Apostila PESQUISA OPERACIONAL - Alunos

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PESQUISA PESQUISA OPERACIONAL OPERACIONALCentro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca Curso Administrao IndustrialProfa. Elizabeth FreitasCRONOGRAMA DAS AULASMTODO DE AVALIAOP1 = Nota da Prova 1 P2 = Nota da prova 2 + Participao nas aulas Concluso das listas de exerccios P3 = Segunda chamada EF = Exame FinalPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas2BIBLIOGRAFIA BSICALACHTMARCHER, Gerson - PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISO 2 Edio Campus Elsevier 2005.MACEDO, Ermes - PESQUISA OPERACIONAL PARA CURSOS DE ADMINISTRAO CONTABILIDADE E ECONOMIA 1 Edio Atlas 2004Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas3OBJETIVOS GERAIS Habilitar o aluno quanto ao conhecimento bsico sobre os fundamentos da Pesquisa Operacional: os Modelos de Programao Linear; Transportes e Introduo a Teoria dos Jogos. METODOLOGIA Aulas expositivas e prticas CRITRIO DE AVALIAO Provas / Exerccios prticos. PROGRAMA DA DISCIPLINA Investigao Operacional: Metodologia Otimizao linear Conceitos fundamentais Dualidade de programao linear Anlise de sensibilidade da programao linear (transportes, trans expedio). Introduo teoria dos jogosINTRODUO A PESQUISA OPERACIONAL 1) Conceito Pesquisa Operacional um mtodo cientfico de tomada de decises. Em linhas gerais, consiste na descrio de um modelo que atravs de experimentao leva descoberta da melhor maneira de operar um sistema. 2) Fases de um estudo de P.O. Um estudo de Pesquisa Operacional costuma envolver cinco fases: Definio do problema; Construo do modelo do sistema; Clculo da soluo atravs do modelo; Validao modelo; Implementao do modelo.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas4Apesar da seqncia acima no ser rgida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. A seguir apresentado um resumo de cada uma das fases: Definio do problema A definio do problema baseia-se em trs aspectos fundamentais: Descrio exata dos objetivos do estudo Identificao das alternativas de deciso existentes Reconhecimento das limitaes, restries e exigncias do sistema. A descrio dos objetivos uma das tarefas mais importantes em todo o processo do estudo, pois a partir dela que o modelo concebido. Da mesma forma essencial que as alternativas de deciso e as limitaes existentes sejam todas explicitadas, para que as solues obtidas ao final do processo sejam vlidas e aceitveis. Construo do modelo A escolha apropriada do sistema fundamental para a qualidade da soluo fornecida. Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a soluo pode ser obtida atravs de mtodos matemticos convencionais. Por outro lado, se as relaes matemticas so muito complexas, talvez se faa necessrio combinaes de metodologias. Soluo do modelo O objetivo desta fase encontrar soluo para o modelo proposto. Ao contrrio das outras fases, que no possuem regras fixas, a soluo do modelo baseada geralmente em tcnicas matemticas existentes. No caso de um modelo matemtico, a soluo obtida, pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e preciso da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das tcnicas existentes. A soluo obtida, neste caso, dita tima. Validao do modelo Nessa altura do processo de soluo do problema, necessrio verificar a validade do modelo. Um modelo vlido se, levando-se em conta sua inexatido em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema. Um mtodo comum para testar a validade do sistema analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema apresentou. importante observar que este processo de validao no se aplica a processos inexistentes, ou seja, um projeto. Nesse caso, a validade feita pela verificao da correspondncia entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema. Implementao da soluoPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas5Avaliadas as vantagens e a validao da soluo obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementao, por ser uma atividade que altera uma situao existente, uma das etapas crticas do estudo. conveniente que seja controlada pela equipe responsvel, pois, eventualmente, os valores da nova soluo, quando levados prtica, podem demonstrar a necessidade de correes nas relaes funcionais do modelo conjuntos dos possveis cursos de ao, exigindo a reformulao do modelo em algumas de suas partes. O PROCESSO DE MODELAGEM Quando os executivos se vem diante de uma situao na qual uma deciso de ser tomada entre uma srie de alternativas conflitantes e concorrentes, duas opes bsicas se apresentam: 1) usar a sua intuio gerencial e, 2) realizar um processo de modelagem da situao e realizar exaustivamente simulaes dos mais diversos cenrios de maneira a estudar mais profundamente o problema. At recentemente, a primeira opo se constitua na nica alternativa vivel, visto que no existiam nem dados e/ou informaes sobre os problemas, ou mesmo poder computacional para resolv-los. Com o advento dos microcomputadores e com o aprimoramento da tecnologia de bancos de dados, esta deixou de ser a nica opo para os tomadores de deciso. Um nmero cada vez maior de empresas e tomadores de deciso comeou a optar pela segunda forma de tomada de deciso, isto , atravs da elaborao de modelos para auxiliar este processo. Na realidade, nos dias de hoje est ocorrendo o inverso de 20 anos atrs. Possivelmente, a grande maioria dos tomadores de deciso est adotando a segunda opo de agir. Devemos ressaltar dois fatos relevantes: a) A quantidade de informaes cresceu exponencialmente nos ltimos anos com o advento da internet, o que nos levou ao problema inverso de 20 anos atrs; a quantidade de dados to grande que se torna impossvel montar modelos com todas estas informaes. Devemos, portanto, separar as informaes relevantes das irrelevantes, de maneira a modelar a situao para que possamos analis-la. b) Muitos gerentes deixaram de utilizar sua intuio completamente o que bastante prejudicial ao processo de tomada de deciso, pois uma base de conhecimento pode estar sendo desperdiada. Portanto, as duas opes devem ser utilizadas conjuntamente, para melhorar ainda mais o processo de tomada de deciso; a intuio do tomador de deciso deve ajud-lo na seleo das informaes relevantes, nos possveis cenrios a serem estudados, na validao do modelo e na anlise dos seus resultados dos mesmos. A TOMADA DE DECISOPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas6Podemos entender a tomada de deciso como o processo de identificar os problemas ou uma oportunidade e selecionar uma linha e ao para resolv-lo. Um problema ocorre quando o estado atual de uma situao diferente do estado desejado. Uma oportunidade ocorre quando as circunstncias oferecem a chance do indivduo/organizao ultrapassar seus objetivos e/ou metas. Vrios fatores afetam a tomada de deciso e entre eles podemos destacar: Tempo disponvel para a tomada de deciso A importncia da deciso O ambiente Certeza / incerteza e risco Agentes decisores Conflito de interesses.Diversas vantagens podem ser citadas quando o decisor utiliza um processo de modelagem para a tomada de deciso: Os modelos foram os decisores a tornarem explcitos seus objetivos Os modelos foram a identificao e o armazenamento das diferentes decises que influenciam os objetivos. Os modelos foram a identificao das variveis a serem includas e em que termos elas sero quantificveis. Os modelos foram o reconhecimento de limitaes. Os modelos permitem a comunicao de suas idias e seu entendimento para facilitar trabalho de grupo.Dadas estas caractersticas, os modelos podem ser utilizados como ferramentas consistentes para a avaliao e divulgao de diferentes polticas empresariais.PROGRAMAO LINEAR O problema geral da programao linear utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar) uma funo linear de variveis, chamada de funo objetivo, sujeita a uma srie de equaes ou inequaes lineares, chamadas restries. A formulao do problema a ser resolvido em programao linear, segue alguns passos bsicos: Deve ser definido o objetivo bsico do problema, ou seja, a otimizao a ser alcanada. Por exemplo, maximizao de lucro ou desempenhos, ou de bem-estar social; minimizao de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo ser representado por uma funo objetivo a ser maximizada ou minimizada. Para que esta funo matemtica seja devidamente especificada, devem ser definidas as variveis de deciso envolvidas. Por exemplo: nmero de mquinas, a rea a ser explorada, a classe de investimento disposio,Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas7etc. Normalmente assume-se que estas variveis possam assumir valores positivos. Estas variveis normalmente esto sujeitas a uma srie de restries, normalmente representadas por inequaes. Por exemplo, quantidade de equipamentos disponvel, tamanho da rea a ser explorada, capacidade de um reservatrio, exigncias nutricionais para determinada dieta, etc. Todas essas expresses, entretanto, devem estar de acordo com a hiptese principal da programao linear, ou seja, todas as relaes entre as variveis devem ser lineares. Isto implica proporcionalidade das quantidades envolvidas. Esta caracterstica de linearidade pode ser interessante no tocante simplificao da estrutura matemtica envolvida A PL uma tcnica de planejamento que se originou no final da dcada de quarenta e, com o surgimento do computador na dcada de cinqenta, encontrou o seu aliado natural, tendo ento um desenvolvimento acelerado e sendo tambm muito difundida. Costuma-se dizer, tambm, que a PL um tpico da cincia Pesquisa Operacional, a qual contm outros tpicos tais como Teoria das Filas, Simulao, Teoria dos Jogos, Programao Dinmica, PERT/CPM, etc. Estudos estatsticos tm mostrado que a PL hoje uma das tcnicas mais utilizadas da Pesquisa Operacional. comum vermos aplicaes de PL fazerem parte de rotinas dirias de planejamento das mais variadas empresas, tanto nas que possuem uma sofisticada equipe de planejamento como nas que simplesmente adquiriram um software para alguma funo de planejamento. Podemos conceituar a PL como a seguir: importante tambm, desde j, esclarecer que a palavra programao tem aqui o significado de planejamento. Fazemos isto para evitar a confuso com o termo programao de computadores, termo bastante utilizado atualmente na Cincia da Computao. Portanto, a PL uma tcnica de planejamento baseada em matemtica. Certamente a PL utiliza computadores para resolver seus problemas, mas importante entender que a palavra programao tem significados diferentes nas duas cincias. A PL uma tcnica de otimizao. A PL uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro mximo ou o custo mnimo em situaes nas quais temos diversas alternativas de escolha sujeitas a algum tipo de restrio ou regulamentao. 2 - APLICAES DA PL Na prtica a PL tem sido aplicada em reas to diversas como mostram os exemplos seguintes: Alimentao: Que alimentos as pessoas (ou animais) devem utilizar, demodo que o custo seja mnimo e os mesmos possuam os nutrientes nas quantidades adequadas, e que tambm atendam a outros requisitos, tais como variedade entre as refeies, aspecto, gosto, etc? Rotas de transporte: Qual deve ser o roteiro de transporte de veculos de carga de modo que entregue toda a carga no menor tempo e no menor custo total? Manufatura: Qual deve ser a composio de produtos a serem fabricadospor uma empresa de modo que se atinja o lucro mximo, sendoPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas8respeitadas as limitaes ou exigncias do mercado comprador e a capacidade de produo da fbrica? Siderurgia: Quais minrios devem ser carregados no alto-forno de modoa se produzir, ao menor custo, uma liga de ao dentro de determinadas especificaes de elementos qumicos? Petrleo: Qual deve ser a mistura de petrleo a ser enviada para umatorre de craqueamento para produzir seus derivados (gasolina, leo, etc) a um custo mnimo? Os petrleos so de diversas procedncias e possuem composies diferentes. Agricultura: Que alimentos devem ser plantados de modo que o lucroseja mximo e sejam respeitadas as caractersticas do solo, do mercado comprador e dos equipamentos disponveis? Carteira de investimentos: Quais aes devem compor uma carteira deinvestimentos de modo que o lucro seja mximo e sejam respeitadas as previses de lucratividade e as restries governamentais? Minerao: Em que seqncia deve-se lavrar blocos de minrio abaixo dosolo, dados sua composio, posicionamento e custos de extrao? Localizao industrial: Onde devem ser localizados as fbricas e osdepsitos de um novo empreendimento industrial, de modo que os custos de entrega do produto aos varejistas sejam minimizados?Ento vamos colocar mos obra:Vamos seguir o exemplo de um problema a ser equacionado. um problema corriqueiro que j deve ter acontecido com a maioria de vocs:Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas9O SEU PLANEJAMENTO SOCIALConsidere que voc est saindo com duas namoradas ao mesmo tempo: Kelly Key e Juliana PaesPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas10 claro que no deixaria as meninas sem exemplo: Meninas, personalizei o problema tambm para vocs. Imaginem-se saindo com o Brad Pitt e o Gianecchini:Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas11Qual a deciso? Se voc pudesse, estou certa, planejaria sair com as duas ao mesmotempo, e a todo tempo, acertei? Mas, sair com as duas ao mesmo tempo no d. Elas no aceitariam sair com voc juntas. So ciumentas!!! E, sair todo dia tambm no d. Voc no tem dinheiro (entre outras coisas), para sair todo dia. Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradveis, voc precisa decidir quantas vezes na semana sair com cada uma.A Deciso:Chamemos assim: X1 = Quantidade de vezes que voc sair com a Kelly, por semana. X2 = Quantidade de vezes que voc sair com a Juliana, por semana. Variveis de deciso: O que ns criamos, X1 e X2 , so as chamadas variveis de deciso; as variveis de deciso so aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos decidir (escolher) livremente.Veja que, a princpio, voc pode sair quantas vezes quiser com Kelly Key e com Juliana Paes.Entretanto, existe um pequeno problema: Juliana chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$ 180,00. Kelly mais simples, gosta de passeios baratos. Uma noite com ela custa s R$ 100,00. Mas a sua semanada de apenas R$ 800,00. Como fazer para garantir que voc no vai se endividar?Garantindo a semanada: Se voc sai com a Juliana X1 vezes na semana, e cada vez gasta R$ 180,00, ento voc gasta 180 X1 por semana. Fazendo o mesmo raciocnio para a Kelly, obtemos o seguinte:180 X1 + 100 X2 800Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas12garantiaPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas13Agora o seu problema com o relgio, pois a diferena com as duas no somente com relao aos gastos: Kelly muito agitada e cada sada com ela voc gasta 4 horas do seu precioso tempo. Quando sai com Jliana que mais sossegada, voc gasta apenas 2 horas.Garantindo os estudos: Considere que os seus afazeres com PO s lhe permitem 20 horas de lazer por semana. Usando a notao anterior, como fazer para garantir que no vai extrapolar este tempo?2 X1 + 4 X2 20 garantiaAgora vamos pensar em tudo junto: Restries Voc j pode se planejar. Decida quantas vezes vai sair com Juliana (X1) e quantas vai sair com Kelly (X2). Vamos ver quantas horas e quanto de dinheiro ns consumimos e depois quanto sobra. Quanto consumo:180 X1 + 100 X2 800 (horas por semana) 2 X1 + 4 X2 20 (R$ por semana)Por exemplo: Sair com a Juliana 3 vezes e com a Kelly 2 vezes: X1 = 3 X2 = 2 (2 x 3) + (4 x 2) = 14 horas CONSUMO (180 x 3) + (100 x 2) = 740 reais Quanto sobra? Saindo 3 vezes com Juliana e 2 com Kelly, sobram 6 horas e 60 reais.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas14Agora vamos tentar a situao em voc sai 3 vezes com Juliana e 4 vezes com a Kelly. O resultado negativo, pois: (2 x 3) + (4 x 4) = 22 horas (180 x 3) + (100 x 4) = 940 reais O que sobra, ou melhor o que falta so: (-) 2 horas e (-) 140 reais Esta uma situao impossvel dentro das possibilidades (restries) que lhes foram propostas. Mas falta um objetivo !!!!! preciso pensar no objetivo final. O que eu quero para obter a maior felicidade? Algumas opes: Sair a maior quantidade de vezes possvel por semana, ou seja: MAX. X1 + X2 Total de sadas, independente de com quem. Outro objetivo possvel: Suponha que voc goste de Kelly duas vezes mais do que de Juliana. Arepresentao da sua preferncia ficaria assim: MAX. X1 + 2 X2 Kelly ter o dobro.max x1 + x2funes objetivomax x1 + 2 x2 s.r. 2 x1 + 4 x2 20s.r. 2 x1 + 4 x2 20s e i rt s er180 x1 + 100 x2 800 x1 , x2 0modelo com o primeiro objetivo180 x1 + 100 x2 800 x1 , x2 0modelo com o condies de no-negatividade segundo objetivo15Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth FreitasVamos ento comear a exercitar nossos conhecimentos:LISTA DE EXERCCIO # 1 Monte o modelo de programao linear dos problemas listados abaixo 1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato 1 unidade couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel de couro de 6 unidades e que o lucro unitrio por sapato de 5 unidades monetrias e o do cinto de 2 unidades monetrias, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o objetivo maximizar seu lucro por hora.2) Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhes. O tipo A tem 2 m 3de espao refrigerado e 3 m3 de espao no refrigerado; o tipo B tem 2 m3 de espao refrigerado e 1 m3 de no refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitar de 16 m3 de rea refrigerada e 12 m3 de no refrigerada. A companhia calcula em 1.100 litros o combustvel para uma viagem com o caminho A e 750 l para o caminho B. Quantos caminhes de cada tipo devero ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustvel? 3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema. 4) Uma rede de televiso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 10.000 telespectadores. No decorrer de 1 semana, o patrocinador insiste no uso de no mnimo 5 minutos para sua propaganda e que no h verba para mais de 80 minutos de msica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o nmero mximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 5) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricao em relao ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diria de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitrios so de $4,00 para M1 e #3,00 para M2. Qual o programa timo de produo que maximiza o lucro total dirio da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 6) Uma empresa, aps um processo de racionalizao de produo, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produo forneceu a seguinte tabela de uso de recursos: Produto Recurso R1/ unidade Recurso R2/unidade Recurso R3/unidadePesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas16P1 2 3 5 P2 4 2 3 Disponibilidade de recurso / 100 90 120 ms Que produo mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema. 7) Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. P (Pecuria) Usar outra parte para a criao de gado de corte. A recuperao das pastagens requer adubao (100 kg/alq.) e irrigao (100.000 l de gua / alq.) por ano. O lucro estimado nesta atividade de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de soja) usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de gua/alq para irrigao por ano. O lucro estimado nessas atividades de $ 500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de gua 14.000 kg de adubo 100 alqueires de terra Quantos alqueires dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de deciso. 8) Duas fbricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fbricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel mdio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produo na primeira fbrica de $ 1.000 e o da segunda fbrica de $ 2.000 por dia. A primeira fbrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel mdio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fbrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel mdio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fbrica dever operar para suprir os pedidos mais economicamente? 9) Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros alm de dois tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 MR1 Composio: Ferro 60% custo por kg: $0,20 Carvo 20% Silcio 20% Material Recuperado 2 MR2 Composio: Ferro 70% custo por kg: $0,25 Carvo 20% Silcio 5% Nquel 5% A liga deve ter a seguinte composio final:Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas17Matria-prima Ferro Carvo Silcio Nquel% mnima 60 15 15 5% mxima 65 20 20 8O custo dos materiais puros so (por kg): ferro: $0,30 ; carvo $0,20; silcio $0,28; nquel $0,50. Qual dever ser a composio da mistura em termos dos materiais disponveis, com menor custo por kg? Construa o modelo da deciso. 10) A Esportes Radicais S/A produz pra-quedas e asa deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponveis para a fabricao dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pra-quedas requer 3 horas e a asa delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado est disposto a comprar toda a produo da empresa e que o lucro pela venda de cada pra-quedas de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida de R$ 40,00, encontre a programao de produo que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas18INTRODUO AOS CONCEITOS DE MODELO GRFICO A tcnica para soluo de modelos de programao linear com duas variveis chama-se MTODO GRFICO Essa tcnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possveis solues do problema, isto ,o conjunto de pontos (x1 e x2) que obedece o grupo de restries impostas pelo modelo em estudo. O desempenho do modelo avaliado atravs da representao grfica da funo objetivo. As solues so classificadas de acordo com sua posio no grfico. Exemplo: Represente graficamente a soluo do sistema: X1 + 3x2 12 2 x1 + x2 16 x1 0 ; x2 0 Vamos representar cada uma das retas correspondentes:1) X1 + 3x2 12 se X1 = 0 x2 = 4Se x2 = 0 X1= 12 se x2 = 0 X1 = 82) 2 x1 + x2 16 se X1 = 0 x2= 16X2Essa a rea de possveis solues, que respeita as restries impostas pelo modelo.X1Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas19Avaliando a funo-objetivo:Imaginemos a seguinte funo objetivo: Max. L = 2 x1 + 5 x2 Vamos atribuir valores a L, aleatoriamente. Comecemos com o valor 101. Se L for igual a 10, ento x1 = 5 e x2 = 2 , tracemos ento esta reta nogrfico abaixo.2. Se L for igual a 15, ento x1 = 7,5 e x2 = 3 medida que formos aumentando o valor de L, obtemos retas paralelas. Podemos ento perceber que, dentro da rea de possveis solues, o ponto P e a reta paralela de maior valor. Portanto, este ponto a soluo do problema que maximiza o valor de L na regio de restries dadas.Ponto P L= 30 x1=0; x2=6rea de possveis soluesL = 15L=10Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas20Voltemos ento a exercitar os conhecimentos apreendidos: LISTA DE EXERCCIO # 2 Resolva graficamente os modelos abaixo1.Maximizar LUCRO = 2 x1 + 3 x2 Sujeito a: - x1 + 2 x2 4 x1 + 2 x2 6 x1 + 3 x2 9 x1 0 ; x2 02.Maximizar RECEITA = 0,3 x1 + 0,5 x2 Sujeito a: 2 x1 + x2 2 x1 + 3 x2 3 x1 0 ; x2 03.Max. LUCRO = 2 x1 + 3 x2 Sujeito a: x1 +3 x2 9 - x1 + 2 X2 4 x1 + x2 6 x1 0 ; x2 04.Minimizar CUSTO = 10 x1 + 12 x2 Sujeito a: x1 + x2 20 x1 + x2 10 5 x1 + 6 x2 54 x1 0 ; x2 05.Minimizar Z = 7 x1 + 9 x2 Sujeito a: - x1 + x2 2 x1 5 x2 6 3 x1 + 5 x2 15 5 x1 + 4 x2 20 x1 0 ; x2 06.Minimizar Custo = 1000 x1+ 2000 x2 Sujeito a: 8x1 + 2x2 16 x1 + x2 6 2 x1 + 7 x2 28 x1 0 ; x2 0Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas217.Maximizar Sadas = x1 + x2 Sujeito a: 240 x1 +160 x2 960 5000 x1 + 10000 x2 40000 3 x1 + 3 x2 18 x1 0 ; x2 0 Maximzar LUCRO= 10 x1 + 30 x2 + 4000 Sujeito a: x1 + x2 600 x1 100 x2 200 x1 0 ; x2 0 Maximizar LUCRO = 4 x1 + 3 x2 Sujeito a: 2 x1 + x2 1000 x1 400 x2 700 x1 0 ; x2 08.9.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas22LISTA DE EXERCCIOS # 3Resolva graficamente os exerccios listados abaixo:1) Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faa somentepizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponvel de queijo de 5 quilogramas por dia, e que a pizza vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se : quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com trs pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? 2) A Esportes Radicais S/A produz pra-quedas e asa deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponveis para a fabricao dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pra-quedas requer 3 horas e a asa delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado est disposto a comprar toda a produo da empresa e que o lucro pela venda de cada pra-quedas de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida de R$ 40,00, encontre a programao de produo que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. 3) A indstria de mveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas. As cadeiras apresentam uma margem de contribuio de $ 10,00 por unidade e as mesas de $ 8,00 por unidade. Os produtos so processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por estes departamentos, cada unidade de cadeira e mesa consome respectivamente 3 horas para acabamento e 6 horas para montagem e 3 horas para acabamento e 3 horas para montagem. Os departamentos, contudo, apresentam limitaes em suas capacidades produtivas e, sendo assim, o departamento de acabamento possui 48 horas de capacidade mxima e o de montagem 30 horas. Calcule qual a melhor combinao possvel de cadeiras e mesas a serem produzidas, de forma a obter a maior margem de contribuio total. 4) Um fabricante da linha de xampus est planejando um turno de produo de produtos A (para cabelos secos) e B (para cabelos oleosos). Dispe-se de ingredientes suficientes para 60.000 vidros de cada xampu, mas existem somente 60.000 vidros para ambos os xampus. Gasta-se 4 horas para preparar uma quantidade de xampu suficiente para encher 1.000 vidros do xampu A e 3 horas para preparar uma quantidade de xampu suficiente para encher 1.000 vidros do xampu B; dispe-se de 200 horas para a preparao. O lucro de 9 centavos por vidro para o xampu A e de 7 centavos por vidro do xampu B. Como se deve programar a produo para maximizar o lucro? 5) Resolva o problema 6 da lista de exerccio 16) Resolva o problema 1 da lista de exerccio 1.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas23MTODO SIMPLEXEsse mtodo formado por um grupo de critrios para escolha de solues bsicas que melhorem o desempenho do modelo, e tambm de um teste de otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma soluo bsica inicial. As solues bsicas subseqentes so calculadas com a troca de variveis bsicas para no bsicas, gerando novas solues. Os critrios para escolha de vetores e conseqentemente das variveis que entram e saem para a formao da nova base constituem o centro do simplex. Vejamos o modelo a seguir: Max Z = 3x1+ 5x2 s.a.: 2x1+4x2 10 6x1+x2 20 x1 x2 30 x1 0 ; x2 0 Se acrescentarmos as variveis de folga nas restries, teremos: 2x1+4x2 + xF1 = 10 6x1+ x2 + xF2 = 20 x1 x2 + xF3 = 30 x1 0 ; x2 0; xF1 0 ; xF2 0; xF3 0 Observemos a funo objetivo: Z = 3x1+ 5x2 Se x1= 0 e x2 = 0, o valor de Z ser 0 Se o valor de x1= 1, o valor de Z aumenta em 3 unidades. O mesmo para x2 Se x1= 1 Z = 3 Se x2= 1 Z = 5 Re-escrevendo a funo objetivo: Z -3x1 - 5x2 = 0 Os coeficientes positivos direita (3 e 5) so negativos esquerda, portanto indicam que o valor de Z pode ser aumentado com a entrada da varivel na base, e na proporo de seu coeficiente. Escrito dessa forma, a soluo testada s ser tima quando as variveis no bsicas no apresentam coeficientes negativos.a) Varivel que entra na base: entra na base a varivel com coeficientenegativo de maior valor absoluto. A idia melhorar rapidamente o valor de ZPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas24Z -3x1 - 5x2 = 0Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas25b) Varivel que sai: sai a varivel que primeiro se anula com a entrada davarivel escolhida no item anterior, no caso X2, que entra com maior valor possvel.2 x1 6x1 x1 c) Elemento piv:+4x2 + xF1 = 10 10/4 = 2,5 + x2 + xF2 = 20 20/1 = 20 - x2 + xF3 = 30 30/(-1) =-30A coluna da varivel que entra e a linha da varivel que sai identificam um elemento comum chamado ELEMENTO PIV. X1 -3 2 6 1 X2 -5 4 1 1 xF1 0 1 0 0 xF2 0 0 1 0 xF3 0 0 0 1 Total 0 10 20 30Z 1 0 0 01 passo: Dividir a linha piv pelo elemento piv. 2 passo: Re-escrever as outras linhas da seguinte maneira: a) Multiplicar os elementos da nova linha piv pelo coeficiente da varivel que entra da outra linha, com sinal trocado. b) Somar termo a termo com os elementos da outra linha. Z 1 0 0 0 X1 -0,5 0,5 5,5 1,5 X2 0 1 0 0 xF1 1,25 0,25 -0,25 0,25 xF2 0 0 1 0 xF3 0 0 0 1 Total 12,5 2,5 17,5 32,5Depois o processo inteiro repete-se. Z 1 0 0 0 X1 0 0 1 0 X2 0 1 0 0 xF1 1,227 0,272 -0,045 0,317 xF2 0,09 -0,09 0,18 -0,27 xF3 0 0 0 1 Total 14,09 0,91 3,18 27,73Resposta: Z = 14,09 ; x1 = 3,18 ; x2 = 0,91 ; xF1 = 0; xF2 = 0 ; xF3 = 27,73 Aplique estes valores ao modelo e verifique se o mesmo est correto!!Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas26LISTA DE EXERCCIO # 4Resolva os exerccios de programao linear listados abaixo atravs do mtodo simplex:1) Maximizar 2x1 + 3x2 + 4 x3Sujeito a: x1 + x2 + x3 100 2x1 +x2 210 x1 80 x1 , x2, x3 02) Maximizar 0,2 x1 + 2x2 +4x3Sujeito a: x1 +2x2 20 3x1 + x3 50 x1 + x2 - x3 15 x1 , x2, x3 03) Maximizar 5 x1 - 3x2 + 4 x3 x4Sujeito a: x1 + x2 + x3 + x4 600 2 x1 + x3 280 x2 + 3x4 150 x1 , x2 , x3 , x4 04) Maximizar 2x1 + 4x2 + 6x3Sujeito a: x1 + x2 + x3 100 2x1 - x2 + 5x3 50 3x1 + x3 200 x1 , x2, , x3 0RESOLVER OS EXERCCIOS DE MAXIMIZAO DAS LISTAS ANTERIORESPesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas27O MODELO DE TRANSPORTE DE VOGELO problema de transporte um dos tipos de aplicao de programao lineal muito especial e comum. O Mtodo do Transporte foi inicialmente utilizado para determinar o menor custo de transporte entre diversos pontos. Este mtodo resolve esta classe de problemas de programao linear de uma maneira mais eficiente que o simplex tradicional. O problema de transporte bsico aquele em que queremos determinar, dentre as diversas maneiras de distribuio de um produto, a que resultar no menor custo de transporte entre as fbrica e os centros de distribuio. Matematicamente o que queremos a minimizao do custo total do transporte que dada por:m nMin Z = onde:i=1 j=1cij xijxij = a quantidade de itens transportados da fbrica i para o destino j (variveis de deciso) cij = o custo mnimo de transporte da fbrica i para o destino j (constantes) m = nmero de fbricas. N = nmero de destinos (centros consumidores) Vogel trabalhava com o sistema de penalidades. Penalidade em uma linha ou coluna a diferena positiva entre os dois custos de menor valor na linha ou coluna. A idia desse mtodo fazer o transporte com prioridade na linha oi coluna que apresenta a maior penalidade. Como o transporte feito na clula de menor custo, tenta-se evitar com isso um aumento de custo. Descrio do mtodo: 1) Calcular a penalidade para linha ou coluna. Escolher a linha ou coluna com a maior penalidade para iniciar o transporte. Caso haja empate, escolha arbitrariamente uma delas.2) Transportar o mximo possvel na linha ou coluna escolhida, elegendo a clula demenor custo unitrio de transporte. Esse procedimento zera a oferta ou demanda da clula correspondente. A linha ou coluna que tenha sua disponibilidade zerada deve ser eliminada. 3) Retornar ao item 1 at que todos os transportes tenham sido efetuados.Praticando iremos entender melhor o modelo de Vogel. Vejamos os exerccios da lista abaixo:Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas28LISTA DE EXERCCIO # 51. A Miss Daisy Ltda um laboratrio de manipulao que presta servios de entregapara idosos. A empresa possui duas filiais e fornece o servio a seis bairros diferentes. As capacidades das filiais, as demandas dos bairros e os custos unitrios de entrega esto evidenciados na tabela a seguir. Com estas informaes, responda: a) Quais clientes atender, a partir de cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. Ipanema Filial Centro Filial Barra Demanda 7,00 4,00 1400 Copacaban a 9,00 5,00 1560 Centro 1,00 12,00 300 Barra 12,00 1,00 150 Leblon 7,00 3,00 570 Tijuca 4,00 8,00 520 Capacidad e 2500 2000 45002. Trs armazns abastecem cinco pontos de venda. O quadro abaixo mostra os custos de distribuio, a capacidade dos armazns e as necessidades nos pontos de venda. A companhia responsvel pelos. Calcule uma soluo pelo Mtodo de Vogel. P1 Armazm 1 Armazm 2 Armazm 3 Necessida de 16 12 8 23 14 4 6 69 P2 12 14 4 76 P3 12 8 14 70 P4 16 8 10 82 P5 Disponibilida de 170 60 903. Uma empresa deve programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais so enviados a partir de trs fbricas para quatro armazns localizados em pontos estratgicos do mercado. Levando em conta o tipo de transporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distncias entre as fbricas e os armazns, os custos so diferenciados ara cada combinao fbrica/armazm, como mostrado na matriz abaixo: A 1 2 3 DEMANDA 8 24 16 160 B 14 6 20 180 C 14 16 32 240 D 2 16 10 320 CAPACIDAD E 200 400 300 900Determinar a quantia que deve ser enviada de cada fbrica para cada armazm de modo a minimizar o custo do transporte.Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas29Pesquisa Operacional Curso de Administrao Industrial Profa. Elizabeth Freitas30