[notas de aula] pesquisa operacional

8/18/2019 [Notas de Aula] Pesquisa Operacional

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAESESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇ ÃO

NOTAS DE AULA

MATERIAL UTILIZADO NA DISCIPLINA

EPD072 - PESQUISA OPERACIONAL I

** MATERIAL EM PREPARAÇ ÃO **

*** ESTE MATERIAL N ÃO É SUFICIENTE PARA O CURSO ****** CONSULTAR A BIBLIOGRAFIA INDICADA ***

PROF. CARLOS ROBERTO VEN ÂNCIO DE CARVALHODEP - EE UFMG

AGOSTO DE 2015


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Sumário

1 Modelagem de problemas 2

1.1 Análise de atividades (escolha de produ¸cão) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Planejamento de produção I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Planejamento de Produção II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Planejamento de Produção III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Planejamento de Produção IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.5 Fabricação de materiais compostos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.6 Planejamento de propagandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.7 Planejamento agŕıcola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Alocação de recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Alocação de Recursos de Produção I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Alocação de Recursos de Produção II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Alocação de Recursos de Produção III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Análise de alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Análise de Investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Alternativas antipoluição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Problema da Dieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 O Problema do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Custos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

ii


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SUM ÁRIO iii

1.5.2 Maximização de lucros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 Distribuição de produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 O Problema da Designação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Seleção de Homens-Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2 Seleção de Homens-Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.3 Problema de alocação capacitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Programa¸ cão Linear 15

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Denições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Programa linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Solução, solução viável e solução ótima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Varíaveis de folga e varíaveis de excesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Resolução gráca, região de viabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Antes do Método Simplex: sistemas de equa¸cões lineares . . . . . . . . . 24

2.4.2 Solução básica e Solução ótima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3 Forma padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.4 Forma canônica e solução básica inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.5 Método Simplex: resolução de um programa linear . . . . . . . . . . . . 37

2.4.6 O Método Simplex para a forma padr̃ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.7 Diculdades na execu¸cão do método simplex . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.7.1 Empate para a varíavel que entra na base . . . . . . . . . . . 45

2.4.7.2 Empate para a varíavel que sai da base - Degenera¸cão . . . . . 45

2.4.7.3 Inexistência da variável que sai da base . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.7.4 Soluções ótimas mú l t ip las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.8 Adaptação para outras formas de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Prof. Carlos Roberto Venˆancio de Carvalho Agosto de 2015 - DEP EE UFMG


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SUM ÁRIO iv

2.4.8.1 Função objetivo de minimização . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.8.2 Restri̧cão do tipo igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.8.3 Restri̧cão do tipo maior ou igual . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.8.4 Lado direito negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.8.5 Varíaveis com limite inferior negativo . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.8.6 Varíaveis no conjunto dos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.9 Eliminação das variáveis articiais - Método Simplex de Duas Fases . . . 50

2.4.10 Resumo dos tipos de solu¸cões de um Programa Linear . . . . . . . . . . 51

2.5 Um exemplo resolvido pelo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Resolução gráca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.3 Solução pelo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.1 Exerćıcio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.2 Resolução gráca I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6.3 Solução gráca II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6.4 Solução gráca III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6.5 Sistema de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.6 Iteração Simplex - Forma padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.7 Iteração Simplex - Forma qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.8 Modelo na forma padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.9 Simplex de duas fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.6.10 Resolução pelo método simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.11 Identicação de tipos de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.12 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6.12.1 Tipos de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6.12.2 Iteração do simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68



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SUM ÁRIO vi

3.7.4 Problema da designação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Fundamentos da ́algebra linear 874.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.1 Algumas matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.1.1 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1.2 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1.3 Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1.4 Matriz Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1.5 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1.6 Matriz Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.2 Operações simples com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2.1 Adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2.2 Produto por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2.3 Produto entre matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.3 Operações elementares de linhas e de colunas de matrizes . . . . . . . . 91

4.2.4 Operações elaboradas com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4.1 Submatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4.2 Transposição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4.3 Matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4.4 Particionamento de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.4.5 Determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.4.6 Matriz Quadrada Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.4.7 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.4.8 Posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.4.9 Base de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



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SUM ÁRIO vii

4.3 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 Vetor iésima coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2 Operações com vetores, produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2.1 Adição (soma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2.2 Multiplicação (produto) por um escalar . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2.3 Produto Interno de Rn (ou Produto Interno Euclidiano de Rn ) 97

4.3.3 Vetores e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.4 Vetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.5 Suporte de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.6 Norma Euclidiana de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.7 Distância entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.8 Desigualdade de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.9 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.9.1 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.9.2 Dependencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.10 Combinação Am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.11 Combinação Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4 Espaços Vetoriais - Hiperespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4.1 Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.2 Conjunto gerador de um espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.3 Base de um espaço eucl idiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.4 Base ortogonal de um espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.5 Base canônica de um espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Geometria de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.1 Reta e segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.2 Hiperplanos e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.3 Semi-espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109



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SUM ÁRIO viii

4.5.4 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.5.5 Esferas e bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5.6 Direções e Raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.6 Noções de Topologia em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.1 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.2 Fronteiras de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.6.3 Convergencia a um limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.7 Análise Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.7.1 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.7.2 Conjunto Poliedral Convexo - Políedro convexo . . . . . . . . . . . . . . 114

4.7.3 Ponto Extremo de um poliedro convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.7.4 Cone Convexo e Cone Poliedral Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7.5 Raios Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7.6 Representação de um conjunto poliédrico convexo . . . . . . . . . . . . 118

4.8 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8.1 Eliminação de Fourier-Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8.2 Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.1 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.2 Combinação convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.3 Politopo convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.10 Exećıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.10.1 Ponto extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Álgebra da Programa¸ cão Linear 122

5.1 Interpretação algébrica do método simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Dualidade 128



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SUM ÁRIO ix

6.1 Denições em dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2 Teoremas em dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.3 Consequências do teorema da folga complementar . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4 Interpretação econômica do dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5 Algoritmo Dual-Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.5.1 Inicialização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.5.1.1 Método PRIMAL-SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.5.1.2 Método DUAL-SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.5.2 Regra de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.5.3 Iterações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.5.3.1 Método PRIMAL-SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.5.3.2 Método DUAL-SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.6 Um Método Primal/Dual-Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.1 Dualidade I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.2 Dualidade II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.3 Solução Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.4 Dualidade III - O proplema do transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.5 Dualidade IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7.6 Algoritmo Dual-Simlex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.6.1 Solução gráca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.6.2 Pivoteamento do Método Dual-Simplex . . . . . . . . . . . . . 1476.7.6.3 Algoritmo Primal/Dual-Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.7 Algoritmo Dual-Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.8 Iteração do Dual Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.7.9 Teorema da Folga complementar I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.7.10 Teorema da Folga complementar II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148



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SUM ÁRIO 1

6.7.11 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.7.12 Formulação Primal - Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.7.12.1 Formulação Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.7.12.2 Formulação Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7 Análise de sensibilidade (p´ os-otimiza¸cão) 151

7.1 Mudança no valor dos coecientes c j (c j muda para c′ j ) . . . . . . . . . . . . . 151

7.1.1 Mudança de c j quando x j é variável básica . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.1.2 Mudança de c j quando x j não é variável básica . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2.1 Coecientes c j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2.2 Coecientes bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2.3 Análise de pós-otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8 Relaxa ção Lagrangeana 156



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Caṕıtulo 1

Modelagem de problemas

1.1 Análise de atividades (escolha de produ¸ cão)

1.1.1 Planejamento de produ¸ cão I

Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de quatrode seus produtos, designados por I, II, III e IV. Para fabricar esses quatro produtos, ela utilizadois tipos de máquinas (M1 e M2) e dois tipos de mão-de-obra (MO1 e MO2) que têm as

disponibilidades conforme os dados das tabelas (6.2).Máqs. tempo dispońıvel

(horas-m áquinas/mês)M1 80M2 20

Mão-detempo dispońıvelobra (homens-hora/mês)MO1 120MO2 160

Tabela 1.1: Disponibilidade de recursos

O setor técnico da empresa fornece os dados de produtividade, conforme as tabelas (6.3), para

produzir uma unidade de cada produto.

Máq ProdutosI II III IV

M1 5 4 8 9M2 2 6 - 8

Mão-de- Produtosobra I II III IVMO1 2 4 2 8MO2 7 3 - 7

Tabela 1.2: Utiliza¸cão de recursos

2


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1.1.2 - Planejamento de Produç ão II 3

O setor comercial da empresa fornece as informa¸cões referentes ao pontencial de vendas de aolucro unitário de cada produto, mostrado pela tabela (6.4).

Produtos Potencial de Vendas Lucro Unit´ ario(unidades/mês) (R$/unidades)

I 70 10,00II 60 8,00III 40 9,00IV 20 7,00

Tabela 1.3: Informa ções comerciais

Deseja-se saber a produção mensal dos produtos I, II, III e IV para que o lucro mensal da empresa,proveniente desses quatro produtos, seja máximo. Formule um modelo de programa¸cão linearque expresse o objetivo e as restri¸cões desta empresa.

1.1.2 Planejamento de Produ¸ cão II

O gerente James Thoreau, da Companhia Petropaulo, deseja encontrar a combinação ótima dedois posśıveis processos de mistura. Para o processo 1, uma entrada unit́aria de um barril deÓleo cru A e três barris de Óleo cru B produz uma sáıda de 50 galões de Gasolina X e 20 galõesde Gasolina Y. Para o Processo 2, uma entrada unit́aria de quatro barris de Óleo cru A e dois

barris de Óleo cru B produz uma sáıda de 30 galões de Gasolina X e 80 galões de GasolinaY. A quantidade máxima de Óleo cru A dispońıvel é 120 barris, e de Óleo cru B, 180 barris.Compromissos de vendas exigem que pelo menos 2.800 galões de Gasolina X e 2.200 galõesde Gasolina Y sejam produzidos. Os lucros unitários de Processo 1 e Processo 2 são p1 e p2 ,respectivamente.

Formule esse problema de mistura como um modelo de programa¸cão linear.

1.1.3 Planejamento de Produ¸ cão III

O gerente industrial de uma companhia siderúrgica deve decidir quantos quilos de a¸co puro equantos quilos de sucata de metal usar para fabricar uma pe¸ca fundida de liga para um de seusclientes. Suponha que o custo por quilo de a¸co puro seja 3 u.m. e o custo por quilo de sucatade metal seja 6 u.m. (que é maior porque as impurezas devem ser retiradas). O pedido docliente é expresso como uma necessidade de pelo menos cinco quilos, mas o cliente está dispostoa comprar uma quantidade maior se o gerente exigir um lote de produ¸cão maior.

Suponha que o fornecimento de aço puro seja limitado a quatro quilos e o de metal a setequilos. A relação de sucata para aço puro não pode exceder 7/ 8. As instalações industriais têm



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1.1.4 - Planejamento de Produç ão IV 4

dispońıveis somente 18 horas de tempo de processamento industrial (fundi¸cão e moldagem); umquilo de aço puro requer 3 horas de processamento industrial, enquanto que um quilo de sucatarequer duas horas.

Construa um modelo matemático para representar a situação acima.

1.1.4 Planejamento de Produ¸ cão IV

Uma empresa local de produtos manufaturados fabrica quatro tipos diferente de artigos metálicos,cada um dos quais deve ser usinado, polido e montado. As necessidades espećıcas de tempo detrabalho (em horas) de cada um dos produtos são dadas na tabela abaixo:

usinagem polimento montagemproduto I 3 1 2produto II 2 1 1produto III 2 2 2produto IV 4 3 1

Tabela 1.4: Informa ções comerciais

A empresa dispõe semanalmente de 480 horas de tempo de usinagem, 400 horas de tempo depolimento e 400 horas de tempo de montagem. Os lucros unitários sobre os produtos são 6, 4, 6e 8 Reais, respectivamente. A empresa rmou um contrato com um distribuidor para fornecer-lhesemanalmente 50 unidades do produto I e 100 unidades de qualquer combina¸cão dos produtosII e III. Por intermédio de outros clientes a empresa pode vender semanalmente tantas unidadesquanto produza dos produtos I, II e III, mas apenas um máximo de 25 unidades do artigo IV.Quantas unidades de cada artigo a empresa deve manufaturar semanalmente a m de atenderas obrigações contratuais e maximizar seu lucro total? Admita que pe¸cas inacabadas em umasemana possam ser completadas na semana seguinte. Construa um modelo que represente asituação acima.

1.1.5 Fabrica¸ cão de materiais compostos I

(Goldbarg e Luna)

Um setor de uma companhia siderúrgica produz, entre outros produtos secundários, dois tipos deligas metálicas: Liga I (baixa resistência) e Liga II (alta resistência). A composi¸cão quı́mica decada tipo de liga (em porcentagem), as quantidades de matérias prima dispońıveis (em toneladas)e o preço de mercado de cada tipo de liga (Reais por toneladas) são mostrados na tabela abaixo.



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1.1.6 - Planejamento de propagandas 5

Liga I Liga II Mat́eria prima(%) (%) dispońıvel (ton)

Cobre 0,5 0,2 16Zinco 0,25 0,3 11Chumbo 0,25 0,5 15Pre ço de venda(R$ por ton) 3.000 5.000

Como engenheiro responsável pelo setor e conhecendo estes dados, que tipo de decisão vocêtomaria?

1.1.6 Planejamento de propagandas

(Wagner)

A Rede Mundo de Televisão quer estabelecer pre¸cos competitivos mas lucrativos para o tempode comerciais. A seguinte versão é uma versão simplicada de seu problema de pre¸cos. Suponhaque haja três classicações para o tempo de propaganda da rede: horário nobre noturno, horárioda tarde em dia de semana e em sábado/domingo (antes das 18 horas). Sejam p1 , p2 e p3 opreço por minuto para cada uma destas faixas de horário, respectivamente.

A rede vende grandes espa¸cos de tempo a K grandes anunciantes que têm um efeito signicativona determinação dos preços. A rede sabe que o Anunciante k quer comprar um pacote consistindoem a1 k , a2 k e a3 k minutos nas três faixas de horário e deseja pagar até Ak Reais por este pacote. Arede também vende tempo a muitos anunciantes menores e calcula que, no total, ela pode venderM 1 , M 2 e M 3 minutos de horário nobre, de dia de semana e de m de semana, respectivamente,desde que seus preços não violem os limites de gstos Ak dos K grandes anunciantes.

1. Formule o problema de pre¸cos coo um modelo de programa¸cão linear.

2. Suponha que a Rede Mundo deseje saber se ela deve considerar satisfazer a todos menos um

dos limites de gastos de seus maiores anunciantes. Como você analisaria esta possibilidade?

1.1.7 Planejamento agŕıcola

Uma cooperativa agŕıcola opera 3 fazendas. A produ¸cão total por fazenda depende fundamental-mente da área dispońıvel para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversicarsua produção de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura: milho, arroz e feijão. Cadatipo de cultura demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conito no uso das



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1.2 - Aloca ç ão de recursos 6

colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabelecem-se limites de área de plantio decada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, acordou-se que a propor¸cãode área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As tabelas 1.5 e 1.6 resumem osdados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de produção que dena a área decada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a maximizar o lucro total da produ¸cãoda cooperativa.

Fazenda área dispońıvel água disponı́vel(ares) (litros)

1 400 18002 650 22003 350 950

Tabela 1.5: Área e água dispońıveis por fazenda

Cultura área máxima consumo de água lucro(ares) (litros/are) (R$/are)

milho 660 5,5 5000arroz 880 4 4000feijão 400 3,5 1800

Tabela 1.6: Consumo de água, área de cultivo e lucro por cultura

1.2 Aloca¸ cão de recursos

1.2.1 Aloca¸ cão de Recursos de Produ¸ cão I

Uma certa corporação tem três fábricas liais com capacidade de produção excedente. As trêsfábricas têm capacidade para produzir um certo produto, e a gerência decidiu usar parte da

capacidade de produção excedente para produzir um certo produto. Esse produto pode ser feitoem três tamanhos - grande, médio e pequeno - os quais produzem um lucro unitário ĺıquido deR$ 140, R$ 120 e R$ 100, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade excedentede mão de obra e equipamento para produzir 750, 900 e 450 unidades destes produtos pordia, respectivamente. Entretanto, a quantidade de espaço dispońıvel para estoque de produtosem processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 têm 1.170,1080 e 450 metros quadrados de espa¸co dispońıvel para estoque de produtos em processo paraa produção de um dia deste produto. Cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequenoproduzida por dia requer 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente.



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1.2.2 - Alocaç ão de Recursos de Produç ão II 7

As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas por dia 900, 1.200 e 750 unidades dostamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente.

Para manter uma carga de tamanho uniforme entre as fábricas, e para reter alguma exibilidade,a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica tem que usar a mesmaporcentagem da capacidade excedente de mão de obra e equipamento.

A gerência deseja saber quanto de cada tamanho deveria ser produzido em cada uma das fábricaspara maximizar o lucro.

Formule o modelo de programa¸cão linear para este problema.

1.2.2 Aloca¸ cão de Recursos de Produ¸ cão II

A Companhia Algon produz quatro artigos numerados de 1 a 4. As exigências de matéria prima,espaço para a estocagem, taxa de produção, assim como os lucros por artigo estão na tabelaabaixo.

artigos −→ 1 2 3 4

condições ↓

matéria prima ( kg/artigo ) 2 2 1,5 4espaço(m 3 /artigo ) 2 2,5 2 1,5

taxa de produ ção (artigos/h ) 15 30 10 15lucro (R/artigos ) 5 6,5 5 5,5

Tabela 1.7: Dados de produ¸cão

A quantia total de matéria prima dispońıvel por dia para todos os quatro artigos é de 180 kg, oespaço dispońıvel é de 230 m3 e emprega-se 7:30 h por dia para a produção.

Escreva um programa linear para maximizar o lucro.

1.2.3 Aloca¸ cão de Recursos de Produ¸ cão III

Uma rma fabrica uma máquina constitúıda de três peças A e quatro peças B. As duas peças (Ae B ) são fabricadas a partir de três matérias-primas das quais 100 unidades, 200 unidades e 300unidades são dispońıveis respectivamente. A tabela seguinte fornece os requisitos de matéria-prima e o número de peças fabricadas por turno de produção, em cada um dos departamentosda rma.



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1.3 - An álise de alternativas 8

ENTRADA (UNIDADES) SA ÍDA (UNIDADES)MATÉRIA-PRIMA PEÇAS

DEPARTAMENTOS 1 2 3 A B1 8 6 5 7 52 5 9 10 6 93 3 8 7 8 4


Formule um programa linear para determinar o n´umero de turnos de produção para cada depar-tamento de modo que maximize o número de máquinas fabricadas.

1.3 Análise de alternativas

1.3.1 Análise de Investimentos

Um determinado investidor tem três alternativas de investimentos, denominadas A, B e C, dis-pońıveis no próximo ano. Essas três alternativas não são mutuamente exclusivas. Qualquerdinheiro recebido de qualquer altenativa poderá ser reinvestido, imediatamente, em qualqueruma das três alternativas.

A alternativa A está dispońıvel no prinćıpio de cada um dos quatro trimestres seguintes. CadaReal investido em A no prinćıpio de um trimestre lhe devolve R$ 1,10 no nal daquele trimestre.

A alternativa B está dispońıvel no princı́pio de cada um dos dois semestres seguintes. Cada Realinvestido em B no prinćıpio de um semestre lhe devolve R$ 1,20 no nal daquele semestre.

A alternativa C só está dispońıvel no prinćıpio do primeiro ano. Cada Real investido em C lhedevolve R$ 1,40 um ano mais tarde.

O capital inicial do investidor é de R$ 5.000,00. Deseja-se formular um modelo de programa¸cãolinear para fornecer o plano de investimento que maximize a quantidade de dinheiro que o inves-tidor pode acumular no nal do próximo ano.

1.3.2 Alternativas antipolui¸ cão

A Companhia Strick e Nina foi intimada pelo governo de seu estado a instalar e empregar dispo-sitivos antipoluição. A empresa faz dois produtos. Para cada um destes produtos, o processo defabricação produz quantidades excessivas de gases irritantes e partı́culas (sólidos em suspensão).



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1.4 - Problema da Dieta 9

A tabela abaixo mostra a emissão diária, em quilos de cada poluente para cada 1.000 litros deproduto fabricado. A companhia está proibida de emitir mais que G1, G2 e P 1 quilos de GásCM, Gás SD e Part́ıculas, respectivamente. O lucro para cada milhar de litros de Produto 1 e 2fabricado por dia é p1 e p2 , respectivamente.

tipos de quilos de poluentes emitidospoluentes por 1.000 litros

de produto 1 de produto 2Gás CM 24 36Gás SD 8 12

Part́ıculas 100 50


O gerente de produção aprovou a instalação de dois dispositivos antipoluição. O primeiro dispo-sitivo remove 0,75 de Gás CM, 0,5 de Gás SD e 0,9 de part́ıculas, independentemente do produtofabricado. O segundo dispositivo remove 0,33 de Gás CM, nada de Gás SD e 0,8 de Part́ıculaspara o produto 1 e 0,25 de Gás CM, nada de Gás SD e 0,6 de Part́ıculas para o Produto 2. Oprimeiro dispositivo reduz o lucro por milhar de litros fabricados diariamente de c1 , independen-temente do produto; do mesmo modo, o segundo dispositivo reduz o lucro de c2 por milhar delitros fabricados diariamente, independentemente do produto. Compromissos de vendas obrigamque pelo menos R1 milhres de litros do Produto 1 sejam produzidos por dia e R2 milhares delitros de Produto 2. Formule um modelo matemático apropriado.

1.4 Problema da Dieta

Uma determinada pessoa é forçada pelo médico a fazer uma dieta alimentar que forne¸ca, diaria-mente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C e D:

Vitaminas Quantidade Ḿınima Di´ aria(mg)

A 80B 70C 100D 60

Tabela 1.10: Consumo de vitaminas

A dieta deverá incluir leite, arroz, feijão e carne, que contêm as seguintes miligramas de vitaminasem cada uma de suas unidades de medidas:



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1.5 - O Problema do Transporte 10

Vitaminas AlimentosLeite Arroz Feij ão Carne(L) (kg) (kg) (kg)

A 10 5 9 10B 8 7 6 6C 15 3 4 7D 20 2 3 9

Tabela 1.11: Composi ção dos alimentos

Os custos unitários desses alimentos são os seguintes:

Leite Arroz Feij ão Carne(l) (kg) (kg) (kg)

R$ 1,00 R$ 0,80 R$ 1,20 R$ 3,50

Tabela 1.12: Custo dos alimentos

Deseja-se saber o consumo dário de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfa¸caas prescrições médicas e seja a de menor custo posśıvel.

1.5 O Problema do Transporte

1.5.1 Custos de transporte

(Puccini)

Uma rma fabrica um determinado produto em quatro cidades A, B, C e D; o produto destina-sea três centros de consumo I, II e III. Sabe-se que :

1. As cidades A, B, C e D disp˜oem respectivamente de 30, 20, 50 e 10 unidades do produto

2. Os centros de consumo I, II, e III necessitam respectivamente de 20, 40 e 50 unidades

3. Os custos de transporte entre as cidades e os centros de consumo são dados, em Reais, natabela abaixo:

Formular o modelo de transporte para se determinar o programa que torna mı́nimo o custo totalde transporte entre as quatro cidades e os centros consumidores.



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1.5.2 - Maximiza ç ão de lucros 11

I II IIIA 1 2 3B 10 ∃ 8C 3 4 2D 5 2 1

Tabela 1.13: Custo de transporte

1.5.2 Maximiza¸ cão de lucros

Uma rma que produz um único produto tem três fábricas (I, II, III) e quatro clientes (A, B, C,D). As fábricas produzirão 40, 20 e 30 unidades, respectivamente, durante o pr´oximo peŕıodo detempo. A rma tem um compromisso de vender 20 unidades ao cliente 1, 30 unidades ao cliente2 e pelo menos 10 unidades ao cliente 3. Os clientes 3 e 4 querem, também, comprar tantoquanto posśıvel das unidades restantes. O lucro ĺıquido associado à remessa de uma unidade dafábrica i para venda ao cliente j é dado pela seguinte tabela:

A B C DI 7 5 4 6II 9 8 6 3III 6 3 2 4

Tabela 1.14: Custo de transporte

A gerência deseja saber quantas unidades deve vender aos clientes 3 e 4, e quantas unidadesdeve remeter de cada uma das fábricas para cada um dos clientes de modo a maximizar o lucro.Construa um modelo matemático para o problema.

1.5.3 Distribui¸ cão de produtos

Uma grande rma de latićınios, a Companhia de Leite A. Z. Dume, tem m usinas distribúıdasatravés de um estado. A produção diária de leite na Usina i pode fornecer no máximo S i galões,para i = 1, 2, . . . , m . Pelo amanhecer, a rma deve abastecer seus n depósitos de distribuiçãocom pelo menos D j galões frescos, para j = 1, 2, . . . , n , para atender à demanda. O problemaeconômico que se coloca à gerente de distribui¸cão, Aurora Clara Luz, é designar quais usinasdevem abastecer quais depósitos de modo que os custos de transporte sejam um mı́nimo. Sejacij o custo associado de embarque por galão da Usina i para o Depósito j . Modele um modelode programação linear adequado.



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1.6 - O Problema da Designaç ão 12

1.6 O Problema da Designa¸ cão

1.6.1 Sele¸cão de Homens-Tarefas

(Puccini)

Designar quatro operários (I, II, III e IV) para quatro tarefas (A, B, C e D), de maneira queo número total de homens-hora seja ḿınimo. Cada homem desempenha cada tarefa em umdeterminado número de horas, conforme indica a matriz abaixo:

I II III IVA 5 24 13 7

B 10 25 3 23C 28 9 8 5D 10 17 15 3

Tabela 1.15: Homens - tarefas

1.6.2 Sele¸cão de Homens-Locais

(Puccini)

O presidente de uma empresa está estudando a transferência de quatro diretores (A, B, C eD) para quatro locais de trabalho diferentes (1, 2, 3 e 4). Foram feitas estimativas dos custosenvolvidos na transferência de cada homem para cada novo local de trabalho. Esses custos (emmilhares de Reais) são dados abaixo:

1 2 3 4A 2 1 4 2B 3 4 1 6C 1 2 6 5D 1 3 3 7

Tabela 1.16: Homens - locais

Determinar as designações de cada diretor para cada local de trabalho de modo a minimizar ocusto total das transferências. Assume-se que os diretores são igualmente qualicados para osdiversos serviços.



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1.6.3 - Problema de alocaç ão capacitado 13

1.6.3 Problema de aloca¸ cão capacitado

Um caso aparentado ao problema de transportes é o problema de aloca¸cão capacitado. Esseproblema modela a possibilidade de um problema de transpote ser desenvolvido com um conjuntode nós intermediários entre os pontos de oferta e demanda. A gura abaixo descreve esse problemade fazer o uxo dos pontos de oferta (pontos o) chegarem aos ponto de demanda (pontos d)passando por pontos intermediários de transbordo, ou chamados de pontos de armazenagem.

s 1

s s

s‘ 1

s‘ s

o 1

o 2

o m

d 1

d 2

d n

São dados do problema:

• M = {1, 2, . . . , m }: conjunto dos i pontos de oferta;• S = {1, 2, . . . , s }: conjunto dos k pontos de armazenagem;• N = {1, 2, . . . , n }: conjunto dos j pontos de demanda;• f k : custo xo de se ativar um ponto de transbordo ou armaźem k, k ∈ S ;• ak : capacidade de armazenagem disponibilizada pelo ponto de transbordo k;• cik : custo de percorre o arco i − k;

• wkj : custo de percorrer o arco k − j ;• gk : custo de armazenagem na unidade k por unidade de uxo, k ∈ S ;• H k e hk : capacidades máximas e ḿınimas de armazenagens nas unidades de armazena-

mento k, que correspondem também a limites para o uxo na rede;• lik : limite inferior de uxo no arco i − k;• Lik : limite superior de uxo no arco i − k;

Considerando as variáveis de decisão:



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1.6.3 - Problema de alocaç ão capacitado 14

• vk : binária que assume o valor 1 se o ponto de transbordo é ativado e 0 em caso contrário;• xik : uxo que percorre um arco i − k;

• pk : uxo circulando na unidade de armazenamento k;• ykj :uxo que percorre um arco k − j .

Entre outras, este problema possui restrições:

• para descrever o processo de cria¸cão (ou abertura) de armazéns, considerando o aspectodo atendimento das demandas pelas as ofertas;

• para garantir o atendimento da demanda;• para assegurar a continuidade de uxo.

Modele este problema com um modelo da Programa¸cão Linear (inteira mista).



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Caṕıtulo 2

Programa¸ cão Linear

2.1 Introdu¸ cão

Sugere-se alguma bibliograa básica para o curso:

1. Nacionais

(a) Pesquisa Operacional, Arenales at al [1]

(b) Otimização Combinatória e Programação Linear: modelos e algoritmos, Goldbarg eLuna [5];

(c) Introdução a Pesquisa Operacional, Hiller e Liberman [7]. Este livro possui uma vers˜aoatualizada que não foi traduzida para o português;

(d) Otimização Linear, Maculan e Fampa [4];

(e) Pesquisa Operacional, Wagner [10]. Sugere-se olhar a versão original em inglês;

2. Estrangeiros

(a) Linear Programming and Network Flows, Bazaraa e Jarvis [2]. Este livro possui umanova edição atualizada;

(b) Linear Programming, Hadley [6];

(c) Optimization Theory for Large Systems, Lasdon [8];

(d) Programtion Mathématique: théorie et algorithmes, Minoux [9]. Aconcelha-se olhara versão em inglês.

15


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2.2 - Definiç ões iniciais 16

2.2 Deni¸ cões iniciais

Inicialmente apresenta-se alguns conceitos gerais. Um problema pode existir independente de suaforma de representação. A nota ção matemática pode ser utilizada para representar um problema.Ao serem utilizadas rela¸cões matematicas espećıcas de uma determinada área da matemáticapara representar um problema, diz-se que se constrói um modelo matem´ atico . Assim, um modelomatemático espećıco é apenas uma maneira de representar um problema, sendo que, o mesmoproblema, pode ser representado também através de outros modelos matemáticos.

2.2.1 Programa linear

Deni ção 2.1 : Programa Linear

Um problema (P ) que pode ser representado por um modelo de programaç˜ ao linear é denomi-nado programa linear . Um programa linear é todo problema que pode ser escrito sob a forma:

max z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + c j x j + . . . + cn xn (0)

sujeito às a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 j x j + . . . + a1 n xn ≤ b1 (1.1)

restrições: a21

x1

+ a22

x2

+ . . . + a2 j x j + . . . + a

2n xn ≤ b

2

(1.2)(P ) . . .a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn ≤ bi (1.i)

. . .am 1 x1 + am 2 x2 + . . . + amj x j + . . . + amn xn ≤ bm (1.m)

x j ≥ 0 para j = 1, 2, . . . , n (2)

onde x j , para todo j = 1, 2, . . . , n , são as variáveis de (P ), e c j ∈ IR , aij ∈ IR e bi ≥ 0, paratodo i = 1, 2, . . . , m e j = 1, 2, . . . , n , são os parˆ ametros ou coecientes de (P ).

Ao decorrer da apresentação da teoria da Programação Linear será mostrado que o problemapode ser também de minimização e as restrições podem ser também de iqualdade (= ) ou do tipomaior ou iqual (≥ ).

Em um programa linear (P ), a expressão (0) é denominada de funç˜ ao objetivo, as expressões dotipo (1) são denominadas de restri ç˜ oes do problema ou linhas do programa linear, e as express˜oesdo tipo (2) são as restri ç˜ oes de n˜ ao negatividade ou domı́nio das variáveis. As variáveis doprograma linear (P ) são também denominados de colunas de (P ).

Um programa linear (P ) pode ser escrito utilizando da notação por somat órios:



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2.2.1 - Programa linear 17

max z =

n j =1 c j x j (0)

(P ) s. a

n

j =1a

ijx

j ≤ b

i ∀i = 1, . . . , m (1.i)

x j ≥ 0 ∀ j = 1, . . . , n (2)

observa-se que se utiliza o ı́ndice j para indexar as n variáveis e utiliza-se o ı́ndice i para indexaras m restrições.

Uma outra notação para o programa linear (P ) é dada utilizando matrizes:

max z = cx (0)

(P ) s. a Ax ≤ b (1)

x ≥ 0 (2)

onde x é um vetor coluna de dimensão n, A uma matriz de de dimensão m × n, b um vetorcoluna de dimensão m e c um vetor linha de dimensão n, ou seja:

xn × 1 =

x1x2...

x i...

xn

, Am × n =

a11 a12 . . . a1 j . . . a1 na21 a22 . . . a2 j . . . a2 n...

... . . . ... . . .

...a i1 ai2 . . . aij . . . ain...

... . . . ... . . .

...am 1 am 2 . . . amj . . . amn

, bm × 1 =

b1b2...bi...

bm

e

c1 × n = c1 c2 . . . c j . . . cn .

Exemplo 2.1 : Programa linear

max z = 5 x1 +7 x2 (0)

sujeito às 2 x1 ≤ 12 (1.1)restrições x2 ≤ 8 (1.2)

4 x1 +3 x2 ≤ 36 (1.3)x1 ≥ 0 (2.1) e x2 ≥ 0 (2.2)

Neste programa linear n = 2, ou seja, possue duas variáveis, m = 3, ou seja, possui três restrições.As matrizes deste problema são:

x2 × 1 = x1x2 , A3 × 2 =

2 00 14 3

, b3 × 1 =12836

e c1 × 2 = 5 7 .



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2.2.2 - Soluç ão, soluç ão vi ável e solu ç ão ótima 18

O problema ca então:

min z = 5 7 × x1x2

s. a.2 00 14 3

× x1x2 ≤12836

x1 x2 ≥ 0 0

A solução do exemplo 2.1 é x1 = 3 e x2 = 8, que fornece o valor máximo para a fun¸cão objetivo,com z = 71. As seções seguintes apresentam maneiras de determinar esta solu¸cão.

2.2.2 Solu¸ cão, solu¸cão vi´ avel e solu¸ cão ´otima

Deni ção 2.2 : Solução

Dado um programa linear (P ), se for atribuido um conjunto de valores, um para cada variável,tem-se uma soluç˜ ao de (P ).

Deni ção 2.3 : Solução viável e solução não viável

Uma solução de (P ) que satisfaz todas as suas restrições, inclusive as restri¸cões de não negativi-dade, é denominada soluç˜ ao vi´ avel de (P ). Se ao menos uma restri̧cão não for satisfeita, tem-seuma soluç˜ ao n˜ ao vi´ avel de (P ).

Deni ção 2.4 : Solução ́otima

Uma solução viável do programa linear (P ) é dita soluç˜ ao ´ otima , se todas as restrições de (P )são satisfeitas, inclusive as restrições de não negatividade, e a função objetivo é máxima, ou seja,o valor de z é máximo.

As denições de solução, solução viável e solução ótima é conveniente aqui na ProgramaçãoMatemática. Ao rigor matemático, uma solução de um programa linear (P ) seria somente umasolução ótima.

Existem dois tipos de programas lineares que não possuem nenhuma solu¸cão ótima, são eles:

1. quando não existe valores qua as varíaveis possam assumir de maneira que todas as res-trições sejam satisfeitas, inclusive as restri¸cões de não negatividade; e



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2.2.3 - Vari áveis de folga e vari áveis de excesso 19

2. quando existe valores que as varíaveis possam assumir de maneira que todas as restri¸cõessejam satisfeitas, mas o valor da fun¸cão objetivo pode crescer indenidamente.

Um programa linear (P ) pode ainda ter innitas solu ç˜ oes ´ otimas .

2.2.3 Variáveis de folga e variáveis de excesso

Como denido, as restrições de um programa linear são do tipo menor ou iqual (≤ ), ou seja, umarestrição qualquer i é escrita:

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn ≤ bi

Deni ção 2.5 Variável de folga

À cada uma das restrições, i = 1, 2, . . . , m , introduz-se ao problema uma nova variável, xn + i ≥ 0,denominada vari´ avel de folga da restrição i, transformando a restrição de menor ou iqual em umarestrição de iqualdade. Em uma solução viável qualquer do problema, esta variável adicionada aolado direito da restrição elimina a folga que o lado direito pode ter em rela¸cão ao lado esquerdoda restrição. Assim a restrião ca reescrita:

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn + 1 xn + i = bi

O problema (P ) será tratado com estas restrições de iqualdade.É posśıvel tratar restrições do tipo maior ou iqual (≥ ) do tipo:

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn ≥ bi

Deni ção 2.6 Variável de excesso

Neste caso, de maneira semelhante à restrião do tipo menor ou iqual, introduz-se ao problemauma nova variável, xn +1 ≥ 0, denominada vari´ avel de excesso da restrição, transformando auma restrição de maior ou iqual em uma restri¸cão de iqualdade. Em uma solução viável qualquer

do problema, esta varíavel subtraida do lado direito da restri¸cão elimina o excesso que o ladodireito pode ter em relação ao lado esquerdo da restrição. A restrição ent̃ao é reescrita:

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn − 1xn + i = bi

O problema (P ) será tratado com estas restrições de iqualdade.

Observe que tanto as variáveis de folga como as variáveis de excesso são não negativas. Observetambém que a variável de folga é somada ao lado direito da restri¸cão e a variável de excesso ésubtraida do lado direito da restrião.



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2.3 - Resoluç ão gr áfica, regi ão de viabilidade 20

Como será mostrado, é importante que cada restrição contenha ou uma variável de folga ouuma variável de excesso. Caso o problema possua um restri¸cão de iqualdade (= ), ela deverá serreescrita como duas restrições, uma de menor ou iqual, que terá uma variável de folga, e outrade maior ou iqual, que terá uma variável de excesso:

Assim, a restrição:a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn = bi

será escrita como duas restrições:

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn ≤ bi

e

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn ≥ biou

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn + 1 xn + i = bi

ea i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn − 1xn + i+1 = bi

Por se tratar de problemas de decisão que serão resolvidos por procedimentos numéricos, não fazsentido aparecer restrições do tipo extritamente menor (< ) ou do tipo extritamente maior (> ),não existe o zero absoluto para o computador, sempre se trabalha com a precisão do computador.

As próximas seções mostram como resolver um programa linear e ilustra todos os tipos de solu¸cõesque um programa linear pode ter.

2.3 Resolu¸ cão gráca, regĩao de viabilidade

Um problema de programação linear só pode ser resolvido gracamente se possui somente duas variáveis.

max z = c1 x1 + c2 x2 (0)

sujeito às a11 x1 + a12 x2 ≤ b1 (1.1)restrições: . . .

a i1 x1 + ai2 x2 ≤ bi (1.i). . .am 1 x1 + am 2 x2 ≤ bm (1.m)

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (2)



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A resolução gráca de um programa linear consiste em traçar um plano cartesiano, ou gráco car-tesiano, onde os valores de x1 são representados nas abscissas e os valores de x2 são representadosnas ordenadas. Os pontos deste gráco representam as soluções do problema.

Por denição, as variáveis do problema são não negativas, portanto é necessário representarsomente o primeiro quadrante do plano. Em um limite, a igualdade em cada restri¸cão pode serobtido. Em qualquer restrição, quando a igualdade é obtido, a restrição passa a ser a equaçãode uma reta. Desta maneira, cada restrição do problema pode ser representado por uma retaque divede o plano em dois semiplanos, um lado da reta está o semiplano onde se situam todosos pontos que satisfazem a restrição (a inequa ção) e o outro lado da reta está o semiplano ondese situam os pontos que não satisfazem a restrição (a inequação). Uma maneira imediata dedeterminar em qual dos dois semiplanos estão os pontos que satifa¸cão a restri ção é testar aorigem do sistema cartesiano, o ponto (0, 0), ou seja, testar o ponto onde x1 = 0 e x2 = 0,

se este ponto satisfaz a restrição então todos os pontos do semiplano que (0, 0) está tamb́emsatisfaz a restrição.

Assim, as restrições do programa linear (as inequa¸cões do tipo (1)) representam semiplanoslimitados pela equações onde a igualdade de cada restri¸cão é obtida.

Deni ção 2.7 Região de viabilidade

A interseção dos semi-planos denidos pelas restri¸cões do programa dene a regi˜ ao de viabilidade

do problema, ou seja, todos pontos pertencentes à esta interseção de semi-planos satisfazem todasas restrições do problema.

A função objetivo é representada por um feixe de retas paralelas obtido fazendo o valor de z variar. Para obter uma solução ótima do problema basta então tra çar uma reta pertencente aofeixe de retas paralelas, de maior valor de z de maneira que toque em ao menos um ponto aregião de viabilidade. Este ponto é a solução ótima do problema. Note que o vetor

−−−−−−−−→(0, 0)(c1 , c2 )

possui direção perpendicular ao feixe de retas paralelas denido pela fun¸cão objetivo e sentidoo qual o valor de z cresce, portanto, uma outra maneira de se obter uma solu¸cão ótima para oproblema consiste em traçar o vetor

−−−−−−−−→(0, 0)(c1 , c2 ) e obter uma reta perpendicular a direção deste

vetor, de maneira que seja o mais distante posśıvel da origem e que toque em ao menos umponto a região de viabilidade.

Proposi¸cão 2.1 : Dada a equação z = c1 x1 + c2 x2 onde c1 e c2 são constantes dadas e z , x1e x2 são variáveis. Variando o valor de z , obten-se um feixo de retas paralelas. Assim, z dene um feixo de retas paralelas.

Demonstra¸ cão :



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Proposi¸cão 2.2 : Seja o feixo de retas paralelas denido por z = c1 x1 + c2 x2 . A direção do vetor

−−−−−−−−→(0, 0)(c1 , c2 ) é perpendicular ou feixo de retas paralelas denido por z e o sentido deste

vetor é o sentido que o valor de z cresce no feixo de retas paralelas.

Demonstra¸ cão :

Restrições de maior ou iqual (≥ ) ou de iqualdade são iqualmente tratados na resolução gráca.Lembrado-se que uma restrição de iqualdade é representada por uma reta e somente os pontosdesta reta vazem parte da região de viabilidade do problema.

Exemplo 2.2 : Resolução gráca de um programa linear com uma ´ unica solução ́otima

Considere o problema do exemplo 2.1:

max z = 5 x1 +7 x2 (0)

sujeito às 2 x1 ≤ 12 (1.1)restrições x2 ≤ 8 (1.2)

4 x1 +3 x2 ≤ 36 (1.3)x1 ≥ 0 (2.1) e x2 ≥ 0 (2.2)

Resolver gracamente este problema consiste em construir o gráco cartesiano:

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Região deviabilidade

Soluçãoótima

x1

x2

(3,8)

0 5

8

6

7

(5,7).

9

12

(0) z = 71

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Figura 2.1: Solução Gráca do exemplo 2.1



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Na gura, a regi˜ ao de viabilidade é o conjunto de pontos no plano que satisfaz todas as restri¸cõesdo problema. A região de viabilidade corresponde ao conjunto de solu¸cões viáveis do problema.Qualquer outro ponto, fora da região de viabilidade, representa uma solu¸cão não viável do pro-blema. A direção do vetor −−−−−−−→(0, 0)(5, 7) mostra a direção perpendicular ao feixo de retas paralelasexpressa pela função objetivo z = 5x1 + 7x2 ; o sentido do vetor mostra o sentido no qual z cresce. O vetor

−−−−−−−→(0, 0)(5, 7) é o gradiente da função objetivo. Observe que as extremidades do

vetor −−−−−−−→(0, 0)(5, 7) são os pontos (0, 0) e (5, 7), onde (0, 0) é a origem do gráco e o ponto (3, 5)

possui coordenadas correspondentes aos respectivos coecientes de x1 e de x2 na função objetivo.A soluç˜ ao ´ otima do problema são os valores das variáveis que maximizam a fun¸cão objetivo. Nocaso do exemplo, a solu¸cão ótima é o ponto (2, 5) com z = 71 com x1 = 7 e x2 = 8.

O exemplo acima foi convenientemente escolhido para ilustrar um programa linear com solu¸cãoótima única. Quando um programa não possui solução ótima ou possui soluções ótimas múltiplassão ilustrados na sequência.

max z = 4x 1 + 2 x 2s. a − 5x 1 + 2 x 2 ≤ 4 (2.1)

x 1 − x 2 ≤ 1 (2.2)x 1 ≥ 0 x2 ≥ 0

max z = 3x 1 + 4 x 2s. a − 5x 1 + 2 x 2 ≥ 4 (2.3)

x 1 − x 2 ≥ 1 (2.4)x 1 ≥ 0 x2 ≥ 0

max z = 3x 1 + 4 x 2s. a − 5x 1 + 2 x 2 ≤ 4 (2.5)

x 1 − x 2 ≤ 1 (2.6)3x 1 + 4 x 2 ≤ 18 (2.7)

x 1 ≥ 0 x2 ≥ 0

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100011100011100001111000000111111

x1

x 2

..

0 1 4

2

.(4,2).

(3.1)

(3.2) 00000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 x

1

x2 .

0 1

.

2

(3,4)

.

..

3

4

(3.3)

(3.4)

0000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111100000000000000001111111111111111 x

1

x2

.

0 1

.

2

4 (3,4)

.

a

b

3

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(a) (b) (c)z cresce não possui possui innitas

indenidamente solu ção viável soluções ótimas

Figura 2.2: Diferentes tipos de solu ções 2.1

O problema (a) da Figura 2.2 a função objetivo pode crescer indenidamente, para qualquervalor de z ≥ 0 sempre existe ao menos um ponto dentro da região de viabilidade. O problema(b) da Figura 2.2 possui região de viabilidade vazia, logo o problema não possui solu¸cão viávele, consequentemente, não possui solução ótima. A restrição (2.7) do problema (c) da Figura 2.2possui coeciente angular igual ao coeciente de sua fun¸cão objetivo, consequentemente, estarestrição pertence ao feixo de retas paralelas denido por z . Todos os pontos do intervalo [a, b]



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2.4 - M étodo Simplex 24

mostrado na gura são soluções ótimas do problema.

2.4 Método Simplex

As primeiras subseções apresentam alguns conceitos que fundamentam o método simplex parauma forma espećıca de programa linear (forma padr˜ao), seguida da apresentação do método paraesta forma. Na seqüência, a subseção 2.4.5, apresenta a resolução de um problema onde o métodosimplex é aplicado de maneira que os conceitos apresentados são introduzidos independentementedo método simplex. Uma maneira mais prática de compreender o método simplex é come¸car aleitura pela subseção 2.4.5 e depois ler as subse¸cões iniciais desta seção.

2.4.1 Antes do Método Simplex: sistemas de equa¸ cões lineares

A Teoria de Sistema de Equações Lineares é tratado em uma seção espećıca. A compreensãototal desta seção exige um conhecimento mı́nimo sobre esse tema. Caso algum conceito utilizadoaqui não esteja, sugere-se que se leia previamente a se¸cão de Teoria de Sistemas de EquaçõesLineares.

Considere somente um sistema de equações lineares (S ) com m equações (linhas) linearmenteindependentes e n variáveis (colunas) x j ∈ IR para j = 1, 2, . . . , n , escrito por suas equações:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 j x j + . . . + a1 n xn = b1 (1)a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 j x j + . . . + a2 n xn = b2 (2)

(S ) . . .a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn = bi (i)

. . .am 1 x1 + am 2 x2 + . . . + amj x j + . . . + amn xn = bm (m)

Da Teoria de Sistemas Lineares, este sistema pode possuir três tipos de solu¸cões referentes aosvalores de m e n, são elas:

1. m = n: neste caso, o sistema de equações lineares possui uma única solução, isto é, existesomente um valor para cada variável que satisfa¸ca todas as equações;

2. m > n : neste caso, o sistema de equações lineares não possui solução, ou seja, não existenenhum valor que cada variável possa asumir que satisfa¸ca todas as equações;

3. m < n : neste caso, o sistema é indeterminado, possuindo innitas solu¸cões, onde mvariáveis são calculadas em função das demais n − m varíaveis.



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2.4.1 - Antes do M étodo Simplex: sistemas de equaç ões lineares 25

Em um sistema de equações lineares, uma equação é linearmente dependente se, e somente se,ela pode ser obtida através da soma de multiplos de outras equa¸cões do sistema. A solu¸cãoobtida na resolução do sistema linear onde todas as equações linearmente dependentes foramelimidadas é iqual à solução obtida na resolução do sistema linear com todas as equações li-nearmente dependentes incluidas. Assim, as equa¸cões linearmente dependentes não acrescentanenhuma informação ao sistema, podendo ser elimidadas. Considera-se aqui somente sistemascom equações linearmente independentes.

Os sistemas com m = n e com m > n não são de interesse este estudo por não existir opçõesde valores para as variáveis. Agora os sistemas com m < n sim é de interesse. Em problemaspráticos de decisão, é importante que se tenha várias alternativas para que se decida qual delasé melhor sob um determinado contexto. São nos problemas práticos que geram sistemas comm < n que se introduz uma função objetivo que dene uma direção e sentido que uma decisão

deve ser tomada.A Programação Linear estuda sistemas de equações lineares com o número de variáveis maiorque o número de equações, indeterminados e com innitas solu¸cões. Introduz-se à este sistemauma função objetivo, também linear, que deve ser maximizada ou minimizada. O objetivo ent˜aoé determinar uma solução do sistema de equações que maximiza ou minimiza a fun¸cão objetivo.

Como nosso iteresse é em sistemas de equa¸cões lineares onde o número de variáveis é maior queo número de equações, denominaremos a partir de agora m para o número de equações e m + npara o número de variáveis.

Uma solução de um sistema de equações lineares (S ) com m equações e m + n variáveis podeser obtida calculando m variáveis em função das n demais variáveis previamente xadas. Emforma de equações, uma solução de (S ), por exemplo, seria calcular as m primeiras variáveis emfunção das demais n, ou seja, resolvendo o sistama:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 m xm = b1 − a1 m +1 xm +1 − . . . − a1 n xm + n (1)a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 m xm = b2 − a2 m +1 xm +1 − . . . − a2 n xm + n (2)

(S ) . . .a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aim xm = b3 − a im +1 xm +1 − . . . − a in xm + n (i)

. . .am 1 x1 + am 2 x2 + . . . + amm xm = b4 − amm +1 xm +1 − . . . − amn xm + n (m)

Na forma matricial, um sistema de equa¸cões lineares (S ) com m equações e m + n variáveis éescrito:

Am × n + n × xm + n × 1 = bm × 1 ou, simplesmente, A × x = b

Calcular as m primeiras variáveis de (S ) em função das demais n, na forma matricial é entãoreescrever (S ) na forma:



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2.4.1 - Antes do M étodo Simplex: sistemas de equaç ões lineares 26

Bx B + NxN = b =⇒ BxB = b− Nx N

onde B é uma matriz quadrada m × m formada pelas m primeiras colunas de A; N é um outramatriz com as demais n colunas de A; xB é uma matriz de uma única coluna com as respectivasm primeiras variáveis que serão calculadas em fun¸cão das n demais variáveis que estão em xN .

Na forma matricial ca:

a11 a12 . . . a1 ma21 a22 . . . a2 m

. . .

am 1 am 2 . . . amm

x1x2· · ·

xm

+

a1 m +1 a1 m +2 . . . a1 m + na2 m +1 a2 m +2 . . . a2 m + n

. . .

amm +1 amm +2 . . . amm + n

xm +1xm +2· · ·

xm + n

=

b1b2· · ·

bm

ou

a11 a12 . . . a1 ma21 a22 . . . a2 m

. . .am 1 am 2 . . . amm

x1x2· · ·xm

=

b1b2· · ·bm

−

a1 m +1 a1 m +2 . . . a1 m + na2 m +1 a2 m +2 . . . a2 m + n

. . .amm +1 amm +2 . . . amm + n

xm +1xm +2· · ·

xm + n

Da propriedade da operação algébrica da adi̧cão, a ordem das parcelas não altera a soma. Assim,a matriz B pode conter quaisquer das m colunas de A desde que as variáveis que aparecemem xB tenha exatamente a mesma ordem que as colunas de B foram escritas. O mesmo deveacontecer com N e xN .

Assim, generalizando, uma solu¸cão qualquer de (S ) é ent ão obtida:

Bx B + NxN = b (2.8)

ouBx B = b − Nx N (2.9)

Ao multiplicar ambos os lados da equa¸cão (2.9) à esquerda pela matriz B− 1 , inversa de B,obtem-se:

B − 1 Bx B = B − 1 b − B − 1 Nx N ou

Ix B = B − 1 b − B − 1 Nx N (2.10)

onde I é a matriz identidade de dimensão m. Fixando então valores para as n − m varíaveis emxN , calcula-se os valores das m variáveis de xB . Uma maneira indireta para se obter a matriz



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2.4.2 - Soluç ão b ásica e Solu ç ão ótima 27

B − 1 é escalonar a matriz B utilizando o método de Eliminação de Gauss. Assim obtem-se ovalor das m varíaveis em xB :

xB = B − 1 b − B − 1 Nx N (2.11)

A equação (2.11) permite então calcular o valor de quaisquer m variáveis em função das demaisn variáveis em qualquer sistema de equações lineares indeterminado onde o n´umero de equações émenor que o número de variáveis. Lembre-se que estamos trabalhando com sistemas de equa¸cõeslineares onde as equações são linearmente independentes. Caso uma equação não seja linermenteindependete, a matriz B não possui inversa.

Basicamente, o Método Simplex utiliza deste conceito para obter uma solu¸cão ótima de umprograma linear.

2.4.2 Solu¸ cão básica e Solu¸ cão ´otima

De uma maneira geral, seja um programa linear (P ) denido por:

max z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + c j x j + . . . + cn xn + cn +1 xn +1 + . . . + cn + m xn + ms. a a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 j x j + . . . + a1 n xn + a1 n +1 xn +1 + . . . + a1 n + m xn + m = b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 j x j + . . . + a2 n xn + a2 n +1 xn +1 + . . . + a2 n + m xn + m = b2. . .

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn + ain +1 xn +1 + . . . + a2 n + m xn + m = bi. . .

am 1 x1 + am 2 x2 + . . . + amj x j + . . . + amn xn + amn +1 xm +1 + . . . + amn + m xn + m = bmx j ≥ 0 ∀ j = 1, 2, . . . m + n

Na forma matricial, este programa é escrito:

max z = c1 × n + m xn + m × 1s. a Am × n + m xn + m × 1 = bm × 1

xn + m × 1 ≥ 0

Pode-se escrever o programa linear (P ) simplesmente da maneira:

max z − cx = 0 (2.12)s. a Ax = b (2.13)

x ≥ 0 (2.14)



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Da Teoria de Sistemas de Equações Lineares, tem-se em um programa linear um sistema deequações lineares indeterminado denido pelas express˜oes (2.13) e (2.14) que possui innitassoluções que se procura uma solu¸cão do sistema que maximize a fun¸cão objetivo (2.12).

O sistema linear denido pela equa¸cão (2.13) possui m equações e m + n variáveis. Como vistona seção anterior, pode-se determinar o valor de m variáveis em função das demais n varíaveis.Utilizando da forma mostrada em (2.8), o programa linear (P ) pode ser reescrito:

max z − cB xB − cN xN = 0 (2.15)s. a Bx B + NxN = b (2.16)

xB ≥ 0 e xN ≥ 0 (2.17)

onde as m varíaveis em xB são calculadas em função das n variáveis em xN , como calculado na

equação (2.11):xB = B − 1 b − B − 1 Nx N

Substituindo este valor na função objetivo, tem-se:

max z − cB (B − 1 b − B − 1 Nx N ) − cN xN = 0

oumax z − cB B − 1 b + cB B − 1 Nx N − cN xN = 0

ou ainda

max z − cB B− 1

b + ( cB B− 1

N − cN )xN = 0

Assim, associando à Teoria de Sistema de Equa¸cões Lineares, o programa linear (P ) ca escrito:

max z − cB B − 1 b + ( cB B − 1 N − cN )xN = 0s. a xB = B− 1 b − B − 1 Nx N

xB ≥ 0 e xN ≥ 0

O programa linear (P ) escrito desta forma tem-se a função objetivo escrita em função dosparâmetros do problema e das variáveis que estão em xN . O termo − cB B − 1 b é calculado emfunção de somente parâmetros do problema, independe de variáveis. Os coecientes das variáveisxN , (cB B − 1 N − cN ), caram escrito também somente em função dos parâmetros do problema.Assim, dada uma solução x̄ = [x̄B x̄N ] qualquer viável de (P ), isto é, uma solução x̄ = [x̄B x̄N ]tal que x̄B ≥ 0 e x̄N ≥ 0, o valor da função objetivo z̄ para esta solução pode ser calculado por:

z̄ = cB B − 1 b − (cB B − 1 N − cN )x̄N (2.18)



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Teorema 2.1 Seja um programa linear ( P ). Uma solução x∗ = [x∗B x∗N ] de ( P ) tal que x∗B ≥ 0,x∗N = 0 e (cB B −

1 N − cN ) ≥ 0 é uma soluç˜ ao ´ otima.

Demonstra¸ cão: Por suposição, considera-se sempre soluções tais que (cB B − 1 N − cN ) ≥ 0.Para demostrar este teorema basta vericar então que x∗ é viável e que para qualquer outrasolução viável x̄ de (P ), com o valor da função objetivo z̄ , que não esteja na forma de x∗, existeuma outra solução viável x∗ = [x∗B x∗N ] de (P ) com x∗B ≥ 0 e x∗N = 0 e com z ∗ ≥ z̄ , ou seja,para qualquer solução viável x̄ sempre existe uma outra solução viável na forma de x∗ com afunção objetivo maior que a função objetivo com x̄:

1. a solução x∗ é viável, pois x∗B ≥ 0 e x∗N = 0, o que implica em x∗N ≥ 0; e

2. seja x̄ = [x̄B x̄N ] uma solução viável qualquer de (P ). Se x̄ é viável, então x̄B ≥ 0 ex̄N ≥ 0. Se x̄N = 0, x̄ tem a mesma forma de x∗, não é necessário investigar. Restainvestigar as soluções viáveis x̄ = [x̄B x̄N ] com x̄B ≥ 0 e x̄N > 0. Seja então a soluçãovíavel x̄ = [x̄B x̄N ] com x̄B ≥ 0 e x̄N > 0, seja também uma outra solução viávelx̄∗ = [x̄∗B x̄∗N ] com x̄∗ = x̄B e x̄N = 0. Assim, como (cB B −

1 N − cN ) ≥ 0, ent̃ao z̄ ∗ ≥ z̄ ,pois, da equação (2.18), o sinal da parcela (cB B − 1 N − cN ) é negativo.

Este teorema então garante que uma solução x∗ = [x∗B x∗N ] de um programa linear (P ) talque x∗N = 0 e os coecientes de x∗N na função objetivo forem todos não negativos, ou seja,(cB B − 1 N − cN ) ≥ 0, então x∗ úma solução ótima de (P ).

Deni ção 2.8 Solução básica

Toda solução de um programa linear (P ) na forma x∗ = [x∗B x∗N ] com x∗N = 0 é denominadasoluç˜ ao b´ asica de (P ). As variáveis em x∗B são denominadas vari´ aveis basicas e as variáveis emx∗N , todas nulas, são denominadas vari´ aveis n˜ ao b´ asicas .

Deni ção 2.9 Solução básica viável

Toda solução de um programa linear (P ) na forma x∗ = [x∗B x∗N ] com xB ≥ 0 e x∗N = 0 édenominada soluç˜ ao b´ asica vi´ avel de (P ).

Como consequência imedita do Teorema 2.1 tem-se que toda soluç˜ ao ´ otima é uma solu¸c˜ aob´ asica vi´ avel .

Desta forma, resolver um programa linear consistem em responder pergunta: Quais serão as mvariáveis básicas que, se a função objetivo for escrita em função das varíaveis não básicas, todosseus conecientes são não negativos?



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2.4.3 - Forma padr ão 30

Resolver o programa linear consiste então de somente determinar quais são as m varíaveos básicasxB de maneira que o valor da fun¸cão objetivo seja máximo. Conhecendo quais são as m varíaveisbásicas em xB , basta então calcular os valores:

z = cB B − 1 bs. a xB = B− 1 b

xN = 0

O método simplex é um método iterativo (algoritmo ) para resolver problemas de programa¸cãolinear constituido dos seguintes passos:

1. inicializa ç˜ ao: determinar uma solução básoca viável inicial. Uma solução básica víavel tema forma de x∗ = [x∗B x∗N ] com x∗B ≥ 0, x∗N = 0;

2. regra de parada : enquanto todos os coecientes (cB B − 1 N − cN ) não forem maiores ouiquais a zero, faça:

3. passo iterativo : buscar uma outra solução na forma de x∗ = [x∗B x∗N ] com x∗B ≥ 0, x∗N = 0com o valor da função objetivo melhor.

Primeiramente apresenta-se o método simplex para resolver problemas que tenham uma formaespećıca, chamada de forma padr˜ ao. A forma padrão pode-se ser denida de diferentes ma-neiras, o importante é que o desenvolvimento da teoria do simplex seja coerente com a formapadrão denida.

2.4.3 Forma padrão

Denine-se aqui um programa linear está na forma padr˜ ao se ele é escrito sob a forma:

max z = cxs. a Ax ≤ b

x ≥ 0

ou seja, escrito de forma que tenha as seguintes caracteŕısticas:

1. função objetivo de maximizar;



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2.4.4 - Forma can ônica e solu ç ão b ásica inicial 31

2. todas as restrições são do tipo menor ou igual;3. todas as variáveis são positivas ou nulas; e

4. todos os coecientes do lado direito das restri¸cões são positivos ou nulos.

Alguns autores denem a função objetivo da forma padrão com sendo de minimizar e desenvolvemtoda a teoria do método simplex para esta forma padrão. Sugere-se comparar as duas maneiras dedenir a forma padrão e suas consequências no decorrer da apresenta¸cão da teoria da programaçãolinear, principalmente quando o quadro simplex é denido.

Observe que os problemas (P ) da seção 2.2 e do exemplo 2.1 estão na forma padrão. O problema(P ) é um problema geral na forma padrão.

Exemplo 2.3 : O programa linear do Exemplo 2.1 está na forma padrão.

max z = 5 x1 +7 x2

sujeito às 2 x1 ≤ 12restrições x2 ≤ 8

4 x1 +3 x2 ≤ 36x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0

Denir uma forma padrão tal como foi denida é importante, pois através desta forma pode-seobter diretamente o programa em sua forma canônica, assunto da próxima seção.

2.4.4 Forma canˆ onica e solu¸ cão básica inicial

Considerando que um problema está na forma padrão, pode-se simplicar a nota¸cão retirandoo max da função objetivo e eliminando as restrições de não negatividade das variáveis. Ainda,como todas as restrições são do tipo menor ou igual, uma nova varíavel pode ser introduzidaem cada restrição, xn + i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , m , transformado-as em restrições de igualdade.Essas novas variáveis introduzidas são denominadas vari´ aveis de folga e as outras variáveis sãodenominadas vari´ aveis originais do problema. Desta maneira o problema P pode ser reescrito:

max z − c1 x1 − c2 x2 − . . . − c j x j − . . . − cn xn = 0s. a a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 j x j + . . . + a1 n xn + xn +1 = b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 j x j + . . . + a2 n xn + xn +2 = b2. . .

a i1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij x j + . . . + ain xn + xn + i = bi. . .

am 1 x1 + am 2 x2 + . . . + amj x j + . . . + amn xn + xn + m = bmx j ≥ 0 ∀ j = 1, 2, . . . , n + m



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2.4.4 - Forma can ônica e solu ç ão b ásica inicial 32

Exemplo 2.4 : Introduzindo as varíaveis de folga no programa linear do Exemplo 2.1 chega-se na forma canˆ onica:

max z − 5x1 − 7x2 − 0x3 − 0x4 − 0x5 = 0s. a 2x1 + 0 x2 + 1 x3 + 0 x4 + 0 x5 = 12

0x1 + 1 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 84x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 1 x5 = 36

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

Assim, neste novo problema, a matriz linha c de coecientes da função objetio possui a dimensão

1 × n + m, a matriz coluna x de variáveis possui a dimensão 1 × n + m, a matriz A possuia dimensão m × n + m e a matriz coluna b continua com a dimensão m × 1. Observe aindaque a função objetivo está escrita em função das variáveis originais do problema, ou seja, oscoecientes das variáveis de folga na fun¸cão objetivo são nulos. A matriz A deste problemapossui uma submatriz que é a matriz identidade, portanto quadrada, de ordem m. As novasmatrizes que compõem o programa linear são então escritas:

x n + m × 1 =

x 1x 2

.

.

.

x j...

x nx n +1

.

.

.

x n + m

m

Am × n + m =

a 11 a12 . . . a 1 j . . . a 1 na 21 a22 . . . a 2 j . . . a 2 n

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.. . .

.

.

.

a i 1 a i 2 . . . a ij . . . a in...

.

.

.. . .

.

.

.. . .

.

.

.

a m 1 am 2 . . . a mj . . . a mn

m

1 0 . . . 0 . . . 00 1 . . . 0 . . . 0...

.

.

[notas de aula] pesquisa operacional

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