geometria diferencial de curvas e din^amica da part cula

Universidade Federal Fluminense

Instituto de Fısica

Geometria Diferencial de Curvas e

Dinamica da Partıcula

Antonio Duarte Pereira Junior

ORIENTADOR: Nivaldo Agostinho Lemos

Niteroi-RJ

2011

ANTONIO DUARTE PEREIRA JUNIOR

GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS E DINAMICA DA PARTICULA

Trabalho de monografia apresentado ao

curso de graduacao em Fısica -

Bacharelado, da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial a

conclusao do curso.

Orientador: Prof. Dr. NIVALDO AGOSTINHO LEMOS

Niteroi-RJ

2011

2

Ao meu avo Quarterolli, o melhor avo do

mundo.

Agradecimentos

Depois de pensar muito sobre como expor de uma forma original meus agradecimentos

neste espaco, acabei nao encontrando algo melhor que o cliche. Muitas pessoas foram

fundamentais durante todo o perıodo universitario, de modo que se torna impossıvel

(apesar de injusto) citar todos os nomes. Sendo assim, antes de qualquer injustica, gostaria

de agradecer a todas as pessoas que me ajudaram nesta fase. Evidentemente, alguns

agradecimentos merecem destaque.

Inicio entao, com meus sinceros agradecimentos ao Prof. Nivaldo Lemos, que me

recebeu com muita paciencia e confianca desde o primeiro perıodo da faculdade. Sua

forma de pensar, ensinar e pesquisar foram uma verdadeira inspiracao para minha carreira

cientıfica. Agradeco por tudo nesses quatro anos, desde conversas existenciais ate sua

paciente orientacao. Muito obrigado, professor.

Agradeco tambem a diversos professores do IF-UFF, por diversas conversas, conselhos

e ensinamentos. Aos professores Jorge Sa Martins, Marco Moriconi, Ernesto Galvao,

Rodrigo Sobreiro, Daniel Jonathan, Marcelo Sarandy e Caio Lewenkopf. Sem duvida,

todos me motivaram e serviram de exemplo para minha caminhada ate aqui.

Nao posso deixar de agradecer as funcionarias da biblioteca, pela eficiencia, atencao

e bom humor.

A faculdade foi muito mais legal com os amigos que fiz ao longo desses anos de UFF.

Eles foram fundamentais em todos os momentos, desde crises existenciais ate em conversas

aleatorias sobre tema nenhum. Agradeco a Laıs, Rogerio, Samir, Rosembergue, Claudio

e Gabriel.

Preciso destacar tres pessoas que conheci nesse tempo: Leonardo Silveira, Allan Vieira

e Pedro Rangel. Sem duvida, eles transcederam a categoria de amigos e se tornaram

uma verdadeira famılia. Pessoas que eu posso contar para qualquer coisa, em qualquer

momento. Todas as conversas, salgadinhos e estudos foram sensacionais. Nao teria con-

seguido sem voces. Obrigado, de verdade.

4

As pessoas que me apoiam em qualquer situacao, me lotam de carinho e atencao:

meus pais Therezinha e Antonio, minha irma Carol, minha avo Therezinha, meu primo

Pedro e meus tios Lidia e Antonio. Muito obrigado.

E difıcil agradecer tudo que minha famılia fez por mim durante todos esses anos.

Sempre apoiaram todas as minhas decisoes, me ajudaram em todas as dificuldades e me

incentivaram a seguir “a profissao que queria”. Agradeco demais pelo amor e carinho que

todos tem por mim. Voces sao a base de tudo.

Ha poucos anos, conheci uma pessoa que transformou completamente minha visao

das coisas. Todo seu apoio, companhia, amizade e carinho, me fizeram superar problemas

antigos, enfrentar novos e saber lidar com os atuais. Aprendi a viver. Nao sei como

agradecer. Sou muito feliz com voce, Anna Gabriela Costa.

Adradeco tambem a minha famılia do Engenho do Mato (Itacoatiara), Tereza, An-

tonio, Sandra, Bruna, Liana e Tio Tucao, por terem me recebido com tanto carinho e

amizade. Acho que nunca ri tanto antes.

Aos meus amigos Brenno, Julia, Bruno, Duim, Izabella, Lomelino, Stephanie, Jimmy,

Fred, Victor e Stefan. Eles foram fundamentais antes, durante e certamente serao depois

da vida universitaria. Muito obrigado, por tudo.

Por fim, agradeco ao CNPq e a PROPPI – pelo suporte financeiro durante meu

projeto de iniciacao cientıfica.

5

“Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.”

(V. I. Arnold)

Resumo

A geometria diferencial de curvas e aplicada a dinamica de uma partıcula em movimento

no espaco tridimensional. As propriedades geometricas da trajetoria sao expressas em

termos de grandezas dinamicas associadas ao movimento. Estudamos, em particular,

a conexao entre a curvatura, a torcao e a forca a que a partıcula esta sujeita. Sao

encontradas as condicoes gerais que uma forca deve satisfazer para que a trajetoria seja

plana independentemente das condicoes iniciais.

Abstract

The differential geometry of curves is applied to the dynamics of a particle moving in

tridimensional space. The geometric properties of the trajectory are expressed in terms of

dynamical quantities associated with the motion. In particular, we study how curvature

and torsion are connected with the force on the particle. General conditions are found

that a force has to satisfy in order that the trajectory lies on a plane irrespective of the

initial conditions.

Sumario

Agradecimentos 3

Resumo 6

Abstract 7

1 Introducao 10

2 Geometria Diferencial de Curvas 12

12

2.2 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Vetor Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Reparametrizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Teoria Local das Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.3 Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Aplicacoes a Mecanica Classica 26

3.1 Conexao entre grandezas dinamicas e a curvatura . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Conexao entre grandezas dinamicas e a torcao . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Forcas que produzem somente trajetorias planas 31

4.1 Forca independente da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Forcas dependentes da velocidade — Caso Eletromagnetico . . . . . . . . . 34

5 Curvas seccionalmente regulares 38

8

SUMARIO 9

6 Conclusao 39

Capıtulo 1

Introducao

A fısica teorica contemporanea tem a matematica como algo muito mais profundo

do que simplesmente linguagem. O uso de assuntos sofisticados da matematica tem sido

fundamental para o desenvolvimento da fısica teorica, pois atraves dessa sofisticacao, surge

um mecanismo para criar e responder perguntas que seriam obscuras numa abordagem

menos sofisticada [1, 2].

Um dos assuntos matematicos mais importantes para a fısica contemportanea, cujas

aplicacoes varrem um largo espectro, desde mecanica classica ate a teoria da

relatividade geral de Einstein, e a geometria diferencial. Para a mecanica classica, em

particular, a geometria diferencial de curvas e superfıcies desempenha um papel muito

importante, pois esta e a disciplina matematica adequada para descrever as propriedades

das trajetorias seguidas por partıculas e para descrever os vınculos (superfıcies) aos quais

uma partıcula esta submetida.

Existe uma divisao da geometria diferencial de curvas e superfıcies em dois aspectos:

um, e o que e conhecido na literatura como geometria diferencial classica, onde e feito

o estudo da teoria local das curvas e superfıcies. As propriedades locais sao aquelas que

dependem do comportamento da curva ou da superfıcie em uma certa vizinhanca de um

ponto. O segundo aspecto e o que chamamos de geometria diferencial global, onde e feito

um estudo da influencia das propriedades locais sobre o comportamento da curva ou da

superfıcie como um todo [5].

Desta forma, utilizamos a geometria diferencial classica de curvas no espaco tridimen-

sional para estudar a trajetoria seguida por uma partıcula devido a uma forca. Vemos que

existe uma ıntima relacao entre as caracterısticas geometricas da trajetoria e as grandezas

dinamicas associadas a partıcula.

10

CAPITULO 1. INTRODUCAO 11

Neste trabalho expressamos as propriedades geometricas da trajetoria de uma partıcula

em termos da forca aplicada e de outras grandezas associadas ao movimento. Com essa

conexao estabelecida, encontramos as condicoes que uma forca deve satisfazer para que

as trajetorias geradas por sua aplicacao sejam planas independentemente das condicoes

inicias [8].

Capıtulo 2

Geometria Diferencial de Curvas

2.1 Curvas Parametrizadas1

Uma nocao intuitiva que podemos usar para explicar o que e uma curva e a seguinte:

uma curva e a trajetoria seguida por uma partıcula em movimento. Ainda que nao seja

uma definicao para curvas, a ideia da trajetoria sera extremamente util para o entendi-

mento de alguns conceitos. Apesar de podermos definir curvas no Rn, em geral, nossa

discussao se concentrara nos casos em que n = 2, 3.

Definicao 1. Uma curva parametrizada em Rn e uma aplicacao α : (a, b) → Rn para

−∞ ≤ a < b ≤ ∞. Cabe ressaltar que (a, b) denota um intervalo aberto, i.e., (a, b) =

{t ∈ R|a < t < b}. A variavel t ∈ (a, b) e chamada de parametro da curva e o subconjunto

de Rn de traco da curva.

Obs: (1) Muitas vezes, confundimos uma curva com seu traco. Devemos perceber que

uma curva e uma aplicacao e o traco e um subconjunto de Rn. Seguem alguns exemplos

para ilustrar o que foi dito. (2) Durante nossa discussao sobre os aspectos fundamentais

da geometria diferencial, utilizaremos a notacao α(t) para representar uma curva. Nas

aplicacoes, utilizaremos a notacao preferida pelos fısicos, onde r(t) denota a curva que

representa a trajetoria de uma partıcula.

Exemplo 1. A aplicacao α : R → R2 dada por α(t) = (t3, t2), t ∈ R e uma curva

parametrizada cujo traco esta na figura 1.

1Mais detalhes sobre o assunto podem ser encontrados em [4, 5]

12

CAPITULO 2. GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS 13

Figura 2.1: Figura 1

Repare que a figura mostra o traco da curva, enquanto α e a curva.

Exemplo 2. A aplicacao α : R→ R2 dada por α(t) = (t3−4t, t2−4), t ∈ R, e uma curva

parametrizada (veja figura 2). Observe que α(2) = α(−2) = (0, 0), isto e, a aplicacao nao

e injetiva.


Introduziremos a importante nocao de comprimento de arco. Mas, para isso, pre-

cisamos definir a derivada de uma funcao de valores vetoriais.

Definicao 2. Seja uma aplicacao α : R→ Rn. Definimos a derivada de α em relacao a t


(denotada por dαdt

) como sendo o limite

limδt→0

α(t+ δt)− α(t)

δt=dα

dt. (2.1)

Uma consequencia disso e que obtemos a derivada de funcoes desse tipo, derivando cada

componente, isto e,dα

dt=

(dα1

dt,dα2

dt, ...,

dαndt

), (2.2)

onde α = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)).

Obs: (1) Derivadas de ordens superiores sao obtidas da mesma maneira. (2) Uti-

lizaremos a notacao α para exprimir dαdt

, α para d2αdt2

e assim por diante. (3) Dizemos que

uma curva α e diferenciavel se cada componente de α e diferenciavel.

2.2 Comprimento de Arco

2.2.1 Vetor Tangente

Definicao 3. Se α(t) e uma curva parametrizada, sua primeira derivada dαdt

e chamada

de vetor tangente de α no ponto α(t).

A razao desta terminologia e simples de se entender. Note que o vetor

α(t+ δt)− α(t)

δt

e paralelo a corda que liga os pontos α(t) e α(t+ δt) como mostra a figura 3.

Fica simples de perceber que no limite em que δt → 0 a corda se torna paralela a reta

tangente que passa por α(t). Daı a terminologia vetor tangente.

Teorema 1. Se o vetor tangente de uma curva parametrizada e constante, entao a imagem

da curva e (parte de) uma linha reta.

Demonstracao. Se α(t) = c, ∀t, onde c e um vetor constante, temos que

α(t) =

∫dα

dtdt =

∫cdt = ct+ k, (2.3)

onde k tambem e um vetor constante.



Exemplo 3. O angulo entre α(t) e α(t) e independente de t para a espiral logarıtmica

α(t) = (et cos t, et sin t).

Demonstracao: α(t) = (et cos t, et sin t) e α(t) = (et cos t − et sin t, et sin t + et cos t).

Tomando o produto escalar α(t) · α(t), temos a igualdade:

α(t) · α(t) = e2t cos2 t− e2t sin t cos t+ e2t sin2 t+ e2t sin t cos t = e2t

por outro lado

α(t) · α(t) =√

2e2t cos θ. (2.4)

Assim, cos θ = 1√2.

Obs: A definicao de curvas parametrizadas que foi exposta inclui alguns ”objetos”que

intuitivamente nao classificarıamos como curvas. Um exemplo e o seguinte: seja a curva

parametrizada α(t) = (1, 5). O traco de α e um ponto e com certeza isto nao faz parte

da nossa ideia intuitiva de curvas. Outro exemplo e o de uma trajetoria seguida por uma

partıcula que a partir de um certo instante t fica em repouso durante algum intervalo ∆t

e depois continua o movimento. Se olharmos o ”rastro”deixado pela partıcula conseguire-

mos identificar o traco de alguma curva, mas sabemos que durante um ∆t a aplicacao

α(t) tera de ser igual a um ponto (a, b) fixo. Para eliminarmos tais situacoes faremos uso

do conceito de curva regular.

Definicao 4. Uma curva diferenciavel parametrizada α : I → Rn e chamada regular se


α(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

2.2.2 Comprimento de Arco

Definicao 5. Seja α(t) : I → Rn uma curva parametrizada regular e t0 ∈ I. Define-se

como comprimento de arco a partir de t0 a funcao

s(t) =

∫ t

t0

‖α(t)‖ dt, (2.5)

onde

‖α(t)‖ =√

(α1(t))2 + (α2(t))2 + · · ·+ (αn(t))2. (2.6)

Pelo teorema fundamental do calculo, temos que dsdt

= ‖α(t)‖.E facil de se obter uma motivacao geometrica para a definicao de comprimento de

arco. Seja α(t) uma curva parametrizada regular. Para δt pequeno, os pontos α(t) e

α(t+ δt) podem ser ligados por uma linha reta e seu comprimento e aproximadamente

‖α(t+ δt)− α(t)‖ (2.7)

Para δt suficientemente pequeno, α(t+δt)−α(t)δt

e aproximadamente igual a α(t) e o compri-

mento pode ser aproximado por

‖α(t)‖ δt.

Assim, se quisermos calcular o comprimento de uma parte da imagem da curva, podemos

dividi-la em pequenos segmentos, calcular o comprimento de cada segmento e adicionar

os resultados. Para δt→ 0, esta soma se torna a funcao s(t).

2.3 Reparametrizacao

Seja a parabola y = x2. Vamos encontrar uma parametrizacao α(t) para esta curva.

Como α(t) = (α1(t), α2(t)), temos que as componentes devem satisfazer a seguinte igual-

dade:

α2(t) = (α1(t))2. (2.8)

Uma possıvel parametrizacao e α1(t) = t e α2(t) = t2. Entretanto, podemos tomar outra

parametrizacao, como α(t) = (t3, t6), ou α(t) = (2t2, 4t4), ou seja, a parametrizacao de


uma curva dada nao e unica. O objetivo desta secao e entender a relacao entre as possıveis

parametrizacoes de uma curva.

Definicao 6. Uma curva parametrizada α : (a, b) → Rn e uma reparametrizacao de

uma curva parametrizada α : (a, b)→ Rn se existe uma aplicacao diferenciavel e bijetiva

φ : (a, b) → (a, b) (a aplicacao de reparametrizacao) tal que a aplicacao inversa φ−1 :

(a, b)→ (a, b) tambem e diferenciavel e

α(t) = α(φ(t)), ∀t ∈ (a, b). (2.9)

Note que, como φ possui inversa diferenciavel, α e uma reparametrizacao de α.

α(φ−1(t)) = α(φ(φ−1(t))) = α(t), ∀t ∈ (a, b). (2.10)

Como essas curvas possuem o mesmo traco, tambem possuem as mesmas propriedades

geometricas.

Exemplo 4. Uma possıvel parametrizacao para o cırculo x2 + y2 = 1 e dada por α(t) =

(cos t, sin t). Uma outra parametrizacao possıvel e α(t) = (sin t, cos t). Para vermos que

α e uma reparametrizacao de α, temos que achar a aplicacao φ tal que

(cosφ(t), sinφ(t)) = (sin t, cos t).

Uma solucao e φ(t) = π2− t.

Teorema 2. Qualquer reparametrizacao de uma curva regular e regular.

Demonstracao. Seja α(t) uma curva parametrizada e α(t) uma reparametrizacao de

α. Sendo assim, t = φ(t) e usaremos ψ = φ−1. Pela nova notacao, temos que t = ψ(t).

Diferenciando a equacao φ(ψ(t)) = t obtemos

dφ

dt

dψ

dt= 1 , (2.11)

ou seja, dφdt6= 0. Como α(t) = α(φ(t)), podemos utilizar a regra da cadeia e obter a

igualdade

dα

dt=dα

dt

dφ

dt, (2.12)

que nos mostra que dαdt6= 0 se dα

dt6= 0.


Definicao 7. Se α : (a, b) → Rn e uma curva parametrizada e ‖α(t)‖ = 1 ∀t ∈ (a, b),

dizemos que α e uma unit-speed curve.

Teorema 3. Uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco e uma unit-

speed curve.

Demonstracao. Como dsdt

= ‖α(t)‖ e ‖α(t)‖ 6= 0, existe uma reparametrizacao tal

que

α(s(t)) = α(t) . (2.13)

Assim

dα

ds=dα

dt

dt

ds=

α

ds/dt=

α

‖α‖(2.14)

Ou seja ∥∥∥∥dαds∥∥∥∥ =‖α‖‖α‖

= 1 . (2.15)

Exemplo 5. Encontre a parametrizacao pelo comprimento de arco da espiral logarıtmica

α(t) = (et cos t, et sin t).

E bem facil verificar que ‖α‖2 = 2e2t e concluimos, que α e regular, pois a norma

do vetor tangente nunca se anula. Temos

s(t) =

∫ t

t0

‖α‖ du =

∫ t

0

√2eudu =

√2(et − 1) . (2.16)

E assim t = ln(

s√2

+ 1)

. A reparametrizacao pelo comprimento de arco e dada por:

α(s) =

((s√2

+ 1

)cos

(ln

(s√2

+ 1

)),

(s√2

+ 1

)sin

(ln

(s√2

+ 1

))). (2.17)

2.4 Teoria Local das Curvas

Nesta secao discutiremos algumas propriedades locais das curvas, isto e, propriedades

que dependem apenas do comportamento da curva nas proximidades de um ponto dado.

Definiremos duas funcoes escalares (curvatura e torcao) e relacionaremos tais funcoes por

meio das equacoes de Frenet-Serret.


2.4.1 Curvatura

Definicao 8. Seja α(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. A funcao

escalar k(s) = ‖α(s)‖ e chamada de curvatura de α em s.

Obs: (1) A curvatura nos diz o quanto a curva nao esta contida em uma linha reta, isto

e, a curvatura sera igual a zero para retas (ou para ”pedacos de retas”). (2) Como a

curvatura depende apenas do formato da curva, nao faz sentido que ela mude conforme a

parametrizacao adotada (por isso que, restringimos a definicao para curvas parametrizadas

pelo comprimento de arco, isto e, ‖α‖ = 1). (3) Como a curva esta parametrizada pelo

comprimento de arco, a norma da derivada do vetor tangente mede a variacao da sua

direcao.

Exemplo 6. Seja o cırculo centrado em (x0, y0) e de raio R. Sua parametrizacao pelo

comprimento de arco e dada por α(s) =(x0 +R cos s

R, y0 +R sin s

R

). Calcular sua cur-

vatura.

Solucao: Temos que α(s) =(− sin s

R, cos s

R

)e α(s) =

(− 1R

cos sR,− 1

Rsin s

R

). Sendo

assim, a curvatura k(s) e dada por:

k(s) = ‖α(s)‖ =

√(− 1

Rcos

s

R

)2

+

(− 1

Rsin

s

R

)2

=1

R. (2.18)

Obs: Neste exemplo, d/ds foi denotado por um ponto.

A definicao que foi dada para curvatura pressupoe que a curva esteja parametrizada

pelo seu comprimento de arco (ou por qualquer outra unit-speed parametrization). Como

ja foi dito, se uma curva α e regular, entao ela admite uma unit-speed reparametrization

α. Apesar disso, nem sempre e possıvel obter explicitamente a referida reparametrizacao,

daı, a necessidade de termos uma expressao que nos forneca a curvatura de uma curva

com parametrizacao arbitraria.

Teorema 4. Se α(t) e uma curva regular em R3, sua curvatura e dada por


k =‖α× α‖‖α‖3

. (2.19)

Obs: d/dt foi denotado por um ponto.

Demonstracao. Temos que α(s(t)) = α(t). Derivando em relacao a t, obtemos:

dα

ds

ds

dt= α(t) , (2.20)

tomando a derivada em relacao a t novamente:

d2α

ds2

(ds

dt

)2

+dα

ds

d2s

dt2= α(t) . (2.21)

Utilizando as expressoes anteriores:

α(t)× α(t) =

(dα

ds

ds

dt

)×

(d2α

ds2

(ds

dt

)2

+dα

ds

d2s

dt2

)=

(ds

dt

)3 [dα

ds× d2α

ds2

]. (2.22)

Como α(s) e uma unit-speed parametrisation, temos que∥∥dαds

∥∥ = 1 e consequentemente,

‖α(t)× α(t)‖ =

∣∣∣∣∣(ds

dt

)3∣∣∣∣∣∥∥∥∥d2αds2

∥∥∥∥ . (2.23)

Como k(s(t)) =∥∥∥d2αds2 ∥∥∥ e ds

dt= ‖α(t)‖, temos

k(s(t)) =‖α(t)× α(t)‖‖α(t)‖3

. (2.24)

Exemplo 7. Calcular a curvatura da helice circular α(t) = (R cos t, R sin t, bt), onde R e

b sao constantes e −∞ < t <∞.

Solucao: Utilizaremos a formula do Teorema 4 para calcular a curvatura. Denotando

d/dt por um ponto, temos:

α(t) = (−R sin t, R cos t, b) , (2.25)

e consequentemente

‖α(t)‖ =√

(−R sin t)2 + (R cos t)2 + b2 =√R2 + b2 . (2.26)



Como ‖α(t)‖ 6= 0, ∀t, temos que a curva e regular. Tomando a segunda derivada:

α(t) = (−R cos t,−R sin t, 0) . (2.27)

Devemos calcular o produto vetorial α(t)× α(t) e calcular sua norma:

α(t)× α(t) = (Rb sin t,−Rb cos t, R2) , (2.28)

e sua norma e

‖α(t)× α(t)‖ =√R2b2 sin2 t+R2b2 cos2 t+R4 =

√R2b2 +R4 . (2.29)

Aplicando a formula do teorema 4 :

k =(R2b2 +R4)1/2

(R2 + b2)3/2=

(R2)1/2(b2 +R2)1/2

(R2 + b2)3/2=

|R|R2 + b2

. (2.30)

Observe que a curvatura da helice circular e constante.

Podemos definir um vetor unitario n(s), nos pontos onde k(s) 6= 0, por meio da

equacao d2αds2

= α(s) = k(s)n(s). Atraves de uma conta simples, podemos demonstrar

que n(s) e normal a α(s). (Como α(s) esta parametrizada pelo comprimento de arco,

α · α = 1. Se derivarmos a identidade anterior, temos que α · α = 0, ou seja, α⊥α). Assim,

fica determinado um plano gerado por α(s) e n(s), denominado plano osculador em s.

Uma condicao para prosseguirmos na teoria local e que este vetor normal esteja bem


definido, ou seja, que k(s) 6= 0. Isto significa que o plano osculador e essencial para nossa

analise. A partir de agora, definiremos um terceiro importante vetor: o vetor binormal.

Para isso, nos restringiremos a curvas parametrizadas pelo comprimento de arco tais que

k(s) 6= 0 ∀s.

Definicao 9. Seja uma curva α(s) e t(s) = dαds

= α(s). Definimos como vetor binormal,

o vetor unitario b(s) = t(s)× n(s).

Obs: (1) O vetor binormal e perpendicular ao plano osculador. (2) Como b(s) e um vetor

unitario, a norma∥∥∥b(s)∥∥∥ mede o quao a curva se afasta, em uma vizinhaca de s, do plano

osculador em s. (3) Como os vetores tangente, normal e binormal sao perpendiculares,

podemos formar um triedro com eles e a figura abaixo ilustra isso.


Se tomarmos a derivada de b(s), temos:

b(s) = t(s)× n(s) + t(s)× n(s) = t(s)× n(s) , (2.31)

i.e., b(s) e normal a t(s) (e normal a b(s) por ser unitario). Assim, concluimos que b(s) e

paralelo a n(s) e podemos escrever


b(s) = τ(s)n(s) , (2.32)

onde τ(s) e uma funcao. Na proxima secao, estudaremos esta funcao, que chamamos de

torcao.

2.4.2 Torcao

Definicao 10. Seja α(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. O numero

τ(s) definido por b(s) = τ(s)n(s) e chamado de torcao de α em s.

Obs: Na definicao anterior, devemos considerar que α(s) 6= 0.

Teorema 5. Seja α(t) uma curva regular com k 6= 0, ∀t. Entao, a torcao da curva e dada

por

τ = −(dαdt× d2α

dt2) · d3α

dt3∥∥dαdt× d2α

dt2

∥∥2 . (2.33)

Demonstracao. Consideremos α parametrizada pelo comprimento de arco. Assim,dbds

= τ(s)n(s). Podemos tomar o produto escalar por n(s) e obteremos n(s) · dbds

= τ(s).

Como dbds

= t(s) × dnds

, temos τ(s) = n(s) · (t(s) × dnds

). Por outro lado, sabemos que

n(s) = 1kt(s) = 1

k

(d2αds2

)e assim:

τ =1

k

(d2α

ds2

)·(dα

ds× d

ds

(1

k

(d2α

ds2

))

τ =1

k

(d2α

ds2

)·

(dα

ds×

(1

k

d3α

ds3−

dkds

k2d2α

ds2

)). (2.34)

Utilizando as propriedades de produto misto e dαds· d2αds2

= 0 porque t(s) ·t(s) = 1, chegamos

a

τ = − 1

k2d3α

ds3·(dα

ds× d2α

ds2

). (2.35)

Como α esta parametrizada pelo comprimento de arco,∥∥∥dαds × d2α

ds2

∥∥∥ =∥∥dαds

∥∥∥∥∥d2αds2 ∥∥∥ =∥∥∥d2αds2 ∥∥∥ = k. Assim, a expressao a que chegamos acima e exatamente aquela apresentada

no enunciado do teorema. Para o caso geral, denotaremos d/ds por ′. Sendo assim,


dα

dt=ds

dtα′ , (2.36)

d2α

dt2=d2s

dt2α′ +

(ds

dt

)2

α′′ , (2.37)

d3α

dt3=d3s

dt3α′ +

d2s

dt2ds

dtα′′ + 2

ds

dt

d2s

dt2α′′ +

(ds

dt

)3

α′′′ ,

d3α

dt3=d3s

dt3α′ + 3

ds

dt

d2s

dt2α′′ +

(ds

dt

)3

α′′′ . (2.38)

Alem disso,

dα

dt× d2α

dt2=

(ds

dt

)3

α′ × α′′ , (2.39)

d3α

dt·(dα

dt× d2α

dt2

)=

(ds

dt

)6

α′′′ · (α′ × α′′) , (2.40)

e concluimos que

d3αdt·(dαdt× d2α

dt2

)∥∥dαds× d2α

dt2

∥∥2 =α′′′ · (α′ × α′′)‖α′ × α′′‖2

. (2.41)

2.4.3 Formulas de Frenet

Ate agora, definimos tres vetores para curvas parametrizadas pelo comprimento de

arco: t(s), n(s) e b(s). As derivadas de t e b, como vimos, estao relacionadas com funcoes

escalares que nos dao informacoes sobre o comportamento da curva em uma vizinhanca

de s. E natural calcularmos dnds

(d/ds sera denotado por ′):

n′(s) = b′(s)× t(s) + b(s)× t′(s) = τ(s)n(s)× t(s) + b(s)× k(s)n(s)

n′(s) = −τ(s)b(s)− k(s)t(s) .

Reunindo as tres equacoes que nos fornecem as derivadas dos vetores t, n e b, temos:

t′ = kn , (2.42)


n′ = −kt− τb , (2.43)

b′ = τn . (2.44)

As equacoes acima sao chamadas de formulas de Frenet. Os vetores t, n e b formam um

triedro chamado de triedro de Frenet-Serret.

Capıtulo 3

Aplicacoes a Mecanica Classica

Nesta secao utilizaremos a formulacao newtoniana da mecanica classica e os resul-

tados das secoes anteriores, para estabelecer uma conexao entre grandezas dinamicas e

entidades geometricas [6].

Sabemos da mecanica newtoniana que, em um referencial inercial, o movimento de

uma partıcula e regido pela equacao

F = mr , (3.1)

onde r e a derivada temporal de segunda ordem do vetor posicao r, F e a forca resul-

tante que atua sobre a partıcula e m e a massa da partıcula. Dado o estado (posicao e

velocidade) inicial da partıcula, e possıvel determinar a posicao como funcao do tempo,

ou seja, a curva descrita pela partıcula. Devido ao teorema de existencia e unicidade de

solucoes de equacoes diferenciais ordinarias, a curva descrita pela partıcula fica univoca-

mente determinada.

Para estabelecer a conexao mencionada, interpretaremos fisicamente o triedro de

Frenet-Serret. E conveniente fazer uma mudanca na notacao que utilizamos anterior-

mente: os vetores que formam o triedro de Frenet-Serret t, n, b serao denotados respec-

tivamente por e(1), e(2), e(3) (nao utilizamos a notacao tradicional de vetores com nomes

encimados por uma seta ou com nomes em negrito anteriormente, por ser algo incomum

nos textos de matematica). Com esta nova notacao, as equacoes de Frenet assumem a

forma

de(1)

ds= ke(2), (3.2)

26

CAPITULO 3. APLICACOES A MECANICA CLASSICA 27

de(2)

ds= −ke(1) − τe(3), (3.3)

de(3)

ds= τe(2). (3.4)

3.1 Conexao entre grandezas dinamicas e a curvatura

Seja r(t) = (x(t), y(t), z(t)) o vetor posicao da partıcula em um instante t. Da

definicao de comprimento de arco, temos que

s = s(t) =

∫ t

t0

∥∥∥∥drdt∥∥∥∥ dt ,

e pelo teorema fundamental do calculo,

ds

dt=

∥∥∥∥drdt∥∥∥∥ = v , (3.5)

onde v denota o modulo da velocidade ou velocidade escalar. Alem disso, como estamos

lidando com curvas regulares, drdt6= 0 ∀t, de modo que ds

dt> 0 ∀t. Como s e uma funcao

estritamente crescente, podemos obter sua inversa e assim

dt

ds=

(ds

dt

)−1.

Por definicao, e(1) = drds

. Utilizando a regra da cadeia temos que

e(1) =dr

ds=dt

ds

dr

dt=

(ds

dt

)−1dr

dt=

1

vv,

onde v e o vetor velocidade e v e o seu modulo.

Utilizando a primeira equacao de Frenet e o resultado acima:

de(1)

ds=dt

ds

de(1)

dt=

1

v

(1

v

dv

dt− dv

dt

v

v2

)=

a

v2− dv

dt

v

v3= ke(2) , (3.6)

onde a e o vetor aceleracao. Desta equacao, podemos obter (como de costume, denotare-

mos d/dt por um ponto):

k2 =a2

v4− 2v

a · vv5

+ v21

v4. (3.7)


A expressao acima relaciona a curvatura com grandezas cinematicas, e o proximo

passo e escrevermos a curvatura em funcao de grandezas dinamicas.

Obs: Ao contrario da velocidade, a aceleracao tem modulo diferente da aceleracao escalar.

ke(2) =a

v2− v v

v3⇒ a = v

v

v+ v2ke(2) ⇒ a = v2ke(2) + ve(1) (3.8)

A expressao acima nos mostra que a aceleracao pode ser decomposta em duas

componentes, uma paralela a e(1) e a outra, paralela a e(2). Alem disso, e possıvel concluir

que a componente paralela a e(1) tem modulo igual a v, ou seja, igual a aceleracao escalar.

A outra componente e conhecida como aceleracao centrıpeta. Como k = 1r, onde r e o

raio de curvatura, a magnitude da aceleracao centrıpeta de uma partıcula e dada pela

formula usual v2/r.

Da expressao

a = ve(1) + v2ke(2),

concluimos que a · v = vv. Utilizando este resultado e o fato de a curvatura ser uma

funcao nao negativa, obtemos

k =

√a2

v4− 2

v2

v4+v2

v4=

1

v2

√a2 − v2 . (3.9)

A partir de agora, faremos algumas manipulacoes algebricas que nos permitirao

escrever a curvatura numa forma mais facil de interpretar do ponto de vista fısico. A

primeira observacao que deve ser feita e que a e o modulo da aceleracao da partıcula e,

pela segunda lei de Newton, podemos escrever que a = Fm

, onde F e o modulo da forca

resultante que atua sobre a partıcula. Alem disso, podemos escrever v2 como ( 12v

ddtv2)2.

Como sabemos, a energia cinetica e definida como T = 12mv2, e com isto, podemos

escrever ( 12v

ddtv2)2 = 1

2mT 2

T. A ultima observacao antes de reescrevermos a expressao para

a curvatura e a seguinte:

dT

dt=

1

2m(2v · a) = ma · v = F · v . (3.10)

Utilizando os resultados anteriores, podemos reescrever a curvatura como

k =1

v2

√F 2

m2− 1

2m

(F · v)2

T=

1

2T

√F 2 − m

2T(F · v)2 , (3.11)


onde alcancamos nosso objetivo de relacionar a curvatura com grandezas dinamicas. Como

um teste, podemos analisar o caso particular de uma forca paralela a velocidade, que como

sabemos gerara um movimento retilıneo, ou seja, a trajetoria tera curvatura nula.

Exemplo 8. Obtenha a curvatura para o caso em que a forca que atua sobre a partıcula

e paralela a velocidade.

Solucao: Para este caso, F · v = ±Fv. Utilizando este resultado na expressao da

curvatura, temos que

k =1

2T

√F 2 − 1

v2F 2v2 = 0 , (3.12)

como esperavamos.

3.2 Conexao entre grandezas dinamicas e a torcao

Quando discutimos o conceito de torcao, deduzimos a equacao

τ = − 1

k2d3r

ds3·(dr

ds× d2r

ds2

), (3.13)

onde r = r(t). Utilizando resultados da secao anterior, podemos calcular drds× d2r

ds2, pois

drds

= vv

e av2− v

v3v. Assim,

dr

ds× d2r

ds2=

v

v×(

a

v2− v

v3v

)=

1

v3v× a . (3.14)

Para o calculo de d3rds3

basta nos preocuparmos com os termos que nao sao colin-

eares a v nem a a, pois v × a e normal a ambos. Assim, e simples concluir que o termo

que nos interessa e av3

. A expressao para a torcao assume a forma

τ = − 1

k2v6(v× a) · a . (3.15)

Utilizando

k =1

2T

√F 2 − m

2

T 2

T, (3.16)

e um exercıcio simples mostrar que


τ = − (P× F) · F

2T(F 2 − m

2T 2

T

) , (3.17)

onde P e o momento linear da partıcula. Novamente, relacionamos uma entidade geometrica

(torcao) com grandezas dinamicas.

Capıtulo 4

Forcas que produzem somente

trajetorias planas

A conexao estabelecida no capıtulo anterior abre portas para perguntas cuja for-

mulacao seria imprecisa e obscura no tratamento convencional. Conhecendo detalhada-

mente a estrutura geometrica das trajetorias seguidas por uma partıcula devido a uma

forca F, podemos responder a seguinte pergunta: quais sao as condicoes que uma forca

F deve satisfazer para que todas as trajetorias produzidas sejam planas? Utilizando a

conexao estabelecida entre a torcao e grandezas dinamicas, responder esta pergunta e algo

absolutamente direto. Para que uma curva seja plana, e necessario e suficiente que sua

torcao seja zero. Concluimos entao, que a trajetoria sera plana se e somente se

(F× F) · v = 0 , (4.1)

onde foi utilizada a invariancia do produto triplo sob permutacoes cıclicas. Podemos

considerar que a pergunta foi respondida: a condicao que uma forca F deve satisfazer

e a expressa pela Eq. (4.1). Contudo, esta condicao envolve a velocidade da partıcula.

E de nosso interesse encontrar as condicoes que devem ser satisfeitas pela forca inde-

pendentemente de condicoes iniciais sobre o movimento da partıcula. Devido ao fato de

envolver uma algebra consideravelmente trabalhosa, dividiremos nossa analise em duas

partes: na primeira parte consideraremos forcas independentes da velocidade e na segunda

parte, consideraremos a forca eletromagnetica — a mais importante forca dependente da

velocidade. Antes de iniciar a discussao, fixaremos a seguinte notacao:

31

CAPITULO 4. FORCAS QUE PRODUZEM SOMENTE TRAJETORIAS PLANAS32

r = (x1, x2, x3) , v = (v1, v2, v3) , F = (F1, F2, F3) , ∂i =∂

∂xi, ∂t =

∂

∂t. (4.2)

A convencao de soma sobre ındices repetidos tambem sera utilizada: para qualquer

repeticao de um ındice, subentende-se uma soma de 1 a 3 no referido ındice.

Os principais resultados obtidos podem ser encontrados em [8].

4.1 Forca independente da velocidade

Se a forca independe da velocidade, isto e, se F = F(r, t), temos

Fi =∂Fi∂x1

dx1dt

+∂Fi∂x2

dx2dt

+∂Fi∂x3

dx3dt

+∂Fi∂t

=⇒ Fi = vl∂lFi + ∂tFi . (4.3)

Podemos expressar o produto vetorial de dois vetores em R3 utilizando o sımbolo de

Levi-Civita εijk na forma

(F× F)i = εijkFjFk . (4.4)

Substituindo as Eqs. (4.3) e (4.4) na Eq. (4.1), obtemos

0 = (F× F) · v = (F× F)ivi =⇒ (εijkFj∂lFk)vivl + (εijkFj∂tFk)vi = 0 . (4.5)

Como desejamos encontrar as condicoes que uma forca deve satisfazer para produzir

somente trajetorias planas independentemente das condicoes iniciais, devemos ter a Eq.

(4.5) satisfeita para quaisquer valores das componentes da velocidade. Sendo assim, os

termos linear e quadratico na velocidade devem ser nulos separadamente. O termo linear

pode ser identificado como o produto vetorial de F com ∂tF. Assim, uma das condicoes

a serem satisfeitas e

F× ∂F

∂t= 0 . (4.6)

O coeficiente do termo quadratico na velocidade, assim como qualquer tensor de

segunda ordem, pode ser decomposto em uma parte simetrica e outra antissimetrica. A

parte antissimetrica da contribuicao nula, pois o produto vivl e simetrico. Sendo assim, a

parte simetrica do coeficiente deve ser nula, isto e,


εijkFj∂lFk + εljkFj∂iFk = 0 . (4.7)

Concluimos entao, que uma forca que dependa da posicao e explicitamente do tempo

deve satisfazer um conjunto de nove equacoes diferenciais parciais nao-lineares acopladas

de primeira ordem. Explicitamente, as ultimas equacoes sao

F2∂1F3 − F3∂1F2 = 0 , F3∂2F1 − F1∂2F3 = 0 , F1∂3F2 − F2∂3F1 = 0 , (4.8)

F3∂1F1 − F1∂1F3 + F2∂2F3 − F3∂2F2 = 0 , (4.9)

F1∂1F2 − F2∂1F1 + F2∂3F3 − F3∂3F2 = 0 , (4.10)

F1∂2F2 − F2∂2F1 + F3∂3F1 − F1∂3F3 = 0 . (4.11)

Como sao nove as equacoes que devem ser satisfeitas por uma forca para produzir

trajetorias planas independemente das condicoes iniciais, notamos que sao raras essas

forcas. Devido a complexidade das equacoes acima e muito difıcil determinar a solucao

geral do sistema, e portanto, encontrar o conjunto das forcas que produzem somente

trajetorias planas. Apesar disso, podemos usar essas equacoes como um “teste”para

identificar tais forcas.

Um teste simples para as equacoes acima pode ser feito com as forcas centrais. E

conhecido que as orbitas produzidas por forcas centrais sao planas. Isto significa que uma

forca central deve satisfazer o conjunto das Eqs. (4.6), (4.8), (4.9), (4.10) e (4.11).

Uma forca central pode ser escrita na forma

F = f(r, t)r ou Fk = f(r, t)xk , (4.12)

onde r = ‖r‖. Temos que

∂lFk = f(r, t)δkl +f ′(r, t)

rxkxl ,

∂F

∂t= f(r, t)r , (4.13)

onde f ′ = ∂f/∂r e f = ∂f/∂t. Como F e ∂F/∂t sao colineares, temos que a Eq. (4.6) e

satisfeita. Por outro lado, utilizando a Eq. (4.13), obtemos


εijkFj∂lFk = εijkf2xjδkl +

ff ′

rεijkxjxkxl = εijlf

2xj . (4.14)

O termo cubico se anula pelo fato de εijk ser antissimetrico nos ındices j, k e xjxkxl ser

simetrico nos mesmos ındices. Consequentemente, a Eq. (4.7) se torna

εijkFj∂lFk + εljkFj∂iFk = εijlf2xj + εljif

2xj . (4.15)

Uma permutacao dos ındices i e l no segundo termo no segundo membro conduz a

εijlf2xj − εijlf 2xj = 0 , (4.16)

ou seja, a Eq. (4.7) tambem e satisfeita.

4.2 Forcas dependentes da velocidade — Caso Eletro-

magnetico

Todo o formalismo desenvolvido anteriormente e valido apenas para forcas que nao

dependem da velocidade da partıcula. Quando desenvolvido para forcas gerais que de-

pendem da velocidade, o formalismo toma proporcoes algebricas consideraveis, perdendo

assim, o sentindo de ser um metodo simples e direto de se obter uma forma de equacionar

o problema de forcas que geram somente trajetorias planas. Apesar disso, vale a pena

analisar o caso da forca dependente da velocidade mais importante para Fısica: a forca

eletromagnetica. A expressao para a forca eletromagnetica (ou forca de Lorentz) e dada

por

F = e(E + v ×B) , (4.17)

onde e e a carga eletrica da partıcula.

Mesmo para uma forca particular, iremos alem na nossa simplificacao e admitire-

mos apenas campos E = E(t) e B = B(t). O caso geral, isto e, o caso em que os

campos tambem dependem da posicao envolve uma algebra demasiadamente extensa e

trabalhosa.

Para obter as condicoes gerais que a forca deve satisfazer, devemos aplicar a Eq.

(4.1) para a forca de Lorentz. Temos, portanto,


e−1F = E + v × B + v ×B = E + v × B +e

m(E + v ×B)×B , (4.18)

onde usamos a segunda lei de Newton v = F/m. O termo que acompanha a razao

carga-massa e/m deve ser nulo separadamente (assim como os outros termos que contem

potencias da velocidade), pois queremos que a forca produza uma trajetoria plana inde-

pendentemente dos valores escolhidos para a carga e para a massa. Utilizando a Eq. (4.1)

obtemos

{(E + v ×B)× [(E + v ×B)×B]} · v = 0 , (4.19)

para o termo que acompanha e/m. Os termos independentes de e/m sao dados por

[(E + v ×B)× (E + v × B)] · v = 0 . (4.20)

Como fizemos anteriormente, devemos tomar todos os coeficientes que acompanham

alguma potencia da velocidade e igualar a zero, para que nao exista nenhuma dependencia

das condicoes iniciais. Seguindo desta maneira, analisemos a Eq. (4.19). Nesta equacao

existem termos de ate terceiro grau na velocidade e devemos igualar todos os coeficientes

a zero. Isto resulta em

[E× (E×B)] · v = 0 , (4.21)

{E× [(v ×B)×B] + (v ×B)× (E×B)} · v = 0 , (4.22)

{(v ×B)× [(v ×B)×B]} · v = 0 . (4.23)

A Eq. (4.22) pode ser reescrita de uma forma mais interessante se utilizarmos a

famosa identidade vetorial

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c . (4.24)

Utilizando a Eq. (4.24) para o primeiro termo da Eq. (4.22), obtemos

{E× [(v ×B)×B]} · v = {E× [(v ·B)B−B2v]} · v

= {(v ·B)E×B−B2E× v} · v

= (v ·B)v · (E×B) (4.25)


e, procedendo de maneira analoga,

{(v ×B)× (E×B)} · v = (v ·B)v · (E×B) . (4.26)

A Eq. (4.22) pode ser reescrita como

(E×B) · v (B · v) = 0 , (4.27)

que pode ser expressa em notacao indicial como

(εiklEkBlBj + εjklEkBlBi)vivj = 0 . (4.28)

Fazendo uso da Eq. (4.24) na Eq. (4.23), encontramos

0 = {(v ×B)× [(v ×B)×B]} · v = {[(v ×B) ·B](v ×B)− (v ×B)2B} · v

= −[v2B2 − (v ·B)2](B · v) = −[v2B2(B · v)− (B · v)3] , (4.29)

que em notacao indicial fica

[B2

3(Biδjk +Bjδki +Bkδij)−BiBjBk]vivjvk = 0 . (4.30)

Foi feita uma simetrizacao completa do termo Biδjk, pois vivjvk e simetrico. Devemos

realizar o mesmo procedimento para a Eq. (4.20). Os termos linear, quadratico e cubico

sao, respectivamente,

(E× E) · v = 0 , (4.31)

[(E · B)v − (E · v)B + (E · v)B− (B · E)v] · v = 0 , (4.32)

{[(v ×B) · B]v − [(v ×B) · v]B} · v = (v ×B) · B v2 = (B× B) · v v2 = 0 . (4.33)

Podemos reescrever a Eq. (4.32) em notacao indicial

[(E · B− E ·B)δij +1

2(EiBj + EjBi − EiBj − EjBi)]vivj = 0 (4.34)


onde foi feita a simetrizacao habitual. Desta maneira, podemos concluir que uma partıcula

seguira uma trajetoria plana independemente das condicoes iniciais se os campos eletrico

e magnetico satisfizerem as seguintes condicoes:

E× (E×B) = 0 , (4.35)

εiklEkBlBj + εjklEkBlBi = 0 , (4.36)

B2

3(Biδjk +Bjδki +Bkδij)−BiBjBk = 0 , (4.37)

E× E = 0 , (4.38)

B× B = 0 , (4.39)

(E · B− E ·B)δij +1

2(EiBj + EjBi − EiBj − EjBi) = 0 . (4.40)

E interessante utilizarmos algum caso especial para realizarmos um teste com as

equacoes obtidas. Consideremos entao um campo magnetico uniforme, ou seja, E = 0 e

B = 0. As Eqs. (4.35), (4.36), (4.38), (4.39) e (4.40) sao trivialmente satisfeitas. Ja da

Eq. (4.37), contraindo os ındices i e j, obtemos

0 =B2

3(Biδik +Biδki +Bkδii)−BiBiBk

=B2

3(Bk +Bk + 3Bk)−B2Bk =

2

3B2Bk =⇒ Bk = 0 . (4.41)

Isto significa que, em geral, para um campo magnetico uniforme e nao nulo, a

trajetoria seguida por uma partıcula nao e plana. Isto nao e surpresa, pois e bem conhecido

que, de maneira geral, a trajetoria seguida por uma partıcula carregada em um campo

magnetico uniforme e uma helice, que nao e plana.

Capıtulo 5

Curvas seccionalmente regulares

As condicoes (4.6) e (4.7) ou as condicoes (4.35)-(4.40) que garatem o fato de a

trajetoria estar confinada em um plano, foram obtidos gracas a teoremas demonstrados

para curvas regulares. O significado fısico de uma curva regular r(t) (onde t e o tempo)

e equivalente a dizer que a velocidade da partıcula nunca se anula. Apesar de nao ser

nenhuma consideracao esquisita do ponto de vista matematico, soa bastante estranho

excluir as situacoes em que a velocidade de uma partıcula se anula instantaneamente.

Sendo assim, e interessante discutir se os resultados obtidos anteriormente podem ser

aplicados para uma classe de curvas chamadas de seccionalmente regulares.

Uma curva r(t) e dita seccionalmente regular se e contınua em toda parte e regular

em intervalos separados por instantes isolados em que a velocidade se anula. Sendo assim,

consideremos um intante t1 em que v(t1) = 0 e (t0, t1) e (t1, t2), dois intervalos nos quais

a curva e regular. Tudo que foi feito anteriormente e valido para os referidos intervalos,

isto e, se as condicoes (4.6) e (4.7) ou as condicoes (4.35)-(4.40) forem verificadas, entao a

trajetoria da partıcula e plana em cada intervalo. Sejam Π1 e Π2 os planos que contem as

trajetorias seguidas em (t0, t1) e (t1, t2) respectivamente. Se Π1 6= Π2, entao a componente

da velocidade normal ao plano Π1 tem que variar descontinuamente de zero para um valor

finito e nao-nulo quando passar pelo instante t1. Para que isto aconteca, a componente

da forca nesta direcao deve ser infinita neste instante. Forcas infinitas nao sao fisicamente

realizaveis, de modo que o plano Π1 deve ser igual ao plano Π2.

Portanto, nossos resultados permanecem validos para curvas seccionalmente regu-

lares.

38

Capıtulo 6

Conclusao

As equacoes (4.6) e (4.7) nos mostram que sao muitas as condicoes que devem ser

satisfeitas por uma forca independente da velocidade para que a trajetoria por ela gerada

seja plana. A complexidade dessas condicoes podem ser explicadas se considerarmos o fato

de que estamos buscando condicoes independentemente de condicoes iniciais da partıcula

(condicoes essas, que se ajustadas adequadamente, podem fazer com que uma partıcula

siga uma trajetoria plana mesmo que a forca nao satisfaca as equacoes aqui deduzidas).

Isso nos faz criar a seguinte pergunta: sera que alem das forcas que conhecemos tais como

as centrais ou constantes, existe alguma outra classe de forcas que vai gerar trajetorias

planas independentemente de condicoes inicias? A resposta para esta pergunta pode ser

dada com a solucao das equacoes (4.6) e (4.7). Como metodos analıticos convencionais nao

se mostram eficientes para a resolucao dessas equacoes, podemos caminhar para solucoes

numericas ou procedimentos de aproximacao.

Como uma perspectiva futura, podemos estabelecer uma conexao analoga, mas con-

siderando o caso relativıstico. Podemos ainda, estudar como as entidades geometricas de

uma superfıcie estao relacionadas com as grandezas dinamicas de uma partıcula que esta

vinculada a essa superfıcie [3].

39

Referencias Bibliograficas

[1] B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko e S. P. Novikov, Modern Geometry - Methods and

Applications, Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields

(Springer, New York, 1992), 2a edicao.

[2] V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (Springer, New York, 1989),

2a edicao.

[3] A. Fasano e S. Marmi, Analytical Mechanics (Oxford University Press, Oxford, 2006).

[4] A. Pressley, Elementary Differential Geometry (Springer, London, 2001).

[5] M. P. do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies (Sociedade Brasileira

de Matematica, Rio de Janeiro, 2005).

[6] J. B. Formiga, Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies no Espaco-Tempo de

Minkowski com Aplicacoes aos Observadores de Rindler, Dissertacao de Mestrado

(UFPb, Joao Pessoa, 2007).

[7] N. A. Lemos, Mecanica Analıtica (Editora Livraria da Fısica, Sao Paulo, 2007), 2a

edicao.

[8] A. D. Pereira Jr. e N. A. Lemos, Geometria Diferencial de Curvas e Dinamica da

Partıcula, Revista Brasileira de Ensino de Fısica, 2011.

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geometria diferencial de curvas e din^amica da part cula

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