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Mini-curso: Introdução à otimização sob incerteza

Aula 1 – Otimização Estocástica

Prof. Fabrício Oliveira [email protected]

Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A

UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira

1.  Exemplo – o problema do fazendeiro 2.  Modelos estocásticos de dois estágios com recurso

3.  Indicadores “de qualidade” •  EVPI

•  VSS

4.  Tipos de recurso 5.  Modelos multi-‐estágio!

Conteúdo programado!



Introdução – o caso do fazendeiro

Vamos iniciar com um exemplo: §  O fazendeiro John possui 500ha de terra

disponíveis. Ele é especialista em 3 cultivos: trigo, milho e cana-‐de-‐açucar. Durante o inverno, o mesmo precisa decidir quanto da terra dedicar a cada uma das 3 culturas;

§  Outra restrição importante é que John precisa produzir pelo menos 200ton. de milho e 240ton. de trigo para poder alimentar seu gado. Caso seja necessário, ele pode comprar estes produtos em um mercado local. Um eventual excesso também pode ser comercializado, porém a preços inferiores aos de compra.

§  A cana-‐de-‐açucar é cultivada exclusivamente para gerar lucro: toda produção é vendida para atacadistas à R$36,00/ton. No entanto, o governo impõe uma cota de produção de 6000ton., de forma que qualquer quantidade produzida acima deste valor deve ser vendida por apenas R$10,00/ton.

CANA-‐DE-‐ACUCAR TRIGO

MILHO

Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar

Rendimento médio (ton./ha) 2.5 3.0 20

Custo de produção (R$/ha) 150 230 260

Preço de venda (R$/ton) 170 150 36 ou 10

Preço de compra(R$/ton) 238 210 -‐

Requerimento mínimo (ton) 200 240 -‐




§  Sejam as seguintes variáveis de decisão: §  x1 – acres dedicados ao trigo §  x2 – acres dedicados ao milho §  x3 – acres dedicados a cana-‐de-‐açúcar §  w1 – toneladas de trigo vendidas §  y1 – toneladas de trigo compradas §  w2 – toneladas de milho vendidas §  y2 – toneladas de milho compradas §  w3 – toneladas de cana-‐de-‐açúcar vendidas ao preço mais favorável

§  w4 – toneladas de cana-‐de-‐açúcar vendidas ao preço menos favorável




§  O problema que maximiza o lucro do fazendeiro é dado por:

min z =150x1 + 230x2 + 260x3 + 238y1 � 170w1+

210y2 � 150w2 � 36w3 � 10w4

s.a:

x1 + x2 + x3 500

2, 5x1 + y1 � w1 � 200

3x2 + y2 � w2 � 240

w3 + w4 20x3

w3 6000

x1, x2, x3, y1, y2, w1, w2, w3, w4 � 0




§  O problema que maximiza o lucro do fazendeiro é dado por:

Custos de produção

Lucro com trigo

Lucro com milho

Receita com cana-‐de-‐açucar

Limite de terra

Req. de trigo e milho

Limites para cana-‐de-‐açucar

min z =150x1 + 230x2 + 260x3 + 238y1 � 170w1+

210y2 � 150w2 � 36w3 � 10w4

s.a:

x1 + x2 + x3 500

2, 5x1 + y1 � w1 � 200

3x2 + y2 � w2 � 240

w3 + w4 20x3

w3 6000

x1, x2, x3, y1, y2, w1, w2, w3, w4 � 0




§  Solução ótima:

§  Essa solução não é tão didícil de entender: §  Lucro da cana (favorável) por acre: 20 x 36 – 260 = R$460 §  Lucro do trigo por acre: 2,5 x 170 – 150 = R$275 §  Lucro do milho por acre: 3 x 150 – 230 = R$220 §  Lucro da cana (desfavorável) por acre: 20 x 10 – 260 = -‐R$60

120

80 300

Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar

Total Produzido

Total Comprado

Total Vendido

Trigo 300 -‐ 100

Milho 240 -‐

Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000

Lucro total R$118.600





§  Estratégia ótima: §  1) Maximizar produção de cana na faixa favorável; §  2) Atende requisitos mínimos de milho e trigo; §  3) Planta-‐se trigo com o que sobrar de terra.

120

80 300


Total Produzido

Total Comprado

Total Vendido

Trigo 300 -‐ 100

Milho 240 -‐

Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000






§  Agora, o que aconteceria se, por contas de condições climáticas, os rendimentos por hectare não forem exatamente os valores históricos médios?

120

80 300


Total Produzido

Total Comprado

Total Vendido

Trigo 300 -‐ 100

Milho 240 -‐

Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000





Vamos considerar dois cenários distintos: §  Cenário 1: condições climáticas favoráveis fazem os rendimentos serem

20% melhores.

§  Note que, neste caso, a estratégia é a mesma, mas a alocação de terra é completamente diferente, sendo necessárias áreas menores.

183.33

66.67

250


Total Produzido

Total Comprado

Total Vendido

Trigo 550 -‐ 350

Milho 240 -‐ -‐

Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000


Lucro 41% maior




Vamos considerar dois cenários distintos: §  Cenário 2: condições climáticas desfavoráveis fazem os rendimentos

serem 20% piores.

§  Neste caso, a estratégia ainda é a mesma, sendo necessárias áreas maiores. §  Aqui a estratégia é abortada no “passo 2” e o milho é complementado com o mercado

Total Produzido

Total Comprado

Total Vendido

Trigo 200 -‐ -‐

Milho 60 180 -‐

Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000


Lucro 50% menor

100 25

375





§  Claramente, o fazendeiro se vê nas mãos dos meteorologistas, o que não é exatamente vantajoso para o fazendeiro! §  O Fazendeiro precisa de precisão na previsão para antever a produtividade da terra è variável aleatória

§  Dependendo das condições climáticas, o lucro do fazendeiro pode variar de R$59.950 a R$167.667, assumindo que ele saberá qual vai ser a produtividade exata da terra;

§  O dilema do fazendeiro: quanto plantar de cana-‐de-‐açúcar ? -‐  Se plantar muito, pode acontecer de haver uma superprodução que será

prejudicada pelo preço pouco favorável (prejuízo), além da necessidade eventual de comprar trigo e milho;

-‐  Se plantar pouco, pode deixar de ganhar com o lucro da cana e ter que se contentar com o lucro baixo de um eventual excedente de trigo e/ou milho;

§  Obviamente, não existe uma solução que seja perfeita em todos os casos. Mas será que poderíamos fazer algo que, em geral, seja satisfatório?




§  Fica clara a necessidade de obtermos uma solução que leve em conta todos os cenários possíveis simultaneamente §  conceito de otimização estocástica.

§  Dessa forma, buscaremos por soluções que, em média, apresentem melhor desempenho §  Para medir a qualidade da solução face aos possíveis cenários, usa-‐se o valor esperado;

§  Dado que o fazendeiro pensa no longo-‐prazo, essa é uma premissa razoável;

§  Note que existe uma relação temporal entre a tomada das decisões e a realização da incerteza §  A terra precisa ser distribuída antes de se saber a produtividade §  Compra e venda só será realizada após colheita (quando será conhecida a produtividade)




§  Dessa forma, seja s = {1, 2, 3} o conjunto de cenários. §  Cenário è possível realização do fenômeno incerto;

§  Rededinindo as variáveis do problema tal que: §  yjs – quantidade de j comprada, caso ocorra cenário s

§  wis – quantidade de i vendida, caso ocorra cenário s

§  Note que, neste caso a variável x não precisa ser rededinida §  A quantidade plantada não pode ser dependente dos cenários de produtividade, pois não há como esperar a ocorrência da incerteza para se tomar tal decisão;

Decide plantação

Decide compra e venda



s = 2

Estágio 1

Estágio 2




§  Esta divisão entre momentos de tomada de decisão é o que se caracteriza por um estágio §  No exemplo, temos um problema de 2 estágios;

§  No caso de haver vários momentos onde há tomada de decisão, teremos um problema do tipo multi-‐estágio;

§  O ganho em se considerar o problema desta forma advém justamente da ]lexibilidade de se postergar parte das decisões do problema, segundo a realização da incerteza.

Decide plantação




s = 2

Estágio 1

Estágio 2



Introdução – o caso do fazendeiro §  Desta forma, a formulação do problema do fazendeiro como um

problema estocástico de 2 estágios é dado por: Custo 1o estágio

Custo cenário 1

Custo cenário 2

Custo cenário 3

Restrições cenário 1



min z =150x1 + 230x2 + 260x3

� 1

3(170w11 � 238y11 + 150w21 � 210y21 + 36w31 + 10w41)

� 1

3(170w12 � 238y12 + 150w22 � 210y22 + 36w32 + 10w42)

� 1

3(170w13 � 238y13 + 150w23 � 210y23 + 36w33 + 10w43)

s.a: x1 + x2 + x3 500

3x1 + y11 � w11 � 200, 3, 6x2 + y21 � w21 � 240

w31 + w41 20x3, w31 6000

2, 5x1 + y12 � w12 � 200, 3x22 + y22 � w22 � 240

w32 + w42 20x3, w32 6000

2x1 + y13 � w13 � 200, 2, 4x23 + y23 � w23 � 240

w33 + w43 20x33, w33 6000

x1, x2, x3 � 0

y11, y21, y12, y22, y13, y23 � 0

w11, w21, w31, w41, w12, w22, w32, w42, w13, w23, w33, w43 � 0



170

80

250



§  A solução para o problema estocástico é dada por: Total

Produzido Total

Comprado Total

Vendido

s=1 Trigo 510 -‐ 310 Milho 288 -‐ 48

Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000 Lucro no cenário: R$167000 (-‐0.42%)

s=2 Trigo 425 -‐ 225 Milho 240 -‐ -‐

Cana-‐de-‐açucar 5000 -‐ 5000 Lucro no cenário: R$109350 (-‐7.80%)

s=3 Trigo 340 -‐ 140 Milho 192 48 -‐

Cana-‐de-‐açucar 4000 -‐ 4000 Lucro no cenário: R$48820 (-‐18.57%) Lucro total (esperado) R$108390



Otimização estocástica

§  Algumas observações: 1.  Para consideração da distribuição de probabilidade da

incerteza, usamos uma aproximação discreta §  Pode-‐se usar a distribuição real de probabilidade, mas o cálculo do valor esperado rapidamente torna-‐se impossível (mais sobre isso em alguns slides)

2.  As decisões corretivas, tomadas após a realização da incerteza são conhecidas como decisões de recurso §  Do inglês recourse.

3.  A formulação apresentada é conhecida como equivalente determinístico (ED) ou forma estendida §  Alguns autores separam e/ou confundem essas noções. Aqui usaremos para a formulação com a incerteza representada por cenários previamente dedinidos.




§  Modelo estocástico 2 estágios: §  Consiste da versão mais “bem comportada” de modelos estocásticos;

§  Se adequa a uma vasta gama de problemas; §  Amplamente estudado e possuidor de diversas propriedades desejáveis.

§  Sejam: §  x – decisões de primeiro estágio è decisões tomadas antes da realização da incerteza, de caráter de]initivo

§  y – decisões de segundo estágio è decisões tomadas após realização da incerteza, de caráter corretivo

§  ξ – vetor aleatório è representa os valores incertos




§  Assim, a formulação geral de problemas estocásticos de 2 estágios com recurso é dada por:

§  Onde:

§  Neste caso, ξ é o vetor cujo componentes são q, h e T e que representa os valores que os parâmetros incertos podem assumir.

min c

Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]

s.a Ax = b

x � 0

Q(x, ⇠) = min�q(⇠)T y(⇠) | W (⇠)y(⇠) = h(⇠)� T (⇠)x, y � 0




§  No caso do fazendeiro, temos que:

§  Aqui, ξ = {t1(s), t2(s), t3(s)} , sendo q, W, e h dixos §  Exercício: identidicar quem são essas matrizes no problema do fazendeiro!

Q(x, s) = min 238y1(s)� 170w1(s) + 210y2(s)� 150w2(s)� 36w3(s)� 10w4(s)

s.a: t1(s)x1 + y1(s)� w1(s) � 200

t2(s)x2 + y2(s)� w2(s) � 240

w3(s) + w4(s) t3(s)x3

w3(s) 6000

y1(s), w1(s), y2(s), w2(s), w3(s), w4(s) � 0




§  Vamos precisar de um pouco mais de notação: §  Vamos considerar que ω representa um possível acontecimento, ou seja, uma realização possível da incerteza;

§  E vamos considerar ξ como sendo o valor (ou vetor de valores) que nosso parâmentro incerto asume, por conta do acontecimento de ω

§  Assim sendo, temos que, em problema de dois estágios, a seguinte sequência de acontecimentos norteia a formulação:

§  Por se tratar de uma variável aleatória, devemos assumir que conhecemos algumas informações a respeito do comportamento de ξ:

§  Função de distribuição de probabilidade (pdf) e/ou

§  Função de probabilidade acumulada (cdf)

x ! ⇠(!) ! y(!, x)




§  E aí, voltando ao nosso problema original, podemos reescrever a formulação deixando tudo mais “claro”:

§  Porque eu gosto mais dessa formulação: §  Deixa claro quem é decido antes (independente de ω) e quem é decido depois (dependente de ω);

§  Evidencia que quanto mais acontecimentos possíveis, maior o problema (mais sobre isso adiante)

§  Possui um nome: Equivalente Determinístico

min c

Tx+ E⇠

⇥q(!)T y(!)

⇤

s.a Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦

x, y(!) � 0




§  Uma consideração sobre o valor esperado da função de recurso:

§  Note que:

§  Só é possível calcular caso haja “fórmulas fechadas” e para distribuições bem-‐comportadas; §  Vide B&L, exemplo do Fazendeiro e Jornaleiro no Capítulo 1

§  Pode ser não linear e sofrer de problemas de convexidade.

E⇠

⇥q(!)T y(!)

⇤=

Z 1

�1q(⇠)T y(⇠)f⇠(⇠)d⇠

min c

Tx+ E⇠

⇥q(!)T y(!)

⇤

s.a Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦

x, y(!) � 0




§  Assim, consideraremos aproximações discretas

§  Onde:

§  Soma dinita, linear e convexa; §  Representa uma aproximação do fenômeno real, tão redinada quanto se queira, desde que esteja disposto a “pagar” por isso;

§  Cada elemento da representação recebe o nome de cenário

E⇠

⇥q(!)T y(!)

⇤=

SX

s=1

P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)

min c

Tx+ E⇠

⇥q(!)T y(!)

⇤

s.a Ax = b

T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦

x, y(!) � 0




§  Nossa formulação dinal para o ED de um problema de dois estágios é dada por :

min c

Tx+

SX

s=1

P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)

s.a Ax = b

T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S

x, y(⇠s) � 0



min c

Tx+

SX

s=1

P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)

s.a Ax = b

T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S

x, y(⇠s) � 0


§  Nossa formulação dinal para o ED de um problema de dois estágios é dada por :

Primeiro estágio

Segundo estágio



Exemplo: conceito de estágio

§  Problema de localização: §  clientes i = 1, …, m §  locais potenciais para receber facilidade j = 1, …, n §  receita de atendimento = qij = (ri – vj – tij )di

§  (receita – custo prod. – frete)demanda

i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3

i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3





i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3

i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3





i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+

mX

i=1

nX

j=1

q

ij

y

ij

s.a

nX

j=1

y

ij

1, i = 1, . . . ,m

0 y

ij

x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n



max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+

mX

i=1

nX

j=1

q

ij

y

ij

s.a

nX

j=1

y

ij

1, i = 1, . . . ,m

0 y

ij

x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n



i1 i2

i3 i4

j1

j2

j5

j4 j3

Lucro líquido Custo instalação

Fração atendida Decisão instalação

Limite demanda

Limite oferta




Caso 1: custos e receita incertos (ri , vj e tij estocásticos) §  Neste caso temos:

§  Primeiro estágio: instalação e alocação

§  Segundo estágio: -‐ (?!) §  Por formalidade, vamos

dedinir wij(ω) = yij para todo ω como sendo nossa variável de segundo estágio. E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

qij(!)wij(!)

3

5 =mX

i=1

nX

j=1

E⇠ [qij(!)wij(!)] =

mX

i=1

nX

j=1

E⇠ [qij(!)] yij

Onde:

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+ E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

ij

(!)w

ij

(!)

3

5

s.a

nX

j=1

y

ij

1, i = 1, . . . ,m

0 y

ij

x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n

w

ij

(!) = y

ij

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, 8!




Caso 1: custos e receita incertos (ri , vj e tij estocásticos) §  Neste caso temos:


§  Segundo estágio: -‐ (?!) §  Por formalidade, vamos

dedinir wij(ω) = yij para todo ω como sendo nossa variável de segundo estágio. E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

qij(!)wij(!)

3

5 =mX

i=1

nX

j=1

E⇠ [qij(!)wij(!)] =

mX

i=1

nX

j=1

E⇠ [qij(!)] yij

Onde:

Ou seja, sem poder para atuar no segundo estágio, dá no mesmo que otimizar considerando a

média

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+ E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

ij

(!)w

ij

(!)

3

5

s.a

nX

j=1

y

ij

1, i = 1, . . . ,m

0 y

ij

x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n

w

ij

(!) = y

ij

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, 8!




Caso 2: demanda incerta (di estocásticos) §  Neste caso temos:


§  Segundo estágio: -‐ excesso e falta

§  Nesse caso, vamos dedinir: §  wij

+(ω) = total em falta; §  wij

-‐(ω) = total em excesso;

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

�mX

i=1

nX

j=1

(v

j

+ t

ij

)y

ij

+

E⇠

"�

mX

i=1

q

+i

w

+i

(!)�mX

i=1

q

�i

w

�i

(!) +

mX

i=1

r

i

d

i

(!)

#

s.a

mX

i=1

y

ij

Mx

j

, j = 1, . . . , n

w

+i

(!)� w

�i

(!) = d

i

(!)�nX

j=1

y

ij

, i = 1, . . . ,m

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n

y

ij

� 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

w

+i

(!), w

�i

(!) � 0, i = 1, . . . ,m






§  Segundo estágio: -‐ excesso e falta

§  Nesse caso, vamos dedinir: §  wij

+(ω) = total em falta; §  wij

-‐(ω) = total em excesso;

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

�mX

i=1

nX

j=1

(v

j

+ t

ij

)y

ij

+

E⇠

"�

mX

i=1

q

+i

w

+i

(!)�mX

i=1

q

�i

w

�i

(!) +

mX

i=1

r

i

d

i

(!)

#

s.a

mX

i=1

y

ij

Mx

j

, j = 1, . . . , n

w

+i

(!)� w

�i

(!) = d

i

(!)�nX

j=1

y

ij

, i = 1, . . . ,m

x

j

2 {0, 1}, j = 1, . . . , n

y

ij

� 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

w

+i

(!), w

�i

(!) � 0, i = 1, . . . ,m

Neste caso não há poder de “atuação” propriamente, mas há variáveis que aplicam ações de recurso

(dependem de ω).





§  Primeiro estágio: instalação e capacidade alocada

§  Segundo estágio: -‐ alocação

§  Nesse caso, vamos dedinir: §  yij (ω) = distribuição; §  gj = custo de

investimento por unidade

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

�nX

j=1

(g

j

w

j

+ E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

ij

(!)y

ij

(!)

3

5

s.a

nX

j=1

y

ij

(!) 1, i = 1, . . . ,m

d

i

(!)y

ij

(!) w

j

, j = 1, . . . , n

0 y

ij

(!) x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, wj

� 0, j = 1, . . . , n





§  Primeiro estágio: instalação e capacidade alocada

§  Segundo estágio: -‐ alocação

§  Nesse caso, vamos dedinir: §  yij (ω) = distribuição; §  gj = custo de

investimento por unidade

Fica claro quem é quem?

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

�nX

j=1

(g

j

w

j

+ E⇠

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

ij

(!)y

ij

(!)

3

5

s.a

nX

j=1

y

ij

(!) 1, i = 1, . . . ,m

d

i

(!)y

ij

(!) w

j

, j = 1, . . . , n

0 y

ij

(!) x

j

, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, wj

� 0, j = 1, . . . , n

min c

Tx+

SX

s=1

P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)

s.a Ax = b

T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S

x, y(⇠s) � 0



Indicadores de qualidade

§  Tradicionalmente, modelos estocásticos possuem a reputação de serem muito complicados de resolver computacionalmente

§  Alternativas naturais: §  Resolver problemas determinísticos considerando a média dos parâmetros incertos;

§  Resolver problemas determinísticos para cada cenário e depois combinar as soluções heuristicamente.

§  Felizmente, é possível (na maioria dos casos) medir de forma precisa o quanto de otimalidade está sendo perdida ao se desprezar a incerteza (VSS) e o quão longe estamos do perfeito (EVPI)




§  Expected Value of Perfect Information (EVPI) §  Mede o valor máximo que o tomador de decisões estaria disposto a pagar pela informação completa (e precisa) sobre o que acontecerá no futuro.

§  Algumas dedinições que precisaremos: §  ξ representando os cenários possíveis para o parâmetro incerto; §  Para toda realização da incerteza, conseguimos uma solução x viável e portanto possível de ser avaliada

§  Sejam então: §  Solução espere-‐e-‐veja (wait-‐and-‐see): imagine que você pudesse esperar pela realização da incerteza antes de tomar uma decisão ótima x e obter o respectivo valor z. Assim, dedinimos WS como sendo:

WS = E⇠

hminx

z(x, ⇠)i= E

⇠

[z(x(⇠), ⇠)]




§  Expected Value of Perfect Information (EVPI) §  Mede o valor máximo que o tomador de decisões estaria disposto a pagar pela informação completa (e precisa) sobre o que acontecerá no futuro.

§  Algumas dedinições que precisaremos: §  ξ representando os cenários possíveis para o parâmetro incerto; §  Para toda realização da incerteza, conseguimos uma solução x viável e portanto possível de ser avaliada

§  Sejam então: §  Solução aqui-‐e-‐agora (here-‐and-‐now): consiste da solução do modelo estocástico, considerando todos os cenários simultaneamente. Chamando de RP tal valor, temos:

RP = minx

E⇠

[z(x, ⇠)]




§  Expected Value of Perfect Information (EVPI) §  Finalmente, temos que:

§  Ex.: problema do fazendeiro:

EV PI = |RP �WS|

Quanto o fazendeiro está disposto a pagar pela previsão do tempo perfeita.

RP = �$108.390

WS = �$167.700 + $118.600 + $59.900

3= �$115.406

EV PI = $7.016




§  Value of Stochastic Solution (VSS) §  Mede o benedício obtido em se considerar a incerteza para obtenção da solução, quando comparada ao que você teria feito sem levar em conta a incerteza;

§  Compara o desempenho da decisão tomada considerando valores médios e aquela tomada levando em conta a incerteza;

§  Seja então: §  Valor esperado da solução obtida usando o valor esperado (EEV): para obter este valor, primeiro resolvemos o problema considerando o valor médio de ξ.

onde: EV = min

x

z(x, ⇠)⇠ = E⇠ [⇠]

x(⇠) -‐ solução ótima de EV




§  Value of Stochastic Solution (VSS) §  Mede o benedício obtido em se considerar a incerteza para obtenção da solução, quando comparada ao que você teria feito sem levar em conta a incerteza;

§  Compara o desempenho da decisão tomada considerando valores médios e aquela tomada levando em conta a incerteza;

§  Seja então: §  Valor esperado da solução obtida usando o valor esperado (EEV): e dinalmente, dixamos essa solução para ser avaliada considerando a incerteza.

EEV = E⇠

⇥z(x(⇠), ⇠)

⇤

Pense no EEV como uma medida de como se sai ao permitirmos que as decisões de segundo estágio sejam tomadas como função de e ξ

x(⇠)

x(⇠)




§  Value of Stochastic Solution (VSS) §  Finalmente, temos que:

§  Ex.: problema do fazendeiro:

Quanto o fazendeiro ganha por consultar você antes de realizar a plantação

V SS = |EEV �RP |

RP = �$108.390

EEV = �$107.240

V SS = $1.150




§  Observações: §  Alguns limites importantes:

§ EVPI ≥ 0; § VSS ≥ 0; § WS ≤ RP ≤ EEV (minimização!)

§  Existem diversos estudos que tentam obter indícios que permitam concluir quando teremos altos ou baixos EVPI e VSS. A triste notícia é que até atualmente, nenhuma evidência generalizada está disponível. § Pode ter relação com a proporção da incerteza; §  São conhecidos outros bounds (vide B&L cap. 4).



Tipos de recurso

§  Modelos de 2 estágios podem ser clasidicados segundo o “tipo de recurso” que o mesmo apresenta.

§  Relembrando a notação, podemos escrever nosso problema de 2 estágios como sendo:

min c

Tx+ E⇠

⇥q

T⇠ y⇠

⇤

s.a Ax = b

T⇠x+W⇠y⇠ = h⇠, 8⇠ 2 ⌅

x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅



min c

Tx+ E⇠

⇥q

T⇠ y⇠

⇤

s.a Ax = b

T⇠x+W⇠y⇠ = h⇠, 8⇠ 2 ⌅

x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅

Tipos de recurso

§  Modelos de 2 estágios podem ser clasidicados segundo o “tipo de recurso” que o mesmo apresenta.

§  Relembrando a notação, podemos escrever nosso problema de 2 estágios como sendo:

Primeiro estágio Segundo estágio



Tipos de recurso

§  A questão por trás de classidicar o recurso é basicamente referente a viabilidade do problema de segundo estágio.

§  Vamos considerar nosso problema subdividido em duas parte:

onde:

min c

Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]

s.a Ax = b

x � 0

Q(x, ⇠) = min�q

T⇠ y⇠ | W⇠y⇠ = h⇠ � T⇠x, x � 0, y⇠ � 0. 8⇠ 2 ⌅



Tipos de recurso

§  Recurso Simples: §  Dizemos que o problema possui recurso simples quando temos a matriz W como sendo uma matriz identidade.

§  O que signidica isso? Que podemos reescrever o problema de segundo estágio como sendo:

Q(x, ⇠) =min q

+T⇠ y

+⇠ + q

�T⇠ y

�⇠

s.a: Iy+⇠ � Iy

�⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅

x � 0

y

+⇠ , y

�⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅



Tipos de recurso

§  Recurso Simples: §  Neste caso, para qualquer vetor hξ – Tξx (i.e., para qualquer solução x), uma solução viável está prontamente disponível e vale: §  hξ – Tξx , se hξ > Tξx §  Tξx – hξ , se hξ < Tξx

§  Note que as variáveis y representam uma formalidade somente (forma canônica)

Q(x, ⇠) =min q

+T⇠ y

+⇠ + q

�T⇠ y

�⇠

s.a: Iy+⇠ � Iy

�⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅

x � 0

y

+⇠ , y

�⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅



Tipos de recurso

§  Recurso Simples: §  Exemplo clássico: problema do jornaleiro (vide B&L, cap 1 -‐ ”News vendor problem”) § Todos os dias o jornaleiro compra x ≤ u jornais por c

§  Vende durante o dia ξ (demanda, que é estocástica) a q > c §  Revende, ao dim do dia, os “encalhados” por r < c

min c

Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]

s.a 0 x u

Q(x, ⇠) = min � qy⇠ � rw⇠

s.a: y⇠ ⇠

y⇠ + w⇠ x

y⇠, w⇠ � 0



Tipos de recurso

§  Recurso Simples: §  Exemplo clássico: problema do jornaleiro (vide B&L, cap 1 -‐ ”News vendor problem”) § Todos os dias o jornaleiro compra x ≤ u jornais por c

§  Vende durante o dia ξ (demanda, que é estocástica) a q > c §  Revende, ao dim do dia, os “encalhados” por r < c

min c

Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]

s.a 0 x u

Q(x, ⇠) = min � qy⇠ � rw⇠

s.a: y⇠ ⇠

y⇠ + w⇠ x

y⇠, w⇠ � 0

y

⇤⇠ = min{⇠, x}w

⇤⇠ = max{x� ⇠, 0}

Esse tipo de recurso permite que soluções triviais sejam obtidas no que se refere ao problema de recurso!



Tipos de recurso

§  Recurso Fixo §  Basicamente signidica que a matriz de recurso (nome popular de W) não é afetada pela incerteza.

§  Neste caso, temos que:

§  Possuir recurso dixo garante algumas propriedades úteis, principalmente em termos numérico. §  A principal: Q(x, ξ) convexo e linear por partes quando Ξ é dinito

Q(x, ⇠) =min qT⇠ y⇠

s.a: Wy⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅

x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅



Tipos de recurso

§  Recurso Completo §  Estamos agora preocupados com a questão da viabilidade de Q(x, ξ). Podemos sempre assumir que Q(x, ξ) é viável?

§  Seja o conjunto Y(χ, ω), tal que:

Dizemos que Y(χ, ω) possui recurso completo se o mesmo é não-‐vazio para todo e qualquer valor de χ. §  Fazendo χ = h(ω) – T(ω)x, dicamos com:

Que basicamente expressa a condição de viabilidade do segundo estágio, a qual deve valer para todo h(ω) – T(ω)x, o que, indiretamente, é o mesmo que valer para todo x.

Y (�,!) = {y | W (!)y � �}

Y (h(!)� T (!)x,!) = {y | W (!)y � h(!)� T (!)x}



Tipos de recurso

§  Recurso Completo §  Já o conceito de recurso relativamente completo é um pouco menos extenuante. §  Exigir recurso completo pode ser infactível em termos práticos.

§  Nesse contexto, vamos dedinir χ da seguinte forma:

onde Ω representa o conjunto de todas as possíveis realizações e X representa o conjunto de viabilidade do primeiro estágio. §  Repare que a sutileza estar em não ser mais viável para toda e qualquer coisa que aconteça com X, mas ser sempre viável, dado um X viável.

� = {h(!)� T (!)x | (!, x) 2 ⌦⇥X}



Tipos de recurso

§  Recurso Completo §  Algumas observações:

§  B&L (Cap. 3) usa uma notação bem particular (e bastante difundida) para representar viabilidade, a qual ajuda bastante na prova de propriedades importantes.

§  Algumas propriedades importantes:

§  Se K2(ξ) é um poliédro convexo e fechado è K2P fechado e convexo §  Se Ξ é dinito è K2P = K2

§  Recurso dixo è K2 = K2P e K2 fechado e convexo

min c

Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]

s.a: x 2 K1 \K2

K1 = {x | Ax = b, x � 0}K2 = {x | E⇠ [Q(x, ⇠)] < 1}K2(⇠) = {x | Q(x, ⇠) < 1}

K

P2 = {x | Q(x, ⇠) < 1 8⇠ 2 ⌅} =

\

⇠2⌅

K2(⇠)



Problemas multi-estágio

§  Em alguns casos, a tomada de decisão segue um dluxo sequencial dinâmico. §  Especialmente em problemas que levam em conta horizontes de tempo; §  Pode ser importante revisar ou postergar decisões para momentos posteriores, quando mais da incerteza estiver disponível.

§  Pode não fazer sentido tomar toda a decisão em um único ponto do tempo, enquanto espera-‐se que todas as ações de recurso dêem conta de toda incerteza;

Decide 1

Decide 2

Decide 2

Decide 2

Decide 2

Estágio 1

Fluxo temporal

Estágio 2




§  Em alguns casos, a tomada de decisão segue um dluxo sequencial dinâmico. §  Especialmente em problemas que levam em conta horizontes de tempo; §  Pode ser importante revisar ou postergar decisões para momentos posteriores, quando mais da incerteza estiver disponível.

§  Pode não fazer sentido tomar toda a decisão em um único ponto do tempo, enquanto espera-‐se que todas as ações de recurso dêem conta de toda incerteza;

Decide 1

Decide 2

Decide 2

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3

Fluxo temporal



Estágio e recurso!§  Dependendo da natureza do

problema, o problema pode possuir somente 2-estágios ou ser multi-estágio!1.  Tipicamente problemas

multi-estágio são mais difíceis em termos computacionais;!

2.  Em muitos casos opta-se por aproximar tais problemas por problemas 2-estágios;!

3.  Em alguns casos isso não é possível, dada a “preciosidade” da informação adicional obtida em estágios posteriores.!

Problemas multi-estágio!

Decide 1

Decide 2

Decide 2

Decide 2

s=2

Estágio 1 Estágio 2

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

Decide 3

s=2

Estágio 3

s=2

s=2




§  A formulação genérica para um problema multi-‐estágio é dada por:

§  Observações:

§  H é o total de estágios; §  Note o tipo de recurso. Não é requisito mas é o mais utilizado.

min cT1 x1 + E⇠2⇥c2(!)x2(!2) + . . .E⇠H [cH(!)xH(!H)]

⇤

s.a: W1x1 = h1

T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)

...

TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)

x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H




⇤

s.a: W1x1 = h1

T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)

...

TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)

x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H



Note o efeito aninhado das esperanças…




⇤

s.a: W1x1 = h1

T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)

...

TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)

x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H



A dependência em ωH serve para destacar o

condicionamento da decisão a que aconteceu

A dependência em ω serve para destacar a incerteza no

parâmetro



min c1x1 +X

⇠s22S

P (⇠s2)

2

4c2(⇠

s2)x2(⇠

s2) +

0

@X

⇠s32S

P (⇠s3)c3(⇠s3)x3(⇠

s3 | ⇠s2)

1

A

3

5

s.a:Ax b

T (⇠s2)x1 +W (⇠s2)x2(⇠s2) = h(⇠s2), 8⇠s2

T (⇠s3 | ⇠s2)x2(⇠s2) +W (⇠s3 | ⇠s2)x3(⇠

s3 | ⇠22) =

h(⇠s3 | ⇠s2), 8⇠s2, 8⇠s3x1 � 0

x(⇠s2) � 0, 8⇠s2x(⇠s3 | ⇠s2), 8⇠s2, 8⇠s3

§  No exemplo de 3 estágios apresentado, teriamos:


x1

x2(ξ21)

x2(ξ22)

x2(ξ23)

x3(ξ31|ξ21)

x3(ξ32|ξ21)

x3(ξ33|ξ21)

x3(ξ31|ξ22)

x3(ξ32|ξ22)

x3(ξ33|ξ22)

x3(ξ31|ξ23)

x3(ξ32|ξ23)

x3(ξ33|ξ23)

ξ32

ξ32

ξ32

ξ22

⇠cenarioestagio




§  Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: §  Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) §  Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) §  Último estágio (H):

Decide H-‐1

Decide H

Decide H

Decide H

...

ω

QH(xH�1, ⇠H(!)) = min cH(!)xH(!)

s.a: WHxH(!) = hH(!)� TH�1(!)xH�1

xH(!) � 0




§  Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: §  Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) §  Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) §  Estágio t = 2, …, H-‐1:

Decide t-‐1

Decide t

Decide t

Decide t

...

ω

Qt+1(xt) = E⇠t+1 [Qt+1(xt, ⇠t+1(!)))]

...

...

...Qt(xt�1, ⇠t(!)) = min ct(!)xt(!) +Qt+1(xt)

s.a: Wtxt(!) = ht(!)� Tt�1(!)xt�1

xt(!) � 0




§  Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: §  Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) §  Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) §  Estágio 1:

Decide 1 ...

min c1x1 +Q(x1)

s.a: W1x1 = h1

x1 � 0

ω




§  Exemplo: problema de localização: §  Considere a seguinte situação: assumindo incerteza na demanda e qij = (ri – vj – tij )di , queremos que a decisão de localização (x1) seja realizada agora, porém passível de revisão em 12 meses (x2).

§  Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses.

Fluxo temporal x

1x

2(!2)

y2(!2) y3(!3)t=0 (hoje) t=12 t=36

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3





§  Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses. §  x1 – decisão de instalação no estágio 1 §  x2(ω2) – decisão de instalação no estágio 2 §  y2(ω2) – decisão de alocação de dluxo no estágio 2 §  y3(ω3) – decisão de alocação de dluxo no estágio 3





§  Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses.

max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+ E⇠

2

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

2ij

(!

2)y

2ij

(!

2)�

nX

j=1

c

2j

(!

2)x

2j

(!

2) + E

⇠

3|⇠2

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

3ij

(!

3)y

3ij

(!

3)

3

5

3

5

s.a

nX

j=1

y

2ij

(!

2) 1, i = 1, . . . ,m

d

i

(!

2)y

2ij

(!

2) Mx

1j

, j = 1, . . . , n

nX

j=1

y

3ij

(!

3) 1, i = 1, . . . ,m

d

i

(!

3)y

3ij

(!

3) M(x

2j

(!

2) + x

1j

), j = 1, . . . , n

x

1j

+ x

2j

(!

2) 1, j = 1, . . . , n

x

j

2 {0, 1}, wj

� 0, j = 1, . . . , n

0 y

t

ij

(!

t

) 1, t = 1, 2, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n




§  Exemplo: problema de localização: §  Vamos considerar o equivalente determinístico desse problema discretizando ω da seguinte forma: §  Duas realizações para q(ω) por estágio: q11, q12, q21, q22;

§  Duas realizações para d(ω) por estágio: d11, d12, d21, d22;

§  Todos equiprováveis. §  Note que, neste caso, o total de cenários são 16: §  Cada trajetória representa um cenário; §  O crescimento da árvore de cenários é exponencial!

q11d11

q12d11

q12d12

q11d12

q21d21

q22d21

q21d22

q22d22

q21d21

q22d21

q21d22

q22d22

q21d21

q22d21

q21d22

q22d22

q21d21

q22d21

q21d22

q22d22




§  Exemplo: problema de localização: max

x,y

z(x, y) = �nX

j=1

c

j

x

j

+

4X

s

2=1

1

4

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

2ijs

2y2ijs

2 �nX

j=1

c

2js

2x2js

2 +

4X

s

3=1

1

4

2

4mX

i=1

nX

j=1

q

3ijs

3y3ijs

3

3

5

3

5

s.a

nX

j=1

y

2ijs

2 1, i = 1, . . . ,m, s

2= 1, . . . , 4

d

is

2y

2ijs

2 Mx

1j

, j = 1, . . . , n, s

2= 1, . . . , 4

nX

j=1

y

3ijs

3 1, i = 1, . . . ,m, s

3= 1, . . . , 4

d

is

3y

3ijs

3 M(x

2js

2 + x

1j

), j = 1, . . . , n, s

2= 1, . . . , 4, s

3= 1, . . . , 4

x

1j

+ x

2js

2 1, j = 1, . . . , n, s

2= 1, . . . , 4

x

j

2 {0, 1}, wj

� 0, j = 1, . . . , n

x

2js

2 2 {0, 1}, j = 1, . . . , n, s

2= 1, . . . , 4

0 y

ijs

t 1, t = 1, 2, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, s

t

= 1, . . . , 4



Problemas multi-estágio Take aways §  Mais estágios implicam em uma aderência maior ao processo decisório… §  Representa a tomada de decisão levando em conta que parte das decisões podem ser tomadas baseadas em mais informação

§  … porém também implicam em mais “trabalho” §  Modelos de maior porte, que rapidamente se tornam intratáveis dado o número de cenários;

§  A geração de cenários requer mais so]isticação para representar adequadamente o problema

§  Métodos de decomposição se fazem necessários, porém precisam ser adaptados.

x1

x2(ξ21)

x2(ξ22)

x2(ξ23)

x3(ξ31|ξ21)

x3(ξ32|ξ21)

x3(ξ33|ξ21)

x3(ξ31|ξ22)

x3(ξ32|ξ22)

x3(ξ33|ξ22)

x3(ξ31|ξ23)

x3(ξ32|ξ23)

x3(ξ33|ξ23)

ξ32

ξ32

ξ32

ξ22

⇠cenarioestagio

mini-curso: introdução à otimização sob incerteza aula 1 ... · mini-curso: introdução à...

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