produto.

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASEssas situações correspondem à Distribuição de Bernoulli. Ou seja,

se associarmos uma variável aleatória x aos possíveis resultados doexperimento de forma que X=1 se o resultado for “sucesso” e X=0 seo resultado for “fracasso”, então, a variável aleatória X, assimdefinida, tem Distribuição de Bernoulli, com p sendo a probabilidadede ocorrer “sucesso” e q = (1-p) a probabilidade de ocorrer“fracasso”.

Ampliando a discussão, é importante frisar que a função deprobabilidade da Distribuição de Bernoulli é dada por:

𝑷 𝑿 = 𝒙 =

𝑝 para 𝑥 = 1𝑞 = 1 − 𝑝 para 𝑥 = 0

0 para 𝑥 diferente de 0 ou 1

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASDessa forma, a média e a variância serão obtidas por:

Média = 𝑝 (onde p corresponde à probabilidade de sucesso).

Variância = 𝑝 × 𝑞 (onde q corresponde à probabilidade defracasso).

Essa obtenção da estimativa de média e desvio padrão éimportante, pois, tais medidas, podem ser usadas para caracterizar asituação e também para a definição da média e do desvio padrão dadistribuição binomial que será vista posteriormente.

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASContextualizando a Distribuição de Bernoulli, tem-se a seguinte

situação: a experiência tem mostrado que até fevereiro o motoristaque é parado em uma blitz tem 60% de chance de estar adimplenteem relação ao Imposto sobre a Propriedade de VeículosAutomotores (IPVA). Temos, portanto, uma probabilidade de sucesso(o motorista não estar devendo o IPVA) de 0,6 e uma probabilidadede estar devendo de 0,4 (vem da diferença 𝒒 = 𝟏 – 𝟎, 𝟔).

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALPara que uma situação possa se enquadrar em uma distribuição

binomial, deve atender as seguintes condições:

- são realizadas n repetições (tentativas) independentes;

- cada tentativa é uma prova de Bernoulli (somente podem ocorrer dois possíveis resultados); e

- a probabilidade 𝑝 de sucesso em cada prova é constante.

Se uma situação atende a todas as condições anteriores,então a variável aleatória 𝑋 = número de sucessos obtidos nas 𝑛tentativas terá uma distribuição binomial com 𝑛 tentativas e 𝑝probabilidades de sucesso.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALO problema da loja de Roupas do Martin

Considere as decisões de compra dos próximos três clientes queentram na loja de roupas do Martin. Com base em experiênciaspassadas, o gerente da loja estima que a probabilidade de quequalquer um dos clientes comprará é de 0,30. Qual é a probabilidadede que dois primeiros dos próximos três clientes realizarão acompra?

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALUsando um diagrama de Árvore para identificar tal situação

temos:

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALVerificando as quatro exigências para um experimento binomial,

nota-se que:

1 – São realizadas 3 repetições (tentativas) independentes;

2 – Cada uma das tentativas é uma prova de Bernoulli compra(sucesso) ou o cliente não faz a compra (fracasso);

3 – A probabilidade p de sucesso em cada prova é constante, pois𝑝 = 0,30 e 1 − 𝑝 = 0,70 é a mesma para todos os clientes.

O número de resultados experimentais resultado em exatamente xsucessos e n ensaios pode ser calculado a partir da combinação,onde (para 3 sucesso tem-se):

𝐶𝑥𝑛 =

𝑛𝑥

=𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !=

3!

3! 3 − 3 !=

3 2 1

3 2 1 1=6

6= 1

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALA probabilidade de compra pelos primeiros dois clientes e de não-

compra pelo terceiro é dada por:𝑝𝑝 1 − 𝑝

𝑝𝑝 1 − 𝑝 = 0,30 0,30 0,70 = 0,063

Duas outras sequências de resultados seguem-se em dois sucessose em um fracasso. As probabilidades para as três sequências,envolvendo dois sucessos, são mostradas abaixo:

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALSimbolicamente, temos: 𝑋 ~ 𝐵 (𝑛, 𝑝) com a interpretação:

A variável aleatória 𝑋 tem distribuição binomial (𝐵) com 𝑛 ensaiose uma probabilidade p de sucesso (em cada ensaio).

A função binomial de probabilidade é expressa como:

𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪𝒙𝒏𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙

𝑷(𝑿 = 𝒙) – é a probabilidade de 𝑥 sucessos em 𝑛 ensaios;

𝒏 – é o número de ensaios;

𝑝 é probabilidade de “sucesso” em cada ensaio;

𝑞 = 1 − 𝑝 é a probabilidade de “fracasso” em cada ensaio;

𝐶𝑥𝑛 =

𝑛𝑥

=𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 !- combinação de 𝑛 valores tomados de 𝑥 a 𝑥.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALFazendo o gráfico da probabilidade contra o número de ensaios

tem-se:

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALFaça a aplicação aumentando no R o número de ensaios, o que

acontece?

A programação no R segue abaixo:

bino < - dbinom(0:3, 3, 0.3) # valores das probabilidades

bino # expõe todas os resultados possíveis da probabilidade

plot (0:3, #intervalo desejado

bino, #valores de probabilidade

type=“h”, # traços do eixo x

xlab=“valores de x”, #Nomenclatura do eixo de x

ylab=“prob. X”, #Texto do eixo de y

main=“Distr. Binomial de x) #Título do gráfico

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALA média e variância para a distribuição binomial podem ser

calculadas da seguinte forma:

Média = μ = 𝑛𝑝

Variância= 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Para o problema teríamos:

𝜇 = 3 0,3 = 0,9

𝜎2 = 3 0,3 0,7 = 0,63

𝜎 = 𝜎2 = 0,79

No próximo slide temos a tabela da binomial, localize aprobabilidade para n=10, x=3, p=0,4

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALTabela da Binomial (Localizar n=10, x=3, p=0,4)

DISTRIBUIÇÃO BINOMIALMais um exemplo: Em uma determinada repartição pública, 10% das guias

preenchidas estão incorretas. Essas guias correspondem a uma liberação na qualcinco guias devem estar preenchidas conjuntamente. Considere que cada guia tema mesma probabilidade de ser preenchida incorretamente (como se houvesserepetição no experimento de retirar guias).

a) Qual a probabilidade de haver exatamente três guias incorretas nas cinco guiaspara liberação?

𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶53 0,1 3 0,9 2 = 0,0081

b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais guias incorretas nas cinco guiaspara liberação?

𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5

= 1 − 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1

= 1 − 𝐶05 0,1 0 0,9 5 + 𝐶1

5 0,1 1 0,9 4

= 1 − 0,5905 + 0,3281 = 0,0815

c) Qual a probabilidade de um conjunto de cinco guias não apresentar nenhumaguia incorreta?

𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶05 0,1 0 0,9 5 = 0,5905

DISTRIBUIÇÃO POISSONVocê pode empregar a Distribuição de Poisson em situações nas

quais não se está interessado no número de sucessos obtidos em ntentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, entretanto,esse número de sucessos deve estar dentro de um intervalocontínuo, ou seja, o número de sucessos ocorridos durante umintervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço etc.

Imagine que você queira estudar o número de suicídios ocorridosem uma cidade durante um ano ou o número de acidentesautomobilísticos ocorridos em uma rodovia em um mês ou onúmero de defeitos encontrados em um rolo de arame ovalado de500m. Essas situações são exemplos daquelas que se enquadram naDISTRIBUIÇÃO DE POISSON.

DISTRIBUIÇÃO POISSONNote que nos exemplos anteriores não há como você determinar a

probabilidade de ocorrência de um sucesso, mas sim a frequênciamédia de sua ocorrência, como dois suicídios por ano, quedenominaremos .

Em uma situação com essas características, a variável aleatória𝑋 = número de sucessos em um intervalo contínuo, terá umaDistribuição Poisson, com (frequência média de sucesso).

Simbolicamente, podemos utilizar a notação 𝑿 ~ 𝑷().

Assim:

A variável aleatória 𝑋 tem uma Distribuição de Poisson (𝑃) comuma frequência média de sucesso .

DISTRIBUIÇÃO POISSONA função de probabilidade da Distribuição de Poisson será dada

por meio da seguinte expressão:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜇𝜇𝑥

𝑥!Lembrando que:

𝑃 𝑋 = 𝑥 - Probabilidade de 𝑥 ocorrências em um intervalo

e =2,7182 (base dos logaritmos neperianos); e

corresponde a frequência média de sucesso no intervalo contínuoque se deseja calcular a probabilidade.

DISTRIBUIÇÃO POISSONExemplo: A análise dos dados dos últimos anos de uma empresa

de energia elétrica forneceu o valor médio de um blecaute por ano.Pense na probabilidade de isso ocorrer no próximo ano:

a) Nenhum blecaute.

b) De 2 a 4 blecautes.

c) No máximo 2 blecautes.

Observe que o exemplo afirma que a cada ano acontece em médiaum blecaute, ou seja, o número de sucesso ocorrido em umintervalo contínuo. Verificamos que a variável tem DistribuiçãoPoisson:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜇𝜇𝑥

𝑥!

DISTRIBUIÇÃO POISSONVeja que aqui não é necessário fazer regra de três, pois as

perguntas são no intervalo de um ano. Então: = 1

𝑎) 𝑃 𝑥 = 0 =𝑒−1 1 0

0!=

0,3679 1

1= 0,3679

𝑏) 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃 𝑥 = 4

=𝑒−1 1 2

2!+

𝑒−1 1 3

3!+

𝑒−1 1 4

4!

= 0,1839 + 0,061 + 0,015

= 0,2599

DISTRIBUIÇÃO POISSON𝑐) como já temos os valores de 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2 basta calcular o

valor para 𝑥 = 1

𝑃 𝑥 = 1 =𝑒−1 1 1

1!= 0,3679

𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2

= 0,3679 + 0,3679 + 0,1839

= 0,9197

Vejamos a mesma aplicação no R

Vamos usar a função dpois()

DISTRIBUIÇÃO POISSONUma característica da Distribuição de Poisson é que as estatísticas

da distribuição (média e variância) apresentam o mesmo valor, ouseja, são iguais a . Então, teremos:

𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜇

No próximo Slide temos a apresentação da Tabela de Poisson,onde está destacada a probabilidade para 𝜇 = 10, 𝑥 = 5

DISTRIBUIÇÃO POISSON

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICAA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA é uma distribuição de

probabilidade discreta que descreve a probabilidade de seretirar 𝑥 elementos do tipo 𝐴 numa sequência de 𝑛 extrações deuma população finita de tamanho 𝑁, com 𝑟 elementos do tipo 𝐴 e𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵, sem reposição.

Seja um conjunto com 𝑁 elementos tal que existem 𝑟 elementosdo tipo 𝐴 e 𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵. Um conjunto de 𝑛 elementosé selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjuntode 𝑁 elementos. A variável aleatória 𝑋 denota o número deelementos tipo 𝐴. Então, 𝑋 tem distribuição hipergeométrica e

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 =

𝑟𝑥

𝑁−𝑟𝑛−𝑥𝑁𝑛

=𝐶𝑥𝑟𝐶𝑛−𝑥

𝑁−𝑟

𝐶𝑛𝑁 ,

𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟

𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 - Probabilidade de 𝑥 sucessos em n ensaios;

𝑛 – Número de ensaios;

𝑁 – número de elementos na população;

𝑟 – Número de elementos na população rotulados de sucesso.

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICAUm jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do

conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bola para cadadezena e sem reposição. Num volante (cartão aposta) o jogadorpode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de acertar-se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?

N: total de dezenas, N = 100

n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10

r: total de dezenas premiadas, r = 6

X: total de sucessos, queremos X = 5

𝑃 𝑋 = 5 100,6,10 =𝐶56𝐶10−5

100−6

𝐶10100 =

252 × 90

1.192.052.400= 0,000019

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICACom relação a média e a variância da mesma temos:

𝜇 = 𝑛𝑟𝑁

𝜎2 =𝑁−𝑛

𝑁−1𝑛

𝑟

𝑁1 −

𝑟

𝑁