Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 33, n. 2, 2310 (2011)www.sbfisica.org.br

Dinamica de massa variavel: corrente suspensa na maquina de Atwood(Variable mass dynamic: hanging chain in Atwood machine)

B.N. Sismanoglu1, R.F. Caetano, J.S.E. Germano, M.V.O. Rezende e Y.D. Hoyer

Departamento de Fısica, Instituto Tecnologico de Aeronautica, Comando Geral de Tecnologia Aeroespacial,Sao Jose dos Campos, SP, Brasil

Recebido em 17/3/2010; Aceito em 6/4/2011; Publicado em 6/7/2011

Este artigo trata do estudo de um sistema dinamico de massa variavel onde se implementa o experimento dacorrente de elos cuja extremidade esta unida atraves de um fio a um corpo suspenso na maquina de Atwood. Omovimento harmonico amortecido do sistema foi observado. O princıpio fundamental da dinamica foi empregadona obtencao da taxa de variacao temporal da aceleracao linear do movimento ascendente da corrente. O empregode uma filmadora digital no processo experimental possibilitou a caracterizacao do movimento atraves do registroda posicao dos corpos envolvidos em funcao do tempo, de uma maneira simples e economica. Um software dedomınio publico (VirtualDub) foi usado para a selecao dos quadros da filmagem. As variaveis dinamicas obtidasexperimentalmente foram confrontadas com os resultados esperados baseados na teoria, com boa concordancia.Comparacoes foram feitas entre estes resultados com os obtidos atraves do emprego de fotogates (sensores) co-merciais dispendiosos. A ineficacia dos fotogates foi verificada na coleta das variaveis dinamicas no inıcio domovimento.Palavras-chave: dinamica, Atwood, corrente de elos, filmadora digital.

This paper deals with the study of a variable mass dynamic where is developed the Atwood machine ex-periment with variable mass of a resting chain in which one end is attached to a fine string which passes overa pulley and carries a weight. The damped harmonic oscillation was observed. The Newton’s second law wasemployed to obtaining of the upward motion of the chain. Using a digital camera and free software VirtualDubit was possible to record the evolution of the space-time and to reproduce it in a number of frames in a low costoperation. Good agreement was obtained between experimental results and the predictions of the movementdynamical variables. Comparisons between these results and those obtained using expensive photogates weredone. These photogates shown bad results of the measurements done at the beginning of the movement.Keywords: mechanics, movement, body free fall, digital camera.

1. Introducao

O estudo de sistemas dinamicos de massa variavel eum capıtulo da Mecanica que propicia a aplicacao dasleis de Newton na solucao de problemas complexos dadinamica, como o de lancamento de foguetes e sondase do escoamento de fluidos ou partıculas solidas pe-quenas (graos), atraves de orifıcios de compartimen-tos fechados [1]. Nesta lista tambem podem entrar omovimento de massas de gelo nas calotas polares, osprocessos de avalanche nas regioes montanhosas, o pro-cesso erosivo nas dunas (como nos Lencois Maranhen-ses), o fluxo de massas gasosas na atmosfera terrestre ea fantastica movimentacao de lava durante as explosoesvulcanicas. A producao de esteiras transportadoras decargas e de maquinas industriais que carregam e deslo-cam partıculas granulosas tambem requer conhecimen-tos de sistemas de massa variavel.

Portanto, nas diversas areas do conhecimento hu-mano, como na fısica Aplicada, na astronomia, na me-teorologia e nas engenharias, o conhecimento das leisfenomenologicas que regem estes complexos sistemasdinamicos citados anteriormente e de fundamental im-portancia.

Experimentos que envolvem este assunto dadinamica devem ser implementados nos laboratorios defısica ou afins destes cursos da area de exatas. Isto enecessario porque atraves da experimentacao os alunosconseguem captar melhor os conceitos fısicos envolvi-dos, tornando o laboratorio um ambiente facilitador daaprendizagem cientıfico-tecnologica. Tambem o labo-ratorio deve ser implementador da saudavel comunhaonao so entre os alunos e os educadores, mas, principal-mente, entre a teoria e a pratica.

No estudo de sistemas de massas variaveis a com-

1E-mail: bogos@ita.br.

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preensao das leis da dinamica e fundamental para acorreta aplicacao do princıpio fundamental da dinamica(PFD) e da lei da conservacao do momento linear alemda interpretacao dos termos que surgem na aplicacaodo PFD nos corpos envolvidos. A pratica experimentalfavorece entao a compreensao do fenomeno estudado.Como exemplos de problemas praticos que envolvemum sistema de massa variavel e que geram as mais va-riadas interpretacoes possıveis aos incautos, podemoscitar o experimento da corrente de elos que cai verti-calmente sob a acao do campo gravitacional, com o elomais baixo encostado no chao e tambem o da correnteque se movimenta como “bungee jump”, ambos trata-dos em nosso artigo anterior [2]. No primeiro caso, acorrente tem intensidade de aceleracao igual a da gra-vidade local g e a forca aplicada pela corrente no chaoaumenta durante o tempo de queda, ate alcancar o tri-plo da forca peso total da corrente, quando entao oultimo elo atinge o chao. No tratamento teorico doproblema o elo que alcanca o chao com velocidade v(movimento uniformemente variado) para instantanea-mente numa colisao perfeitamente inelastica, aplicandouma forca ρv2 (ρ e a massa especıfica da corrente). Noinstante final da queda, em que toda a corrente ficaempilhada no chao, esta forca tem intensidade igual aodobro do peso da corrente que, somada a este peso, dao resultado final.

No segundo caso, do “bungee jumping”, a corrente epresa num ponto fixo acima do solo e a extremidade li-vre e abandonada do seu repouso a mesma altura desteponto fixo (corrente em forma de “U”), verificando-seaqui um interessante “paradoxo”: a intensidade da ace-leracao da extremidade da corrente em queda (a) e su-perior a da aceleracao da gravidade (g) [2]. Em artigorecente, Heck e cols. [3] ilustram bem como este pro-blema, que aparentemente seria mais um de queda li-vre, ainda surpreende inclusive fısicos teoricos, quandose defrontam com o fato de que a > g. A simplesintuicao nao basta para solucionar os problemas. Asolucao teorica deste em questao e extremamente com-plexa e, portanto, ha a necessidade da experimentacaopara comprovacao dos resultados obtidos e para a visu-alizacao do fenomeno.

Schagerl e cols. [4] dao uma explicacao bastantecriativa (ao estilo de Albert Einstein) para intuir esteresultado a > g: durante a queda da corrente, a porcaoesquerda presa ao teto permanece imovel na posicaovertical. O elo bi que chega ao ponto mais baixo datrajetoria, e que ira “agregar massa” ao ramo esquerdoimovel da corrente, estaciona neste ponto repentina-mente, sem oscilacao. Portanto, este elo bi executa umgiro de 180◦ e para. Para que isto ocorra, uma forca ver-tical Fi direcionada para cima deve ser aplicada nesteelo, atraves da uniao com o elo subsequente bi+1 quedesce, a fim de para-la. Por sua vez, a reacao a estaforca se da no elo bi+1, puxando-o para baixo (3a leide Newton). Esta forca e a responsavel pela aceleracao

adicional, acima do valor da aceleracao da gravidadelocal, desta parte da corrente. Novamente verificam-seaqui as ocorrencias de processos inelasticos.

Heck e cols. [3] relacionam artigos e autores teoricosque interpretam erroneamente o movimento da cor-rente, devido a nao observancia da correta aplicacao dasleis da dinamica e enfatizam a importancia fundamentalda experimentacao no processo ensino-aprendizagem.Objetivando principalmente os alunos do Ensino Medio,os autores tratam experimentalmente este problema do“bunge jumping” atraves do uso do pacote completocomputacional COACH, distribuıdo pela Fundacao Ho-landesa CMA [5] e implementado nas redes de ensinodeste paıs. No procedimento, filma-se o experimentoe a imagem captada por uma camera de alta veloci-dade (300 quadros por segundo) e enviada ao compu-tador que automaticamente fornece todas as variaveiscinematicas envolvidas, como trajetoria, posicao emfuncao do tempo, velocidade instantanea e aceleracao.O programa executa o tratamento de todos os graficosconstruıdos, como diferenciacao, integracao e ajuste decurvas, que dificilmente seriam realizados pelos alunos,principalmente do Ensino Medio. Resta aos alunos eao professor a interpretacao dos resultados. Observa-se, porem, que todo este processo envolve um custofinanceiro elevado.

Em nosso artigo anterior [2] nos apresentamos ummetodo bem mais economico, objetivando-se alunosuniversitarios. Este metodo tambem foi usado nopresente artigo e sua aplicacao e bastante simplesutilizando-se apenas uma filmadora e um microcom-putador: (a) prepara-se o local do experimento paraa filmagem, por exemplo, de um movimento pendular,nao se esquecendo de posicionar uma regua ou papelmilimetrado para posterior localizacao da posicao domovel durante seu movimento; (b) atraves de uma fil-madora digital (25 quadros/s ou mais) ou ate mesmouma webcam, de facil aquisicao pelos estabelecimentosde ensino e tambem pela maioria da populacao brasi-leira, registra-se o movimento a ser estudado; (c) usa-seo software VirtualDub [6], editor completo de audio evıdeo de domınio publico, para transformar o experi-mento gravado em quadros para posterior analise; (d)a partir destes quadros, pode-se construir facilmente ografico da posicao do movel em funcao do tempo. Porexemplo, com uma filmadora com 60 quadros por se-gundo consegue-se obter intervalos de tempo de apro-ximadamente 0,016 s por quadro entre dois pontos su-cessivos da trajetoria percorrida pelo movel; (e) final-mente, a partir do grafico da posicao em funcao dotempo, obtem-se outras variaveis dinamicas do pro-blema. Mais detalhes do metodo podem ser vistos naRef. [2].

Este metodo e muito util para situacoes em que omovimento de um corpo e bastante rapido, onde atemesmo sensores comerciais como os da Pasco R⃝ [7] naopossuem tempo de resposta apropriado. Heck e cols. [3]

Dinamica de massa variavel: corrente suspensa na maquina de Atwood 2310-3

citam nosso artigo [2] observando que nosso metodo uti-lizado envolve varias etapas a serem seguidas e que nometodo empregado por eles basta apenas fazer a filma-gem para posterior analise da mesma atraves do pacotecomputacional COACH [5]. Observamos que no nossometodo, o aluno devera construir todos os graficos ci-nematicos e dinamicos do movimento estudado a partirdos dados experimentais, utilizando para isto um soft-ware de graficos apropriado, e devera por fim confronta-los com a previsao teorica. Portanto, todo o procedi-mento posterior a filmagem fica a cargo do estudanteou do pesquisador. Deste modo, acreditamos que o pro-cesso de descoberta e de aprendizagem sera mais com-pleto, devido a necessidade da participacao ativa emcada uma das etapas deste processo.

Para uma outra exemplificacao da aplicabilidadedo nosso metodo, vamos mostrar um experimento dedinamica aparentemente simples, onde o estudante ouate mesmo o pesquisador experimentado dificilmenteconseguem prontamente dar uma resposta correta rela-tiva a evolucao do movimento. Este e um interessanteexperimento onde se mostra o movimento de dois cor-pos, ligados atraves de uma forca variavel no tempo esubmetidos a acao de uma forca externa constante, aforca gravitacional que atua no seu centro de massa,acelerando-o constantemente no tempo (Fig. 1). E ochamado sistema “massa – mola – massa”. O operadorsegura o corpo superior (A) que esta unido ao corpo in-ferior (B) atraves de uma mola distendida de 80 cm. Noexperimento, a mola de aco tem constante elastica K=13,6 N/m e A e B tem massas iguais a 1,0 kg cada (g =9,78 ms−2). A superfıcie pontilhada vertical serve paralocalizar espacialmente os moveis no decorrer do tempo.A Fig. 1 mostra o instante em que o corpo superior (A)e abandonado do seu repouso. Ate entao o operador narealidade fazia uma forca de aproximadamente 20 Npara sustentar o conjunto massa-mola-massa. Este ins-tante inicial e representado pelo quadro 124 e instante4,96 s. Curiosamente observa-se no quadro 129, ou seja,0,20 s apos o abandono, que o corpo inferior (B) prati-camente nao se mexeu. A Fig. 2 mostra a variacao daaceleracao dos corpos. A aceleracao do centro de massae dada pela media aritmetica das aceleracoes, de acordocom o PFD aplicado ao sistema. O que mais intriga aoobservador neste experimento e o fato onde o corpo B,de massa consideravel, inicialmente fica praticamenteparado e so comeca a se movimentar muito lentamentequando o corpo A ja desceu quase 0,40 m, no quadro129, apesar do sistema ter sido abandonado para quecaısse em queda livre.

O movimento do corpo A e muito rapido e estealcanca o corpo B em 0,32 s, portanto, mais rapidoque numa queda livre para uma altura equivalente,que ocorreria em 0,40 s. Visualmente fica imper-ceptıvel a nao movimentacao do corpo B durante aaproximacao do corpo A. Portanto, mesmo a olho nu,dificilmente consegue-se vislumbrar esta situacao. Daı

a importancia da aplicabilidade do nosso metodo de fil-magem nos processos dinamicos rapidos, onde a massaou a forca e variavel.

Figura 1 - Sistema ”massa - mola - massa”em queda livre.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

inte

nsi

dad

e d

a ac

eler

ação

(m

/s)

tempo (s)

corpo superior

corpo inferior

Figura 2 - Grafico da aceleracao das massas unidas por uma mola,situacao da Fig. 1.

No presente artigo, o metodo descrito anteriormentefoi usado no estudo do movimento de uma correntede elos inicialmente empilhada numa mesa. Esta cor-rente tem uma de suas extremidades atada a um fioinextensıvel que passa por uma polia fixa (maquina deAtwood) e termina presa a um corpo pendente a umacerta altura da mesa. Objetiva-se obter a aceleracao, avelocidade e a posicao da corrente em funcao do tempo,somente para o intervalo de tempo para o qual ela sobee atinge a altura maxima.

2. Abordagem teorica

A Fig. 3 mostra uma corrente metalica de elos empi-lhada sobre uma superfıcie horizontal. Esta corrente eigual aquela usada na Ref. [2]. A partir de uma dasextremidades da corrente, pende-se um fio fino, levee inextensıvel (fio de nylon de pesca com diametro de0,165 mm e que suporta ate 2,3 kg) que passa por uma

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polia fixa num suporte a 1 m da superfıcie horizontale se prende a um corpo suspenso. A polia (modeloda Pasco R⃝ ME-9498A com fotogate incorporado [7],ou outra polia leve qualquer) deve ter massa pequena(pequeno momento de inercia de rotacao) e girar livre-mente com muito baixo atrito de rolamento. O corposuspenso possui massa M = 0,015 kg e a corrente deelos, de comprimento total L = 0,89 m tem massa 2Me massa especıfica linear uniforme ρ. Deste modo, nasituacao de equilıbrio estatico, apenas a metade da cor-rente fica levantada, equilibrando-se com o corpo sus-penso.

Portanto, monta-se uma maquina de Atwood commassa variavel usando-se uma corrente de elos. Qual-quer deslocamento vertical dos corpos da situacao deequilıbrio descrita anteriormente gera um movimentoharmonico amortecido que facilmente pode ser obser-vado ou intuıdo. A Fig. 3(a) mostra as condicoes inici-ais usadas no experimento: a corrente fica totalmenteacomodada sobre a mesa e a velocidade inicial do sis-tema e nula, v0 = 0, abandonando-se o corpo suspensode sua posicao de repouso x = x0 = 0 no instante ini-cial t0 = 0. A partir deste instante, o corpo suspensodescera verticalmente enquanto que a corrente sofreramovimento ascendente com a mesma velocidade, devidoao vınculo atraves do fio de nylon, ate a nova posicaode repouso v1 = 0 na posicao x1 = L

√3/2 (Fig. 3(b)).

Esta situacao se repetira, num movimentoharmonico amortecido, ate que o sistema se equilibre.Este problema esta proposto no livro de dinamica deRouth [8] e foi tratado teoricamente no artigo do Prof.Satterly [9] e verificado experimentalmente. Porem, a

sua solucao teorica estava apenas parcialmente correta,pois em um artigo seguinte, Davis [10] mostra correta-mente que durante a queda da corrente, no movimentoposterior descendente (Fig. 3(c)), os elos que alcancama superfıcie horizontal com velocidade v chocam-seinelasticamente contra este apoio, fazendo com queuma forca vertical dirigida para cima de intensidadeρv2 atue na corrente remanescente. No artigo [2] nostambem verificamos este termo no movimento de umacorrente em queda livre. Deste modo Satterly [9] errouao incorporar este termo na equacao dinamica do mo-vimento descendente da corrente, considerando-a comouma forca dirigida para baixo. Por alguma razao des-conhecida, Satterly tambem cometeu deslizes na parteexperimental, anulando deste modo o erro anterior,resultando por fim em otima concordancia com suasconsideracoes teoricas. Esta situacao mostra que todoo cuidado deve ser tomado durante os procedimen-tos experimentais, pois a soma de erros consecutivosdurante a execucao do experimento pode levar a con-clusoes incorretas ou corroborar consideracoes teoricasinconsistentes previamente elaboradas.

O procedimento usado a seguir para as deducoes dasequacoes do movimento pode ser visto em detalhes naRef. [10] ou na Ref. [11], sendo que neste ultimo, oProf. Angel F. Garcia da Universidad del Paıs Vascodesenvolve tambem uma simulacao em linguagem Javado movimento ora apresentado.

Aplicando-se o PFD no corpo suspenso na situacaoonde a corrente sobe obtem-se

Mg − T =dpcorpo

dt= M

dv

dt, (1)

Figura 3 - Maquina de Atwood de massa variavel: corpo suspenso versus corrente de elos.

Dinamica de massa variavel: corrente suspensa na maquina de Atwood 2310-5

onde pcorpo e o momento linear do corpo de massa M eT e a forca tensora no fio. A corrente possui massa es-pecıfica constante ρ = 2M/L e, portanto, para a alturade elevacao x, a massa correspondente desta porcao dacorrente sera 2Mx/L. Assim, o PFD aplicado a cor-rente sera

T − 2Mx

Lg =

dpcorrentedt

=d

dt

(2Mx

Lv

). (2)

Com estes resultados, elimina-se T no sistema for-mado pelas duas equacoes anteriores, obtendo-se(

L

2+ x

)dv

dt=

(L

2− x

)g − v2. (3)

O termo diferencial que aparece na Eq. (3) podeser expresso na variavel x atraves do uso da regra dacadeia

dv

dt=

dx

dt

dv

dx= v

dv

dx=

1

2

dv2

dx. (4)

Finalmente, fazendo-se a mudanca de variavel u2 =(L/2 + x)2v2 e integrando-se a Eq. (3) obtem-se(

L

2+ x

)2

v2 − v20

(L

2+ x0

)2

=

2g

[(L

2

)2

x− x3

3

]− 2g

[(L

2

)2

x0 −x30

3

]. (5)

Substituindo-se as condicoes iniciais x0 = 0 e v0 = 0na Eq. (5), pode-se resolve-la para encontrar a novasituacao de repouso v1 = 0 em x1. Nesta posicao ocorpo alcanca a menor altura, para instantaneamente,e retorna verticalmente. Este ponto de retorno e dadopela posicao x1 = L

√3/2, que para a corrente empre-

gada neste experimento sera aproximadamente igual ax1 = 0,77 m.

3. Procedimentos experimentais e re-sultados

O metodo experimental utilizado esta descrito na Ref.[2]. Este metodo esta baseado no uso do software Vir-tualDub para a transformacao do filme em quadrosespacados em intervalos constantes de tempo, a fim depossibilitar a localizacao espaco-temporal do movel. Oprocedimento segue o fluxograma: Montagem do ex-perimento → execucao do experimento → filmagematraves da camera digital → conversao do vıdeo no for-mato avi, mpeg2 ou vob → uso do VirtualDub paratransformacao (verificacao) do filme em quadros→ con-feccao de uma tabela da posicao do movel (obtido qua-dro a quadro) em funcao do tempo → elaboracao degraficos cinematicos ou dinamicos atraves dos softwa-res Origin R⃝ou Excel R⃝.

A Fig. 3(a) mostra a situacao inicial a partir daqual o movimento sera estudado. Abandona-se o corpo

suspenso do ponto mais alto com velocidade nula, es-tando a corrente completamente imovel empilhada so-bre a mesa. O corpo desce e a corrente sobe, obtendo-sea localizacao da posicao de cada movel em funcao dotempo atraves de uma filmadora com 60 quadros porsegundo (aproximadamente 0,016s de incremento tem-poral). A Fig. 4 mostra os resultados obtidos para avariacao temporal da altura da corrente x(t). A alturamaxima obtida atraves do nosso metodo (VirtualDub)e tambem atraves do sensor da Pasco R⃝ foi a mesma,0,75 m. A Fig. 4 tambem mostra esta variacao daaltura atraves da solucao numerica da equacao diferen-cial (Eq. (3)), substituindo-se dv/dt por d2x/dt2e vpor dx/dt, obtendo-se esta equacao para x(t)

d2x(t)

dt2=

1

(0, 445 + x)

[9, 78(0, 445− x)−

(dx

dt

)2]. (6)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

alt

ura

da

co

rre

nte

(m)

tempo (s)

virtual Dub

solução numérica

Pasco®

Figura 4 - Altura alcancada pela corrente de elos em funcao dotempo.

A solucao numerica pode facilmente ser obtidaatraves do software Mathematica ou Maple, com ascondicoes de contorno especificadas anteriormente. Oerro na leitura da posicao no nosso metodo, atravesdo uso do VirtualDub, nao ultrapassou 5%. Observa-se uma boa concordancia entre os tres resultados naFig. 4, apesar da corrente se movimentar serpenteando,o que contribui para uma dissipacao de energia. A al-tura maxima dada numericamente foi de 0,77 m.

A Fig. 5 fornece a velocidade escalar instantaneav(t) da corrente (ou do peso suspenso) em funcao dotempo, para os tres metodos empregados. Atraves douso do sensor da Pasco R⃝ nao se conseguiu obter a ve-locidade nula inicial do movel, e o resultado foi de 0,66m/s. Isto ocorre porque a corrente inicia sua subidacom a sua aceleracao inicial igual em modulo ao dagravidade local, e que posteriormente diminui rapida-mente. Por outro lado, o sensor comeca a captar dadosda aceleracao angular da polia somente apos um giro de

2310-6 Sismanoglu et al.

36◦, o que equivale a 1,5 cm de deslocamento da cor-rente, o suficiente para uma boa variacao na velocidadeescalar. No nosso metodo (VirtualDub), utilizamos aEq. (5) para a determinacao de v(t). Substituindo-sev0(t0 = 0) = 0 nesta equacao, obtem-se

v =

√19, 56[0, 198x(t)− x(t)3/3]

0, 445 + x(t). (7)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

ve

locid

ad

ees

ca

lar

(m/s

)

tempo (s)

virtual Dub

solução numérica

Pasco

Figura 5 - Grafico da velocidade da corrente em funcao do tempo.

Na Eq. (7), x(t) foi obtido atraves dos quadros for-necidos pelo VirtualDub (ver Fig. 5). A velocidademaxima foi de 1,34 m/s no instante 0,25 s para osmetodos experimentais e 0,28 s na solucao numerica.Pode-se obter o grafico da velocidade tambem atravesda diferenciacao dx (t)/dt a partir do grafico da Fig. 4para o nosso metodo. Porem, ha a necessidade de seter mais pontos nesta figura. Este novo estudo estasendo feito com uma filmadora que gera 300 quadrospor segundo, e sera divulgado posteriormente. Nesteprocedimento, a maior dificuldade ocorre nos instantesiniciais do movimento, onde a variacao de aceleracao emuito grande.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

-4

-2

0

2

4

6

8

10

ace

lera

çã

oe

sc

ala

r(m

/s2)

tempo (s)

Virtual Dub

solução numérica

Pasco

Figura 6 - Grafico da aceleracao da corrente em funcao do tempo.

A Fig. 6 mostra a taxa de variacao temporal daaceleracao escalar instantanea da corrente. Observa-seque nos instantes iniciais, a taxa de variacao e muitogrande, conforme mostram em concordancia o nossometodo (VirtualDub) e a solucao numerica. Ja o uso dosensor da Pasco R⃝ nao conseguiu detectar esta variacao,fornecendo aceleracao inicial de aproximadamente 5,8m/s2, bem distante dos 9,78 m/s2. A aceleracao obtidapelo metodo VirtualDub foi calculada atraves da Eq.(6) com x(t) medido atraves da analise dos quadros dafilmagem do movimento e v(t) nesta equacao ja fora ob-tido anteriormente (Fig. 5). De acordo com a Fig. 6,no instante 0,27 s a aceleracao se anula e no ponto deretorno, na altura maxima da corrente, a aceleracao e-2,6 m/s2. Se analisassemos a evolucao da variacao daaceleracao apenas com o emprego das polias da Pasco R⃝,nao obterıamos corretamente a variacao da aceleracaonos instantes iniciais do movimento.

Por fim, atraves do metodo experimental da filma-gem com a utilizacao do VirtualDub, consegue-se obtero perfil da variacao da aceleracao em funcao do tempo eda variacao da velocidade sem ter que resolver numeri-camente a equacao diferencial do movimento. Destamaneira, torna-se valida a teoria desenvolvida sobrea dinamica do movimento ora apresentado, principal-mente atraves da boa concordancia observada na Fig.4 para os tres metodos empregados, que fornece o perfilda variacao da posicao do movel em funcao do tempo.Em futuros experimentos abordaremos todos os movi-mentos executados pelo sistema, na subida e na descidada corrente, que executa um movimento amortecido.

Estes experimentos descritos neste artigo sao ob-jeto de estudo nas aulas teoricas de dinamica do cursode Engenharia do Instituto Tecnologico de Aeronautica(ITA), ministradas no Departamento de Fısica peloProf. Silverio Germano. A abordagem exclusivamenteteorica dos fenomenos relacionados a dinamica de massavariavel ou a movimentos rapidos onde a aceleracaoe superior a da gravidade, como no caso do “bungeejumping”, nao favorece o desenvolvimento do processoensino-aprendizagem visto que e extremamente difıcilvisualizar os aspectos fısicos envolvidos sem que se te-nha um conjunto de experimentos capazes de reprodu-zir o assunto estudado. Estes experimentos devem serbaratos e de facil execucao para que se possam realiza-los amplamente na rede publica alem das instituicoesparticulares. A partir do ano de 2007 o Prof. BogosSismanoglu, coordenador do Laboratorio de Mecanica,Som e Calor, em parceria com os Profs. R. F. Caetano eMarcos Rezende, iniciou a criacao e a montagem destesexperimentos sugeridos neste artigo e no artigo anterior[2], alem de outros. Estes experimentos sao baseadosgeralmente na utilizacao de filmadoras e de sensores.Com a colaboracao do Prof. Silverio alguns experimen-tos e suas correspondentes simulacoes foram emprega-dos em sala de aula como complementacao da aborda-gem teorica e outros foram usados em laboratorio, seja

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para a apresentacao de novas ferramentas matematicase softwares como tambem para o conhecimento de ex-perimentos de mecanica mais complexos que envolvema dinamica de massa variavel, forca variavel no tempoe sistemas massa-mola. Com isto, alguns aspectos im-portantes destes experimentos foram discutidos e es-tudados com mais detalhes, devido a riqueza das in-formacoes obtidas atraves das observacoes e dos estudosfeitos a partir da experimentacao.

4. Conclusao

Apesar de ser um topico bastante estudado nos cur-sos de fısica e engenharia, nao ha muitos experimentossobre o tema “dinamica de massa variavel”, especial-mente aqueles em que nao ha a necessidade de grandesgastos financeiros para sua implementacao e execucao.Por ser um experimento que geralmente envolve grandesvariacoes na aceleracao ou na velocidade dos moveis, ouso de sensores eletronicos, como os fotogates, ou defilmadoras digitais, contribui bastante no processo deaquisicao de dados.

Atraves da ferramenta gratuita VirtualDubconsegue-se converter uma filmagem em um deter-minado numero de quadros. Estes quadros saoespacados em intervalos de tempo fixos e, portanto,consegue-se facilmente localizar um certo objetoespaco-temporalmente. Se o objeto e um ponto ma-terial em movimento, obtem-se a posicao deste emfuncao do tempo. Se por outro lado o objeto e umamola que se deforma, pode-se determinar a variacao daforca elastica.

Conhecendo-se as equacoes do movimento atravesda teoria fısica envolvida, podem-se obter as variaveis

dinamicas e cinematicas atraves do metodo da filmagemsimplesmente a partir do grafico da posicao do movelem funcao do tempo. Este metodo pode ser empregadonos casos em que as equacoes do movimento sao extre-mamente complexas, onde se requer solucao numerica.

Nos casos em que o movimento estudado inicia-secom grande variacao de aceleracao, o uso de sensoresde aceleracao, como os da Pasco R⃝, nao fornece de ma-neira simples o resultado esperado, devido a detalhesde fabricacao e limitacoes do proprio sensor. Para estesmovimentos, o uso do VirtualDub para tratamento dasimagens geradas forneceu bons resultados comparadoscom aqueles obtidos atraves de metodos numericos.

Referencias

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