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Mini-curso: Introdução à otimização sob incerteza

Aula 3 – Otimização avessa ao risco

Prof. Fabrício Oliveira [email protected]

Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A

UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira

1.  Medidas de risco 1.  Variância; 2.  Probabilidade de déEicit (shortfall probability) 3.  Escassez esperada (expected shortage) 4.  Value-‐at-‐Risk (VaR) 5.  Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR)

2.  Otimização robusta 3.  Restrições probabilísticas

Conteúdo programado!



Otimização sob incerteza

§  Modelos de programação estocástica: §  Dados de entrada modelados como processos estocásticos;

§  Valor da função objetivo é uma variável aleatória §  Pode ser caracterizada por uma distribuição de probabilidade;

p(!)

x1

x2

xn

...

Q(x1,!)

Q(x2,!)

Q(xn,!)E [Q(xn,!)]

E [Q(x1,!)]

E [Q(x2,!)]

A função objetivo como variável aleatória: §  Precisamos de uma função que, de alguma forma, caracterize a distribuição de dessa variável aleatória: §  Critério mais comum: média;



Otimização sob incerteza

§  Assim, um problema onde maximizamos o lucro resulta na maximização do lucro esperado deste problema;

§  Problema: demais parâmetros caracterizando a distribuição são negligenciados. §  Ex: Uma variável aleatória representando o lucro com um valor esperado aceitável para o tomador de decisão pode possuir embutida uma probabilidade não-‐desprezível de lucros negativos (perdas)

§  Como contornar tal diEiculdade: gestão de risco

p(!)

x1

x2

xn

...

Q(x1,!)

Q(x2,!)

Q(xn,!)E [Q(xn,!)]

E [Q(x1,!)]

E [Q(x2,!)]

O valor esperado não é capaz de de representar a exposição a resultados negativos (ou seja, ao risco)



Gestão de risco

Primeiramente, precisamos deEinir a que risco estamos nos referindo: §  Queremos nos proteger do risco de a

distribuição dos lucros (maximização) possuir características não desejáveis, como por exemplo, altas probabilidades de incorrer em custos negativos (perdas).

Como controla-‐lo em modelos de otimização: §  inserir na formulação termos que são

capazes de medir o risco associado a uma distribuição de probabilidade; §  Toda solução gera um per;il de risco, ao qual é possível se associar uma medida

§  Tal termo é comumente referido como função de risco ou medida de risco;

p(!)

x1

x2

xn

Q(x1,!)

Q(x2,!)

Q(xn,!)E [Q(xn,!)]

E [Q(x1,!)]

E [Q(x2,!)]

r[Q(x1, w)]

r[Q(x2, w)]...

r[Q(xn, w)]

Medida de risco

r[f(x,!)] | r : x ! R



Gestão de risco

Vamos considerar todas as medidas de risco considerando problemas de 2 estágios (por ser mais simples) onde a função objetivo consiste da maximização de um lucro esperado. §  A generalização para problemas multi-‐

estágio não é evidente pois incorre-‐se em problemas de consistência temporal.

§  Medidas de risco consideradas: 1.  Variância; 2.  Probabilidade de déEicit (shortfall

probability) 3.  Escassez esperada (expected shortage) 4.  Value-‐at-‐Risk (VaR) 5.  Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR)

p(!)

x1

x2

xn

Q(x1,!)

Q(x2,!)

Q(xn,!)E [Q(xn,!)]

E [Q(x1,!)]

E [Q(x2,!)]

r[Q(x1, w)]

r[Q(x2, w)]...

r[Q(xn, w)]

Medida de risco

r[f(x,!)] | r : x ! R



Tomada de decisão neutra à risco

§  Vamos considerar o problema de otimização:

max

x,y(!)c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

s.a:

Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2

Var. 1o Estágio Var. 2o Estágio



§  DeEinindo:

§  Podemos reescrever nosso problema de otimização de dois estágios como sendo:

f(x,!) = c

Tx+max

y(!)q(!)T y(!) | T (!)x+W (!)y(!) = h(!), y(!) 2 Y


max

x

E!

[f(x,!)]

s.a: x 2 X



§  Observe o que essa formulação nos diz: §  Considere f(x,ω) como o valor da variável aleatória f(x, .) avaliada no argumento ω;

§  Dessa forma, variando x em X, uma família de variáveis aleatórias f(x, .), onde x pertence a X é induzida pelos problemas de segundo-‐estágio;

§  Assim, encontrar o melhor x corresponde a encontrar a melhor variável aleatória da família.

§  Nesse problema, isso é alcançado através do ranqueamento das variáveis de acordo com seu valor esperado e selecionando-‐se a maior;

x1

x2...xn

f(x,!)

(!)

(!)

(!)

µ1

µ2

µn


max

x

E!

[f(x,!)]

s.a: x 2 X



Exemplo prático

§  Considere o seguinte problema: §  Problema do comercializador de energia:

§  Preciso deEinir os montantes de energia a ser comprados hora a hora, a qual venderei para um grupo de clientes;

§  Objetivo: maximizar meu lucro; §  Tenho duas opções: comprar no mercado spot (preço incerto) ou exercer compra sob contratos preEixados (mercado futuro) de valor e quantidade máxima (sem mínimo);

§  Preço de venda para os clientes e demandas horárias conhecidos.

Demanda

Mercado spot

Mercado futuro

Eu



Exemplo prático

§  Dados de entrada: §  Horizonte: 3h §  Preço de venda: 35/MWh §  Demandas: 150, 225, 175 (MW)

Contrato Preço ($/MWh) Qtde Máxima (MW)

1 34 50 2 35 30 3 36 25 Cenário t=1 t=2 t=3

1 28.5 36.3 31.4 2 27.3 37.5 29.6 3 29.4 35.7 31.3 4 33.9 38.9 37.5 5 34.5 38.9 37.5 6 29.2 34.8 31.2 7 34.1 36.9 32.1 8 33.4 35.4 34.9 9 28.4 36.3 32.9 10 27.6 38.9 32.1

25

30

35

40

t=0 t=1 t=2 t=3

Price ($/M

Wh)



Exemplo prático

§  Formulação do problema:

max

xf ,yt,!

3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

(!)

3X

t=1

P

t!

y

t!

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3;! = 1, . . . , 10

y

t!

0

Demanda

Mercado spot

Mercado futuro

Eu



Exemplo prático

§  Formulação do problema:

max

xf ,yt,!

3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

(!)

3X

t=1

P

t!

y

t!

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3;! = 1, . . . , 10

y

t!

0

Receita Custo (contratos) Custo spot

Limites para os contratos

Total comprado tem que atender demanda

Demanda

Mercado spot

Mercado futuro

Eu



Exemplo prático

§  Solução: §  FO: $618.75 §  Solução ótima x1* = x2* = x3* = 0

Cenário Lucro ($) 1 1312.5 2 1537.5 3 1330.0 4 57.5 5 -‐1240.0 6 1580.0 7 -‐362.5 8 167.5 9 1065.0 10 740.0 20% de chance de

ter prejuízo



Tomada de decisão avessa ao risco

§  A grande desvantagem de se ignorar o risco é que os valores ótimos de x e y(ω) pode nos levar a ter o maior rendimento médio às expensas de obter lucros muito baixo em alguns cenários desfavoráveis.

§  De forma a controlar esse efeito, normalmente utiliza-‐se um termo que modele o risco de variabilidade associado a f(x,w). è medida de risco.

§  Matematicamente:

Medida de risco

r! f(x,!) | r! : x ! R



§  Temos basicamente dois paradigmas distintos para a consideração do risco na formulação do problema de otimização:

1.  Considerar o risco na função objetivo, minimizando-‐o

2.  Considerar o risco segundo um “orçamento”, como restrição

max

x

E!

[f(x,!)] r

!

f(x,!)

s.a:

x 2 X

max

x

E!

[f(x,!)]

s.a:

r

!

f(x,!)

x 2 X

Peso (se 0 è neutro ao risco)





§  Em ambos os casos, a solução ótima está condicionada aos parâmetros que deEinem a tolerância à exposição ao risco; §  Soluções indicam pontos e;icientes, cuja coleção deEine uma fronteira e;iciente;

§  Em termos gerais, um ponto eEiciente é um par retorno esperado/risco de forma que é impossível encontrar um conjunto de variáveis de decisões que provenham simultaneamente maior retorno e menor risco



Medidas de risco

§  São usadas para caracterizar o risco; §  Permitem a comparação direta entre duas soluções distintas em termos de risco.

§  Propriedades desejáveis para medidas de risco (Artzner et. al 1999): 1.  Invariância translacional: (risco constante para constante)

2.  Subaditividade: (efeito portfólio)

3.  Homogeneidade positiva: (dobro do investimento, dobro de risco...)

4. Monotonicidade: (melhor performance = menor risco) Se f1(!) f2(!) para todo f1(!), f2(!) 2 F , entao r!f1(!) r!f2(!)

r!f1(!) a = r!f1(!) a para todo f1(!) 2 F

r!f1(!) + f2(!) r!f1(!)+ r!f2(!) para todo f1(!), f2(!) 2 F

r!f1(!) + a = r!f1(!)+ a para todo f1(!) 2 F



Medidas de risco

§  Variância (Markowitz, 1952) §  Primeiramente proposta por H. M. Markowitz; §  Modelo média-‐variância: considera o valor esperado e a variância do retorno; §  Variância:

§  Dessa forma, podemos incorporar a variância no modelo neutro a risco: V (x) = E![(f(x,!) E![f(x,!)])

2]

max

x,y(!)(1 )

c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

!

X

!2

(!)

f(x,!)

X

!

02

(w

0)f(x,w

0)

!2

s.a:

Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2

Peso ponderativo

Problema quadrático



Medidas de risco

§  Voltando ao exemplo:

max

xf ,yt!

(1 )

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

!

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A

10X

!=1

!

P

t!

y

t!

10X

w

0=1

!

0

3X

t=1

P

t!

0yt!

0

!2

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

y

t!

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10



Medidas de risco

§  Resultados: β = 1 §  FO = $208.65 (62% menor) §  Solução ótima:

§  x1* 50; x2* = 30; x3* = 25

Min. variância = exercer o máximo dos contratos

Cenário Lucro ($)

1 463.50

2 499.50

3 502.00

4 69.50

5 -‐545.50

6 626.00

7 -‐140.50

8 106.00

9 363.00

10 143.00

Pior cenário é 56% melhor…

… mas o melhor cenário é 60.4% pior…

…afeta ambas as caudas da distribuição!



Medidas de risco

§  Resultados: β = 1 §  FO = $208.65 (62% menor) §  Solução ótima:

§  x1* 50; x2* = 30; x3* = 25

Min. variância = excercer o máximo dos contratos

Cenário Lucro ($)

1 463.50

2 499.50

3 502.00

4 69.50

5 -‐545.50

6 626.00

7 -‐140.50

8 106.00

9 363.00

10 143.00

Pior cenário é 56% melhor…

… mas o melhor cenário é 60.4% pior…

…afeta ambas as caudas da distribuição!



Medidas de risco

Observações: §  Possui a diEiculdade de

tornar o modelo quadrático, e portanto mais diEícil de ser resolvido;

§  Penaliza desvios para ambos os sentidos: §  Cenários de alta rentabilidade também são penalizados;

§  Não é uma medida coerente para medida ao risco;



Medidas de risco

Probabilidade de dé[icit (shortfall probability, Browne, 1999) §  De[inição: probabilidade do lucro

ser menor que um valor pre;ixado η.

§  Em termos gerais, quanto menor a probabilidade de déEicit, melhor para o tomador de decisão.

§  A probabilidade de déEicit é dada pela soma das probabilidades dos cenários abaixo (“à esquerda”) de η.

SP (, x) = P (! | f(x,!) < ), 8 2 R

P (!)

f(x,!)

SP (, x)



max

x,y(!),(!)(1 )

c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

!

X

!2

(!)(!)

s.a:

Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2

c

T

x+ q(!)

T

y(!)

M(!), 8! 2

(!) 2 0, 1, 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2

Medidas de risco

§  Incorporando a probabilidade de dé[icit no modelo neutro a risco:

Estrutura matemática que “conta” quantos cenários Eicam abaixo de η e acumula suas probabilidades



Medidas de risco


max

xf ,yt!

(1 )

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

!

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A

10X

!=1

!

!

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

y

t!

0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A M

!

,! = 1, . . . , 10

!

2 0, 1



Medidas de risco

§  Resultados (β = 1, η=$175) §  FO = $539.44 (13% menor)

§  Solução ótima: §  x1* = 49; x2* = x3* = 0;

Cenário Lucro ($) θ

1 1028.54 0

2 1165.42 0

3 1055.83 0

4 175.00 0

5 -‐804.27 1

6 1247.08 0

7 -‐147.08 1

8 250.73 0

9 849.58 0

10 573.54 0 SP ($175, x) =10X

!=1

!! = 0.1(1) + 0.1(1) = 0.2



Medidas de risco

Observações: probabilidade de dé[icit §  Aumenta a complexidade do problema ao inserir variáveis inteiras na formulação;

§  Não nos permite obter informações relativas a distribuição dos lucros além de η; §  Uma cauda gorda não é capaz de ser detectada;

§  Não consiste de uma uma medida coerente de risco: §  Unidade de medida distinta (não é lucro!);

§  Valor meta Eixo η;



Medidas de risco

Escassez esperada (expected shortage, Acerbi, Nordio e Sirtori, 2001) §  De[inição: valor esperado do lucro dos cenários com um lucro menor que um valor preEixado η.

ES(, x) = E [max f(x,!), 0]SP (, x)

, 8 2 R

Para fazer a conta da média, precisamos considerar só a probabilidade dos cenários que dão lucro menor que η.

P (!)

f(x,!)

ES(, x)



Medidas de risco

§  Incorporando a escassez esperada no modelo neutro à risco:

Estrutura matemática que acumula quanto cada cenário excedeu η e calcula a média dos excessos.

max

x,y(!),(!)(1 )

c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

!

X

!2

(!)s(!)

s.a:

Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2

c

T

x+ q(!)

T

y(!)

s(!), 8! 2

s(!) 0, 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2



Medidas de risco


max

xf ,yt!

(1 )

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

!

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A

10X

!=1

!

s

!

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

y

t!

0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A s

!

,! = 1, . . . , 10

s

!

0



Medidas de risco

§  Resultados: (β = 1, η=$0) §  FO = $208.65 (62% menor) §  Solução ótima:

§  x1* 50; x2* = 30; x3* = 25

Cenário Lucro ($) s

1 463.50 0

2 499.50 0

3 502.00 0

4 69.50 0

5 -‐545.50 545.50

6 626.00 0

7 -‐140.50 140.50

8 106.00 0

9 363.00 0

10 143.00 0 ES(0, x) = 0

P10!=1 !s

!P10

!=1|s0 !

=54.55 + 14.05

0.2= $342.75



Medidas de risco

§  Observações: escassez esperada §  Note que, neste caso:

§  A complexidade é pouco afetada;

§  O risco é medido na mesma unidade do lucro;

§  No entanto, ainda assim não é uma medida coerente de risco: §  Valor Eixo η



Medidas de risco

Value-‐at-‐Risk (Jorion, 2000) §  De[inição: Dado uma probabilidade

α, O VaR é dado pelo maior valor η que garante que a probabilidade de se obter um lucro menor que η é menor que 1-‐α.

§  Pode-‐se pensar o VaR como sendo o quantil (1-‐α) da distribuição do lucro

P (!)

f(x,!)

V aR(↵, x) = max :

P (!|f(x,!) < ) 1 ↵, 8↵ 2 (0, 1)

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Medidas de risco

§  Incorporando o VaR ao modelo neutro à risco:

Estrutura matemática que “conta” quais cenários excederam η ao passo que maximiza η dinamicamente

max

x,y(!),(!),(1 )

c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

!+

s.a:

Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2

X

!2

(!)(!) 1 ↵

c

T

x+ q(!)

T

y(!)

M(!), 8! 2

(!) 2 0, 1, 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2



Medidas de risco


max

xf ,yt!,!,

(1 )

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

!

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A+

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

y

t!

0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A M

!

,! = 1, . . . , 10

10X

!=1

!

!

1 ↵

!

2 0, 1,! = 1, . . . , 10



Medidas de risco

§  Resultados: (β = 1, α=0.8) §  FO = $535.75 (η=$177.50) §  Solução ótima:

§  x1* 50; x2* = 0; x3* = 0

Cenário Lucro ($) θ

1 1022.50 0

2 1157.50 0

3 1050.00 0

4 177.50 0

5 -‐795.00 1

6 1240.00 0

7 -‐142.50 1

8 252.50 0

9 845.00 0

10 570.00 0

η (VaR)

P (!|f(x,!) < ) = 0.1 + 0.1 = 0.2



Medidas de risco

§  Obsevações: VaR §  Também aumenta a complexidade do problema, ao inserir variáveis inteiras;

§  Assim como o shortfall probability, não é possível obter informações referentes à “espessura” da cauda; §  A cauda pode ser “gorda”, no sentido de cenários avassaladores poderem vir a ocorrer com relativa probabilidade;

§  Não é uma medida coerente de risco



Medidas de risco

§  Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR, Rockafellar e Uryasev, 2000) §  De[inição: Dado uma probabilidade α, O CVaR é deEinido como a média dos lucros menores que o quantil 1-‐α da distribuição de lucro.

§  No caso de todos os cenários serem equiprováveis, o CVaR é computado como o lucro esperado dos (1-‐ α)% piores cenários.

P (!)

f(x,!)

CV aR(↵, x) = max 1

1 ↵

E[max f(x,!), 0], 8↵ 2 (0, 1)

CV aR(↵, x)



Medidas de risco

§  Incorporando o CVaR ao modelo neutro à risco:

max

x,y(!),s(!),(1 )

c

T

x+

X

!2

(!)q(!)

T

y(!)

!+

P!2 (!)s(!)

1 ↵

s.a:

Ax = b

T (!) +W (!)y(!) = h(!), 8! 2

c

T

x+ q(!)

T

y(!)

s(!), 8! 2

s(!) 0, 8! 2

x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2

Estrutura matemática que acumula o que excede de η ao passo que maximiza η



Medidas de risco


max

xf ,yt!,!,

(1 )

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

10X

!=1

!

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A+

P10!=1 !

s

!

1 ↵

!

s.a:

0 x

f

X

max

f

, f = 1, 2, 3

3X

f=1

x

f

+ y

t!

= P

C

t

, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

y

t!

0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10

0

@3X

t=1

C

P

C

t

3X

f=1

3X

t=1

F

f

x

f

3X

t=1

P

t!

y

t!

1

A s

!

,! = 1, . . . , 10

s

!

0,! = 1, . . . , 10



Medidas de risco

§  Resultados: (β = 1, α = 0.8) §  FO = $208.65 (62% menor) §  Solução ótima:

§  x1* 50; x2* = 30; x3* = 25

Cenário Lucro ($) s

1 463.50 0

2 499.50 0

3 502.00 0

4 69.50 0

5 -‐545.50 405.00

6 626.00 0

7 -‐140.50 0

8 106.00 0

9 363.00 0

10 143.00 0 CV aR(↵, x) = 140.50 1

1 0.8(0.1 405.00) = 343.00



Medidas de risco

§  Observações: CVaR §  Também conhecido como “mean excess loss” ou “average value-‐at-‐risk”

§  Não aumenta a complexidade pois não são adicionadas variáveis inteiras;

§  É capaz de levar em conta o efeito de “caudas gordas”;

§  E ainda é uma medida coerente de risco.



Medidas de risco

§  Observações Einais: §  Levar em conta riscos permite tomar decisões que evitam resultados indesejados

§  Usualmente, a gestão de risco é feito por intermédio de medidas de risco.

§  Algumas medidas tradicionais: §  Variância – não-‐linear §  Shortfall probability e expected shortfall – requerem targets e aumentam complexidade, mas são amigáveis no que se refere a algoritmos de decomposição

§  VaR e CVaR não usam tais targets. Mais ainda, CVaR é coerente. §  Atualmente CVaR é amplamente utilizado pois, além de ser uma medida coerente, pode ser expresso através de funções lineares



Otimização Robusta

§  Consiste de um paradigma completamente diferente, no que se refere a consideração de incerteza em problemas de otimização;

§  Neste caso, o paradigma envolve questões como aversão à risco e viabilidade §  Alguns autores consideram a utilização de medidas de risco e o uso de chance constraints como otimização robusta

§  Os primeiros trabalhos sobre otimização robusta datam da década de 50 §  Análise de pior caso e modelos maximin (ou minimax); §  Na década de 70, ganhou força novamente com o trabalho de Soyster (73). §  Um novo “boom” aconteceu no início da década de 00, com os trabalhos de Dimitri Bertsimas e Melvin Sim (2004).

§  Atualmente, existem diversas formas de se ver um problema de otimização que podem ser consideradas com sendo “otimização robusta”




§  Oriunda da necessidade de se gerar soluções robustas. §  Imunes à erros de estimação dos dados de entrada ou eventuais variabilidades;

§  O conceito de robustez está intrinsicamente atrelado a deEinição de um conjunto de incerteza. §  Conjunto que deEine a permissividade de variabilidade;

§  A geometria do conjunto de incerteza é fundamental para a tratabilidade do problema;

minx

c

T

x+ d

s.a: Ax b

minx

c

T

x+ d

s.a: Ax b, (c, d, A, b) 2

min

x

max

(c,d,A,b)2c

T

x+ d

s.a: Ax b Pior caso!

Conjunto de!incerteza!

DETERM

INÍSTICO

SOB INCERTEZA

ROBUSTO




§  A otimização robusta se baseia na “análise de pior caso” §  Estaremos sempre buscando a melhor solução possível, assumindo que a natureza se comportará da pior maneira possível.

§  Desta forma, seja o seguinte problema de otimização linear:

§  Assumindo que o valor da função objetivo é nosso “medidor de qualidade” de uma dada solução, temos…

minx

c

T

x+ d

s.a: Ax b

minx

c

T

x+ d

s.a: Ax b, (c, d, A, b) 2

Modelo determinísAco Modelo sob incerteza Conjunto de incerteza




§  Assumindo que o valor da FO é nosso “medidor de qualidade” de uma dada solução, temos… §  Pior que pode acontecer:

§  Dessa forma, podemos deEinir o nosso problema robusto (contraparte robusta) como sendo:

max

(c,d,A,b)2c

Tx+ d

min

x

max

(c,d,A,b)2c

T

x+ d

s.a: Ax b

Pior caso (worst-‐case scenario)




§  Hipóteses básicas: 1.  As variáveis de decisão x representam decisões do tipo “aqui e agora”, ou seja, a

elas devem ser atribuídos valores como resultado da resolução do problema antes que os dados reais se revelem;

2.  O agente tomador de decisão só é responsável pelas consequências das decisões realizadas quando, e somente quando, os dados reais estão dentro do conjunto de incertezas Θ;

3.  As restrições são inElexíveis, i.e., não são permitidas violações; §  DeEinições:

§  Conjunto de incerteza: seja o conjunto Ji o conjunto de coeEicientes de uma dada linha i de A que estão sujeitos à incerteza.

§  Cada entrada aij de A é modelada como uma variável aleatória ãij que assume valores no intervalo simétrico e limitado [aij – âij, aij + âij ]. Além disso, deEinimos ηij = (ãij -‐ aij)/âij, que obedece uma distribuição qualquer desconhecida e assume valores no intervalo [-‐1, 1] ;




§  Dessa forma, podemos pensar (sem perda de generalidade) a contraparte robusta como sendo o seguinte problema de otimização binível:

§  Observação: §  No caso de a incerteza ser em um dos coeEicientes da FO, ou em um termo independente, o problema pode ser facilmente reescrito na forma acima. §  Para tal, basta reescrever a função objetivo como uma restrição e “anexa-‐la” a matriz A.

min

x

c

T

x

s.a:

X

j

a

ij

x

j

+max

2U

8<

:X

j2Ji

ij

a

ij

x

j

9=

; b

i

, 8i

x

j

0, 8jPior caso (worst-‐case scenario)



Contraparte robusta

Representação em “caixa” (Soyster, 1973) §  A ideia é utilizar uma caixa para

representar o conjunto de possíveis valores para os parâmetros incertos §  Utiliza-‐se o máximo nível de proteção possível;

§  Assume-‐se que todos os parâmetros incertos assumirão o pior valor possível simultâneamente.

§  Vantagem: simplicidade de implementação;

§  Desvantagem: elevado grau de conservadorismo (alta deterioração da função-‐objetivo)

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2



Contraparte robusta

max

2U

8<

:X

j2Ji

ij aijxj : |j | 1, 8j 2 Ji

9=

;

=

X

j2Ji

aijxj

No óAmo do pior caso, η = 1 se âij é posi7vo para todo i,j

U = | kk1 1 = |j | 1, 8j 2 Ji

DeEinição da caixa como conjunto de incerteza:

No pior caso, temos que:








Contraparte robusta

minx

c

T

x

s.a:X

j

a

ij

x

j

+X

j2Ji

a

ij

x

j

b

i

, 8i

x

j

0, 8j

Parcela de proteção ao pior caso.

U = | kk1 1 = |j | 1, 8j 2 Ji

Assim, a contraparte robusta pode ser escrita como sendo:








Contraparte robusta

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Representação em “esfera” (Ben-‐Tal & Nemirovski, 2000) §  A ideia é reduzir o elevado

conservadorismo da representação de Soyster por intermédio de uma estrutura geométrica elipsoidal.

§  A intuição da forma utilizada se refere ao “feeling” que a probabilidade de todos os parâmetros assumirem seus piores casos simultaneamente é baixa. §  A técnica permite que seja controlado

o nível de conservadorismo, através da deEinição do “diâmetro”

§  Vantagem: redução (e eventual controle) do conservadorismo;

§  Desvantagem: aumenta a complexidade do problema (SOCP)

ΩΩ= 1



Contraparte robusta

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2







ΩΩ= √2



Contraparte robusta

max

2U

8<

:X

j2Ji

ij aijxj :

X

j2Ji

2ij

2

9=

;

=max

2U

8>><

>>:

vuuut

0

@X

j2Ji

ij aijxj

1

A2

:

X

j2Ji

2ij

2

9>>=

>>;

=max

2U

8>><

>>:

vuuut

0

@X

j2Ji

ij

1

A2 0

@X

j2Ji

aijxj

1

A2

:

X

j2Ji

2ij

2

9>>=

>>;

=

sX

j2Ji

a

2ijx

2j

U = | kk2 =

8<

:X

j2Ji

2j 2

9=

;

DeEinição do elipsóide como conjunto de incerteza:










Contraparte robusta

minx

c

T

x

s.a:X

j

a

ij

x

j

+

sX

j2Ji

a

2ij

x

2j

b

i

, 8i

x

j

0, 8j


U = | kk2 =

8<

:X

j2Ji

2j 2

9=

;










Contraparte robusta

Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) §  Neste caso também busca-‐se reduzir

o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; §  A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.

§  Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.

§  Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;

§  Desvantagem: interpretação de Γ; a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 1



Contraparte robusta

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 2





§  Desvantagem: interpretação de Γ;



Contraparte robusta

max

2U

8<

:X

j2Ji

ij aijxj :

X

j2Ji

|j |

9=

;

DeEinição do poliédro Γ-‐dimensional como conjunto de incerteza:


max

z

X

j2Ji

aijxjzij

s.a:

X

j2Ji

zij i

0 zij 1, 8j 2 Ji

U = | kk1 = X

j2Ji

|j |

Que pode ser escrito como o seguinte problema de otimização:








Contraparte robusta

min,p

X

j2Ji

pij + ii

s.a: i + pij aijxj

pij 0, 8j 2 Ji

i 0

max

z

X

j2Ji

aijxjzij

s.a:

X

j2Ji

zij i

0 zij 1, 8j 2 Ji

Para que evitemos poblemas de não-‐linearidade, consideramos a formulação dual deste problema:








minx

c

T

x

s.a:X

j

a

ij

x

j

+

i

i

+X

j2Ji

p

ij

b

i

, 8i

i

+ p

ij

a

ij

y

j

, 8i, j 2 J

i

x

j

0, 8jp

ij

0, 8i, j

i

0, 8i

Contraparte robusta


U = | kk1 = X

j2Ji

|j |









Exemplo Prático

Problema da mochila

§  Instância considerada: §  50 itens, cj = U[1, 200], pj = U[1, 100]; §  Desvios aleatórios de 50% para qj ;

max

x

X

j

c

j

x

j

s.a:

X

j

q

j

x

j

V

0 x

j

1, 8j



Exemplo Prático

Problema da mochila §  Contrapartes robustas

max

x

X

j

c

j

x

j

s.a:

X

j

q

j

x

j

+

X

j

q

j

x

j

V

0 x

j

1, 8j

max

x

X

j

c

j

x

j

s.a:

X

j

q

j

x

j

+

sX

j

q

2j

x

2j

V

0 x

j

1, 8j

max

x

X

j

c

j

x

j

s.a:

X

j

q

j

x

j

+ +

X

j

p

j

V

+ p

j

q

j

x

j

, 8j0 x

j

1, 8j

Soyster

Ben-‐Tal & Nemirovski

Bertsimas & Sim



Exemplo Prático

Resultados: Soyster

Ben-‐Tal & Nemirovski

Bertsimas & Sim

# Var. 50 50 101 # Const. 51 51 101 Tipo LP NLP LP FO 3874 4388 4483-‐3847

3800

3900

4000

4100

4200

4300

4400

4500

4600

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Valor d

a FO

Γ

Γ = 1 a 50

Pior caso sempre coberto para Γ> 30



Garantias probabilísticas

§  Tanto a geometria quanto a extensão do conjunto de incerteza é deEinida pelo decisor.

§  O espaço de incerteza, por sua vez, é pre-‐estabelecido a priori.

§  Dependendo do “orçamento de robustez” estabelecido, a abrangência do espaço é maior ou menor, segundo o quanto de tal espaço é coberto pelo conjunto estabelecido.

§  Ao analisar a proporção entre o conjunto de incerteza e o espaço de incerteza, podemos pensar em probabilidades de viabilidade

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 1

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 2




§  Se o conjunto de incerteza cobre completamente o espaço de incerteza temos que probabilidade de inviabilidade é zero (Soyster).

§  No entanto, pode ser conservador demais buscar cobrir o espaço de incerteza completamente.

§  Dessa forma, buscamos avaliar o trade-‐off entre cobrir parte do conjunto, aceitando certo grau de exposição.

§  A pergunta é: como medimos esse grau de exposição? §  Usando uma medida de probabilidade de inviabilidade.

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 1

a1

a2

[a1 a1] [a1 + a1]

[a2 a2]

[a2 + a2]

a1

a2

Γ = 2




Probabilidade de inviabilidade §  Podemos deEinir a probabilidade de inviabilidade como sendo o seguinte:

§  Existem vários limites para essa probabilidade que são conhecidos na literatura. §  Em geral eles estão associados com a geometria do conjunto

§  Um exemplo é a expressão geral, que é comprovadamente um limite para Pvio é dado por:

P

vio = Pr

8<

:X

j

aijxj +X

j2Ji

j aijxj > bi

9=

;

P vio e2

2|Ji|

onde:

= = 1 (Soyster)

= (Ben-tal e Nemirovski)

= (Bertsimas e Sim)




Probabilidade de inviabilidade §  Podemos deEinir a probabilidade de inviabilidade como sendo o seguinte:

P

vio = Pr

8<

:X

j

aijxj +X

j2Ji

j aijxj > bi

9=

;

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Probabilidade

Gama

Limite para probabilidade



Restrições probabilísticas

§  Em determinadas situações pode não ser possível o estabelecimento de custos de recurso

§  Pensando no custo do recurso como uma penalização para o desvio face a uma meta, pode ser o caso de estarmos interessados em atendê-‐la somente na maioria dos casos §  Ou seja, que, para algumas realizações, tais metas poderiam não ser atendidas.

§  Dessa forma, consideraremos que uma decisão será admissível se ela satisfazer as restrições com probabilidade igual ou maior que um grau de con;iabilidade α

p(x) := PT (!)x h(!) ↵




§  Tais restrições são conhecidas como restrições probabilisticas e busam inserir a consideração admissibilidade relativa.

§  T(ω) é uma matriz m x n, h(ω) um vetor m e p(x) representa a conEiabilidade da decisão. §  Pensando em T(ω)x ≥ h(ω) como uma meta, p(x) pode ser entendido como a probabilidade de satisfazer tal meta.

§  Note que, neste caso, estamos preocupados com a satisfação da meta (T(ω)x ≥ h(ω)), sem se importar com a magnitude da violação. §  Em problemas com recurso a ótica é exatamente oposta.

p(x) := PT (!)x h(!) ↵




§  Existem duas classes de restrições probabilísticas: §  Restrições Probabilísticas Individuais (RPI)

§  Restrições Probabilísticas Conjuntas (RPC)

§  A principal diferença é que, nas RPI, metas são estabelecidas individualmente, enquanto nas RPC há uma espécie de atendimento simultâneo. §  Se, quando agrupadas, as metas individuais representam uma única meta síntese è RPC

§  Se cada uma das metas individuais descreve um objetivo diferente è RPI

pi(x) := PTi(!)x hi(!) ↵i, 8i = 1, . . . ,m

p(x) := PTi(!)x hi(!), 8i = 1, . . . ,m ↵




§  Existem duas classes de restrições probabilísticas: §  Restrições Probabilísticas Individuais (RPI)

§  Restrições Probabilísticas Conjuntas (RPC)

§  Considerações de ordem prática: em geral, RPC são muito mais diEíceis computacionalmente do que várias RPI. §  Em alguns casos podem ser usar RPI para aproximar uma RPC §  Propriedade: considere p(x) > α. Se x satisfaz pi(x) > αi, para todo i = 1,…, m, sendo αi = 1 – (1-‐α)/m, então x satisfaz p(x) > α (vide desigualdade de Bonferroni)

pi(x) := PTi(!)x hi(!) ↵i, 8i = 1, . . . ,m

p(x) := PTi(!)x hi(!), 8i = 1, . . . ,m ↵




§  Exemplo: gestão de um fundo de pensão §  Considere um fundo de pensão de uma companhia com certas obrigações Einanceiras para os próximos 15 anos.

§  Capital inicial $250 000,00. §  Três títulos (bonds) que dão retornos anuais (coupons). §  Objetivo: maximizar o total de dinheiro ao Eim de 15 anos.

§  αij – rendimento por título I no ano j §  βj – pagamento a ser feito no ano j §  γi – custo por título do tipo I §  xi – quantidade de títulos i a serem comprados

K nX

i=1

ixi +jX

k=1

nX

i=1

↵ikxi jX

k=1

k

Dinheiro após a compra

Rendimentos dos títulos

Pagamentos




§  Exemplo: gestão de um fundo de pensão §  Vamos assumir que queremos montantes de dinheiro positivos em todos os períodos.

§  SimpliEicando a notação:

K nX

i=1

ixi +jX

k=1

nX

i=1

↵ikxi jX

k=1

k 0, 8j = 1, . . . , 15

aij :=jX

k=1

↵ik i

bj :=jX

k=1

k K

max

x0

nX

i

a

im

x

i

s.a:

nX

i

a

ij

x

i

b

j

, j = 1, . . . ,m

Lucro com bounds até o ano m

Lucro positivo em cada ano




§  Dados do problema e solução:

(x1, x

2, x

3) = (31, 11; 55, 53; 147, 29)

Solução ótima: Valor Einal: 127 331,97

Fluxo de dinheiro ao longo dos anos




§  Note que, formalmente, em nenhum momento a restrição é violada, porém em 3 momentos temos uma quantidade de dinheiro nula. §  Solução muito dependente da exatidão dos

pagamentos (βj)

§  Agora, vamos considerar que tais pagamentos se comportam como uma variável aleatória de média βj e desvio-‐padrão 500 x j.

§  Ao simularmos 100 cenários e analisarmos o Eluxo de dinheiro, observamos que 77 dos 100 cenários apresentam ;luxo negativo em algum momento do horizonte de planejamento (15 anos)




§  De forma a tornar a solução mais robusta, vamos utilizar restrições probabilisticas individuais §  Pediremos que a probabilidade de se estar com uma quantidade positiva de dinheiro seja maior que α = 95%.

§  Para tal, vamos deEinir:

§  Assim, podemos reescrever nosso problema como sendo:

j =jX

k=1

j K

max

x0

nX

i

a

im

x

i

s.a: P(

nX

i

a

ij

x

i

j

) ↵

j

, j = 1, . . . ,m




§  Em geral, tais problemas não são fáceis de resolver. §  Em geral se baseia em aproximações ou premissas que simpliEicam o tratamento.

§  Nesse caso em particular, assumindo normalidade e independência, temos:

2j =

jX

k=1

2k, j = 1, . . . ,m

P

nX

i=1

aijxi j

! ↵j )

nX

i=1

aijxi bj + jq↵j

Independência Normalidade

P

nX

i=1

aijxi j

! ↵j = P

1j

nX

i=1

aijxi bj

! j

!

Linear e comportada!

j = 1i

(j j)




§  Solução ótima §  Há uma tendência de migração para os títulos de menor prazo

§  Aqui, 14 dos 100 cenários apresentam Eluxo negativo.

§  Note que, ainda assim, não é uma proteção deEinitiva, dado que a proteção é feita para cada ano

(x1, x

2, x

3) = (62, 87; 72, 63; 101, 06)

Valor ;inal: $103 924,54




§  O problema é que, apesar das restrições RPI garantirem que em cada ano a probabilidade de rendimentos negativos ser pequena, a probabilidade de rendimentos negativos em pelo menos um ano continua alta. §  Note que, para uma conEiabilidade de 95%, 14% dos cenários apresentam Eluxo negativo ao

longo dos 15 anos.

§  Para, tal podemos considerar tais restrições de forma conjunta, por intermédio de RPC §  Dessa, podemos reformular nosso problema como sendo:

§  Má notícia: integral multidimensional para a qual não é conhecida conversão determinística. §  Alguns softwares possuem módulos built-‐in para tratamento desse tipo de problema,

particularmente no caso normal multivariado. §  São dados de entrada o vetor de médias e a matriz de covariância.

max

x0

nX

i

a

im

x

i

s.a: P(

nX

i

a

ij

x

i

j

, j = 1, . . . ,m

) ↵




§  Solução ótima §  Novamente há uma tendência de migração para os títulos de menor prazo §  Aqui, somente 5 dos 100 cenários apresentam Eluxo negativo.

Valor ;inal: $99 101,75 (x

1, x2, x

3) = (66, 91; 80, 26; 89, 30)




Propriedades importantes: §  Problemas com restrições probabilística são pouco difundidos devido a sua complexidade computacional.

§  Não existem resultados gerais que garantam convexidade do conjunto viável desse tipo de restrição.

§  Ex.: ω uniforme [0, 1]

RPC : C(↵) = x | p(x) ↵RPI : C(↵1, . . . ,↵m) = \m

i=1Ci(↵i) = \mi=1pi(x) ↵i

p(x) = P(!x1 + x2 7)

= P! 7 x2

x1

= 1 7 x2

x1

1 7 x2

x1 ↵ ) (1 ↵)x1 + x2 7




Propriedades importantes: §  Problemas com restrições probabilística são pouco difundidos devido a sua complexidade computacional.

§  Não existem resultados gerais que garantam convexidade do conjunto viável desse tipo de restrição.

§  Ex.: ω uniforme [0, 1]

RPC : C(↵) = x | p(x) ↵RPI : C(↵1, . . . ,↵m) = \m

i=1Ci(↵i) = \mi=1pi(x) ↵i

1 7 x2

x1 ↵ ) (1 ↵)x1 + x2 7

α = 0,3 α = 0,7

Só é convexo para α > 0,5!




Propriedades importantes: §  BOA NOTÍCIA: Existem casos particulares para os quais são garantidos

resultados de convexidade §  Caso 1: Caso univariado, matriz T determinística e h(ω) = ω. Sendo F a a

função distribuição (acumulada) de ω, C(α) é fechado e convexo para α =[0,1]

§  Caso 2: Caso multivariado, matriz T deterministica e h(ω) = ω. Sendo F a função distribuição (acumulada) e f a densidade de ω, se: 1.  log(f) é côncava (Prékopa) ou 2.  f-‐1/m é convexa (Borell) Então C(α) é fechado e convexo para α =[0,1] §  Casos onde isso vale: Normal multivariada e uniforme.

p(x) := PTx ! ↵

) C(↵) = x | Tx F

1(↵)




Propriedades importantes: §  BOA NOTÍCIA: Existem casos particulares para os quais são garantidos

resultados de convexidade §  Caso 3: Caso multivariado, matriz T estocástica e e h(ω) = h determinístico.

com média μ e matriz de covariância Σ. Então C(α) é convexo para α =[1/2,1]

§  Quando a matriz T não é constante, tais problemas crescem muito em complexidade. §  Podem ser usadas técnicas de amostragem para obtenção de estimativas para valor da solução ótima

§  Em geral, usa-‐se o caso normal como referência

C(↵) =n

x 2 Rn | µTx h+ 1(↵)

px

Txo

mini-curso: introdução à otimização sob incerteza aula 3 ... · mini-curso: introdução à...

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