Probabilidade
A teoria das probabilidades é um ramo da
Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos
para estudar experimentos ou fenômenos
aleatórios.
Principais assuntos abordados em probabilidade:
• Porcentagens;
• Conjuntos;
• Análise Combinatória.
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Espaço amostral: é o conjunto formado por
todos os resultados possíveis de um
determinado experimento ou fenômeno.
No experimento aleatório “lançar um dado e
registrar o seu resultado”, temos:
• Espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
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Espaço Amostral
Quando um evento coincide com o espaço
amostral, ele é chamado evento certo.
Quando um evento é vazio, ele é chamado evento
impossível.
E quando a intersecção de dois eventos é o
conjunto vazio, eles são chamados eventos
mutuamente exclusivos.
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Evento
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Considere o experimento aleatório lançamento de um dado e observação do número voltado pra cima.
O espaço amostral será Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Evento certo: É o próprio espaço amostral.
Ex.: evento A ocorrência de número menor que 8.
A= (1,2,3,4,5,6)
- Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.
Ex.: evento B ocorrência de número maior que 10.
B=
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Evento
- Evento união: É a união de dois eventos.
Ex.: Evento A, ocorrência de um número ímpar
A=1,3,5
Evento B, ocorrência de um número par primo
B= 2
Logo, o evento A∪B ocorrência de um número ímpar ou número par primo
A∪ 𝐁= 1,2,3,5
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Evento
A= 1,3,5
B= 2
A∪ 𝐁= 1,2,3,5
- Evento interseção: É a interseção de dois eventos.
Ex.: evento A ocorrência de um número par
A= 2,4,6
evento B ocorrência de um número múltiplo de 4
B= 4]
evento A∩ B ocorrência de um número par e múltiplo de 4
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Evento
A= 2,4,6
B= 4]
A ∩ B= 4
- Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que
contêm conjuntos disjuntos.
Ex.: evento D ocorrência de um número par
evento E ocorrência de um número ímpar
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Evento
D= 2,4,6
E= 1,3,5
D∩E=
No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o
espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma
cara; B: ocorrência de coroa em ambas; C: ocorrência de pelo
menos uma cara.
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1- Exercício
Espaço amostral: Ω = cara, cara; cara, coroa; coroa,
coroa; coroa, cara;
evento A: A = cara, coroa; coroa, cara
evento B: B = coroa, coroa;
evento C: C = cara, cara; cara, coroa; coroa, cara.
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1-Solução
Quando p(A) = 0, A é um evento impossível
Quando p(A) = 1, A é um evento certo
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Cálculo das probabilidades
p(A) = número de elementos de A
números de elementos de Ω=
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
ou
p(A) = número de 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
números 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝ó𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠
0 ≤ p(A) ≤ 1
No lançamento de um dado perfeito, qual é a
probabilidade de sair número maior do que 4?
a) 66%
b) 50%
c) 33%
d) 100%
e) Não existe essa probabilidade
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2- Exercício
Resolução:
Espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) =
6;
A: “ocorrência de número maior do que 4” → A
= 5, 6 n(A) = 2;
Logo, p(A) = n(A)n(Ω)
= 2
6=
1
3= 33,333... %.
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2- Solução
Enem 2015- Em uma central de atendimento, cem pessoas
receberam senhas numeradas de 1 a 100. Uma das senhas
é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha
sorteada ser um número de 1 a 20?
a)1
100
b)19
100
c)20
100
d)21
100
e)80
100
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3- Exercício
Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Qual é a
probabilidade de que todas as crianças sejam do
mesmo sexo?
a) 75,00%
b) 12,50%
c) 50,00%
d) 37,50%
e) 25,00%
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4- Exercício
Dica: Para resolver essa
questão é interessante
desenhar um diagrama de
árvore para mostrar todos os
possíveis arranjos de meninos e
meninas.
1ª propriedade: Impossibilidade ou p() = 0
Como um evento qualquer A (A ) pode ser escrito
como A e como A = , podemos aplicar a
propriedade P3 e temos:
p(A) = p(A ) = p(A) + p() p() = 0
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Propriedades
2ª Propriedade: Probabilidade do evento
complementar
Observe que sendo a notação para “Complementar
de A”, temos:
Aplicando P2 e P3 temos:
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Propriedades
OA Ae ΩAA
)Ap(Ap(Ω )
p(A)1ApApp(A)1
A
3ª propriedade: Probabilidade da união de dois
eventos
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
A intersecção foi contada
duas vezes. Por isso sub-
traímos p(A B), para que
a contagem fique certa.
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Propriedades
A B
A B
No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos
distinguíveis, qual é a probabilidade de não sair soma
5?
Nesse caso, o espaço amostral tem 36 elementos:
= (1, 1), (1, 2), (1, 3), ...,(6, 5), (6, 6)
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5- Exercício
Seja A o evento “sair soma 5”;
A = (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) n(A) = 4
p(A) =n(A)n()
4
36
1
9
p(ഥA) = 1 - p(A) 1 -1
9=
9 −1
9=
𝟖
𝟗
A probabilidade de não sair soma 5 é𝟖
𝟗.
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5- Solução