Experimento AleatórioExperimento Aleatório

• Experimento aleatórioExperimento aleatório é um procedimento é um procedimento cujo resultado écujo resultado é incerto incerto

– Exemplos:Exemplos:• Jogar uma moedaJogar uma moeda• Sortear um número inteiro de um a cemSortear um número inteiro de um a cem• Lançar um dadoLançar um dado

Espaço amostralEspaço amostral(ou de probabilidades)(ou de probabilidades)

• O conjunto de O conjunto de todos os possíveis resultadostodos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o de um experimento aleatório é o espaço espaço

amostral amostral (S)(S)– Jogar uma moedaJogar uma moeda

• S = {cara, coroa}S = {cara, coroa}– Sortear um número inteiro de um a cemSortear um número inteiro de um a cem

• S = {1,2,...,100}S = {1,2,...,100}– Lançar um dadoLançar um dado

• S = {1,2,3,4,5,6}S = {1,2,3,4,5,6}

EventoEvento

• EventoEvento é qualquer é qualquer subconjuntosubconjunto do espaço do espaço amostralamostral– E = {cara} E = {cara} (sortear cara)(sortear cara)– E = {25, 27, 26} E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28)(sortear no. entre 24 e 28)– E = {3, 5, 1} E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no (lançar no. impar no

dado)dado)

União de eventosUnião de eventos

• Ocorre quando pelo menos um dos eventos Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorreA e B ocorre

A A B B

Interseção de EventosInterseção de Eventos

• Ocorre quando os dois eventos A e B Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamenteocorrem simultaneamente

A A B B

Complemento do eventoComplemento do evento

• Ocorre quando não ocorre o evento aOcorre quando não ocorre o evento a

A’A’

Eventos mutuamente excludentesEventos mutuamente excludentes

A e B são eventos mutuamente excludentes se a A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica ocorrência de um deles ocorre, implica

necessariamente na não-ocorrência do outronecessariamente na não-ocorrência do outro(i.e., não há elementos comuns entre eles)(i.e., não há elementos comuns entre eles)

•Exemplo: os resultados Exemplo: os resultados caracara e e coroacoroa ao ao jogar uma moeda.jogar uma moeda.

Probabilidade (objetiva)Probabilidade (objetiva)

• Proporção de ocorrência de um eventoProporção de ocorrência de um evento

• Freqüência relativa: Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis)(resultados favoráveis) / (resultados possíveis)

• Assume valores entre 0 e 1Assume valores entre 0 e 1

Probabilidade (subjetiva)Probabilidade (subjetiva)

• Interpretação subjetiva: é uma estimativa do Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento.de ocorrência de um evento.– Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas

próximas 24 horaspróximas 24 horas

Probabilidade da UniãoProbabilidade da União

• Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(A A B) =0 B) =0

P(A P(A B) = P(A) + P(B) B) = P(A) + P(B)

• Eventos não excludentesEventos não excludentes

P(A P(A B) = P(A) + P(B) - P B) = P(A) + P(B) - P((A A B) B)

Probabilidade do complementoProbabilidade do complemento

• Complemento de A: qualquer evento que Complemento de A: qualquer evento que não seja Anão seja A

P(não A) = 1 – P(A), ouP(não A) = 1 – P(A), ou

P(A’) = 1 – P(A)P(A’) = 1 – P(A)

Probabilidade CondicionadaProbabilidade Condicionada

• Probabilidade de um evento A, dado que Probabilidade de um evento A, dado que

aconteceu um outro evento Baconteceu um outro evento B

P(A P(A | B) = | B) = PP((A A B) / P(B) B) / P(B)

Probabilidade da InterseçãoProbabilidade da Interseção

• Ocorrência simultânea de A e BOcorrência simultânea de A e B

PP((A A B) = P(A B) = P(A | B) * P(B)| B) * P(B)

Eventos independentesEventos independentes• A e B são A e B são independentesindependentes se a ocorrência de um deles se a ocorrência de um deles

não altera a probabilidade de ocorrência do outro. não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente:Formalmente:

P(A P(A | B) = | B) = PP((A)A)• Pela expressão anterior, se A e B são independentes:Pela expressão anterior, se A e B são independentes:

PP((A A B) = P(A).P(B) B) = P(A).P(B)– Note que neste caso A Note que neste caso A B denota a possibilidade B denota a possibilidade

de ocorrência simultânea dos dois eventosde ocorrência simultânea dos dois eventos

Exercício:Exercício:Cálculos com probabilidadeCálculos com probabilidade

União e interseção de eventos; União e interseção de eventos; probabilidade condicionalprobabilidade condicional

Exercício em planilha de cálculoExercício em planilha de cálculo

Variável aleatóriaVariável aleatória

• O resultado de um experimento aleatório é O resultado de um experimento aleatório é designado designado variável aleatóriavariável aleatória (X) (X)

Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

A função A função densidade de probabilidadedensidade de probabilidade associa associa cada possível cada possível valorvalor da variável aleatória (X) da variável aleatória (X)

à sua à sua probabilidadeprobabilidade de ocorrência P(X) de ocorrência P(X)

Tipos de Variável AleatóriaTipos de Variável Aleatória

• Variável aleatória Variável aleatória discretadiscreta– Os resultados possíveis são Os resultados possíveis são finitosfinitos e podem ser e podem ser

enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.)enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.)• Variável aleatória Variável aleatória contínuacontínua

– Os resultados possíveis são Os resultados possíveis são infinitosinfinitos e não e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)

Cálculos com distribuições de Cálculos com distribuições de probabilidadeprobabilidade

•Distribuição binomialDistribuição binomial•Distribuição normalDistribuição normal

Distribuição Binomial (discreta)Distribuição Binomial (discreta)

• De cada 5 clientes que entram numa certa De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra.loja, 2 realizam uma compra.

P(compra) = P(C) = 0,40P(compra) = P(C) = 0,40• Qual a probabilidade dos dois primeiros Qual a probabilidade dos dois primeiros

clientes realizarem compras?clientes realizarem compras?S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}

Binomial: forma geralBinomial: forma geral

• E se quisermos saber as probabilidades de E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros?dos 100 primeiros?

P(x) = CP(x) = Cn, x n, x ppxx q q(n-x)(n-x)

Onde COnde Cn,xn,x = n! / (x!(n-x)!) = n! / (x!(n-x)!)

p = probabilidade de sucessop = probabilidade de sucessoq = (1 –p) = probabilidade de insucessoq = (1 –p) = probabilidade de insucesso

Binomial: parâmetrosBinomial: parâmetros

• Para uma variável com probabilidade de Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas:sucesso p, em n tentativas:

• MédiaMédia = np = np

• Desvio-padrãoDesvio-padrão = (npq) = (npq)1/21/2

Exercício:Exercício:distribuição binomialdistribuição binomial

Funções de planilha:Funções de planilha:Função DISTRBINOMFunção DISTRBINOM

Distribuição NormalDistribuição Normal

Distribuição NormalDistribuição NormalDistribuição Normal

Prob

abili

dade

média=moda=mediana

Distribuição NormalDistribuição Normal

• Expressão formalExpressão formal

2

2 21exp

21)(

xxp

Distribição Normal: propriedadesDistribição Normal: propriedades

• Área total sob a curva é 1Área total sob a curva é 1• Cálculos de probabilidades dentro de Cálculos de probabilidades dentro de

intervalos (distr. Contínua)intervalos (distr. Contínua)• P(a P(a X X b) é a área sob a curva entre a e b b) é a área sob a curva entre a e b• Distribuição simétrica:Distribuição simétrica:

– P(X P(X a) = P(X a) = P(X -a) -a)– P(X<P(X<μμ) = 0,50 = 50%) = 0,50 = 50%

Distribição Normal: mais propriedadesDistribição Normal: mais propriedades

• P(a P(a X X b) = P(X b) = P(X b) - P(X b) - P(X a) a)– FiguraFigura

• Maior concentração de freqüências no Maior concentração de freqüências no centro da distribuiçãocentro da distribuição

• Cálculo das probabilidades notáveis sob a Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORMcurva normal: função DIST.NORM– (11dist.prob)(11dist.prob)

Distribuição Normal

0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45

-3dp

-2dp

-1dp

méd

ia

+1dp

+2dp

+3dp

Prob

abili

dade

68%

95%

Normal ReduzidaNormal Reduzida• Antes dos aplicativos de estatística, cálculos Antes dos aplicativos de estatística, cálculos

da distribuição normal eram feitos com uma da distribuição normal eram feitos com uma tabelatabela

• Essa tabela dava os valores da Essa tabela dava os valores da normal normal reduzida ou padronizadareduzida ou padronizada– Média zeroMédia zero– Variância e desvio-padrão 1Variância e desvio-padrão 1

• Hoje a normal reduzida não é mais tão Hoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveisnotáveis

Distribuição Normal Padronizada

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prob

abili

dade

Normal ReduzidaNormal Reduzida

ExercícioExercício

• Braule: 11exercícios BrauleBraule: 11exercícios Braule• Cálculo das probabilidades notáveis sob a Cálculo das probabilidades notáveis sob a

curva normal: função DIST.NORMcurva normal: função DIST.NORM