GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Métodos Geométricos Auxiliares I

Rotações

GENERALIDADES

A rotação tem como objectivo permitir obter uma representação mais conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver problemas e situações que a representação inicial não nos permite.

A rotação consiste em rodar um objecto em torno de um eixo (ou charneira, recta externa ao plano que contém o objecto), para colocar o objecto numa nova e mais favorável posição em relação aos planos de projecção, mantendo os planos no mesmo lugar.

ELEMENTOS BÁSICOS DAS ROTAÇÕES

e

O

θ

αº

A’

A

A – ponto a rodar.

e – recta em torno da qual o ponto A roda (eixo de rotação).

AA’ – arco de circunferência que corresponde à rotação do ponto A.

A’ – posição final do ponto A, após a sua rotação.

θ – plano ortogonal a e (eixo de rotação), no qual existe o arco da rotação de A.

O – centro do arco da rotação do ponto A.

αº - amplitude do arco da rotação do ponto A.

EXEMPLO DE ROTAÇÃO

x

xz

xy

αA

BC

A2

B2

C2

C1 A1B1

x

xz

xy

αA

BC

A2

B2

C2

C1 A1B1

e

A’

B’

C’

A’2

C’2

B’2

C’1

A’1

B’1 θ

ROTAÇÃO DE UM PONTO

Pretende-se rodar com uma amplitude de 142º o ponto A, situado no 1.º diedro, em torno da recta vertical e.

x

A1

A2

(e1)

e2

(fν) O2

≡ O1

A’1

A’2

x

xz

xy

A

A2

A1

A’

A’2

A’1

ν

e

O

ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA

Pretende-se rodar o segmento de recta [AB], com uma amplitude de 45º no sentido dos ponteiros do relógio, em torno da recta de topo e.

x

A1

A2

B1

B2

e1

(e2)

(hφ)

≡ O2

O1

A’1

A’2

(hφ1)Q1

≡ Q2

B’1

B’2

x

xz

xy

AB

φ

φ1

A’

B’

e

O

Q

ROTAÇÃO DE UMA RECTA

Pretende-se a transformação de uma recta oblíqua r numa recta horizontal, através de uma rotação.

x

r2

r1

M1

M2

e1

(e2)≡ O2

(hφ)O1

M’2

≡ M’1

r’2

N1

N2

(hφ1) N’1

N’2

r’1

ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA PARA OBTER A SUA VERDADEIRA GRANDEZA

Pretende-se rodar o segmento de recta onlíquo [AB], para obter a V.G., através da transformação do segmento de recta [AB] num segmento de recta frontal.

x

A1

A2

B1

B2

P1

P2

(e1)

e2

(fν)

≡ O1

O2

P’1

≡ P’2

(fν1)

A’1

A’2

(fν2)

B’1

B’2

São dados os pontos A (1; 1; 3) e B (-1; 3; 2).

Determina as projecções do ponto A, após uma rotação de 60º, no sentido dos ponteiros do relógio, em torno de uma recta vertical que contém o ponto B.

x

y ≡ z

A2

A1

B2

B1≡ (e1)

e2

(fν)

≡ O1

O2 A’2

A’1

São dados os pontos A (1; 1; 3) e B (-1; 3; 2).

Determina as projecções do ponto B, após uma rotação de 90º, no sentido contrário dos ponteiros do relógio, em torno de uma recta de topo que contém o ponto A.

x

y ≡ z

A2

A1

B2

B1

e1

≡ (e2)

(hφ)

≡ O2

O1

B’2

B’1

É dado um segmento de recta [PQ], sendo P (-2; 4; 4) e Q (-4; 2; 1).

É dada uma recta vertical v que contém o ponto A (1; 1; 2).

Determina as projecções do segmento de recta [PQ], após uma rotação de 70º, no sentido dos ponteiros do relógio, em torno da recta v.

x

y ≡ z

P2

P1

Q2

Q1

A2

A1≡ (v1)

v2

(fν)

(fν1)

≡ R1

R2

≡ S1

S2

P’2

P’1

Q’2

Q’1

É dada uma recta oblíqua r, que passa pelo ponto A (1; 3).

As projecções da recta r são paralelas entre si, e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x.

Transforma a recta r numa recta horizontal, com o recurso a uma rotação.

x

A2

A1

r2

r1

P2

P1

(hφ1)

(hφ)

(e2)

e1

≡ O2

O1

≡ Q2

Q1

r’2 P’2

≡ P’1

A’2

A’1

r’1

É dada uma recta horizontal h, com 3 cm de cota, e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.

Transforma a recta h numa recta de topo, com o recurso a uma rotação.

x

h2

h1

P2

P1

e2

(e1)

P’2

P’1

h’1

≡ (h’2)

≡ O1

O2

É dada uma recta horizontal h, com 3 cm de cota, e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.

Transforma a recta h numa recta fronto-horizontal, com o recurso a uma rotação.

x

h2

h1

P2

P1

(e1)

e2

≡ O1

O2

h’1

≡ P’2

P’1

≡ h’2

É dado um segmento de recta [PQ], sendo P (-2; 4; 4) e Q (-4; 2; 1).

Determina a V.G. de PQ, transformando [PQ] num segmento de recta horizontal, com o recurso a uma rotação.

x

y ≡ z

P2

P1

Q2

Q1

T2

T1

(e2)

e1

(hφ) O1

≡ O2

T’2

≡ T’1

(hφ1) A1

≡ A2

P’2

P’1

(hφ2) B1

≡ B2

V.G.

Q’2

Q’1

É dado um segmento de recta [AB], situado no 1.º diedro, com 5 cm de comprimento, sendo A (3; 5) o seu extremo superior.

A recta suporte de [AB] é passante e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x.

Desenha as projecções do segmento de recta [AB], com o recurso a uma rotação.

x

A2

A1

P1 ≡ P2

r2

r1

e2

(e1)≡ O1

(fν) O2

r’1

≡ A’2

A’1

P’2

P’1

r’2

B’2

(fν1)B2

B1

É dado um segmento de recta de perfil [AB], sendo A (4; 1) e B (2; 4).

Determina a V.G. de AB, transformando [AB] num segmento de recta horizontal, com o recurso a uma rotação.

x

p1 ≡ p2

A2

A1

B2

B1

e1

(e2)

(hφ)

≡ O2

O1

p’2 A’2

≡ A’1

(hφ1)

B’2

B’1

≡ Q2

Q1

p’1

V.G.