Dinamica de Polonomios quadraticos e oQuebra-cabeca de Yoccoz

Arcelino LobatoOrientador: Sylvain Bonnot

IME - USP

Marco 18, 2016

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

O que veremos

1 Breve historico.

2 Nocoes gerais.

3 A famılia quadratica.

4 O quebra-cabeca de Yoccoz.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

O que veremos

1 Breve historico.

2 Nocoes gerais.

3 A famılia quadratica.

4 O quebra-cabeca de Yoccoz.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

O que veremos

1 Breve historico.

2 Nocoes gerais.

3 A famılia quadratica.

4 O quebra-cabeca de Yoccoz.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

O que veremos

1 Breve historico.

2 Nocoes gerais.

3 A famılia quadratica.

4 O quebra-cabeca de Yoccoz.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

O que veremos

1 Breve historico.

2 Nocoes gerais.

3 A famılia quadratica.

4 O quebra-cabeca de Yoccoz.

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Breve historico

1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);

2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);

3 C.L.Siegel (1942);

4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).

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Breve historico

1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);

2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);

3 C.L.Siegel (1942);

4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).

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Breve historico

1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);

2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);

3 C.L.Siegel (1942);

4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Breve historico

1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);

2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);

3 C.L.Siegel (1942);

4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Breve historico

1 Cayley-Metodo de Newton em C (1879);

2 G. Julia e P. Fatou-Estudo sistematico de iteracoes de funcoesholomorfas (inıcio do seculo XX);

3 C.L.Siegel (1942);

4 Douady e Hubbard-Renascimento da dinamica holomorfa(inıcio dos anos 80).

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Dinamica holomorfa

Interesse:

entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes

,

onde f : C −→ C e holomorfa

Definicao (funcao holomorfa)

Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:

f (z) =∑

n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).

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Dinamica holomorfa

Interesse:entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes

,

onde f : C −→ C e holomorfa

Definicao (funcao holomorfa)

Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:

f (z) =∑

n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).

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Dinamica holomorfa

Interesse:entender o comportamento de f ◦n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n vezes

,

onde f : C −→ C e holomorfa

Definicao (funcao holomorfa)

Seja U ⊂ C um conjunto aberto. Vamos dizer que uma funcaof : U −→ C e holomorfa se para cada ponto z0 ∈ U existe umabola Bε(z0) ⊂ U de raio ε > 0 tal que f nessa bola pode ser escritacomo uma serie potencias convergente:

f (z) =∑

n≥0 an(z − z0)n para todo z ∈ Bε(z0).

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Dinamica holomorfa

A esfera de Riemann

C := C⋃{∞}

Com a topologiaτ := {U ⊂ C;U e aberto}

⋃{C−K∪{∞};K ⊂ C e compacto},

C e um espaco topologico compacto Hausdorff homeomorfo a S2.

U1 = C e Id(z) = z em U1;

U2 = C− {0}⋃{∞} e i(z) = 1

z em C− {0} e i(∞) = 0,

e um atlas holomorfo.

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Dinamica holomorfa

A esfera de Riemann

Funcao holomorfa na esfera de Riemann

Uma funcao f : C −→ C e holomorfa se f : C −→ C for holomorfa

e z 7→ 1

f ( 1z )

for holomorfa em uma vizinhanca de 0.

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Dinamica holomorfa

A esfera de Riemann

Funcao holomorfa na esfera de Riemann

Uma funcao f : C −→ C e holomorfa se f : C −→ C for holomorfa

e z 7→ 1

f ( 1z )

for holomorfa em uma vizinhanca de 0.

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Dinamica holomorfa

Extensao de um polinomio quadratico Pc = z2 + c em CNa variavel, w = 1

z , a aplicacao e dada numa vizinhanca de 0 por

w 7→ w2

1 + cw2= w2(1− cw2 + · · · ) = w2 − cw4 + · · · ,

logo holomorfa.

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Dinamica Holomorfa

A famılia quadratica

Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}

E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;

Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.

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Dinamica Holomorfa

A famılia quadratica

Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}

E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;

Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.

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Dinamica Holomorfa

A famılia quadratica

Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}

E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;

Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.

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Dinamica Holomorfa

A famılia quadratica

Q := {Pc ∈ Hol(C, C);Pc : z 7→ z2 + c com c ∈ C}

E a famılia que mais se estudou em Dinamica Holomorfa;

Todo polinomio quadratico P(z) = az2 + 2bz + d econformemente conjugado ao polinomio Pc(z) = z2 + c coma conjugacao S(z) = az + b e c = ad + b − b2.

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Exemplo P0 = z2

Escrevendo z = re2πit teremos Pn0 (z) = r2ne2n+1πit , temos:

1 Pn0 (z)→∞ se r = |z | > 1;

2 Pn0 (z)→ 0 se r = |z | < 1;

3 sobre o cırculo |z | = 1, f e conjugada a S(t) = 2t mod 1.Se escrevemos t na expansao 2-adica S sera a aplicacaodeslocamento(shift).

4 note que P0(0) = 0 com P ′0(0) = 0 e P0(∞) =∞ comP ′0(∞) = 0

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Dinamica Holomorfa

Julia cheio K (Pc)

K (Pc) := {z ∈ C; supn≥ 0

{|Pnc (z)|} < +∞}

Exemplo

Figure: Julia cheioArcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Exemplo

Figure: Julia cheio

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de K (Pc)

1 K (Pc) 6= ∅;

2 K (Pc) e compacto;

3 C− K (Pc) e conexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de K (Pc)

1 K (Pc) 6= ∅;

2 K (Pc) e compacto;

3 C− K (Pc) e conexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de K (Pc)

1 K (Pc) 6= ∅;

2 K (Pc) e compacto;

3 C− K (Pc) e conexo.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Propriedades de K (Pc)

1 K (Pc) 6= ∅;

2 K (Pc) e compacto;

3 C− K (Pc) e conexo.

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Julia J (Pc)

J (Pc) := ∂K (Pc)

Exemplo

(a) J (f−1) (b) J (f−0.123+i0.744))

Figure: conjunto de Julia

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Julia J (Pc)

J (Pc) := ∂K (Pc)

Exemplo

(a) J (f−1) (b) J (f−0.123+i0.744))

Figure: conjunto de JuliaArcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Exemplo

(b) J (Pc); c =0.272371708245126 +i0.00115124735378853

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de J (Pc)

1 J (Pc) 6= ∅;

2 J (Pc) e compacto;

3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.

Teorema

Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de J (Pc)

1 J (Pc) 6= ∅;

2 J (Pc) e compacto;

3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.

Teorema

Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de J (Pc)

1 J (Pc) 6= ∅;

2 J (Pc) e compacto;

3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.

Teorema

Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de J (Pc)

1 J (Pc) 6= ∅;

2 J (Pc) e compacto;

3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.

Teorema

Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.

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Dinamica Holomorfa

Propriedades de J (Pc)

1 J (Pc) 6= ∅;

2 J (Pc) e compacto;

3 forte dicotomia: J (Pc) e conexo ou um conjunto de Cantor.

Teorema

Se f nc (0)→∞, entao, J (Pc) e totalmente disconexo.

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Fatou

F(Pc) := C− J (Pc)

Propiedades de F(f ) e J (f )

1 F(f ) e aberto

2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )

3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Fatou

F(Pc) := C− J (Pc)

Propiedades de F(f ) e J (f )

1 F(f ) e aberto

2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )

3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Fatou

F(Pc) := C− J (Pc)

Propiedades de F(f ) e J (f )

1 F(f ) e aberto

2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )

3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Fatou

F(Pc) := C− J (Pc)

Propiedades de F(f ) e J (f )

1 F(f ) e aberto

2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )

3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Fatou

F(Pc) := C− J (Pc)

Propiedades de F(f ) e J (f )

1 F(f ) e aberto

2 F(f ) e J (f ) sao totalmente invariantes;i.e. f (F(f )) ⊂ F(f )e f −1(F(f )) ⊂ F(f )

3 F(f n) = F(f ) ⇒ J (f n) = J (f )

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Dinamica Holomorfa

Alguns problemas

1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;

2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff

Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.

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Dinamica Holomorfa

Alguns problemas

1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;

2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff

Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.

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Dinamica Holomorfa

Alguns problemas

1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;

2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff

Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.

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Dinamica Holomorfa

Alguns problemas

1 Topologia: obter um modelo simples que descreva a topologiado Julia;

2 Geometria: Medida de Lebesgue e Dimensao de Hausdorff

Para o caso de polinomios quadraticos, a dinamica dascomponentes do conjunto de Fatou e um problema completamenteresolvido.

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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)

Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U

1 U e uma bacia atratora;

2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;

3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;

4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.

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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)

Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U

1 U e uma bacia atratora;

2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;

3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;

4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.

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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)

Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U

1 U e uma bacia atratora;

2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;

3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;

4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.

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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)

Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U

1 U e uma bacia atratora;

2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;

3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;

4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.

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Teorema (Teorema de classificacao de Sullivan)

Seja f uma funcao racional com grau(f ) ≥ 2 e U uma componenteperiodica do conjunto de Fatou, entao uma, e apenas uma, dasseguintes opcoes e satisfeita por U

1 U e uma bacia atratora;

2 U e uma petala atratora de um cıclo parabolico,isto e, existez0 ∈ ∂U tal que todo ponto de U converge para z0 poriteracao de f ;

3 U e simplesmente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional no disco unitario;

4 U e duplamente conexo e f |U : U −→ U e conformementeconjugada a uma rotacao irracional em um anel.

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Dinamica Holomorfa

(c) bacia de atracao (d) Petala atratora

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Dinamica Holomorfa

(e) Disco de Siegel (f) Anel de Herman

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Mandelbrot

M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}= {c ∈ C; sup

n≥0{f nc (0)} <∞}

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Mandelbrot

M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}

= {c ∈ C; supn≥0{f nc (0)} <∞}

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Dinamica Holomorfa

O conjunto de Mandelbrot

M := {c ∈ C;J (Pc) e conexo}= {c ∈ C; sup

n≥0{f nc (0)} <∞}

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Dinamica Holomorfa

Figure: Conjunto de Mandelbrot

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(a) Mandelbrot (b) pequena copia de M em M

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Dinamica Holomorfa

Conjectura (Douady-Hubbard)

M e localmente conexo.

Ja temos pronto um modelo topologico-combinatorio para M casoele seja localmente conexo.

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Dinamica Holomorfa

Conjectura (Douady-Hubbard)

M e localmente conexo.

Ja temos pronto um modelo topologico-combinatorio para M casoele seja localmente conexo.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

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Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa

Ponto fixo

z0 ∈ C tal que Pc(z0) = z0.

multiplicador de um ponto fixo: λ := f ′(z0)

1 Se |λ| < 1 denominamos z0 de ponto fixo atrator;

Se |λ| = 0 denominamos z0 de ponto fixo superatrator;

2 Se |λ| > 1 denominamos z0 de ponto fixo repulsor;

3 Se |λ| = 1 denominamos z0 de ponto fixo indiferente:

Se λ = e2πi pq com pq ∈ Q, denominamos z0 de ponto fixo

parabolico;

Se nao, denominamos z0 de ponto fixo irracionalmenteindiferente.

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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher

Teorema

Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao

φ : {|z | > R} −→ C

que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.

φ e chamada de coordenada de Bottcher.

Teorema

Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.

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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher

Teorema

Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao

φ : {|z | > R} −→ C

que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.

φ e chamada de coordenada de Bottcher.

Teorema

Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.

Arcelino Lobato Dinamica de Polonomios quadraticos e o Quebra-cabeca de Yoccoz

Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher

Teorema

Dada Pc . Para R grande o suficiente existe uma unica aplicacao

φ : {|z | > R} −→ C

que e biholomorfa de V := {|z | > R} em φ(V ) tal queφ(Pc(z)) = (φ(z))2.

φ e chamada de coordenada de Bottcher.

Teorema

Se c ∈M a coordenada de Bottcher φ nos da a uniformizacao deC− K (Pc), isto e, φ e a aplicacao de Riemann de C− K (Pc) ateC− D.

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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais

Definicao (Raio externo)

Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}

Definicao (Equipotencial)

Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}

Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc

R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.

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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais

Definicao (Raio externo)

Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}

Definicao (Equipotencial)

Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}

Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc

R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.

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Dinamica Holomorfa-Raios externos e equipotenciais

Definicao (Raio externo)

Dado t ∈ R mod 1 definimos a curvaRt := {z ∈ C; arg (φ(z)) = t}

Definicao (Equipotencial)

Dado R > 1 definimos a curva ER := {z ∈ C; |φ(z)| = R}

Como Pc = φ−1 ◦ θ ◦ φ em C− K (Pc), onde θ(z) := z2, temosPc(Rt) = R2t e Pc(ER) = ER2 . Em particular,se t0 e periodicopara t 7→ 2t mod 1, entao Rt0 e aplicado sobre si por algumiterado de Pc

R0 e o unico raio de K (Pc) que e fixo.

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Dinamica Holomorfa-A Coordenada de Bottcher

(c) raios externos (d) equipotenciais

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Dinamica Holomorfa-Quebra-cabeca de Yoccoz

Figure: Conjugacao

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Dinamica Holomorfa-Quebra-cabeca de Yoccoz

E uma particao dinamica do Julia cheio.

Figure: A basılica

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Dinamica Holomorfa

Aplicacoes

1 descricao combinatoria do Julia;

2 area e conexidade local do Julia;

3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;

4 rigidez combinatoria;

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Dinamica Holomorfa

Aplicacoes

1 descricao combinatoria do Julia;

2 area e conexidade local do Julia;

3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;

4 rigidez combinatoria;

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Dinamica Holomorfa

Aplicacoes

1 descricao combinatoria do Julia;

2 area e conexidade local do Julia;

3 conexidade local do Mandelbrot e a area de sua fronteira;

4 rigidez combinatoria;

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Referencias:

MILNOR, John. Dynamics in one complex variable, 3rdedition. Annals of Mathematics studies series no.160,Princeton University Press, 2006.

MILNOR, John. Local connectivity of the Julia sets:expositorylectures, in The Mandelbrot Set, Theme and Variations, Edit.Tan Lei. Cambridge U. Press, Cambridge, UK, 67-116, 2014.

L. Carleson and T. Gamelin. Complex Dynamics,Springer-Verlag, New York, 1993.

C. McMullen. Complex Dynamics and Renormalization, Ann.Math. Studies 135, Princeton U. Press, Princeton, 1994.

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OBRIGADO!

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