pesquisa operacional notas de aula ucb

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PesquisaOperacionalProgram açãoLinearSimplexModelagem SoluçãoGráficaDualidadeSen sibilidadeTransportesOtimi zaçãoRedesGrafosPERtCPMFil asDesignaçàoAlocaçãoDeRecu rsosTomadaDeDecisãoDualDua lsimplexsimplexFluxoMáximo MenorCaminhoÁrvoreMínimaTe oriaDosJogosGeorgeDantzigP esquisaOperacionalGrafosSi mplexProgramaçãoLinearMode lagemCPMSoluçãoGráficaDual idadeSensibilidadeTranspor tesOtimizaçãoRedesGrafosPE Pesquisa Operacional Notas de Aula 20/02/2013 Prof. Washington Lemos, MSc.

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Exercícios Resolvidos.

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Page 1: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

PesquisaOperacionalProgramaçãoLinearSimplexModelagemSoluçãoGráficaDualidadeSensibilidadeTransportesOtimizaçãoRedesGrafosPERtCPMFilasDesignaçàoAlocaçãoDeRecursosTomadaDeDecisãoDualDualsimplexsimplexFluxoMáximoMenorCaminhoÁrvoreMínimaTeoriaDosJogosGeorgeDantzigPesquisaOperacionalGrafosSimplexProgramaçãoLinearModelagemCPMSoluçãoGráficaDualidadeSensibilidadeTransportesOtimizaçãoRedesGrafosPERTCPMFilasDesignaçãoAlocaçãoDeRecursosTomadaDeDecisãoDualsimplexFluxoMáximoMenorCaminhoÁrvoreMínimaTeoriaDosJogosGeorgeDantzigSimplexGeorgeDantzigFluxoiWMLertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

Pesquisa Operacional

Notas de Aula

20/02/2013

Prof. Washington Lemos, MSc.

Page 2: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Razão de ser

Estas notas de aula tem como função unicamente assessorar o processo

de aprendizado. Ou seja, pretende-se com estas anotações disponibilizar

ao aluno um guia de estudo, uma espécie de “sub-caderno”.

Longe de condensar todas as informações da disciplina ou todos os

assuntos debatidos em sala de aula, estas notas são um material

complementar e auxiliar às aulas além de sempre dinâmico

(frequentemente alterado, portanto cuide de ter sempre a última versão).

Elas serão disponibilizadas antes de cada aula no WEBCAF.

Ler estas notas antes da aula fará com que sua compreensão da disciplina

aumente, contudo mesmo sem lê-la anteriormente é fundamental que

sejam levadas para sala de aula juntamente com seu caderno de modo

que possam esclarecer suas dúvidas e que você as utilize para colocar

observações, comentários ou marcar pontos importantes.

Espero que seja útil. Além disso, qualquer crítica, comentário ou indicação

de erro serão bem-vindos.

Prof. Washington Lemos, MSc.

[email protected]

2

Page 3: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Bibliografia

Básica

Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução

à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010.

Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na

Tomada de Decisões , 3ª Edição, Editora Elsevier,

2007.

Complementar

Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação

Linear como instrumento de Pesquisa Operacional,

Ed. Atlas, 2008.

Slack, Nigel; Chambers, Stuart;

Johnston, Robert. Administração da Produção, 2ª

Edição, Editora Atlas, 2010

3

Page 4: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Andrade, Eduardo Leopoldino. Introdução à

Pesquisa Operacional - Métodos e Modelos para

Análise de Decisões; 4ª Edição, Editora LTC, 2012.

Colin, Emerson. Pesquisa Operacional – 170

aplicações em Estratégia, Finanças, Logística,

Produção, Marketing e Vendas. Editora LTC,

2011.

Taha, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8º Edição.

Editora Pearson, 2008.

Pizzolato, Nélio D., Gandolpho, André Alves. Técnicas

de Otimização. Editora LTC, 2012.

4

Page 5: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

menta

1 – Introdução

2 – Modelagem

3 – Solução Gráfica

4 – Método Simplex

5 – Dualidade e Dual-Simplex

6 – Problemas de transporte

7 – Problemas de designação

8 – Modelos em rede (grafos) – Fluxo

Máximo, Árvore Mínima, Menor Caminho.

9 – Gestão de Projetos (Pert/CPM)

10 – Teoria das Filas *

11 – Teoria dos Jogos *

*Assuntos extra curriculares, cujo conteúdo é pertinente a um curso mais avançado.

Sua presença é desejável porém não imprescindível. Dependendo do tempo

disponível, do ritmo da turma e do interesse dos alunos poderão ser apresentados de

forma menos ou mais aprofundada, ou até mesmo suprimidos.

5

Page 6: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

1. Introdução

A Pesquisa Operacional 1 tem origem na necessidade de se resolver e

controlar problemas complexos de logística, controle de recursos e

projetos. Ela é intrinsecamente multidisciplinar reunindo conceitos de

estatística, psicologia e economia, sempre matematicamente orientada

para que seja capaz de resolver os problemas de maneira quantitativa.

A Pesquisa Operacional é uma das maiores conquistas científicas do século

XX fruto dos desafios bélicos da Segunda Grande Guerra (1939 – 1945)

que nos tempos posteriores ao conflito difundiu-se pelos grupos de

estudiosos e empresários que buscavam métodos mais eficientes e

eficazes de organizar suas atividades.

O desafio quase sempre é distribuir recursos limitados entre atividades

que disputam por tais recursos. De forma geral busca-se sempre um

planejamento de atividades objetivando tornar o resultado ótimo (o

melhor resultado possível frente às variáveis consideradas).

Percebam que a maior qualidade da Pesquisa Operacional também

determina seus limites. Ao tentar seguir um “método científico”, a 1 Pesquisa Operacional (PO) é também chamada de “Ciência da Administração”ou ainda “Management Sciences” (MS). É importante ficar atento, pois alguns livros utilizam esta notação, especialmente os estrangeiros.

6

Page 7: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Pesquisa Operacional investiga o problema, observa os fatos, formula a

problemática indicando os dados relevantes. Em seguida o problema real

será reduzido a um modelo matemático que representa a essência do

problema real. Neste ponto fica implícita a premissa de que acreditamos

que a solução do problema matemático também será válida para o

problema real. Para sustentar esta premissa buscamos validar o modelo

verificando alguma hipótese.

Fica claro então que a Pesquisa Operacional tem o compromisso de ser

uma ferramenta de gestão, fornecendo soluções práticas a problemas

reais, auxiliando a tomada de decisão. Por isso é fundamental analisar os

resultados advindos do modelo matemático observando a subjetividade

inerente e as questões práticas das atividades.

A figura a seguir2 retrata esta necessidade de interpretar as informações

provenientes do modelo matemático, utilizando os conhecimentos do

gestor que tomará as decisões.

2 Adaptada de Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões , 3ª Edição, Editora Elsevier.

7

Mundo Simbólico

Situação Gerencial (problema

real)

Modelo Matemáti

co

Resultadodo modelo

Tomada de decisão

Mundo Real Mundo Real

Page 8: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Como consequência do que debatemos, as etapas de um estudo de

Pesquisa Operacional serão:

a) Definir o problema de interesse e coletar os dados referentes às

variáveis consideradas relevantes.

b) Formular um modelo matemático para representar o problema,

indicando a as relações quantitativas e qualitativas das variáveis.

c) Desenvolver um procedimento computacional para derivar as

soluções do modelo.

d) Testar as soluções do modelos, verificando as hipóteses do

problema real.

e) Implementar a solução obtida do modelo e analisada pelos

gestores.

A definição do problema real é uma atividade exclusivamente gerencial,

para a qual a Pesquisa Operacional tem pouco a contribuir. Uma vez

definido, precisamos construir um modelo matemático que represente e

interprete o problema real. Trataremos disso agora.

2. Modelagem

8

Page 9: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Um modelo é a representação de um sistema real. As diferenças entre a

solução real e a solução proposta pelo modelo depende da precisão do

modelo em descrever o comportamento original do sistema.

Em Pesquisa Operacional utilizamos modelos matemáticos. Nestes

modelos as grandezas são representadas por variáveis e as relações entre

as mesmas por sistemas de equações ou inequações. Por esta razão

precisamos sempre de informações quantificáveis ao modelar um

problema de Pesquisa Operacional.3

Os modelos matemáticos apresentam três elementos principais:

a) Variáveis de decisão e parâmetros - As variáveis de decisão são as

incógnitas a serem determinadas na solução do modelo. Os

parâmetros são constantes presentes nas restrições e na função

objetivo (F.O.).

b) Restrições – Expressões que representam os limites físicos do

problema, definindo o universo de soluções viáveis (possíveis).

c) Função Objetivo – É a medida de desempenho apropriada do

problema e é expressa através das variáveis de decisão.3 É conveniente falar um pouco das “bases matemáticas”. A Pesquisa Operacional utiliza conceitos básicos de matemática e estatística. Se você tiver qualquer dificuldade em entender alguma passagem matemática aqui tratada, não se acanhe e pergunte, pois é fundamental saber o que está acontecendo. Para auxiliar há como “anexo” a este material uma revisão de álgebra (para resolver equações e inequações e interpretá-las graficamente) e Estatística (que utilizaremos na parte de Gestão de Projetos). Não deixe de consultar estes materiais caso não esteja entendendo os procedimentos matemáticos envolvidos. Insisto, usamos apenas a matemática mínima necessária. É mais que hora de perder este medo dos números.

9

Page 10: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Em linguagem matemática fica assim:

Se a função objetivo juntamente com todas as restrições forem

representadas por funções lineares, então dizemos que temos um modelo

de Programação Linear. Caso ao menos uma das restrições ou a função

objetivo forem equações/inequações não-lineares, dizemos que o modelo

é de Programação não-linear.

Neste curso vamos dar ênfase especial à Programação Linear, visto sua

aplicabilidade aos problemas reais e seus métodos mais simples de

resolução.

A premissa de que o problema pode ser representado por relações

lineares emerge as seguintes propriedades:

10

Page 11: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

a) Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade ao valor da

função objetivo Z é proporcional ao nível da atividade representado

pela variável de decisão.

b) Aditividade: a contribuição total de todas as atividades da função

objetivo e das restrições é a soma direta das contribuições

individuais.

c) Divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir qualquer

valor não inteiro.4

d) Certeza: os coeficientes da função objetivo e das restrições devem

ser bem conhecidos. Como no mundo real isso nem sempre é

viável, é preciso garantir que tenham ao menos um baixo desvio

padrão, pois caso contrário o modelo é pouco representativo.

Veremos então ver alguns exemplos de como transformar um problema

real em um modelo matemático.

Não há forma padronizada de se elaborar um modelo. É preciso, antes de

tudo, conhecer (ou buscar conhecer) o assunto e ter alguma experiência.

Entretanto alguns pontos podem ser destacados:

4 Modelos que representem a necessidade de valores inteiros serão tratados no tópico de “programação linear inteira” mais adiante.

11

Ou seja, não está prevista economia de escala!

As variáveis não se influenciam.

Page 12: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

a) Deve-se escolher as variáveis de decisão e mantê-las até o final da

modelagem, tomando cuidado para não trocar as variáveis no meio

da modelagem.

b) Monte a função objetivo de modo que represente o que o problema

deseja alcançar e entende como ótimo, ou seja: trata-se de

maximizar ou de minimizar a função objetivo?

c) Verifique todas as grandezas que possam limitar o problema,

classificando-os por padrões (p.e.: mão-de-obra, horas, matéria-

prima etc.).

Vejamos um exemplo.

Exemplo I

5Uma pequena fábrica de calçados produz sapatos e sandálias. As

sandálias são vendidas no mercado por R$22,00 e os sapatos por R$48,00.

Para a fabricação de um par de sandálias gastam-se 0,30 m2 de couro,

5 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 16

12

Page 13: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

levam-se três horas no corte e costura e uma pessoa é utilizada no

acabamento, detalhes finais e embalagem. Na confecção de um sapato

gasta-se 0,50 m2 de couro, quatro horas no corte e costura e duas pessoas

no acabamento, detalhes finais e embalagem. A empresa conta,

diariamente, com 15 m2 de couro, 120 horas de trabalho e 15 pessoas

atuando na produção. Determine o modelo de programação linear (PL)

que maximiza a receita diária desta fábrica de calçados.

Resolução:

Precisamos saber a quantidade a ser produzida de sapatos e sandálias que

tornem a receita diária a maior possível, sendo assim, nossas variáveis de

decisão serão as quantidades vendidas de sapatos e sandálias.

Com estas variáveis de decisão precisamos de uma função que descreva o

objetivo a ser alcançado: aumentar ao máximo possível a receita diária.

Ora, como receita é o resultado do preço de um produto pela quantidade

de vendas do mesmo, podemos entender que a receita total da empresa

estudada será dada por:

13

Page 14: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

É o resultado desta expressão que desejamos otimizar (neste exercício

representado pelo valor máximo, ou seja, maximizado). Logo, a função

objetivo (representada por Z) pode ser escrita como sendo:

Uma vez que já identificamos as variáveis de decisão e elaboramos uma

função objetivo que sintetize a problemática, precisamos saber quais são

as condições que devem ser obedecidas para alcançar nosso objetivo.

Vamos definir nossas restrições.

Não temos recursos infinitos, não dispomos de couro, mão-de-obra ou

horas ilimitadas para alcançar nosso objetivo. Então vamos ver nossos

limites.

Para o couro temos um limite diário de 15 m2. Como para produzir

sandálias gastam-se 0,30 m2 e na confecção de um sapato gasta-se 0,50

m2 concluímos que a quantidade total de couro consumida diariamente

será e este valor não pode em hipótese alguma ser superior

a 15 m2 (limite diário), ele pode ser menor, ou seja, eu posso não consumir

todo o recurso disponível, mas nunca consumir mais do que existe.

Matematicamente podemos escrever esta restrição na forma da seguinte

inequação:

14

Page 15: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Outro ponto que deve ser obedecido é o limite de horas de trabalho

disponíveis (120h). Analogamente ao que fizemos para o couro, a

quantidade total de horas consumidas na produção será dada por

(sandálias necessitam de 3 horas no corte e costura e sapatos precisam de

4 horas para as mesmas atividades). Como temos um limite de 120 horas

para serem distribuídas, então a restrição pode ser expressa por:

O problema ainda limita a quantidade de pessoas envolvidas na produção

em 15. Como precisamos de 1 pessoa na produção de sandálias e 2 na

produção de sapatos, podemos escrever que:

Se não há mais restrições, podemos seguir. Aqui cabe uma dica. Muitas

vezes fazer uma tabela com todas as informações do problema ajuda a

compreendê-lo melhor e não esquecer nenhum dado.

Bem, descrevemos então todas as restrições relativas ao consumo de

recursos, contudo uma outra restrição (implícita no problema) ainda não

foi descrita e é fundamental do ponto de vista matemático. Pensem nos

valores que as variáveis de decisão podem assumir. Podemos produzir

15

Page 16: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

qualquer quantidade de sandálias e sapatos, podemos até mesmo não

produzir nada, mas não podemos de qualquer ponto de vista produzir

quantidade negativa de sapatos ou sandálias! As variáveis de decisão não

podem assumir valores negativos!

Matematicamente dizemos que:

Feito isso esgotamos as possíveis restrições e podemos apresentar o

modelo completo:

Vamos exercitar

Exercício 1

6Uma empresa produz dois produtos (I e II) em uma de suas fábricas. Na

fabricação deles ela utiliza três insumos críticos que restringem u número

de unidades que podem ser produzidos. São estes insumos: as

quantidades de matéria-prima (tipos A e B disponíveis) e a mão-de-obra. O 6 Santos, Maurício Pereira. Apostila de Programação Linear do Instituto de Matemática e Estatística da UERJ. Disponível em http://www.mpsantos.com.br . Tem muito material de qualidade. Pág. 01

16

São denominados coeficientes da função objetivo.

São denominados coeficientes tecnológicos (ou de restrição).

São denominadas constantes do lado direito.

Page 17: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

departamento de suprimentos já informou que para o próximo mês a

fábrica terá disponível, para a fabricação dos dois produtos, um valor total

de 4900kg de matéria-prima do tipo A e 4500kg de matéria-prima do tipo

B.

Cada unidade do produto I necessita para ser produzida de 70 kg da

matéria-prima A e 90kg da matéria-prima B. Por sua vez o produto II

necessita de 70 kg da matéria-prima A e 50kg da matéria-prima B.

Como a produção destes dois produtos utiliza processos deferentes, a

mão-de-obra é especializada e diferente para cada um deles, o que

impede a utilização de operadores que produzem um produto na

confecção do outro. Por isso o produto I terá disponível no próximo mês

80 Homens-hora enquanto o produto II terá 180 Homens-hora. Para cada

unidade do produto I consome-se 2 homens-hora ao passo que para o

produto II este valor é de 3 homens-hora. O lucro unitário é de R$ 20 para

o produto I e de R$ 60 para o produto II.

Dada a grande procura estima-se que todas as unidades produzidas serão

vendidas. Desta maneira a gestão da empresa deseja saber qual é o

melhor mix de produção, ou seja, aquele que proporcionará o maior lucro

possível nestas condições.

17

Page 18: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Resposta

Para a resolução deste problema podemos conveniente tabelar todos os

dados encontrados no enunciado. Veja a tabela a seguir.

Com base nesta tabela podemos escrever o modelo, partindo da função

objetivo e chegando às restrições.

Exercício 2

7Em uma fazenda deseja-se fazer 10.000kg de ração com o menor custo

possível. De acordo com as recomendações do veterinário a ração deve

7 Santos, Maurício Pereira. Apostila de Programação Linear do Instituto de Matemática e Estatística da UERJ . Pág. 18

18

Page 19: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

conter 15% de proteína, um mínimo de 8% de fibra, nunca menos do que

1.100 calorias por kg e no máximo 2.250 calorias por kg.

Outra exigência é que a ração final tenha no mínimo 20% de milho e no

máximo 12% de soja.

Para elaboração desta ração deve-se utilizar os ingredientes abaixo, cujas

características estão tabeladas.

Determine o modelo de programação linear para este problema.

Resposta:

19

Page 20: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 3

8O órgão regulamentador do Meio Ambiente determinou restrições de

pesca para as empresas que atuam em um determinado local, com o

objetivo de evitar a pesca predatória e indiscriminada. Desta maneira,

uma empresa recebeu a autorização para capturar, mensalmente, no

máximo 3000 ton de badejo, 1200 ton de vermelho e 900 ton de cação.

Estes são os limites por espécie, porém existe o limite total de 4600 ton,

que é o valor máximo a ser pescado mensalmente independente do tipo

de pesca. Sabendo-se que por uma questão na câmara fria, a quantidade a

ser pescada de badejo não pode ser maior do que o dobro da quantidade

de vermelho, determine o modelo de programação linear adequando para

se obter a quantidade a ser pescada de cada espécie de peixe para que a

receita desta empresa seja o máximo. Faça isso sabendo que o preço do

pescado é: badejo – R$ 8,5/kg; vermelho – R$9,00/kg; cação – R$9,6/kg.

Resposta:

8 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. Pág. 35

20

Page 21: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 4

9Uma empresa produz dois tipos de reboque: luxo (utilizado nos carros de

passeio) e comercial (usado em camionetes). Na produção dos reboques

são utilizados os departamentos de montagem e pintura, os quais tem a

seguinte distribuição:

A empresa tem 15 funcionários no departamento de montagem e 8 no

departamento de pintura, sendo que ambos departamentos trabalham 8

horas por dia. Sabendo-se que um reboque de luxo proporciona um lucro

unitário de R$360 e o comercial um lucro de R$ 285, qual é o modelo de

9 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. Pág. 37

21

Page 22: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Programação Linear (PL) para se determinar a configuração de maior lucro

possível?

Resposta:

Exercício 5

10Um paciente foi diagnosticado com tumor maligno na bexiga (lesão

integral de bexiga) em estado avançado. Devido a este diagnóstico o

paciente precisa ser submetido a um tratamento que incluirá radioterapia.

A radioterapia consiste em fluxos de raios de radiação capazes de matar as

células tumorais, contudo é inevitável que durante o procedimento células

saudáveis vizinhas do tumor também sejam atingidas, o que pode causar

complicações ainda mais sérias que o câncer em si.

Por tudo isso as sessões de radioterapia são processos delicados nos quais

o objetivo é atingir o tumor com níveis de radiação suficientemente altos

para que sejam eliminados, porém utilizando o mínimo possível de

10 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 43 (adaptado)

22

Page 23: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

radiação para que as células saudáveis sofram a menor agressão possível.

Outro ponto é que existem tecidos críticos, que independente do tumor

não podem receber radiação além de um determinado valor, pois isso

causaria falência dos mesmos.

O tumor precisa receber radiação do modo que maximize sua exposição,

por isso é indicado usar dois ângulos para o fluxo (de um lado e do outro

do tumor como na figura).

A equipe médica estimou os dados referentes à

absorção de radiação e precisa definir a quantidade

de radiação a ser emitida de cada fluxo de modo que

o núcleo do tumor receba ao menos seis kilorad

(unidade de radiação), a região do tumor precisa

receber 6 kilorad e os tecidos críticos não podem recebem em hipótese

alguma mais do que 2,7 kilorad.

Desta forma, determine o modelo de programação Linear (PL) para que as

chances de sobrevivência do paciente sejam as maiores possíveis.

23

Page 24: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Resposta:

Exercício 6

11Uma empresa possui 3 fazendas nas quais produz beterraba, algodão e

milho. A produção de cada uma delas é limitada tanto pela quantidade de

área irrigável bem como pela quantidade de água disponível para

irrigação, do seguinte modo:

Por questão de exaustão do solo, existe um limite do terreno que pode ser

utilizado para cada uma das culturas.

11 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 45 – foi corrigida tabela 3.9 do livro que estava errada e trocado Sorgo por Milho.

24

Page 25: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Como há limitada disponibilidade de água este ano, ficou claro que não

será possível utilizar toda a área irrigável disponível nas 3 fazendas. Para

garantir o equilíbrio de mão-de-obra em cada uma das fazendas, decidiu-

se que todas elas terão a mesma proporção de área irrigável plantada,

mesmo sem a obrigação de todas as fazendas possuírem todas as culturas.

Desta maneira, defina o modelo de PL (programação linear) que descreva

o problema de se maximizar o retorno líquido total para a empresa dona

das 3 fazendas.

Resposta:

Sendo a quantidade produzida de cada cultura em cada fazenda:

25

Page 26: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 7

12Uma determinada siderúrgica sempre foi o fator de emprego e geração

de renda de certa cidade. Contudo, a cidade cresceu e o pensamento “o

que é bom para a siderúrgica é bom para a cidade” começa a mudar,

devido aos danos ambientais e de saúde causados pela siderúrgica.

Para encarar estes novos desafios uma mudança de cultura e mentalidade

foi fundamental na direção da empresa que, reformulada pelos acionistas,

12 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 48.

26

Terra utilizável por fazenda

Alocação de água por fazenda

Área máxima para cada plantação

Proporção igual para o cultivo das terras

Page 27: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

agora procura minimizar os impactos de sua atividade na cidade que

cresce em seus arredores.

Para isso uma série de estudos foi feita juntamente com os órgãos

governamentais de meio-ambiente e a sociedade organizada, o que

resultou em novos índices rigorosos de emissão de poluentes resumido na

seguinte tabela:

Para solucionar este problema a direção reuniu um grupo de trabalho cujo

objetivo é encontrar uma solução técnica para atingir estes valores do

modo mais econômico possível.

As siderúrgicas possuem duas fontes principais de poluição: os altos-

fornos (utilizados para fabricar lingotes de gusa) e fornos elétricos

(transformam lingotes em aço). Os estudos do grupo técnico indicaram

algumas possibilidades para reduzir a emissão. São elas:

1) Aumentar a altura das chaminés13

2) Usar dispositivos filtrantes nas chaminés

13 Estão solução é sempre ilusória. Ou seja, reduz a concentração de poluição nas imediações da fábrica porém continua emitindo a mesma quantidade de poluentes, que podem entre outras coisas piorarem a situação, pois agora ficarão mais tempo em suspensão podendo causar chuva ácida. Mas aqui fica valendo.

27

Page 28: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

3) Incluir materiais limpadores entre os combustíveis usados nos

fornos

Cada um destes métodos de solução possui uma limitação tecnológica na

intensidade que podem ser usados. A quantidade de emissão máxima que

cada um destes métodos pode proporcionar varia em função do tipo de

forno e a poluição analisada. Veja esta tabela:

Analisando a tabela a equipe concluiu que nenhum método

individualmente seria capaz de reduzir a emissão aos níveis exigidos, em

contrapartida , utilizar os três métodos simultaneamente com todo o seu

potencial certamente representaria um custo desnecessário, podendo ser

proibitivo, podendo tirar toda a competitividade dos produtos.

Por isso ficou claro que será preciso encontrar a melhor distribuição de

uso de cada um destes métodos de redução de emissão, para cada um dos

tipos de fornos, utilizando-os não necessariamente me sua “carga

máxima” mas sim em frações de seu uso máximo.

28

Page 29: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Ao descrever os custos, chegou-se à tabela na qual os valores de

investimento, manutenção e operação de cada um dos métodos foi

amortizada pelo tempo de uso, equalizada na tabela com valor anual.

A premissa existente é que estes custos são lineares em relação ao uso, ou

seja, se usamos 100% da capacidade de um determinado método

(aumentar o máximo possível a chaminé do alto-forno, por exemplo)

obrigatoriamente pagaremos 100% de seus custos (no caso da chaminé do

alto-forno, um valor de 8 milhões). Contudo, se reduzirmos o uso à

metade, o custo igualmente será reduzido à metade.14

Uma vez apresentado o problema, como você, que coordena a equipe que

busca a solução, descreveria o modelo em Programação Linear para se

encontrar o quanto de cada solução será implementado buscando reduzir

as emissões ao menor custo possível?

Resposta

14 Nem sempre esta premissa é válida. Normalmente isso acontece quando os custos de investimentos são muito baixos quando comparados ao de manutenção e operação, e isso pode ocorrer quando o tempo de uso do equipamento é muito grande. Mas no exercício consideremos esta simplificação.

29

Page 30: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

As variáveis de decisão escolhidas estão abaixo e representam a fração a

ser utilizada de cada uma das soluções.

Exercício 8

15Uma empresa de aviação comercial está em processo de reformulação

de seu quadro e deseja reduzir custos sem que isso se reflita na satisfação

dos clientes.

O ponto central é programar as escalas dos agentes responsáveis para

atender os clientes no aeroporto de modo que tenha a menor quantidade

15 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 54.

30

Page 31: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

possível de agentes e alocados nos turnos de menor custo. A tabela a

seguir resume o estudo:

A coluna “Nº mínimo de agentes” indica o mínimo necessário para se

garantir o nível de atendimento ao cliente, em cada horário. Os sinais √

indicam o acordo coletivo feito com o sindicato da categoria que indica os

horários autorizados de trabalho em cada turno. Atente que os salários

diário (incluindo benefícios) indicado na última linha difere em cada turno,

isso acontece porque alguns turnos são menos desejados que outros,

além de encargos relativos ao horário de trabalho.

Com base nestas informações, determine o modelo de programa linear

que indique quantos agentes devem ser alocados em quais turnos com o

objetivo de minimizar os custos totais, porém de modo que ao menos o

nível mínimo de atendimento ao cliente seja preservado.

31

Page 32: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Resposta:

Sendo a variável de decisão a quantidade de agentes alocados em cada

turno:

Exercício 9

16Uma empresa de Investimento e Capital tem um orçamento de R$ 200

milhões para este ano, R$ 250 milhões para o próximo ano e R$ 150

milhões para o ano seguinte. Desta forma esta empresa precisa decidir

onde investirá este montante. Para isso ela tem algumas opções

referentes à participação em algumas empresas listadas na tabela a 16 Colin, Emerson C.; Pesquisa Operacional - 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing e vendas.; LTC, 2011. Pág. 14

32

Page 33: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

seguir. Ela pode comprar qualquer fração de qualquer empresa, porém é

fundamental manter a percentual de participação nos próximos anos, ou

seja, se ela comprou um percentual desta empresa neste ano, no próximo

ano isso também deverá ser feito. As possibilidades de investimento que

cada empresa disponibilizou bem como o Valor Presente Líquido de cada

investimento é o seguinte:

Com estas informações elabore o modelo de PL (programação lineal) que

descreva qual é o aporte que a empresa deve fazer para maximizar seu

VPL.

Resposta:

33

Page 34: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 10

17Uma seção de manutenção opera 24 horas por dia sem interrupção. A

escala de plantão segue a demanda esperada de serviços, que varia de

acordo com o horário do dia. Para permitir um melhor ajuste entre

demanda de serviços e o número de funcionários de plantão foi

estabelecido que o turno de trabalho seria de 4 horas e que cada

funcionário atuaria em 2 turnos totalizando 8 horas de jornada

consecutivas. O histórico mostra que um número mínimo de funcionários

é necessário para atender a demanda, conforme tabela a seguir:

Desta forma, monte um modelo de PL que permita obter o número de

empregados que devem começar cada turno de modo que a equipe total

do setor seja a menor possível.

Resposta:

17 Andrade, Eduardo Leopoldino. Introdução à Pesquisa Operacional – Métodos de modelos para análise de decisões. 4ª Edição. LTC. 2012. Pág. 59

34

Page 35: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

3. Solução gráfica

Até aqui estudamos e exercitamos a formulação de modelos, ou seja,

somos capazes de transformar um problema real em uma série de

formulações matemáticas. O passo seguinte é a resolução destes modelos

matemáticos de modo encontrar os valores das variáveis de decisão que

35

Page 36: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

X1

X2

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

proporcionem o valor ótimo da função objetivo. O primeiro modo de

solução que abordaremos é o Método Gráfico.

A solução gráfica tem um significado muito mais didático do que

funcional, visto que normalmente os problemas do cotidiano possuem

dezenas ou centenas de variáveis de decisão o que torna o método gráfico

extremamente complexo e pouco eficiente.

Entretanto se abordamos um problema com no máximo duas variáveis de

decisão, a solução gráfica é um caminho simples e fácil para encontrar o

ponto de otimização do modelo.

Vamos então ver como obter a solução graficamente. Este método

consiste em traçar um gráfico bidimensional em um plano cartesiano que

tenha X1 e X2 como abscissa e ordenada respectivamente. Veja a figura:

36

Page 37: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Neste plano cartesiano representaremos a região de soluções viáveis, que

são todas aquelas soluções (conjuntos de valores de X1 e X2) que atendem

as restrições, mesmo que não sejam os valores para os quais a função

objetivo (Z) assuma os valores ótimos. Para encontrar esta região de

soluções viáveis precisamos plotar neste plano cartesiano as retas que

representam cada uma das restrições.18

Vamos usar o Exemplo I da fábrica de calçados (pág.12). Neste exemplo o

modelo que descrevemos foi:

Verificaremos inicialmente se existem as restrições de não negatividade.

Neste caso elas existem e são: . Sendo assim verificamos que

a região de soluções viáveis. Como obrigatoriamente (devido às restrições

18 Neste momento utilizaremos conceitos básicos de álgebra, nível ginasial. Como material de apoio, o anexo 1 revisa alguns destes conceitos, não hesite em consultá-lo.

37

Page 38: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

X2

X1

de não negatividade) X1 e X2 só podem assumir valores positivos,

concluímos que a região de soluções viáveis estará necessariamente no 1º

quadrante. Vamos então destacar a região de soluções viáveis:

Sabemos que a solução ótima estará necessariamente na região de

soluções viáveis, portanto no nosso exemplo no 1º quadrante. Vamos

então prosseguir colocando no plano cartesiano as retas referentes às

restrições. Vejamos como fica a restrição 1) .

38

Como até agora consideramos apenas as restrições de não

negatividade ( ), qualquer valor que esteja no 1º quadrante nos atende, pois nele X1 e X2 são positivos.

Page 39: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

X2

Para encontrarmos a região do plano na qual os pontos nela atendam a

esta restrição, precisamos antes de tudo traçar a reta da equação limite,

ou seja: qual é a reta da equação ?

Para encontrarmos esta reta precisamos obrigatoriamente de dois pontos

(X1;X2) desta equação. Para encontrar estes dois pontos vamos atribuir,

alternadamente, valores a X1 e X2.

Se X1 = 0 então Se X2 = 0 então:

Sendo assim podemos traçar o reta equivalente à equação

pois sabemos que ela passa pelos dois pontos (0;30) e

(50;0).

39

Reta da equação referente à restrição

1)

Reta da equação referente à restrição

1) 30Ponto X1 = 0 e X2=30, ou seja, (0;30).

Ponto X1 = 50 e X2=0, ou seja, (50;0).

Page 40: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

1 20,30 0,50 15x x ①

30

X2

Observe que esta reta é formada pelo conjunto de pontos que fazem com

que a igualdade seja atendida, ou seja, para qualquer valor de X1 e X2 ao

longo da reta . Mas voltemos ao nosso

problema, nele temos uma inequação ( ), ou seja, no

interessa qualquer conjunto de valores para X1 e X2 que façam com que

. Logo, não apenas qualquer

ponto que integre a reta atende esta restrição, mas também qualquer

valor “abaixo” dela!

Sendo assim, a região de soluções viáveis agora será constituída por

qualquer ponto que atenda a esta restrição ( ) bem como

à restrição de não negatividade ( ).

40

Page 41: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

A região de soluções viáveis agora assume este formato, pois somente um ponto aqui atende às restrições de não negatividade bem como à restrição 1) e a restrição 2) simultaneamente.

30

① X2

Vejamos agora como fica a restrição 2) . Vamos encontrar

dois pontos para traçar a reta da equação .

Traçando a reta que passe por estes dois pontos e

destacando a nova região de soluções viáveis, que agora precisa atender,

além das restrições de não negatividade ( ) e da restrição 1

( ), também à restrição 2 ( ).

4130

Page 42: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

7,5

15

40 50

30

X1

X2

Fazendo o mesmo procedimento para a restrição 3) teremos a

equação que pode ser traçada ao encontrarmos os dois pontos:

42

Observe que agora a região de soluções viáveis resume-se a este espaço, pois é o único no qual todos os pontos atendem a TODAS as restrições.

Page 43: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Uma vez que traçamos no plano cartesiano todas as restrições, a região de

soluções viáveis final será aquela que atenda a todas as restrições

simultaneamente. Nesta região qualquer ponto é uma solução para o

nosso problema, mas não necessariamente proporcionará a solução

ótima. Desta maneira nosso objetivo agora é descobrir, nesta região de

soluções viáveis, qual é aquele(s) ponto(s) para o(s) qual(is) a função

objetivo (Z) assume o melhor valor possível.

Para isso precisamos traçar no plano cartesiano a família de retas

representada pela função objetivo: .

Para isso vamos escolher um ponto qualquer (que esteja na região de

soluções viáveis). Por exemplo, ponto (0;5), ou seja, .

Para este ponto teremos um valor de Z:

. Observe que chamamos de Z e não de Zmax, pois

não sabemos se ele é o máximo, isto é, o valor ótimo. Para definir a reta,

precisamos de outro ponto que pertença a ela. Desta forma, já que

sabemos que Z=240, podemos fazer: esta reta cruza a

abscissa quando , neste ponto . Desta forma

43

Page 44: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

10,9

5

7,5

15

40 50

30

X1

X2

Z=240

sabemos que quando Z=240 a reta passa pelos pontos: (0 ; 5) e (10,9 ; 0).

Agora podemos colocar esta reta no plano cartesiano.

Observe a reta Z=240. Atente que possivelmente haverá outra paralela a

ela cujo valor de Z seja maior, ou seja, outra reta da mesma família que

proporcione um valor “melhor” para Z (note que estamos desejando

maximizar Z, por isso dizemos que “melhor”, se o objetivo fosse

minimizar, um valor maior de Z seria “pior”). Vejamos então qual seria o

valor de Z de uma reta (pertencente a esta família) que passasse pelo

ponto (15 ; 0).

44

Page 45: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

10,9

5

7,5

15

40 50

30

X1

X2

Z=240

Z=330

Atente que o valor de Z aumentou! Ou seja, “melhorou” . Para traçar a

reta equivalente a este novo valor de Z podemos proceder como fizemos.

Já que temos um ponto da reta, que neste caso é o ponto (15 ; 0) e o valor

de Z (330), podemos obter o segundo ponto (0 ; 6,875). Há, contudo,

outro caminho. Como temos a reta anterior (Z=240), sabemos um ponto,

no caso (15 ; 0), da NOVA reta e sabemos que a nova reta será PARALELA

à anterior, basta traçar a paralela que passe por este ponto (15 ; 0).

Qualquer uma doa maneiras resultará no plano cartesiano a seguir:

45

Page 46: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

10,9

5

7,5

15

40 50

30

X1

X2

Z=240

Z=330Z*

Vamos pensar um pouco sobre o resultado. Nós encontramos um valor

maior de Z sempre que avançamos para cima com uma nova paralela à

equação inicial, ou seja, cada vez que traçamos uma reta da mesma

família “acima” da anterior, o valor de Z aumenta. Podemos então deduzir

que o valor ótimo de Z será encontrado naquele ponto além do qual não

existem outras soluções viáveis, ou seja, um ponto limite da região de

soluções viáveis destacado em azul no triângulo. Vamos então verificar

que esta reta limite, ou seja, aquela que proporciona o valor máximo Z*,

será:

46

Page 47: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

O ponto limite é o (0 ; 7,5), pois além dele, qualquer ponto pelo qual passe

a reta da família Z estará fora da região de soluções viáveis.

Então fica claro que o ponto ótimo, ou seja, aquele que proporcionará o

valor ótimo de Z (Z*) será (0 ; 7,5). Neste ponto o valor de Z assume:

Ou seja, a empresa vai ter o faturamento máximo de R$360/dia e não

deve sapatos (x1), apenas sandálias (x2), sendo 7,5 unidades/dia.19

Este exemplo poderia também ser resolvido utilizando alguns softwares

simples que existem. Para fins didáticos apresentaremos o “IRO tutorial”

(Interactive Operations Research Tutorial) que é um software gratuito

19 Este é um exemplo super simplificado que cujo resultado vale mais pela forma de encontrá-lo do que por seu valor em sim. Atente que nem sempre é possível, do ponto de vista de mercado, deixar de fornecer um produto. Mas de toda forma esta informação é válida e a gestão precisa saber que a produção daquele produto deve ter outras justificativas que não seja a de aumentar o faturamento. Outro aspecto é a produção de sete unidades e meia de sandália. Podemos cair no equívoco de arredondar o valor para 8, pensando que assim estaremos razoavelmente próximos do valor ótimo. Isso nem sempre é verdade! Quando lidamos com itens que não podem ter sua produção fracionada, então precisamos resolver o problema utilizando conceitos de Programação Linear Inteira, que estudaremos ao longo do curso. Por agora apenas precisamos que um conceito fique claro: arredondar não garante que estejamos próximo do valor ótimo!

47

Page 48: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

disponibilizado no site da editora Mc Graw Hill, editora que publica um de

nossos livros textos20.

O aplicativo pode ser baixado diretamente no endereço

http://www.mhhe.com/engcs/industrial/hillier/iortutorial/install/setup.exe ou no

http://goo.gl/NA3rY. Depois de instalá-lo, abra-o e vá em Procedure e em

seguida em Graphical Method and Sensitivity Analysis como indicado na

figura a seguir:

.

Após usar poucos conhecimento de inglês e alguma intuição, você

adicionará a função objetivo e as restrições. Fazendo isso

20 Trata-se do Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010, apresentado na Bibliografia

48

Page 49: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

click em Solve e a resolução gráfica será indicada assim:

Agora que já sabemos encontrar a solução ótima pelo método gráfico,

façamos alguns exercícios.

49

Valor ótimo de Z, ou seja Z*.

Valores de X1 e X2 que proporcionam a solução ótima.

Page 50: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vamos exercitar

Exercício 11

Como o

Exercício 1 (pág.16) possui apenas duas variáveis de decisão em seu

modelo, resolva-o por meio do método gráfico.21

Resposta

O exercício 1 resultou no modelo:

Traçando estas retas no plano cartesiano teremos:

21 Resolva pelo método gráfico e depois utilize o IOR Tutorial para verificar o resultado.

50

Page 51: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Observe que o ponto ótimo está na interseção entre a restrição 1) e 4).

Para se encontrar o ponto ótimo de modo numérico precisamos resolver

este sistema:

Resolvendo teremos: resultando em

.

51

Page 52: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Ou seja, o melhor mix de produção, ou seja, aquele que proporcionará o

maior lucro possível nas condições do problema será fabricar 10 unidades

de produto I e 60 do produto II, resultando no lucro de R$ R$3.800.

Exercício 12

Como o

Exercício 4 (pág.21) possui apenas duas variáveis de decisão em seu

modelo, resolva-o por meio do método gráfico.

Resposta

O exercício 4 resultou no modelo:

Que resulta no plano cartesiano:

52

Page 53: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Percebemos que o ponto ótimo é: que resulta em:

O maior lucro possível será de R$ 17.100 e acontece quando se produz

apenas reboque comercial.

Exercício 13

Como o

53

Page 54: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 5 (pág.22) possui apenas duas variáveis de decisão em seu

modelo, resolva-o por meio do método gráfico.

Resposta

O exercício 5 resultou no modelo:

Que resulta no plano cartesiano:

54

Page 55: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Percebemos que agora a região de soluções viáveis resume-se ao ponto

ótimo que é: que resulta em:

As chances de sobrevivência do paciente são maiores possíveis quando

emitimos 6 kilorad apenas pelo fluxo 1 e 6 pelo fluxo 2.

Exercício 14

55

Page 56: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

22Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.

Resposta:

22 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 34

56

Page 57: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Observe que agora não temos apenas um ponto ótimo, mas sim infinitos

pontos que pertençam ao segmento de reta entre os pontos destacados,

isto é, qualquer ponto entre (2 ; 6) e (4 ; 3) resulta no valor ótimo de

Z*=18.

57

Page 58: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 15

23Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.

Resposta:

O ponto ótimo é o ( 14,67 ; 0) resultando em Z*=29,33.

23 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 89

58

Page 59: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 16

24Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico.

Resposta:

24 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 49

59

Page 60: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Observe que agora não existe região de soluções viáveis. O problema não

possui solução, ou seja, não há nenhum ponto que satisfaça todas as

restrições.25

Exercício 17

26Resolva o modelo a seguir pelo método gráfico

25 Se resolver este problema pelo IOR Tutorial perceberá que este software tem um “bug” pois ao solicitar que resolva ele indica como solução um ponto que não atende todas as restrições.26 Passos, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional, Ed. Atlas, 2008. – pág. 52

60

Page 61: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Resposta:

Observe que os valores de Z podem crescer indefinidamente, pois não há

restrição que os delimite. Assim dizemos que não há solução ótima para o

problema.

61

Page 62: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 18

27Resolva utilizando o método gráfico.

Resposta:

27 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 93

62

Page 63: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Exercício 19

28Resolva utilizando o método gráfico.

Resposta:

28 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 92

63

Page 64: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Ponto ótimo (2 ; 4) e Z* = -110

Exercício 20

29Considere o modelo a seguir, no qual C1 ainda não foi definido.

29 Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., McGrawHill, 2010. Pág. 92

64

Page 65: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Use a análise gráfica30 para se determinar as soluções ótimas para todos

os valores possíveis de C1.

Resposta:

Primeiro tracemos as restrições no plano cartesiano:

Coloquemos as inequações na forma de equações e encontremos X2 em

função de X1 para evidenciar o coeficiente angular da reta 31 .

Assim:

30 Para resolver este exercício você precisará fazer várias soluções gráficas. Para ganhar tempo e em capacidade de análise, recomendamos utilizar o IOR tutorial para ganhar tempo.31 Da álgebra linear sabemos que, se uma função é , então “ ” é o coeficiente angular da reta, ou seja, o ângulo de inclinação da referida reta em relação à abscissa. Consulte o anexo sobre a revisão de álgebra se achar necessário.

65

Page 66: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Desta forma nossa análise fica mais fácil de ser feita.

Vamos pensar o que acontecerá quando a função objetivo tiver coeficiente

angular igual ao coeficiente da restrição ① , isto é, quando . Para

isso acontecer . Ao traçarmos a função objetivo desta forma,

perceberemos que esta reta referente ao Z* coincide com a própria

restrição ①. Assim o Z* será 24 e pode ser obtido por qualquer valor de

que estejam no segmento de reta entre os pontos

[interseção entre as retas ① e ②] e .

Agora vamos verificar o que acontece quando . Para que isso

aconteça é preciso que . Percebemos que à medida que reduzimos o

valor de C1 a reta referente à função objetivo gira em torno do ponto

ótimo . Isso acontecerá até que a rotação seja suficiente para

que esta reta coincida com a restrição ②, ou seja, quando ,isto é,

.

66

Estes são os coeficientes angulares de cada uma das retas.

Page 67: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Quando a função de Z*coincide com a restrição ② e qualquer

ponto no seguimento de reta entre e resultará no valor

ótimo. Se diminuirmos o valor de C1 fazendo o ponto ótimo desloca-

se para e permanece aí indefinidamente, por menor que seja C1.

Então até agora sabemos que, se:

Percebemos que faltou a análise quando . Quando isso acontece a

função Z* fica com um coeficiente angular maior do que o da restrição ①,

fazendo com que o ponto ótimo seja e o Z*=27.

Assim podemos organizar a resposta final da seguinte forma:

67

Page 68: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

4. Solução algébrica

Após analisarmos os resultados obtidos pelo método gráfico podemos

fazer algumas considerações.

A primeira consideração é que a solução ótima será obrigatoriamente um

ponto extremo da região de soluções viáveis. Se o problema tiver apenas

um ponto ótimo, então este ponto ótimo será obrigatoriamente um

vértice do polígono (ou poliedro) que delimita o espaço de soluções

viáveis.

Caso dois vértices do espaço de soluções viáveis resultem no mesmo valor

ótimo da função objetivo (Z) então teremos certeza de que há INFINITAS

soluções ótimas, sendo que TODAS elas estão no segmento de reta

delimitado por estes dois vértices em questão.

Desta maneira, uma forma algébrica de resolver problemas de

Programação Linear - e que estará na base de todos os algoritmos que

veremos - é encontrar os vértices definidos por cada par de restrições e

testá-los, verificando qual deles proporciona o valor ótimo.

Voltemos então ao nosso Exemplo I da fábrica de calçados (pág.12). Nós já

obtivemos uma solução gráfica para este problema, vamos agora verificar

se o método algébrico indicará a mesma solução.

68

Page 69: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

O modelo que encontramos para o Exemplo I foi:

Vamos agora, tal como fizemos para encontrar a solução gráfica, tratar

das restrições em seus limites representados pelas igualdades:

Umas vez que temos todas as restrições, basta agora encontrarmos cada

uma das interseções entre todos os pares de restrições, verificar se este

ponto faz parte do espaço solução e depois se é o ponto ótimo.

Vamos começar entoa pelas restrições 1) e 2)

. Para encontrar o ponto de interseção destas duas retas

basta encontrar o ponto que satisfaça ambas, ou seja, a solução do

sistema de equações definido por elas:

69

Page 70: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Resolvendo o sistema:

Ou seja, e para isso ser verdade . Assim, o ponto de

interseção entre as restrições 1) e 2) é o ponto .

Uma vez encontrado o ponto de interseção precisamos descobrir se

ele faz parte do espaço solução. Para isso basta saber se ele atende

TODAS as demais restrições32.

Ou seja, quando X1 =0 e X2=30 as restrições 1) e 2) serão automaticamente

atendidas pois foram elas que originaram este ponto. Como X1 e X2 são

positivos, podemos ver facilmente que as restrições de não-negatividade

32 Não precisamos verificar nas restrições 1) e 2) pois foram justamente elas que deram origem a este ponto e portanto obrigatoriamente o mesmo as atenderá. Neste nosso exemplo temos mais 3 restrições: a restrição 3) e as duas outras restrições de não-negatividade. Basta que o ponto não atenda a qualquer uma delas para que ele seja descartado de estar na região de soluções viáveis.

70

Page 71: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

( ) foram atendidas, resta-nos então saber como ficará a

restrição 3).

Atente que 60 NÃO é a 15, logo este ponto NÃO atende à restrição 3) o

que significa que ele não pertence ao espaço de soluções viáveis33.

Vamos seguir agora com o mesmo procedimento para o par de restrições

1) e 3).

Resolvendo o sistema termos encontraremos X2 = -105 o que resultará em

X1=225.

Logo, o ponto de interseção entre as restrições 1) e 3) é o ponto

(225; -105). Rapidamente podemos deduzir que ele não pertence à região

de soluções viáveis pois as condições de não-negatividade não foram

atendidas.

33 Veja na solução gráfica que realmente este ponto não pertence ao polígono que descreve o espaço de soluções viáveis destacado em azul na figura da Pág. 42.

71

Page 72: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Por razões didáticas seguiremos para verificar se este ponto atende a

restrição 2).

Como 225 NÃO é que 120, então este ponto NÃO pertence à região de

soluções viáveis.

Tratemos agora o par de restrições 2) e 3).

Resolvendo o sistema termos encontraremos X1 = 90 o que resultará em

X2= -37,5.

Verificando este ponto na restrição 1) teremos:

Ou seja, o ponto (90;-37,5) atende a restrição 1) pois 8,25 15. Contudo

atente que X2= -37,5 não atende a restrição de não-negatividade, portanto

o ponto NÃO pertence à região de soluções viáveis.

72

Page 73: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Seguiremos agora para as restrições 1) e 4).

Que resulta em X1 =0 e X2=30. Por coincidência é o mesmo ponto

resultante das restrições 1) e 2). Portanto já verificamos que ele NÃO

pertence à região de soluções viáveis.

Vamos então para as restrições 1) e 5).

Resolvendo teremos: X1=50 e X2=0.

Este ponto atende às condições de não-negatividade.

Veremos agora se atendem às demais restrições.

Quanto à restrição 2) temos:

Ou seja, não atende, pois 150 não é 120 como exige a restrição dois.

Vamos então para as restrições 2) e 4).

73

Page 74: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

A solução é X1 = 0 e X2 = 30. Este ponto também por coincidência já foi

verificado que não pertence à região de soluções viáveis.

Vamos então para as restrições 2) e 5).

A solução é X1 = 40 e X2 = 0.

Veremos agora se atendem às demais restrições 1) 3) e 4).

Como 12 15 então a restrição 2) é atendida. Veremos a restrição 3).

Observe que 40 não é 15, ou seja, este ponto não atende a restrição 3) e

portanto não pertence à região de soluções viáveis.

Vamos então para as restrições 3) e 4).

74

Page 75: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

A solução é X1 = 0 e X2 = 7,5. Vejamos se este ponto atende as restrições

1) 2) e 5).

Rapidamente podemos verificar que, como X2 0, então a restrição 5 é

atendida.

Vejamos agora a restrição 1).

O que atende a esta restrição pois 3,75 15.

Vejamos se a restrição 2) é também atendida.

Como 30 15, então a restrição 2) também é atendida e podemos deduzir

que o ponto (0;7,5) faz parte da região de soluções viáveis pois atende a

TODAS as restrições.

Vamos então para as restrições 3) e 5).

75

Page 76: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

A solução é X1 = 15 e X2 = 0. Vejamos se este ponto atende as restrições 1)

2) e 4).

Rapidamente podemos verificar que, como X1 0, então a restrição 4 é

atendida.

Vejamos agora a restrição 1).

O que atende a esta restrição pois 4,5 15.

Vejamos se a restrição 2) é também atendida.

Como 45 15, então a restrição 2) também é atendida e podemos deduzir

que o ponto (15;0) faz parte da região de soluções viáveis pois atende a

TODAS as restrições.

Resta-nos agora apenas um par de restrições, as que representam a

condição de não-negatividade: 4) e 5)

76

Page 77: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

O ponto de interseção destas retas é obviamente o (0;0). Precisamos

verificar se este ponto atende às demais restrições:

Verifique que o ponto (0;0) atende a TODAS as demais restrições,

portanto ele está contido no espaço de soluções viáveis.

Sendo assim, listemos o resumo de todos os pontos encontrados

indicando se pertence ou não à região de soluções viáveis.

Restrições 1) e 2) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 1) e 3) – Ponto (225;-105) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 2) e 3) – Ponto (90;-37,5) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

77

Page 78: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Restrições 1) e 4) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 1) e 5) – Ponto (50;0) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 2) e 4) – Ponto (0;30) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 2) e 5) – Ponto (40;0) – Não pertence à região de soluções

viáveis.

Restrições 3) e 4) – Ponto (0;7,5) – Pertence à região de soluções viáveis.

Restrições 3) e 5) – Ponto (15;0) – Pertence à região de soluções viáveis.

Restrições 4) e 5) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis.

Vemos que apenas 3 pontos pertencem à região de soluções viáveis.

Sabemos que necessariamente o ponto ótimo será um destes pontos.

Então, para descobrirmos qual deles é o ponto ótimo basta submeter a

função objetivo do modelo ( ) a estes pontos verificando o

valor encontrado. Aquele que proporcionar o melhor valor, será o ponto

ótimo.

78

Page 79: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Ponto (0;7,5)

Ponto (15;0)

Ponto (0;0)

Como neste exemplo a função objetivo se refere à maximizar, o ponto que

proporciona o melhor valor é justamente o que proporciona o maior valor

de Z, ou seja, o ponto (0;7,5). Então a solução final do problema é que a

solução ótima é de uma receita de R$ 360 obtida da produção diária de

79

Page 80: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

7,5 sapatos (X2) e nenhuma sandália (X1). Observe que é exatamente a

mesma resposta encontrada via solução gráfica (pág .47)

Vamos exercitar

Exercício 21

Resolva o

Exercício 1 (pág.16) pelo método algébrico e verifique se o resultado

encontrado confere com o encontrado pela Solução Gráfica.

O modelo do exercício 1 é:

Precisamos agora resolver TODOS os possíveis sistemas tomando par a

par as restrições. Ao fazer isso encontraremos os seguintes pontos de

interseção:

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Page 81: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Restrições 1) e 2) – Ponto (25;45) –Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 1) e 3) – Ponto (40;30) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende a restrição 2).

Restrições 1) e 4) – Ponto (10;60) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 1) e 5) – Ponto (0;70) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende a restrição 4).

Restrições 1) e 6) – Ponto (70;0) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende as restrições 2) e 3).

Restrições 2) e 3) – Ponto (40;18) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 2) e 4) – Ponto (16,67;60) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende a restrição 1).

Restrições 2) e 5) – Ponto (0;90) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende às restrições 1) e 4).

Restrições 2) e 6) – Ponto (50;0) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende a restrição 3).

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Page 82: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Restrições 3) e 4) – Ponto (40;60) – Não pertence à região de soluções

viáveis pois não atende a restrição 1).

Restrições 3) e 5) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 3) e 6) – Ponto (40;0) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 4) e 5) – Ponto (0;60) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 4) e 6) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Restrições 5) e 6) – Ponto (0;0) – Pertence à região de soluções viáveis

pois atende às demais restrições.

Verificando o valor da função objetivo com cada um dos

pontos que pertencem ao espaço de soluções viáveis teremos:

Ponto (25;45) - 3200

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Page 83: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Ponto (10;60) - 3800

Ponto (40;18) - 1880

Ponto (0;0) - zero

Ponto (40;0) - 800

Ponto (0;60) - 3600

Desta forma verificamos que o maior valor é 3800 obtido com o ponto

(10;60) que é, então, nosso ponto ótimo. Ou seja, tal como encontramos

pela solução gráfica, o melhor mix de produção (aquele que proporcionará

o maior lucro possível nas condições do problema) será fabricar 10

unidades de produto I e 60 do produto II, resultando no lucro de R$3.800.

Exercício 22

Resolva o exercício 3 pelo método algébrico. Observe que ele possui 3

variáveis de decisão o que invalida a solução gráfica, por isso não a

fizemos. Isso também torna a solução algébrica mais complexa, como

pode ser observado a seguir.

O modelo do exercício 3 é:

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Page 84: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vamos montar o sistema agora com 3 equações cada um, pois caso

contrário não encontraremos solução algébrica.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 3). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3000 ; 1200 ; 400). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis pois não atende as restrições 4) e 5).

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Page 85: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 4). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3000 ; 1400 ; 200). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis, pois não atende às restrições 3) e 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 5). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3000 ; 1500 ; 100). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 6). Observe que este

sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.

Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual

se cruzem34, não possuindo desta forma um ponto de interseção.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 7). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3000 ; 0 ; 1600). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis, pois não atende às restrições 3), 4) e 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 2) e 8). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3000 ; 1600; 0). Este ponto não pertence à região de

soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).

34 N geometria dizemos que são retas reversas.

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Page 86: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 4). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3200 ; 1200; 200). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 5). A interseção destes

3 planos é no ponto: (2400 ; 1200; 1000). Este ponto não pertence à

região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 6). A interseção destes

3 planos é no ponto: (0 ; 1200; 3400). Este ponto não pertence à região de

soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 7). Observe que este

sistema também possui duas retas paralelas (X2=1200 e X2=0) que nunca

se cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de

convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de

interseção.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 3) e 8). A interseção destes

3 planos é no ponto: (3400 ; 1200; 0). Este ponto não pertence à região de

soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).

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Page 87: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 5). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (2933,33 ;1466,67 ; 200). Este ponto não

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 6). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (0 ;4400 ; 200). Este ponto não pertence à

região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 7). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (4400 ; 0; 200). Este ponto não pertence à

região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2) e 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 4) e 8). Observe que este

sistema também possui duas retas paralelas (X3=200 e X3=0) que nunca se

cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de

convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de

interseção.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 6). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (0 ; 0; 4600). Este ponto não pertence à região

de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).

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Page 88: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 7). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (0 ; 0; 4600). Este ponto não

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 4).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 1) 5) e 8). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (3066,67 ; 1533,33; 0). Este ponto

não pertence à região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 2)

e 3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 4). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (3000 ; 1200; 200). Este ponto não

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 5). Estas retas

também não se cruzam. As equações 2) e 3) não são compatíveis com a 5),

representando que as 3 retas não se cruzam. O mesmo acontecendo com

as 2) 3) e 6). Bem como com as 2) 3) e 7).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 3) e 8). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (3000; 1200; 0). Este ponto não

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 5). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (3000; 1500; 200). Este ponto não

88

Page 89: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende às restrições 1) e

3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 6). Observe que este

sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.

Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual

se cruzem35, não possuindo desta forma um ponto de interseção

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 7). A interseção

destes 3 planos é também no ponto: (3000; 0; 200). Este ponto não

pertence à região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 5).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 4) e 8). Observe que este

sistema também possui duas retas paralelas (X3=200 e X3=0) que nunca se

cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de

convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de

interseção.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 6). Observe que este

sistema possui duas retas paralelas (X1=3000 e X1=0) que nunca se cruzam.

Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de convergência no qual

se cruzem36, não possuindo desta forma um ponto de interseção

35 Na geometria dizemos que são retas reversas.36 Na geometria dizemos que são retas reversas.

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Page 90: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 7). Estas retas

também não se cruzam. As equações 2) e 7) não são compatíveis com a 5),

representando que as 3 retas não se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 5) e 8). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (3000; 1500; 0). Este ponto não pertence à

região de soluções viáveis, pois não atende à restrição 3).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 2) 6) e 7). Estas retas

também não se cruzam, pois as equações 2) e 6) são paralelas. Portanto o

mesmo acontece com o sistema formado pelas restrições 2) 6) e 8).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 5). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (2400; 1200; 200). Este ponto pertence à

região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 6). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (0; 1200; 200). Este ponto pertence à região

de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 4) e 7). Observe que este

sistema também possui duas retas paralelas (X2=1200 e X2=0) que nunca

se cruzam. Desta forma estas 3 retas não possuem um ponto de

convergência no qual se cruzem, não possuindo desta forma um ponto de

90

Page 91: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

interseção. O mesmo acontece com o sistema formado pelas restrições 3)

4) e 8).

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 6). A reta 3) e 6) são

incompatíveis com a 6) e nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 7). As retas 3) e 7)

nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 5) e 8). A interseção destes

3 planos é no ponto: (2400; 1200; 0). Este ponto pertence à região de

soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 6) e 7). As retas 3) e 7)

nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 6) e 8). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (0; 1200; 0). Este ponto pertence à região de

soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 3) 7) e 8). As retas 3) e 7)

nunca se cruzam.

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Page 92: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 6). A interseção

destes 3 planos é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à região de

soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 7). A interseção

destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à

região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 5) e 8). As retas 4) e 8)

nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 6) e 7). A interseção

destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 200). Este ponto pertence à

região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 6) e 8). As retas 4) e 8)

nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 4) 7) e 8). As retas 4) e 8)

nunca se cruzam.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 5) 6) e 7). A interseção

destes 3 planos também é toda o eixo de X3 o que não atende a todas as

restrições.

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Page 93: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

Vejamos o sistema formado pelas restrições 5) 6) e 8). A interseção

destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 0). Este ponto pertence à

região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

Vejamos o sistema formado pelas restrições 6) 7) e 8). A interseção

destes 3 planos também é no ponto: (0; 0; 0). Este ponto pertence à

região de soluções viáveis, pois atende a todas as restrições.

5. Método Simplex

George Dantzig (1914-2005) apresentou os fundamentos do Algoritmo

Simplex em 1947. Seu desenvolvimento deveu-se ao esforço de guerra

impetrado pelos EUA durante a Segunda Guerra Mundial. George Dantzig

trabalhou durante a guerra no Pentágono, órgão de defesa americano,

como especialista em planejamento e programação de atividades militares

e ao final da guerra publicou as ferramentas matemáticas que

desenvolveu para otimizar recursos e auxiliar na tomada de decisão, era o

Simplex37.

37  O nome Simplex deve-se ao conceito de simplex na geometria que é uma generalização do conceito de triângulo a outras dimensões. É o invólucro convexo de (n+1) pontos independentes no Rn. Ele é chamado assim por ser sempre o polígono mais simples de sua dimensão, isto é, um triângulo (R 2) é o poligono que possui menos vértices e arestas, o tetraedro (R3) é o que possui menos vértices e arestas e faces. E assim por diante.

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Page 94: Pesquisa Operacional Notas de Aula UCB

O método simplex é uma poderosa ferramenta normalmente

implementada em casos reais com auxílio de programas de computador.

Vamos neste tópico verificar os princípios deste algoritmo para em

seguida verificarmos como implementar via computadores.

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