ead 350 pesquisa operacional aula 02 - edisciplinas.usp.br · no campo da pesquisa operacional. •...
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EAD 350 Pesquisa Operacional
Aula 02
Profa. Adriana Backx Noronha Viana
(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza)
FEA/USP
PROGRAMAÇÃO LINEAR
• A Programação Linear é um dos mais utilizados instrumentos no campo da Pesquisa Operacional.
• São passíveis de solução com o emprego de PL os problemas que envolvem a alocação ótima de recursos finitos entre atividades que competem entre si, com base em um critério pré-determinado
• Na programação linear, todas as funções matemáticas envolvidas são necessariamente lineares.
• Diversos tipos de problemas em Administração, Economia, Contabilidade, Finanças e Logística podem ser modelados para resolução com aplicação de Programação Linear, tais como: mix de produção, decisões de investimento, fluxos de caixa, orçamentos de capital, organização de transportes e políticas de estoque.
Estrutura Típica de um Modelo de Programação Linear (PL)
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn
bi
xj 0
onde xj são variáveis de decisão
com j=1, ... , n e i=1, ... , m
Max
ou
Min
Função
Objetivo
Restrições
=
ai1x1+ ai2x2+...+ainxn
Aula 1 – Exemplo 1 Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010)
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção
(horas)
Tempo de
Produção
Disponível
por Semana
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0
41 X
122 2 X
X2
Lembrando...
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
41 X
122 2 X
X2
Lembrando...
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
15Z
21 5315 XX
41 X
122 2 X
X2
Lembrando...
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
Resolvendo: 0X1 + 2X2 = 12 3X1 + 2X2 =18
2X2 = 12 X2 = 6 3X1 + 2(6) =18
X1 = (18-12)/3 = 2
Z = 3X1 + 5X2 = 3.2 +5.6 =36
36ZC (2;6)
15Z
21 5315 XX
Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de
ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens / Atividades
Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Proço unitário de venda
R$30,00 R$50,00
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Modelo de PL – Aula 1 – Enunciado 1
Variáveis Decisão
x1 = Qtde Liga A (em Kg) x2 = Qtde Liga B (em Kg)
Função Objetivo
Max Z = 30x1 + 50x2
Restrições
2x1 + x2 < 16 (Cobre)
x1 + 2x2 < 11 (Zinco)
x1 + 3x2 < 15 (Chumbo)
x1, x2 > 0
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
x2
x1
B
C
D
E
F
G
16
8 11
5,5
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
16
5,5
Solução Gráfica – Aula 1 En1
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
16
5,5
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
16
5,5
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
O ponto D é o ponto de máximo.
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser
verificadas graficamente
16
5,5
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
O ponto D é o ponto de máximo.
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser
verificadas graficamente
Ou, podem ser obtidas a partir da
solução do par de equações das retas
limites das restrições de Cobre e Zinco:
2x1 + x2 = 16
x1 + 2x2 = 11
16
5,5
Solução Gráfica – Aula 1 En1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
x2
x1
F
G
240 0 8 E
310 2 7 D
290 4 3 C
250 5 0 B
0 0 0 A
R x2 x1 Pto
16
5,5
• A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho e soja, com as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo
• Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Proteína Fibra
Milho 9% 2% 0,3
Soja 60% 6% 0,9
Composição por quilo de
componente
Custo ($/quilo)
(TAHA, 2008)
Exemplo - Minimização
Hipóteses do Modelo PL
• Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade (xi) ao valor da função objetivo Z e para o consumo de recursos bi é proporcional ao seu valor (parâmetros ci e ai)
• Aditividade: toda função em um modelo PL é a soma das contribuições individuais das diversas atividades
• Divisibilidade: as variáveis de decisão (xi) em um modelo de PL podem assumir quaisquer valores, inclusive valores não inteiros
• Certeza: o valor atribuído a cada parâmetro (ci, ai, bi) são assumidos constantes e certos (é um modelo determinístico)
Análise de “Pós-Ótimo”
• Análise Qualitativa / Verificação Gerencial dos Resultados
• Preços-Sombra
• Análise de Sensibilidade da PL
• Programação Linear Paramétrica (realizada por meio de softwares de simulação)
Preços-Sombra
• Os valores bi (quantidades máximas de recursos) podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, mas com possível flexibilidade
• Parte dos valores bi então poderia ser alterada (aumentando o consumo de recursos) se houver justificativa econômica para isso
• O preço-sombra para o recurso bi mede o valor marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o valor de bi
ii
ib
Z
b
Zy
41 X
122 2 X
X2
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
36ZC (2;6)
i
ib
Zy
122 2 X
X2
X1 A
B C
D
E
(b2=12) 36Z
C
?´ZC´ (?;?) B´
132 2 X (b2'=13)
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: i
ib
Zy
Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 13 3X1 + 2X2 =18
2X2 = 13 X2 = 13/2 3X1 + 2(6,5) =18
X1 = (18-13)/3 = 5/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(5/3)+5.(13/2)=37,5
2
2b
Zy
C´ (5/3;6,5) B´
5,11213
365,37
2
2
b
Zy
1923 21 XX (b´3=19)
X2
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(b3=18)
36ZC
i
ib
Zy
D´
C´ (?;?)
?Z
Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 12 3X1 + 2X2 =19
2X2 = 12 X2 = 6 3X1 + 2(6) =19
X1 = (19-12)/3 = 7/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(7/3)+5.(6)=37
11819
3637
3
3
b
Zy
Análise de Sensibilidade da P.O.
• Trata-se de verificar se variações nos valores dos parâmetros ci podem modificar a solução ótima
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, o coeficiente angular é:
21 53 XXZ
1
2
1
2
2 Xc
c
c
ZX
2
1
c
c
2211 XcXcZ
No nosso exemplo
125
3
5X
ZX
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
36Z
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 3)
C (2;6)
122
3
2
18XX
a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3
Ou seja, o coef. Angular é -3/2
No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos
2
3
2
1 c
c36Z
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
Segue-se que:
2
151 c 22 ce
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
1823 21 XX (Fábrica 3)
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
12 02
12XX
Ou seja, o coef. Angular é 0
No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos
02
1 c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Segue-se que:
01 c 02 ce
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
1823 21 XX (Fábrica 3)
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Sintetizando os limites da análise de sensibilidade:
A solução permanece inalterada enquanto
2
150 1 c 22 ce
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de
ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens / Atividades
Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Proço unitário de venda
R$30,00 R$50,00
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Análise pós-Otimo – Aula 1 En 1
Função Objetivo
Max R = 30x1 + 50x2
Restrições
2x1 + x2 < 16 Cobre
x1 + 2x2 < 11 Zinco
x1 + 3x2 < 15 Chumbo
x1, x2 > 0
Preço Sombra – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
Zinco x1 + 2x2 < 11
Chumbo x1 + 3x2 < 15
R = 30x1 + 50x2
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
33,2331033,333'
33,333)66,2(50)68,6(30'
66,2;68,6
162
122
21
21
21
RRR
R
xx
xx
xx
A restrição pode ser
deslocada até os pontos
E(8; 0) e F(6,6; 2,8).
8 < zinco < 12,2
Restrição Zinco
Preço Sombra – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
Zinco x1 + 2x2 < 11
Chumbo x1 + 3x2 < 15
R = 30x1 + 50x2
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
33,331033,313'
33,313)66,1(50)66,7(30'
66,1;66,7
172
112
21
21
21
RRR
R
xx
xx
xx
A restrição pode ser
deslocada até os pontos
C(3; 4) e G(11; 0).
10 < cobre < 22
Restrição Cobre
Análise de Sensibilidade – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
Zinco x1 + 2x2 < 11
Chumbo x1 + 3x2 < 15
R = 30x1 + 50x2
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
602
130
252
1
50
2
2
11
cc
cc
Coeficientes da função objetivo
quando for paralela à reta x1
+ 2x2 = 11
Girar até ser
paralela à reta
x1 + 2x2 = 11
Análise de Sensibilidade – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
Zinco x1 + 2x2 < 11
Chumbo x1 + 3x2 < 15
R = 30x1 + 50x2
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
151
230
1001
2
50
2
2
11
cc
cc
Coeficientes da função objetivo
quando for paralela à reta 2x1
+ x2 = 16
Girar até ser
paralela à reta
2x1 + x2 = 16
• Ex A. A OilCo está construindo uma refinaria para fabricar quatro produtos (diesel, gasolina, lubrificante e querosene). As demandas mínimas para esses produtos são respectivamente 14.000, 30.000, 10.000 e 8.000 barris/dia.
• O óleo cru é fornecido pelo Irã e Dubai, sendo pelas regras da OPEP, pelo menos 40% deve ser comprado do Irã. Os dois óleos possuem características diferentes:
– Um barril de óleo cru do Irã rende 0,2 barril de diesel, 0,25 barril de gasolina, 0,1 barril de lubrificante e 0,15 barril de querosene
– Um barril de óleo cru de Dubai rende 0,1 barril de diesel, 0,6 barril de gasolina, 0,15 barril de lubrificante e 0,1 barril de querosene
• Qual a capacidade mínima de processamento diário de óleo cru (em barris/dia) da refinaria?
Aula 2 – Enunciado 3
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais de uma tonelada (1t)
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t)
Tinta para
Exteriores
Tinta para
Interiores
M1 6 4 24
M2 1 2 6
Lucro por
tonelada 5 4
consumo de m.p. por
tonelada de tinta Disponibili-
dade diária de
m.p. (t)
Realize a análise de pós-otimo para o exercício, calculando os preços-sombra e fazendo a análise de sensibilidade dos parâmetros da função Z
Aula 1 – Enunciado 2