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Camyla Moreno

ProbabilidadeParte 1

Probabilidade

A teoria das probabilidades é um ramo da

Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos

para estudar experimentos ou fenômenos

aleatórios.

Principais assuntos abordados em probabilidade:

• Porcentagens;

• Conjuntos;

• Análise Combinatória.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Espaço amostral: é o conjunto formado por

todos os resultados possíveis de um

determinado experimento ou fenômeno.

No experimento aleatório “lançar um dado e

registrar o seu resultado”, temos:

• Espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Espaço Amostral

Quando um evento coincide com o espaço

amostral, ele é chamado evento certo.

Quando um evento é vazio, ele é chamado evento

impossível.

E quando a intersecção de dois eventos é o

conjunto vazio, eles são chamados eventos

mutuamente exclusivos.


Evento

Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Considere o experimento aleatório lançamento de um dado e observação do número voltado pra cima.

O espaço amostral será Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

- Evento certo: É o próprio espaço amostral.

Ex.: evento A ocorrência de número menor que 8.

A= (1,2,3,4,5,6)

- Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.

Ex.: evento B ocorrência de número maior que 10.

B=


Evento

- Evento união: É a união de dois eventos.

Ex.: Evento A, ocorrência de um número ímpar

A=1,3,5

Evento B, ocorrência de um número par primo

B= 2

Logo, o evento A∪B ocorrência de um número ímpar ou número par primo

A∪ 𝐁= 1,2,3,5


Evento

A= 1,3,5

B= 2

A∪ 𝐁= 1,2,3,5

- Evento interseção: É a interseção de dois eventos.

Ex.: evento A ocorrência de um número par

A= 2,4,6

evento B ocorrência de um número múltiplo de 4

B= 4]

evento A∩ B ocorrência de um número par e múltiplo de 4


Evento

A= 2,4,6

B= 4]

A ∩ B= 4

- Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que

contêm conjuntos disjuntos.

Ex.: evento D ocorrência de um número par

evento E ocorrência de um número ímpar


Evento

D= 2,4,6

E= 1,3,5

D∩E=

No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o

espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma

cara; B: ocorrência de coroa em ambas; C: ocorrência de pelo

menos uma cara.


1- Exercício

Espaço amostral: Ω = cara, cara; cara, coroa; coroa,

coroa; coroa, cara;

evento A: A = cara, coroa; coroa, cara

evento B: B = coroa, coroa;

evento C: C = cara, cara; cara, coroa; coroa, cara.


1-Solução

Quando p(A) = 0, A é um evento impossível

Quando p(A) = 1, A é um evento certo


Cálculo das probabilidades

p(A) = número de elementos de A

números de elementos de Ω=

𝑛(𝐴)

𝑛(Ω)

ou

p(A) = número de 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠

números 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝ó𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠

0 ≤ p(A) ≤ 1

No lançamento de um dado perfeito, qual é a

probabilidade de sair número maior do que 4?

a) 66%

b) 50%

c) 33%

d) 100%

e) Não existe essa probabilidade


2- Exercício

Resolução:

Espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) =

6;

A: “ocorrência de número maior do que 4” → A

= 5, 6 n(A) = 2;

Logo, p(A) = n(A)n(Ω)

= 2

6=

1

3= 33,333... %.


2- Solução

Enem 2015- Em uma central de atendimento, cem pessoas

receberam senhas numeradas de 1 a 100. Uma das senhas

é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha

sorteada ser um número de 1 a 20?

a)1

100

b)19

100

c)20

100

d)21

100

e)80

100


3- Exercício

Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Qual é a

probabilidade de que todas as crianças sejam do

mesmo sexo?

a) 75,00%

b) 12,50%

c) 50,00%

d) 37,50%

e) 25,00%


4- Exercício

Dica: Para resolver essa

questão é interessante

desenhar um diagrama de

árvore para mostrar todos os

possíveis arranjos de meninos e

meninas.


4- Solução

1ª propriedade: Impossibilidade ou p() = 0

Como um evento qualquer A (A ) pode ser escrito

como A e como A = , podemos aplicar a

propriedade P3 e temos:

p(A) = p(A ) = p(A) + p() p() = 0


Propriedades

2ª Propriedade: Probabilidade do evento

complementar

Observe que sendo a notação para “Complementar

de A”, temos:

Aplicando P2 e P3 temos:


Propriedades

OA Ae ΩAA

)Ap(Ap(Ω )

p(A)1ApApp(A)1

A

3ª propriedade: Probabilidade da união de dois

eventos

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)

A intersecção foi contada

duas vezes. Por isso sub-

traímos p(A B), para que

a contagem fique certa.


Propriedades

A B

A B

No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos

distinguíveis, qual é a probabilidade de não sair soma

5?

Nesse caso, o espaço amostral tem 36 elementos:

= (1, 1), (1, 2), (1, 3), ...,(6, 5), (6, 6)


5- Exercício

Seja A o evento “sair soma 5”;

A = (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) n(A) = 4

p(A) =n(A)n()

4

36

1

9

p(ഥA) = 1 - p(A) 1 -1

9=

9 −1

9=

𝟖

𝟗

A probabilidade de não sair soma 5 é𝟖

𝟗.


5- Solução

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