vestibular insper 2014 2 ana´lise quantitativa e...

Vestibular Insper 2014 2 C Analise Quantitativa e Logica

1. O esquema a seguir representa a hierarquia dos executivos de uma grande empresa. As ligacoesde uma pessoa com outra(s) abaixo dela representam relacoes de subordinacao. Por exemplo, opresidente da empresa, no topo do esquema, tem 4 pessoas subordinadas diretamente a ele. Dessas4 pessoas, uma nao tem subordinados (a esquerda), e as outras tem, respectivamente (da esquerdapara a direita), quatro, um e tres subordinados.

R$3.000,00 R$4.000,00 R$3.000,00 R$4.000,00 R$5.000,00 R$3.000,00 R$3.000,00 R$6.000,00 R$5.000,00 R$6.000,00 R$3.000,00

R$8.000,00 R$9.000,00 R$7.000,00

R$12.000,00

Os valores indicados nos retangulos abaixo de cada pessoa sao os salarios mensais dessas pessoas. Apolıtica de salarios da empresa estabelece que:

• uma pessoa nao pode ganhar mais do que a metade da soma dos salarios de seus subordinados,se tiver dois subordinados ou mais;

• uma pessoa que so tem um subordinado nao pode ganhar mais do que o dobro desse subordinado.

De acordo com essas regras, o salario maximo que o presidente pode ter e

(a) R$25.250,00.

(b) R$26.500,00.

(c) R$27.750,00.

(d) R$29.000,00.

(e) R$30.250,00.

2


2. Observe o mosaico a seguir.

As pecas que foram usadas para construı-lo sao identicas e tem a forma a seguir.

ab

c

A relacao entre as medidas a, b e c e

(a) a = 2b e b = c√2.

(b) a = b√3 e b = c

√2.

(c) a = 3b e b = c.

(d) a = 2b e b = c.

(e) a = b√3 e b = 2c.

3


Utilize as informacoes a seguir para as questoes 3 e 4.

A tabela a seguir apresenta a distribuicao das notas dos alunos de uma disciplina da faculdade deAdministracao nas duas provas realizadas por eles.

Nota Prova 1 (quantidade de alunos) Prova 2 (quantidade de alunos)

4 10 5

5 10 5

6 25 20

7 10 20

8 10 20

9 10 5

3. A nota final de cada aluno deve ser calculada considerando peso de 25% para a prova 1 e de 75%para a prova 2. A media das notas finais de todos os alunos e igual a

(a) 6,4.

(b) 6,5.

(c) 6,6.

(d) 6,7.

(e) 6,8.

4. O percentil da nota de um aluno em uma prova e a porcentagem de pessoas que obtiveram, naquelaprova, uma nota igual ou inferior a nota desse aluno. Se a nota de um aluno na prova 2 foi 7, entaoo percentil dessa nota e, aproximadamente,

(a) 51%.

(b) 55%.

(c) 59%.

(d) 63%.

(e) 67%.

4


5. Um analista de recursos humanos desenvolveu o seguinte modelo matematico para relacionar os anosde formacao (t) com a remuneracao mensal (R) de uma pessoa ao ingressar no mercado de trabalho:

R = k(1, 1)t,

em que k e um fator de carreira, determinado de acordo com a area que a pessoa estudou. A tabelaa seguir apresenta os anos de formacao e os correspondentes fatores de carreira de tres pessoas (A, Be C).

Pessoa Anos de Formacao (t) Fator de Carreira (k)

A 18 500

B 16 600

C 19 500

Se as remuneracoes mensais das pessoas A, B e C sao, respectivamente, RA, RB e RC , entao, deacordo com esse modelo,

(a) RB < RA < RC .

(b) RA < RB < RC .

(c) RA = RB < RC .

(d) RC < RB < RA.

(e) RB < RC = RA.


Sejam A e B matrizes com todos os elementos reais, sendo A quadrada de ordem 3 e B uma matrizcoluna com 3 linhas. Sabe-se que:

• A e uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo de sua diagonal principalsao nulos;

• Todos os elementos que nao estao abaixo da diagonal principal de A sao iguais a 1;

• B = (bi), com bi = 4− i, para todo i ∈ {1, 2, 3}.

Considere, tambem, que I3 denota a matriz identidade de ordem 3.

6. Sabendo que o traco de uma matriz quadrada e a soma dos elementos de sua diagonal principal, otraco da matriz (A+ 3 · I3) e

(a) 3.

(b) 4.

(c) 6.

(d) 12.

(e) 16.

7. Seja X uma matriz coluna de 3 linhas tal que AX = B. Entao, a soma dos elementos de X e igual a

(a) 2.

(b) 3.

(c) 4.

(d) 6.

(e) 10.

5


8. Um economista analisou dados historicos sobre o valor das acoes de uma empresa e, com o intuitode preve-lo ao longo do ano de 2014, elaborou o seguinte modelo:

V (t) = 2 · sen(

π · t180

− π

4

)

+ 3 · sen(

π · t20

− π

4

)

Na funcao acima, V e o valor da acao e t e o tempo decorrido, em dias, a partir do inıcio do ano (ouseja, t = 1 denota o fim do dia 1o de janeiro de 2014). Para simplificar, suponha que todos os mesestenham 30 dias. De acordo com esse modelo, a acao deve atingir seu preco maximo ao termino dodia

(a) 10 de janeiro.

(b) 30 de julho.

(c) 15 de julho.

(d) 30 de marco.

(e) 15 de maio.


Considere uma esfera de raio medindo R e um plano que a tangencia. Pode-se associar a ela umoutro solido, obtido da seguinte maneira:

• constroi-se um cilindro equilatero de raio R com uma das bases contida no plano;

• retira-se desse cilindro dois cones circulares, sendo que a base de cada um deles coincide comuma das bases do cilindro e os vertices coicidem em V , no centro desse cilindro.

O solido que resta apos a retirada dos cones e chamado de anticlepsidra e tem o mesmo volume daesfera. Ambos os solidos estao representados na figura abaixo.

9. Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anticlepsidra associada nao tem a mesma area super-ficial. A razao entre a area da superfıcie esferica e a area da superfıcie da anticlepsidra e

(a) 2(√

2− 1)

.

(b) 2.

(c) 2√2.

(d) 2−√2.

(e)√2 + 1.

6


10. Uma anticlepsidra tem volume igual a π. O raio da esfera associada tem medida

(a)3√12

4.

(b)3√6

2.

(c) 3

√

4

3.

(d)√3

2.

(e)√3

4.

11. O grafico da funcao f : R → R, dada por f(x) = x2 − 5|x|+ 6, e melhor representado por

(a)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4−5x

y

(b)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4−5x

y

(c)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4−5x

y

(d)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4−5x

y

(e)

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4−1−2−3−4−5x

y

7


12. A funcao g, de domınio real, tem parte de seu grafico mostrada na figura a seguir.

1

2

−1

1 2−1−2−3x

y

O grafico da funcao f(x) = x · g(x) e melhor representado por

(a)

1

2

−1

1 2−1−2−3x

y

(b)

1

−1

−2

1 2−1−2−3x

y

(c)

1

2

−1

1 2−1−2−3x

y

(d)

1

−1

−2

1 2−1−2−3x

y

(e)

1

−1

−2

1 2−1−2−3x

y

8


13. Seja z ∈ C um complexo de modulo |z| e argumento θ, θ ∈]− π, π]. Defina w ∈ C da seguinte forma:

w = log3|z|+ i · θ

Se w = 2 + i · π2, o valor de z10 e

(a) 910.

(b) −910.

(c) 910 · i.(d) −910 · i.(e) 1.


E fato conhecido por estudantes do ensino medio que uma circunferencia de raio medindo R temcomprimento igual a 2πR. Porem, nem sempre a humanidade soube calcular tal comprimento, e paraisso lancou mao de aproximacoes. Um dos jeitos de se estimar o comprimento da circunferencia einscrevendo-se nela um polıgono regular; quanto mais lados tiver o polıgono, melhor a aproximacao.A figura a seguir ilustra uma circunferencia de raio medindo R e o octogono regular de lado medindod nela inscrito.

dR

Dessa forma, o comprimento da circunferencia pode ser aproximado por 8d. Outra possibilidade ecircunscrever um polıgono regular, em vez de inscrever, como mostra a figura a seguir.

Db

R

Nesse caso, o comprimento e aproximado por 8D.

9


14. A razao entre o comprimento exato de uma circunferencia e o comprimento aproximado, obtido como perımetro do octogono circunscrito, e

(a) π

8·tg(π

8).

(b) π8· tg

(

π8

)

.

(c) π

tg(π

8).

(d) π · tg(

π8

)

.

(e) π · tg(

π4

)

.

15. O metodo descrito no texto tambem permite obter uma aproximacao para a area do cırculo. Utilizando-se o octogono inscrito, a razao entre a area exata e a area aproximada do cırculo e

(a)√2.

(b) 2√2.

(c)√2

4.

(d) 2π√2.

(e) π√2

4.

16. Carlos deseja sacar num caixa eletronico uma quantia entre R$ 51,00 e R$ 99,00. O caixa dispoe denotas de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, e sempre fornece o menor numero de cedulas que compoe ovalor solicitado. Dentre os valores que Carlos esta disposto a sacar, apenas alguns serao feitos comexatamente 5 cedulas. A soma desses valores e

(a) R$ 75,00.

(b) R$ 160,00.

(c) R$ 250,00.

(d) R$ 300,00.

(e) R$ 350,00.


Em um jogo de azar, sao sorteados 5 numeros, sem reposicao, dentre os algarismos de 1 a 9. Esses 5numeros sao, entao, escondidos, de modo que os participantes nao os vejam. Cada participante escolhede um a cinco numeros distintos dentre os algarismos de 1 a 9 e os anota em um papel, anotandotambem o valor que deseja apostar. Os numeros sorteados sao revelados e, entao, vencem as apostasapenas os jogadores que acertarem todos os numeros anotados. Se mais de um jogador vencer eesses vencedores tiverem apostado a mesma quantia, o premio e dividido de maneira inversamenteproporcional a probabilidade de que cada aposta fosse vencedora.

17. Numa determinada rodada, 2 jogadores que apostaram a mesma quantia venceram, sendo que umdeles escolheu 2 algarismos e, o outro, 3. Se o premio a ser dividido for de R$ 1.100,00, o jogadorque escolheu 2 algarismos recebera

(a) R$ 330,00.

(b) R$ 440,00.

(c) R$ 660,00.

(d) R$ 880,00.

(e) R$ 990,00.

10


18. Numa determinada rodada, todos os jogadores apostaram em apenas 2 numeros, todos eles venceram,e nenhum deles escolheu o mesmo par de numeros que outro jogador. A quantidade maxima possıvelde vencedores nessa rodada foi de

(a) 5.

(b) 8.

(c) 10.

(d) 16.

(e) 28.

19. Em um sistema ortogonal de 3 coordenadas, a superfıcie lateral de um solido e descrita pela uniaodas seguintes regioes:

• x2 + y2 = 4, com 0 ≤ z ≤ 3

• x2 + y2 ≤ 4, com z = 0 ou z = 3

A area lateral e o volume desse solido sao, respectivamente,

(a) 6π e 12π.

(b) 12π e 48π.

(c) 6π e 48π.

(d) 12π e 48π.

(e) 12π e 12π.

20. O valor exato da expressao 1√2−1

, com 5 casas decimais, e 2,41421. Considere os seguintes metodos

para se fazer essa conta sem o auxılio da calculadora:

• Metodo A: usa-se um valor aproximado para√2 e faz-se a divisao;

• Metodo B: racionaliza-se o denominador e usa-se um valor aproximado para√2.

Ao se fazer uma aproximacao, comete-se um erro, que e definido como a diferenca, em modulo, entreo valor aproximado e o valor exato.

Usando a melhor aproximacao para√2 com uma unica casa decimal, a razao entre os erros (em

relacao ao valor exato) obtidos nos metodos A e B, respectivamente, e de cerca de

(a) 10.

(b) 8.

(c) 6.

(d) 4.

(e) 2.

11


21. Considere a seguinte sequencia de figuras formadas a partir de pontos.

1a figura 2a figura 3a figura 4a figura 5a figura

Para escrever a 30a figura dessa sequencia, a quantidade de pontos adicionais que devem ser utilizadosem relacao ao que e necessario para escrever a 29a figura e igual a

(a) 55.

(b) 56.

(c) 57.

(d) 58.

(e) 59.

22. Sejam An e Bn, com n ∈ N∗, valores definidos por:

• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . .+ 2n−1

• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n+ 1)

O valor de A30 +B30 e igual a

(a) 229 + 261.

(b) 229 + 260.

(c) 230 − 960.

(d) 230 + 960.

(e) 230 + 959.

12



Uma estacao de trens e constituıda por dois galpoes cujas fachadas tem a forma de dois semicırculosque se tangenciam, conforme a figura a seguir.

Terminal 1 Terminal 2

Os raios dos semicırculos das fachadas dos terminais 1 e 2 medem, respectivamente, 30m e 20m. Umaempresa esta fazendo um estudo para instalar um sistema de ar condicionado nos galpoes.

23. Para dimensionar o sistema de renovacao do ar, uma das informacoes necessarias e o volume totaldos galpoes, que tem a forma de semicilindros. Se a distancia entre as fachadas e os fundos e 100metros, esse volume e aproximadamente igual a

(a) 50.000m3

(b) 100.000m3

(c) 150.000m3

(d) 200.000m3

(e) 250.000m3

24. Para diminuir o impacto da insolacao, pretende-se instalar um telhado tangenciando os dois ter-minais conforme indicado pela linha tracejada na figura. A medida do telhado, correspondente aocomprimento dessa linha tracejada, e igual a

(a) 60√3m

(b) 60√2m

(c) 30√2m

(d) 20√3m

(e) 20√6m


Os analistas responsaveis pelas estrategias comerciais de uma grande rede de lojas propuseram aseguinte regra para conceder descontos aos clientes:

p(v) =

0, 90v , se v ≤ 1000, 80v , se 100 < v ≤ 2000, 70v , se v > 200

,

em que v e o soma dos valores marcados nos produtos que o cliente comprar e p(v) e o pagamentoque o cliente devera fazer no caixa, com desconto sobre essa soma.

13


25. Dois clientes passaram pelo caixa e pagaram R$90,00, mas os valores totais das compras deles antesde ser aplicado o desconto eram diferentes. A diferenca entre esses valores totais e de

(a) R$12,50.

(b) R$15,00.

(c) R$17,50.

(d) R$20,00.

(e) R$22,50.

26. O departamento de marketing precisa criar uma tabela para comunicar as condicoes dos descontospara os clientes. Das opcoes abaixo, aquela que explica corretamente a regra proposta pelos analistase

(a)

Se o valor da sua compra e... ...seu desconto e de...

menor do que R$100,00 90%

menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00 80%

maior ou igual a R$200,00 70%

(b)


menor ou igual a R$100,00 90%

menor ou igual a R$200,00 e maior do que R$100,00 80%

maior do que R$200,00 70%

(c)


menor do que R$100,00 10%

menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00 20%

maior ou igual a R$200,00 30%

(d)





(e)





27. O gremio de uma faculdade convidou os alunos do primeiro semestre para uma atividade de integracao.Eles contaram os calouros presentes e tentaram agrupa-los de forma que todos os grupos tivessema mesma quantidade de pessoas, mas nao havia maneira de faze-lo, pois nao queriam apenas umapessoa por grupo e nem um unico grande grupo. Pode-se concluir que a quantidade de calouros eranecessariamente um numero

(a) par.

(b) quadrado perfeito.

(c) primo.

(d) menor do que 300.

(e) maior do que 50.

14


28. O grafico a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre o governo brasileiro.

(Fonte: http://g1.globo.com/politica/noticia/2013/08/avaliacao-de-dilma-sobe-de-31-para-38-diz-ibope.html)

A maior variacao positiva, em pontos percentuais, entre dois meses consecutivos ocorreu

(a) na opcao “regular” entre os meses de marco e junho.

(b) na opcao “ruim/pessimo” entre os meses de junho e julho.

(c) na opcao “otimo/bom” entre os meses de junho e julho.

(d) na opcao “regular” entre os meses de julho e agosto.

(e) na opcao “ruim/pessimo” entre os meses de julho e agosto.


O grafico a seguir representa a quantidade diaria de pessoas (q) atendidas em um hospital publicocom os sintomas de um novo tipo de gripe, a gripe X, em funcao do tempo (t), em meses, desde quese iniciou um programa de vacinacao para este tipo de gripe na cidade do hospital.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t (meses)

(numero de atendidos por dia)

15


29. A prefeitura da cidade fara uma campanha publicitaria com frases que pretendem ressaltar os aspectospositivos da vacinacao. Das opcoes abaixo, aquela que informa corretamente o que o grafico mostrae

(a) “Em um ano de vacinacao, a quantidade diaria de atendimentos a pessoas com a gripe X caiu

de 1.000 para 10!”

(b) “A cada tres meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a gripe X

cai pela metade!”

(c) “O numero de atendimentos diarios no hospital a pessoas com a gripe X diminui em 400 a cada

4 meses!”

(d) “A cada mes, chegam ao hospital 100 pessoas a menos por dia, em relacao ao mes anterior,

com os sintomas da gripe X.”

(e) “Entre o 3o e o 6o mes do programa de vacinacao, 250 pessoas foram vacinadas contra a gripe

X diariamente no hospital.”

30. Das funcoes a seguir, aquela que melhor representa a relacao proposta no grafico e

(a) q(t) = 1000 · 2− 1

3t.

(b) q(t) = 500 · 2−3t.

(c) q(t) = 1000 · 2 1

3t.

(d) q(t) = 500 · log2(3t).

(e) q(t) = 1000 · log2(

1

3t

)

.

31. Para ilustrar a afirmacao “Se beber, nao dirija.” um designer criou a seguinte imagem:

8 .Interprete as imagens a seguir, construıdas a partir do mesmo raciocınio utilizado pelo designer :

8.

8 .As afirmacoes que melhor representam essas imagens sao, respectivamente,

(a) “Se dirigir, beba.” e “Se nao dirigir, durma.”

(b) “Se nao dirigir, beba.” e “Se dirigir, nao durma.”

(c) “Se nao dirigir, beba.” e “Se nao dirigir, durma.”

(d) “Se dirigir, beba.” e “Se dirigir, nao durma.”

(e) “Se nao dirigir, beba.” e “Se dirigir, durma.”

16


32. As quantidades de raızes reais dos polinonios p(x) = x4 + 10, q(x) = 10x2 + 1 e r(x) = p(x) − q(x)sao, respectivamente,

(a) 0, 0 e 4.

(b) 4, 0 e 4.

(c) 0, 2 e 2.

(d) 4, 2 e 2.

(e) 4, 2 e 4.

33. Uma pizzaria vende pizzas circulares com 32cm de diametro, divididas em 8 pedacos iguais. O donodo estabelecimento pensou em criar uma pizza de tamanho maior, a ser dividida em 12 pedacosiguais, de modo que a area de cada um deles seja igual a area de um pedaco da pizza menor. Paraisso, o diametro da pizza de 12 pedacos deve ser aproximadamente igual a

(a) 36cm.

(b) 40cm.

(c) 44cm.

(d) 48cm.

(e) 52cm.

34. O numero de solucoes reais da equacao

[

log2(x2 + 1)

]2 − 34 log2(x2 + 1) + 64 = 0

e

(a) 1.

(b) 2.

(c) 3.

(d) 4.

(e) 5.

17


35. As vendas de ingressos para um grande evento esportivo ocorreram durante dois meses. O grafico aseguir representa as vendas diarias, em milhares de unidades, durante este perıodo.

01020304050

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Das opcoes a seguir, aquela que melhor representa o total (acumulado) de ingressos vendidos ate cadadia do perıodo de vendas e

(Obs.: os graficos das alternativas estao em uma escala diferente do grafico acima.)

(a)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55(b)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55(c)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55(d)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55(e)

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

18

vestibular insper 2014 2 ana´lise quantitativa e...

Documents