modelo binomial infinance insper

So Paulo, 2014

MANUAL DE APLICAO DO MODELO BINOMIAL PARA A PRECIFICAO DE OPES

Time: Guilherme Sola [email protected] Raphael Noronha [email protected] Luiz Razuk [email protected] Mateus Schwening [email protected] Nassim Ghosn [email protected] Caio Conde [email protected] Mateus Ribeiro [email protected]

Manual de aplicao Modelo Binomial Pgina 2

Objetivo do Manual

O presente manual tem como objetivo explicar os conceitos bsicos referentes ao Modelo

Binomial de precificao de opes para aes que no pagam dividendos

Basicamente, a estrutura do manual ser dividida da seguinte forma:

1 Objetivo do Modelo- Especifica de forma clara o motivo de utilizar o Modelo Binomial.

2 Breve Explicao das definies de opes De forma breve, define os conceitos e

expresses do mercado de opes, para que o leitor se familiarize com as variveis que sero

utilizadas no modelo.

3 Breve explicao do funcionamento das opes no Brasil- Esclarece sobre as

especificidades do mercado de opo no Brasil, dando enfoque na explicao do cdigo de

uma opo no pas.

4 Hipteses e Premissas- Explica-se quais so as hipteses e premissas do modelo, para que

o leitor possa identificar quais as situaes especificas em que o modelo pode ser utilizado.

5 Explicao do Modelo Apresenta de forma sintetizada a construo do modelo binomial

6 Aplicao Explica para o leitor como aplicar o modelo binomial nas planilhas

apresentadas.

7 Apndice Alguns comentrios finais para quem deseja obter maior profundidade no

assunto.


1 Objetivo do Modelo

O objetivo do Modelo Binomial de Precificao de Opes para aes que no pagam

dividendos precificar opes em funo do valor de sua ao, de forma relativamente

simples, assumindo a possibilidade de apenas dois valores de preo da ao no vencimento da

opo: a ao ou aumenta at dado preo maior ou diminui at determinado preo menor.


2 Breve Explicao e definies de opes

As opes so instrumentos financeiros derivativos. Esta nomenclatura deve-se ao fato de o seu

valor derivar de outro ativo financeiro. Existem dois principais tipos de opes: de compra ou

venda.

Opo de compra: d o direito, ao seu dono, de exercer a compra de um determinado ativo por um

determinado preo e em um determinado dia. Tanto o preo quanto o dia de exerccio esto contidos

no contrato de emisso da opo. Opes de compra tambm so normalmente chamadas de call.

Opo de venda: d o direito, ao seu dono, de exercer uma venda de um ativo determinado por um

determinado preo e em um determinado dia. Tanto o preo quanto o dia de exerccio esto contidos

no contrato de emisso da opo. Opes de venda tambm so normalmente chamadas de put.

O preo de exerccio normalmente denominado de Strike

Exemplificando o funcionamento das opes de compra

vendida uma opo de compra da ao PETR4. A opo confere o direito de compra de uma ao

PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014.

Data de exerccio 21/abr/2014

Preo de exerccio (strike) R$ 10,00

Assim teremos o seguinte, se na data de exerccio a cotao da ao estiver acima de R$ 10,00 isso

significa que o dono da opo pode exercer o seu direito comprando uma ao de PETR4 por R$

10,00 (menos que o valor de mercado) e vender a opo por mais de R$ 10,00 (atual valor de

mercado). Assim, na data de exerccio o valor da opo seria:

=

Agora imaginemos que na data de exerccio o preo de mercado da ao PETR4 esteja abaixo de R$

10,00. Nesse caso no faz sentido exercer a opo e pagar mais pela ao do que o seu valor de

mercado, neste caso o valor da opo seria 0.

= 0


Exemplificando o funcionamento das opes de venda

vendida uma opo de venda da ao PETR4. A opo confere o direito de compra de vender uma

ao PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014.

Assim teremos o seguinte, se na data de exerccio a cotao da ao estiver abaixo de R$ 10,00 isso

significa que o dono da opo pode exercer o seu direito vendendo uma ao de PETR4 por R$ 10,00

(mais que o valor de mercado) e depois recomprar a ao menos de R$ 10,00 (atual valor de mercado).

Assim, neste caso, na data de exerccio o valor da opo seria

=

Agora imaginemos que na data de exerccio o preo de mercado da ao PETR4 esteja acima de R$

10,00. Ento no faz sentido exercer a opo e vender PETR4 por R$ 10,00 (menos que o seu valor de

mercado). Neste caso o valor da opo seria 0.

Opes europeias e americanas

O nosso modelo tratar basicamente de opes europeias. Nesta modalidade o detentor da opo pode

exercer o seu direito apenas na data de exerccio. Por outro lado existe a modalidade chamada opes

americanas, onde o detentor da opo pode exercer o seu direito a qualquer momento, at a data em

que a opo expira.


3 Breve Explicao do funcionamento das opes no Brasil

O cdigo de uma opo

Toda opo designada atravs de um cdigo. O entendimento desse cdigo um meio de saber as

principais caractersticas de uma opo (preo de exerccio, ativo objeto, etc). Opes da BM&F

possuem cdigos com uma estrutura diferente das transacionadas na Bovespa, dessa forma dedicamos

um tpico para cada um destes mercados.

Cdigo de opes da Bovespa

As opes, na Bovespa, possuem cdigos compostos por 7 caracteres. Um exemplo tornar o

entendimento mais fcil

PETRD12

PETR

Os quatro primeiros caracteres indicam o ativo objeto. Neste caso temos uma opo de aes da

Petrobrs. Vale mencionar que o cdigo da opo no indica que a ao em questo preferencial ou

ordinria.

D

O quinto caractere indica duas coisas. Primeiro, se esta uma opo de compra ou venda; segundo, o

ms de vencimento da opo. A tabela abaixo traduz o significado de qualquer caractere nesta posio

(quinto caractere):

Opo de compra

Opo de venda

JANEIRO A M

FEVEREIRO B N

MARO C O

ABRIL D P

MAIO E Q

JUNHO F R

JULHO G S

AGOSTO H T

SETEMBRO I U

OUTUBRO J V

NOVEMBRO K W

DEZEMBRO L X


importante lembrar que na Bovespa o vencimento de toda opo sempre ocorre na terceira

segunda-feira de cada ms. Assim, D significa que esta uma opo de compra que vencer na

terceira segunda-feira de Maio. Alm disso, o cdigo de opes da Bovespa o ano de vencimento.

13

Por fim, os dois ltimos caracteres indicam o preo de exerccio da opo (strike). Neste caso temos

um Strike de R$ 13,00.Deve-se adicionar que nem sempre o preo de strike da opo o mesmo

representado pelo seu cdigo, isto acontece pois o strike de uma opo pode ser ajustado por uma

gama variada de motivos: distribuies de dividendos, fracionamentos, agrupamentos, entre outros.

Cdigo de opes da BM&F

As opes, na BM&F, possuem cdigos compostos por 13 caracteres. Um exemplo tornar o

entendimento mais fcil

DOLZ15C185000

DOL

Os trs primeiros caracteres indicam qual o ativo objeto, neste caso temos o dlar.

Z

O quarto caractere indica o ms de vencimento. A tabela abaixo traduz o significado de todo possvel

quarto algarismo. Neste caso especfico temos Dezembro como ms de vencimento do contrato.

Opo de compra

JANEIRO F

FEVEREIRO G

MARO H

ABRIL J

MAIO K

JUNHO M

JULHO N

AGOSTO Q

SETEMBRO U

OUTUBRO V

NOVEMBRO X

DEZEMBRO Z


15

O quinto e o sexto caracteres indicam o ano de vencimento da opo. Neste caso temos um

vencimento em 2015.

C

O stimo caractere indica se esta uma opo de venda ou compra. C significa uma opo de

compra e P uma opo de venda. Neste caso temos uma opo de compra.

185000

O preo de exerccio da opo est representado no oitavo caractere at o dcimo terceiro (ltimo).

Neste caso temos um preo de exerccio de R$ 1850,00.

Comentrios finais

Assim como no caso da Bovespa o preo de exerccio da opo, que est representado no seu cdigo,

pode no permanecer exatamente o mesmo ao longo da vida da opo. Atravs do portal da Bovespa

sempre possvel buscar o preo de exerccio atual de um contrato de opo.

Link: http://www.bmfbovespa.com.br/opcoes/opcoes.aspx?Idioma=pt-br


So

Sou

Sou

Soud

Sod

Sod

4 Hipteses e Premissas do modelo

A existncia de opes permite que para cada ativo seja possvel um investidor utilizar uma estratgia

livre de risco. Esta estratgia baseia-se num portflio que mescla o ativo em questo e sua opo, em

uma determinada proporo.

Como este portflio tem o mesmo risco de um ativo livre de risco, supe-se que o seu retorno seja o

mesmo de um ativo livre de risco. Caso o retorno do ativo livre de risco fosse maior no teria sentido

algum formar tal portflio, e caso o retorno do portflio fosse maior no existiria sentido em algum

investir no ativo livre de risco.

=

O retorno do portflio depende dos retornos da opo e da ao. O retorno da opo, por sua vez,

depende do retorno da ao (pois o valor da opo depende do valor da ao). Isso significa que dada

uma variao na cotao da ao, o valor da opo se move de forma que mantenha a relao

verdadeira

=

Uma segunda concluso disto que a taxa de juros livre de risco uma taxa adequada para calcular

o valor presente de uma opo.

Forma binomial

No mundo real, normal supor que a qualquer momento um nmero gigante de variaes para o

movimento de uma ao so possveis. A ao pode subir ou descer de diversas formas. Contudo, no

modelo utilizado a cada momento (chamado aqui de passo temporal) so possveis apenas dois

acontecimentos no comportamento da ao, uma subida de u ou descida de d. Sendo que os

valores de subida e descida so sempre os mesmos ao longo de todo perodo de vida da opo. O

modelo pode ser graficamente representado da seguinte forma:


So= preo da ao no perodo inicial

u = subida da ao (sendo que u > 1)

d= descida da ao (sendo que d < 1)

Sou = preo da ao depois de uma subida (sendo que u > 1)

Sod= preo da ao depois de uma descida (sendo que d < 1)

O tempo que passa de cada n para o prximo chamado de espao temporal, sendo que

cada espao tem o mesmo valor. Alm disso, como dito anteriormente, a cada espao

temporal so possveis apenas dois movimentos de subida ou descida.

Valor de subida ou descida da ao

Ao longo de todos os ns os valores adotados de subida e descida so constantes, isto , u e

vadotados pelo modelo so constantes. Alm disso, estes so determinados pelo modelo de forma

determinstica de acordo com as equaes

Subida: =

Descida: =

onde

So= preo da ao

T = espao temporal


5 Explicao do Modelo

Primeiramente, suponha que o preo atual da ao X de R$ 20,00. Suponha tambm que o

preo da ao X pode subir ou cair 10% a cada 3 meses. Com isso, podemos construir o

seguinte cenrio numa rvore:

Sendo que cada ponto um possvel preo da ao (a cada 3 meses), tanto de subida quanto

de descida. O objetivo agora determinar o preo da opo em cada momento.

Para tal, vamos primeiro considerar as seguintes variveis:

So = preo da ao

F = preo da opo referente ao

T = Espao Temporal

Sou = preo de subida da ao (sendo que u > 1)

Sod = preo de descida da ao (sendo que d < 1)

Fu = payoff da opo referente a uma subida da ao

Fd = payoff da opo referente a uma descida da ao

20

24,2

22

19,8

18

16,2


So

F

Sou

Fuu Sou

Fu

SoudFud

Sod

Fd

Sod

Fdd

Com as variveis em mente, podemos construir o seguinte modelo de rvore:

Sendo que na parte de cima dos pontos situa-se o preo da ao no momento especfico

(representado por S) e embaixo o preo da opo referente ao (representado por F).

Para entender como precificar as opes pelo Modelo Binomial, vamos primeiro comear

com um exemplo para depois generalizarmos a aplicao.

Lembrando-se das suposies feitas para construir a primeira rvore:

Suponhamos agora que o preo de exerccio da opo de compra seja de R$ 21,00.

Agora, vamos calcular o preo da opo no ltimo ponto, em que a ao se encontra em R$

24,2. Intuitivamente, basta fazermos o clculo:

24,2 21 = 3,2

20

24,2

22

19,8

18

16,2


180

Ou seja, para o ltimo preo de ao esperado, calculamos o preo da opo subtraindo o

preo da ao pelo preo de exerccio da opo.

importante enfatizar tambm que quando o preo da ao est abaixo do preo de exerccio

da opo (R$21), a opo no ser exercida, portanto o seu valor 0.

Adicionando o preo da opo calculada, a rvore fica da seguinte forma:

Agora, vamos calcular o preo da opo no ponto em que a ao custa 22.

Para tal, precisamos das seguintes variveis:

Em que

r = taxa de juros livre de risco

T = Espao Temporal

P =

Em que

p = probabilidade de subir o preo da ao

(1 p) = probabilidade de cair o preo da ao

20

22

19,8

0

16,2 0

24,2

3,2


22 2,0257

180

Assumindo uma taxa livre de risco de 12%(e como o prazo da opo de 3 meses):

= 0,123

12

Levando em considerao a suposio de que as aes sobem ou descem em 10% a cada 3

meses: u= 1,1 ; d = 0,9

P = 0,12

312 0,9

1,1 0,9 = 0,6523

Definidos tais valores, temos as variveis necessrias para apresentar a frmula de

precificao:

= [ + ]

Substituindo os valores:

= 0,123

12 [0,6523 3,2 + 0,3477 0]

fu = 2,0257

Logo, conclumos que o preo da opo quando a ao est a R$ 22 de R$ 2,0257

Assim, a nossa rvore fica da seguinte forma:

20

19,8

0

16,2 0

24,2

3,2


Agora, o objetivo determinar o preo da opo no atual momento (com a ao custando

R$20). A lgica exatamente a mesma utilizada anteriormente. Ou seja:

= [ + ]

Substituindo:

= 0,123

12 [0,6523 2,0257 + 0,3477 0]

f = 1,2823

Ou seja, o preo da opo de compra de R$ 1,2823.

Agora, para generalizarmos os clculos e construir um modelo, vamos precisar abandonar a

suposio de que o preo das aes variam em 10 a cada 3 meses, e lembrar da seguinte

hiptese:

A oscilao do preo das aes se d pela seguinte expresso:

Subida: =

Descida: =

Resumindo tudo o que vimos do Modelo Binomial:


Variveis:

So= preo da ao

F = preo da opo referente ao

T = Espao Temporal

Sou = preo de subida da ao (sendo que u > 1)

Sod= preo de descida da ao (sendo que d < 1)

Fu = payoff da opo referente a uma subida da ao

Fd = payoff da opo referente a uma descida da ao

Em que

r = taxa de juros livre de risco

T = Prazo da opo

P =

Em que

p = probabilidade de subir o preo da ao

(1 p) = probabilidade de cair o preo da ao


So

f

Sou

Fuu Sou

Fu

SoudFud

Sod

Fd

Sod

Fdd

E a rvore, com as respectivas frmulas de clculo fica da seguinte forma:

= ( )

= [ + 1 ]

= [ + 1 ]

= [ + 1 ]

Lembrando que os movimentos de subida (So at Sou) e descida (So at Sod) dos preos das

aes se d pela relao:

=

=

E por fim, vale lembrar que caso o preo da ao seja menor do que o preo de exerccio, a

opo no ser exercida, e seu preo ser 0.


6 Aplicao na planilha

O uso da planilha automatizada simples e intuitivo. Primeiro, ao abrir o arquivo v at a sheet

clculo da opo e ento insira todos os dados requeridos para o clculo de uma opo:

Nmero de passos temporais: o nmero de caminhos entre ns que voc deseja que o seu modelo

de precificao percorra. No exemplo abaixo temos 2 passos temporais.


Alm disso, interessante lembrar que o tempo entre cada passo temporal pode ser dado dividindo

o tempo at a opo expirar (tempo at os ltimos ns) pelo nmero de passos temporais.

Data de incio e data de vencimento: nestes campos voc deve inserir a data em que a opo foi

comprada e a data de exerccio desta opo, respectivamente. Em caso de maiores dvidas, sobre

como descobrir a data de exerccio de uma opo (a sua data de vencimento), o captulo 3 deste

manual traz uma rpida e simples explicao.

Volatilidade: neste campo deve ser inserido o desvio padro dos retornos do ativo a quem a opo

se refere. Se for uma opo de compra da ao PETR4, deve ser inserido o desvio padro deste ativo

(em percentual).

Taxa livre de risco: deve-se inserir a taxa de juros de um ativo livre de risco. importante ressaltar

que a taxa deve estar expressa ao ano e deve ser inserida na forma percentual.

Preo do ativo objeto: o campo mais fcil. Simplesmente o preo atual do ativo que serve de

referncia para a opo. Deve ser inserido em reais.

Preo de exerccio: o strike da opo. Se for uma opo de compra, indica por quanto o detentor

da opo ter o direito de comprar o ativo objeto na data de exerccio. O preo de exerccio da opo

decidido no momento de emisso da opo, podendo mudar posteriormente. Este dado deve ser

inserido em reais.

Preo da opo: depois de inserir todos os dados necessrios para a precificao da opo, segundo

este modelo, a planilha retornar, neste espao, o preo o qual o modelo avalia a opo. A concluso

seria a seguinte, opes com preo abaixo do calculado aqui estariam subavaliadas, opes com

preo acima do calculado aqui estariam superavaliadas.

Visualizar rvore binomial

Ao cliclar no boto visualizar rvore binomial possvel ver os possveis valores de preo da opo,

dadas mudanas na cotao do ativo objeto.


Neste caso temos um ativo objeto atualmente cotado em R$ 100,00 e a sua opo de compra

precificada, atravs do modelo em R$ 0,16. A cada alterao possvel alterao da ao a opo

estaria precificada em um novo valor, por exemplo: com a ao em R$ 101,47 a opo estaria

precificada em R$ 0,28.


7 Apndice

No apndice constam alguns comentrios adicionais sobre o modelo de precificao utilizado,

especialmente interessante para aqueles que desejarem se aprofundar no assunto. A sua leitura no

necessria para o uso da planilha de precificao.

Valor presente e valor futuro

Pode-se investir qualquer valor no dia de hoje (VP), a uma dada taxa de juros livre de risco. Com o

passar do tempo este valor presente aumentar devido a estar sendo aplicado a uma taxa de juros. A

relao matemtica entre o valor presente (VP) e o valor futuro (VF) pode ser expressa da

seguinte forma:

=

Onde i a taxa de juros, contnua, livre de risco e n o nmero de perodos. Analogamente

teremos

=

Este mtodo de clculo do valor presente ser usado por diversas vezes ao longo do nosso modelo.

Alm disso, a taxa de juros contnua (i) encontrada atravs da frmula:

+ =

Clculo de dias teis

Uma dvida que sempre surge quando se trabalha com taxa de juros o clculo de dias teis. A

planilha faz essa contagem usando o mtodo inclusive e inclusive, isto , o primeiro e o ltimo dia

(dia de compra e do exerccio) so contados como dias em que a taxa de juros render.

Vale lembrar que o usurio da planilha pode ter em mente uma taxa de juros que faz contagem de dias

teis de outra forma. Um exemplo seria a LTN, que faz o clculo de dias teis com a regra inclusive e

exclusive, ou seja, conta o dia de compra mas no conta o dia de exerccio. Nesse caso a planilha

faria o clculo contando 1 dia a mais, para reverter a situao basta o usurio colocar adiantar a data de

vencimento da opo em 1 dia.

modelo binomial infinance insper

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