razão aurea

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Razão aurea

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  • Srgio Nuno Gonalves N18 Curso de Educao e Formao de Adultos (EFA) Tecnologias de Informao e Comunicao Multimdia (UFCD) INSTITUITO DO EMPREGO E FORMAO PROFISSIONAL, IP A RAZO UREA
  • 2 INTRODUO Este trabalho tem como tema a Proporo urea e assenta sobretudo no desenvolvimento de trs questes: a Origem e contexto histrico do princpio da Proporo urea, a sua constatao e demonstrao e ainda a sua aplicao nos tempos modernos, nomeadamente, design, arquitetura, etc. O trabalho foi desenvolvido no mbito do curso de Tecnologias de Informao e Comunicao do Instituto de Emprego e Formao Profissional, no mdulo de Design Comunicao e Multimdia, ministrado pelo formador Sr. Arquiteto Pereira. Utilizei diversas figuras ao longo do trabalho, de forma a ser mais fcil explicar o que pretendia transmitir.
  • 3 ORIGEM E CONTEXTO HISTRICO DO PRINCIPIO DA PROPORO UREA A Proporo urea, pode ser designada de diversas formas, nomeadamente: Proporo urea, nmero de ouro, nmero ureo, seco urea, proporo de ouro, divina seco, divina proporo, diviso de extrema razo e ainda razo de Phidias. O Nmero de Ouro um nmero irracional misterioso e enigmtico que surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razo, considerado por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. O nmero de Ouro designado pela letra grega (PHI). Convencionou-se que o valor do nmero ureo seria de: 1,618. A designao adotada para este nmero, f (Phi maisculo), a inicial do nome de Fdias que foi o escultor e arquiteto encarregado da construo do Prtenon, em Atenas. A histria deste enigmtico nmero perde-se na antiguidade. Pirmides Egpcias No Egipto as pirmides de Giz foram construdas tendo em conta a razo urea: A razo entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirmide igual ao nmero de ouro. O Papiro de Rhind (Egpcio) refere-se a uma razo sagrada que se cr ser o nmero de ouro. Esta razo ou seco urea surge em muitas esttuas da antiguidade. Tambm muitos hieroglficos tm propores baseadas na razo urea. Figura 1 Pirmides de Giz Figura 2 Hieroglficos Egpcios
  • 4 Partenon Grego Construdo muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a. C.) , tambm o Partenon Grego um templo representativo do sculo de Pricles contm a razo de Ouro no retngulo que contm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupao de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construo deste templo foi Fdias. Figura 3 - Partenon Grego Figura 4 - Partenon Grego Euclides Tambm Euclides, no seu livro Os Elementos, utilizou o nmero de ouro para construir o primeiro pentgono regular e os dois slidos regulares mais complexos nomeadamente o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).
  • 5 Figura 5 - pentgono regular Figura 6 - Dodecaedro Pitgoras Tambm os Pitagricos usaram a seo de ouro na construo da estrela pentagonal ou pentagrama. Um pentagrama regular obtido traando-se diagonais de um pentgono regular. O pentgono menor, formado pelas interseces das diagonais, tambm est em proporo com o pentgono maior, de onde se originou o pentagrama. A razo entre as medidas das reas dos dois pentgonos igual quarta potncia da razo urea. Quando Pitgoras descobriu que as propores do pentagrama eram a proporo urea, tornou este smbolo estrelado como a representao da Irmandade Pitagrica. Este era um dos motivos que levava Pitgoras a dizer que " tudo nmero ", ou seja, que a natureza surge de padres matemticos. No entanto, no conseguiram exprimir como quociente entre dois nmeros inteiros, a razo existente entre o lado do pentgono regular estrelado (pentculo) e o lado do pentgono regular inscritos numa circunferncia. Quando chegaram a esta concluso ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrrio a toda a lgica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. Deste modo, o nmero de ouro foi o primeiro nmero irracional que que se teve consicincia que o era. Figura 7 Estrela Pentagonal
  • 6 Fibonacci A contribuio de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o nmero de ouro est relacionada com a soluo do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem sequncia de nmeros de Fibonacci. Este matemtico que estudava o crescimento das populaes de coelhos criou aquela que provalmente a mais famosa sequncia matemtica (a sequncia de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos, Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reproduo de vrias geraes e chegou a uma sequncia onde um nmero igual soma dos dois nmeros anteriores, em que os dois primeiros nmeros so 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fmea): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, ... As razes entre um nmero desta sequncia e o que o antecede vo-se aproximando do nmero de ouro: 1,618. 1/1=1; 2/1=1; 3/2=1,5; 8/5=1,6; 13/8= 1,625; 21/13=1,6184 Estas razes variam, um pouco acima s vezes, um pouco abaixo, mas a mdia 1,618. exactamente a proporo das pirmides do Egipto e do rectngulo de ouro. Assim, a proporo de crescimento mdia da srie 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporo que os cintistas comearam a estudar a natureza em termos matemticos e comearam a descobrir coisas fantsticas. Gregos Retngulo ureo Posteriormente tambm os gregos consideraram que o rectngulo apresentava esta relao, nomeadamente: se desenharmos um retngulo cuja razo entre os comprimentos dos lados maior e menor igual ao nmero de ouro obtemos um retngulo de ouro. O retngulo de ouro um objeto matemtico que marca forte presena no domnio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e at na publicidade. Figura 8 Retngulo de Ouro
  • 7 Construo de um retngulo de Ouro: Material necessrio: folha de papel, lpis, compasso e rgua ou esquadro. Procedimento: 1. Desenhar um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado ser a largura do retngulo de ouro); 2. Marcar os pontos mdios dos lados de cima e de baixo do quadrado; 3. Traar a reta que passa pelos pontos mdios (verificar que o quadrado ficou dividido em dois retngulos congruentes); 4. Num dos retngulos traar uma das suas diagonais. 5. Com o compasso desenhar a circunferncia que tem centro no ponto mdio de onde parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal; 6. Prolongar o lado do quadrado at encontrar a circunferncia (este novo segmento o comprimento do retngulo de ouro) Um retngulo de ouro tem uma propriedade muito interessante, nomeadamente: se o dividirmos num quadrado e num retngulo, o novo retngulo tambm de ouro. Repetindo este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtm-se uma espiral a que se d o nome de Espiral de Ouro. Figura 9 Espiral de Ouro Contribuio de Leonardo da Vinci Uma contribuio muito importante para a proporo ureia foi a de Leonardo Da Vinci. A excelncia dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemticos, bem como a utilizao da razo urea como garante de uma perfeio, beleza e harmonia nicas. Leonardo da Vinci representou bem o Homem da Renascena, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um gnio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de Matemtica, nomeadamente o Nmero de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo a tradicional representao do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi baseada nos pentgonos, estrelado e regular, inscritos na circunferncia. O desenho conhecido por Homem de Vitruvius, ilustra a velha tese Pitgrica segundo a qual o homem a medida de todas as coisas. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a
  • 8 ideia muito concreta de que cada seco do corpo humana uma medida (percentagem) do todo. Figura 10 - Homem de Vitruvius A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporo urea nas relaes entre o tronco e a cabea, bem como nos elementos da face, no entanto, como uma caracterstica inerente ao ser humano, as tais propores podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada. Figura 11 Retrato de Mona Lisa
  • 9 CONSTAO E DEMONSTRAO Clculo do nmero: A razo urea definida algebricamente como: A equao da direita mostra que o que pode ser substitudo na parte esquerda, resultando em: Cancelando b em ambos os lados, temos: Multiplicando ambos os lados por resulta: Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equao e multiplicando todas as parcelas por encontramos: que uma equao quadrtica da forma em que Agora, basta resolver essa equao quadrtica. Pela Frmula de Bhskara:
  • 10 A nica soluo positiva dessa equao quadrtica a seguinte: que o nmero Construo do segmento ureo: O nmero de ouro pode ser obtido a partir de um segmento de reta qualquer. Considere um ponto C, dividindo esse segmento em dois segmentos menores e de modo que a razo entre o comprimento do segmento dividido pelo comprimento do segmento seja igual razo do comprimento de dividido pelo comprimento de . 1 Dado um segmento AB qualquer, obtemos o ponto mdio de AB da seguinte forma: com centro do compasso em A e em B traamos circunferncias que se intercetam como mostra a figura abaixo, ligando os pontos onde os arcos intercetaram: 2 Usando rgua e compasso, traamos uma reta perpendicular a AB , pelo ponto B com metade do comprimento de AB: 3 Com o compasso faa centro em B, traando uma circunferncia que intercete a perpendicular no ponto C de raio BM.
  • 11 4 O novo segmento