conceitos bÁsicos experimento aleatório é um … de probabilidade... · um experimento...
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CONCEITOS BÁSICOS 1) Experimento Aleatório é um experimento no qual:
i) todos os possíveis resultados são conhecidos; ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados
possíveis; iii) pode ser repetido em condições idênticas.
2) Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório.
É denotado por . Pode ser:
- Discreto Finito: formado por um conjunto finito de pontos;
Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos;
- Contínuo formado por um conjunto Não Enumerável de pontos.
3) Um Evento é um subconjunto de , associado a um experimento. É denotado por letras maiúsculas: A, B, E, . . .
4) Um Evento Complementar: denotado por Ac é o complementar de A
em relação a , ou seja, Ac A = .
5) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se
A B = .
Exemplos: Um dado equilibrado é lançado e seu número observado.
O espaço amostral é: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Sejam A = O número observado é menor ou igual a 4, então, A = { 1, 2, 3, 4 } B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 } C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 }
Então, temos
A B = { 2, 4 } e A C = { 1, 3 }
B C = B e C são disjuntos
Bc = C, pois B C =
6) Evento elementar
Seja o espaço amostral = { 1, 2, ..., N }, em que i, i = 1, 2, ...,
N , são resultados elementares.
Um evento é dito elementar se é formado por um resultado elementar, ou seja:
Ai = { i }, i = 1, 2, ..., N.
obs: note que o evento elementar é dado por um subconjunto unitário.
No lançamento de um dado equilibrado: A1 = { 1 }, A2 = { 2 }, A3 = { 3 }, A4 = { 4 }, A5 = { 5 }, A6 = { 6 } são eventos elementares.
Assim sendo, temos que: A1 A2 A3 A4 A5 A6 =
Ou seja: ΩAi
6
1i
.
Exemplos:
a) Experimento: numa linha de produção, conta-se o número de peças com defeito, por lote;
A = { 0, 1, 2, . . . , N }, N = tamanho do lote
Eventos:
A1 = todas as peças são boas A1 = { 0 }
A2 = no máximo cinco peças com defeito A2 = { 1, 2, 3, 4, 5 }
b) Experimento: Numa indústria são contados os itens produzidos até a ocorrência de um item defeituoso;
B = { 1, 2, 3, 4, . . . }, ou ainda B = N*, N* = N – { 0 }
Eventos: B1 = o item defeituoso ocorre até a 10ª peça produzida
B1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } B2 = são produzidas no mínimo 200 peças antes do item defeituoso
B2 = { X N* | X > 200 }
c) Experimento: Uma lâmpada é fabricada e, num ensaio, é anotado
o tempo (semanas) até que ela se queime;
C = { t R | t 0 }
Eventos: C1 = a lâmpada queima antes de completar 720 horas (4 sem.)
C1 = { t < 4 }
C2 = a lâmpada dura pelo menos 1 ano (52 semanas)
C2 = { t R | t 52 }
7) Medida de Probabilidade: Seja um evento A associado a um espaço
amostral , então a probabilidade de ocorrência de A é dada por
Ω
AA
de medida
de medidaP
As medidas de A e de são bem definidas e estando associadas às suas dimensões.
7.1) Probabilidade em Espaços Finitos: seja A um evento associado a
um espaço amostral finito , então
)card(
)card(
em pontos de totalnúmero
a favoráveis , em pontos, de número
Ω
A
Ω
AΩA P ,
card(.) = função cardinalidade = número de elementos do conjunto.
AP é a probabilidade de ocorrência do evento A e deve satisfazer:
a) 10 AP ;
b) 1ΩP ;
c) Se A e B são disjuntos, então, BABA PPP .
7.2) Probabilidade como frequência relativa: sejam o evento A associado a um experimento E. Suponha que E seja repetido n vezes e
seja nA o número de ocorrências de A.
A frequência relativa de A é dada por:
n
nf A
A , 10 Af .
Se n for grande, então Af se aproxima da probabilidade de
ocorrência de A, ou seja,
)(lim APfAn
.
7.3) Resultados igualmente prováveis: se num espaço amostral finito os eventos elementares têm todos a mesma probabilidade, então dizemos que são igualmente prováveis.
Seja pi , i = 1, 2, . . . , N, a probabilidade de ocorrência do i-ésimo
evento elementar, então:
N
ppp N
121 , )card(ΩN
obs: nesse caso dizemos que o espaço amostral é uniforme. 7.3) Propriedades de Probabilidade
i) Se é o espaço vazio, então P() = 0 e, consequentemente,
P() = 1;
ii) Se Ac é o evento complementar de A, então )(1)( AAc PP
iii) Se A e B são eventos quaisquer, então
)()()()( BABABA PPPP
iv) Se A e B são eventos tais que A B, então − )()( BA PP ;
− ABA )()( ABA PP ;
− BBA )()( BBA PP .
8) Métodos de Contagem
i) Permutação: quando temos de permutar n elementos em n
posições diferentes
!P , nnn 1)2)(1(! nnnn , n! é o fatorial de n
ii) Arranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k
destes elementos e permutá-los
)1()2)(1()!(
!A ,
knnnn
kn
nkn .
iii) Combinação: quando temos de escolher k, dentre n elementos
distintos, sem considerar a ordem
)!(!
!C ,
knk
n
k
nkn
; note que
kk
knkn
,
,,
P
AC .
9) Probabilidade Condicional e Independência: sejam A e B eventos
quaisquer tais que 0AP , então a probabilidade de B
condicionada ao evento A é definida por
)(
)()|(
A
ABAB
P
PP
.
Lê-se: probabilidade de B dado A.
Nota: os eventos A e B são independentes se: )()|( BAB PP .
9.1) Regra Multiplicativa das Probabilidades: da probabilidade condicional podemos escrever a probabilidade conjunta de A e B por
− )()|()( AABBA PPP
ou
− )()|()( BBABA PPP
E, se A e B forem independentes, então
− )()()( BABA PPP .
Exemplos:
I) Considere as informações da qualidade de um produto pela região de
procedência. O produto foi classificado como tipos A e B, sendo o tipo A de melhor qualidade.
Qualidade Região
Total S SE CO
Tipo A 22 118 54 224
Tipo B 23 42 11 76
Total 75 160 65 300
Se um fornecedor é sorteado ao acaso para verificação, qual é a probabilidade de que:
a) Seja de qualidade Tipo A?
7467.0300
224)A( P
b) Seja procedente da região S?
25.0300
75)S( P
c) Seja de qualidade Tipo B e da região CO?
0367.0300
11)COB( P
d) Seja da região S ou de qualidade Tipo A?
8233.0300
247
300
5222475)SA(
P
e) Sabendo que o fornecedor escolhido é da região SE, qual a
probabilidade de que seja de qualidade do Tipo B?
2625.0160
42
300/160
300/42)SE|B( P
f) Se a amostra não é de região S, qual é a probabilidade de que seja
de qualidade do Tipo A?
)COSE(
)]COA()SEA[(CO)](SE|A[
P
PP
7644.0225
172
300/)65160(
300/)54118(CO)](SE|A[
P
II) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com quatro alternativas, sendo uma só correta. A probabilidade de que saiba a resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, vai “chutar”. Definindo: A = o aluno acerta a questão e S = o aluno sabe a resposta.
a) Qual a probabilidade dele acertar a questão? P(A) = P(acertar sabendo ou acertar chutando)
P(A) = P(acertar sabendo) +P(acertar chutando)
P(A) = P(A | S) P(S) + P(A | Sc) P(Sc)
P(A) = (1.0)(0.3) + (0.25)(0.7) = 0.475
b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele realmente
saiba a resposta?
632.0475.0
3.0
)A(
)AS()A|S(
P
PP
** Esse resultado é conhecido como “teorema de Bayes”.
10) Teorema de Bayes
10.1) Partição: os eventos E1, E2, . . ., Ek, são uma partição de se:
i) Ei Ej = , i j, i, j = 1, 2, . . ., k;
ii) E1 E2 . . . Ek =
Seja um evento A ocorrendo sobre a partição de .
A
Assim, podemos escrever A como sendo:
)()()()()( 54321 EAEAEAEAEAA
ou ainda: k
ii
1
)(
EAA .
Então, a probabilidade de ocorrência de A é calculada por:
)()|()()()(111
i
k
ii
k
ii
k
ii PPPPP EEAEAEAA
O resultado acima é conhecido como lei da probabilidade total.
10.2) Teorema de Bayes: considerando a partição de e sabendo que
ocorreu o evento A, a probabilidade de que tenha ocorrido uma parcela
específica EJ da partição é dada por
)(
)()|(
)(
)()|( JJJ
JA
EEA
A
AEAE
P
PP
P
PP
, J = 1, 2, . . ., k.
Podemos, ainda escrever o resultado acima como:
k
iii PP
PPP
1
JJJ
)()|(
)()|()|(
EEA
EEAAE , J = 1, 2, . . ., k.
Esse resultado se deve ao Revendo Inglês Thomas Bayes num trabalho seu publicado em 1763, e recebe o seu nome em sua homenagem.
Os exemplos a seguir são para resolver em sala
III) Um levantamento nas estradas mostra que 75% dos acidentes ocorrem por imprudência do motorista, 5% por defeito na pista ou falha na sinalização e o restante por falha mecânica no veículo. O índice de casos fatais nos acidentes é de 9%, 5% e 3%, respectivamente.
a) Se um acidente é registrado, qual é a probabilidade de que haja uma vítima fatal?
b) Se uma morte acontece num acidente, qual a probabilidade de que seja por falha na pista? E por imprudência?
IV) O Neymar do Santos e o Ronaldo do Corinthians resolveram fazer
uma disputa de pênaltis. O Neymar só acertou 30% dos últimos pênaltis
cobrados e o Ronaldo 88%. Cada um tem uma única cobrança e o
Marcos do Palmeiras é o goleiro. Qual a probabilidade de que: a) Ambos acertem as cobranças?
b) Só o Ronaldo acerte? c) Apenas um deles acerte?
IV) Num processo de produção de placas eletrônicas, o índice de defeitos é de 1%. Sabendo que as peças são produzidas independentemente umas das outras:
a) Qual é a probabilidade de que a primeira placa com defeito seja exatamente a quinta a ser produzida?
b) Existe uma norma na empresa que diz que “se a primeira placa
defeituosa for produzida antes e que a 11ª placa tenha sido produzida,
então o processo deve ser ajustado”. Qual a probabilidade de que o processo precise ser ajustado?
c) Qual a probabilidade de que a primeira placa defeituosa ocorra apenas após a 20ª peça ter sido produzida?
Variáveis Aleatórias Definição:
Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do
espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : → I , em que I .
Esquematicamente:
As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos:
VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável Exs.: I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, I = N = {0, 1, 2, 3, 4,.......∞}, etc.
VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais
Exs.: I = = (−∞,∞), I = [0,1] , etc.
Notas: Para v.a.’s contínuas, a função que normalmente associa pontos
de ao conjunto I , é a função identidade;
Para v.a.’s discretas, a função que normalmente associa pontos
de ao conjunto I , é uma contagem ou soma.
Exemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um
(independentemente) e marcam o gol com probabilidades 90%, 88% e
85%, respectivamente.
a) Quais os resultados possíveis?
b) Como definir uma v.a.?
c) Como associar probabilidade a essa uma v.a.?
Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca
o penalti e C = o jogador C marca o penalti.
a) = ABC, AcBC, ABcC, ABCc, AcBcC, AcBCc, ABcCc, AcBcCc é o espaço
amostral.
b) Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória
para esse caso:
(i) X1 = número de gols marcados nas três cobranças ou
(ii) X2 = número de gols perdidos nas três cobranças.
Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças
X(ABC) = 3
X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) = 2
X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc
) = 1
X(AcBcCc) = 0
Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da v.a.:
X(ABC) X = 3
X(AcBC) = X(ABcC) = X(ABCc) X = 2
X(AcBcC) = X(AcBCc) = X(ABcCc
) X = 1
X(AcBcCc) X = 0
Assim pode-se escrever:
P(X = 3) = P(ABC) = 0.900.880.85 = 0.6732
P(X = 2) = P(AcBC ABcC ABCc) = 0.2854
P(X = 1) = P(AcBcC AcBCc ABcCc) = 0.0396
P(X = 0) = P(AcBcCc) = 0.0018
Normalmente reperentam-se os valores numa tabela com a
distribuição das probabilidades, chamada de função de probabilidade:
Tabela: Função de probabilidade da v.a.
X = gols marcados nas 3 cobranças.
Valores da v.a. X Probabilidades
0 0.6732
1 0.2854
2 0.0396
3 0.0018
Função de probabilidade de uma v.a. discreta
A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a.
discreta X, é chamada de função de probabilidade (fp) ou função massa
de probabilidade (fmp), sendo representada por:
p(x) = P(X = x), x I,
I = conjunto dos possíveis valores de X.
Propriedades:
a) 0 p(x) 1;
b) 1)(I
x
xp .
Exemplos:
a) No exemplo dos 3 jogadores, temos I = { 0, 1, 2, 3 } e:
x p(x) função que associa
probabilidades à v.a.
número de gols
narcados nas 3
cobranças de penaltis.
0 0.0018
1 0.0396
2 0.2854
3 0.6732
b) Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas
na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas
placas, 1% sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção
dessas placas, 10 unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas,
i) Defina uma variável aleatória para esse caso.
Qual é a probabilidade de que a inspeção encontre:
ii) exatamente uma placa com defeito?
iii) pelo menos uma placa com defeito?
iv) no máximo três placas com defeito?
Escrevendo as probabilidades em termos da v.a.:
a) Seja a v.a. X = número de itens com defeito encontrados na
inspeção de n = 10 placas.
Então, temos que I = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, ou seja
p(x) = P(X = x), em que x { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.
b) Probabilidade de que a inspeção encontre exatamente uma placa
defeituosa: P(X = 1).
Se o índice de placas com defeitos na produção é de 1%, então, uma
placa tem probabilidades 0.01 de ser defeituosa e 0.99 de ser boa.
Sendo D = placa com defeito e b = placa boa, temos que
b/D D b b b b b b b b b
prob. 0.01 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99
item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Assim, a probabilidade de que a inspeção encontre exatamente uma
placa defeituosa, senda esta a primeira é igual a: (0.01)(0.99)9
Como a placa com defeito pode ser a primeira placa ou a segunda ou a
terceira . . . ou a décima, então temos dez vezes essa probabilidade, i.e.:
P(X = 1) = 10(0.01)(0.99)9 =
1
10(0.01)1
(0.99)9 = 0.09135
c) Se a inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito, então,
pode ser uma placa com defeito ou duas ou três . . . ou as dez.
Portanto, a probabilidade da inspeção encontrar pelo menos uma
placa com defeito é dada por:
P(X 1) =
10
1
)(x
xXP P(X = 1) + P(X = 2) + ...+ P(X = 10).
Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever essa
probabilidade como sendo um menos a probabilidade de que todas as
placas sejam boas, ou seja:
P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (0.99)10
= 0.09562
d) A probabilidade da inspeção encontrar no máximo três placas com
defeito é escrita como:
P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).
Em que:
P(X = 0) =
0
10(0.01)0 (0.99)10 = 0.90438
P(X = 1) =
1
10(0.01)1 (0.99)9 = 0.09135
P(X = 2) =
2
10(0.01)2 (0.99)8 = 0.00415
P(X = 3) =
3
10(0.01)3 (0.99)7 = 0.00011
Logo, P(X 3) = 0.99999 1
O modelo binomial
No exemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as
probabilidades:
P(X = x) =
x
10 (0.01)x (0.99)10 – x
Generalizando um pouco mais, podemos pensar num processo de
fabricação com índice de defeitos diferente de 1%.
Como esse índice de defeitos pode ser expresso como uma
proporção entre 0 e 1, podemos definir uma quantidade p, 0 p 1,
como sendo a probabilidade de que uma placa seja defeituosa.
Considerando que a inspeção pode ser aplicada a um número n
qualquer de placas, se X é a v.a. que conta o número de defeitos nas n
placas inspecionadas, então podemos generalizar a probabilidade P(X =
x) por:
P(X = x) =
x
n px (1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, ..., n.
Esse modelo é conhecido como modelo binomial.
O modelo binomial está associado à ensaios ou eventos
independentes com apenas dois resultados possíveis:
sim/não;
ocorre/não ocorre;
0 ou 1.
Os ensaios com essas características são chamados de ensaios de
Bernoulli.
Nos ensaios de Bernoulli estamos interessados na ocorrência de
apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a
não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso.
Desta forma, para o modelo binomial temos que:
p = P(sucesso) e (1 – p) = P(fracasso)
No exemplo acima, ocorre sucesso quando a inspeção detecta uma
placa com defeito e fracasso quando a placa não apresenta defeito.
O modelo binomial é, então, caracterizado pela realização de n
ensaios independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e
fracasso), nos quais a probabilidade de sucesso p é constante.
A v.a. binomial é definida como sendo:
Uma v.a. que conta o número de sucessos num número fixo de
ensaios de Bernoulli.
Notação: X binomial(n; p).
No exemplo das placas eletrônicas, temos p = 0.01 e n = 10, logo
X binomial(10; 0.01).
Outro exemplo: Considere a fabricação de pinos metálicos para
montagens de motores em que o índice de produtos com defeito é de
2.5%. Se um inspetor seleciona um lote com 80 pinos para inspeção, qual
a probabilidade de que:
a) apenas um seja defeituoso?
b) nenhum seja defeituo?
c) no máximo dois sejam defeituosos?
d) Qual é o número esperado de pinos defeituosos no lote?
Vamos definir a v.a. X = número de pinos defeituosos dentre os 80.
Como estamos interessados nos defeitos (sucesso defeito), então:
p = P(defeito) = 0.025 e X binomial(80; 0.025)
a) P(X = 1) =
1
80 (0.025)1(0.975)79 = 0.2706
b) P(X = 0) =
0
80(0.025)0(0.975)80 = 0.1319
c) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.6767.
d) Espera-se: 800.025 = 2 peças defeituosas no lote, ou seja,
espera-se np peças com defeito.
Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli, tal
que, P(sucesso) = p é dado por np.
No exemplo das placas eletrônicas, espera-se 100.01 = 0.1 placas
com defeito na inspeção.
Mais um exemplo: Segundo pesquisa Lance!/IBOPE (ago/2010) 9.2% dos
Paulistas são torcedores do Santos. Se 21 pessoas do estado de São Paulo
são escolhidas ao acaso,
a) qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja Santista?
b) qual é a probabilidade de que no máximo duas sejam Santistas?
c) qual o número esperado de Santistas entre as 21 pessoas?
Seja a v.a. X = número de torcedores do Santos na amostra.
X binomial(21; 0.092)
a) P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (0.908)21 = 0.8682
b) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.6962
c) E = 21 0.092 = 1.932 2 torcedores
Função de probabilidade de uma v.a. contínua
Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua,
temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias.
Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua
X pode assumir é dado por I = { x R | k1 x k2 }, k1 < k2.
Como existem infinitos pontos no intervalo [k1, k2], não faz sentido
pensarmos na probabilidade de X assumir um valor x0 I, uma vez que
essa probabilidade será igual a zero.
Desta forma, para uma v.a. contínua,
P(X = x0) = 0.
No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um
valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a I:
P(a X b) ; P(X b); P(X a); etc…
Definição 1: Seja um função f(x) não negativa tal que
a) f(x) 0, x I;
b) 1)(I
dxxf ;
c) 0)(lim)(lim
xfxfxx
;
Então: P(a X b) = b
a
dxxf )(
A função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (fdp)
da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X e serve para descrever
a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.
A função de probabilidade f(x) pode ser aproximada pelo
histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura 2.
Definição 2: Seja um função F(x) tal que
x
duufxXPxF )()()( .
F(x) é chamada função de distribuição acumulada (fda) da v.a.
X, ou simplesmente função de distribuição.
Nota: Da definição de fdp segue-se que:
P(a X b) = b
a
dxxf )( = F(b) – F(a)
Exemplo: Seja uma v.a. X com fdp f(x) dada por
f(x) = ,2 xke x 0.
a) Para que valor de k, f(x) define uma f.d.p.?
De 12)(
0
dxedxxf xk,
fazendo w = kx, segue-se que dw = kdx.
Portanto,
122
22 0
000
ee
ke
kk
dwedxe wwxk
,
de onde se obtém: 12
k 2k .
b) Encontrar a fda
x
xux
u ee
duexF 2
0
2
0
2 12
22)(
.
Portanto, xexXPxF 21)()( .
Desta forma, podemos encontrar P(1 X 2) = F(2) – F(1), ou seja
P(1 X 2) = 421222 11 eeee = 0.1170.
Valor Esperado e Variância de uma v.a.
A-) O valor esperado, esperança ou média de uma variável
aleatória é definido por:
i) Se X é uma variável discreta: x
xpxXE )()(
ii) Se X é uma variável contínua: x
dxxfxXE )()(
Propriedades de Esperança:
a) x
xpxgXgE )()()( ou x
dxxfxgXgE )()()(
b) )()()( YbEXaEbYaXE e bXaEbaXE )()(
c) kkE )( , k constante.
B-) A variância de uma variável aleatória é definida por:
222)()()()( XEXEXEXEXVar ,
em que: x
xpxXE )()( 22 ou x
dxxfxXE )()( 22
Propriedades de Variância:
a) )()( 2 XVarabaXVar
b) 0)( kVar , k constante.
Exemplos:
1) Seja uma v.a. discreta com função de probabilidade
dada por: 32
10
1)(
k
xxp , k > 0 e x { –2, –1, 0, 2, 4 }:
a) Achar o valor de k para que p(x) seja uma função de
probabilidade;
b) Calcular o valor esperado de X ;
c) Calcular a variância de X;
d) Encontre P(–1 X < 4 );
e) Quais os valores de a e b para os quais (aX + b)
tenha média zero e variância um?
a) Achar o valor de k:
1)( x
xp 110
14
10
12
10
10
10
11
10
12
33333 22222
kkkkk
110
1
10
10
43 22
kk
110 42
k
042 k 2k
Desta forma: 10
1
10
1)(
322
xxxp ou 11.0)( xxp
x –2 –1 0 2 4
p(x) 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3
b) Valor esperado de X:
3.0)4(1.0)2(1.0)0(2.0)1(3.0)2()()( x
xpxXE
0.6)(XE
c) Variância de X:
x
xpxXE )()( 22
3.0)4(1.0)2(1.0)0(2.0)1(3.0)2( 22222
6.62.34.002.02.1
6.24 222 )6.0(6.6)()()( xEXEXVar
2.4980 24.6)(XDP
d) P(–1 X < 4 ) = 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4
e) 06.0)()( babXaEbaXE
124.6)()( 22 aXVarabaXVar 0.40024.6
1a
Assim, temos que: 0.240224.6
6.0b
Resultado:
Seja uma v.a. baXY , tal que )(
)(
XDP
XEXY
, então Y é
uma v.a. padronizada, tendo média 0 e variância 1.
2) Seja uma v.a. contínua com fdp dada por:
x
kxf )( , k > 0 e { x R | 0 < x 1 }:
a) Achar o valor de k para que f(x) seja uma densidade
de probabilidade;
b) Calcular o valor esperado de X ;
c) Calcular a variância de X;
d) Encontre a função distribuição acumulada de X;
e) Encontre P(X 1/2) e P(1/4 < X < 9/16);
f) Quais os valores de k1 e k2 tal que P(X k1) = 0.05 e
P(X k2) = 0.05?
a) Achar o valor de k:
x
dxxf 1)(
12/1
1
0
2/11
0
xkdx
x
k
1)01(2 k
12 k 2
1k
Logo: x
xf2
1)( , 0 < x 1 , é uma fdp.
b) Valor esperado de X :
1
0
1
022
)( dxx
dxx
xXE
3
1
2/32
11
0
2/3
x
3
1)( XE
c) Variância de X:
1
0
2/31
0
22
22)( dx
xdx
x
xXE
5
1
2/52
11
0
2/5
x
45
4
3
1
5
1)(
2
XVar
2981.045
4)( XDP
d) fda de X:
xu
duu
xF
xx
0
2/1
02/12
1
2
1)(
Logo:
1,1
10,
0,0
)(
x
xx
x
xF .
Figura: fdp e fda, respectivamente.
e) P(X 1/2) e P(1/4 X < 9/16):
i) 2
22/1)2/1()21( F/XP
ii) 4
1
2
1
4
3)4/1()16/9()1694/1( FF/XP
f) k1 e k2 tal que P(X k1) = 0.05 e P(X k2) = 0.05:
i) 05.0)( 11 kkXP 025.01 k
ii) 05.01)(1)( 222 kkXPkXP
95.02 k
9025.02 k
3) Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade
binomial(n, p). Calcular E(X) e Var(X).
4) Seja X uma v.a. contínua com fdp dada por:
/e
1)( xxf , > 0 e { x R }.
Calcular E(X) e Var(X).
O modelo acima é o modelo exponencial:
X exponencial()
E(X) =
Var(X) = 2
Obs: 1/ é a taxa de ocorrência:
O modelo exponencial também aparece na forma:
xxf e)( , > 0 e x R ( = 1/).
Mais Exemplos:
1) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que
E(X) = np e que Var(X) = np(1 – p).
Dessa forma, no exemplo das placas, como n = 10 e p = 0.01,
E(X) = 10(0.01) = 0.1 placas e
Var(X) = 10(0.01)(0.99) = 0.099
2) No exemplo da fabricação de pinos metálicos para
motores, como n = 80 e p = 0.025,
E(X) = 80(0.025) = 2 def./lote e
Var(X) = 80(0.025)(0.975) = 1.95.
3) Para o exemplo da v.a. contínua, em que f(x) = ,2 2xe
temos que:
0
2
0
2 22)( dxexdxexXE xx , int. por partes, 2
1)( XE .
0
22
0
222 22)( dxexdxexXE xx , e, integrando p.partes
2
1)( 2 XE , logo,
4
1)( XVar .
A distribuição de probabilidade Normal.
Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros
e 2 se a sua f.d.p. for:
,2
1 222
xexf x , e 02 .
Notação: X normal(; 2) ou X N(; 2).
As principais características da distribuição normal são:
a) X tem média E(X) = e variância Var(X) = 2;
b) f(x) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);
c) f(x) tem pontos de inflexão em ( – ) e ( + );
d) f(x) tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade
entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).
A função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal não pode
ser determinada uma vez que a integral
,2
1 222 dwexF
xw
não tem solução algébrica,
o que dificulta as coisas, pois temos de recorrer à programação numérica.
No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas:
Considere a v.a. normal padronizada, dada pela transformação linear
XZ .
Essa transformação padroniza a va X em relação ao seu desvio padrão,
além de centralizá-la na origem.
Desta forma, tem-se que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1.
Resultado: Seja X uma va com distribuição normal com média e
variância 2, então a variável Z tem distribuição normal padrão, com
média 0 e variância 1, ou seja: Z N(0; 1),
e a sua fdp é dada por: ,2
1 22zezf
z .
Nota: Com este resultado, basta construir uma tabela de probabilidades
para a distribuição normal padronizada que conseguimos as
probabilidades para uma va normal qualquer.
Exemplo: 1) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e
variância 16, ou seja, X N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:
a) P(X 225)
P(X 225) = 25.14
220225
4
220
ZP
XP = 0.8943
b) P(210 X 228)
P(210 X 228) =
4
220228
4
220
4
220210 XP
00.250.2 ZP
50.200.2 ZPZP 0.9773 – 0.0062 = 0.9711
c) Qual o valor de k tal que P(X k) = 0.01?
P(X k) =
4
220
4
220 kXP = 0.01,
Da tabela temos que 33.24
220
k k = 210.38
d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que
P(k1 X k2) = 0.95?
P(k1 X k2) =
4
220
4
220 21 kZ
kP = 0.95,
Da tabela temos que
4
220
4
220 21 kZP
kZP = 0.025, e,
96.14
2201 k
k1 = 212.16
Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então
96.14
2202 k
k2 = 227.84
Exemplo: 2) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma
tenha distribuição 36 40;N . Qual a probabilidade de que:
a) Um item produzido tenha dureza inferior a 28.7?
b) Um item produzido tenha dureza superior a 50.5?
c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos
itens produzidos tenham dureza entre 28 e 52. A especificação é
atendida?
a) P(X < 28.7)
P(X < 28.7) = 88.16
407.28
ZPZP = 0.0301
b) P(X > 50.5)
P(X > 50.5) = 75.116
405.50
ZPZP = 0.0401
c) P(28 < X < 52)
P(28 < X < 52) = 0.20.20.20.2 ZPZPZP
= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545
Exemplo: 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem
distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de
2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fixar a garantia do
produto de forma que, no máximo 5% dos televisores apresentem
problemas abaixo desse limite.
a) Encontre o limite de garantia? P(X < L) = 0.05
05.0675.2
35
LZP 645.1
675.2
35
L
L = 30.6 mil horas ( 3.5 anos)
b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para
reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser
reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido
em (a), o percentual de itens abaixo do limite garantia caia pela metade?
P(X < 30.6) = 0.025
025.0*
356.30
ZP 96.1
*
4.4
* = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)
Notação: Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então,
Z é tal que P(Z Z) =
Principais quantis da distribuição Normal
Quantil Z
= 0.005 0.5% Z0.005 = –2.575
= 0.01 1% Z0.01 = –2.33
= 0.025 2.5% Z0.025 = –1.96
= 0.05 5% Z0.05 = –1.645
= 0.10 10% Z0.1 = –1.28
= 0.5 50% ou x~ Z0.5 = 0
= 0.90 90% Z0.9 = 1.28
= 0.95 95% Z0.95 = 1.645
= 0.975 97.5% Z0.975 = 1.96
= 0.99 99% Z0.99 = 2.33
= 0.995 99.5% Z0.995 = 2.575
Obs: 1) Notem que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;
2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo
comando: qnorm(), 0 1.
Exemplo: 4) O diâmetro D (cm) de esferas usadas na fabricação
de um rolamento tem distribuição )106.25 0.614,( 6-N . Uma
esfera é classificada como “boa” se 618.0 0.610 D ;
“recuperável” se 610.0 0.608 D ou 620.00.618 D e como
“descarte” se 608.0D ou 620.0D . Quais as probabilidades
de uma esfera ser “boa”, “recuperável” e “descarte”?
P(“boa”) = P(0.610 D 0.618) =
0025.0
004.0
0025.0
004.0ZP
= P(Z 1.60) – P(Z –1.60)
= 0.9452 – 0.0548 = 0.8904
P(“rec”) = P(0.608 D < 0.610) + P(0.618 < D 0.620)
= [P(Z –1.60) – P(Z –2.40)]
+ [P(Z 2.40) – P(Z 1.60)]
= [0.0548 – 0.0082] + [0.9918 – 0.9452]
= 0.0466 + 0.0466 = 0.0932
P(“des”) = P(D < 0.608) + P(D > 0.620)
= P(Z –2.40) + [1 – P(Z 2.40)]
= 0.0082 + [1 – 0.9918] = 0.0164
Classificação boa recuperável descarte
probabilidade 0.8904 0.0932 0.0164
O fabricante deseja fixar limites de especificação (inferior e
superior) para o produto “bom” de tal forma que apenas 0.5%
dos rolamentos fiquem de fora. Quais devem ser esses limites?
P(k1 D k2) = 1 – 0.005
=
0025.0
614.0
0025.0
614.0 21 kZ
kP = 0.995
81.20025.0
614.00025.0
1
Zk
k1 = 0.607
Como k1 e k2 são simétricos em torno da média, então
81.20025.0
614.09975.0
2
Zk
k2 = 0.621
Logo, P(0.607 D 0.621) = 0.995
Considerando que cada esfera é produzida a um custo de R$
0.15 e vendido a R$ 0.25 por unidade, calcule o lucro esperado na
venda de 50 mil unidades do produto se cada peça recuperável
tem um custo adicional de R$ 0.05 de retrabalho.
Seja L o lucro na venda de uma esfera, então
Classificação boa recuperável descarte
probabilidade 0.8904 0.0932 0.0164
Custo C 0.15 0.15 + 0.05 0.15
Venda V 0.25 0.25 0
Lucro L 0.10 0.05 – 0.15
E(L) = 0.8904(0.10) + 0.0932(0.05) + 0.0164(– 0.15)
= R$ 0.09124/esfera
Em 50 mil esferas, temos:
50000 E(L) = 50000 (0.09124) = R$ 4.562,00
Obs: Pode-se, ainda, encontrar o lucro esperado fazendo
L = V – C E(L) = E(V) – E(C),
em que V é o valor da venda de uma esfera.
Como E(V) = R$ 0.2459/un. e E(C) = R$ 0.15466/un., então
E(L) = R$ 0.2459 – R$ 0.15466 = R$ 0.09124/un.
Exemplo: 5) Um produto é vendido em pacotes de um
quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é
normal com média 1005g e desvio padrão 12g.
a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g
abaixo da média?
b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no
máximo 2 estejam abaixo de 990g?
c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5%
dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve
diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido?
d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a
opção seria aumentar a média para atender a especificação.
De quanto deve ser a nova média?
e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se
espera aumentar a perda do empacotador em uma tonelada
do produto.
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS.
1. Uniforme Discreta: ocorre quando cada um dos k valores possíveis de uma va
discreta X tem mesma probabilidade.
f.d.p.: k
xXP1
)( kixxxx ki ,,2,1= ),,,,( 21 .
k
x
XE
k
ii
1)( 21
2
)()( XEk
x
XVar
k
ii
f.d.a.: k
xnxXPxXPxF
xxi
i
)()()(
,
onde )(xn é o número de valores x xi .
2. Bernoulli: a distribuição de Bernoulli ocorre quando a va discreta X assume apenas
dois valores: X = 1 (sucesso) ou X = 0 (fracasso), em que p = P(sucesso)
Notação: )(~ pBernoulliX
x 0 1 Total
p x 1 – p p 1
pXE )( )1()( ppXVar
obs: Cada experimento de uma va de Bernoulli é chamado ensaio de Bernoulli.
f.d.a.:
1 ,1
10 ),1(
0< ,0
)(
x
xp
x
xF , 10 p .
3. Binomial: Considere n ensaios de Bernoulli, independentes. Seja X a va que conta o
número de sucessos nesses n ensaios. Então X tem distribuição binomial com
parâmetros n e p.
X : número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, independentes.
Notação: ),(~ pnbinomialX .
f.d.p.: xnx ppx
nxXP
)1()( 100 pen,1,,x .
pnXE )( )1()( ppnXVar
f.d.a.:
xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
4. Hipergeométrica: Esta distribuição ocorre quando executamos extrações, sem
reposição, de uma população finita e verificamos a ocorrência de um dado evento.
Seja uma população de tamanho N, tal que m elementos dessa população apresentam
uma certa característica e (N – m) não a apresentam. Se selecionamos ao acaso n
elementos sem reposição, então a probabilidade de que nessa amostra existam
exatamente k elementos com a característica de interesse é:
X : número de elementos com a característica na amostra de tamanho n.
Notação: ),,(~ nmNHGX .
f.d.p.:
n
N
kn
mN
k
m
kXP )( ),min()(,0max nmkmNn .
N
mnXE )(
11)(
N
nN
N
m
N
mnXVar
f.d.a.:
xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
obs: Se N é grande, então a distribuição Hipergeométrica pode ser aproximada pela
distribuição binomial.
5. Geométrica: Ocorre quando contamos o número de ensaios de Bernoulli que
resultam em fracasso até a ocorrência do primeiro sucesso, em que psucessoP )( .
X : número de fracassos até a ocorrência do primeiro sucesso.
Notação: )(~ pgeométricaX .
f.d.p.: xppxXP )1()( 10e,2,1,0 px .
p
pXE
)1()(
2
)1()(
p
pXVar
f.d.a.: 1)1(1)1(1)()( xpxXPxXPxF
obs: A geométrica pode, ainda, ser definida pela contagem do número de ensaios até o
primeiro sucesso, sendo 1)1()( xppxXP , 10e,2,1 px .
6. Binomial Negativa ou Pascal: Se agora estamos interessados em contar o número
de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso, tal que P sucesso p , então a va X
tem distribuição binomial negativa com parâmetros r e p, e fp dada por:
X : número de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso.
Notação: ),(~ prBNX .
f.d.p.: xr ppr
xrxXP )1(
1)(
10 e 1 ,,2,1,0 prx .
p
prXE
)1()(
2
)1()(
p
prXVar
f.d.a.:
xx
i
i
xXPxXPxF )()()( .
Quando r = 1 temos a distribuição geométrica com parâmetro p.
obs: Da mesma forma como a geométrica, a distribuição binomial negativa pode ser
definida pela contagem do número de ensaios até o r-ésimo sucesso.
7. Poisson: a distribuição de Poisson ocorre quando contamos o número de eventos, de
um certo tipo, que ocorrem num intervalo de tempo, superfície ou volume, etc. . .
com taxa de ocorrência λ.
Notação: )(~ PoissonX .
f.d.p.: !
e)(
xxXP
x
0e,2,1,0 x .
)(XE )(XVar
f.d.a.:
xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
obs: A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando
n, p 0, com pn constante.
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS.
1. Uniforme: Seja X uma va continua com distribuição Uniforme no intervalo
] ; [ ba , a b< , então sua fdp é dada por:
Notação: ),(~ baUX .
f.d.p.:
bxax
bxaab
xf
>ou < se 0
se 1
)(
2
)(ba
XE
12
)()(
2abXVar
f.d.a.: ab
axxF
)( , bxa se
2. Normal: Uma va X tem distribuição normal com parâmetros e 2, 2 0 e
, se sua fdp é dada por:
Notação: ),(~ 2NX .
f.d.p.:
2
2
2
)(exp
2
1)(
xxf ,
0e
;
x.
)(XE 2)( XVar
f.d.a.: duufxFx
)()( . )(xF não tem solução algébrica e seus valores
devem ser obtidos por intermédio de tabela.
obs: Se Z é uma va tal que )(Xz , então Z tem distribuição Normal
Padronizada com média 0 e variância 1, ou seja, )1,0(~ NZ e sua f.d.p. é dada por:
f.d.p.: 22
e2
1)( zzf
, z .
3. Exponencial: Dizemos que uma va X tem distribuição exponencial, ou distribuição
dos tempos de vida, com parâmetro , 0, se a sua fdp é:
Notação: )(~ lexponenciaX .
f.d.p.:
0< se 0
0 se e1
)(
x
x
xf
x
)(XE 2)( XVar
f.d.a.: x
x
duufxF e1)()(0
.
obs: Para 1 temos a exponencial padrão com f.d.p. xxf e)( , se 0x .
4. Gama: Uma extensão da distribuição exponencial é dada pela distribuição gama
com parâmetros , 0, e sua fdp é dada por:
Notação: ),(~ gamaX .
f.d.p.:
0< se 0
0 se e)(
)(
1
x
xx
xf
x
onde dxx x
0
1e)( é chamada função gama.
)(XE
2)(
XVar
f.d.a.: duufxFx
)()( . )(xF não tem solução algébrica.
obs: Para 1 temos a distribuição exponencial com parâmetro /1 .
5. Qui-quadrado: Uma va X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade
se a sua fdp for:
Notação: 2~ nX .
f.d.p.:
0< se 0
0 se e
22
1
)(
212
2
x
xxn
xf
xn
n
nXE )( nXVar 2)(
obs: A distribuição qui-qaudrado é um caso especial da gama, para 2n e 21 .
6. t–Student: Uma va X tem distribuição t–Student com n graus de liberdade se tiver
fdp dada por:
Notação: ntX ~ .
f.d.p.:
212
1
2
2
1
)(
n
n
x
nn
n
xf , x .
0)( XE 2
)(
n
nXVar , 2n .
obs: Quando o valor de n é grande, a distribuição t-Student aproxima-se da )1,0(N .
7. F de Snedcor: Sejam 21 ~ mX e 2
2 ~ nX , independentes. A va W, definida por
nX
mXW
2
1 , tem distribuição F de Snedcor com m e n graus de liberdade, com fdp:
Notação: nmFY ,~ .
f.d.p.: ,
122
2)(
2)(
2)2(2
nm
mm
n
wm
w
n
m
nm
nm
wf
0w .
2
)(
n
nWE
)4()2(
)2(2)(
2
2
nnm
nmnXVar , 4n .