ead pesquisa operacional

8/15/2019 EaD Pesquisa Operacional

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EaD

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PESQUISA OPERACIONALUNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ

VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO – VRG

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – CEaD

Coleção Educação a Distância

Série Livro-Texto

Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil2012

Martin LedermannNivia Maria Kinalski

PESQUISAOPERACIONAL



EaD Martin Ledermann – Nivia Maria Kinalski

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© 2012, Editora UnijuíRua do Comércio, 136498700-000 - Ijuí - RS - BrasilFone: (0__55) 3332-0217Fax: (0__55) 3332-0216E-mail: [email protected]

www.editoraunijui .com.br

Editor: Gilmar Antonio Bedin

Editor-adjunto: Joel Corso

Capa: Elias Ricardo Schüssler

Designer Educacional: Jociane Dal Molin Berbaum

Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa:

Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroestedo Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil)

Catalogação na Publicação:Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí

L473p Ledermann, Martin.

Pesquisa operacional / Martin Ledermann, NiviaMaria Kinalski. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2012. – 164 p. – (Co-leção educação a distância. Série livro-texto).

ISBN 978-85-7429-988-4

1. Organizações. 2. Administração. 3. Pesquisaoperacional. 4. Planejamento. 5. Processo decisório. 6.Programação linear. I. Kinalski, Nivia Maria. II. Título.III. Série.

CDU : 65.012.122 519.248 519.85/.87



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PESQUISA OPERACIONAL

SumárioSumárioSumárioSumário

CONHECENDO OS AUTORES.....................................................................................................5

APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................9

O QUE VAMOS ESTUDAR ..........................................................................................................11

UNIDADE 1 – CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL ...........................................15

Seção 1.1 – Pesquisa Operacional: surgimento e conceito .....................................................15

Seção 1.2 – Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional ....................................................17

Seção 1.3 – Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório ...........................19

1.3.1 – Características do Processo Decisório ................................................................19

1.3.2 – Classificação das Decisões ...................................................................................21

1.3.3 – Qualidade das Decisões .......................................................................................21

1.3.4 – Obstáculos a uma Decisão de Qualidade .........................................................22

Seção 1.4 – Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional .......................................................23

Seção 1.5 – A Natureza da Pesquisa Operacional ....................................................................24

Seção 1.6 – Teoria Clássica de Otimização ................................................................................25

UNIDADE 2 – PROGRAMAÇÃO LINEAR ................................................................................27

Seção 2.1 – Modelo em Programação Linear ............................................................................28

Seção 2.2 – O Método Simplex ...................................................................................................38

Seção 2.3 – Solução Ótima pelo Método Simplex ...................................................................47Seção 2.4 – O Problema da Minimização ..................................................................................53

Seção 2.5 – O Problema da Solução Básica Inicial ..................................................................56

Seção 2.6 – O Método Gráfico de Resolução de Problemas de Programação Linear ..........68

Seção 2.7 – O Uso da Ferramenta Solver ...................................................................................72

Seção 2.8 – Análise de Sensibilidade ..........................................................................................77

Seção 2.9 – Dualidade...................................................................................................................82

Seção 2.10 – Interpretação Econômica da Dualidade .............................................................84

Seção 2.11 – Análise Econômica.................................................................................................87




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UNIDADE 3 – PROBLEMA DO TRANSPORTE .......................................................................91

Seção 3.1 – Modelo em Problemas de Transporte .....................................................................93

Seção 3.2 – O Caso dos Sistemas não Equilibrados .................................................................95

Seção 3.3 – Métodos para Resolução de Problemas de Transporte ........................................96

Seção 3.4 – Solução Ótima em Problemas de Transporte ..................................................... 109

UNIDADE 4 – TEORIA DAS FILAS ........................................................................................ 121

Seção 4.1 – Aspectos Gerais da Teoria das Filas .................................................................... 121

Seção 4.2 – Características de uma Fila .................................................................................. 123

Seção 4.3 – Localização das Variáveis Aleatórias .................................................................. 125

Seção 4.4 – Modelo de Fila M/M/1 .......................................................................................... 130

Seção 4.5 – Modelo de Fila M/M/C ......................................................................................... 133

UNIDADE 5 – PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E MODELOS DE ESTOQUE ................... 139

Seção 5.1 – Introdução a Programação Dinâmica e Modelos de Estoque ........................ 139

Seção 5.2 – Principais Características ..................................................................................... 139

Seção 5.3 – Programação Dinâmica, Modelos Dinâmicos e Problemas de Aplicação ........ 140

UNIDADE 6 – SIMULAÇÃO..................................................................................................... 151

Seção 6.1 – Introdução à Simulação ....................................................................................... 151

Seção 6.2 – Vantagens e desvantagens da simulação ........................................................... 152

Seção 6.3 – Área de aplicação da Simulação ......................................................................... 153

Seção 6.4 – Tipos e modelos de simulação .............................................................................. 154

Seção 6.5 – Etapas de um projeto de simulação .................................................................... 154

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................... 163



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Conhecendo os AutoresConhecendo os AutoresConhecendo os AutoresConhecendo os Autores

Martin Ledermann

Natural de Ijuí, nasceu no dia 14 de maio de 1972. Cursou o

Ensino Fundamental na Escola Estadual de Ensino Fundamental

Giovana Margarita, de Vila Floresta, interior do município de Ijuí.

Após concluir esta etapa do estudo, ingressou na Escola Estadual

de Ensino Médio Ruy Barbosa. Graduou-se em Administração no

ano de 2000 na Unijuí. Em 2003 concluiu o curso de Pós-Gradua-

ção Lato Sensu em Marketing, também na Unijuí. No ano de 2007

recebeu o título de Mestre em Desenvolvimento, novamente pela

Unijuí.

Enquanto estudava, exerceu várias atividades. Foi auxiliar

de almoxarifado e controlador de estoques na Indústria de Máqui-

nas Agrícolas Fuchs S.A. – Imasa. Também atuou como Técnico

Administrativo na 17ª Coordenadoria Regional de Saúde, órgão

ligado à Secretaria Estadual de Saúde do Estado do Rio Grande

do Sul.

Atuou no Programa Diagnóstico Empresarial firmado entre

Unijuí e Sebrae, quando diagnosticou 149 empresas da Região

Noroeste do Estado do RS pertencentes aos seguintes setores: têx-

til, metal-mecânico, moveleiro, alimentício, construção civil e tu-

rismo. Além disso, desempenhou a função de negociador de

consultorias e cursos de capacitação por meio do convênio Unijuí/ Sebrae no período de outubro de 2003 a setembro de 2006. Exerce

a função de consultor empresarial na área de marketing. Foi Pró-

Reitor da Unijuí no campus Três Passos no período de janeiro a

junho de 2011 e no campus Panambi de julho a agosto do mesmo

ano. Atualmente é coordenador do curso de Administração da

Unijuí no campus do município de Três Passos.

Foi professor substituto da Universidade Federal de Santa

Maria, no Centro de Educação Superior do Noroeste do Estado –Cesnors – situado no município de Palmeira das Missões, onde

ministrou as seguintes disciplinas: Marketing A, Pesquisa




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Operacional, Economia Rural e Gestão da Produção, Logística e

Materiais I. É professor da Unijuí, ligado ao Departamento das

Ciências Administrativas, Contábeis, Econômicas e da Comunica-ção (Dacec), ministrando as disciplinas de Administração de

Marketing I, Administração de Marketing II, Pesquisa Operacional,

Administração da Produção e Operações I, Administração da Pro-

dução e Operações II, Gestão de Produtos e Marcas, Marketing Es-

tratégico, Marketing Industrial e Estratégias de Distribuição e

Logística.



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Nivia Maria Kinalski

Natural de Ijuí, nasceu no dia 28 de dezembro de 1975. Cur-

sou o Ensino Fundamental na Escola Estadual de Dr. Bozano, da

cidade de Bozano. Após concluir esta etapa do estudo ingressou

na Escola Estadual de Ensino Médio Ruy Barbosa. Graduou-se

em Licenciatura em Matemática no ano de 2001 pela Unijuí. Em

2004 recebeu o título de Mestre em Modelagem Matemática, no-

vamente pela Unijuí, com a defesa da dissertação intitulada “Mo-

delagem da produção de vacas leiteiras com utilização de pasta-

gem e silagem de milho”, sob orientação do professor doutor Jorge

Luiz Berto.

No início de sua vida acadêmica já exercia atividades de re-

gência de classe, coordenadora de estágio e professora auxiliar de

Matemática, mas foi após a conquista do título de graduada em

Ciências com Habilitação Matemática do Ensino Fundamental e

Médio que passou a se dedicar inteiramente à profissão. Em 2001

foi professora substituta de Ciências e de Matemática para alunos

do Colégio Sagrado Coração de Jesus, em Ijuí, RS. Em 2003 lecio-

nou Matemática para alunos do Colégio Geração Positiva e daSociedade Educacional Três de Maio (Setren).

Em 2004 ingressou no quadro funcional da Unijuí, onde per-

manece até hoje, lecionando para alunos de diferentes cursos, como

Administração, Agronomia, Engenharia Elétrica, Engenharia Ci-

vil, Engenharia Mecânica, Tecnologia em Agronegócios, Biologia,

Ciências da Computação, Ciências Contábeis, Economia, Medici-

na Veterinária, Nutrição, Fisioterapia, Enfermagem, Farmácia e

Química, as disciplinas de: Geometria Analítica e Vetores, Progra- mação de Sistemas de Produção Agropecuários, Métodos Estatísti-

cos, Cálculos I, II, III e IV, Bioestatística, Estatística e Probabilida-

de, Matemática, Fundamentos da Matemática, Matemática Aplica-

da à Administração, Modelização de Sistemas Agropecuários, Ál-

gebra Linear, Funções II, Álgebra Moderna, Matemática Básica,

Geometria II, Álgebra Vetorial, Geometria Analítica, Matemática

Básica II, Estatística, Matemática no Ensino Fundamental II.

Sua participação na Universidade, entretanto, não se limita

às atividades docentes, pois participou de projetos de pesquisa,

como do Núcleo de Formação Pedagógica Geral (NFPG), “A União




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faz a Força” (convênio Sicredi x Unijuí); do Colegiado do antigo

Departamento de Física, Estatística e Matemática; e de atividades

de extensão universitária.

Ao longo de todo este tempo também atuou como docente

do Senac (2008-2009), ministrando módulos dos cursos de

Empacotador, Formação do Preço de Venda, Matemática Comercial

e Financeira, Módulos de Matemática, Oficinas de Matemática e

Operador de Caixa. Participou, inclusive, da elaboração de material

didático dos referidos cursos.

Sua participação como docente também ocorreu no Institu-

to Federal Farroupilha (IFF), de Santo Augusto, no período de 2009

a 2011, e em cursos preparatórios para concursos, como Einsteen

(Carazinho), Potencial (São Luiz Gonzaga), Futuro (Cruz Alta),

Data Work (Cerro Largo). Desde 1997 é professora particular de

Matemática, auxiliando os alunos do Ensino Fundamental e Mé-

dio no aprendizado da disciplina.

Participou da apresentação de inúmeros trabalhos em even-

tos científicos, oficinas e fóruns. Orientou alunos na elaboração

de seus trabalhos de conclusão de curso e tem participado, com

frequência, de eventos em busca de aperfeiçoamento dos seus co-

nhecimentos.



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ApresentaçãoApresentaçãoApresentaçãoApresentação

Constituímos esta obra com o propósito de provar a aplicabilidade da Matemática, ou

seja, dos números, na Administração das empresas. Esperamos com isso quebrar alguns

paradigmas e amenizar um pouco o receio que os atuais e futuros gestores têm quando se

deparam com questões quantitativas.

Inegavelmente o mundo mergulhou profundamente na Era da Informação e do Co-

nhecimento. Criatividade, inteligência e tecnologia formam um conjunto de elementos que

se constituem na forma ideal para o desenvolvimento das sociedades e das organizações.

Na área gerencial, a procura cada vez mais acirrada por maiores participações de mer-

cado, pela anulação da concorrência, pela conquista de novos clientes e manutenção dos

atuais, pela qualidade do produto, pela maximização dos resultados e pela minimização dos

dispêndios, tem levado as empresas a buscarem conhecimentos e técnicas que vão ao en-

contro destes objetivos.

Ao elaborarmos este livro-texto temos convicção de algumas situações. Uma delas é

que muitos cursos de Administração, Economia, além das Engenharias, mantêm em seus

Projetos Político-Pedagógicos a disciplina de Pesquisa Operacional. Isso remete à ideia de

que este componente curricular é importante e suas técnicas são utilizadas para a resolução

de problemas e encaminhamentos de ações nas mais variadas situações.

Outra é que parte das pessoas que se encaminham para alguns desses cursos têm

grandes dificuldades de assimilar conhecimentos na área quantitativa. E Pesquisa

Operacional se sustenta basicamente por meio de operações quantitativas. Podemos afir-

mar, entretanto, que não existe dificuldade que não possa ser superada.

Diante destes elementos, este livro-texto tem o propósito de desmistificar e mostrar aaplicabilidade das ferramentas da Pesquisa Operacional, que incluem o uso da Matemática

e da Estatística na resolução de problemas da área da Administração. Para atingir este

propósito esta obra emprega uma linguagem simples e de fácil compreensão, com exemplos

práticos que possibilitam o bom entendimento do conteúdo.

Este é um livro-texto para ler, entender e praticar. A partir da leitura desta obra ex-

pressões como Programação Linear, Modelo Matemático, Dualidade, Análise de Sensibili-

dade, Problema de Transporte, Teoria das Filas, Programação Dinâmica, Modelos de Esto-

que e Simulação farão parte da rotina profissional daqueles que a lerem. Um grande abraço

a todos e bons estudos.




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O Que Vamos EstudarO Que Vamos EstudarO Que Vamos EstudarO Que Vamos Estudar

Para que possamos dar conta do que se propõe este componente curricular e atingir os

objetivos estabelecidos, o conteúdo deste livro está organizado em seis unidades, descritas

no Quadro 1.

Quadro 1: Conteúdo programático.

Fonte: Elaborado pelos autores.

Unidade Título ConteúdoUNIDADE 1 • Conhecendo a Pesquisa

Operacional• Pesquisa Operacional: surgimento e conceito

•

Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional• Pesquisa Operacional e a Relação com oProcesso Decisório• Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional• A Natureza da Pesquisa Operacional• Teoria Clássica de Otimização

UNIDADE 2 • Programação Linear • Modelos em Programação Linear• O Método Simplex• Solução Ótima Através do Método Simplex• O Problema da Solução Básica Inicial• O Problema da Minimização• O Uso da Ferramenta Solver• O Método Gráfico• Análise de Sensibilidade• Dualidade• Interpretação Econômica da Dualidade• Análise Econômica

UNIDADE 3 • Problema do Transporte • Modelo em Problemas de Transporte• O Caso dos Sistemas Não Equilibrados• Métodos de Resolução para Problemas deTransporte• Solução Ótima em Problemas de Transporte

UNIDADE 4 • Teoria das Filas • Aspectos Gerais da Teoria das Filas• Características• Localização das Variáveis Aleatórias• Modelo de Fila M/M/1• Modelo de Fila M/M/C

UNIDADE 5 • Programação Dinâmica eModelos de Estoque

• Introdução à Programação Dinâmica e Modelosde Estoque• Principais Características, Modelos Dinâmicos eProblemas de Aplicação

UNIDADE 6 • Simulação • Introdução à Simulação• Vantagens e Desvantagens da Simulação• Área de Aplicação da Simulação• Tipos de Modelos de Simulação• Etapas de um Projeto de Simulação• Exemplo de Modelo de Simulação




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UNIDADE 1

A Unidade 1 tem como objetivo proporcionar o suporte teórico necessário para o bom

entendimento dos conteúdos do componente curricular. Fazem parte desta Unidade o con-

ceito de Pesquisa Operacional, seu surgimento e fases de estudo; a relação da Pesquisa

Operacional com o Processo Decisório, em que os conceitos de decisão e as peculiaridades

do processo decisório serão abordados.

UNIDADE 2

O objetivo da Unidade 2 é mostrar a resolução de problemas de Programação Line-

ar. Nesta Unidade os acadêmicos aprenderão a transformar em modelos matemáticossituações reais do dia a dia das empresas, para depois resolvê-los por meio do Método

Simplex e do Método Gráfico, além de fazer a Análise de Sensibilidade e a Análise Eco-

nômica. Também resolveremos problemas relacionados à Solução Básica Inicial e pro-

blemas de minimização. Outro tema relacionado a esse capítulo do livro-texto é o uso

da ferramenta Solver para a resolução de problemas de Programação Linear. Além disso,

fazem parte desta Unidade a construção e resolução de modelos duais e sua interpreta-

ção econômica.

UNIDADE 3

A Unidade 3 trata basicamente de situações de transporte. Resumidamente, esta Uni-

dade busca mostrar aos leitores do livro-texto como e quais métodos podem ser utilizados

para ajudar as empresas a minimizar os custos com logística. Para tanto, além da constru-

ção de modelos matemáticos, esta etapa mostrará o caso dos sistemas não equilibrados, os

três métodos de resolução desse tipo de problema, que são o Método do Custo Mínimo, o

Método do Canto Noroeste e o Método de Vogel, e a solução ótima em Problemas de Trans-

porte.

UNIDADE 4

A Unidade 4 aborda especi ficamente a Teoria das Filas. Essa teoria tem sido aplicada

na solução de problemas relativos de tráfego (congestionamento), em programação de tráfe-

go aéreo, em projetos de represas, em programação de produção, em operações hospitalares,

na resolução de problemas de filas em bancos e supermercados, entre outras aplicações. Os

conteúdos desta Unidade são: introdução à pesquisa operacional, aspectos gerais da Teoria

das Filas, características das filas, localização das variáveis aleatórias, Modelo de fila M/M/ 1 e Modelo de fila M/M/C.



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UNIDADE 5

A Unidade 5 tem o objetivo de revelar técnicas de Programação Dinâmica e Modelos

de Estoque e está dividida nas seguintes etapas: introdução à programação dinâmica e

modelos de estoque, principais características da programação dinâmica e dos modelos de

estoque, modelos dinâmicos de estoque e problemas de aplicação.

UNIDADE 6

A Unidade 6 apresenta as técnicas de simulação que, de uma maneira resumida, pres-

supõe o emprego de computadores e gera resultados como potencial de vendas e análise de

atrasos na expedição de produtos pelo exame de tabelas de números aleatórios que sãoessenciais aos programas. Fazem parte desta Unidade os seguintes conteúdos: introdução à

simulação, vantagens e desvantagens da simulação, área de aplicação da simulação, tipos

de modelos de simulação, etapas de um projeto de simulação e exemplo de modelo de simu-

lação



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Unidade 1Unidade 1Unidade 1Unidade 1

CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

OBJETIVOS DESTA UNIDADE

Esta unidade tem o propósito de subsidiar, do ponto de vista teórico, os conteúdos das

unidades subsequentes. Para tanto, abordaremos nesta etapa os conceitos de Pesquisa

Operacional, seu surgimento, as fases de um estudo em Pesquisa Operacional, a relação da

Pesquisa Operacional com o Processo Decisório, os conceitos de decisão e as peculiaridades

do processo decisório.

AS SEÇÕES DESTA UNIDADE

Seção 1.1 – Pesquisa Operacional: surgimento e conceito

Seção 1.2 – Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional

Seção 1.3 – Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório

Seção 1.4 – Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional

Seção 1.5 – A Natureza da Pesquisa Operacional

Seção 1.6 – Teoria Clássica de Otimização

Seção 1.1

Pesquisa Operacional: surgimento e conceito

Iniciaremos nossos estudos abordando o surgimento da Pesquisa Operacional. De acor-

do com Andrade (2000), surgiu pela primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quan-

do pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver problemas de operações

militares. O sucesso dessas ações levou o mundo acadêmico e empresarial a utilizar suas

técnicas em problemas da administração.




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Para você, afinal, que está lendo este livro, o que é Pesquisa Operacional? Já ouviu

falar algo sobre esta disciplina? Para Silva et al. (2009), Pesquisa Operacional é um método

científico para as tomadas de decisão. Consiste basicamente na descrição de situações re-ais, que são transformadas em modelos matemáticos que, por sua vez, servirão de base para

a utilização de algumas ferramentas, cujo objetivo é alcançar o melhor resultado possível.

As ferramentas de Pesquisa Operacional geralmente são utilizadas para maximizar lucros

ou minimizar custos.

Para começar a entender para que servem os métodos de Pesquisa Operacional, utili-

zaremos um exemplo de maximização de lucro:

A Pizzas do Sul, empresa localizada no município de Três Passos, Estado do RS, após

análise de seu mercado, identificou a possibilidade de produzir dois tipos de produtos: pizzas

tamanho “G” e pizzas tamanho “GG”. O lucro de cada unidade de pizza tamanho “G” é de

R$ 8,00. Já o lucro de cada unidade de pizzas tamanho “GG” é de R$ 2,00. O tempo neces-

sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G” é de 2 horas, enquanto que o tempo

necessário para produzir uma unidade de pizza tamanho “GG” é de 3 horas. Para produzir

uma pizza tamanho “G” são necessários 2 funcionários, enquanto que para produzir uma

pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de merca-

do encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é

de até 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é supe-rior a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de

cada tipo de pizza que deverão ser produzidas e indique o lucro máximo, considerando que

a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8 funcionários por dia para a produ-

ção desses dois produtos.

O resultado deste exemplo indica que a Pizzas do Sul deve produzir 4 unidades de

pizzas “G” e nenhuma unidade de pizza “GG”, gerando um lucro máximo de R$ 32,00. A

produção ficou limitada a esta quantidade devido ao número de funcionários disponíveis,

que é de apenas 8. Além disso, considerando essa quantidade produzida, sobraram 4 horas

de mão de obra sem serem utilizadas, e uma demanda de 16 unidades de pizzas “G” ainda a

ser atendida, além da demanda de 28 unidades de pizzas tamanho “GG”. E como chegar a

estas conclusões? A resposta é simples: com o uso das ferramentas de Pesquisa Operacional.

Na segunda seção deste livro utilizaremos este mesmo exemplo e ensinaremos o passo-a-

passo para chegar a este resultado.

Este é apenas um exemplo relacionado à aplicabilidade das ferramentas da Pesquisa

Operacional. Programação Linear, Problemas de Transporte, Teoria das Filas, Programação

Dinâmica, Modelos de Estoque e Simulação são os conteúdos que compõem o universo da

Pesquisa Operacional.



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Seção 1.2

Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional

De acordo com Andrade (2000), são seis as fases de um estudo em Pesquisa Operacional,

expostas na Figura 1: definição do problema, construção do modelo, solução do modelo,

validação do modelo, implementação dos resultados e avaliação final.

Essa sequência de passos não é rígida, mas indica as principais etapas que devem ser

seguidas. Os procedimentos utilizados nessas fases dependem do tipo do problema em aná-

lise e do contexto que o envolve.

Figura 1 – Fases de um estudo em Pesquisa Operacional

Fonte: Andrade (2000).

a) Definição do problema

A definição do problema baseia-se em três aspectos: identificação das variáveis de de-

cisão, descrição e definição dos objetivos e reconhecimentos das limitações, restrições e exi-

gências do sistema.

DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

PERCEPÇÃO DA DEMANDA POR SOLUÇÃO

CONSTRUÇÃO DO MODELO

SOLUÇÃO DO MODELO

VALIDAÇÃO DO MODELO

IMPLEMENTAÇÃO DOSRESULTADOS

SOLUÇÃO DO MODELO

EXPERIÊNCIA




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O problema começa a ser resolvido a partir da definição dos objetivos, os quais podem

ser de maximização ou minimização de algo. O segundo ponto é determinar as variáveis de

decisão, que devem estar relacionadas aos objetivos. Já o terceiro elemento é compostopelas restrições, limitações ou exigências existentes.

b) Construção do modelo

O modelo a ser construído deve estar baseado na definição do problema. Esta é a fase

que exige maior criatividade do analista, uma vez que a qualidade de todo o processo de-

pende desta etapa. Modelos matemáticos são muito utilizados pelas empresas em seus pro-

cessos decisórios.

c) Solução do modelo

Tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. Em Pesquisa

Operacional algumas técnicas conhecidas como o Método Simplex, Análise de Sensibilida-

de, Dualidade, Simulação, entre outras, são empregadas na solução de modelos.

d) Validação do modelo

Segundo Andrade (2000), é necessário verificar a validade do modelo. Um modelo éválido quando for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e

uma resposta para a qualidade da decisão a ser tomada.

Um sistema pode ser validado por meio da análise de dados passados do próprio siste-

ma e da utilização desses dados para verificar se o sistema reproduziu o mesmo comporta-

mento ou comportamento parecido.

e) Implementação da solução

Avaliadas as vantagens e a validade da solução obtida, esta deve ser convertida em

regras operacionais. A implementação é uma etapa crítica do estudo. É importante que seja

controlada por uma equipe responsável e com poder de decisão, pois a nova solução, quan-

do colocada em prática, pode exigir mudanças na empresa, afetando os vários setores.

f) Avaliação final

A avaliação dos resultados é fundamental em qualquer etapa do processo. A avaliação

final possibilita identificar pontos fracos e possíveis gargalos que devem ser corrigidos em

ações posteriores. Um fator importante na avaliação final é a experiência do pessoal envol-

vido no estudo.



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Seção 1.3

Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório

As ferramentas de Pesquisa Operacional fornecem instrumentos para as tomadas de

decisão. Dessa forma, é importante entender os principais conceitos de decisão. Decisão pode

ser descrita como o curso de ação escolhido por alguém (pessoa, instituição) para alcançar os

objetivos desejados, ou seja, para resolver um problema que incomoda (Andrade, 2000).

É o resultado de um processo que se desenvolve a partir do momento em que um

problema foi detectado, mediante a percepção de alguns sintomas. O processo de decisão

empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que algo está erra-do. A partir dessa percepção inicia-se a busca pela identificação do problema. Na sequência

do livro-texto serão abordadas as características do processo decisório, como as decisões

são classificadas, a qualidade das decisões e os obstáculos a uma decisão de qualidade.

1.3.1 – CARACTERÍSTICAS DO PROCESSO DECISÓRIO

Andrade (2000) destaca quatro características principais do processo decisório. São elas:

• o processo de decisão é sequencial;

• é um processo complexo;

• é um processo que envolve valores subjetivos;

• é um processo desenvolvido dentro do ambiente institucional com regras mais ou menos

definidas e, até certo ponto, inflexíveis.

a) Processo sequencial

Parte do pressuposto de que todas as decisões são consequências de uma série de fatos

anteriores que criaram as bases do processo decisório. Isso significa que uma decisão é um

conjunto de muitas outras decisões que se desenvolvem durante um longo período de tempo.

b) Processo complexo

Os processos decisórios são extremamente complexos. Vários são os fatores que con-

duzem a esta afirmação. Primeiramente, podemos afirmar que quase sempre as informações

relacionadas ao problema são insuficientes. Além disso, o processo decisório envolve inter-relacionamento entre pessoas, em que interesses pessoais muitas vezes se sobrepõem aos

interesses organizacionais.




20

O processo decisório também inclui interesses e objetivos diferentes dos participantes.

Em situações em que há um grande número de interesses antagônicos, o processo decisório

torna-se lento, incerto e, muitas vezes, ineficaz. A complexidade do processo decisório tam-bém se confirma pelo estilo de liderança dos administradores, que podem ser centralizadores

ou descentralizadores. Outros fatores que fazem do processo decisório um processo comple-

xo são:

• tamanho do grupo de decisão;

• tipos de sistemas de informações gerenciais;

• tipos de decisões que devem ser tomadas e

• nível de decisão dentro da empresa.

c) Processo inclui valores subjetivos

Decisões são tomadas por pessoas. Por mais que se busque a participação coletiva

no processo decisório e que esta seja baseada em dados e informações, quem realmente

decide é um conjunto limitado de pessoas. E é nesse momento que os fatores intuitivos,

provenientes da experiência pessoal e da personalidade de quem decide, se fazem pre-

sentes.

Não se quer aqui negar a importância desses fatores no processo de decisão. Muito

pelo contrário, é o uso desses fatores que diferencia o bom do mau administrador (Andrade,

2000).

d) Processo em ambiente institucional

A estrutura organizacional influencia diretamente o processo de tomadas de decisão

nas organizações. Qual, entretanto, é a estrutura mais indicada para desenvolver decisões

eficazes? Aquela centralizada em uma ou poucas pessoas, mais verticalizada? Ou a melhor

estrutura é aquela em que todas as pessoas pertencentes à empresa têm participação direta

e efetiva no processo?

É difícil encontrar uma resposta exata para esses questionamentos. Na Administração

não existe uma fórmula mágica para resolver os problemas empresariais. Algumas experiên-

cias, contudo, mostram que ações voltadas à Qualidade Total, empowerment, planejamento

estratégico e desenvolvimento de equipes, entre outras, quando desenvolvidas coletivamen-

te, geram bons resultados.



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1.3.2 – CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES

As decisões em Administração são tomadas seguindo diversos critérios. No entanto,

como nosso interesse é discutir as características das decisões sob a ótica da racionalidade,

apresentaremos uma classificação em que as decisões são vistas à luz do nível em que ocor-

rem dentro da empresa e do grau de complexidade envolvido. As decisões têm relação direta

com níveis em que são tomadas e com o seu grau de estruturação.

Vários são os tipos de decisões tomadas pelas empresas. Algumas são mais complexas,

envolvem grandes montantes financeiros e alto risco. Outras têm um grau de complexidade

menor se comparadas às primeiras, e risco médio. E algumas possuem um baixo grau de

complexidade e risco. A quem, contudo, cabe a responsabilidade de decidir? A seguir, apre-sentaremos os níveis organizacionais e suas responsabilidades no processo de tomadas de

decisão.

• Nível estratégico: decisões de nível estratégico envolvem alto risco, e grandes montantes

financeiros. São de grande importância e abrangência. São exemplos de decisões de nível

estratégico a construção de uma nova fábrica, decisões de diversificação, lançamento de

uma nova marca e fusão com outra empresa, entre outras.

• Nível tático: decisões de nível tático envolvem risco médio e montantes financeiros me-

nores que os envolvidos nas decisões de nível estratégico, mas maiores dos que são envol-

vidos no nível operacional. São exemplos desse tipo de decisão as programações orça-

mentárias, programação da produção, contratação de um funcionário.

• Nível operacional: decisões de nível operacional envolvem baixos riscos e pequenos mon-

tantes financeiros. São as chamadas decisões diárias, corriqueiras. Exemplo: controle de

estoque.

1.3.3 – QUALIDADE DAS DECISÕES

O que significa ter qualidade nas decisões? É possível afirmar que existem decisões

ótimas? O que é uma decisão de alta qualidade? É possível se obter o consenso sobre deci-

sões instituídas? Decisões irracionais podem ter sucesso? É possível ser totalmente racional

quando se decide sobre algo?

Definir uma decisão como sendo de alta qualidade é uma tarefa difícil e discutível

(Andrade, 2000). Às vezes uma decisão aparentemente inadequada e ou até mesmo irracio-

nal para algumas pessoas pode tornar-se um grande sucesso e causará admiração pelo fatode que ninguém apostava nela.




22

É importante ressaltar, contudo, que essa situação configura-se como uma grande

exceção e felizmente todas as decisões seguem um padrão mais perceptível de racionalidade.

É possível identificar algumas características do que seria uma decisão de qualidade, navisão de Andrade (2000):

• garantia de realização dos objetivos preestabelecidos;

• adaptação dos meios necessários aos objetivos buscados;

• satisfação dos interesses envolvidos;

• consistência dos cursos de ação.

Dessa forma, podemos afirmar que a qualidade da decisão é maior quanto maior for o

grau de participação dessas características no processo decisório.

1.3.4 – OBSTÁCULOS A UMA DECISÃO DE QUALIDADE

Vários são os obstáculos que surgem para complicar o processo de tomada de uma

decisão. Alguns deles dizem respeito ao caráter pessoal do administrador, como a força do

hábito e valores pessoais. É o caso da seguinte desculpa: “Sempre fizemos dessa forma”.

Outro obstáculo que se apresenta relaciona-se às questões políticas e às relações de

poder no ambiente empresarial: “Não podemos descontentar o João porque ele tem muito

poder”.

O ambiente econômico também pode ser considerado um obstáculo a uma decisão de

qualidade. Situações da economia, incerteza do ambiente e políticas de governo afetam

decisivamente a qualidade das decisões.

Outro fator que muitas vezes prejudica a qualidade das decisões é o tempo. Às vezes

a urgência da decisão faz com que se tome uma decisão equivocada e com conhecimentoincompleto dos dados do problema. Para Andrade (2000), contudo, existem duas dificul-

dades maiores que são inerentes ao problema e que podem influenciar inevitavelmente a

qualidade da decisão: a escolha do problema certo para resolver e o conhecimento insufi-

ciente.

a) Escolha do problema certo para resolver

Fazer certo as coisas é importante, porém fazer as coisas certas é mais importante

ainda. E o que isso quer dizer? O primeiro passo para uma decisão de qualidade é saber qualproblema requer solução, pois os mesmos não aparecem com rótulos, pedindo uma solução.



EaD

23


Eles aparecem por meio de alguns sintomas, como reclamações, atrasos, prejuízos.

Diante disso, a primeira tarefa do administrador é identificar os problemas que causam os

efeitos perturbadores. Peter Drucker, como revela Andrade (2000), afirma que a fonte maiscomum de enganos é a ênfase em encontrar a resposta certa em lugar de procurar a questão

certa para responder.

b) Conhecimento insuficiente

Para que uma decisão tenha qualidade indiscutível, é necessária a posse de um amplo

e completo conjunto de informações acerca de todas as alternativas possíveis, como tam-

bém possíveis consequências acerca de cada alternativa (Andrade, 2000).

A realidade, entretanto, nos mostra que isso é impossível de acontecer. Na maioria

das vezes os gestores tomam decisões baseadas em informações incompletas e parciais.

Isso ocorre por várias razões. A primeira relaciona-se ao alto custo das informações, o que

significa que quanto mais informações o gestor pedir, mais tempo e dinheiro serão gastos

para sua obtenção.

Por outro lado, se poucas informações criam um ambiente de incerteza para o proces-

so de decisão, muitas informações também podem prejudicar, o que exige tempo e habilida-

des extras para análise. Diante disso, o administrador, muitas vezes, decide tendo comobase sua experiência pessoal.

Seção 1.4

Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional

A Pesquisa Operacional tem sido vista, de acordo com Andrade (2000), sob doisenfoques diferentes quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação

prática: o enfoque clássico e o enfoque atual.

a) Enfoque clássico

Deriva do conceito quantitativo da Pesquisa Operacional. De acordo com esse enfoque,

a Pesquisa Operacional é definida como a arte de aplicar técnicas de modelagem a proble-

mas de decisão e resolver os modelos obtidos por meio da utilização de métodos matemá-

ticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução ótima, sob uma abordagemsistêmica.




24

Para grande parte dos administradores essa definição leva à ideia de que Pesquisa

Operacional apenas fornece um conjunto de técnicas e métodos que são úteis apenas para

a solução de determinados problemas, quando estes podem ser modelados na forma correta.Como modelos são representações simplificadas da realidade, as soluções ótimas obtidas

podem deixar a desejar quanto a sua aplicabilidade.

Apesar de apresentar algumas limitações, o enfoque clássico tem o mérito de ter sido,

por muito tempo, extremamente útil ao desenvolvimento dessa metodologia, pois agregou

um grande contingente de matemáticos, engenheiros, físicos, economistas e profissionais de

diversas áreas, pesquisando e desenvolvendo métodos para a solução de problemas.

b) Enfoque atual

Decorre de um conceito qualitativo da Pesquisa Operacional. A ênfase na construção

de modelos leva a uma compreensão mais profunda do próprio problema, identificando me-

lhor seus elementos internos, suas interações com o ambiente externo, as informações ne-

cessárias e os resultados possíveis de obter.

A importância da Pesquisa Operacional reside na sua influência sobre o modo pelo

qual os administradores abordam os problemas, na maneira como os formulam, na relação

com os demais problemas e na forma usada para sua comunicação a outras pessoas.

Perde importância o rigor matemático e ganham relevância o espírito crítico e a sensi-

bilidade para descobrir o problema correto a analisar e quais informações são determinantes

para a decisão e quais são coadjuvantes.

Seção 1.5

A Natureza da Pesquisa Operacional

Ao abordarmos a natureza da Pesquisa Operacional precisamos recordar a importân-

cia dos modelos matemáticos para analisar e compreender o comportamento de uma situa-

ção real com o objetivo de levá-lo a apresentar o melhor resultado possível.

Basicamente, a natureza da Pesquisa Operacional nos revela que, quando da neces-

sidade de resolver um problema, o primeiro passo é representá-lo mediante a construção

de um modelo. Nesse modelo deverão estar elencadas as principais variáveis que afetam a

decisão.



EaD

25


No campo da Administração, os sistemas com os quais os administradores lidam têm a

característica de serem influenciados por um grande número de variáveis. Podemos afirmar,

então, que os sistemas são complexos. Isso torna a tarefa dos gestores cada vez mais difícil.O agravante é que a tendência é o aumento dessa complexidade, em ritmo cada vez mais

acelerado, diante das condições decorrentes das mudanças dos ambientes político, econô-

mico, social, ambiental e tecnológico.

A Pesquisa Operacional, vista como um conjunto de ferramentas que auxiliam os admi-

nistradores na tomada de decisão, tem evoluído para dar conta dessa complexidade atual.

Seção 1.6

Teoria Clássica de Otimização

Problemas de otimização, na sua forma geral, têm como objetivo maximizar ou

minimizar uma função definida sobre uma certa situação. A teoria clássica de otimização

trata do caso em que as soluções são variadas e infinitas. Já no caso dos chamados proble-

mas de otimização combinatória, as soluções são restritas. Além disso, em geral é fácil listar

os seus elementos e também testar se um dado elemento pertence ou não a essa solução. Ainda assim, a ideia ingênua de testar todos os elementos desta situação na busca pelo

melhor mostra-se inviável na prática, mesmo para instâncias de tamanho moderado.

Como exemplos clássicos de problemas de otimização combinatória podemos citar o

problema do caixeiro viajante, o problema da mochila, o problema da cobertura mínima por

conjuntos, o problema da floresta de Steiner e o problema de encontrar um conjunto inde-

pendente máximo em um gráfico. No sentido técnico, todos são problemas não probabilísticos

difíceis.

Estes, e diversos outros de mesma natureza são, porém, de grande interesse, pois sur-

gem em aplicações práticas na indústria, tais como em projetos de redes de telecomunica-

ção e de circuitos, problemas de empacotamento, problemas de localização de centros distri-

buidores, problemas de escalonamento, problemas de roteamento de veículos, entre outros.

Outras áreas de aplicação incluem estatística (análise de dados), economia (matrizes de

entrada/saída), física (determinação de estados de energia mínima), biologia molecular (ali-

nhamento de DNA, inferência de padrões).




26

SÍNTESE DA UNIDADE 1

Nesta Unidade pudemos perceber a importância e a aplicabilidadeda Pesquisa Operacional. Aprendemos que Pesquisa Operacional

surgiu durante a Segunda Guerra Mundial para resolver proble-

mas de operações militares. Descobrimos também que a base da

Pesquisa Operacional é a Matemática, onde tudo começa com um

problema a ser resolvido, passando pela construção de um modelo

matemático, seguido de sua resolução e posterior teste. Esta Uni-

dade também serviu para nos mostrar que as ferramentas de Pes-

quisa Operacional estão diretamente relacionadas ao processo

decisório das organizações, pois suas ferramentas possibilitam àsempresas escolhas de ações mais confiáveis e menos incertas.



EaD

27



PROGRAMAÇÃO LINEAR


Nesta etapa do estudo abordaremos a resolução de problemas de Programação Li-

near. Para isso é importante que os acadêmicos aprendam a construir modelos matemá-

ticos, que são resultantes de s ituações reais do dia a dia das empresas. Após entender o

processo de construção de modelos, resolveremos os mesmos por meio de dois métodos,

que são o Método Simplex e o Método Gráfico, além de fazer a Análise de Sensibilidade

e a Análise Econômica. Também resolveremos problemas relacionados à Solução Básica

Inicial e problemas de minimização. Na sequência explicaremos o uso da ferramenta

Solver para a resolução de problemas de Programação Linear. Outro elemento que faz

parte desta Unidade refere-se à construção e resolução de modelos duais e sua interpre-

tação econômica.


Seção 2.1 – Modelo em Programação Linear

Seção 2.2 – O Método Simplex

Seção 2.3 – Solução Ótima pelo Método Simplex

Seção 2.4 – O Problema da Minimização

Seção 2.5 – O Problema da Solução Básica Inicial

Seção 2.6 – O Método Gráfico de Resolução de Problemas de Programação Linear

Seção 2.7 – O Uso da Ferramenta Solver

Seção 2.8 – Análise de Sensibilidade

Seção 2.9 – Dualidade

Seção 2.10 – Interpretação Econômica da Dualidade

Seção 2.11 – Análise Econômica




28

Seção 2.1

Modelo em Programação Linear

O primeiro passo para resolver um problema de Programação Linear é a construção do

modelo matemático. A construção do modelo deve seguir o seguinte roteiro, segundo Silva

et. al (2009): determinação das variáveis de decisão, determinação da função objetivo e

determinação das restrições.

a) Determinação das variáveis de decisão

Consiste em determinar as decisões que devem ser tomadas e representá-las mediante

o que é chamado de variáveis de decisão. Se o problema é de programação de produção, as

variáveis de decisão são as quantidades a produzir no período; se for um problema de pro-

gramação de investimento, as variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é,

quanto investir em cada oportunidade e em que período. As variáveis de decisão serão repre-

sentadas pelos seguintes símbolos: x1, x

2 e x

3 e assim sucessivamente, dependendo do núme-

ro de variáveis de decisão.

b) Determinação da função objetivo

Nesta etapa devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles geralmente

aparecem na forma de maximização de lucros ou receitas, e na minimização de custos ou

alguns tipos de perdas. A construção da função objetivo está diretamente relacionada com

as variáveis de decisão previamente determinadas.

c) Determinação das restrições

Cada restrição imposta deve ser expressa de forma linear. Restrições podem ser defini-

das como os elementos que limitam o processo decisório, ou seja, as condições dadas. Por

exemplo, uma empresa de confecções pode limitar a quantidade de peças de roupas a produ-

zir devido à disponibilidade de tecido que possui. Nesse caso, a quantidade de tecido pode

restringir o número de itens e limitar o lucro da empresa.

Para entendermos melhor o processo de construção de modelos em Programação Line-

ar, utilizaremos dois exemplos, que estão expostos e detalhados na sequência.



EaD

29


Modelo em Programação Linear: Exemplo 1– o caso da Maximização de lucro na empresa “Pizzas do Sul”.





sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G” é de 2 horas, enquanto que o tempo



pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de mercado

encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é deaté 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é superior

a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as quanti-

dades de cada tipo de pizza que deverão ser produzidas e, como consequência disso, indicar

o lucro máximo, considerando que a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8

funcionários por dia para a produção desses dois produtos.

a) Determinação das Variáveis de Decisão

A primeira pergunta a fazer é qual o objetivo do problema. O objetivo é maximizar o

lucro. Para isso acontecer, no entanto, precisamos saber quais são as quantidades de cada

tipo de pizza que devem ser produzidas, pois já conhecemos o lucro unitário de cada uma

delas. Geralmente, as variáveis de decisão vêm acompanhadas do lucro, custo e receita uni-

tários. Então, determinaremos por “x1” a quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida

e por “x2” a quantidade de pizza tamanho “GG” a ser produzida, ficando esta etapa do

modelo da seguinte forma:

x 1: quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida

x 2: quantidade de pizzas tamanho “GG” a ser produzida

b) Determinação da Função Objetivo

O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser obtido:

• Lucro de cada unidade de pizza “G”: 8.x1

• Lucro de cada unidade de pizza “GG”: 2.x2

LUCRO TOTAL: 8.x1 + 2.x

2

Maximizar L: 8.x 1 + 2.x

2




30

c) Determinação das Restrições

As restrições estabelecidas no problema são:

Primeira restrição: número de horas

• Horas ocupadas com a produção das pizzas tamanho “G”: 2.x1 (uso por unidade X quan-

tidade produzida).

• Horas ocupadas com a produção das pizzas tamanho “GG”: 3.x2 (uso por unidade X quan-

tidade produzida).

• Tempo total em horas ocupadas na produção: 2.x1 + 3.x

2

• Disponibilidade máxima: 12 horas.

Logo 2.x 1 + 3.x

2 ≤ (menor ou igual) 12

Se o número de horas disponível fosse de no mínimo 12 horas, utilizaríamos o sinal de

“³” (maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: 2.x1 + 3.x

2 ≥12. Além disso, se o

número de horas disponível fosse de 12 horas, utilizaríamos o sinal de “=” (igualdade) e a

equação ficaria da seguinte forma: 2.x1 + 3.x

2 = 12.

Segunda restrição: número de funcionários

• Número de funcionários usados na produção das pizzas tamanho “G”: 2.x1 (uso por uni-

dade X quantidade produzida).

• Número de funcionários usados na produção das pizzas tamanho “GG”: 1.x1 (uso por

unidade X quantidade produzida).

• Número total de funcionários usados na produção: 2.x1 + 1.x

2

• Disponibilidade máxima: 8 funcionários.

Logo 2.x 1 + 1.x


Por outro lado, se o número de funcionários disponível fosse de no mínimo 8 colabo-

radores, utilizaríamos o sinal de “≥” (maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma:

2.x1+1.x2 ≥ 8. Já se o número de funcionários fosse de 8 colaboradores, usaríamos o sinal de

“=” (igualdade) e a equação ficaria da seguinte forma: 2.x1 + 1.x

2 = 8.



EaD

31


Terceira restrição: demanda de X 1

• Demanda para x 1 de até 20 unidades. Portanto:

x 1 ≤ (menor ou igual) 20 unidades

Se a demanda para x 1 fosse de no mínimo 20 unidades, utilizaríamos o sinal de ³

(maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: x1 ³ 20 unidades. Por outro lado, se

a demanda de x 1 fosse de 20 unidades, a equação ficaria da seguinte forma: x

1 = 20.

Quarta restrição: demanda de x 2

• Demanda para x 2 de até 28 unidades. Portanto:

x 2 ≤ (menor ou igual) 28 unidades

Se a demanda para x2 fosse de no mínimo 28 unidades, utilizaríamos o sinal de ³

(maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: x2 ≥ 28 unidades. Por outro lado, se

a demanda para x2fosse de 28 unidades teríamos de usar o sinal de igualdade e a equação

ficaria assim: x 2 = 28.

• Resumo do Modelo

Variáveis de decisão:



Função Objetivo:

Maximizar L: 8.x1 + 2.x

2

Restrições

Horas 2.x1 + 3.x

2 ≤ 12

Funcionários 2.x1 + 1.x

2 ≤ 8

Demanda X 1 x1 ≤ 20

Demanda X 2

x2 ≤ 28




32

Vale salientar que nesta etapa só estamos construindo modelos de Programação Line-

ar. Adiante abordaremos soluções possíveis dos modelos.

Modelo em Programação Linear: Exemplo 2:Minimização de custo na empresa “Móveis Madeira”.

A indústria de Móveis Madeira produz dois tipos de produtos: mesas para computa-

dor e escrivaninhas. A empresa necessita de 4 horas para produzir cada mesa para compu-

tador e 6 horas para fabricar cada unidade de escrivaninha. O tempo disponível para fazer

essas atividades é de, no máximo, 480 horas. Além disso, uma análise da empresa revela

que a demanda esperada para mesas de computador é de, no mínimo, 80 unidades, en-

quanto que a demanda para escrivaninhas é de no mínimo 60 unidades. Construa o Mo-

delo de Programação Linear que possibilite conhecer as quantidades de cada tipo de pro-

duto a serem produzidas com o menor custo, considerando que cada mesa para computa-

dor tem um custo de produção de R$ 50,00 e cada escrivaninha tem um custo de produção

de R$ 75,00.

a) Determinação das Variáveis de Decisão

O objetivo é minimizar o custo. Para isso acontecer, precisamos saber quais são as

quantidades de mesas para computador e escrivaninhas que devem ser produzidas, pois já

conhecemos o custo unitário de cada um desses produtos. Determinaremos por “x1” a quan-

tidade de mesas para computador a ser produzida, e por “x2” a quantidade de escrivaninhas

a ser produzida, resultando esta etapa do modelo da seguinte forma:

x 1: quantidade de mesas para computador a ser produzida

x 2: quantidade de escrivaninhas a ser produzida

b) Determinação da Função Objetivo

O objetivo é minimizar o custo, ou seja, produzir as quantidades necessárias com o

menor custo possível:

• Custo de cada unidade de mesa para computador: 50.x1

• Custo de cada unidade de escrivaninha: 75.x2

Custo Total: 50.x1 + 75.x2

Minimizar C: 50.x1 + 75.x

2



EaD

33


c) Determinação das Restrições

As restrições estabelecidas no problema são:

Primeira restrição: número de horas

• Horas ocupadas com a produção de cada unidade de mesa para computador: 4.x1 (uso por

unidade X quantidade produzida).

• Horas ocupadas com a produção de cada unidade de escrivaninha: 6.x2 (uso por unidade

X quantidade produzida).

• Tempo total em horas ocupadas na produção: 4.x1 + 6.x

2

• Disponibilidade máxima: 480 horas.

Logo 4.x 1 + 6.x


Se o número de horas disponível fosse de no mínimo 480 horas, utilizaríamos o sinal

de ³ (maior ou igual), ou seja, 4.x1 + 6.x

2 ³ 480.

Segunda restrição: demanda de X 1

• Demanda para x1 de no mínimo 80 unidades. Portanto:

x 1 ≥ (maior ou igual) 80 unidades

Se a demanda para x1 fosse de no máximo 80 unidades, utilizaríamos o sinal de ≤

(menor ou igual), ou seja, x1 ≤ 80 unidades.

Terceira restrição: demanda de x 2

• Demanda para x2 no mínimo 60 unidades. Portanto:x

2 ≥ (maior ou igual) 60 unidades

Se a demanda para x2 fosse de no máximo 60 unidades, utilizaríamos o sinal de ≤

(menor ou igual), ou seja, x2 ≤ 60 unidades.

• Resumo do Modelo


x 1: quantidade de mesas para computador a produzir

x 2: quantidade de escrivaninhas a produzir




34

Função Objetivo:


2

Restrições

Horas 4.x1 + 6.x

2 ≤ 480

Demanda X 1 x

1 ≥ 80

Demanda X 2

x2 ≥ 60

EXERCÍCIOS (LISTA 1)

Construa o modelo matemático de Programação Linear dos problemas descritos a se-

guir:

1. Uma serralheria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a

empresa produz apenas dois tipos de produtos: portas e portões, ambos de um só modelo.

Consideraremos o fato de a serralheria ter limitações de apenas dois recursos produtivos,

que são ferro e horas de mão de obra, cujas disponibilidades máximas são de 120 Kg e 80horas, respectivamente. Além disso, sabe-se que para fabricar uma porta são necessários

20 Kg de ferro e 20 horas de mão de obra, enquanto que para produzir cada unidade de

portão são necessários 30 Kg de ferro e 10 horas de mão de obra. O lucro unitário de cada

porta é de R$ 200,00, e o lucro de cada unidade de portão é de R$ 500,00. Construa o

modelo de Programação Linear que possibilite definir as quantidades de cada tipo de

produto que devem ser produzidas para maximizar o lucro.

2. Uma indústria de confecções produz 2 tipos de jaquetas: adulto feminina (P1) e adulto

masculina (P2). A demanda para P1 é de no máximo 120 unidades por trimestre. Já para

P2 a demanda é de no mínimo 90 unidades por trimestre. São necessários 6 funcionários

para produzir uma unidade de P1 e 9 funcionários para produzir uma unidade de P2. A

mão de obra disponível para executar tais tarefas não é superior a 360 colaboradores. Já

o lucro unitário gerado por cada unidade de P1 é de R$ 300,00 e R$ 450,00 para cada

unidade de P2. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar a quan-

tidade de cada tipo de produto que deve ser produzida para maximizar o lucro.

3. O restaurante Comer Bem produz dois pratos principais: filés e pizzas. Dentre os diversos

ingredientes utilizados na fabricação desses pratos destacam-se as carnes e os molhos. A

tabela do uso desses recursos encontra-se a seguir:



EaD

35


Além disso, sabe-se que o lucro de cada prato de filé é de R$ 12,00 e o lucro de cada

pizza é de R$ 9,00. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as

quantidades de cada tipo de prato que devem ser produzidas para maximizar o lucro do

restaurante.

4. A Mercado PC é uma loja de computadores que vende dois tipos de microcomputadores:

desktops e laptops. A empresa ganha R$ 600,00 por cada desktop vendido e R$ 900,00 por

cada laptop vendido. Os computadores que a Mercado PC vende são montados por outra

empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de forma que não poderá montar

mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os funcionários da Mercado PC

gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops. No caso dos laptops eles gastam

3 horas. No próximo mês os empregados da Mercado PC trabalharão, no máximo, 300 horas

nessas atividades. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar a quan-

tidade de desktops e laptops que devem ser montados para maximizar o lucro da empresa.

5. Um açougue pode transportar 15.000 Kg de carne (capacidade do caminhão) para a Re-

gião Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. Ele deve transportar 8.000 Kg de carne de

gado a R$ 2,80 de lucro por Kg, no máximo 500 Kg de carne de ovelha a R$ 1,80 de lucro

por Kg. Além disso, ele necessita transportar no mínimo 3.000 Kg de carne de porco a R$

1,95 de lucro por Kg. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as

quantidades de Kg de cada tipo de carne que devem ser transportadas com o objetivo de

maximizar o lucro.

6. A Agropecuária Biscoito, localizada no município de Esperança do Sul, produz três tipos

de ração:

• Ração para Vaca Leiteira;

• Ração para Gado de Corte;

• Ração para Galinha Poedeira.

Para produzir 1 kg de Ração para Vaca Leiteira são necessários 0,25 kg de farelo de soja;

0,4 kg de farelo de milho e 0,35 kg de farelo de trigo. Para produzir 1 kg de Ração para Gado de

Corte são necessários 0,25 kg de farelo de soja e 0,75 kg de farelo de milho. Já para produzir 1 kg

de Ração para Galinhas Poedeiras são necessários 0,25 kg de farelo de soja; 0,65 kg de farelode milho e 0,1 kg de calcário. As disponibilidades dos recursos produtivos necessários para a

produção dos tipos de rações mencionados encontram-se descritas na tabela a seguir:

Produto Carne (gramas) Molho (gramas)Filé 900 400Pizza 300 300

Disponibilidade Máxima 30.000 10.000




36

Além disso, o setor financeiro relatou que cada kg de Ração para Vaca Leiteira produ-

zido dá um lucro de R$ 0,53; cada kg de Ração para Gado de Corte produzido dá um lucro

de R$ 0,52; e cada kg de Ração para Galinhas Poedeiras produzido dá um lucro de R$ 0,67.

Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as quantidades de cada

tipo de ração que devem ser produzidas para maximizar o lucro da empresa.

7. A Fazenda Vaca Brava cria três tipos de animais de raça: animais da raça tipo “A”; animais

da raça tipo “B” e animais de raça tipo “C”. Cada animal da raça tipo “A” dá um lucro de

R$ 700,00; Cada animal da raça tipo “B” dá um lucro de R$ 350,00; e cada animal da

raça tipo “C” dá um lucro de R$ 500,00. Para a alimentação dos animais, a empresa tem

disponível três recursos produtivos, com suas respectivas disponibilidades diárias: milho

(300 Kg); aveia (200 Kg) e alfafa (400 Kg). Cada animal da raça “A” consome diariamente

3 Kg de milho e 8 Kg de aveia. Cada animal da raça “B” consome por dia 3 Kg de milho e

6 Kg de alfafa. Já cada animal da raça “C consome diariamente 2 Kg de milho, 2 Kg de

aveia e 2 Kg de alfafa. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar o

número de animais de cada raça que deve ser criado com o objetivo de maximizar o lucro.

8. A Indústria de Rodas d‘Água “Roda Viva” produz três tipos de Rodas d’Água: Roda d’Água

Tamanho Grande (RG); Roda d‘Água Tamanho Médio (RM) e Roda d‘ Água Tamanho

Pequeno (RP). Os custos de produção de cada um dos produtos são os seguintes:

• RG: R$ 2.100,00

• RM: R$ 1.200,00

• RP: R$ 600,00

Para produzir cada unidade de RG utiliza-se 6 Kg de chapa de ferro e 12 horas de

máquina. Para fabricar uma unidade de RM uti liza-se 4 Kg de chapa de ferro e 16 horas de

máquina. Já para produzir cada unidade de RP utiliza-se 6 Kg de ferro e 2 horas de máqui-

na. A empresa tem disponibilidade de 4.800 Kg de ferro e 7.200 horas/máquina. Além disso,

a demanda para RG não ultrapassa a 800 unidades mensais; para RM é de 800 unidades

mensais e para RP é de, no mínimo, 600 unidades por mês. Construa o modelo de Programa-

ção Linear que permita encontrar as quantidades de cada tipo de produto que devem ser

produzidas com o menor custo possível.

9. A Empresa Agrícola Floresta estuda a possibilidade de dividir sua produção em quatro

atividades produtivas distintas:

Recurso Produtivo Disponibilidade Máxima (kg)Farelo de Soja 1.000Farelo de Milho 2.750

Farelo de Trigo 500Calcário 100



EaD

37


• S (plantio de soja) – destinar certa quantidade de hectares para o plantio de soja. Essa

cultura requer 400 Kg de adubo por hectare e 50 Kg de semente. O lucro dessa atividade

é de R$ 800,00 por hectare.

• M (plantio de milho) – usar uma segunda parte para o plantio de milho. Essa cultura

requer 300 Kg de adubo e 23 Kg de semente por hectare. O lucro dessa atividade é de R$

900,00 por hectare.

• P (pecuária) – usar uma terceira parte para a criação de gado de corte. A recuperação das

pastagens requer adubação de 200 Kg por hectare. O lucro dessa atividade é de R$ 400,00.

• A (arrendamento) – destinar certa quantidade de terra para arrendamento. Essa atividade

gera um lucro de R$ 480,00 por hectare.

Disponibilidade de recursos produtivos:

• 1.000 hectares de terra;

• 1.000.000 de Kg de adubo;

• 20.000 Kg de semente de soja;

• 10.000 Kg de semente de milho;

Além disso, a empresa determinou que a quantidade mínima destinada ao plantio demilho é de 200 ha. Construa o modelo de Programação Linear que permita à empresa decidir

a quantidade de hectares de terra que deverá ser destinada às atividades produtivas para

maximizar o lucro.

10. Na tabela a seguir fornecemos as necessidades alimentares semanais de um certo animal.

Construa o modelo de Programação Linear que possibilite conhecer as quantida-

des dos tipos de rações que o animal deve comer para manter-se saudável com o menor

custo.

Ração Proteínas(Unidades/Kg)

Carboidratos(Unidades/Kg)

Custo (R$/Kg)

A 25 55 3,00

B 25 20 2,00C 45 10 4,00D 35 35 3,00E 25 20 3,00

Unidades mínimasdisponíveis

200 250




38

Seção 2.2

O Método Simplex

Após entender como se constrói modelos em Programação Linear é chegado o momen-

to de resolvê-los. E para isso utilizaremos a ferramenta chamada de Método Simplex. Esta

ferramenta é normalmente empregada para a resolução de problemas de alocação de recur-

sos (Andrade, 2000).

Resumidamente, o Método Simplex é composto por um conjunto de regras e etapas

que permitem tomar a melhor decisão possível diante das circunstâncias apresentadas. Paraentendermos como utilizar esta ferramenta, seguem-se na sequência dois exemplos.

O Método Simplex: Exemplo 1





sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G”é de 2 horas, enquanto que o tempo



pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de mercado

encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é de

até 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é superior

a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de cada

tipo de pizza que deverão ser produzidas e, como conseqüência disso, indique o lucro máxi-mo, considerando que a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8 funcionários

por dia para a produção desses dois produtos.




Função Objetivo:


2



EaD

39


Restrições

Horas 2.x1 + 3.x

2 ≤ 12


2 ≤ 8

Demanda X 1 x

1 ≤ 20

Demanda X 2

x2 ≤ 28

1o passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.

O que antes era Max. L: 8.x 1 + 2.x

2passa a ser L – 8.x

1 – 2.x

2

2o passo: para cada restrição, acrescentar uma variável de folga (xf) e igualar o sinal:

Horas 2.x1 + 3.x

2 + xf

1 (variável de folga 1) = 12


2 + xf


Demanda X 1 x

1 + xf


Demanda X 2

x2 + xf


3º passo: montar tabela de resolução do problema , em que a primeira linha representa a

equação do lucro (função objetivo), a segunda linha é a linha da restrição do recurso produ-

tivo “horas”, a terceira linha representa a restrição do recurso produtivo “funcionários”, a

quarta linha representa a restrição “demanda de x1”e a quinta linha representa a restrição

“demanda de x2”.

4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Nesse caso

é x1 (quantidade de pizzas tamanho “G” a produzir) que apresenta um lucro unitário de

R$ 8,00, superior ao lucro de x2,

que é de R$ 2,00. Destacaremos na tabela, então, a colu-

na de x1.

L x 1 x 2 xf1 xf2 xf3 xf4 b

1 -8 -2 0 0 0 0 0

0 2 3 1 0 0 0 120 2 1 0 1 0 0 8

0 1 0 0 0 1 0 20

0 0 1 0 0 0 1 28




40

5º passo: encontrar a linha pivô. Para isso acontecer é preciso dividir cada valor de

“b” pelo elemento pivô de sua respectiva linha, com exceção da primeira linha, que

não participa dessa etapa. O elemento pivô da linha é aquele que pertence ao mesmotempo à linha e à coluna da variável de decisão que foi isolada. Nesse caso, o elemen-

to pivô da segunda linha é “2”, da terceira linha é “2”, da quarta linha é “1” e da

quinta linha é “0”.

A linha que apresentar o menor valor acima de 0 (zero) como resultado dessa divisão

será considerada a linha pivô.

A linha que apresentou o menor valor acima de zero como resultado da divisão é a

terceira (8/2 = 4) e está destacada na tabela anterior e exposta na sequência:

0 2 1 0 1 0 0 8

6º passo: encontrar a nova linha pivô . Isso é possível dividindo todos os elementos da linha

pelo respectivo elemento pivô. O resultado dessa operação será a nova linha pivô e, nesse

caso, a nova linha três.

Linha Pivô 0 2 1 0 1 0 0 8

Dividindo por 2: 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4 Linha Pivô

7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha). Isso é possível multiplicando

todos os elementos da nova linha pivô pelo elemento pivô da primeira linha, com o sinal

invertido (8). Ao resultado dessa multiplicação soma-se a primeira linha, resultando na

nova linha do lucro.


1 -8 -2 0 0 0 0 0

0 2 3 1 0 0 0 12 12/2: 6

0 2 1 0 1 0 0 8 8/2: 4

0 1 0 0 0 1 0 20 20/1: 200 0 1 0 0 0 1 28 28/0: 0



EaD

41


Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

Multiplicando por 8 = 0 8 4 0 4 0 0 32

+ Linha do Lucro 1 -8 -2 0 0 0 0 0

= Nova Linha do Lucro 1 0 2 0 4 0 0 32

8º passo: encontrar a nova segunda linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha

pivô pelo elemento pivô da segunda linha, com o sinal invertido (-2). Ao resultado dessa

multiplicação soma-se a segunda linha, resultando na nova linha dois.

Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

Multiplicando por -2 = 0 -2 -1 0 -1 0 0 -8

+ Segunda Linha 0 2 3 1 0 0 0 12

= Nova Linha Dois 0 0 2 1 -1 0 0 4

9º passo: encontrar a nova quarta linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha pivô

pelo elemento pivô da quarta linha, com o sinal invertido (-1). Ao resultado dessa multipli-cação soma-se a quarta linha, resultando na nova linha quatro.

Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

Multiplicando por -1 = 0 -1 -0,5 0 -0,5 0 0 -4

+ Quarta Linha 0 1 0 0 0 1 0 20

= Nova Linha Quatro 0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16

10º passo: encontrar a nova quinta linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha

pivô pelo elemento pivô da quinta linha, com o sinal invertido (0). Ao resultado dessa mul-

tiplicação soma-se a quinta linha, resultando na nova linha cinco.

Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

Multiplicando por -1 = 0 0 0 0 0 0 0 0

+ Quinta Linha 0 0 1 0 0 0 1 28

= Nova Linha Cinco 0 0 1 0 0 0 1 28




42

Reescrevendo a tabela:

Interpretando o resultado

• O valor do coeficiente da primeira linha que ficar logo abaixo de “b” é o valor do lucro.

• Por que X1 é igual a 4?

• Por que XF1 é igual a 4?



• Por que X2 é igual a 0?

• Por que XF2

é igual a 0?

Para determinar o valor de uma variável é preciso verificar nas linhas que estão abaixo

da linha do lucro a existência do número “1”. Se este estiver acompanhado de 0 (zero) nas

demais linhas (no caso do exemplo, a linha 3), o resultado indica que desta variável deve ser

produzida alguma quantidade. No caso de x1devem ser produzidas 4 unidades, que é o valor

de “b” que faz parte da mesma linha do número “1”. A mesma regra vale para as demais

variáveis que compõem o modelo.

Já as var iáveis de folga indicam se sobraram recursos produtivos ou se os mesmos seesgotaram. Quando uma variável de folga apresenta valor igual a 0 (zero), significa que o

recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No


1 0 2 0 4 0 0 320 0 2 1 -1 0 0 4

0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16

0 0 1 0 0 0 1 28

Resultado:

L: R$ 32,00

x 1 (quantidade de pizzas tamanho “G” a produzir): 4

xf1 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 4

xf3 (demanda de pizzas “G” não atendida): 16

xf4 (demanda de pizzas “GG” não atendida): 28

x 2 (quantidade de pizzas “GG” a produzir): 0

xf2 (número de funcionários que sobrou): 0



EaD

43


exemplo dado podemos perceber que foram usados os 8 funcionários disponíveis para a

produção de 4 pizzas “G”. Por isso, xf 2 =

0. Por outro lado, quando uma variável de folga

apresenta valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf 1 (horas) = 4.Isso quer dizer que produzindo 4 pizzas “G” e nenhuma pizza “GG” sobraram 4 horas. A

mesma regra vale para as demais variáveis.

O Método Simplex: Exemplo 2

Uma serralheria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente

a empresa produz apenas dois tipos de produtos: portas e portões, ambos de um só modelo.

Consideraremos o fato de a serralheria ter limitações de apenas dois recursos produtivos,

que são ferro e horas de mão de obra, cujas disponibilidades máximas são de 120 Kg e 80

horas, respectivamente. Além disso, sabe-se que para fabricar uma porta são necessários 20

Kg de ferro e 20 horas de mão de obra, enquanto que para produzir cada unidade de portão

são necessários 30 Kg de ferro e 10 horas de mão de obra. O lucro unitário de cada porta é de

R$ 200,00, e o lucro de cada unidade de portão é de R$ 500,00. Construa o modelo de

Programação Linear, indique as quantidades de cada tipo de produto que devem ser produ-

zidas e indique o lucro máximo.


x 1: quantidade de portas a produzir

x 2: quantidade de portões a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições

Ferro 20.x1 + 30.x

2 ≤ 120

Horas Mão de Obra 20.x1 + 10.x

2 ≤ 80

Resolução pelo Método Simplex:

1o passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.

O que antes era Max. L: 200.x 1 + 500.x

2passa a ser L – 200.x

1 – 500.x

2




44

2o passo: para cada restrição, acrescentar uma variável de folga (xf) e igualar o sinal:

Ferro 20.x1 + 30.x

2 + xf


Horas Mão de Obra 20.x1 +10.x

2 + xf


Observações importantes:

• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se “xf” e iguala-se o sinal.

• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se “-xf”, seguida de uma vari-

ável auxiliar “a” e iguala-se o sinal.

• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se uma variável auxiliar “a” e

iguala-se o sinal.

3º passo: montar tabela de resolução do problema, em que a primeira linha representa a

equação do lucro (função objetivo), a segunda linha é a linha da restrição do recurso produ-

tivo “ferro” e a terceira linha representa a restrição do recurso produtivo “horas de mão de

obra”.

4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Nesse caso é

x2 (quantidade de portões a produzir) que apresenta um lucro unitário de R$ 500,00, supe-

rior ao lucro de x1,

que é de R$ 200,00. Destacaremos na tabela, então, a coluna de x2

.

5º passo: encontrar a linha pivô. Para isso acontecer é preciso dividir cada valor de “b” pelo

elemento pivô de sua respectiva linha, com exceção da primeira linha, que não participa

dessa etapa. O elemento pivô da linha é aquele que pertence ao mesmo tempo à linha e à

coluna da variável de decisão que foi isolada. Nesse caso, o elemento pivô da segunda linha

é “30” e o elemento pivô da terceira linha é “10”.

Obs.: A linha que apresentar o menor valor acima de 0 (zero) como resultado dessa divisão

será considerada a linha pivô.

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 -200 -500 0 0 0

0 20 30 1 0 120

0 20 10 0 1 80



EaD

45


A linha que apresentou o menor valor acima de zero como resultado da divisão é a

segunda (120/30 = 4) e está destacada na tabela e exposta na sequência:

0 20 30 1 0 120

6º passo: encontrar a nova linha pivô. Isso é possível dividindo todos os elementos da linha

pelo respectivo elemento pivô.

Linha Pivô 0 20 30 1 0 120

Dividindo por 30: 0 0,67 1 0,03 0 4 Nova Linha Pivô

7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha). Isso é possível multiplicando

todos os elementos da nova linha pivô pelo elemento pivô da primeira linha, com o sinalinvertido (500). Ao resultado dessa multiplicação soma-se a primeira linha, resultando na

nova linha do lucro.

Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,03 0 4

Multiplicando por 500 = 0 333,33 500 16,67 0 2000

+ Linha do Lucro 1 -200 -500 0 0 0

= Nova Linha do Lucro 1 133,33 0 16,67 0 2000

8º passo: encontrar a nova terceira linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha

pivô pelo elemento pivô da terceira linha, com o sinal invertido (-10). Ao resultado dessa

multiplicação soma-se a terceira linha, resultando na nova linha três.

Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,033 0 4

Multiplicando por -10 = 0 -6,67 -10 -0,33 0 -40

+ Terceira Linha 0 20 10 0 1 80 = Nova Linha Três 0 13,33 0 -0,33 1 40

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 -200 -500 0 0 0

0 20 30 1 0 120120/30: 4

0 20 10 0 1 80 80/10: 8




46


Interpretando o resultado:

• O valor do coeficiente da primeira linha que ficar logo abaixo de “b” é o valor do Lucro.

• Por que x2 é igual a 4?

• Por que xf 2 é igual a 40?

• Por que x1 é igual a 0?

• Por que xf 1 é igual a 0?

Para determinar o valor de uma variável é preciso verificar nas linhas que estão abaixo

da linha do lucro a existência do número “1”. Se este estiver acompanhado de 0 (zero) nas

demais linhas (no caso do exemplo, a linha 3), o resultado indica que desta variável deve ser

produzida alguma quantidade. No caso de x2devem ser produzidas 4 unidades, que é o valor

de “b”, que faz parte da mesma linha do número “1”. A mesma regra vale para as demais

variáveis que compõem o modelo.

Já as variáveis de folga indicam se sobraram recursos produtivos ou se os mesmos se

esgotaram. Quando uma variável de folga apresenta valor igual a 0 (zero), significa que o

recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No

exemplo dado podemos perceber que foi utilizada toda a quantidade de ferro disponível para

produzir os portões. Por isso, xf 1=

0. Por outro lado, quando uma variável de folga apresenta

valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf 2

(horas) =

40. Isso quer

dizer que produzindo 4 portões sobraram 40 horas para serem utilizadas. A mesma regra

vale para as demais variáveis.

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 133,33 0 16,67 0 2.000

0 0,67 1 0,03 0 4

0 13,33 0 -0,33 1 40

Resultado:

L: R$ 2.000,00

x 2 (quantidade de portões a produzir): 4

xf2(quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 40

x 1 (quantidade de portas a produzir): 0

xf1 (quantidade de ferro que sobrou): 0



EaD

47


Seção 2.3

Solução Ótima pelo Método Simplex

Um dos pressupostos centrais da Pesquisa Operacional é chegar à melhor solução pos-

sível. Neste item mostraremos como identificar se uma solução é a melhor possível. Para

tanto utilizaremos novamente o exemplo da fábrica de pizzas, que apresentou a seguinte

tabela final, com os respectivos resultados:

Para identificar se uma solução apresentada é a melhor possível, devemos prestar aten-

ção no seguinte aspecto: na tabela, verificar os valores dos coeficientes das variáveis de

decisão (linha do lucro). Se estes valores forem maiores ou iguais a zero, significa que a

solução encontrada é a melhor possível. Por outro lado, se pelo menos uma dessas variáveis

de decisão apresentar coeficiente com valor negativo, a solução apresentada não é a melhor

possível, podendo ser melhorada.

No caso do exemplo citado, a solução encontrada é a melhor possível, pois x1 apresen-

tou coeficiente de valor “0”e x2 apresentou coeficiente de valor “2”. Na sequência traremos

um exemplo no qual a primeira solução apresentada não é a melhor possível.

Exemplo: identificando a solução ótima

Certa empresa fabrica dois produtos: P1 e P2. Para produzir uma unidade de P1 aempresa utiliza 12 unidades de Recurso Produtivo 1 (R1) e 10 unidades de Recurso Produ-

tivo 2 (R2). Para produzir uma unidade de P2, a empresa utiliza 20 unidades de Recurso


1 0 2 0 4 0 032

0 0 2 1 -1 0 0 4

0 1 0,5 0 0,5 0 0 4

0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16

0 0 1 0 0 0 1 28

Resultado:

L: R$ 32,00

x 1 (quantidade de pizzas tamanho “G” a produzir): 4

xf1 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 4xf3 (demanda de pizzas “G ”não atendida): 16

xf4 (demanda de pizzas “GG” não atendida): 28

x 2 (quantidade de pizzas “GG” a produzir): 0

xf2 (número de funcionários que sobrou): 0




48

Produtivo 1 (R1) e 14 unidades de Recurso Produtivo (R2). As disponibilidades dos recursos

produtivos são as seguintes: até 3.000 unidades de R1 e até 3.500 unidades de R2. Construa

o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de cada tipo de produto que de-vem ser produzidas e indique o lucro máximo considerando que o lucro unitário de P1 é de

R$ 200,00 e que o lucro unitário de P2 é de R$ 210,00.


X 1: quantidade de P1 a produzir

X 2: quantidade de P2 a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições

R1 12.x1 + 20.x

2 ≤ 3.000

R2 10.x1 + 14.x

2 ≤ 3.500

Resolução:

1º passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.

L-200.x1-210.x

2

2º passo: acrescentar em cada restrição uma variável de folga e igualar o sinal.

R1 12.x1 + 20.x

2+ xf

1 = 3.000

R2 10.x1 + 14.x

2 + xf

2 = 3.500

3º passo: montar tabela.

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 -200 -210 0 0 0

0 12 20 1 0 3.000

0 10 14 0 1 3.500



EaD

49


4º passo: isolar variável que apresenta o maior lucro unitário.

5º passo: determinar a linha pivô.

Linha pivô 0 12 20 1 0 3.000

6º passo: encontrar a nova linha pivô.

Linha pivô 0 12 20 1 0 3.000

Dividindo por 20 0 0,6 1 0,05 0 150 Nova linha pivô

7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha).

Nova linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150

Multiplicando por 210 0 126 210 10,5 0 31.500

+ Linha do Lucro 1 -200 -210 0 0 0

= Nova Linha do Lucro 1 -74 0 10,5 0 31.500

8º passo: encontrar a nova terceira linha.

Nova linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150

Multiplicando por -140 -8,4 -14 -0,7 0 -2.100

+ Terceira Linha0 10 14 0 1 3.500

= Nova Linha Três 0 1,6 0 -0,7 1 1.400


L x 1 x 2 xf1 xf2 B

1 -74 0 10,5 0 3.1500

0 0,6 1 0,05 0 150

0 1,6 0 -0,7 1 1.400




50

Resultado:

L: R$ 31.500,00

x1: 0

x2: 150

xf 1: 0

xf 2: 1.400

Podemos afirmar que a solução apresentada não é a melhor possível, ou seja, que o

lucro máximo não é de R$ 31.500,00, mas como chegar a esta conclusão? Ao analisarmos a

primeira linha da tabela podemos perceber que o valor do coeficiente relacionado à variável

de decisão x1é negativo (-74) e essa situação indica que a solução apresentada pode ser

melhorada. Como proceder, no entanto, para chegar à melhor solução? A resposta é fácil: a

partir da solução encontrada, desenvolver o seguinte conjunto de etapas:

1º passo: reescrever a solução encontrada em forma de tabela.

2º passo: isolar a variável cujo coeficiente apresentou valor negativo. Se mais de uma

variável apresentar coeficiente com valor negativo, isolar a que possui o menor valor.

No exemplo usado, a variável que apresenta coeficiente com valor negativo x 1, que já seencontra destacada na tabela.

3º passo: encontrar a linha pivô.

0 0,6 1 0,05 0 150


Linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150

Dividindo por 0,6=0 1 1,67 0,08 0 250 Nova linha pivô

L x 1 x 2 xf1 xf2 B

1 -74 0 10,5 0 31.500

0 0,6 1 0,05 0 150

0 1,6 0 -0,7 1 1.400



EaD

51


5º passo: encontrar a nova primeira linha.

Nova linha pivô 0 1 1,67 0,08 0 250

Multiplicando por 74 0 74 123,33 6,17 0 18.500

+ Linha do Lucro 1 -74 0 10,5 0 31.500

= Nova Linha do Lucro 1 0 123,33 16,667 0 50.000

6º passo: encontrar a nova terceira linha.

Nova linha pivô 0 1 1,67 0,08 0 250

Multiplicando por -1,6 0 -1,6 -2,67 -0,13 0 -400

+ Terceira Linha 0 1,6 0 -0,7 1 1.400

= Nova Linha Três 0 0 -2,67 -0,83 1 1.000


Resultado:

L: R$ 50.000,00

x1: 250

x2

: 0

xf 1: 0

xf 2: 1.000

Assim sendo, a empresa deve produzir 250 unidades de x1(P1), nenhuma unidade de x

2

(P2) tendo, dessa forma, um lucro máximo de R$ 50.000,00. Diante dessa situação foi utili-

zada toda a disponibilidade do recurso produtivo 1 (xf 1), sobrando 1000 unidades do recurso

produtivo 2 (xf 2). Veja que o lucro que antes era de R$ 31.500,00 agora passa a ser de R$50.000,00.

L x 1 x 2 xf1 xf2 B

1 0 123,33 16,67 0 50.000

0 1 1,67 0,08 0 250

0 0 -2,667 -0,833 1 1.000




52


Usando o Método Simplex, resolva os seguintes exercícios da Lista 1:

1. Exercício 2

2. Exercício 3

3. Exercício 4

4. Exercício 6

5. Exercício 7

6. Variáveis de decisão:

x1: Número de caixas de cerveja Brahma a transportar

x2: Número de caixas de cerveja Skol a transportar

x3: Número de caixas de cerveja Polar a transportar

Função Objetivo:

Maximizar L: 10,15.x1 + 10.x

2 + 7,23. x

3

Restrições:

Capacidade do caminhão: x1+ x

2+

x

3≤ 924

Demanda x1: x

1≤ 700

Demanda x2: x

2≤ 440

Demanda x3: x

3≤ 300


x1: Quantidade de sapatos masculinos a produzir x

2: Quantidade de sapatos femininos a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições:

Couro 2.x1+ x

2≤ 4

Espuma 4.x1 + 2.x2 ≤ 4

Borracha 2.x1 +

2.x2 ≤ 5



EaD

53



x1: Número de unidades de P1 a produzir



Função Objetivo:


2 + 4. x

3

Restrições:

R1 x1+ x

2+

x

3≤ 100

R2 2.x1+ x

2≤ 210

R3 x1≤ 80

Seção 2.4

O Problema da Minimização

Até o momento trabalhamos com situações de maximização. Nesta etapa do livro-

texto abordaremos ocorrências de minimização, principalmente de minimização de custos.

Vejamos o seguinte exemplo:

Variáveis de decisão

x 1: Quantidade de P1 a produzir


Função Objetivo

Min C: 10. x1+ 15. x

2

Restrições

Recurso Produtivo 1 (R1): 5. x1 + 3. x

2 ≤ 60

Recurso Produtivo 2 (R2): 4. x1 + 6. x

2 ≤ 50

O processo de resolução é semelhante ao dos casos de maximização. A diferença é

que, nos casos de minimização, multiplica-se toda a função objetivo por (-1). O restante do

processo é igual aos casos de maximização. Vamos à resolução do exemplo:




54

1º passo: reescrever a função objetivo, multiplicando-a por (-1).

- C: – 10. x1 –

15. x2

2º passo: acrescentar em cada restrição uma variável de folga e igualar o sinal.

R1 5. x1 + 3. x

2 + xf1 = 60

R2 4. x1 + 6. x

2 + xf2 = 50

3º passo: montar tabela.

4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o valor negativo mais distante de

zero .

5º passo: encontrar a linha pivô.


Linha pivô 0 4 6 0 1 50

Dividindo por 6: 0 0,67 1 0 0,17 8,33 Nova linha pivô

7º passo: encontrar a nova linha do custo (primeira linha).

Nova linha pivô 0 0,67 1 0 0,17 8,33

Multiplicando por 15 0 10,05 15 0 2,55 124,95

+ Linha do Custo -1 -10 -15 0 0 0

= Nova Linha do Custo -1 0,05 0 0 2,55 124,95

8º passo: encontrar a nova segunda linha.

Nova linha pivô 0 0,67 1 0 0,17 8,33

Multiplicando por -3 0 -2,01 -3 0 -0,51 -25

+ Segunda Linha 0 5 3 1 0 60

= Nova Linha Dois 0 2,99 0 1 -0.51 35

C x 1 x 2 xf1 xf2 b

-1 -10 -15 0 0 0

0 5 3 1 0 600 4 6 0 1 50

C x 1 x 2 xf1 xf2 b

-1 -10 -15 0 0 0

0 5 3 1 0 600 4 6 0 1 50



EaD

55



Resultado:

C: R$ 124,95

x1: 0

x2: 8,33

xf 1: 35

xf 2: 0

Dessa forma, a empresa deve produzir 8,33 unidades de x2, nenhuma unidade de x

1

tendo, dessa forma, um custo de produção de R$ 124,95. Diante dessa situação, foi utiliza-

da toda a disponibilidade do recurso produtivo 2 (xf 2), sobrando 35 unidades do recurso

produtivo 1 (xf 1).



x1: Quantidade de P1 a produzir


Função Objetivo:


2

Restrições:

R1 3.x1+ 3.x

2≤ 4

R2 5. x1 +

4. X2 ≤ 4

R3 8. x1 +

7. X2 ≤ 14





C x 1 x 2 xf1 xf2 b

-1 0,05 0 0 2,55 124,95

0 2,99 0 1 -0.51 35

0 0,67 1 0 0,17 8,33




56

Função Objetivo:


2 + 7. x

3

Restrições:

R1 2. x1+ 2.x

2+

2.x

3≤ 80

R2 4.x1+ 2.x

2≤ 100

R3 x1≤ 60

Seção 2.5

O Problema da Solução Básica Inicial

Até esta etapa do livro-texto trabalhamos os problemas de Programação Linear com

restrições do tipo = com os termos da direita positivos. O acréscimo das variáveis de folga

fornece neste caso uma solução básica inicial.

De acordo com Silva et al. (2009), o problema aparece quando:

• A restrição é do tipo “³”: a variável de folga é subtraída e seu valor é negativo, quando se

anulam as variáveis de decisão.

• A restrição é do tipo “=”: não recebe a variável de folga.

Neste caso, segundo Silva et al. (2009), a cada uma das restrições do tipo = e =

acrescenta-se variáveis auxiliares a i com a formação de um novo modelo. A solução básica

inicial do novo modelo é formada pelas variáveis de folga das restrições do tipo = e pelas

variáveis auxiliares a i. Para explicar a resolução de problemas com esse tipo de situação,

utilizaremos o exemplo proposto por Silva et al. (2009).

Exemplo: o problema da solução básica inicial



x 2: Quantidade de P2 a produzir x

3: Quantidade de P3 a produzir



EaD

57


Função Objetivo

Max L: x1+ x

2+ x

3

Restrições

Recurso Produtivo 1 (R1): 2. x1 + x

2– x

3 ≤ 10

Recurso Produtivo 2 (R2): x1 + x

2+ 2.x

3 ≥ 20


2 + 3.x

3= 60

A pergunta que se faz é a seguinte: Como resolver problemas com restrições do tipo

“≥” e “=”? A seguir apresentaremos duas formas de resolver esse tipo de problema: o Método

do M Grande e o Método da Função Objetivo Auxiliar .

a) O Método do M Grande

Primeiramente reescreveremos as restrições, acrescentando na restrição com sinal “≤”

uma variável de folga; na restrição com sinal “≥” acrescentaremos uma variável de excesso

(-xf), seguida de uma variável auxiliar (a). Já na restrição com sinal de “=”, acrescentare-

mos uma variável auxiliar (a). As equações das restrições resultam na seguinte forma:R1: 2. x

1 + x

2– x

3 + xf

1 = 10

R2: x1 + x

2+ 2.x

3 – xf

2 + a

2= 20

R3: 2. x1 + x

2 + 3.x

3 + a

3= 60

Em seguida, escrevemos a função objetivo acrescentando as variáveis auxiliares com

coeficientes –M2 e -M

3, sendo M

2 e M

3números grandes.

Max L: x1+ x

2+ x

3 – M

2a

2 – M

3a

3

À medida que o lucro é maximizado, as variáveis a2e a

3deixam a base, devido ao gran-

de valor de M2 e M

3. O quadro inicial fica da seguinte forma:

Realizada esta etapa, os próximos passos são os mesmos de quando resolvemos os

exercícios com sinal de “≤”.

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 00 2 1 -1 1 0 0 0 100 1 1 2 0 -1 1 0 200 2 1 3 0 0 0 1 60




58

1º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário . Como nesse

caso todas as variáveis de decisão apresentam o mesmo lucro unitário, escolheremos uma

delas, de forma aleatória. Optaremos por x3.


3º passo: determinar a nova linha pivô.

Linha pivô 0 1 1 2 0 -1 1 0 20

Dividindo por 2 =

nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

4º passo: determinar a nova linha do lucro.

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

Multiplicando por 1 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

+ Linha do lucro 1 -1 -1 -1 0 0 M2

M3

0

= Nova linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2

M3

10

5º passo: determinar a nova segunda linha.

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10


+ Segunda linha 0 2 1 -1 1 0 0 0 10

= Nova linha dois 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

6º passo: determinar a nova quarta linha.

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

Multiplicando por -3 0 -1,5 -1,5 -3 0 1,5 -1,5 0 -30

+ Quarta Linha 0 2 1 3 0 0 0 1 60

= Nova linha quatro 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 0

0 2 1 -1 1 0 0 0 10

0 1 1 2 0 -1 1 0 20

0 2 1 3 0 0 0 1 60



EaD

59


Linha pivô 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

Dividindo por 1,5 =

Nova linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20

Resultado:

L: R$ 10,00

x1: 0

x2: 0

x3: 10

xf 1: 20

xf 2: 0

a2: 0

a3: 30

Como podemos observar, esta solução não é a melhor possível, pois os coeficientes das

variáveis de decisão resultaram em valores negativos. Então, vamos à segunda solução.

Observação: com a intenção de eliminar as variáveis auxiliares, isolaremos agora a

variável de folga que apresentou coeficiente negativo, no caso xf 2.

1º passo: isolar xf 2 .



L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2 M3 10

0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 200 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2 M3 100 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30




60

4º passo: determinar nova linha do lucro.

5º passo: determinar nova segunda linha.

6º passo: determinar nova terceira linha.

Tabela com o resultado:

Resultado:

L: R$ 20,00 xf 1: 30

x1: 0 xf

2: 20

x2: 0 a

2: 0

x3: 20 a

3: 0

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20

Multiplicando por 0,5 0 0,17 -0,17 0 0 0,5 -0,5 0,33 10

+ Linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2 M3 10

= Nova linha do lucro 1 -0,33 -0,667 0 0 0 M2 M3 20

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20


+ Segunda linha 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

= Nova linha dois 0 2,67 1,33 0 1 0 0 0,33 30

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20


+ Terceira linha 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

= Nova linha três 0 0,67 0,33 1 0 0 0 0,33 20

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,33 -0,667 0 0 0 M2 M3 200 2,67 1,33 0 1 0 0

0,3330

0 0,67 0,33 1 0 0 00,33

20

0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20



EaD

61


A solução básica é formada pelas variáveis originais. Podemos abandonar as variáveis

auxiliares, todas nulas. A tabela fica da seguinte forma:

A partir desta nova tabela faz-se todo o procedimento necessário e já conhecido para

chegar ao lucro máximo e às quantidades que devem ser produzidas de x1, x

2 e x

3, além das

sobras de recursos produtivos. A tabela com o resultado final é a seguinte:

Resultado final:

L: R$ 35,00 xf 1: 0

x1: 0 xf

2: 27,5

x2: 22,5

x3: 12,5

b)Método da Função Objetivo Auxiliar

De acordo com Silva et al. (2009), como no método anterior, nas equações e nas

inequações do tipo ≥, acrescentamos as variáveis auxiliares, para compor com as folgas das

inequações do tipo ≤, a solução básica necessária para a aplicação do Simplex.

Construiremos, então, uma função objetivo auxiliar, que denominaremos de “W”,

formada pela soma das variáveis auxiliares. A função “W” deve ser escrita em termos das

variáveis originais e comporá o novo objetivo a ser minimizado. Quando as variáveis e fun-

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 b

1 -0,33 -0,667 0 0 0 20

0 2,67 1,33 0 1 0 30

0 0,67 0,33 1 0 0 20

0 0,33 -0,33 0 0 1 20

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 b

1 1 0 0 0,5 0 35

0 2 1 0 0,75 0 22,5

0 0 0 1 -0,25 0 12,5

0 1 0 0 0,25 1 27,5




62

ções auxiliares forem não básicas (a1:0; a

2:0......) as variáveis e funções auxiliares podem ser

abandonadas. O novo objetivo será dado pela função objetivo original. Usaremos para ex-

plicar este novo método o exemplo desenvolvido no Método do M Grande.





Função Objetivo

Max L: x1+ x 2 + x3

Restrições


2– x

3 ≤ 10

Recurso Produtivo 2 (R2): x1 + x

2+ 2.x

3 ≥ 20


2 + 3.x

3= 60

Acrescentando as variáveis de folga e variáveis auxiliares, como já fizemos anterior-

mente, teremos:R1: 2. x

1 + x

2– x

3 + xf

1 = 10

R2: x1 + x

2+ 2.x

3 – xf

2 + a

2= 20

R3: 2. x1 + x

2 + 3.x

3 + a

3= 60

Max L: x1+ x

2+ x

3 – M

2a

2 – M

3a

3

Função auxiliar W: a2 + a

3

Segunda restrição - x1 – x2 – 2.x3 xf 2 20

+ terceira restrição - 2.x1

– x2

– 3.x3

0 60

= W -3 -2 -5 1 -80

A tabela contendo a função auxiliar W fica da seguinte forma:

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b1 -1 -1 -1 0 0 0 0 00 2 1 -1 1 0 0 0 100 1 1 2 0 -1 1 0 200 2 1 3 0 0 0 1 60-1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80

- W



EaD

63


A partir desse momento o processo é o mesmo que conhecemos, até completar a tabela

com a resolução final.

1º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário . Como nesse

caso todas as variáveis de decisão apresentam o mesmo lucro unitário, escolheremos uma

delas, de forma aleatória. Optaremos por x3.


3º passo: calcular a nova linha pivô.

4º passo: calcular a nova linha do lucro.

5º passo: calcular a nova segunda linha.

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0

0 2 1 -1 1 0 0 0 10

0 1 1 2 0 -1 1 0 200 2 1 3 0 0 0 1 60

-1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80

- W

Linha pivô 0 1 1 2 0 -1 1 0 20

Dividindo por 2 = Nova

linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10


+ Linha do lucro 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0

= Nova linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,5 0 10

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10


+ Segunda linha 0 2 1 -1 1 0 0 0 10

= Nova linha dois 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20




64

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10


+ Quinta linha -1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80

= Nova linha cinco -1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,50

100 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

-1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30- W

6º passo: calcular a nova quarta linha.

7º passo: calcular a nova quinta linha.

Resultado:

L: R$ 10,00 xf 1

: 20

x1: 0 xf

2: 0

x2: 0 a

2: 0

x3: 10 a

3: 30

Como podemos perceber, a solução ainda não é a ideal. Para eliminarmos as variáveis

auxiliares, isolaremos xf 2 e daremos continuidades ao exercício.

Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

Multiplicando por -3 0 -1,5 -1,5 -3 0 1,5 -1,5 0 -30

+ Quarta linha 0 2 1 3 0 0 0 1 60

= Nova linha quatro 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30



EaD

65


Linha pivô 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

Dividindo por 1,5 =

Nova linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20

1º passo: isolar xf 2 .



4º passo: determinar nova linha do lucro.

5º passo: determinar nova segunda linha.

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,5 0 10

0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

-1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30- W

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20


+ Linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2 M3 10

= Nova linha do lucro 1 -0,33 -0,667 0 0 0 M2 M3 20

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20


+ Segunda linha 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20

= Nova linha dois 0 2,67 1,33 0 1 0 0 0,33 30




66

6º passo: determinar nova terceira linha.

7º passo: determinar nova quinta linha.


Resultado:

L: R$ 20,00 xf 1: 30

x1: 0 xf

2: 20

x2: 0 a

2: 0

x3: 20 a

3: 0

A solução básica é formada pelas variáveis originais. Podemos abandonar as variáveis

auxiliares, todas nulas. A tabela, assim como verificado no Método do M Grande, fica da

seguinte forma:

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20


+ Terceira linha 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

= Nova linha três 0 0,67 0,33 1 0 0 0 0,33 20

Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20

Multiplicando por 1,5 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30

+ Quinta linha -1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30

= Nova linha cinco -1 0 0 0 0 0 1 1 0

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 a2 a3 b

1 -0,33 -0,67 0 0 0 0 0,33 20

0 2,67 1,33 0 1 0 0 0,33 30

0 0,67 0,33 1 0 0 0 0,33 20

0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20

-1 0 0 0 0 0 1 1 0



EaD

67


A partir dessa nova tabela faz-se todo o procedimento necessário e já conhecido para

chegar ao lucro máximo e às quantidades que devem ser produzidas de x1, x

2 e x

3, além das

sobras de recursos produtivos. Observe que o resultado final é o mesmo obtido com o Méto-

do do M Grande. A tabela com o resultado final é a seguinte:

Resultado final:L: R$ 35,00 xf

1: 0

x1: 0 xf

2: 27,5

x2: 22,5

x3: 12,5


1. Resolva pelo Simplex, usando o Método do M Grande para obter a solução básica inicial.


x1: Quantidade de meias masculinas a produzir

x2: Quantidade de meias femininas a produzir

Função Objetivo:


2

L X 1 x 2 x 3 xf1 xf2 b

1 -0,33 -0,667 0 0 0 20

0 2,67 1,33 0 1 0 30

0 0,67 0,33 1 0 0 20

0 0,33 -0,33 0 0 1 20

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 b

1 1 0 0 0,5 0 35

0 2 1 0 0,75 0 22,5

0 0 0 1 -0,25 0 12,5

0 1 0 0 0,25 1 27,5




68

Restrições:

Lã x1+ x

2= 10

Horas Máquina 2.x1 +

x2 = 16

2. Resolva pelo Simplex, usando o Método da Função Objetiva Auxiliar para obter a solu-

ção básica inicial.




Função Objetivo:


2

Restrições:

R1 2.x1+ x

2= 10

R2 x1 +

5.x2 = 15

Seção 2.6

O Método Gráfico de Resolução de Problemas de Programação Linear

Esta técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das

possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos ( x1, x

2) que obedecem ao grupo

de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado por

intermédio da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de

acordo com sua posição no gráfico. A função objetivo também pode ser avaliada calculan-

do-se o seu valor para os pontos que pertencem ao contorno da região viável.

Gráfico do conjunto de soluções

A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis ( x1, x

2) é uma reta.

A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis ( x1, x

2) é uma área do

gráfico limitada pela reta correspondente à equação. Vejamos alguns exemplos.



EaD

69


Exemplo 1: Representar graficamente a inequação: x1 + 2 x

2 > 10

a. Construir a reta correspondente à equação: x1 + 2 x

2 = 10 (acompanhe no gráfico da página 76).

Para traçarmos a reta, precisamos de dois pontos. Determinar os pontos de interseção

da reta com cada um dos eixos é mais fácil:

Fazendo x1 = 0, teremos:

0 + 2 x2 = 10 (substituímos x

1 por 0)

2 x2 = 10 (equação a ser resolvida)

x2 = 10/2 (2 que estava multiplicando x

2, passa para o outro lado dividindo – operação inversa).

Assim,

x2 = 5

Um dos pontos da reta será: x1 = 0 e x

2 = 5, ou seja, o ponto (0, 5).

Procedemos da mesma maneira, agora fazendo x2 = 0. Então teremos:

x1 + 2.0 = 10 (substituímos x

2 por 0)

x1 + 0 = 10 (como 2 vezes 0 é igual a 0, temos esta equação a ser resolvida).

Assim,

x1 = 10

O outro ponto da reta será: x1 = 10 e x

2 = 0, ou seja, o ponto (10, 0).

A reta é então traçada, conforme o gráfico a seguir. Podemos observar que há uma

região sombreada no gráfico, que corresponde à região viável (região de soluções) limitada

pela inequação x1 + 2 x

2 > 10. A região viável, então, é aquela que se encontra na região

superior da reta, pois a inequação define que x1 + 2 x

2 deve ser maior ou igual a 10. No

próximo item vamos verificar esta constatação.




70

b. Testar a inequação: x1 + 2 x

2 > 10

Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta. Consideremos o

ponto x1 = 10 e x2 = 5 (conforme mostrado no gráfico anterior).

Substituindo na inequação ( x1 + 2 x

2 > 10), teremos:

10 + 2.5 > 10 ou 20 > 10, o que é verdadeiro. Assim sendo, a região das soluções da

inequação é aquela que contém o ponto testado.

Vamos ainda testar um ponto que não esteja na região sombreada, como o ponto de

origem, ou seja, x1 = 0 e x

2 = 0.

Substituindo na inequação ( x1

+ 2 x2

> 10), teremos:

0 + 2.0 > 10 ou 0 > 10, o que NÃO é verdadeiro. Dessa forma, este ponto e os outros

que se encontram abaixo da reta não pertencem à região das soluções.

Exemplo 2: Representar graficamente a solução do sistema:

x1 + 3 x

2 < 12

2 x1 + x

2 > 16

x1 > 0

x2 > 0

Solução:

Vamos representar cada uma das retas correspondentes:

1. x1 + 3 x

2 = 12 se x

1 = 0, então 0 + 3 . x

2 = 12. Então, x

2 = 12/3 ou x

2 = 4.

se x2 = 0, então x

1 + 3 . 0 = 12. Então, x

1 = 12.

Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 4) e (12, 0). A região

viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico a seguir,

pois a inequação define que x1 + 3 x

2 deve ser menor ou igual a 12.

2. 2 x1 + x

2 = 16 se x

1 = 0, então 2.0 + x

2 = 16. Então, x

2 = 16.

se x2 = 0, então 2. x

1 + 0 = 16. Então, x

1 = 16/2 ou x

1 = 8.

Os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 16) e (8, 0). A região viável

limitada por esta reta é aquela que está acima da reta, conforme o gráfico a seguir, pois a

inequação define que 2 x1 + x

2 deve ser maior ou igual a 16.

As restrições de não negatividade x1 > 0 e x

2 > 0 representam o primeiro quadrante do

gráfico de soluções.



EaD

71


Vamos testar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação.

Para isso escolhemos um ponto fora das retas, por exemplo, o ponto (8, 16).

1. x1 + 3 x

2 < 12; substituindo x

1 = 8, x

2 = 16, obtém-se:

8 + 3 . 16 < 12 ou 56 < 12; a desigualdade é falsa.

Solução: região oposta (veja a flecha indicativa).

2. 2 x1 + x

2 > 16; substituindo x

1 = 8, x

2 = 16, obtém-se:

2 . 8 + 16 > 16 ou 32 > 16; a desigualdade é verdadeira (Flecha indicativa da solução na

região do ponto testado).

A região de soluções aparece sombreada no gráfico. Esta é a região que contém todas

as possíveis soluções para o sistema e onde todas as restrições são respeitadas. Para en-

contrarmos a solução de um problema de programação linear com duas variáveis de decisão

mediante o método gráfico, podemos adotar os seguintes passos:

1) traçar as retas correspondentes a cada restrição, num sistema de eixos x1 e x

2;

2) determinar a região viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o

problema em questão);

3) determinar os pontos que delimitam a região viável;

4) calcular o valor da função objetivo para cada um dos pontos da região viável;

5) a partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização

pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.




72


Usando o Método Gráfico, resolva os seguintes exercícios:

1. Exercício 1 (lista 1)



Seção 2.7

O Uso da Ferramenta Solver

Diversas ferramentas para solução de problemas de otimização, comerciais ou acadê-

micos, sejam eles lineares ou não, foram desenvolvidas. Dentre as ferramentas disponíveis

esta seção propõe-se a apresentar a ferramenta Solver, que acompanha o Microsoft Excel.

Apesar de a ferramenta Solver poder ser utilizada também para problemas de programação

não linear, apresentaremos apenas a sua utilização para a solução de problemas de progra-

mação linear. A utilização para outros tipos de problemas segue o mesmo padrão, sendo por

isso intuitivo ao usuário o seu aprendizado.

a) Definindo e resolvendo um problema

Inicialmente devemos definir o problema na planilha do Excel. Vamos resolver como

exemplo o problema. A formulação do problema é a seguinte:

Maximizar L = 11.x1 + 12.x

2

Sujeito a : 1.x1 + 4.x

2 ≤ 10000

5.x1 + 2.x

2≤ 30000

Para definir o problema na planilha devemos definir células para representar as variá-

veis de decisão e uma célula para representar o valor da função objetivo. Além disso, as

restrições também devem ser definidas. Abra um novo arquivo no Microsoft Excel e siga os

seguintes passos:



EaD

73


As células A2 e B2 guardarão os valores das variáveis de decisão x1 e x2, respectiva-

mente. Vamos agora definir a função objetivo. As equações do Excel são sempre precedidas

do sinal de igualdade (=), que indica que nesta célula será efetuada uma conta. Preenchaas células da planilha conforme indicado a seguir:

Na célula B4 será calculado automaticamente o valor da função objetivo, a partir da

função fornecida. Qualquer alteração nos valores das células B1 ou B2 fará com que o valor

da função objetivo seja recalculado.

Serão definidas agora as restrições do problema: as células de restrição devem ser pre-

enchidas da seguinte forma:

z

Após preenchidas as células, a planilha deve estar igual à apresentada na Figura 1.




74

Figura 1 – Planilha com as células preenchidas para utilização da ferramenta Solver

Fonte: Elaboração dos autores.

Para otimizar a função objetivo, vamos uti lizar a ferramenta Solver.

• No menu Ferramentas, clique em Solver.

• Na caixa “Definir célula de destino”, selecione a célula da função objetivo (B4) clicando

sobre ela, ou simplesmente digite B4.

• Logo abaixo é requerido que se escolha entre três opções: Máx, para maximizar a função

objetivo; Mín, para minimizar a função objetivo, e Valor, que faz com que a função obje-

tivo tenha determinado valor. No nosso exemplo, como queremos maximizar a função

objetivo, escolheremos a opção Máx.• Na caixa “Células variáveis”, devem ser inseridas as células ajustáveis, que contêm os

valores das variáveis de decisão. Deve-se inserir um nome ou uma referência para cada

célula ajustável, separando as células não adjacentes por ponto e vírgula. As células ajus-

táveis devem estar relacionadas direta ou indiretamente à célula que contém o valor da

função objetivo. Podem ser especificadas até 200 células ajustáveis. Para que o Solver

proponha automaticamente as células ajustáveis com base na célula de destino, clique

em Estimar.

• Na caixa Submeter às restrições devem ser inseridas as restrições do problema. Para inserir

uma restrição, siga os seguintes passos:



EaD

75


• Clique no botão “Adicionar”.

• Na caixa “Referência de célula”, selecione a célula contendo a primeira restrição (B6);

• Na caixa de seleção, escolha a opção que corresponde ao tipo de restrição, que pode ser

menor ou igual (<=), maior ou igual (>=), igual (=), valor inteiro (núm) ou valor binário

(bin). No nosso caso a opção a ser escolhida é <=;

• Na caixa “Restrição”, defina a célula que contém o valor limite da restrição, ou seja, D6;

• Clique em OK para adicionar a restrição;

• Repita estes passos até que todas as restrições estejam adicionadas.

• Após serem adicionadas as restrições, a janela deve estar igual à janela da Figura 2, excetotalvez pela presença dos cifrões ($), que indicam que a célula é fixa.

Figura 2 – Janela contendo os parâmetros da ferramenta Solver


Figura 3 – Janela para adicionar restrições ao problema





76

Para resolver o problema, clique no botão “Resolver”. Se tudo estiver correto, a janela

da Figura 4 será apresentada. Nesta janela podemos escolher entre manter a solução en-

contrada pelo Solver ou restaurar os valores originais. Também podemos selecionar relatóri-os, que contêm informações sobre o processo de solução do problema.

Figura 4 – Janela de resultados do Solver


O processo de solução pode ser interrompido pressionando-se ESC. O Microsoft Excel

recalculará a planilha com os últimos valores encontrados para as células ajustáveis.

b) Instalando o Solver

Caso a opção Solver não esteja presente no menu Ferramentas, é porque a ferramenta

Solver não foi instalada. Para instalá-la, proceda da seguinte maneira:

• No menu Ferramentas, clique em Suplementos. Se o Solver não estiver listado na caixa de

diálogo Suplementos, clique em Procurar e localize a unidade de disco, a pasta e o nome

de arquivo para o suplemento Solver.xla (geralmente localizado na pasta Biblioteca\Solver)

ou execute o programa de instalação se não conseguir localizar o arquivo.

• Na caixa de diálogo Suplementos, marque a caixa de seleção Solver. Os suplementos que

você selecionar na caixa de diálogo Suplementos permanecerão ativos até que você os

remova.



EaD

77


Seção 2.8

Análise de Sensibilidade

Esta seção tem como propósito abordar a Análise de Sensibilidade. O que é, porém,

Análise de Sensibilidade? Análise de Sensibilidade relaciona-se aos impactos de uma toma-

da de decisão. Vejamos o exemplo a seguir.

Exemplo: realizando Análise de Sensibilidade




Função Objetivo:


2

Restrições:

Horas 2.x1 + 3.x

2 ≤ 12


2 ≤ 8

Demanda x 1

x1 ≤ 20

Demanda x 2

x2 ≤ 28

Tabela com a resposta final:

A análise da tabela revela que o lucro é de R$ 32,00, a quantidade de x 1 a produzir é de 4

unidades; a quantidade de x2 a produzir é de 0 (zero) unidades, o valor de xf

1é de 4 unidades; o

valor de xf 2é de 0 (zero) unidades; o valor de xf

3 é de 16 unidades e o valor de xf

4é de 28 unidades.

Resumidamente, o resultado mostra que não devemos produzir unidades de x2, mas seproduzirmos 1 (uma) unidade de x

2,qual será a variação em x

1, em xf

1,em xf

3, em xf

4 e no Lucro?

Isso é fazer Análise de Sensibilidade. Vamos à explicação de como ocorre esse processo.

L x 1 x 2 xf1 xf2 xf3 xf4 b1 0 2 0 4 0 0 32

0 0 2 1 -1 0 0 40 1 0,5 0 0,5 0 0 4

0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16

0 0 1 0 0 0 1 28




78

1º passo: calcular a variação em x1com a produção de 1 (uma) unidade de x

2.

Resolução: localizar o número “1” da variável que sofrerá alteração e relacioná-lo

com o valor (0,5) que está na variável que desejamos produzir 1 unidade. Na sequência,

desenvolver o seguinte cálculo:

x1+ 0,5 = 4 (valor de “b”)

x1 = 4 – 0,5

Novo x1 = 3,5

∆x1= – 0,5

Interpretação do cálculo: ao produzir 1 unidade de x2, a quantidade de x1 a ser produ-zida passa a ser de 3,5 unidades, ou seja, houve uma variação negativa de 0,5 unidades na

quantidade de x1.

2º passo: calcular a variação em xf 1com a produção de 1 (uma) unidade de X

2.


como valor (2) que está na variável que desejamos produzir 1 unidade. Na sequência, de-

senvolver o seguinte cálculo:

xf 1 + 2 = 4 (valor de “b”)

xf 1 = 4 – 2

Novo xf 1 = 2

∆ xf 1= – 2

Interpretação do cálculo: a cada unidade de x2produzida, xf

1perde 2 unidades. Assim

sendo, ao produzir 1 unidade de x2, a quantidade de xf

1passa a ser de 2 unidades, ou seja,

houve uma variação negativa de 2 unidades na quantidade de xf 1.

3º passo: calcular a variação em xf 3com a produção de 1 (uma) unidade de x

2.


como valor (-0,5) que está na variável que desejamos produzir 1 unidade. Na sequência,

desenvolver o seguinte cálculo:

xf 3-0,5 = 16 (valor de “b”)

xf 3 = 16 + 0,5

Novo xf 3 = 16,5

∆ xf 3= 0,5



EaD

79


Interpretação do cálculo: a cada unidade de x2produzida acrescenta-se 0,5 unidades

em xf 3. Assim, ao produzir 1 unidade de x

2, a quantidade de xf

3passa a ser de 16,5 unidades,

ou seja, houve uma variação positiva de 0,5 unidades na quantidade de xf 3.4º passo: calcular a variação em xf

4com a produção de 1 (uma) unidade de x

2.


como valor (1) que está na variável que desejamos produzir 1 unidade. Na sequência, de-

senvolver o seguinte cálculo:

xf 4+ 1 = 28 (valor de “b”)

xf 4 = 28 – 1

Novo xf 4 = 27

∆ xf 4= -1

Interpretação do cálculo: a cada unidade de x2produzida, xf

4 perde 1 unidade. Dessa

forma, ao produzir 1 unidade de x2, a quantidade de xf

4passa a ser de 27 unidades, ou seja,

houve uma variação negativa de 1 unidade na quantidade de xf 4.

5º passo: calcular a variação no lucro com a produção de 1 (uma) unidade de x2.

Resolução: reescrever a equação do lucro e acrescentar a nova situação, que resulta

das variações obtidas.


2

Novo L: 8.Novo x1 + 2.x

2

Novo L: 8.3,5 + 2.1

Novo L: R$ 30,00

∆ L = R$ -2,00

Interpretação do cálculo: a cada unidade de x2 produzida, perde-se R$ 2,00 no lucro.

Ao analisar a tabela com o resultado final, podemos perceber que este valor fica logo abaixo

da variável de decisão x2, na linha do lucro.


Faça a Análise de Sensibilidade dos seguintes casos:

1) Variáveis de decisão:

x1: quantidade de P1 a ser produzida





80

Função Objetivo:

Maximizar L: 100.x1 +120.x

2

Restrições

R1: 2.x1 + 3.x

2 ≤ 12

R2: 2.x1 + 1.x

2 ≤ 8



x1: Quantidade de jaquetas adultas femininas a produzir

x2: Quantidade de jaquetas adultas masculinas a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições:

Demanda: x1 ≤ 120

Demanda: x2= 90

Funcionários: 6.x1 + 9. x

2= 360



x1: Quantidade de filés a produzir x

2: Quantidade de pizzas a produzir

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 100 0 40 0 600

0 1,67 1 0,33 0 50 -0,67 0 -1,33 1 4

L x 1 x 2 xf1 xf2 xf3 b

1 0 0 0 0 50 180000 1 0 1 0 0 120

0 -0,67 0 0 1 -0,11 50

0 0,67 1 0 0 0,11 40



EaD

81


Função Objetivo:


2

Restrições:

Carne: 900.x1 + 300. x

2≤ 30000

Molhos: 400.x1 + 300. x

2≤ 10000






Função Objetivo:


2 + 500. x

3

Restrições:

R1: 3.x1+ 3.x

2+

2. x

3≤ 300

R2: 8.x1+ 2. x

3≤ 200

R3: 6.x2 + 3. x

3≤ 400



x1: Quantidade de P1 a produzir x

2: Quantidade de P2 a produzir

L x 1 x 2 xf1 xf2 b1 0 0 0 0,03 300

0 0 -375 1 -2,25 75000 1 0,75 0 0,0025 25

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 xf3 b1 600 0 0 0 162,5 58,33 55833,33

0 1 0 0 1 -0,25 -0,5 500 4 0 1 0 0,5 0 100

0 -2 1 0 0 -0,25 0,17 16,67




82

Função Objetivo:


2

Restrições:

Carne: 2.x1 + x

2≤ 14

Molhos: 2.x1 + 3. x

2≤ 24


Seção 2.9

Dualidade

Você deve estar se perguntando: O que é Dualidade? A resposta é a seguinte: o objeti-

vo da Dualidade é identificar o valor de oportunidade de cada recurso produtivo envolvido

na produção de um bem. É pela Dualidade que o administrador decide se produz o bem ou

se retém em estoque os recursos produtivos envolvidos no seu processo de produção. Vamos

ao exemplo.

Exemplo:


x 1: quantidade de portas a produzir

x 2: quantidade de portões a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições

Ferro 20.x1 + 30.x2 ≤ 120

Horas Mão de Obra 20.x1 + 10.x

2 ≤ 80

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 0 1,5 4,5 0 63

0 1 0,5 0,5 0 70 0 2 -1 1 10



EaD

83


Tabela com o resultado (primeira tabela):

1º passo: montar o modelo dual correspondente.

• Criar equação para cada variável de decisão envolvida.

Portas: 20.y1 (para produzir 1 porta são necessários 20 Kg de ferro) + 20.y

2 (para pro-

duzir 1 porta são necessários 20 horas de mão de obra) ≥ (maior ou igual) 200 (lucro unitá-

rio de cada porta), ou seja, 20.y1+ 20.y

2≥ 200

Portões: 30.y1

(para produzir 1 portão são necessários 30 Kg de ferro) + 10.y2

(para

produzir 1 porta são necessários 20 horas de mão de obra) ≥ (maior ou igual) 500 (lucro

unitário de cada portão), ou seja, 30.y1+ 10.y

2≥ 500.

• Determinar as novas variáveis de decisão

y1: valor do recurso produtivo 1

y2: valor do recurso produtivo 2• Escrever a nova função objetivo

Ao invés de Maximizar o Lucro, a nova função objetivo será de Minimizar Dualidade,

e será composta pelas restrições, ficando da seguinte maneira:

Min. D: 120. y1+ 80. y

2

2º passo: acrescentar uma variável de folga em cada restrição e igualar o sinal. Em caso de

sinal = (maior ou igual), a variável de folga é negativa.

20.y1 + 20.y2 – yf1 = 200

30.y1+ 10.y

2– yf

2= 500

3º passo: montar tabela dual correspondente, seguindo as seguintes regras:

• Valor de x 1 na primeira tabela é coeficiente de yf

1 na segunda tabela;

• Valor de x 2 na primeira tabela é coeficiente de yf


• Valor de xf1 na primeira tabela é coeficiente de y


• Valor de xf2 na primeira tabela é coeficiente de y


• Coeficiente de x 1 na primeira tabela é valor de yf


L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 133,33 0 16,66 0 2.000

0 0,67 1 0,03 0 4

0 13,33 0 -0,33 1 40




84

• Coeficiente de x 2 na primeira tabela é valor de yf


• Coeficiente de xf1 na primeira tabela é valor de y


• Coeficiente de xf2 na primeira tabela é valor de y

2 na segunda tabela.

Observação importante: como coeficiente, definiremos os elementos que compõem a

primeira linha de ambas as tabelas. Como valor, definiremos os elementos que compõem a

última coluna de cada tabela.

Seção 2.10

Interpretação Econômica da Dualidade

O valor de y1 (16,67) foi obtido do coeficiente xf1, e representa, portanto, o valor de

oportunidade do recurso R1, isto é, cada unidade do recurso R1 tem a capacidade de gerar

um lucro de R$ 16,67.

O valor de y2 (0) foi obtido do coeficiente xf

2, e representa, portanto, o valor de oportu-

nidade do recurso R2. O resultado é coerente, uma vez que o recurso R2 não é escasso (xf 2

= 40).

O valor de y1 é, portanto, o valor de oportunidade por unidade do recurso R1, isto é, a

capacidade de o recurso gerar lucro nessa si tuação.

Na função objetivo dual cada parcela mede, então, o valor de oportunidade dos recur-

sos envolvidos na produção. A função objetivo dual mede, portanto, a capacidade de o

estoque de recursos produtivos gerarem lucro. Na resolução ótima, este valor coincide com

o lucro atribuído aos produtos pelo mercado, isto é, o valor de oportunidade dos produtos

no mercado (Silva et al., 2009).

Cada uma das restrições compara o valor de oportunidade atribuída aos produtos pe-

los recursos, com o valor de oportunidade atribuído aos produtos pelo mercado. Para verifi-

car como isso acontece, vamos usar a segunda equação do modelo dual:

D y1 y2 yf1 yf2 C

-1 0 40 0 4 -2000

0 1 133,33

1 0 16,66



EaD

85


30.y1+ 10.y

2≥≥≥≥ 500, está indicando que o Produto 2 usa 30 unidades do recurso produ-

tivo 1 e 10 unidades do recurso produtivo 2. O lado esquerdo (500) indica o valor de oportu-

nidade atribuído pelo mercado. Este valor também é chamado de valor externo, emcontrapartida ao valor atribuído pelos recursos, chamado valor interno.

Quando a remuneração do mercado (valor externo) cobre o valor interno, o produto é

fabricado. Se o valor de mercado for menor que o valor interno, o produto poderá ser ou não

ser fabricado. Logicamente que dificilmente o produto não será fabricado, pois isso resulta-

ria em perdas significativas para a empresa, como clientes insatisfeitos e perda de participa-

ção de mercado. Quando, no entanto, o valor interno supera o valor externo, podemos

afirmar que alguma coisa não está ocorrendo a contento dentro da empresa, podendo haver

problemas na negociação de preços dos recursos produtivos junto aos fornecedores, ou aempresa pode estar atuando com margens de lucros muito pequenas. Vamos à resolução do

exemplo:

30.y1+ 10.y

2≥≥≥≥ 500

Substituindo 30.16,66 (y1)

+ 10.0 (y

2)

= 500. O resultado dessa multiplicação é o se-

guinte: 499,8 = 500. O valor interno, portanto, é menor do que o valor externo e o produto

1 deve ser produzido.


A partir das situações a seguir, monte o modelo e a tabela Dual correspondente e faça

a análise do resultado:




Função Objetivo:

Maximizar L: 100.x1 +120.x

2

Restrições

R1: 2.x1 + 3.x

2 ≤ 12

R2: 2.x1 + 1.x2 ≤ 8




86



x1: Quantidade de filés a produzir

x2: Quantidade de pizzas a produzir

Função Objetivo:


2

Restrições:

Carne: 900.x1 + 300. x

2£ 30000

Molhos: 400.x1 + 300. x

2£ 10000




X2: Quantidade de P2 a produzir

X3: Quantidade de P3 a produzir

Função Objetivo:


2 + 500. x

3

Restrições:

R1: 3.x1+ 3.x

2+

2. x

3≤ 300

R2: 8.x1+ 2. x

3≤ 200

R3: 6.x2 + 3. x

3≤ 400

L x 1 x

2 xf

1 xf

2 b

1 100 0 40 0 600

0 1,67 1 0,33 0 5

0 -0,67 0 -1,33 1 4

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 0 0 0 0,03 300

0 0 -375 1 -2,25 75000 1 0,75 0 0,0025 25



EaD

87






Função Objetivo:


2

Restrições:

Carne: 2.x1 + x

2≤ 14

Molhos: 2.x1 + 3. x

2≤ 24


Seção 2.11

Análise Econômica

A análise econômica baseia-se nos coeficientes das variáveis e na função objetivo fi-

nal. De acordo com Silva et al. (2009), é preciso lembrar que:

• O quadro final de um modelo de programação linear apresenta variáveis de básicas (que

apresentam valor) e variáveis não básicas (cujo valor sempre é zero);

• A função objetivo está escrita em termos de variáveis não básicas.

• Os valores das variáveis básicas estão na coluna b, enquanto que os valores das variáveis

não básicas é zero.

L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 xf3 b

1 600 0 0 0 162,5 58,33 55833,33

0 1 0 0 1 -0,25 -0,5 500 4 0 1 0 0,5 0 100

0 -2 1 0 0 -0,25 0,17 16,67

L x 1 x 2 xf1 xf2 b

1 0 1,5 4,5 0 63

0 1 0,5 0,5 0 70 0 2 -1 1 10




88

• Os coeficientes das variáveis não básicas na função objetivo indicam variação proporcio-

nal no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições na variável.

• Na tabela final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica

prejudica o objetivo (lucros diminuem).

Vamos a um exemplo:





Função Objetivo:


2 + 4. x

3

Restrições:

R1 x1+ x

2+

x

3≤ 100

R2 2. x1+ x

2≤ 210

R3 x1 ≤ 80


Variáveis de folga:

xf 1: sobra do Recurso 1

xf 2: sobra do Recurso 2

xf 3: sobra do Recurso mercado x

1

Solução:

• Produzir 100 unidades de P3;



L x 1 x 2 x 3 xf1 xf2 xf3 b1 2 1 0 4 0 0 4000 1 1 1 1 0 0 1000 2 1 0 0 1 0 2100 1 0 0 0 0 1 80



EaD

89


• Ao produzir 100 unidades de P3, o lucro máximo é de R$ 400,00.

• Ao produzir 100 unidades de P3, utiliza-se toda a disponibilidade do Recurso Produtivo 1;

• Assim, foi a disponibilidade de R1 que impediu uma maior quantidade produzida;

• A cada unidade de R1 colocada no processo produtivo, o lucro aumenta em R$ 4,00.

• Sobraram 210 unidades do Recurso Produtivo 2 e 80 unidades do Recurso Produtivo 3.

• A cada unidade de P1 produzida (a tabela mostra que não é a melhor alternativa), perde-

se R$ 2,00 no lucro, pois parte dos Recursos Produtivos direcionados a produzir P3 serão

usados para produzir P1, diminuindo a quantidade de P3 a ser produzida.

• A cada unidade de P2 produzida (a tabela mostra que não é a melhor alternativa), perde-se R$ 1,00 no lucro, pois parte dos Recursos Produtivos direcionados a produzir P3 serão

usados para produzir P2, diminuindo a quantidade de P3 a ser fabricada.


Nesta Unidade abordamos alguns elementos considerados funda-mentais para as empresas que se utilizam das ferramentas de Pes-

quisa Operacional. Começamos versando sobre a formação de

modelos em Programação Linear. Modelos que são a base, ou seja,

o início da resolução de problemas e do processo decisório. Abor-

damos também o Método Simplex, que somente pode ser utilizado

após o desenvolvimento dos modelos matemáticos. Por meio do

Método Simplex também mostramos como se pode chegar à me-

lhor solução possível para determinada situação. O Método Simplex

enquanto ferramenta considera as restrições impostas pelo siste-ma que se revelam nos modelos matemáticos. Essa ferramenta pode

ser utilizada tanto em casos de maximização quanto em casos de

minimização.

Os sistemas computadorizados não ficaram de fora desta Unidade.

Uma das ferramentas mais utilizadas para resolução de problemas

de Programação Linear é a Ferramenta Solver, que compõe o pa-

cote do Excel. Outra forma de resolver problemas de Programação

Linear, e que foi mostrada nesta Unidade, é o Método Gráfico.

Entendemos também o que é Análise de Sensibilidade, que projetaa perda de lucro com a produção de um produto que não deve ser




90

produzido; Dualidade e sua interpretação econômica, que mostra

o valor de oportunidade dos recursos produtivos envolvidos no pro-

cesso processo de produção de um bem. A Análise Econômica do

Método Simplex também fez parte desta Unidade.



EaD

91



PROBLEMA DO TRANSPORTE


Nesta etapa do estudo abordaremos a questão dos transportes. O principal obje-

tivo desta Unidade é mostrar métodos para resolução de problemas de transporte que

possibilitem transportar as quantidades certas de mercadorias com o menor custo pos-

sível.

AS SEÇÕES DA UNIDADE

Seção 3.1 – Modelo em Problemas de Transporte

Seção 3.2 – O Caso dos Sistemas não Equilibrados

Seção 3.3 – Métodos para Resolução de Problemas de Transporte

Seção 3.4 – Solução Ótima em Problemas de Transporte

Pesquisa Operacional também se aplica a situações de transporte e logística. Para

Andrade (2000, p. 103), os estudos de problemas de transporte têm o objetivo de “determi-

nar o carregamento da rede de transporte que minimize o custo total”. Em outras palavras,

as ferramentas de problemas de transporte em Pesquisa Operacional têm o objetivo de fazer

com que as empresas transportem as quantidades certas de produtos para seus destinos com

o menor custo possível (Silva et al., 2009).

Para que isso aconteça, três elementos devem ser considerados: as disponibilidades ou

capacidade produtiva de cada origem; necessidades ou demanda de cada destino e o custo

unitário de transporte dos produtos de cada origem para cada destino. A Figura 1 expressa

de forma resumida essas afirmações.




92

Figura 1 – Exemplo de Problema do Transporte


Pela análise da Figura 1 podemos evidenciar as seguintes situações: primeiramente, é

possível perceber a existência de duas origens e de dois destinos. A origem 1 tem capacidade

de produzir 120 unidades de determinado produto. Já a origem 2 possui capacidade produ-

tiva de 150 unidades. Por outro lado, o destino 1 tem uma demanda de 150 unidades, e o

destino 2 tem a necessidade de 120 unidades.

Por outro lado, o custo unitário de transporte da origem 1 para o destino 1 (c11

) é de R$

25,00. Já o custo unitário de transporte da origem 1 para o destino 2 (c12

) é de R$ 12,00.

Além disso, o custo unitário de transporte do destino 2 para a origem 1(c21

) é de R$ 30,00 e

o custo unitário de transporte do destino 2 para o origem 2 (c22

) é de R$ 65,00. Estas infor-

mações também são expostas no quadro a seguir.

• x 11

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para Panambi;

• x 12

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para Três Passos;

• x 21 é a quantidade a ser transportada de Ajuricaba para Panambi;

• x 22

é a quantidade a ser transportada de Ajuricaba para Três Passos;

120

150

150

120

Fábrica

Ijuí

C 11 = 25

C 12 = 75

C 22 = 65

C 21 = 30Fábrica

Ajuricaba

Panambi

Três

Passos

DestinosOrigens

Panambi (D1) Três Passos (D2)

Disponibilidades/

Capacidade Produtiva

Ijuí 25 75 120

Ajuricaba 30 65 150

Demanda 150 120

x11

x12 x21

x22



EaD

93


• 25 é o custo unitário de transporte de Ijuí para Panambi;

• 75 é o custo unitário de transporte de Ijuí para Três Passos;

• 30 é o custo unitário de transporte de Ajuricaba para Panambi;

• 65 é o custo unitário de transporte de Ajuricaba para Três Passos

• 150 é a demanda do município de Panambi;

• 120 é a demanda do município de Três Passos;

• 120 é a capacidade produtiva do município de Ijuí;

• 150 é a capacidade produtiva do município de Ajuricaba.

Seção 3.1

Modelo em Problemas de Transporte

Para construir modelos em Problemas de Transporte utilizamos as três etapas que já

foram abordadas em Programação Linear: definição das variáveis de decisão, definição da

função objetivo e definição das restrições. Para melhor entender esse conteúdo, adotaremos

o seguinte exemplo, exposto no quadro a seguir:

a) Determinação das variáveis de decisão

O primeiro passo é determinar as variáveis de decisão. Por variáveis de decisão enten-

de-se as quantidades que devem ser transportadas de cada origem para cada destino. No

exemplo dado, as variáveis de decisão são as seguintes:

• x 11

é a quantidade a ser transportada da fábrica de Ijuí para Panambi;

• x 12

é a quantidade a ser transportada da fábrica de Ijuí para Três Passos;

DestinosOrigensPANAMBI (D1) TRÊS PASSOS

(D2)

Disponibilidades/Capacidade Produtiva

Fábrica Ijuí 25 75 120

Fábrica Ajuricaba 30 65 150

Demanda 150 120

x11 x12

x21 x22




94

• x 21

é a quantidade a ser transportada de Ajuricaba para Panambi;

• x 22


b) Determinação da função objetivo

A função objetivo sempre se refere à maximização ou minimização de algo. Nos casos

de Problemas de Transporte, a função objetivo é de minimizar custos. No exemplo citado a

função objetivo é a seguinte:

Minimizar Custos: 25.x 11

+ 75. x 12

+ 30. x 21

+ 65. x 22

, em que o mínimo custo é a soma

das multiplicações dos custos unitários pelas variáveis de decisão.

c) Determinação das restrições

São duas as restrições em Problemas de Transporte: demanda e capacidade produtiva/

necessidades.

Restrições de demanda:

Demanda do município de Panambi: x 11

+ x 21

= 150. Isso quer dizer que a quantidade a

ser transportada de Ijuí a Panambi, somada à quantidade a ser transportada de Ajuricaba a

Panambi deve ser de 150 unidades, pois esta é a demanda do município de Panambi.

Demanda do município de Três Passos: x 12

+ x 22

= 120. Significa que a quantidade a

ser transportada de Ijuí a Três Passos, somada à quantidade a ser transportada de Ajuricaba

a Três Passos deve ser de 120 unidades, pois esta é a demanda do município de Três

Passos.

Restrições de disponibilidades/capacidade produtiva:

Capacidade produtiva da fábrica de Ijuí: x 11

+ x 12

= 120. Com base nessa equação, é

possível relatar que a quantidade a ser transportada da fábrica do município de Ijuí para o

mercado de Panambi, somada à quantidade a ser transportada da fábrica do município de

Ijuí para o mercado de Três Passos deve ser de 120, pois esta é a capacidade produtiva da

fábrica de Ijuí, ou seja, sua capacidade de atender o mercado.

Capacidade produtiva da fábrica de Ajuricaba: x 21

+ x 22

= 150. Essa equação mostra

que a quantidade a ser transportada da fábrica do município de Ajuricaba para o mercado

de Panambi, somada à quantidade a ser transportada da fábrica do município de Ajuricaba

para o mercado de Três Passos deve ser de 150, pois esta é a capacidade produtiva da fábrica

de Ajuricaba, ou seja, sua capacidade de atender o mercado.



EaD

95


Seção 3.2

O Caso dos Sistemas não Equilibrados

Há casos em que os sistemas de transporte não obedecem à condição de equilíbrio

entre a oferta (capacidade produtiva ou disponibilidade) e a demanda (necessidades dos

destinos).

A adaptação do modelo é feita com a criação de origens ou destinos auxiliares para

receber a diferença entre oferta e demanda. Os custos unitários para origens ou destinos

auxiliares é zero (Silva et al., 2009). Na solução do modelo, as quantidades que eventual-

mente sejam transportadas de origens auxiliares ficam faltando nos destinos. E as quanti-

dades que são transportadas para destinos auxiliares ficam depositadas nas origens. Vamos

a um exemplo:

Criando-se uma origem auxiliar para receber a diferença (85 – 70 = 15), teremos o

sistema equilibrado:

DestinosOrigensD1 D2 D3


F1 12 10 16 20

F2 14 18 5 30

F3 27 13 8 10

F4 10 16 7 10

Demanda18 42 25

x x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43

85

DestinosOrigens D1 D2 D3 Disponibilidades/Capacidade Produtiva

F1 12 10 16 20

F2 14 18 5 30

F3 27 13 8 10

F4 10 16 7 10

A 0 0 0 15

Demanda18 42 25

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43

8585




96

Seção 3.3

Métodos para Resolução de Problemas de Transporte

Problemas de Transporte podem ser resolvidos de várias maneiras, contudo três méto-

dos se destacam: o Método do Custo Mínimo, o Método do Canto Noroeste e o Método de

Vogel.

a) O Método do Custo Mínimo

Para explicar a resolução de Problemas de Transporte por meio do Método do Custo

Mínimo, utilizaremos o seguinte exemplo:

Independentemente do método a ser utilizado, a resolução de um Problema de Trans-

porte inicia-se com a construção do modelo, exposto na sequência:

Determinação das variáveis de decisão

• x 11

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para Panambi;

• x 12

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para Três Passos;

• x 21

é a quantidade a ser transportada de Ajuricaba para Panambi;

• x 22


Determinação da função objetivo

Minimizar Custos: 25.x11

+ 75. x12

+ 30. x21

+ 65. x22

Determinação das restrições


Demanda do município de Panambi: x 11

+ x 21

= 150

Demanda do município de Três Passos: x 12

+ x 22

= 120

DestinosOrigensPanambi (D1) Três Passos (D2)


Fábrica Ijuí 25 75 120

Fábrica Ajuricaba 30 65 150

Demanda 150 120 270

x11 x12

x21 x22



EaD

97




+ x 12

= 120

Capacidade produtiva da fábrica de Ajuricaba: x 21

+ x 22

= 150

Após construir o modelo, o próximo passo é elaborar novamente a tabela, sem os cus-

tos de transporte, e preenchê-la da seguinte forma:

• Verificar a variável que apresenta o menor custo unitário de transporte. O menor

custo unitário de transporte é da fábrica de Ijuí para o mercado de Panambi (x11

),

que apresenta um valor de R$ 25,00. A seguir, atribuir a maior quantidade possívelde produtos a serem transportados a esta variável, ou seja, 120 unidades. Observe

que, dessa forma, da fábrica de Ijuí para o m ercado de Três Passos não deverá ser

transportado nenhum produto, pois a capacidade produtiva da fábrica de Ijuí é de

apenas 120 unidades.

• Verificar a variável que apresenta o segundo menor custo. Nesse caso, a variável que

apresenta o segundo menor custo unitário de transporte é x21

, com um custo de R$

30,00. Atribuiremos a esta variável a quantidade de 30 unidades, pois a demanda do

mercado de Panambi é de 150 unidades, valor este que é resultado da soma da quanti-

dade que deve ser transportada da fábrica de Ijuí para Panambi e da fábrica de Ajuricaba

para Panambi.

• Verificar a variável que apresenta o terceiro menor custo. Nesse caso, a variável que apre-

senta o terceiro menor custo é x 12

, com um custo unitário de transporte de R$ 65,00. Não

podemos, contudo, atribuir quantidade a essa variável, pois a capacidade produtiva da

fábrica de Ijuí é de 120 unidades. Se transportarmos qualquer quantidade da fábrica de

Ijuí para o mercado de Três Passos, estaremos extrapolando a capacidade produtiva dafábrica de Ijuí.

• Por fim, resta-nos imputar quantidade à x 22

, que é a quantidade a ser transportada da

fábrica de Ajuricaba para o mercado de Três Passos. Para atender à capacidade produtiva

da fábrica de Ajuricaba, que é de 150 unidades, e a demanda do mercado de Três Passos,

que é de 120 unidades, atribuiremos à x 22

o valor de 120.

Na sequência é apresentada a tabela com o resultado final. Observe que o resultado

proporcionou atender à demanda existente de cada mercado, além de considerar a capaci-

dade produtiva de cada indústria. Se substituirmos os valores determinados para as variá-

veis em cada equação das restrições, verificaremos esta afirmação.




98

O resultado também nos permite determinar o custo total de transporte dessa situa-

ção. Para tanto, basta reescrever a função objetivo, acrescentando os valores das variáveis

encontrados e multiplicando-os pelos respectivos custos unitários de transporte. A soma de

tais multiplicações é o custo total de transporte.

Custo de Transporte: 25.x11 + 75. x12 + 30. x21 + 65. x22

Custo de Transporte: 25.120 + 75.0 + 30.30 + 65.120

Custo de Transporte: 3.000 + 0 + 900 + 7.800

Custo de Transporte: R$ 11.700,00.

Resultado final:

x11

: 120

x12

: 0

x21

: 30

x22

: 120

Custo de Transporte: R$ 11.700,00

b) O Método do Canto Noroeste

O segundo método a ser abordado é chamado por Silva et al. (2009) de Método do

Canto Noroeste. Esse método consiste na maior atribuição possível de quantidade à x 11.

Vamos ao exemplo descrito no quadro exposto na sequência:

DestinosOrigensPanambi (D1) Três Passos (D2)


Fábrica Ijuí 120

120

Fábrica Ajuricaba 30 120150

Demanda 150120 270

x11 x12

x21 x22

DestinosOrigensDestino 1

(D1)Destino 2

(D2)Destino 3

(D3)

Disponibilidades/Capacidade Produ tiva

Fábrica 1 F1) 6 5 8 10

Fábrica 2 F2) 13 12 1 20

Fábrica 3 F3) 7 9 5 12

Fábrica 4 F4) 10 6 4 13

Demanda 8 32 15 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43



EaD

99


Como já foi referido no método anterior, o primeiro passo é a construção do modelo

matemático.


• x 11

é a quantidade a ser transportada da F1 para o D1;

• x 12


• x 13


• x 21


• x 22


• x 23


• x 31


• x 32


• x 33


• x 41


• x 42


• x 43 é a quantidade a ser transportada da F4 para o D3.



+ 5. x 12

+ 8. x 13

+ 13.x 21

+ 12. x 22

+ 1. x 23

+ 7.x 31

+ 9. x 32

+ 5. x 33

+

10.x 41

+ 6. x 42

+ 4. x 43



Demanda do D1: x 11

+ x 21

+ x

31+ x

41= 8

Demanda do D2: x 12

+ x 22

+ x

32+ x

42= 32

Demanda do D3: x 13

+ x 23

+ x

33+ x

43= 15


Capacidade produtiva de F1: x 11

+ x 12

+ x 13

= 10


+ x 22

+ x 23

= 20

Capacidade produtiva de F3: x 31 + x 32 + x 33= 12


+ x 42

+ x 43

= 13




100

Após construir o modelo a próxima etapa é elaborar a tabela apenas com as disponibi-

lidades de cada fábrica e as demandas de cada mercado, e preenchê-la considerando o se-

guinte:

• Transportar a maior quantidade possível da F1 para o D1, ou seja, atribuir a maior quan-

tidade possível de produtos à x 11.

Nesse caso, a maior quantidade possível é 8 unidades,

pois esta é a demanda de D1.

• O próximo transporte será feito na variável de decisão contígua (à direita ou abaixo), que

tenha disponibilidade de linha ou coluna correspondente. No caso desse exercício, deve-

mos transportar 2 unidades de F1 para D2 (x 12

).

• Os demais transportes também são feitos de forma contígua, sempre respeitando as de-mandas dos destinos e as capacidades produtivas/disponibilidades de cada origem.

A tabela com o resultado final é apresentada na sequência. Observe que assim como

no Método do Custo Mínimo, o resultado apresentado pelo Método do Canto Noroeste

também possibilita atender à demanda existente de cada mercado, além de considerar a

capacidade produtiva de cada origem. Se substituirmos os valores determinados para as

variáveis em cada equação das restrições que definimos anteriormente, confirmaremos tal

afirmação.

Ao reescrever a função objetivo e acrescentar os valores das variáveis de decisão en-

contrados, e multiplicando-os pelos respectivos custos unitários de transporte, teremos o

seu custo total.

Custo de Transporte: 6.x11

+ 5. x12

+ 8. x13

+ 13.x21

+ 12. x22

+ 1. x23

+ 7.x31

+ 9. x32

+ 5. x33

+ 10.x41

+ 6. x42

+ 4. x43

Custo de Transporte: 6.8 + 5. 2 + 8. 0 + 13.0 + 12. 20

+ 1. 0 + 7.0 + 9. 10

+ 5. 2 + 10.0 +

6.0 + 4. 13

DestinosOrigensDestino 1

(D1)Destino 2

(D2)Destino 3

(D3)


Fábrica 1 F1) 8 2 10

Fábrica 2 F2) 20 20

Fábrica 3 F3) 10 2 12

Fábrica 4 F4) 13 13

Demanda 8 32 15 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43



EaD

101


Custo de Transporte: 48 + 10 + 0 + 0 + 240

+ 0 + 0 + 90

+ 10 + 0 + 0 + 52

Custo de Transporte: R$ 450,00.

Resultado final:

x 11

: 8 x 31

: 0

x 12

: 2 x 32

: 10

x 13

: 0 x 33

: 2

x 21

: 0 x 41

: 0

x 22 : 20 x 42 : 0

x 23

: 0 x 43

: 13

O Método do Canto Noroeste garante a não formação de circuitos entre as variáveis

de decisão que apresentam quantidades, além de satisfazer as restrições impostas pelo siste-

ma (Silva et al., 2009).

c) O Método de Vogel

O Método de Vogel é também chamado de método das penalidades. Para Silva et al.

(2009), penalidade em uma linha ou coluna é a diferença positiva entre os dois custos de

menor valor na linha ou coluna. O objetivo desse método é fazer o transporte com priorida-

de na linha ou coluna que apresenta a maior penalidade. O propósito é evitar o transporte

na célula de maior custo. Vejamos um exemplo prático desse método.

DestinosOrigensFlorianópolis

(D1)

Curitiba

(D2)

Rio de

Janeiro

(D3)

Disponibilidades/Capacidade

Produtiva

Porto Alegre(F1)

12 9 8 10

Santos (F2) 13 12 6 20

São Carlos (F3) 7 9 5 10

Pelotas (F4) 3 2 8 15

Demanda 8 30 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43




102

Como já foi explicado nos dois modelos anteriores, o primeiro passo é a construção do

modelo matemático:


• x 11


• x 12


• x 13


• x 21


• x 22


• x 23


• x 31


• x 32


• x 33


• x 41


• x 42


• x 43 é a quantidade a ser transportada da F4 para o D3.



+ 9. x12

+ 8. x13

+ 13.x21

+ 12. x22

+ 6. x23

+ 7.x31

+ 9. x32

+ 5. x33

+

3.x41

+ 2. x42

+ 8. x43



Demanda do D1: x 11

+ x 21

+ x

31+ x

41= 8

Demanda do D2: x 12

+ x 22

+ x

32+ x

42= 30

Demanda do D3: x 13

+ x 23

+ x

33+ x

43= 17



+ x 12

+ x 13

= 10


+ x 22

+ x 23

= 20


+ x 32

+ x 33

= 10


+ x 42

+ x 43

= 15



EaD

103


Após construir o modelo, a próxima etapa é seguir os seguintes passos (recomenda-

ções), apresentados na sequência:

Primeiro passo: calcular a penalidade para cada linha e cada coluna. Como foi descrito

anteriormente, penalidade é a diferença entre os dois menores custos de cada linha ou colu-

na. Escolha a linha ou coluna com maior penalidade. Caso haja empate, escolha a linha ou

coluna que tiver o menor custo unitário de transporte.

Segundo passo: transportar o máximo possível na linha ou coluna escolhida, elegendo a célula de

menor custo unitário de transporte. Esse procedimento zera a oferta ou demanda da célula corres-

pondente. A linha ou coluna que tenha sua disponibilidade zerada deve ser eliminada.

Terceiro passo: retornar ao primeiro passo até que todos os transportes tenham sido realiza-

dos. Vamos à resolução do exemplo:

a) Primeiro transporte




104

Maior penalidade

O primeiro transporte deverá ser feito na segunda coluna, que apresentou a maior

penalidade (7). O menor custo da segunda coluna é de R$ 2,00 e corresponde à x42

, ou seja,

à quantidade a ser transportada de Pelotas para Curitiba. Nesta célula atribuiremos a maior

quantidade possível de produtos a serem transportados, que é de 15 unidades. Essa quanti-

dade deve-se ao fato de que a capacidade produtiva da fábrica 4 ser de apenas 15 unidades.

Se colocássemos uma quantia superior, extrapolaríamos a capacidade de oferta. A resolu-

ção do primeiro transporte fica da seguinte forma:

Ao transportarmos 15 unidades da Fábrica 4 para Curitiba, utilizamos toda a capaci-

dade produtiva da referida unidade de produção. Isso quer dizer que não atribuiremos quan-

tidade para x41

e x43

, e que o mercado de Curitiba precisa ser atendido em mais 15 unidades.

b) Segundo transporte

Ao atribuirmos 15 unidades à x42

, utilizamos toda a capacidade produtiva da Fábrica

4. Assim, ao calcularmos o segundo transporte, ignoraremos a capacidade produtiva da

Fábrica 4, que já foi totalmente utilizada. Vamos ao cálculo da segunda penalidade, agora

desconsiderando os valores da quarta linha.


(D1)Curitiba

(D2)Rio de

Janeiro(D3)

Disponibilidades/CapacidadeProdutiva

Porto Alegre(F1)

10

Santos (F2) 20

São Carlos (F3) 10

Pelotas (F4) - 15 - 15

DEMANDA 8 30 15 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43



EaD

105


Observe agora que a maior penalidade está na segunda linha (6). Considerando que o

menor custo da segunda linha está em x23

(quantidade a ser transportada de F2 para Rio de

Janeiro), é nesta variável que colocaremos a maior quantidade.

A resolução do segundo transporte resulta na seguinte forma:

Ao transportarmos 17 unidades da Fábrica 2 para o Rio de Janeiro, atendemos toda a

demanda do referido destino. Isso representa que não atribuiremos quantidade para x13

e x33

e, x43

. Além disso, a capacidade produtiva da Fábrica 2 agora é de apenas 3 unidades.

DestinosOrigens

Florian ópolis(d1)

Curitiba(d2)

Rio de Janeiro

(d3)

Disponibilidades/


Porto Alegre (f1)

- 10Santos (f2) 17 20 3

São Carlos (f3) - 10

Pelotas (f4) - 15 - 15

Demanda 8 30 15 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43




106

c) Terceiro transporte


, atendemos toda a demanda do mercado da cidade

do Rio de Janeiro. Portanto, ao calcularmos o terceiro transporte, ignoraremos a demanda

do Destino 3, que já foi plenamente atendida. Vamos ao cálculo da terceira penalidade,

agora desconsiderando os valores da quarta linha e da terceira coluna.

Observe agora que a maior penalidade está na primeira linha, cujo valor é de 5.

Considerando que o menor custo da segunda linha está em x31

(quantidade a ser transporta-

da de F3 para Florianópolis), é nesta variável que colocaremos a maior quantidade.

A resolução do terceiro transporte resulta na seguinte forma:



EaD

107


Ao transportarmos 8 unidades da Fábrica 3 para Florianópolis, atendemos toda a de-

manda do referido destino. Isso significa que não atribuiremos quantidade para x11

e x21

.

Além disso, a capacidade produtiva da Fábrica 3 agora é de apenas 2 unidades.

d) Demais transportes


, atendemos toda a demanda do mercado da cidade de

Florianópolis, e não transportaremos nenhuma quantidade em x11 e x21, conforme quadroexposto na sequência.


(D1)Curitiba

(D2)Rio de Janeiro

(D3)


Porto Alegre(F1)

- - 10

Santos (F2) - 17 20 3

São Carlos(F3)

8 - 10 2

Pelotas (F4) - 15 - 15

Demanda

8 30 15 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43

DestinosOrigens

Florianópolis(D1)

Curitiba(D2)

Rio de Janeiro

(D3)

Disponibilidades/


Porto Alegre(F1) 12 9 8 10

Santos (F2)

13 12 6 20

São Carlos(F3) 7 9 5 10

Pelotas (F4)

3 2 8 15

Demanda

8 30 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43




108

Para executar o restante dos transportes necessários, basta completar a tabela, atribu-

indo 10 unidades para x12

, 3 unidades para x22

e 2 unidades para x32

. O quadro com o resul-

tado final está exposto a seguir.

O resultado nos permite determinar o custo total de transporte dessa situação. Para

tanto, como visto na explicação dos demais métodos de resolução de Problemas de Trans-

porte, basta reescrever a função objetivo, acrescentando os valores das variáveis encontra-

dos e multiplicando-os pelos respectivos custos unitários de transporte. A soma de tais mul-

tiplicações é o custo total de transporte.


+ 9. x12

+ 8. x13

+ 13.x21

+ 12. x22

+ 6. x23

+ 7.x31

+ 9. x32

+ 5. x33

+

3.x41

+ 2. x42

+ 8. x43

Custo de Transporte: 12.0 + 9.10 + 8.0 + 13.0 + 12.3 + 6.17 + 7.8 + 9.2 + 5.0 + 3.0 + 2.15 + 8.0

Custo de Transporte: 90 + 36 + 102 + 56 + 18 + 30


Resultado:

x 11

: 0 x 31

: 8

x 12

: 10 x 32

: 2

x 13

: 0 x 33

: 0

x 21

: 0 x 41

: 0

x 22

: 3 x 42

: 15

x 23

:17 x 43

: 0


(D1)Curitiba

(D2)Rio de Janeiro

(D3)


Porto Alegre(F1) - 10 - 10

Santos (F2) - 3 17 20

São Carlos (F3) 8 2 - 10

Pelotas (F4) - 15 - 15

Demanda 8 30 17 55

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43



EaD

109


Seção 3.4

Solução Ótima em Problemas de Transporte

A Pesquisa Operacional se caracteriza basicamente pela construção, solução e valida-

ção de modelos matemáticos. Validação significa encontrar a melhor solução possível, ou

seja, a solução ótima. Nesta seção mostraremos como se testa uma solução de Problema de

Transporte e, se esta não for a melhor possível, exporemos como torná-la a solução ótima.

Vamos ao primeiro exemplo, que será resolvido pelo Método de Vogel.

A primeira etapa é a construção do modelo matemático:


• x 11


• x 12


• x 13


• x 14 é a quantidade a ser transportada da F1 para o D4;• x

21 é a quantidade a ser transportada da F2 para o D1;

• x 22


• x 23


• x 24


• x 31


• x 32


• x 33


• x 34


DestinosOrigens D1 D2 D3 D4 Disponibilidades/CapacidadeProdutiva

F1 5 3 1 10 8

F2 5 7 3 2 4

F3 3 2 1 8 9Demanda

48

3 6

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34




110



+ 3. x 12

+ 1. x 13

+ 10. x

14+ 5.x

21 + 7. x

22+ 3. x

23 + 2.x

24 + 3.x

31 + 2. x

32

+ 1. x 33 + 8.x 34



Demanda do D1: x 11

+ x 21

+ x

31= 4

Demanda do D2: x 12

+ x 22

+ x

32= 8

Demanda do D3: x 13

+ x 23

+ x

33= 3

Demanda do D4: x 14

+ x 24

+ x

34= 6



+ x 12

+ x 13

+ x

14= 8


+ x 22

+ x 23

+ x 24

= 4


+ x 32

+ x 33

+ x 34

= 9

A segunda etapa é a resolução do Problema de Transporte, cujo resultado é apresenta-

do na sequência.


Resultado:

x 11

: 0 x 23

: 0

x 12

: 5 x 24

: 4

x 13

: 3 x 31

: 4

DestinosOrigensD1 D2

D3D4


F1 5 3 8

F2 4 4

F3 4 3 2 9

Demanda 4 8 3 6

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34



EaD

111


x 14

: 0 x 32

: 3

x 21

: 0 x 33

: 0

x 22

:0 x 34

: 2

A terceira etapa é a realização do teste da otimalidade, que segue as seguintes fases:

identificar as variáveis básicas e não básicas e aplicar o critério de otimalidade.

Variáveis básicas são aquelas que apresentam quantidades a serem transpor tadas. Já

as variáveis não básicas não apresentam quantidades a serem transportadas.

Variáveis básicas Variáveis não básicas

x 12

x 11

x 13

x 14

x 24

x 21

x 31

x 22

x 32

x 23

x 34 x 33

A última fase é a aplicação do critério de otimalidade. Por meio desse critério podemos

identificar se a solução inicial encontrada pode ou não ser melhorada. Para isso acontecer,

basta isolar as variáveis básicas e as variáveis não básicas e seguir os seguintes procedimen-

tos, em que Cijrefere-se ao custo de transporte, U

i refere-se à linha e V

j refere-se à coluna.

Variáveis básicas Coeficiente Substituindo os valores

x 12

C12

– U1 – V

23 – 0 – V

2 V

2=3

x 13

C13

– U1 – V

31 – 0 – V

3 V

3=1

x 24

C24

– U2 – V

42 – U

2 – 9 U

2= -7

x 31

C31

– U3 – V

13 – (-1) – V

1 V

1= 4

x 32

C32

– U3 – V

22 – U

3 – 3 U

3= -1

x 34

C34

– U3 – V

48 – (-1) – V

4 V

4= 9

É importante salientar que o valor de U1

sempre será “0” (zero). Na sequência faremos

o mesmo procedimento, só que desta vez com as variáveis não básicas. Para tanto, na subs-

tituição utilizaremos os valores dos coeficientes já conhecidos.




112

Variáveis não básicas Coeficiente Substituindo os valores

x 11

C11

– U1 – V

15 – 0 – 4= 1

x 14

C14

– U1 – V

410 – 0 – 9 = 1

x 21

C21

– U2 – V

15 – (-7) – 4 = 8

x 22

C22

– U2 – V

27 – (-7) – 3 = 11

x 23

C23

– U2 – V

33 – (-7) – 1 = 9

x 33

C33

– U3 – V

31 – (-1) – 1 = 1

Observe que ao substituirmos os valores, nenhuma variável não básica apresentou

valor negativo. Quando isso acontece significa que a solução encontrada é a melhor

possível, ou seja, no caso do exemplo usado, x 12

=5; x 13

=3; x 24

=4; x 31

=4; x 32

=3 e x 34

=2. Nas

demais variáveis não deverá haver transporte. O lucro máximo nessa situação é de R$

60,00.

Vamos agora ao segundo exemplo, que será resolvido pelo Método do Canto Noroeste.

A primeira etapa é a construção do modelo matemático:


• x 11

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para SC;

• x 12

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para PR;

• x 13

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para SP;

• x 14

é a quantidade a ser transportada de Ijuí para MS;

• x 21

é a quantidade a ser transportada de Panambi para SC;

• x 22

é a quantidade a ser transportada de Panambi para PR;

DestinosOrigens

SC PR SP MS

Disponibilidades/

CapacidadeProdutiva

Ijuí 2 1 5 2 200

Panambi 3 1 4 2 300

Santa Rosa 1 3 2 1 250

Demanda 150 200 100 300

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34



EaD

113


• x 23

é a quantidade a ser transportada de Panambi para SP;

• x 24

é a quantidade a ser transportada de Panambi para MS;

• x 31

é a quantidade a ser transportada de Santa Rosa para SC;

• x 32

é a quantidade a ser transportada de Santa Rosa para PR;

• x 33

é a quantidade a ser transportada de Santa Rosa para SP;

• x 34

é a quantidade a ser transportada de Santa Rosa para MS;


Minimizar Custos: 2.x 11 + 1. x 12 + 5. x 13 + 2. x 14 + 3.x 21 + 1. x 22 + 4. x 23 + 2.x 24 + 1.x 31 + 3. x 32

+ 2. x 33

+ 1.x 34



Demanda de SC: x 11

+ x 21

+ x

31= 150

Demanda do PR: x 12

+ x 22

+ x

32= 200

Demanda de SP: x 13 + x 23 + x 33 = 100

Demanda do MS: x 14

+ x 24

+ x

34= 300



+ x 12

+ x 13

+ x

14= 200

Capacidade produtiva da fábrica de Panambi: x 21

+ x 22

+ x 23

+ x 24

= 300

Capacidade produtiva da fábrica de Santa Rosa: x 31

+ x 32

+ x 33

+ x 34

= 250

A segunda etapa é a resolução do Problema de Transporte, cujo resultado é apresenta-

do na sequência.

DestinosOrigensSC PR SP MS


Ijuí 150 50 200

Panambi 150 100 50 300

Santa Rosa 250 250

Demanda 150 200 100 300

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34




114


Resultado:x

11 : 150 x

23 : 100

x 12

: 50 x 24

: 50

x 13

: 0 x 31

: 0

x 14

: 0 x 32

: 0

x 21

: 0 x 33

: 0

x 22 :150 x 34 : 250

A terceira etapa é a realização do teste da otimalidade, que segue as seguintes fases:

identificar as variáveis básicas e não básicas e aplicar o critério de otimalidade.

Variáveis básicas Variáveis não-básicas

x 11

x 13

x 12

x 14

x 22

x 21

x 23

x 31

x 24

x 32

x 34

x 33

Teste da Otimalidade:


x 11

C11

– U1 – V1 2 – 0 – V

1 V

1=2

x 12

C12

– U1 – V

21 – 0 – V

2 V

2=1

x 22

C22

– U2 – V

21 – U

2 – 1 U

2=0

x 23

C23

– U2 – V

34 – 0 – V

3 V

3= 4

x 24

C24

– U2 – V

42 – 0 –V

4 V

4= 2

x 34 C34 – U3 – V4 1 – U3 – 2 U3= -1



EaD

115


Variáveis não-básicasCoeficiente Substituindo os valores

x 13

C13

– U1 – V

35 – 0 – 4 = 1

x 14

C14

– U1 – V

42 – 0 – 2 = 0

x 21

C21

– U2 – V

13 – 0 – 2 = 1

x 31

C31

– U3 – V

11 – (-1) – 2 = 0

x 32

C32

– U3 – V

23 – (-1) – 1 = 3

x 33

C33

– U3 – V

32 – (-1) – 4 = -1

Observe agora que ao substituirmos os valores, x 33

, que se refere à quantidade que

deve ser transportada de Santa Rosa a São Paulo apresentou valor negativo. Quando

isso acontece significa que a solução encontrada não é a melhor possível e pode ser

melhorada. Então, x 11

=150; x 12

=50; x 22

=150; x 23

=100; x 24

=50 e x 34

=250, com um Custo

Total de Transporte de R$ 1.250,00, não é a melhor solução. Como proceder, então, para

encontrar a solução ótima? Antes da resposta a esta pergunta é preciso fazer a seguinte

observação:

Observação: quando uma variável não básica apresentar valor negativo, significa queteremos de transportar determinada quantidade do destino à origem a que a mesma se refe-

re. Quando duas ou mais variáveis não básicas apresentarem valores negativos, destacare-

mos aquela que apresentar o maior valor negativo. No exemplo usado temos apenas x33

com

valor negativo.

Agora vamos à resposta para encontrar a solução ótima. Primeiramente devemos reto-

mar a primeira solução, destacando a variável não básica que será transformada em variável

básica.

DestinosOrigensSC PR

SPMS


Ijuí 150 50 200

Panambi 150 100 50 300

SantaRosa 250 250

Demanda 150 200 100 300

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34




116

Após essa etapa devemos estabelecer o que Silva et al. (2009) chamam de circuito de

compensação. Por circuito de compensação entende-se um conjunto de 3 variáveis básicas

e 1 variável não básica. A variável não básica que compõem o circuito é aquela que deveráser transformada em variável básica ou, sendo mais claro, aquela que passará a apresentar

a quantidade a ser transportada. No caso do exemplo usado, é x33

. Quais são, contudo, os

demais elementos que compõem o circuito?

Os demais elementos do circuito são aqueles que seguem alternadamente na direção

da linha e na direção da coluna. No caso, as quantidades de x23

(100), x24

(50) e x34

(250).

Qual dessas quantidades irá passar para x33

? É nesse momento que devemos retomar o sig-

nificado de x33

. O primeiro “3” do “33” significa que essa variável está na terceira linha. O

segundo “3” significa que a variável está na terceira coluna. Assim sendo, dentre os elemen-

tos que compõem o circuito, passaremos para x33

a quantidade de x34

, que está na terceira

linha, ou a quantidade de x23

, que está na terceira coluna?

A resposta é a seguinte: passará à x 33

a quantidade de x 23

, pois é menor se compara-

da à x 34

. Feito isso, resta fazer os ajustes nos demais elementos do circuito para que se

atenda à demanda dos destinos e às capacidades das origens. O quadro com a nova solu-

ção resulta na seguinte forma:

DestinosOrigens

SC PR SP MS


Ijuí 150 50 200

Panambi 150 100 50150

300

Santa Rosa100

250150 250

DEMANDA 150 200 100 300

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34



EaD

117


Temos agora a seguinte solução:


Resultado:

x 11

: 150 x 23

: 0

x 12

: 50 x 24

: 150

x 13

: 0 x 31

: 0

x 14

: 0 x 32

: 0

x 21

: 0 x 33

: 100

x 22

:150 x 34

: 150

Verifique que, com esta nova solução, o custo de transporte foi reduzido em R$ 100,00,

pois na primeira solução tínhamos um custo de R$ 1.250,00. Apesar dessa sensível redução,

contudo, é preciso testar a nova solução para verificar se esta é a melhor possível. O proce-

dimento é o mesmo já adotado. A diferença é que na solução anterior, x33

era variável não

básica e agora passa a ser variável básica. Já x23

, que antes era variável básica, agora passa

a ser variável não básica.


x 11

C11

– U1 – V1 2 – 0 – V

1 V

1=2

x 12

C12

– U1 – V

21 – 0 – V

2 V

2=1

x 22

C22

– U2 – V

21 – U

2 – 1 U

2=0

x 24

C24

– U2 – V

42 – 0 – V

4 V

4=2

x 33

C33

– U3 – V

32 – (-1) – V

3 V

3=3

x 34 C34 – U3 – V4 1 – U3 – 2 U3= -1

Variáveis não básicas Coeficiente Substituindo os valores

x 13

C13

– U1 – V

35 – 0 – 3 = 2

x 14

C14

– U1 – V

42 – 0 – 2 = 0

x 21

C21

– U2 – V

13 – 0 – 2 = 1

x 23

C23

– U2 – V

34 – 0 – 3 = 1

x 31 C31 – U3 – V1 1 – (-1) – 2 = 0

x 32

C32

– U3 – V

23 – (-1) – 1 = 3




118

Como é possível perceber, nenhuma variável não básica teve valor negativo, o que leva

à conclusão de que a segunda solução é a melhor possível.


1. Resolva os seguintes problemas de transporte por intermédio do Método do Canto Noro-

este. Construa o modelo e determine as quantidades que devem ser transportadas de cada

origem para cada destino ao menor custo possível.

Exercício 1.1

Exercício 1.2

Exercício 1.3

DestinosOrigensIjuí Pelotas Porto Alegre


Panambi 9 16 28103

Condor 14 29 19 197

Demanda 71 133 96300

x11 x12

x21 x22

x13

x23

DestinosOrigensMG RJ SP


Ijuí 10 15 20 40

Santa Rosa 12 25 18 100

Três Passos 16 14 24 10

Demanda 50 40 60 150

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

DestinosOrigensTrês Passos Tenente

PortelaCrissiumal


Catuípe 10 12 x 12Santo Augusto

12 14 15 18

Bozano 6 8 10 30

Demanda 10 20 30 60

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33



EaD

119


Exercício 1.4

2. Resolva os seguintes problemas de transporte por meio do Método de Vogel. Construa o

modelo e determine as quantidades que devem ser transportadas de cada origem para

cada destino ao menor custo possível.

Exercício 2.1

Exercício 2.2

DestinosOrigens

Três Passos TenentePortela

Crissiumal

Disponibilidades/


Catuípe 10 18 16170

Santo Augusto 12 20 14 150

Bozano 15 12 15200

DEMANDA 200 200 120520

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

DestinosOrigensMG RJ

SP


Panambi 7 8 8 50

Soledade 9 7 8 50

Uruguaiana 20 18 23 20

Demanda 40 40 40 120

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

DestinosOrigensD1 D2

D3D4


F1 10 5 6 7 25

F2 8 2 7 6 25

F3 9 3 4 8 50

Demanda 15 20 30 35 100

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x14

x24

x34




120

Exercício 2.3

Exercício 2.4


Nesta Unidade estudamos o que chamamos em PesquisaOperacional de Problemas de Transporte. Certamente para mui-

tos, principalmente para aqueles que trabalham com logística, esse

assunto não é desconhecido. Os estudos sobre Problemas de Trans-

porte auxiliam na delimitação da quantidade de produtos que de-

vem ser transportados de suas origens para seus destinos, com o

menor custo possível. Para atender a esse pressuposto, apresenta-

mos três métodos que ajudam a alcançar tal objetivo: Método do

Custo Mínimo, Método do Canto Noroeste e Método de Vogel.

Além disso, descrevemos os procedimentos adotados para encon-

trar a melhor solução de transporte possível.

DestinosOrigens

Cruz Alta Cerro Largo SantoAugusto

Disponibilidades/


Cachoeirinha 3 2 6 7Santa Bárbarado Sul 1 4 3 5

Anchieta 4 2 5 8

Demanda 8 6 6 20

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

DestinosOrigensMT BA

SP


F1 13 8 6 12

F2 12 9 3 16

F3 7 4 9 10

F4 3 2 8 15

Demanda 8 25 20 53

x11 x12

x21 x22

x13

x23

x31 x32 x33

x41 x42 x43



EaD

121



TEORIA DAS FILAS


Esta unidade trata especificamente da Teoria das Filas, em projetos de represas, em

programação de produção, em operações hospitalares, nas resoluções de problemas de filasem bancos e supermercados, entre outras aplicações.


Seção 4.1 – Aspectos Gerais da Teoria das Filas

Seção 4.2 – Características de uma Fila

Seção 4.3 – Localização das Variáveis Aleatórias

Seção 4.4 – Modelo de Fila M/M/1

Seção 4.5 – Modelo de Fila M/M/C

As filas são a “praga” do mundo atual. Espera-se em fila no banco, na padaria, no

ponto de ônibus, no trânsito, no restaurante. Em sistemas computacionais, há filas por toda

parte: para acessar a CPU, o disco, a memória, a rede, a impressora, os servidores e outros

recursos. As filas surgem porque a demanda de serviço é maior que a capacidade de atendi-

mento do sistema.

Seção 4.1

Aspectos Gerais da Teoria das Filas

A teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas

matemáticas. A abordagem matemática de filas teve início no princípio do século 20 (1908)

em Copenhague, Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, quan-




122

do trabalhava em uma companhia telefônica. Foi somente a partir da Segunda Guerra Mun-

dial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Apesar do enorme progresso alcan-

çado pela teoria, inúmeros problemas não são adequadamente resolvidos por causa de com-plexidades matemáticas (Prado, 2004).

A teoria das filas envolve o estudo matemático das filas ou linhas de espera. A forma-

ção de filas excede a capacidade de fornecer o serviço. Os modelos matemáticos tornam-se

complexos porque normalmente utilizam ferramentas que envolvem um tratamento estatís-

tico ou estocástico. Fornecer uma capacidade excessiva de atendimento gera ociosidade;

proporcionar um atendimento deficitário gera insatisfação, perda de clientes, perda de pro-

dução; tudo isto leva a uma relação muito forte entre as condições de um sistema de filas e

a minimização dos custos no atendimento do mesmo.

Um modelo estatístico ou estocástico é uma formalização das relações entre as variá-

veis na forma de equações matemáticas. Em termos matemáticos, um modelo estatístico é

frequentemente pensado como um par (Y, P), onde Y é o conjunto de observações possíveis e

P o conjunto de possíveis distribuições de probabilidade de Y. Supõe-se que há um elemento

distinto de P, que gera os dados observados. Inferência estatística nos permite fazer afirma-

ções sobre que elemento(s) deste conjunto são susceptíveis de serem verdadeiros.

O estudo de sistemas de filas tem larga utilidade:

a) No planejamento e controle da produção.

b) No dimensionamento de sistemas de armazenamento.

c) Nos sistemas de transportes.

d) Nos sistemas de tráfego (rodo-porto-aéreo-ferroviário).

e) Na manutenção de máquinas.

f) Em qualquer sistema em que seja provável a formação de filas para determinado atendi-mento.

g) Nos sistemas de saúde.

h) Nos sistemas comerciais.

A figura a seguir ilustra os elementos que compõem uma fi la. Nela pode-se observar

que de certa população surgem clientes que formam fila e que aguardam por certo tipo de

serviço. O termo cliente é empregado de uma forma genérica e pode designar tanto uma

pessoa, um navio ou um lingote, por exemplo. O atendimento é constituído de um ou mais

servidores (que podem ser chamados de atendentes ou canais de serviço) e tanto pode

designar um barbeiro, um vendedor ou uma máquina, entre outras denominações.



EaD

123


Sistemas de filas

Figura 1 – Sistema de filas (por exemplo fila de um banco ou sup ermercado)

Fonte: Adaptado de Prado, 2004.

Observações:

• a população de clientes pode ser finita ou infinita;

• os clientes podem chegar um de cada vez ou em blocos;

• a fila pode ter capacidade finita ou infinita;

• o mecanismo de atendimento pode ter um posto ou vários, paralelos;

• o sistema engloba os clientes da fila e os clientes em atendimento.

Seção 4.2

Características de uma Fila

Clientes e tamanho da população: Um cliente é proveniente de uma população. Quan-

do uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a

taxa de chegada de clientes subsequentes e conclui-se dizendo que as chegadas são inde-

pendentes. Quando a população é pequena, o efeito existe e pode ser considerável.

População infinita => Chegadas independentes

População finita => Chegadas interdependentes

Processo de chegadas: Representa o ritmo de chegadas para a realização de uma ati-vidade e para quantificar as variáveis randômicas (aleatórias) envolvidas podemos definir:

PopulaçãoDe

clientesClientes

chegando Fila

Mecanismo deatendimento Cliente

saindo




124

λ = Ritmo de chegada (exemplo: 4 clientes por minuto)

IC = Intervalo médio entre chegadas (exemplo: 12 segundos)

Não basta fornecer valores médios, é necessário também mostrar como os valores se

distribuem em torno da média, i.e., qual distribuição de probabilidades rege o processo. Um

tipo raro de processo de chegada é o regular, ou seja, aquele em que não existe nenhuma

variação entre valores para os intervalos de chegada. Esta situação ocorre apenas em pro-

cessos altamente automatizados.

Processo de atendimento: Representa a realização da atividade e este processo é

quantificado pelas variáveis randômicas (aleatórias) definidas a seguir:

µ = Ritmo de atendimento

TA = Tempo de Atendimento

Número de servidores (c): Quantidade de servidores que atendem os clientes.

Disciplinas das filas: Trata-se de uma regra que define qual o próximo a ser atendido

e o comum é que o primeiro da fila seja atendido primeiro, ou, de uma maneira mais ampla,

“o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido” (em inglês, diz-se Fifo: First in, first out).

Outras disciplinas podem existir, tais como “último a chegar, primeiro a ser atendido” (em

inglês diz-se Lifo: Last in, first out), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico (aten-dimento aleatório), etc. Assim, uma característica do cliente pode definir sua prioridade de

atendimento.

Tamanho médio e máximo da fila (TF): Quando os clientes devem esperar, alguma

área de espera precisa existir (por exemplo: as cadeiras de uma barbearia). O Tamanho Mé-

dio da Fila representa o número de clientes que esperam para ser atendidos; ou média de

tempo que permanecem nas filas.

Observa-se que os diversos sistemas existentes são dimensionados para uma certaquantidade máxima de clientes em espera (Tamanho Máximo de Fila) e que se um novo

cliente que chega ultrapassar esta quantidade máxima pode ser recusado, devendo tentar

novamente em outro momento (exemplo: tentativa de conseguir linha telefônica).

Observa-se que se λ e µ são constantes => o tamanho da fila oscila em torno de um

valor médio. Se µ < λ a fila aumentará indefinidamente.

Tempo médio de espera (TF): Esta é outra característica capaz de nos causar irritação

quando estamos em uma fila de espera. Representa o tempo médio de espera na fila para ser

atendido e também depende dos processos de chegada e atendimento:

TF = f (λ , µ)



EaD

125


Seção 4. 3

Localização das Variáveis Aleatórias

Quando nos referimos a filas, utilizamos variáveis randômicas (aleatórias). Assim, para

as principais variáveis existe um valor médio e uma distribuição de probabilidades. Como

um exemplo, a figura a seguir ilustra o tempo de chegada que segue uma distribuição uni-

forme e ela pode ser encontrada mediante um número aleatório ou probabilidade definida.

Dinâmica de uma fila: Imagine-se agora você instalado em uma poltrona dentro de

um banco, com a finalidade de observar o funcionamento da fila formada por pessoas que

desejam realizar um financiamento. Você fica observando as pessoas por um período de 30

minutos.

Chegada

λ = 24 clientes por hora

IC = 3 Segundos

Atendimento

µ = 30 clientes por hora

TA = 2 Minutos (média da duração dos atendimentos)

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3




126

Total de clientes atendidos: 12

Tempo médio na fila (TMF) = (3+4+3+1+3+2)/12 = 1,33 minuto

Numero médio na fila (NMF) = (3+4+3+1+3+2)/35 = 0,46 clientes

λ = 24 clientes por hora

µ = 30 clientes por hora

A capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ)

Preço pago pela aleatoriedade do processo:

• O prazo total foi acrescido em 3 minutos

• O prazo médio de atendimento individual (2 minutos) foi acrescido pelo tempo médio de

fila de 1,33 minuto, ou seja, o tempo gasto por cliente é de 3,33 minutos.

Dimensionamento de Filas

A escolha inicial: a qualidade do atendimento

• Atendimento para a média de chegada.

• Atendimento para o pico de chegada.

• Atendimento.

Obtenção de dados: Tamanho da amostra

• Os dados obtidos devem ser confiáveis.

• O tamanho da amostra é fundamental.

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Tempode fila

0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2



EaD

127


Tipo da fila e quantidade de servidores

• Única fila e único servidor.

• Única fila e diversos servidores.

• Diversas filas e os correspondentes servidores.

• Filas especiais.

• Alteração dinâmica no sistema de atendimento.

Sistemas estáveis: Sistema estável é aquele em que λ e µ se mantêm constantes ao

longo do tempo. Se λ e µ são estáveis, a análise do comportamento do sistema pela Teoria

das Filas só é possível se retalharmos o período de tempo, o que torna a análise muito mais

complexa.

Tamanho da amostra: Um estudo sobre um sistema estável, apresentará sempre os

mesmos resultados desde que adequadamente analisado. O tamanho da amostra é funda-

mental.

Tipos de filas:

1 fila e 1 servidor

1 fila e n servidores

m filas e n servidores

filas especiais (ex: caixas expressos de supermercados)

filas que seguem uma alteração dinâmica do sistema de atendimento

Seção 4.3

Localização das Variáveis Aleatórias

A seguir apresentamos a localização das variáveis considerando o sistema mostrado

na Figura 1, em situação estável, na qual clientes chegam e entram na fila e existem n

servidores para atendê-los.




128

Variáveis referentes ao Sistema

TS=Tempo Médio de Permanência no Sistema

NS=Número Médio de Clientes no Sistema

Variáveis Referentes ao Processo de Chegada

λ = Ritmo Médio de Chegada

IC = Intervalo Médio Entre Chegadas

Por Definição IC=1/ λ

Variáveis Referentes à Fila

TF=Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço

NF=Número Médio de Clientes na Fila

Variáveis Referentes ao Processo de Atendimento

TA=Tempo

Relações básicas

NS = NF + NA (Número Médio de Clientes no Sistema)

TS = TF + TA (Tempo Médio de Permanência no Sistema)

Pode-se demonstrar também que: NA= λ / µ= TA/IC (número médio de clientes que

estão sendo atendidos)

Portanto: NS=NF+NA=NF+ λ / µ=NF+TA/IC

Taxa de Utilização dos Atendentes

• Para o caso de “uma fila/um atendente” ρ = λ / µ

• Para o caso de “uma fila/vários atendentes” ρ = ë /cµ, onde “c” é o número de atendentes.

Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes

i= | λ / µ| = |TA/IC|, onde i é o próximo valor inteiro (absoluto), que representa o

número mínimo de atendentes necessário para atender a um dado fluxo de tráfego (exem-

plo: λ / µ= 2,5 à?i = 3 “erlangs”, em homenagem a A. K. Erlang).



EaD

129


Fórmulas de Little

J. D. C. demonstrou que para um sistema estável de filas temos:

NF = λ.TF

NS = λ.TS

Resumo das Fórmulas

O quadro a seguir apresenta um resumo das fórmulas estudadas até agora:

Exemplo 1:

Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que

λ =20 clientes por hora, µ=25 clientes por hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio

da fila.

Solução:

TA = 1/ µ = 1/25 = 0.04 horas

TF = TS – TA = 0,3 – 0,04 = 0,26 horas

NF = λ*TF = 20*0,26 = 5,2 clientes

Exemplo 2:

Para o mesmo sistema anterior, calcular NS e NA

Solução:

NS = λ*TF = 20*0,3 = 6 clientes

NA = NS – NF = 6 – 5,2 = 0,8 cliente

Nome Fórmula

Intervalo entre chegadas IC=1/ λ Tempo de atendimento TA= 1/µ

Taxa de utilização dosatendentes

ρ= λ /cµ

Intensidade de tráfego i= | λ /µ| = |TA/IC|

Relações entre fila, Sistemae atendimento

NS = NF + NANA= λ /µ?= TA/ICNS=NF+NA=NF+ λ /µ=NF+TA/ICTS = TF + TA

Fórmulas de Little NF = λ.TFNS = λ.TS




130

Exemplo 3:

Em uma mineradora, cada caminhão efetua um ciclo em que é carregado de minério

por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para o descarregamento e retorna às

carregadeiras. Verificou-se que o tempo médio (TS) dos caminhões junto as carregadeiras é

de 12 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor. Qual a taxa de chegada

de caminhões?

Solução:

Considerando o espaço do britador como o sistema de estudo e pela lei de Little:

NS = λ.TS ou λ =NS/.TS

λ = 6/12 = 0,5 chegadas por minuto

Seção 4.4

Modelo de Fila M/M/1

A notação de Kendall (David Kendall) define os modelos de fila:

Modelo de fila A/B/c/K/m/Z, onde:

A = distribuição dos intervalos entre chegadas

B = distribuição dos tempo de serviço

c = quantidade de servidores (atendentes)

K = capacidade max. do sistema

m = tamanho da população

Z = disciplina da fila

A notação condensada A/B/c é muito usada e se supõe que não há limite para o tama-

nho da fila, a população é infinita e a disciplina é Fifo. Para A e B, quando a distribuição for

exponencial negativa, usa-se M (Marcoviana).

O modelo de fila, quando tanto as chegadas quanto o atendimento são Marcovianos,

i.e., seguem a distribuição de Poisson (p/ ritmos) ou Exponencial negativa (p/ intervalos).

Além disso, existe apenas um servidor.



EaD

131


Quando temos uma população infinita de clientes, as seguintes fórmulas tratam as

principais variáveis:

Chamamos de Taxa de Utilização a relação entre o ri tmo médio de chegada e o ritmo

médio de atendimento.

ρρρρ = λλλλ / µµµµ

Conforme vimos anteriormente, sistemas estáveis exigem ë menor que ë ou ñ < 1.Quando ñ tende para 1 a fila tende a aumentar infinitamente, conforme mostramos a se-

guir.

A expressão anterior nos permite concluir facilmente que, se ë = ì temos ñ = 1 e o

tamanho da fila é infinito, conforme ilustrado na figura a seguir.




132

Exemplo 1

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedeçam à lei de Poisson,

com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e supo-

nhamos que siga a distribuição exponencial negativa. Pede-se:

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter de esperar?

Pelos dados temos: λ=6 chegadas hora. Portanto IC = 10 minutos

TA = 3 minutos. Portanto µ= 20 atendimentos/ hora

Po = 1 – λ / µ = 1 – 6/20 = 0,7

Ou seja, existe uma probabilidade de 70% de que uma pessoa, ao chegar, não encon-

tre ninguém no sistema e possa utilizar imediatamente o telefone. O complemento deste

valor (30%) significa a probabilidade de uma pessoa esperar. Assim, o telefone fica ocupado

30% do tempo e fica 70% do tempo ocioso.

b) Qual o número médio de pessoas na fila?

NF = λ2 / µ(µ-λ) = (6*6)/(20(20-6)) = 0,128

c) Qual o número médio de pessoas no sistema?

NS = λ(µ-λ) = 0,428

d) Qual o número médio de clientes usando o telefone?

NA = NS – NF = 0,48 – 0,128 = 0,3

e) Qual o tempo médio de fila?

TF = λ / µ(µ-λ) = 6/20(20-6) = 0,021 hora = 1,28 minutos

f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila

seria de 3 minutos?

TF = λ / µ(µ-λ), para TF = 3 minutos ou TF = 0,05 hora e mantendo o mesmo µ = 20

clientes hora, temos: λ = TF* µ2 / (1+ µ*TF) = 10 chegadas/hora

g) Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

A fração do dia durante a qual o telefone está em uso é exatamente igual a (1-Po), isto

é, a probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conforme calculado no primeiro item

este valor é 30%.



EaD

133


Exemplo 2

Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas má-

quinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um

reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador

rápido, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do

reparador lento é R$ 3,00 e do reparador rápido é R$ 5,00. O custo de uma máquina parada

é R$ 5,00. Pede-se qual a contratação que deve ser efetuada para que o custo total (repara-

dor mais máquinas paradas) seja mínimo?

Reparador Lento

NS = λ /(µ – λ) = 3/(4-3) = 3 máquinas

Custo das máquinas = 3* 5 = R$ 15,00

Custo do reparador = R$ 3,00

Custo total = R$ 18,00

Reparador rápido

NS = λ /(µ – λ) = 3/(6-3) = 1 máquina

Custo das máquinas = 1* 5 = R$ 5,00

Custo do reparador = R$ 5,00

Custo total = R$ 10,00

Comparando, vemos que o reparador rápido, apesar de ter um custo maior, implica um

custo total menor.

Seção 4.5

Modelo de Fila M/M/C

O modelo de fila M/M/C apresenta uma única fila e diversos servidores com chegadas

e atendimentos marcovianos (isto é, seguem a Distribuição de Poisson ou a Distribuição

Exponencial negativa)

Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma

(ou seja, µ).




134

Casos de população infinita e finita

Figura 2 – Sistema de fila única com vários atendentes


Para um sistema que tem a estrutura da figura a anterior são válidas as definiçõesestudadas anteriormente (λ, µ, IC = 1/ λ, TA e c = capacidade de atendimento).

População finita: O Modelo M/M/c

As fórmulas para o modelo M/M/c são complexas e difíceis de serem manipuladas e, as-

sim, a preferência generalizada é pelo uso de gráficos. A seguir uma ilustração destes gráficos.

Figura 3

Fonte: Prado, 2004.



EaD

135


Geralmente são utilizados gráficos (como os ilustrados anteriormente por meio da Fi-

gura 3) para se obter o número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utiliza-

ção e tendo como parâmetro a quantidade de servidores “c”.

A taxa de utilização é: ρ = λ /cµ

Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser obtidas pelas fórmulas de Little:

TF=NF/ λ e TS=NS/ λ

O quadro a seguir apresenta as fórmulas das diferentes variáveis.

Figura 4 – Principais indicadores de desempenho do modelo M/M/c

Fonte: Sinay, 2005.




136

Exemplo 1

No sistema de filas sequenciais descrito na Figura a seguir, admitindo-se que o

ritmo de chegada tenha crescido para λ =25 peças por minuto, calcule a quantidade de

servidores de cada estação de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF)

seja menor que 1.

Conclusão: A quantidade de servidores que atende à solicitação é:

Produção = 3; Inspeção 2 e Reparo = 1.


1. Um escritório tem 3 digitadores e cada uma pode digitar, em média, 6 cartas por hora. As

cartas chegam para serem datilografadas com taxa média de 15 por hora.

a) Qual é o número médio de cartas esperando para serem datilografadas?

b) Quanto tempo em média uma carta demora para ficar pronta?

c) Qual a probabilidade de que uma carta demore mais de 20 minutos para ficar pronta?

d) Se cada datilografa recebe de maneira independente (fila individual) 5 cartas por hora,

em média, para datilografar, o tempo médio que uma carta demoraria para ficar pronta

seria maior ou menor que no caso de fila única?



EaD

137


2. Deseja-se determinar o número ótimo de caixas em uma agência bancária. O tempo que

cada cliente “perde” dentro da agência está estimado em R$ 5/hora e o custo de funciona-

mento de uma caixa é de R$ 4/hora. Se os clientes chegam à taxa média de 40 clientes/ hora e cada caixa pode atender, em média, 30 clientes/hora, qual é o número mínimo de

caixas que produz o menor custo de operação?

Dica: Ao incrementar o número de caixas, o custo de operação diminui até atingir um

mínimo e logo volta a crescer.

3. Uma barbearia com 1 barbeiro tem 6 cadeiras para acomodar fregueses esperando atendi-

mento. Os fregueses que chegam quando as 6 cadeiras estão ocupadas, vão embora sem

esperar. Os fregueses chegam com taxa média de 3/h e ficam em média 15 minutos na

cadeira do barbeiro.

a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro?

b) Qual o número médio de fregueses esperando atendimento?

c) Qual a taxa de chegada efetiva?

d) Quanto tempo em média, um freguês fica na barbearia?

e) Que percentual dos fregueses vai embora sem esperar atendimento?

4. Um mecânico atende 4 máquinas. Para cada máquina o tempo médio entre os requeri-mentos de atendimento é de 10 horas, com distribuição exponencial. O tempo de repara-

ção segue a mesma distribuição com tempo médio de 2/horas. Quando uma máquina

para, o custo do tempo perdido é de R$ 20/hora. O custo de um mecânico é de R$ 50/dia.

a) Qual é o número esperado de máquinas em operação?

b) Qual é o custo esperado de atraso por dia?

c) Valeria a pena ter 2 mecânicos, cada um deles atendendo duas máquinas?


A Teoria das Filas é um ramo da probabilidade que estuda a forma-

ção de filas, por meio de análises matemáticas precisas e proprieda-

des mensuráveis das filas. Ela provê modelos para demonstrar previ-

amente o comportamento de um sistema que ofereça serviços cuja

demanda cresce aleatoriamente, tornando possível dimensioná-lo

de forma a satisfazer os clientes e ser viável economicamente para oprovedor do serviço, evitando desperdícios e gargalos.



EaD

139



PROGRAMAÇÃO DINÂMICAE MODELOS DE ESTOQUE

OBJETIVO DESTA UNIDADE

O objetivo desta unidade é revelar algumas técnicas de programação dinâmica e de

modelos de estoque, suas principais características e alguns problemas de aplicação.


Seção 5.1 – Introdução à Programação Dinâmica e Modelos de Estoque

Seção 5.2 – Principais Características

Seção 5.3 – Programação Dinâmica, Modelos Dinâmicos e Problemas de Aplicação

Seção 5.1

Introdução à Programação Dinâmica e Modelos de Estoque

Programação dinâmica é uma técnica muito empregada em problemas que envolvem

a otimização de problemas que podem ser modulados por uma sequência de estados. Pode

ser aplicada indiferentemente tanto a problemas lineares como a problemas não lineares.

Sua aplicabilidade é bastante geral, isto é, os tipos de problemas de programação solúveis

por esta técnica são muitos, embora o método não seja sempre o mais eficiente.

Seção 5.2

Principais Características

(i) Etapas – São os diferentes níveis naturais em que se pode dividir um problema. Em cada

um deles estabelece-se um plano de decisões.




140

(ii ) Estados – Cada etapa terá associado um determinado número de estados (finito ou

infinito, discreto ou contínuo, dependendo da natureza do problema). Em geral os estados

são as várias condições possíveis nas quais o sistema se pode apresentar numa dada etapa.

(iii ) Decisões – Segundo um determinado plano o seu efeito em cada etapa é transformar o

estado corrente num outro estado associado à etapa seguinte. Essa transformação pode

eventualmente obedecer a uma distribuição de probabilidade, contudo os casos apresenta-

dos são de carácter determinístico e não probabilístico.

(iv ) Princípio de Optimalidade – Todo o problema resolúvel por Programação Dinâmica

tem de obedecer a este princípio, isto é, as suas características têm de ser tais que o conhe-

cimento do estado corrente do sistema contenha toda a informação acerca do seu prévio

comportamento, necessária à determinação do plano ótimo a partir dele.

(v ) “Backward” – O processo de resolução começa por determinar o plano ótimo para cada

estado da última etapa até encontrar o plano ótimo para a etapa inicial. Esta é a única

maneira correta de proceder relativamente a problemas cujas etapas correspondem a perío-

dos de tempo. Se tal não for o caso, o processo de resolução é reversível, ou seja poder-se-á

também usar o sentido “Forward”.

(vi ) Recursividade – É uma relação funcional que identifica o plano ótimo para cada estado

na etapa genérica n, dado o plano ótimo da etapa seguinte, isto é, dado o plano ótimo para

cada estado da etapa ( n+1). Esta relação varia com o problema em causa.

Seção 5.3

Modelos Dinâmicos e Problemas de Aplicação

Quando se pretende analisar problemas operacionais, é conveniente considerar a ideia

de um sistema, que tem um número de estados possíveis, e que evolui por estes estados. Por

exemplo, num problema de manutenção e substituição de equipamentos, a máquina pode

ser o sistema, e um estado pode ser definido por sua idade ou conservação.

Problemas operacionais deste tipo podem ser resolvidos mediante a programação di-

nâmica, no entanto percebe-se a existência de dois tipos de problema solucionados por ela.

No primeiro, as variáveis de estados são discretas e o período de otimização finito, ou seja,

problemas reais da Engenharia e das Ciências Sociais que o sistema apresenta um estado

inicial conhecido, sujeito a leis de controle também conhecidas. Esse tipo de problema échamado de determinístico. Em outros, as leis de controle são sujeitas à atuação da nature-

za. Esses são os chamados problemas probabi lísticos.



EaD

141


Destaca-se neste exemplo um problema do tipo determinístico que busca a solução na

programação dinâmica. O desenvolvimento do sistema será controlado, ou ao menos influ-

enciado, pelo tomador de decisões, que a cada estado escolhe, de um conjunto de açõesviáveis, aquela que lhe pareça mais conveniente.

Cabe lembrar que todo problema de programação dinâmica pode ser estruturado e

desenvolvido com o auxílio de softwares.

Veri fica-se, portanto, que a programação dinâmica mostra-se como uma técnica desti-

nada a otimizar processos de decisão de multiestágios. De acordo com Bronson (1985, p.

160):

Um processo de multiestágios é um processo que pode ser desdobrado segundo um certo número

de etapas seqüenciais, ou estágios, os quais podem ser completados de uma ou de diversas ma-

neiras. As opções para se completarem os estágios são chamadas de decisões. Uma política é

uma seqüência de decisões – uma decisão para cada estágio de processo. A condição do processo

num dado estágio é dita o estado neste estágio. Cada decisão efetua uma transição do estado

corrente para o estado associado ao estágio seguinte. Um processo de decisão multiestágio é

finito se houver apenas um número finito de estágios no processo e um número finito de estágios

associados a cada estágio.

Muitos destes processos de decisão de multiestágios apresentam retornos. Percebe-se,portanto, que o objetivo da análise de tais processos é a determinação de uma política ótima

– a que resulte no melhor retorno total.

Exemplo 1: Resolvendo o problema de limitação na produção por meio da programação

dinâmica: o caso da empresa WK.

Com o intuito de exemplificar a utilização da programação dinâmica, adaptou-se um

exemplo proposto por Martins (1994), no qual se desenvolve a seguinte situação problemá-

tica: a WK é uma empresa do ramo têxtil e fabrica cobertores e mantas. Sua linha de produ-

tos é formada por: cobertor-casal, manta-casal, cobertor-solteiro e manta-solteiro.

Devido às turbulências do mercado e a expectativa na falta de mão de obra especi-

alizada para a confecção deste tipo de produto, os funcionários da fábrica resolveram fazer

uma greve, o que fez com que a Empresa WK decidisse por uma demissão em massa. Das

800.000 horas de MOD (mão de obra direta) que eram necessárias para a confecção dos

quatro produtos, restaram apenas 300.000 horas. Esta nova situação encontrada pela Em-

presa WK requer a utilização de uma estratégia de produção. Slack (1997, p. 89) mencionaque:




142

Quando uma organização articula sua estratégia é que ela fará um conjunto de coisas em vez de

outro – que ela tomou decisões que comprometem a organização com um conjunto específico de

ações. A primeira coisa sobre estratégia, portanto, é que ela é um compromisso com a ação. Os

gerentes tomam decisões o tempo todo, o que presumivelmente os comprometerá a fazer algumacoisa, mas nem todas são decisões estratégicas.

A falta de MOD ocasiona, portanto, uma limitação na capacidade produtiva, fazendo

com que a empresa opte pela confecção de apenas alguns produtos, deixando de lado ou-

tros. Para Martins (1990, p.171), “se não houver limitação na capacidade produtiva, inte-

ressa o produto que produz maior Margem de Contribuição por unidade, mas, se existir,

interessa o que produz maior Margem de Contribuição pelo fator limitante da capacidade”.

Entende-se por margem de contribuição a capacidade que os produtos têm de cobrir os

custos fixos (e despesas fixas) e ainda contribuir para o lucro do período. Dentro desse

arcabouço teórico, observando o exemplo proposto, emerge a seguinte pergunta: qual o

produto deve ter suas vendas incentivadas? Consultando os dados da empresa WK foram

obtidas as seguintes informações sobre os custos e despesas do último mês:

• Mão de obra direta: R$ 170/unidade produzida;

• Matéria-prima: R$ 200/Kg de lã utilizada;

• Comissão de vendas: R$150/unidade vendida;

• Os custos fixos são específicos para cada produto: cobertor-casal R$233.000, manta-casal

R$ 190.000, cobertor-solteiro R$ 221.000, manta-solteiro R$ 316.000.

Os demais dados relevantes sobre os produtos são apresentados no quadro que segue:

Depois de analisados os custos e despesas relacionados aos produtos, bem como al-

guns aspectos relevantes, pode-se analisar no quadro que segue o lucro por unidade de

cada produto:



EaD

143


Sabe-se que o mercado consome normalmente o volume produzido demonstrado no

Quadro 1. Para isso, seriam necessárias 800.000 horas de MOD, ou seja, 200.000 horas de

MOD para cada produto, no entanto, devido à demissão em massa causada pela greve, aempresa disponibiliza de apenas 300.000 horas de MOD. Com esta nova situação a empresa

entende que poderá disponibilizar para cada produto as seguintes quantidades de MOD:

zero hora, 100.000 horas ou 200.000 horas.

Com esta limitação na produção, são calculados os respectivos lucros ou prejuízos de

cada produto associados a cada quantidade de horas disponibilizadas, apresentados no

quadro a seguir:

O lucro ou prejuízo total de cada produto é obtido multiplicando o lucro por unidade

pela quantidade produzida de cada produto deduzindo deste resultado os custos fixos totais

do respectivo produto.

Apresenta-se a seguir um exemplo do cálculo do lucro ou prejuízo, pegando comoexemplo a disponibilização de 100.000 horas para o cobertor casal:

Pode-se observar que, se não for disponibiliza nenhuma hora de MOD para os produ-

tos, os mesmos terão prejuízos, ou seja, mesmo não produzindo quantidade alguma de de-

terminado produto este continua incorrendo com os seus custos fixos, ocasionando deste

modo o prejuízo. Pela sua própria natureza, os custos fixos ocorrerão independentemente

dos volumes produzidos, como também independentemente da fabricação ou não de um ou

de outro produto.

Na programação dinâmica, antes de propor a solução para o problema faz-se necessá-

rio, inicialmente, a formulação do modelo que compreende a identificação dos seguintes

aspectos: sistema, estágio, estado, ação, retorno, valor do estado, função de transição, fun-ção de recorrência e conjunto de ações viáveis. A seguir é identificado cada um dos aspectos

anteriormente citados:




144

Depois de formulado o modelo, pode-se representar o problema mediante o uso de

redes, as quais identificarão a melhor ação a ser tomada pelo gerente de produção, ou seja,

decisão de quantas horas de MOD serão disponibilizadas para cada produto. A programa-

ção dinâmica utilizada para otimizar processos de decisão de multiestágios baseia-se no

princípio da condição de ótimo de Bellman. Segundo Bronson (1985, p. 161), no princípio

da condição de ótimo de Bellman “uma política ótima apresenta a propriedade segundo a

qual, a despeito das decisões para assumir um estado particular num certo estágio, as deci-

sões restantes a partir deste estado devem constituir uma política ótima”. A representação

do problema por meio da utilização de redes, demonstrando os lucros ou prejuízos a partir

das horas disponibilizadas para cada produto, está identificada na figura a seguir:

Figura 1 – Representação do problema da e mpresa WK

Fonte: Prado, 2004.



EaD

145


Para se instituir o princípio da condição de ótimo, Bronson (1985, p.161) sugere o

seguinte procedimento:

Parte-se do último estágio de um processo de n estágios e se determina a melhor política para se

deixar aquele estado e completar o processo, supondo-se que todos os estágios anteriores tenham

sido completados. Desloca-se, então, ao longo do processo, de trás para adiante, estágio por

estágio. Em cada estágio determina-se a melhor política para se deixar cada estado e se comple-

tar o processo, supondo-se que todos os estágios precedentes foram concluídos e utilizando-se os

resultados já obtidos para o estágio seguinte.

Com base na representação do problema por meio das redes verifica-se que, se forem

tomadas as decisões que visam a otimizar a situação, a empresa chegaria a um resultado

ótimo de R$ 26.840.000 com a aplicação dos recursos escassos.

A partir da Figura 1 pode-se realizar uma interpretação detalhada do problema. Ana-

lisando o último estágio (estágio 1), percebe-se que o tomador de decisões poderá

disponibilizar, no estado 3, 0 hora, 100.000 horas ou 200.000 horas. Se disponibilizar 0

horas terá um prejuízo de (-) R$ 316.000; se disponibilizar 100.000 horas terá um lucro de

R$ 9.184.000, se disponibilizar 200.000 horas terá um lucro de R$ 18.684.000, neste caso, a

melhor decisão seria a de disponibilizar 200.000 horas e obter um lucro de R$ 18.684.000.

No estado 2, também poderá disponibilizar 0 hora, 100.000 horas ou 200.000 horas. Assim,

se disponibilizar 0 horas terá um prejuízo de (-) R$ 316.000, se disponibilizar 100.000 horasterá um lucro de R$ 9.184.000, se disponibilizar 100.000 horas terá um lucro de R$

18.684.000, neste caso, a melhor decisão seria a de disponibilizar 200.000 horas e obter um

lucro de R$ 18.684.000. No estado 1, poderá disponibilizar 0 hora ou 100.000 horas. Assim,

se disponibilizar 0 horas terá um prejuízo de (-) R$ 316.000, se disponibilizar 100.000 horas

terá um lucro de R$ 9.184.000. Neste caso, a melhor decisão seria a de disponibilizar 200.000

horas e obter um lucro de R$ 18.684.000. No estado 0, poderá disponibilizar apenas 0 hora,

tendo um prejuízo de (-) R$ 316.000, sendo esta a única solução existente. A partir desta

análise, podemos verificar que as melhores decisões ficam em destaque, correspondendo,

portanto, ao valor de cada estado, ou seja, R$ 18.684.000 para o estado 3, R$ 18.684.000

para o estado 2, R$ 9.184.000 para o estado 1 e (-) R$ 316.000 para o estado 0.

A análise do estágio 2 é um pouco diferente do último estágio. Neste caso, as melhores

decisões seriam obtidas somando-se o valor de cada decisão ao resultado ótimo obtido em

cada estado do estágio anterior. Por exemplo, para obter o resultado ótimo de R$ 23.963.000

no estado 3, optou-se por somar o valor de R$ 5.279.000 a partir da disponibilização de

100.000 horas com o resultado ótimo de R$ 18.684.000 obtido no estado 2 do último está-

gio. As outras possibilidades para obter o resultado do estado 3 seria somando (-) R$ 221.000e R$ 18.684.000, ou somando R$ 10.779.000 e R$ 9.184.000, o que corresponderia a resul-

tados inferiores. O mesmo foi feito para os estados seguintes. A partir desta análise, pode-se




146

verificar que as melhores decisões ficam em destaque, originando, portanto, o valor de cada

estado, ou seja, R$ 23.963.000 para o estado 3, R$ 18.463.000 para o estado 2, R$ 8.963.000

para o estado 1 e (-) R$ 537.000 para o estado 0.

A análise do estágio 3 ser ia de forma idêntica à do estágio 2. A partir das análises,

verifica-se que as melhores decisões ficam em destaque, originando, portanto, o valor de

cada estado, ou seja, R$ 27.073.000 para o estado 3, R$ 18.273.000 para o estado 2, R$

8.773.000 para o estado 1.

Chega-se, portanto, ao estágio 4 com o valor de R$ 26.840.000, somando-se (-) R$

233.000 e R$ 27.073.000. Para conhecer as ações que devem ser tomadas para chegar ao

resultado de R$ 26.840.000, basta seguir o caminho feito apenas por setas, disponibilizando0 horas para o cobertor casal, 100.000 para a manta casal, 0 hora para o cobertor solteiro e

100.000 para a manta solteiro.

Cabe ressaltar que neste problema utilizou-se a programação dinâmica determinística,

posto que o resultado de cada decisão (em particular, o estado produzido pela decisão) foi

conhecido exatamente.

Exemplo 2

Um transportador dispõe de 8m3 de espaço disponível num veículo pesado que faz

o trajeto Porto-Lisboa. Um distribuidor com grandes quantidades de três tipos diferen-

tes de utensílios, todos destinados a Lisboa, ofereceu ao transportador as seguintes

taxas de pagamento para transportar tantos itens quantos o veículo pesado tem para

acomodar:

Quantos itens de cada artigo o transportador deveria aceitar para maximizar o lucro

com o frete sem exceder a capacidade disponível no veículo?

Este problema pode ser encarado como um processo de 3 estágios envolvendo afeta-

ções de espaço para os utensílios I, II, III respectivamente. O estado de cada estágio é o

número de metros cúbicos de espaço ainda desocupado.

UtensíliosTaxa

Euro/Item

Volume

m3 /Item

I 11 1

II 32 3

III 58 5



EaD

147


Assim:

A primeira linha do quadro é imediata, uma vez que todo o metro cúbico adicional

afetado ao artigo I produz um lucro adicional de 11 euros. Para a segunda linha é necessá-rio ter em conta que cada utensílio do tipo II ocupa 3m3 e, portanto, a menos que se tenha

pelo menos 3m3 de espaço disponível nenhum item deste tipo pode ser transportado e ne-

nhum lucro pode ser obtido. Se 3, 4 ou 5m3 forem afetadas ao utensílio II somente um item

pode ser acomodado, resultando um lucro líquido de 32 euros. Se 6, 7 ou 8m 3 forem afeta-

dos, então podem ser transportados 2 itens, com um lucro líquido de 64 euros. Uma análise

semelhante é aplicada ao item III. Nenhum lucro é obtido se menos de 5m3 forem afetados.

E se 5, 6, 7 ou 8m 3 forem afetados, apenas um utensílio III pode ser transportado com um

lucro líquido de 58 euros.Então,

X

f 0 1 2 3 4 5 6 7 8

( ) x f 1 0 11 22 33 44 55 66 77 88

( ) x f 2 0 0 0 32 32 32 64 64 64

( ) x f 3 0 0 0 0 0 58 58 58 58

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }== 8,7,6,5,4,3,2,1,08 3333333333 f f f f f f f f f máxm

{ }== 58,58,58,58,0,0,0,0,0máx

58=

( ) 583 =d (escolheu-se o menor maximizante)

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }== 7,6,5,4,3,2,1,07 333333333 f f f f f f f f máxm

{ }== 58,58,58,0,0,0,0,0máx

58=


- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }== 6,5,4,3,2,1,06 33333333 f f f f f f f máxm

{ }== 58,58,0,0,0,0,0máx

58=


- ( ) 5853 =m





148

Então,

Continuando

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8

( )um3 0 0 0 0 0 58 58 58 58

( )ud 3 0 0 0 0 0 5 5 5 5

- ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),53,62,71,808 323232322 m f m f m f m f máxm ++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}=+++++ 08,17,26,35,44, 3232323232 m f m f m f m f m f

{ ,580 += máx ,580 + ,580 + ,5832 + ,032+ ,032+

,064, + ,064+ } 90064 =+

( ) 382 =d

- ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),43,52,61,707 323232322 m f m f m f m f máxm ++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}=++++ 07,16,25,34, 32323232 m f m f m f m f

{ ,580 += máx

,580 +

,580 +

,032+

,032+

,032+

,064, +

, } 64064 =+


- ( ) { ,58062 += máxm ,580+ ,00 + ,032 + ,032+ ,032+

} 64064, =+

( ) 662 =d

- ( ) { ,58052 += máxm ,00 + ,00+ ,032+ ,032+ }=+ 032

58=

( ) 052 =d

- ( ) { ,0042 += máxm ,00 + ,00 + ,032+ }=+ 032

32=


- ( ) { ,0032 += máxm ,00 + ,00 + }=+ 032

( ) 332 =d

- ( ) { ,0022 += máxm ,00+ } 000 =+

( ) 022 =d

- ( ) ( ) 010 22 == mm

( ) ( ) 010 22 == d d (tomou-se o menor maximizante)



EaD

149


Finalmente

O melhor lucro total para o transportador é 91 euros. Para obter, deve afetar 3m3 ao

utensílio I . Ficam 5m3 disponíveis para os utensílios II e III. Como não

deve ser afetado nenhum espaço ao utensílio II. Ficam então ainda 5m3 disponíveis para o

utensílio III.

Confirmando,

EXERCÍCIO (LISTA 10)

Um indivíduo dispõe de 400.000 euros para investir em três oportunidades disponíveis:

1. Terrenos de pastagens

2. Terrenos de regadio

3. Florestas

Cada um dos investimentos requer depósitos em parcelas de 100.000 euros. O investi-

dor pode afetar todo o dinheiro a um único investimento ou reparti-lo entre os três. Os

retornos esperados são apresentados a seguir:

Quanto deve ser investido em cada uma das três opções a fim de se ter o maior retorno global?

u

0 1 2 3 4 5 6 7 8

( )um2 0 0 0 32 32 58 64 64 90

( )ud 2 0 0 0 3 3 0 6 6 3

- ( ) { ,90081 += máxm ,6411+ ,6422+ ,5833+ ,3244+ ,3255 +

,066, + ,077 + }=+ 088 { } 988,77,66,87,76,91,86,75,90 == máx

( ) .381 =d

( )( )381 =d ( ) 052 =d

( ) ( ) ( ) .9158033503 321 =++=++ f f f

Euros Investidos

0 100 000 200 000 300 000 400 000

Retorno do Investimento 1 0 200 000 500 000 600 000 700 000






150


A programação dinâmica tem como objetivo analisar problemasoperacionais, considerando a ideia de um sistema, que tem um

número de estados possíveis, e que evolui por estes estados. Por

exemplo, num problema de manutenção e substituição de equipa-

mentos, a máquina pode ser o sistema, e um estado pode ser defi-

nido por sua idade ou conservação. Problemas operacionais deste

tipo podem ser resolvidos por meio da programação dinâmica.



EaD

151



SIMULAÇÃO


O objetivo desta Unidade é fazer um estudo sobre as técnicas de simulação suas van-

tagens e desvantagens, tipos e modelos de simulação, sua área de aplicação e alguns mode-

los se simulação.


Seção 6.1 – Introdução à Simulação

Seção 6.2 – Vantagens e desvantagens da Simulação

Seção 6.3 – Área de aplicação da Simulação

Seção 6.4 – Tipos de modelos de simulação

Seção 6.5 – Etapas de um projeto de simulação

Seção 6.1

Introdução à SimulaçãoUma simulação é a imitação, durante determinado período de tempo, da operação de

um sistema ou de um processo do mundo real. Feita à mão (raramente) ou em um computador

(quase sempre), a simulação envolve a geração de uma história artificial do sistema, e a partir

desta história artificial a inferência de como o sistema real funcionaria. O comportamento do

sistema é estudado pela construção de um modelo de simulação. Este modelo normalmente

toma a forma de um conjunto de considerações relacionadas à operação do sistema.

Estas considerações são expressas mediante relações matemáticas, lógicas e simbóli-cas entre as entidades, ou objetos de interesse, do sistema. Uma vez construído e validado,

um modelo pode ser usado para investigar uma grande quantidade de questões sobre o




152

sistema do mundo real. Alterações no sistema podem ser inicialmente simuladas para se

prever as consequências no mundo real. A simulação também pode ser empregada para

estudar sistemas no estágio de projeto, ou seja, antes de o sistema ser construído.

Assim, a simulação pode usada tanto como uma ferramenta de análise para prever o

efeito de mudanças em sistemas já existentes quanto como uma ferramenta para prever a

performance de novos sistemas sobre as mais variadas circunstâncias.

Seção 6.2

Vantagens e Desvantagens da Simulação

As vantagens principais da simulação são:

• Novas políticas, procedimentos operacionais, regras de negócio, fluxos de informação,

etc..., podem ser estudados sem se alterar o mundo real.

• Novos equipamentos, layouts, sistemas de transporte, etc..., podem ser testados sem se

comprometer recursos na sua aquisição.

• Hipóteses sobre como e porque certos fenômenos ocorrem podem ser testados visando a

verificar sua praticabilidade.

• O tempo pode ser comprimido ou expandido permitindo acelerar ou retardar o fenômeno

sob investigação.

• Pode-se entender melhor sob a interação das variáveis do sistema.

• Pode-se entender melhor a participação das variáveis na performance do sistema.

• Um modelo de simulação pode ajudar a entender como um sistema funciona como um

todo, em relação a como se pensa que o sistema opera individualmente.

• Questões do tipo “e se...” podem ser respondidas. Isto é extremamente útil na fase de

design de um projeto.

As desvantagens a serem consideradas são:

• A construção de modelos de simulação requer treinamento especial. É uma arte que é

aprendida com tempo e experiência. Além disto se dois modelos são construídos por dois

profissionais competentes, eles terão semelhanças, mas será altamente improvável quesejam iguais.



EaD

153


• Os resultados de uma simulação podem ser difíceis de interpretar. Como a maioria das

saídas de uma simulação são variáveis aleatórias (elas estão normalmente baseadas em

entradas aleatórias), é difícil determinar se uma observação é o resultado do relaciona-mento entre as variáveis do sistema ou consequência da própria aleatoriedade.

• A construção e análise de modelos de simulação pode consumir muito tempo e, como

consequência, muito dinheiro. Economizar, por sua vez, pode levar a modelos incompletos.

• A simulação é usada em muitos casos em que uma solução analítica é possível. A simula-

ção não dá resultados exatos.

Seção 6.3Áreas de Aplicação da Simulação

Existem inúmeras áreas de aplicação da simulação. A seguir estão listadas algumas

das mais importantes:

• Simulação das operações de uma companhia aérea para testar alterações em seus procedi-

mentos operacionais.

• Simulação da passagem do tráfego em um cruzamento muito movimentado, onde novos

sinais estão para ser instalados.

• Simulação de operações de manutenção para determinar o tamanho ótimo de equipes de reparo.

• Simulação de uma siderúrgica para avaliar alterações nos seus procedimentos operacionais.

• Simulação da economia de um setor de um país para prever o efeito de mudanças econômicas.

• Simulação de batalhas militares visando a avaliar o desempenho de armas estratégicas.

• Simulação de sistemas de distribuição e controle de estoque, para melhorar o funciona-mento desses sistemas.

• Simulação de uma empresa como um todo para avaliar o impacto de grandes mudanças

ou como treinamento para seus executivos (business games)

• Simulação de sistemas de comunicações para determinar o que é necessário para fornecer

um determinado nível de serviço.

• Simulação de uma barragem em um determinado rio para avaliar os problemas advindos

com a sua construção.

• Simulação de uma linha de produção em determinada indústria, para avaliar efeitos de

mudanças previstas no processo produtivo.




154

Seção 6.4

Tipos de Modelos de Simulação

Modelos de simulação podem ser Estáticos ou Dinâmicos. Um modelo de simulação

estática, algumas vezes chamado de Simulação de Monte Carlo, é um modelo no qual a

passagem do tempo é irrelevante. Modelos de Simulação Dinâmicos representam sistemas

cujos resultados variam com a passagem do tempo.

Um modelo de simulação pode ser ainda Determinístico ou Estocástico. Modelos de

simulação que não contêm nenhuma variável aleatória são classificados como determinísticos,

ou seja, para um conjunto conhecido de dados de entrada teremos um único conjunto de resul-tados de saída. Um modelo estocástico de simulação tem uma ou mais variáveis aleatórias como

entrada. Estas entradas aleatórias levam a saídas aleatórias que podem somente ser considera-

das como estimativas das características verdadeiras de um modelo. Assim, por exemplo, a simu-

lação (estocástica) do funcionamento de uma agência bancária envolve variáveis aleatórias

como o intervalo entre chegadas e a duração dos serviços prestados.

Logo, medidas como o número médio de clientes esperando e o tempo médio de espera

de um cliente devem ser tratados como estimativas estatísticas das medidas reais do sistema.

Os modelos de simulação dinâmicos podem ser Discretos ou Contínuos. Em uma si-

mulação discreta, considera-se somente os eventos em que há alteração do sistema, ou seja,

o tempo decorrido entre alterações do estado do sistema não é relevante para a obtenção

dos resultados da simulação, embora o tempo nunca pare. Alguns autores a chamam de

Simulação de Eventos Discretos, enfatizando assim que a discretização se refere apenas à

ocorrência dos eventos ao longo do tempo.

Um exemplo seria a simulação de uma agência bancária no qual entre a chegada (ou

a saída) de clientes, o estado do sistema não se altera. Numa Simulação Contínua o sistema

se altera a cada fração de tempo. Exemplos clássicos são a simulação de um avião voando ea passagem de água por uma barragem.

Seção 6.5

Etapas de um projeto de simulação

As etapas básicas de um projeto de simulação são:

1. Formulação do problema: Cada projeto deve começar com a definição do problema a ser

resolvido. É importante que a definição esteja clara para todos que participam do projeto.



EaD

155


2. Determinação dos objetivos e planejamento global do projeto: O objetivo indica as

questões que devem ser respondidas pela simulação. Neste ponto deve ser considerado se

a simulação é a metodologia apropriada para o problema. Nesta fase deve-se fazer tam-bém uma estimativa do tamanho da equipe envolvida, custo, tempo, etc...

3. Construção do modelo: A construção do modelo de um sistema é provavelmente mais arte

que ciência. Embora não seja possível fornecer um conjunto de instruções que possibilitem

construir a cada vez modelos apropriados, existem algumas linhas mestras que podem ser

seguidas. A arte de modelar é melhorada se conseguimos extrair as partes essenciais de um

problema, selecionar e modificar as considerações básicas que caracterizam o sistema e

então enriquecer e elaborar o modelo até a aproximação de resultados úteis. Assim é melhor

começar com um modelo simples e ir aumentando sua complexidade. A complexidade domodelo, entretanto, não necessita exceder o necessário para acompanhar os propósitos para

os quais o modelo foi construído. Não é necessário se ter uma relação de um para um entre

o modelo e o sistema real. Somente a essência do sistema real é necessária. É indispensável

envolver o usuário na construção do modelo. Isto faz com que a qualidade do modelo resul-

tante fique melhor e aumenta a confiança do usuário na sua futura aplicação. Somente

exercícios e a prática ajudam na construção de modelos melhores.

4. Coleta de dados: Há uma interação constante entre a construção de um modelo e a coleta

dos dados de entrada necessários. Geralmente quanto mais complexo o modelo, mais dadossão necessários. Como a coleta de dados toma um tempo muito grande do tempo total de

um projeto de simulação, é necessário começar esta coleta o mais cedo possível.

5. Codificação: Como a maioria dos sistemas do mundo real resulta em modelos que reque-

rem um grande número de informações e de cálculos, o modelo deve ser programado em

um computador digital. O modelador deve decidir se programa em uma linguagem de

programação comum como Java, C, Pascal, Basic, etc..., ou se usa um pacote como o

Arena, Simul, Promodel, Crystal Ball, etc... Como codificar um modelo leva, normalmen-

te, muito tempo, mesmo se a equipe possui bons programadores, a tendência atual no

mercado é se trabalhar com pacotes. É preciso que mencionar também o uso de planilhas

(Excel) para se construir modelos de simulação.

6. Testes: Após a codificação dos programas é necessário testá-los para verificar se eles não

têm algum erro de programação. Deve-se preparar um conjunto de dados com a finalidade

exclusiva de testar os programas.

7. Validação: Nesta fase se verifica se o modelo é uma representação precisa do sistema que

se quer modelar. É nesta fase que se faz a chamada calibragem do modelo, ou seja, são

feitos ajustes até que os resultados nos deem garantias de que o modelo é uma boa repre-

sentação do problema sendo modelado.




156

8. Produção: Nesta etapa o modelo é colocado em produção e os dados obtidos são analisa-

dos. A produção pode envolver a execução, várias vezes, do modelo, variando-se os dados

e os parâmetros de entrada.

9. Avaliação global dos resultados: Nesta fase avalia-se se os resultados obtidos estão con-

dizentes com os esperados. Caso sejam encontradas discrepâncias podemos ter de voltar à

etapa de construção do modelo.

10. Documentação e instituição: É fundamental, como em qualquer projeto, que a simu-

lação seja documentada de forma clara e concisa. Os resultados obtidos também de-

vem ser documentados e arquivados. A execução, se o usuário participou do processo,

tende a ser bem mais simples do que nos casos em que o usuário não teve uma parti-

cipação ativa.

Exemplo: quebra de rolamentos

Uma grande máquina industrial tem 3 rolamentos diferentes que quebram de tempos

em tempos. A probabilidade da vida útil (em horas de operação) de um rolamento está dada

no quadro a seguir:

Quando um rolamento quebra, a máquina para e um mecânico é chamado para insta-

lar um novo rolamento no lugar do que quebrou. O tempo que o mecânico demora para

chegar ao rolamento quebrado também é uma variável aleatória, com a distribuição dada

no quadro a seguir:



EaD

157


Cada minuto que a máquina fica parada custa R$ 5 e o custo do mecânico é de R$ 1/

minuto trabalhando substituindo rolamento. O mecânico demora 20 minutos para trocar 1

rolamento, 30 minutos para trocar 2 e 40 minutos para trocar os 3. Cada rolamento novocusta R$ 20. Alguém sugeriu que ao quebrar um dos rolamentos, se fizesse logo a troca dos

3. Deseja-se avaliar a situação do ponto de vista econômico.

Solução

Temos de comparar o custo da alternativa atual e da alternativa proposta. Precisamos

estabelecer um horizonte de tempo para fazer esta comparação. Considerando que a menor

vida útil de um rolamento é 1.000 horas (mais de 1 mês), vamos estabelecer um horizonte de

20.000 horas (um pouco mais de 2 anos) para fazer a comparação.

Como a vida útil dos rolamentos e a espera pelo mecânico são variáveis aleatórias que

seguem as distribuições vistas anteriormente, precisamos relacionar aquelas distribuições

com uma tabela de números aleatórios. Assim sendo, vamos imaginar que temos um gera-

dor de números aleatórios capaz de gerar qualquer inteiro entre 0 e 99, ou seja 100 núme-

ros. Vamos atribuir a cada duração de vida útil uma faixa destes números que me garanta

que a distribuição probabilística seja mantida. Como a 1ª vida útil (1.000 horas) tem 10% de

probabilidade de ocorrer, vamos atribuir a esta duração a faixa de 0 a 9 inclusive, ou seja, 10números (10% dos 100 números). Para a 2ª duração provável (1.100 horas), com 13% de

probabilidade de ocorrência, vamos atribuir a faixa de 10 a 22 inclusive, ou seja, 13 núme-

ros. Podemos continuar para as demais durações prováveis dos rolamentos, como pode ser

visto no quadro a seguir, ressaltando que a probabilidade acumulada dá o limite das faixas

escolhidas.

Quadro semelhante pode ser construído para a espera pela chegada do mecânico.




158

Com os dados dos quadros anteriores, podemos executar a simulação que, neste

caso, foi realizada numa planilha Excel, apresentando os seguintes resultados para o ro-

lamento 1:

Podemos observar na planilha que para cada sequência ou seja, rolamento novo, égerado um número aleatório que indica qual a vida útil daquele rolamento. Tendo quebra-

do, após esta vida útil, o mecânico é chamado e um 2º número aleatório é gerado para

definir o tempo de espera até a troca do rolamento ser iniciada.

Quando a vida acumulada ultrapassa 20.000 horas, ou seja, a duração da simulação,

paramos a execução do processo. Processos semelhantes foram executados para os outros 2

rolamentos, como destacado a seguir.



EaD

159


Com os dados obtidos na simulação, podemos calcular o custo da situação atual:

Custo dos rolamentos = (15 + 16 + 16) × R$ 20 = R$ 940,00

Custo da máquina parada esperando pelo mecânico = (120 + 130 + 130) × R$ 5 = R$1.900

Custo da máquina parada trocando rolamento = (15 + 16 + 16) × 20 × R $5 = R$ 4.700

Custo do mecânico = (15 + 16 + 16) × 20 × R$ 1 = R$ 940

Custo total = 940 + 1.900 + 4.700 + 940 = R$ 8.480



EaD

161



A simulação consiste na utilização de certas técnicas matemáti-cas, empregadas em computadores, as quais permitem imitar o fun-

cionamento de, praticamente, qualquer tipo de operação ou pro-

cesso do mundo real, ou seja, é o estudo do comportamento de

sistemas reais mediante o exercício de modelos. É um processo de

projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir

experimentos com este modelo com o propósito de entender seu

comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação. Desta

maneira, podemos entender a simulação como um processo amplo

que engloba não apenas a construção do modelo, mas todo o mé-todo experimental que se segue, buscando descrever o comporta-

mento do sistema, construir teorias e hipóteses considerando as

observações efetuadas, e usar o modelo para prever o comporta-

mento futuro, isto é, os efeitos produzidos por alterações no siste-

ma ou nos métodos empregados em sua operação.



EaD

163


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