distribuições binominais, distrib. poisson e distrib. normal

27
Paulo Ricardo Bittencourt Guimarães Doutorando em Engenharia Florestal com concentração em Economia e Política Florestal pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre em Estatística pela Universidade Esta- dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Es- tatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor do Departamento de Estatís- tica da Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista em avaliação do Programa Nacional de Inclusão de Jovens (Projovem) da Secretaria Geral da Presidência da República. Consultor em Bioestatística e Pesquisa de Mercado.

Upload: lucas-t-ferreira

Post on 13-Oct-2015

148 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

  • Paulo Ricardo Bittencourt Guimares

    Doutorando em Engenharia Florestal com concentrao em Economia e Poltica Florestal pela Universidade Federal do Paran (UFPR). Mestre em Estatstica pela Universidade Esta-dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Es-tatstica pela Universidade Federal do Paran (UFPR). Professor do Departamento de Estats-tica da Universidade Federal do Paran (UFPR). Especialista em avaliao do Programa Nacional de Incluso de Jovens (Projovem) da Secretaria Geral da Presidncia da Repblica. Consultor em Bioestatstica e Pesquisa de Mercado.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    IntroduoA distribuio de probabilidade uma funo que determina probabi-

    lidades para eventos ou proposies. Para qualquer conjunto de eventos ou proposies, existem muitas maneiras de determinar probabilidades, de forma que a escolha de uma ou outra distribuio equivalente a criar diferentes hipteses sobre os eventos ou proposies em questo. A distri-buio de probabilidade de uma varivel descreve como as probabilidades esto distribudas sobre os valores da varivel aleatria.

    H vrias formas equivalentes de se especificar uma distribuio de pro-babilidade. Uma distribuio chamada de distribuio discreta se for defi-nida em um conjunto contvel e discreto, tal como o subconjunto dos n-meros inteiros; ou chamada de distribuio contnua se tiver uma funo distribuio contnua, tal como uma funo polinomial ou exponencial.

    A seguir, veremos as principais distribuies de probabilidade: Binomial e Poisson para variveis aleatrias discretas e a distribuio Normal para uma varivel aleatria contnua.

    Analisemos a definio de varivel aleatria discreta: seja X uma varivel aleatria discreta e xi um certo valor de X. A probabilidade de ocorrncia de xi dada por P(X = xi) = p(xi), onde:

    p(xi) 0

    a soma de todos os p(xi) igual a 1.

    Como as variveis aleatrias discretas X assumem valores inteiros (ge-ralmente), as probabilidades associadas a esses valores (xi) so pontuais de forma que a distribuio de probabilidade representada por quantidades de massa localizadas nos pontos xi.

    97Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 98

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18x

    p(x)

    Figura 1 Esboo de uma funo de probabilidade discreta.

    Por outro lado, a probabilidade de ocorrncia de uma varivel ale-atria contnua dentro de um determinado intervalo (a,b), dada por:

    Pr (a X b) = b

    a f(x) dx

    Onde b

    a a notao que se usa para representar a integrao de uma de-

    terminada funo em um intervalo de a at b e utilizada para clculo de reas e aqui ser utilizada para clculo de probabilidades.

    As variveis aleatrias contnuas X assumem valores dentro de um inter-valo contnuo, e as probabilidades associadas a esses valores podem ser con-sideradas reas abaixo de uma curva.

    Figura 2 Esboo de algumas funes densidades de probabilidade contnuas.

    Distribuio de Probabilidade BinomialAntes de introduzirmos a distribuio de probabilidade Binomial, vamos

    definir outra distribuio, a distribuio Bernoulli, que d origem a ela. Na distribuio Bernoulli:

    f(x)

    (x)

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 99

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    a) Cada experimento dito ser uma tentativa. Em cada tentativa, existem dois resultados possveis: sucesso ou falha.

    b) A probabilidade de sucesso igual a algum valor constante para todas as tentativas.

    c) Os resultados sucessivos so estatisticamente independentes. A pro-babilidade de sucesso na prxima tentativa no pode variar, no im-portando quantos sucessos ou falhas tenham sido obtidos.

    O processo de Bernoulli comumente utilizado em aplicaes envolvendo controle de qualidade. Cada novo item criado no processo de produo pode ser considerado como uma tentativa resultando em uma unidade com ou sem defeito. Esse processo no se limita a objetos; podendo ser usado em pesquisas eleitorais e de preferncias dos consumidores por determinados produtos.

    Consideremos agora n tentativas independentes de ensaios de Ber-noulli. Cada tentativa admite apenas dois resultados complementares: sucesso com probabilidade p ou fracasso com probabilidade q, de modo a se ter p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso so as mesmas para cada tentativa. A varivel aleatria X, que conta o nmero total de sucessos, denominada Binomial.

    Exemplo: suponha que peas saiam de uma linha de produo e sejam clas-sificadas como defeituosas (D) ou como no defeituosas (N). Admita que 3 dessas peas sejam escolhidas ao acaso. Se a probabilidade de que uma pea seja defeituosa de 0,2, calcule a probabilidade de obtermos 0, 1, 2 ou 3 peas defeituosas.

    Ento teremos: n = 3 (nmero de repeties do experimento); p = 0,2 (probabilidade de sucesso, ou de obter uma pea defeituosa).

    Considere, agora, a seguinte definio:

    Seja E um experimento e A um evento associado a E. Considere ainda P(A) = p, denominada Probabilidade de ocorrncia de A, que satisfaa as seguintes propriedades:

    ocorrem n repeties independentes do experimento E;

    a probabilidade p sempre constante para cada repetio;

    a varivel aleatria X ser definida como sendo o nmero de vezes que o evento A ocorre;

    P(AC) = 1 P(A) = q

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 100

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Ento,

    k n-knP(X = k) = p q ,k = 0, 1, 2, ..., n.k

    . .

    em que

    nk

    a combinao de n elementos divididos em k grupos. Pode ser desenvolvida fazendo-se: ( ) ( )

    n n! n.(n 1).(n 2)(n k +1)= =

    k k!. n k ! k. k 1 (k 2)1.

    Agora a resoluo da questo anterior fica muito mais simples. Basta definirmos:

    n = 3

    p = 0,2

    0 3 3

    1 2 1 2

    2 1 2 1

    3 0 3 0

    3 3!P(X = 0) = p q = .1 . 0, 8 = 0, 512

    0 0!3!

    3 3!P(X = 1) = p q = . 0, 2 0, 8 = 0, 384

    1 1!2!

    3 3!P(X = 2) = p q = . 0, 2 0, 8 = 0, 096

    2 2!1!

    3 3!P(X = 3) = p q = . 0, 2 0, 8 = 0, 008

    3 3!0!

    . .

    . . .

    . . .

    . . .

    Utilizando a planilha eletrnica Excel, podemos resolver o problema acima de uma forma muito fcil, simplesmente utilizando as funes. Ento, utilizaramos a funo DISTRBINOM considerando:

    Num_s (nmero de tentativas bem-sucedidas) o valor que X assu-me, pode ser 0, 1, 2 ou 3, dependendo da probabilidade que se deseja calcular;

    Tentativas o tamanho da amostra, no caso n = 3;

    Probabilidade_s a probabilidade de sucesso, no caso, p = 0,2;

    Cumulativo a opo que fornece a probabilidade acumulada ou a probabilidade individual. No caso, preencher o campo com FALSO para considerar a probabilidade individual.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 101

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Notao: X ~ b(n; p)

    Isso significa que a varivel aleatria X tem distribuio Binomial com pa-rmetros n e p.

    A esperana e a varincia para uma varivel aleatria com distribuio Binomial so dadas por:

    = E(X) = n.p

    2 = Var(X) = n.p.(1 p)

    Distribuio de Probabilidade PoissonNa distribuio Binomial, a varivel aleatria X o nmero de sucessos

    que ocorrem em n tentativas independentes do experimento. Podemos considerar agora uma varivel aleatria X igual ao nmero de sucessos que ocorrem num intervalo contnuo.

    Por exemplo:

    nmero de chamadas X que uma telefonista recebe no intervalo de uma hora;

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 102

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    o nmero de falhas em 1 m2 de tecidos;

    o nmero de vezes que um computador trava em um intervalo de 8 horas.

    Uma varivel aleatria assim, assume valores inteiros, ou seja, X = 0, 1, 2, 3, 4, ...

    Um fenmeno ou experimento de Poisson tem as seguintes carac-tersticas:

    o nmero de sucessos que ocorrem num intervalo contnuo indepen-dente daqueles que ocorrem em qualquer outro intervalo disjunto;

    em intervalos de mesmo comprimento a probabilidade de ocorrncia de um mesmo nmero de sucessos igual;

    em intervalos muito pequenos, a probabilidade de mais de um suces-so desprezvel.

    Nessas condies, a varivel aleatria X = nmero de sucessos que ocor-rem num determinado intervalo contnuo de tem distribuio de Poisson com parmetro e funo de probabilidade dada por:

    p(x) = Pr(X = x) =e .

    x !

    x , para x = 0, 1, 2, ...

    em que a mdia de sucessos no intervalo considerado e e a constante exponencial que igual a 2,718281828.

    Notao: X~ P()

    Isso significa que a varivel aleatria X tem distribuio Poisson com pa-rmetro .

    A esperana e a varincia para uma varivel aleatria com distribuio de Poisson so dadas por:

    = E(X) =

    2 = Var(X) =

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 103

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Exemplo: Clientes em potencial chegam a um posto de gasolina de acordo com um processo de Poisson com taxa de 20 carros por hora. Ento, a funo de probabilidade associada dada por:

    -20 xe . 20p(x) = ,para x = 0,1, 2, ...

    x !

    A probabilidade de chegarem em 1 hora:

    a) Exatamente 10 carros: -20 10e .20

    P(X = 10) = = 0, 0058 ou 0, 58%10!

    b) 10 carros ou menos:

    . -20 x10

    x = 0

    e 20P(X 10) = = 0, 0108 ou 1, 08%

    x!

    c) Mais de 20 carros:

    20

    -20 X

    x = 21

    -20 X

    X = 0

    e . 20P(X > 20) =

    x!

    e . 20P(X > 20) = 1- P(X 20) = 1- = 1- 0, 559 = 0, 441 ou 44,1%

    x!

    d) Entre 11 e 20 carros:

    -20 x20

    x = 11

    e . 20P(11 X 20) =

    x! P(11 X 20) = P(X 20) P (X 10) = 1 P(X > 20) P(X 10)

    = 1 0,441 0,0108 = 0,548 ou 54,8%

    Utilizando o Excel, utilizaramos a funo POISSON considerando:

    X (nmero de eventos) o valor que X assume, pode ser 0, 1, 2 etc, dependendo da probabilidade que se deseja calcular.

    Mdia o valor do parmetro .

    Cumulativo a opo que fornece a probabilidade acumulada ou a probabilidade individual. No caso, preencher o campo com VERDA-DEIRO para considerar a probabilidade acumulada.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 104

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Distribuio de Probabilidade NormalA distribuio normal foi estudada inicialmente no sculo XVIII, quando

    uma anlise de erros experimentais levou a uma curva em forma de sino. Embora ela tenha aparecido pela primeira vez em 1733 por DeMoivre, a distribuio normal recebe o nome de distribuio gaussiana, em homena-gem ao cientista alemo Karl Friedrick Gauss, que foi o primeiro a utiliz-la em 1809.

    Nos sculos XVIII e XIX, matemticos e fsicos desenvolveram uma funo densidade de probabilidade que descrevia bem os erros experimentais ob-tidos em medidas fsicas. Essa funo densidade de probabilidade resultou na bem conhecida curva em forma de sino, chamada de distribuio normal ou gaussiana. Essa distribuio fornece uma boa aproximao de curvas de frequncia para medidas de dimenses e caractersticas humanas, como a altura de uma populao.

    A distribuio normal a mais importante das distribuies contnuas de probabilidade, e tem sua origem associada aos erros de mensuraes. A dis-tribuio normal desempenha papel preponderante na estatstica, e os pro-cessos de inferncia nela baseados tm larga aplicao.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 105

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    A distribuio normal tem sua funo densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por

    ( )

    2

    2

    x

    21 .f = e2

    (x)

    em que:

    a mdia da varivel X;

    o desvio-padro da varivel X;

    uma constante numrica igual a 3,141593.

    Notao: X ~ N(; 2)

    Isso significa que a varivel aleatria X tem distribuio Normal com pa-rmetros e 2.

    So propriedades da distribuio normal:

    1) A distribuio simtrica em relao a x = , ou seja, nesse ponto a curva se divide em duas partes iguais.

    2) A funo f(x) tem um ponto de mximo para x = .

    3) As caudas da funo f(x) so chamadas assintticas, ou seja, s atin-gem o ponto f(x) = 0 quando x tende a + infinito ou infinito. Isso quer dizer que a curva jamais cruza o eixo x.

    4) A funo f(x) tem dois pontos de inflexo para x = + e x = . Nesses pontos a funo acentua sua curvatura.

    5) A funo de distribuio acumulada dada por

    21 x .x 2

    1F(x) = P(X x) = e dx

    2

    A funo F(x), dada acima, pode ser colocada numa forma mais simples, considerando-se a transformao:

    z = x

    que a varivel normal padronizada ou reduzida Z.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 106

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    0.4

    0.3

    0.2f(x)

    0.1

    0.0

    -4 -2 0(x)

    2 4

    Figura 3 Curva da distribuio Normal padro.

    Notamos que a transformao utilizada consiste em adotarmos uma nova distribuio normal de mdia = 0 e varincia 2 = 1 ou desvio-padro = 1. Portanto,

    Z ~ N(0; 1).

    Isso significa que a varivel aleatria Z assume uma distribuio Normal com mdia zero e varincia 1.

    Assim, a f.d.p. da varivel normal padronizada ser dada por

    2z

    21g(z) = e , z 2

    .

    A distribuio normal padronizada pode ser tabulada utilizando-se mto-dos de integrao numrica.

    Exemplo: Uma indstria fabrica peas mecnicas cujas medidas dos dime-tros externos so normalmente distribudas com mdia 40,0mm e desvio-padro de 2,0mm. Vamos calcular a percentagem de peas defeituosas

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 107

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    fabricadas, sabendo-se que o setor de controle de qualidade dessa indstria classifica como defeituosas aquelas peas cujos dimetros externos:

    a) so inferiores a 37,0mm.

    P(X

  • 108

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Desv_padro o valor de ;

    Cumulativo a opo que fornece a probabilidade acumulada ou a probabilidade individual. No caso, sempre preencher o campo com VERDADEIRO.

    b) So superiores a 44,0mm.

    P(X>44) = P(Z>(4440)/2) = P(Z>2) = 0,023 ou 2,3%.

    0.4

    0.3

    0.2f(x)

    0.1

    0.0

    -4 -2 0(x)

    2 4

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 109

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    c) Desviam-se mais de 2,0mm da mdia.

    P(X42) = P(Z(4240)/2)

    = P(Z1) = 0,1586 + 0,1586 = 0,3164 ou 31,64%.

    f(x)

    0.4

    0.3

    0.2

    0.1

    0.0

    -4 -2 0x

    2 4

    Testes para a Distribuio Normal

    Muitos testes usados em estatstica partem do princpio que os dados so provenientes de uma populao normal. Ou seja, s podem ser utilizados se for comprovada a suposio de normalidade dos dados. Dessa forma, testes estatsticos devem ser feitos para verificar esse fato.

    Existem os testes qualitativos e quantitativos. Entre os testes qualitativos, existem trs representaes grficas que so comumente utilizadas: o gr-fico de probabilidade normal (normal probability plot), o da probabilidade normal positiva (half-normal probability plot) e o da probabilidade normal sem tendncias (detrended normal probability plot).

    As figuras 4 a 6 apresentam esses grficos gerados pelo software Statis-tica, e selecionando-se a varivel Presso. Caso os pontos caiam prximos linha reta, pode-se dizer que os dados seguem uma distribuio normal. No caso da figura 6, fica claro que no h qualquer tendncia caracterstica de normalidade para o comportamento dos dados de presso.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 110

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Figura 4 Grfico da Probabilidade Normal.

    Figura 5 Grfico da Probabilidade Normal Positiva.

    Figura 6 Grfico da Probabilidade Normal sem Tendncia.

    Valo

    r nor

    mal

    esp

    erad

    oVa

    lor n

    orm

    al e

    sper

    ado

    Valo

    r nor

    mal

    esp

    erad

    o

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 111

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Os testes quantitativos so mais eficientes, pois independem de qualquer interpretao subjetiva. Eles consistem em calcular uma estatstica, caracte-rstica de cada teste, e verificar se o seu valor significativo, dependendo do nvel de significncia escolhido. Caso seja, ento a hiptese de que os dados seguem uma distribuio normal deve ser rejeitada. Os testes mais usados para verificar normalidade so:

    Kolmogorov-Smirnov usado quando a mdia e o desvio-padro da distribuio normal so conhecidos e no estimados a partir dos da-dos. Entretanto, geralmente esses parmetros so calculados a partir dos dados reais.

    Lilliefors usado quando a mdia e o desvio-padro da populao so desconhecidos e acabam sendo estimados a partir dos dados da amostra.

    Shapiro-Wilks (W) outra opo para verificao de normalidade, em que se trabalha com os dados ordenados, geralmente quando se tem menos de 50 observaes.

    Caso seja verificado que a populao no seja normal, transformaes da varivel podem ser feitas, a fim de torn-la normal. A transformao de Box-Cox uma das transformaes mais utilizadas. Ela consiste em extrair a raiz qua-drada ou aplicar o logaritmo nos valores da varivel em estudo.

    Outra alternativa, caso a suposio de normalidade no seja atingida, realizar um teste estatstico que no necessita de comprovao de nor-malidade dos dados, os chamados testes no paramtricos. Apresentare-mos a seguir o teste no paramtrico de Lilliefors para testar a suposio de normalidade.

    Teste de Lilliefors

    No caso em que se deseja testar normalidade e a mdia e a varincia no so previamente especificadas, mas sim estimados por meio dos dados da amostra. Deve-se utilizar o teste de Lilliefors. Esse teste tem procedimento anlogo ao teste Kolmogorov-Smirnov, porm utiliza uma tabela de valores crticos prpria e mais adequada a esse tipo de situao.

    Esse teste de aderncia avalia a concordncia entre a distribuio observa-da da amostra e uma determinada distribuio terica. Para isso, utilizamos a

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 112

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    funo distribuio acumulada observada, compara-se com a terica, deter-mina-se o ponto em que essas distribuies mais divergem, e testamos se essa divergncia aleatria ou no.

    Seja 0F (X) uma distribuio terica acumulada e nS (X) uma distribuio observada em uma amostra de n observaes (distribuio emprica).

    Encontra-se a seguir o maior valor das diferenas entre 0F (X) e nS (X) , ou seja,

    ( ) ( )0 nD = mx F X S XCompara-se o valor observado com o valor crtico que se encontra na

    tabela em anexo. Se o valor calculado for inferior ao valor tabelado, ento po-demos considerar que os dados se ajustam bem a uma distribuio Normal.

    Exemplo: As produes mdias (sacas) obtidas em um experimento envol-vendo um novo adubo em plantaes de milho encontram-se tabuladas abaixo:

    Classes fi xi F(xi) S(xi) |F(xi) - S(xi)|

    2 700 | 3 000 13 2 850 0,045 0,113 0,068

    3 000 | 3 300 18 3 150 0,155 0,269 0,114

    3 300 | 3 600 24 3 450 0,371 0,478 0,107

    3 600 | 3 900 32 3 750 0,639 0,756 0,117

    3 900 | 4 200 17 4 050 0,851 0,904 0,053

    4 200 | 4 500 11 4 350 0,958 1,000 0,042

    115

    Podemos admitir que a produo mdia segue uma distribuio normal?

    A coluna S(x) apresenta as probabilidades acumuladas, por exemplo, o primeiro valor, 0,113, foi obtido pela razo: 13/115 e os demais valores foram obtidos sempre acumulando o valor das classes anteriores, at a ltima classe em que S =1. Os valores de F(X) so as probabilidades acumuladas de uma distribuio normal. Mas para esse clculo, precisamos dos valores dos

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 113

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    parmetros da distribuio. Como esses valores no so conhecidos, devem ser estimados. A estimativa do parmetro a mdia amostral e a estima-tiva do parmetro 2 a varincia amostral. Assim, teremos a estimativa de = 3 593,5 sacas (para calcular a mdia, nesse caso, primeiro multiplica-se o ponto mdio de cada classe, pela sua respectiva frequncia. A partir disso, soma-se todos os resultados obtidos e divide-se pelo nmero de elemen-tos 115) e a estimativa da varincia = 191 601,8 (obtida atravs da frmu-

    la da varincia: ( )

    2

    i ix X .f

    n 1). Assim, j possvel obtermos as probabilidades

    acumuladas.

    Dessa forma, as probabilidades acumuladas para as classes da tabela acima so calculadas sempre em funo de seu ponto mdio (xi):

    P(X 2 850) = P(Z 1,7) = 0,045

    P(X 3 150) = P(Z 1,01) = 0,156

    P(X 3 450) = P(Z 0,33) = 0,371

    P(X 3 750) = P(Z 0,36) = 0,639

    P(X 4 050) = P(Z 1,04) = 0,851

    P(X 4 350) = P(Z 1,73) = 0,958

    Agora, basta calcularmos as diferenas entre a distribuio acumulada ob-servada pelos dados e a distribuio acumulada terica, calculada por meio da distribuio Normal. Essas diferenas so apresentadas na ltima coluna. A maior das diferenas encontrada foi 0,117. Assim, precisamos verificar se essa diferena pode ou no ser considerada significativa. Consultando a tabela de valores crticos, a um nvel de significncia de 5% precisaremos

    informar o tamanho da amostra (n). Nesse caso, n = 115 e usamos a ltima

    linha da tabela que aponta 0,886

    n = 0,082. Como o valor calculado (0,117)

    superior ao valor crtico tabelado (0,082) rejeitamos a hiptese nula e temos indcios suficientes para afirmar que a distribuio normal, nesse caso, no se ajusta aos dados.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 114

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Ampliando seus conhecimentos

    (WIKIPDIA)

    Jakob Bernoulli, (Basileia, 1654 1705)

    Foi professor de matemtica em Basileia, tendo sido importantssima sua contribuio geometria analtica, teoria das probabilidades e ao clculo de variaes.

    Em 1713, depois de sua morte, foi publica-do seu grande tratado sobre a teoria das pro-babilidades, Ars Conjectandi, que ainda oferece interesse prtico na aplicao da teoria da pro-babilidade no seguro e na estatstica.

    Simon Denis Poisson (Pithiviers, 1781 Sceaux, 1840)

    Engenheiro e matemtico francs, conside-rado o sucessor de Laplace no estudo da mec-nica celeste e da atrao de esferoides. Entrou para a cole Polytechnique (1798), em Palaise-au, onde se formou, estudando com professo-res como Joseph Louis Lagrange, Pierre Simon Laplace e Jean Baptiste Fourier.

    Em Recherches sur la probabilit des juge-ments (1837) apareceu a famosa distribuio de Poisson de intensa aplicao em estatsti-ca. Na teoria de probabilidades, descobriu a forma limitada da distribuio Binomial que posteriormente recebeu o seu nome e hoje considerada uma das mais importantes distri-buies na probabilidade.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 115

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Abraham de Moivre (Vitry 1667 Londres, 1754)

    Matemtico francs que fez carreira profis-sional na Inglaterra, onde foi professor particu-lar e tornou-se um destacado pesquisador com grandes contribuies no campo da teoria das probabilidades, porm sem se tornar professor universitrio por causa de sua nacionalidade. Pioneiro do desenvolvimento de Geometria Analtica e a Teoria de Probabilidade, pu-blicou o clebre Doctrine of Chances (1718), sobre a Teoria do Acaso, onde exps a defini-o de independncia estatstica junto com muitos problemas com dados e outros jogos. Tambm pesquisou estatsticas de mortalida-de e fundou a teoria de anuidades.

    Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 1777 Gttingen, 1855)

    Trabalhou em diversos campos da Mate-mtica e da Fsica, entre eles a Teoria dos N-meros, Geometria Diferencial, Magnetismo, Astronomia e ptica. Seu trabalho influenciou imensamente outras reas.

    Em probabilidade e estatstica ficou famoso pelo desenvolvimento do mtodo dos mni-mos quadrados e pela descoberta da distribui-o normal, agora tambm conhecida como a Distribuio Gaussiniana, a conhecida lei de probabilidade, definida graficamente por meio da chamada Curva de Gauss.

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 116

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Atividades de aplicao1. Seja X uma varivel aleatria com distribuio Binomial, baseada em

    10 repeties de um experimento. Se p = 0,3, calcule as seguintes pro-babilidades:

    a) P(X8)

    b) P(X=7)

    c) P(X6)

    2. Um jogador de basquetebol acerta um arremesso com probabilidade 0,9. Em cinco arremessos, a probabilidade de o jogador acertar todos :

    a) 0,59

    b) 0,9

    c) 0,81

    d) 0,9 x 5

    e) 0,45

    3. Suponha que 5% de todas as peas que saiam de uma linha de produ-o sejam defeituosas. Se 10 dessas peas forem escolhidas e inspe-cionadas, qual ser a probabilidade de que no mximo 2 defeituosas sejam encontradas?

    4. O nmero de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, a cada dia, tem distribuio de Poisson, com parmetro = 2. As atuais ins-talaes do porto podem atender a trs petroleiros por dia. Se mais de 3 navios aportarem por dia, os excedentes devem seguir para outro porto.

    a) Em um dia, qual a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto?

    b) De quanto as atuais instalaes devem ser aumentadas para permitir manobrar todos os petroleiros, em aproximadamente 90% dos dias?

    c) Qual o nmero esperado de petroleiros a chegar por dia?

    d) Qual o nmero mais provvel de petroleiros a serem atendidos diariamente?

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 117

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    e) Qual o nmero esperado de petroleiros a serem atendidos diaria-mente?

    f) Qual o nmero esperado de petroleiros que voltaro a outros portos diariamente?

    5. O nmero de clientes que chegam fila de um banco durante o inter-valo de uma hora uma varivel aleatria com distribuio de Poisson com mdia igual a 5. A probabilidade de no haver chegada de clien-tes durante esse intervalo :

    a) e0

    b) 0

    c) 0,0067

    d) 0,034

    e) 1

    6. Em uma curva Normal Padro, a rea entre -1,96 e 1,96 corresponde a 0,95. Para uma varivel aleatria X normalmente distribuda com mdia 10 e varincia 100, a rea correspondente a 95% centrais dessa curva est situada entre:

    a) 9,6 e 29,6

    b) 8,6 e 10,6

    c) 9,6 e 11,6

    d) 18,6 e 20,6

    e) 186 e 206

    7. Suponha que a distribuio de salrios de uma empresa americana segue uma distribuio normal, com mdia mensal de US$15.000,00 e desvio-padro de US$2.000,00. Calcule a probabilidade de algum ganhar menos de US$5.000,00.

    8. A fora (em Newton) com que um tecido sinttico se parte representa-da por uma distribuio normal, dada por: X~N(800,144). O comprador requer que o tecido tenha no mnimo uma fora de ruptura igual a 772 N. A amostra de tecido escolhida aleatoriamente. Calcule P(X 772N).

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 118

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Gabarito1.

    a) P(X8) = 10x

    .0,3 .0,7x 10 xx=0

    8

    = 0,999

    b) P(X=7) = 107

    .0,3 .0,77 3

    = 0,009

    c) P(X6)= x=7

    10x 10 x

    10x

    .0,3 .0,7

    = 0,047

    2.

    a) 0,95 = 0,59

    3. P(no mximo duas peas defeituosas) =

    P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 10x

    .0,05 .0,95x 10 xx=0

    2

    = 0,9885 ou 98,85%

    4. O nmero de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, a cada dia, tem distribuio de Poisson, com parmetro = 2. As atuais ins-talaes do porto podem atender a trs petroleiros por dia. Se mais de 3 navios aportarem por dia, os excedentes devem seguir para outro porto.

    a) P(X > 3) = 1e .

    x != 1 0,857 = 0,143

    x

    x=0

    3

    b) Se as instalaes forem ampliadas para permitir mais um petrolei-

    ro, teremos:

    P(X 4)=!

    =0,947x=0

    4 e .

    x

    x

    c) E(X) = x.

    x != x

    .2x !

    = 2x

    x=0

    2 x

    x=0

    e e

    d) 1 ou 2 petroleiros. P(X=1) = P(X=2) = 0,2707

    e) Qual o nmero esperado de petroleiros a serem atendidos diaria-mente?

    Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

  • 119

    Distribuio Binomial, Distribuio Poisson e Distribuio Normal

    Se chegarem 0, 1, 2 ou 3 petroleiros todos sero atendidos. Se vie-rem mais de 3 petroleiros, somente 3 sero atendidos. Dessa forma:

    Nmero esperado:

    0.P(X=0) + 1.P(X=1) + 2.P(X=2) + 3.P(X3) = 1,78

    f) Se vierem 0,1, 2 ou 3 petroleiros nenhum precisar ir a outros por-tos. Caso mais de 3 petroleiros cheguem, apenas 3 podem ser re-cebidos. Assim:

    Nmero esperado:

    1.P(X=4) + 2.P(X=5) + 3.P(X=6) + 4.P(X=7)+ ... = 0,22

    5.

    c) P(X=0) = e .50!

    = 0,00675 0

    6.

    a) 9,6 e 29,6

    Para obtermos o valor padronizado 1,96, faremos: X 1010

    = 1,96

    Assim, X = 29,6

    Para obtermos o valor padronizado 1,96, faremos: X 10

    10= 1,96

    Assim, X = 9,6

    7. P X < 5 000 = P Z