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Modelos Epidemiologicos Acoplados para a Dinamica daTransmissao da Dengue

Ana Carolina Simoneto1 , Rogerio Luis Rizzi1

1Colegiado do Curso de Matematica - Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana

Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - [email protected], [email protected]

Resumo. A Epidemiologia Matematica surge com o intuito de auxiliar no estudoquantitativo de fatos e formalizar o fenomeno de interacao da doenca e seu hospedeiro,explicando de forma precisa os acontecimentos observados, ajudandona interpretacaode dados e nas estimativas de parametros e indicando possıveis abordagens para con-trole de doencas, alem de avaliar seu impacto. Neste contexto, o presente trabalho visasistematizar e organizar dados bibliograficos referentesa modelagem epidemiologicada dengue, elaborando um texto didatico, conciso e consistente sobre o tema abordado,alem de sistematizar questoes pertinentesa epidemiologia matematica, enfocando sem-pre a dinamica de transmissao da dengue.

Palavras Chaves. Modelos epidemiologicos, epidemiologia matematica, dengue,dinamica da transmissao da dengue.

1. Dengue: caracterısticas e aspectos principais

1.1. Sintomas, caracterısticas, aspectos biologicos

A palavra dengue tem origem espanhola e significa “melindre”, “manha”, referindo-se aoestado de moleza e prostracao que acomete o doente. Ja a doenca, designa uma infeccaode curta duracao, cuja gravidadee variavel. E causada pelo vırus da famılia Flaviviridaeea transmissao se da pelo artropode do generoAedes. O desenvolvimento da doenca ocorrede forma intrınseca, no ser humano, ou extrınseca, no vetor.

Quando o mosquito transmite a doenca ao ser humano, surge apos o perıodo deincubacao, a viremia. Neste perıodo, oAedes Aegyptique picar o indivıduo contami-nado tambem se contaminara, desencadeando o processo de incubacao extrınseca, o qualvai desde a ingestao do sangue infectado ate o momento em que o mosquitoe capaz detransmitir o vırus pela sua replicacao nas glandulas salivares. Apesar de contaminado, adoenca nao se manifesta no mosquito. [YANG, 2003]

Apos a contaminacao, o vırus fica presente no sangue humano no perıodo entre o

XXII SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA

dia anterior de aparecimento da febre e o sexto dia da doenca. Ja no mosquito, o perıodode incubacao viral varia de tres a quinze dias. Apesar do mosquito transmitir a doenca,ela so acomete o ser humano.

A dengue pode ser classificada como classica, forma benigna e mais comum dadoenca, e hemorragica, que pode levar aoobito.

A dengue classica inicia-se com febre, a qual se manifesta apos o perıodo deincubacao de 5 a 8 dias. Usualmente esta surge acompanhada de cefaleia frontal e dorretrorbital e mialgia generalizada. A artralgia, hiperemia conjuntival e a eritema facial semanifestam desde o inıcio. A partir do segundo dia, os sintomas digestivos se mostrammais significativos. Nesta fase, podem aparecer fenomenos hemorragicos de pouca inten-sidade, principalmente na pele e mucosa. [MACHADO, 2000]

Quando a pessoa se infecta pela segunda vez com o vırus da dengue, pode surgiro quadro de dengue hemorragica, na qual ocorrem febres e hemorragias. No inıcio, asintomatologia assemelha-se com a da dengue classica, no entanto, a partir do segundo aosetimo dia, o quadro do infectado agrava-se. Os sintomas neste perıodo sao dores abdomi-nais, vomitos, queda brusca de temperatura, sonolencia ou inquietacao, palidez, dispneiae cianose. Podem ocorrer casos de alteracao dos nıveis de consciencia, convulsoes e sinaisde deficit neurologico. [MACHADO, 2000]

Existem quatro sorotipos causadores da dengue, 1, 2, 3 e 4, sendo que noBrasil ainda nao ha circulacao do tipo 4. O tratamentoe apenas sintomatico e, apos acontaminacao, o indivıduo torna-se imune ao sorotipo pelo qual foi contaminado, porem,ainda suscetıvel aos demais.

1.2. Vetor transmissao

O principal transmissor da denguee o mosquitoAedes Aegypti, da famılia Culicidae. Temorigem africana e ficou conhecido por transmitir a dengue e a febre amarela.

O Aedes Aegyptifoi descrito pela primeira vez no Egito, em 1762 [LEITE, 2004].De acordo com Gadelha (apudDOMINGOS, 2005), a dispersao do mosquito ocorre, prin-cipalmente, pelo transporte de formas imaturas doAedes Aegypti, principalmente ovos.

Assim, apesar de ter origem africana, este mosquito foi levado a outros paıses.A America, foi trazido no perıodo colonial (Gadelha e TodaapudDOMINGOS, 2005),sendo introduzido no Brasil com o trafico de escravos. [LEITE, 2004]

Atualmente este mosquito esta disseminado nas regioes tropicais e subtropicaisdo planeta, dependente da concentracao humana. Estando bem adaptado ao meio urbano,necessita do domicılio humano para se procriar, onde encontra pequenas quantidades deagua limpa, pobre em materia organica em decomposicao e sais, para depositar seus ovos.

Em funcao da procriacao, a femea necessita da substancia albumina, presente nosangue. Para tanto ela pica o indivıduo para se alimentar e completar o processo deamadurecimento dos ovos. Apos se alimentar do sangue infectado, passa por um perıodode incubacao. So depois disso que o mosquito passa a transmitir a doenca ao ser humano.

As etapas de desenvolvimento doAedes Aegypticompreendem o ovo, a larva, apupa e o adulto.

Por nao haver vacinacao contra a dengue, a prevencao se da por meio da vigilanciaepidemiologica e controle do mosquito. Este controle pode acontecer mecanica ou quimi-camente. O controle mecanico se da pela eliminacao de locais com condicoes para odesenvolvimento das larvas do mosquito, ou seja, locais comacumulo deagua potavel.

O controle quımico, no entanto, consiste na aplicacao de produtos em locais decriacao do vetor, a fim de elimina-lo.


2. Modelos matematicos e modelagem epidemiologica

Verifica-se uma iteracao efetiva entre a Matematica e as Ciencias em geral, dentre es-tas a fısica, a quımica e a biologia. Para tanto, se faz necessario, ee observada desdea criacao de sımbolos numericos, a existencia de motivacao para abstrair uma situacaodo cotidiano, formalizando e sintetizando ideias. Assim, pode-se dizer que o objetivoda matematica aplicadae “extrair esta essencia e formaliza-la em um contexto abstrato,onde ela possa ser trabalhada intelectualmente, desenvolvida e absorvida como uma ex-traordinaria economia de pensamento”. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988].

Deste modo, o modelo matematico abstraira o fenomeno a ser explicado, con-ceitualizando e generalizando, e, modelando o problema, tera a missao de simplifica-lo. Assim, a modelagem oferece-se como mecanismo para planejar o futuro e analisartendencias. Para tanto, a precisao do modelo dependera da quantidade e qualidade desuas variaveis. Se houver muitas aproximacoes e simplificacoes no modelo, o resultadopode nao ser confiavel, tendo em vista que se distanciara da realidade. No entanto, ummodelo que apresenta poucas aproximacoes podera ser de resolucao tao complexa queseu resultado seria inutil. [COMCIENCIA, 2008].

“Um problema real nao pode ser representado de maneira exata, emtoda sua complexidade, por uma equacao matematica ou um sistema deequacoes. No entanto, se trabalharmos com as variaveis essenciais dofenomeno observado, o modelo matematico que simula tal fenomenopodera levar a solucoes bastante proximas daquelas observadas na reali-dade”. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988]

2.1. Modelos Compartimentais

Como cita Gomes [GOMES, 2008], os indivıduos que compoem a populacao hospedeirasao divididos em:

• Suscetıveis: Sao os indivıduos que podem contrair a doenca;• Latentes ou expostos: Sao os indivıduos contaminados, mas que ainda nao trans-

mitem a doenca;• Infecciosos: Sao os indivıduos transmissores da doenca;• Removidos: Sao os indivıduos que nao contraem a doenca, seja por adquirir imu-

nidade ou por ser isolado.

O processo infeccioso, portanto, se iniciara com o indivıduo suscetıvel, o qual,em contato com o agente infeccioso, se contamina e entra no perıodo de latencia. Quandoa quantidade viral em seu organismo aumenta, o indivıduo passa a transmitir a doenca,sendo denominado assim, infeccioso. Apos sua recuperacao, ele passa a ser novamentesuscetıvel ou se enquadrara na classe dos removidos, no caso podendo ter adquiridoimunidade.

Considerando S = suscetıveis, E = latentes, I = infecciosos, R = removidos e N =populacao total, podemos esquematizar da seguinte forma:

S + E + I + R = N

Pode-se, ainda, considerar as proporcoes dos indivıduos em relacaoa populacao,e assim obter a expressao s + e + i + r = 1, onde,s = S/N , e = E/N , i = I/N ,r = R/N .

Nestes casos leva-se em consideracao, de modo geral, que a populacao N e


constante ou varia em uma escala temporal muito longa quandocomparada com o tempodo processo infeccioso. No entanto, as classes individuaiscitadas nao precisam neces-sariamente aparecer juntas no estudo da doenca. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988]

3. Modelos matematicos da dinamica da transmissao na populacaomosquitos

A populacao de mosquitos sera estudada de modo a separar suas fases biologicas, vistoque essas etapas sao importantesa modelagem da dinamica da transmissao da dengue.

O estudo feitoe baseado nos artigos de Hyun Mo Yang, Claudia Pio Ferreira eseus colaboradores, publicados, em sua maioria, pela revista TEMA - Tendencias emMatematica Aplicada e Computacional.

1. Fase ovo: Fase inicial da vida doAedes Aegypti. O numero de ovos por perıodode tempo, representado porE(t), aumenta de acordo com a taxa per-capitaφ(t)de ovoposicao por perıodo de tempo e leva em consideracao o numero C de cri-adouros disponıveis. A quantidade de ovos diminui com a sua inviabilidade,pormorte (µe(t)) ou a medida que os mesmos eclodem (σe(t));

2. Fase larva: A medida que os ovos eclodem (σe(t)) surgem as larvas, representadasporL(t). O numero de larvas inicial por perıodo de tempo diminuira com a mor-talidade das larvas, seja naturalmente (µl(t)) ou por controle mecanica e quımico(ml(t) eµl(t), respectivamente) ou pela sua transformacao em pupa (σl(t))

3. Fase pupa: As larvas se transformam em pupas (P (t)) por meio da taxa per-capitaσl(t). O numero inicial de pupas por perıodo de tempoe reduzidoa medida que aspupas morrem (naturalmente (µp(t)) ou por controle) ou com a sua transformacaoem mosquito adulto (σp(t));

4. Fase adulta: A quantidade de femeas adultas por perıodo de tempoe dada porW (t) e esta quantidade se da pela transformacao das pupas (σp(t)).

Tambem existe uma subdivisao da fase adulta:

1. Mosquitos Suscetıveis: estao suscetıveis ao vırus da dengue, denomina-seW1(t).Neste perıodo a quantidade de mosquitos diminuia medida em que eles se con-taminam pela doenca (ηw(I)) ou morrem (naturalmente (µw(t)) ou por controlequımico (µ′

w(t)));2. Mosquitos Infectados e nao infectantes: Quando os mosquitos suscetıveis se con-

taminam, passam por um perıodo onde estao infectados, porem, nao transmitema doenca. A quantidade de mosquitos neste perıodo e representada porW2(t),onde esta diminuia medida em que estes mosquitos passam a infectar (γw) oumorrem (naturalmente (µw(t)), por controle mecanico (µ′

w(t)) ou pelo envelheci-mento (µ2(t)));

3. Mosquitos Infectantes: Quando os mosquitos passam a transmitir a doenca, estespassam a ser denominados infectantes (W3(t)). Neste estagio sua quantidadediminui a medida que os mosquitos morrem, naturalmente (µw(t)), por controlequımico (µ′

w(t)) ou pelo envelhecimento (µ3(t)).

Com a disseminacao da doenca, medidas de controle sao aplicadas a fim de reduzira quantidade do vetor transmissao, o mosquitoAedes Aegypti.

• Controle Mecanico: Este controlee feito por agentes de saude publica em visitasa residencias ou pelos proprios moradores quando da remocao ou inviabilizacao


dos criadouros. Neste caso sao atingidas diretamente as fases aquaticas do AedesAegypti, onde as taxas per-capita de inviabilizacao dos criadouros por perıodode tempo sao dadas porme(t), ml(t) e mp(t), referentes a ovos, larvas e pupas,respectivamente. Alem disso, neste controle deve ser considerada a quantidade Cde criadouros, onde ha a eliminacao das fracoesfi, i = 1, 2, ..., k, de cada tipode criadouros, podendo estes ser de varios tipos e formas, desde grandes, comocaixas d’agua, ate pequenos como tampas de garrafas. Assim, a quantidade doscriadouros removidos sera dado por

∑k

i=1 fiCi e a capacidade remanescente doscriadouros sera1 −

∑k

i=1 (1 − fi)Ci;• Controle quımico por larvicida: Este controlee realizado por meio da dissemi-

nassao de venenos atuantes nas fases de larvas e pupas. A taxa de mortalidadepor tal metodoe representada porµ′

l(t) e µ′

p(t), indicando as taxas adicionais demorte por perıodo de tempos de larvas e pupas, respectivamente;

• Controle quımico por adulticida: Este controlee realizado por meio dadisseminacao de venenos atuantes sobre mosquitos adultos, seja aplicado porequipamentos portateis (geralmente dentro de casa) ou pelo uso de pulverizadores(pulverizacao nas ruas). A taxa de mortalidade por perıodo de tempo por estemetodoe indicada porµ′

w(t).

A partir de estudos, obtem-se o sistema de equacoes diferenciais ordinarias para adinamica de transmissao do vırus da dengue na populacao de mosquitos Aedes Aegypti:

ddt

E(t) = ϕ(W )[

1 −E(t)

P

k

i=1(1−fi)Ci

]

− E(t)(σe(t) + µe(t) + me(t))

ddt

L(t) = σe(t)E(t) − L(t)(σl(t) + µl(t) + µ′

l(t) + ml(t))

ddt

P (t) = σl(t)L(t) − P (t)(σp(t) + µp(t) + µ′

p(t) + mp(t))

ddt

W1(t) = σp(t)P (t) − W1(t)(ηw(I) + µw(t) + µ′

w(t))

ddt

W2(t) = ηW (I)W1(t) − W2(t)(γw + µw(t) + µ′

w(t) + µ2(t))

ddt

W3(t) = γwW2(t) − W3(t)(µw(t) + µ′

w(t) + µ3(t))

(1)

4. Modelos matematicos da dinamica da transmissao na populacao humana

A denguee transmitida pelo mosquito Aedes Aegypti para a populacao humana, ondea doenca se manifesta de modo benıgno em sua infeccao pelo primeiro sorotipo. O in-divıduo infectado se torna, apos curado, imune ao sorotipo pelo qual se contaminou.

Para o estudo da populacao humana, estae subdividida, de acordo com a historianatural da infeccao, em suscetıveis, latentes, infectantes e recuperados, sendo que tais“classes” nao se interceptam.

1. Suscetıveis (S): Indivıduos nao infectados, vulneraveis a contaminacao da doenca;2. Latentes (H): A medida com que os indivıduos suscetıveis sao picados pelos

mosquitos infectantes, migram para a classe dos latentes, aqual designa in-divıduos contaminados em perıodo de incubacao, ou seja, nao infectantes;


3. Infectantes (I): Com o termino do perıodo de incubacao, o indivıduo passaa classedos infectantes. Neste perıodo, alem de manifestar a doenca, o indivıduo a trans-mite ao mosquito suscetıvel que o picar;

4. Recuperados (R): Quando o perıodo de infeccao chega ao fim, o indivıduo estarecuperado da doenca.

Temos, entao, o sistema de equacoes diferenciais ordinarias que descreve adinamica de transmissao da dengue na populacao humana:

ddt

S(t) = µhN(t) − S(t)(ηh(W3) + µh)

ddt

H(t) = ηh(W3)S(t) − H(t)(γh + µh)

ddt

I(t) = γhH(t) − I(t)(σh + µh)

ddt

R(t) = σhI(t) − R(t)µh

(2)

Considerando queS(t)+H(t)+I(t)+R(t) = N(t) e constante, podemos dividir osistema (2) de equacoes da dinamica de transmissao da dengue na populacao humana pelovalorN(t), obtendo um novo sistema de equacoes em termos da proporcao de indivıduos.

5. Estudo de casos

O estudo de casos foi realizado por meio da implementacao dos modelos da dinamica datransmissao da dengue no software MATLABr e no software Xmgrace.

Para a implementacao, sao escolhidos valores para os parametros que remetemsitucoes reais, como clima e fatores biologicos. Apos, o modelo foi implementado nossoftwares citados. Em todo o estudo,e utilizado, para resolucao das equacoes diferenciasordinarias, o metodo Runge-Kutta vetorial de 4a ordem de acuracia.

A partir disso,e possıvel realizar analises quantitativas e qualitativas dos resulta-dos obtidos a partir da analise dos graficos.

5.1. Populacao humano livre de mosquitos

Uma analise inicial da dinamica da transmissao da dengue mostra o comportamento dapopulacao livre do mosquitoAedes Aegypti.

Para este caso a reprodutibilidade dos mosquitose pequena, o que leva a suaextincao. Com isso,e necessario que os parametros escolhidos satisfacam a razao dereprodutibilidadeR < 1, onde

R =γwγhǫ

2βwβh

ρ2ρ3ρhρi

eρh = γh + µh; ρi = σh + µh

E ainda, a ovoposicaoφ < φth, onde

φth =

(

σe

ρe

σl

ρl

σp

ρp

1

ρw

)

−1

e ρe = σe(t) + µe(t) + me(t); ρl = σl(t) + µl(t) + µ′

l(t) + ml(t); ρp = σp(t) + µp(t) +µ′

p(t) + mp(t); ρw = µw + µ′

w


Neste caso, os resultados obtidos serao como os apontados na figura 1.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (dias)

popu

laçõ

es

ELPW1W2W3shir

Figura 1: Populac oes de mosquitos e humana

No grafico apresentado na figura 1, nota-se que, com a extincao dos mosquitos, apopulacao humana se estabiliza como suscetıveis.

5.2. Populacao humana infestada por mosquitos livres da dengue

A populacao humana pode estar infestada por mosquitosAedes Aegypti, os quais estaolivres do vırus da dengue.

Neste caso,φ > φth eR < 1 e os resultados sao como os apresentados na figura 2.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

5

10

15

20

25

30

35

40

tempo (dias)

popu

laçõ

es

ELPW1W2W3shir

Figura 2: Populac oes de mosquitos e humana


No grafico apresentado na figura 2, nota-se que, ha a extincao dos mosquitos la-tentes (W2) e infectados (W3) e da populacao humana portadora da doenca, permanecendoapenas indivıduos suscetıveis (s).

5.3. Populacao humana infestada por mosquitos contaminados pela dengue

Este casoe o mais completo, onde ha populacao de mosquitos contaminada pelo vırus dadengue, ou seja,φ > φth eR > 1 e, entao, tem-se:

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (dias)

popu

laçõ

es

shir

Figura 3: Populac ao humana

O grafico apresentado na figura 3 representa a dinamica da populacao humana.Nota-se que, apos a contaminacao dos indivıduos, ha um pico de indivıduos recuperadose uma grande baixa em indivıduos suscetıveis. No entanto, com a mortalidade dosindicıduos recuperados, a curva dos indivıduos recuperados passa a decrescer e dossuscetıveis comeca a crescer.


0 500 1000 1500 2000 2500 30000

50

100

150

200

250

300

350

400

tempo (dias)

popu

laçõ

es

ELPW1W2W3

Figura 4: Populac ao de mosquitos

Ja o grafico apresentado na figura 4 mostra a dinamica da populacao de mosquitos.Nota-se que as curvas se alteram conforme a sazonalidade, a qual refere-sea epoca doano, de acordo com o clima e a umidade. Para as analises realizadas foram consideradasdois perıodos distintos, um desfavoravel para o desenvolvimento das fases do mosquito eoutro favoravel, compreendendo um perıodo de 75 dias do ano de 360 dias.

Os resultados apresentados neste trabalho estao de acordo com os apresentadosnas literaturas tecnicas citadas.

AgradecimentosAgradeco, em especial, a professora Dra. Claudia Pio Ferreira, pelo atendimento

e disponibilidade, ajudando e sanando as duvidas em relacao a modelagem apresentadaneste trabalho.

Referencias

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BASSANEZI, R.C., FERREIRA JR, W.C. Equacoes diferenciais com aplicacoes. Harbra.1988.

YANG, H.M. Epidemiologia da transmissao da dengue. Revista TEMA. 2003. p387-396.

MACHADO, R.F. A importancia da prevencao, tratamento e erradicacao do vırus dadengue, como instrumento da polıtica de saude publica no Brasil. Revista Educacaoe Tecnologia. 2000. p13-20

FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estudo dinamico da populacao de mosquitos AedesAegypti. Revista TEMA. 2003. p187-196


FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estudo da transmissao da dengue entre os indivıduosem interacao com a populacao de mosquitos Aedes Aegypti. Revista TEMA. 2003.p323-332

YANG, H.M., FERREIRA, C.P., TERNES, S. Dinamica populacional do vetor transmis-sor da dengue. Revista TEMA. 2003. p287-296

BARREIRA, J. A Matematica da Vida. Revista Ciencia Hoje. 2003. p8-12

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GOMES, M.C. Dinamica de Doencas Infecciosas. http://webpages.fc.ul.pt/ mcgomes/aulas/ddi/index.html

DOMINGOS, M. de F. Aspectos da ecologia de Aedes Aegypti (Linnaeus) em Santos.Universidade de Sao Paulo. 2005

LEITE, J.O. de C. Importancia da descentralizacao das acoes de epidemiologia e con-trole de doencas na aplicacao da vigilancia entomologica do Aedes Aegypti, no RioGrande do Sul, de 2000 a 2003. Boletim Epidemiologico. 2004

COMCIENCIA http://www.comciencia.br/reportagens/framereport.htm junho/2008


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