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PROCESSO DE POISSON

Processo Estocástico

Prof, Ms. Eliana Carvalho

PROCESSO DE POISSON

Este processo estocástico deve o seu nome ao matemático francês Simion-Denis Poisson (1781 - 1840).

Espaço de estados discreto (cadeia)

Variável tempo é contínua

Processo Estocástico 𝑋 𝑡 , 𝑡 ≥ 0

definido em termos das ocorrências de eventos

Dado um processo estocástico 𝑋 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 fixamos o tempo no instante t, teremos que Nt é

um número inteiro que representa o

PROCESSO DE POISSON

Exemplo: Suponha que Nt = 5 e suponha que não chegam dois “eventos” no mesmo instante, uma realização do processo poderia ser

Que pode ser representado por uma trajetória

Cada trajetória do processo é uma função escada.

PROCESSO DE POISSON

O número de eventos no intervalo t, t + s , s ≥ 0 será Nt+𝑠 − N𝑡;

é independente do número de eventos até o instante

t, Nu, u ≤ t o processo tem incrementos independentes.

PROCESSO DE POISSON

Um processo contínuo definido sobre um espaço

amostral Ω, com espaço de estado E = N e tal que para todo

evento elementar 𝜔 ∈ Ω, a trajetória correspondente,

𝑋𝑡 𝑡≥0

𝑡 → 𝑁𝑡 𝜔

1) É não decrescente

2) Cresce somente com saltos (i.e. é constante

entre os saltos)

3) É contínua a direita e tem limite à esquerda;

4) . 𝑵𝐭 𝝎 = 𝟎

PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.

Sejam 𝑇1, 𝑇2 , ⋯ os tempos das chegada

(ou os tempos dos saltos ou dos instantes nos quais ocorrem os eventos).

Estas variáveis definem um processo a tempo discreto ou contínuo.

Uma trajetória típica deste processo é:


O processo de contagem 𝑁𝑡 𝑡≥0 é chamado de processo de Poisson homogêneo se:

1. os saltos têm comprimento um

2. 𝑁𝑡+𝑠 − 𝑁𝑡 é independente de 𝑁𝑢, 𝑢 ≤ 𝑡 , para todo t, s > 0;

3. a distribuição de 𝑁𝑡+𝑠 − 𝑁𝑡 é independente de t.

Existe uma constante 𝜆 ≥ 0 tal que todo t > 0,

𝑷 𝑵𝒕 = 𝟎 = 𝒆−𝝀𝒕

𝒍𝒊𝒎𝒕→∞

𝟏

𝒕𝑷 𝑵𝒕 ≥ 𝟏 = 𝝀

O processo não é explosivo, i.e. (incrementos estacionários) não acontecem dois ou mais eventos no mesmo instante.


Um processo estocástico 𝑁𝑡 𝑡≥0 ou 𝑁𝑡 𝑡 ≥ 0

tem incrementos estacionários se;

O processo de contagem 𝑁𝑡 𝑡 ≥ 0 adaptado e não explosivo, i.e. é considerado um processo de poisson se;

𝑁𝑡 = 0 Incremento independentes;

Incrementos estacionários;

Se para qualquer 𝑡 ≥ 0


A distribuição dos saltos tem distribuição de

Poisson, ou 𝑁𝑡 é dada por 𝑁𝑡~𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆𝑡 ;

Para algum 𝜆 ≥ 0 , 𝑁𝑡~𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆𝑡 e N não tem

explosões;

ou


Taxa do processo é dada por Número de eventos até que chegue o tempo t

Teorema central do limite do Processo de Poisson:

𝜆 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0, 𝑇

𝑇

𝑁 − 𝜆𝑡

𝜆𝑡

𝑑→𝑁 0,1)


Taxa do processo é dada por

Com média e variância iguais a:


Exemplo: Seja 𝑁𝑡 𝑡≥0 o processo de Poisson com

taxa 𝜆 = 8 . Achar 𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 = 22 , 𝑁4,3 = 36)

Solução:

𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 = 22 , 𝑁4,3 = 36)

= 𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 − 𝑁2,5 = 5 , 𝑁4,3 − 𝑁3,7 = 14

= 𝑃 𝑁2,5 = 17 𝑃 𝑁3,7 − 𝑁2,5 = 5 𝑃 𝑁4,3 − 𝑁3,7 = 14)

=8 2,5

17

17!𝑒−8 2,5

8 3,7 − 2,55

5!𝑒−8 3,7−2,5

8 4,3 − 3,714

14!𝑒−8 4,3−3,7

PROCESSO DE POISSON TEMPO DE CHEGADAS.

Vamos considerar os tempos de chegada do

processo de Poisson. Eles são os tempos nos

quais acontecem os eventos do processo. O

𝑛 − é𝑠𝑠𝑖𝑚𝑜 tempo de chegada está definido por

𝑇𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 𝑡:𝑁𝑡 = 𝑛

Observe que 𝑁𝑇𝑛= 𝑛.A distribuição de 𝑇𝑛 pode

ser obtida a partir da distribuição do processo 𝑁𝑡 a partir da igualdade dos seguintes eventos

𝑃 𝑇𝑛 ≤ 𝑡 = 𝑁𝑡 ≥ 𝑛 =

𝜆𝑡 𝑘

𝑘!

∞

𝑘=𝑛𝑒−𝜆𝑡

𝑛𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 𝑛: 𝑛 <1

𝑡

A avaliação desta expressão é complicada. No lugar de

fazer isto vamos mostrar por outra via que

𝑇𝑛~𝐺𝑎𝑚𝑎 𝑛, 𝜆 e para isso vamos estudar propriedades

do processo dos tempos das chegadas, 𝑻𝒏 𝒏≥𝟏.

Uma observação importante é que conhecer o processo

até o instante 𝑻𝒏 , 𝒊. 𝒆. 𝑵𝒕: 𝒕 ≤ 𝑻𝒏 é o mesmo que

conhecer o processo dos tempos das chegadas até o

instante n, i.e. 𝑻𝟏, 𝑻𝟐, ⋯ , 𝑻𝒏 , isto é fácil de visualizar

na seguinte figura.

𝑃 𝑇𝑛 ≤ 𝑡 = 𝑁𝑡 ≥ 𝑛 = 𝜆𝑡 𝑘

𝑘!

∞

𝑘=𝑛𝑒−𝜆𝑡


Exemplo: Suponha que os defeitos que ocorrem em um cano

subaquático da Petrobras, acontecem de acordo com um

processo de Poisson com média de 𝜆 = 0,1 por quilômetro.

Pergunta-se:

I. Qual a probabilidade de acontecer um defeito nos primeiros 2

quilômetros?

II. Dado que não houve defeito nos primeiros 2 quilômetros . Qual

a probabilidade condicional de não ter defeitos entre o segundo e o

terceiro Quilômetro?


I. Basta usarmos a definição do processo de Poisson

𝑷 𝑵 𝒕 + 𝒔 − 𝑵 𝒔 = 𝒏 = 𝒆−𝝀𝒕 𝝀𝒕 𝒏

𝒏!

assim temos que

𝑷 𝑵 𝟐 − 𝑵 𝟎 = 𝒏 = 𝒆−𝟎,𝟐 𝟎, 𝟐)𝟏

𝟏!= 𝟎, 𝟖𝟏𝟖𝟕 𝐱 𝟎, 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟑𝟕

II. Notemos que N 3 − N 2) é independente de N 2 − N 1), pois é um

processo de Poisson tem incrementos independentes. Então a

probabilidade condicional é igual a probabilidade incondicional, ou seja,

𝑷 𝑵 𝟑 − 𝑵 𝟐 = 𝟎 | 𝑵 𝟐 − 𝑵 𝟎 = 𝟎 = 𝑷 𝑵 𝟑 − 𝑵 𝟐 = 𝟎

= 𝒆−𝟎,𝟏𝟎, 𝟏 𝟎

𝟎!= 𝟎, 𝟗𝟎𝟒𝟖


Para todo 𝑡 ≥ 0 e 𝒏 ≥ 𝟏 vale:

Assim o processo 𝑇𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 1 é estacionário e tem

incrementos independentes

𝑵𝒕 𝒕≥𝟎 é um processo de Poisson 𝜆 ⟺

𝑇𝑛+1−𝑇𝑛, 𝑛 ≥ 0, 𝑖. 𝑖. 𝑑

𝑇𝑛+1−𝑇𝑛~𝑒𝑥𝑝 𝜆


Observe que 𝑇𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2− 𝑇1 + 𝑇3− 𝑇2 + ⋯+

𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1 . Usando o fato que a soma de distribuições

exponenciais i.i.d. tem distribuição Gamma podemos

concluir que o tempo do n-ésimo evento

𝑻𝒏~𝒈𝒂𝒎𝒎𝒂 𝒏, 𝝀 logo:

A distribuição 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑛, 𝜆 é chamada de distribuição de

Erlang (n).

PROCESSO DE POISSON EXEMPLO:

Os tempos de fala de um chip de um computador tem

distribuição exponencial com taxa 𝜆. Cada vez que falha

um chip ele é imediatamente substituído. Sejam

𝑋1, 𝑋2, … os tempos de duração de cada chip que foi

trocado. Logo 𝑃 𝑋𝑛 < 𝑡 = 1 − 𝑒𝜆𝑡. Considere 𝑇1 , 𝑇2, … os

sucessivos instantes nos quais aconteceu uma falha no

computador devido a fuma falha do chip.

PROCESSO DE POISSON EXEMPLO:

Por exemplo: 𝑇3= 𝑋1 +𝑋2 + 𝑋3 é o instante da falha do

terceiro chip.

Suponha que 𝜆 = 0,0002 em horas−1 , então a

esperança de vida de um chip é

𝐸𝑋𝑛 =1

𝜆=

1

0,0002= 5000 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

E a variância é

𝑣𝑎𝑟 𝑋𝑛 =1

𝜆2=

1

0,0002 2= 25 x 106

Se Nt é o número de falhas até o instante t > 0 então 𝑁𝑡 é um processo

de Poisson com taxa 𝜆.

PROCESSO DE POISSON EXEMPLO: CONTINUAÇÃO Suponha que o custo de cada reemplazo é 𝛽 reais e que a taxa de

desconto é 𝛼 > 0 (𝛼 pode ser a taxa de juros), i.d. cada real gasto no

instante t tem um valor no presente de 𝑒−𝛼𝑡. Considere o custo da

troca do n-ésimo chip, 𝛽𝑒−𝛼𝑇𝑛. Somando todos os custos temos que o

valor presente de todas as futuras trocas é

𝐶 = 𝛽𝑒−𝛼𝑇𝑛

∞

𝑛−1

Portanto, 𝐸𝐶 = 𝜆

𝛼+𝜆

𝑛= 𝛽∞

𝑛−1

𝜆

𝛼+𝜆

1−𝜆

𝛼+𝜆

=𝛽𝜆

𝛼 𝐸𝐶 =

𝛽𝜆

𝛼

Em particular, se o tempo de vida médio é 𝐸𝑋𝑛 = 5000 horas e o

custo de cada troca é 𝛽 = 800 reais e a taxa de juros é 24% ao ano

então.

𝛼 =0,24

365 x 24 =

0,01

365x100 =

1

36500 e 𝐸𝐶 = 800

36500

5000= 5840 reais

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