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Uma Introdução à Otimização sob IncertezaAula 2

Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto José Bortolossi2

1Departamento de MatemáticaPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

2Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal Fluminense

III Bienal da SBMUniversidade Federal de Goiás

6 a 10 de novembro de 2006

B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 1

Programação Linearcom Coeficientes Aleatórios


Programação Linear com Coeficientes Aleatórios

Dois modelos clássicos para otimização estocástica:

ESPERE E VEJA (WAIT AND SEE)

O agente de decisão pode esperar pela realização doscoeficientes aleatórios.

AQUI E AGORA (HERE AND NOW)

O agente de decisão faz suas escolhas antes ousem conhecimento das realizações dos coeficientesaleatórios.

Dificuldade adicional: definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam.Especificações adicionais são necessárias.


O problema da mistura

Pedro (irmão de João) também é fazendeiro. Ele consultou umagrônomo que recomendou para cada 100 m2 de terra:

7 g do nutriente A e 4 g do nutriente B.

Pedro dispõe de dois tipos de adubo para suprir estes nutrientes.1. Cada kg do adubo 1 possui ω1 g de A e ω2 g de B.

2. Cada kg do adubo 2 possui 1 g de A e 1 g de B.

Cada kg de cada tipo de adubo custa uma unidade monetária.



Problema de otimização: o quanto comprar de cada adubo paraatender a necessidade de nutrientes (em 100 m2) minimizando ocusto de compra?

x1: quantidade (em kg) do adubo 1 que foi comprada.x2: quantidade (em kg) do adubo 2 que foi comprada.

minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a ω1 x1 + x2 ≥ 7,

ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.



Problema de otimização: o quanto comprar de cada adubo paraatender a necessidade de nutrientes (em 100 m2) minimizando ocusto de compra?

x1: quantidade (em kg) do adubo 1 que foi comprada.x2: quantidade (em kg) do adubo 2 que foi comprada.


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.




ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Mas . . .

ω1 e ω2 são coeficientes incertos!

ω1 é uniformemente distribuída no intervalo [1, 4].ω2 é uniformemente distribuída no intervalo [1/3, 1].ω1 e ω2 são independentes!




ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Mas . . .

ω1 e ω2 são coeficientes incertos!ω1 é uniformemente distribuída no intervalo [1, 4].ω2 é uniformemente distribuída no intervalo [1/3, 1].ω1 e ω2 são independentes!


Interlúdio: Applet Java


Abordagem “Espere e Veja”

O agente de decisão pode fazer a escolha dos valores dex = (x1, x2) depois da realização de ω = (ω1, ω2).

O problema da mistura, neste contexto, é um PL paramétrico.

A solução ótima e o valor ótimo são calculados em funçãode ω = (ω1, ω2):

(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))

=

(3

ω1 − ω2,4 ω1 − 7 ω2

ω1 − ω2

), se

7ω1

≤ 4ω2

,

(7ω1

, 0)

, caso contrário.






(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))

=

(3

ω1 − ω2,4 ω1 − 7 ω2

ω1 − ω2

), se

7ω1

≤ 4ω2

,

(7ω1

, 0)

, caso contrário.






v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))

=3 + 4 ω1 − 7 ω2

ω1 − ω2, se

7ω1

≤ 4ω2

,

7ω1

, caso contrário.



Tendo em mãos o valor ótimo

v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))

=3 + 4 ω1 − 7 ω2

ω1 − ω2, se

7ω1

≤ 4ω2

,

7ω1

, caso contrário,

podemos então calcular a média, a variância, etc.

média = E [v∗(x∗1 (ω1, ω2), x∗2 (ω1, ω2))] = 4.7526655 . . . .


Abordagem “Aqui e Agora”

O agente de decisão deve fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).

Sem se conhecer os coeficientes, as definições habituais deadmissibilidade e otimalidade não se aplicam!


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Especificações adicionais de modelagem são necessárias.

Veremos 3 delas:1. Abolir incertezas.



O agente de decisão deve fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).



ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Especificações adicionais de modelagem são necessárias.Veremos 3 delas:

1. Abolir incertezas.



O agente de decisão pode fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).



ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.


2. Incorporar riscos nas restrições (chance constraints).



O agente de decisão pode fazer a escolha de x = (x1, x2) semconhecer os valores de ω = (ω1, ω2).



ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.


3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits esperados.


1. Abolir incertezas

O agente de decisão simplesmente faz uma escolhaapropriada para ω e, então, ele resolve o problemadeterminístico correspondente.



Escolha “pessimista”: ω̂ = (1, 1/3).

7

4

79/2

5/2

0 12 x 1

x 2

Ponto ótimo: x̂ = (9/2, 5/2). Valor ótimo: v̂ = 7.



Escolha “neutra”: ω̂ = (5/2, 2/3) = E[(ω1, ω2)].

7

4

0 614/518/11 x 1

x 2

32/11

Ponto ótimo: x̂ = (18/11, 32/11). Valor ótimo: v̂ = 50/11 = 4.54.



Escolha “otimista”: ω̂ = (4, 1).

7

4

0 47/41 x 1

x 2

3

Ponto ótimo: x̂ = (1, 3). Valor ótimo: v̂ = 4.


2. Incorporar riscos nas restrições

O agente de decisão descreve uma “medida de risco”, fazuma escolha do “nível máximo de risco aceitável” e, então, eleincorpora estes elementos nas restrições do programa linear.

O agente de decisão pode escolher entre níveis de confiabilidadeindividuais ou um nível de confiabilidade conjunto.



Níveis de confiabilidade individuais

O agente de decisão escolhe dois níveis de confiabilidadeindividuais:

α1 ∈ [0, 1], α2 ∈ [0, 1],

e ele decreta que

x = (x1, x2) ∈ [0,+∞)× [0,+∞) é admissível

m{P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1

P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2.




Problema Original


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Problema via Chance Constraints

minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1,

P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.




Se 0 ≤ α1 < 1 e 0 ≤ α2 < 1, então{P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) ≥ α1

P (ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α2⇐⇒

{F−1

1 (1− α1) x1 + x2 ≥ 7F−1

2 (1− α2) x1 + x2 ≥ 4

ondeF−1

i (α) := mint∈[−∞,+∞)

{t | Fi(t) ≥ α}

é o α-ésimo quantil de ωi .




Problema Original


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.


minimizar f (x1, x2) = x1 + x2

sujeito a F−11 (1− α1) x1 + x2 ≥ 7,

F−12 (1− α2) x1 + x2 ≥ 4,

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.




α1 = α2 = 2/3

F−11 (1−α1) = F−1

1 (1/3) = 2 e F−12 (1−α2) = F−1

2 (1/3) = 5/9.

minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a 2 x1 + x2 ≥ 7,

5 x1/9 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,

x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = (27/13, 37/13) = (2.076923, 2.846153),v∗ = 64/13 = 4.923076.



Nível de confiabilidade conjunto

O agente de decisão escolhe um nível de confiabilidade conjunto:

α ∈ [0, 1],

e ele decreta que

x = (x1, x2) ∈ [0,+∞)× [0,+∞) é admissível

m

P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α.




Problema Original


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.


minimizar f (x1, x2) = x1 + x2sujeito a P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ α,

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.




P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4)

=

P (ω1 x1 + x2 ≥ 7) · P (ω2 x1 + x2 ≥ 4)

=(

1− F1

(7− x2

x1

))·(

1− F2

(4− x2

x1

)), se x1 > 0,

1, se x1 = 0 e x2 ≥ 7,0, se x1 = 0 e 0 ≤ x2 < 7.




α = 2/3

P (ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4) ≥ 23

m

x2 ≥ max

−2 x1 + 7,11− 5 x1 +

√9− 18 x1 + 43

3 x21

2,−5 x1

9+ 4




α = 2/3

minimizarf (x1, x2) = x1 + x2

sujeito a

x2 ≥ max

−2 x1 + 7,11− 5 x1 +

√9− 18 x1 + 43

3 x21

2,−5 x1

9+ 4

,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

x∗ = (x∗1 , x∗2 ) = (54/43, 166/43) = (1.25 . . . , 3.86 . . .),v∗ = 220/43 = 5.1162790 . . ..


3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando déficits

A idéia é acrescentar à função objetivo parcelas que penalizaminadmissibilidade.

Notação: z− =

{0, se z ≥ 0,

−z, se z < 0.

(ω1 x1 + x2 − 7)− é uma “medida de inadmissibilidade”, pois

x1 e x2 não satisfazem a restrição ω1 x1 + x2 ≥ 7m

(ω1 x1 + x2 − 7)− > 0.

Escolhendo-se custos de penalidade unitários q1 > 0 e q2 > 0,as expressões

q1 Eω1

[(ω1 x1 + x2 − 7)−

]e q2 Eω2

[(ω2 x1 + x2 − 4)−

]representam então, respectivamente, os custos médios parainadmissibilidade nas restrições ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4.



A idéia é acrescentar à função objetivo parcelas que penalizaminadmissibilidade.

Notação: z− =

{0, se z ≥ 0,

−z, se z < 0.

(ω1 x1 + x2 − 7)− é uma “medida de inadmissibilidade”, pois

x1 e x2 não satisfazem a restrição ω1 x1 + x2 ≥ 7m

(ω1 x1 + x2 − 7)− > 0.

Escolhendo-se custos de penalidade unitários q1 > 0 e q2 > 0,as expressões

q1 Eω1

[(ω1 x1 + x2 − 7)−

]e q2 Eω2

[(ω2 x1 + x2 − 4)−

]representam então, respectivamente, os custos médios parainadmissibilidade nas restrições ω1 x1 + x2 ≥ 7 e ω2 x1 + x2 ≥ 4.



Problema Original


ω2 x1 + x2 ≥ 4,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.

Problema via Penalidades

minimizarx1 + x2 + q1 Eω1 [(ω1 x1 + x2 − 7)−] + q2 Eω2 [(ω2 x1 + x2 − 4)−]

sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.


uma introdução à otimização sob incerteza aula 2 · aula 2 bernardo kulnig pagnoncelli1 e...

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