Matemática/Geometria

Semelhança de triângulos

Apresentação

Este material foi organizado pelo professor Zulli. Vale ressaltar que foi disponibilizado

para a SEDUC – MT pelo professor para o projeto Pré-Enem Digit@l Gold.

Triângulo Semelhantes

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente

congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo

~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.

Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos

de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses

ângulos

Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos:

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do

outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três

lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido

entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

Atividades

1) Escreva a relação entre os triângulos.

Resolução: observe que no triângulo PDA, o ângulo P é congruente ao ângulo G do triângulo

GIH, pois ambos são 45°. Observe também que o ângulo D é congruente ao ângulo I, pois

ambos medem 75° e, consequentemente, o ângulo A é congruente ao ângulo H.

2) Escreva a relação entre os triângulos.

Resolução comentada: observe que no triângulo SFV, o ângulo V é congruente ao ângulo

N do triângulo JBN, pois ambos são 90°. Observe também que o ângulo F é congruente ao

ângulo B, e, consequentemente, o ângulo S é congruente ao ângulo J.

3) Determine a altura do prédio da imagem a seguir, sabendo que os lados EC e FG são

perpendiculares a CD; e EC e FG são paralelos entre si.

Resolução: Analisando a imagem, o vértice C mede 90°, pois a altura de um prédio sempre

determina um ângulo reto com a base. Como a reta FG é paralela à reta EC então podemos

concluir que o ângulo G também é um ângulo reto. O ângulo D é comum aos dois triângulos,

logo temos triângulos semelhantes pois:

{𝑪 ≡ 𝑫𝑫 ≡ 𝑫

𝒍𝒐𝒈𝒐 𝒐 ∆𝑪𝑫𝑬 ~ ∆𝑮𝑫𝑭

Denominando a altura do prédio de CE, teremos que:

𝐶𝐸

5=

5218

8 ⇔ 8𝐶𝐸 = 26090 ⟺ 𝐶𝐸 =

26090

8 ⟺ 𝐶𝐸 = 3261,25 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.

4) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2cm e AC =

6cm. Quanto mede o lado do quadrado?

5) Determine a medida da reta AC abaixo.

Resolução: O ângulo C do triângulo CBA é congruente ao ângulo D triângulo DBE pois são

ângulos de 90° (reto). O ângulo B do triângulo CBA é congruente ao ângulo B do triangulo

DBE pois são opostos pelo vértice. Dessa forma, temos que ∆𝑪𝑩𝑨 ~ ∆𝑫𝑩𝑬. Assim:

𝒙

𝟑 =

𝟐𝟕

𝟒, 𝟓

𝟒, 𝟓𝒙 = 𝟖𝟏

𝒙 = 𝟏𝟖

6) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura

abaixo, em que CD // AB. Qual é a largura do lago?

Resolução: O ângulo A do triângulo ACB e o ângulo

D do triângulo DEB são ângulos de 90° (reto) pois são

vértices do quadrado. O ângulo C do triângulo ACB é

congruente ao ângulo E do triângulo DEB pois as retas

AC e DE são paralelas. ∆𝑨𝑪𝑩 ~ ∆𝑫𝑬𝑩 Assim,

nomeando o lado do quadrado de x temos que, DB =

2 – x. Portanto:

𝟐

𝟐 − 𝒙 =

𝟔

𝒙

𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝟔𝒙

𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟐

𝟖𝒙 = 𝟏𝟐

𝒙 = 𝟏, 𝟓

Resolução: O ângulo C do triângulo CPD é congruente ao ângulo a triângulo APB pois as

retas DC e BA são paralelas e, pelo mesmo motivo, o ângulo D do triângulo CPD é

congruente ao ângulo B do triangulo APB. Dessa forma, temos que ∆𝑪𝑷𝑫 ~ ∆𝑨𝑷𝑩. Dessa

forma, denominando a largura do rio de CD, temos:

𝑪𝑫

𝟏𝟎𝟎 =

𝟐𝟎𝟎

𝟖𝟎

𝟖𝟎𝑪𝑫 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒙 = 𝟐𝟓𝟎