matemática e suas tecnologias - matemática ensino médio, 2° ano semelhança de triângulos

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 2° AnoSemelhança de triângulos

Os triângulos e suas aplicações no cotidiano

Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?

? ? ? ? ?Já se perguntou sobre as utilidades delas para o

mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes?

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos

O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.

Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.


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Imagem: John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

Imagem: 1sttimeright / GNU Free Documentation License

É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja:


Imagem: Timeroot / GNU Free Documentation License

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Imagem: Erik Christensen / GNU Free Documentation License

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Imagem: Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic

Tipos de triângulos

É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.


Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em:

Triângulo equilátero:

Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.

Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.

Observação:


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U F

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Doc

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Triângulo isósceles:

Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes.

• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º;

• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Observações:


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Fre

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Lice

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Triângulo Escaleno:

Quando possui as medidas dos três lados diferentes.

Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.


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Doc

umen

tatio

n Li

cens

e

É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em:


Triângulo retângulo:

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa

Imagem: E2m / Domínio Público

Triângulo obtusângulo:

Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º).


Imagem: E2m / GNU Free Documentation License

Triângulo acutângulo:

Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°).


Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License

Congruência e semelhançaObserve as figuras abaixo: Fig.A Fig.B

As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.


4,5m 6,2m

6m

4,5m 6,2m

6m

Y

α

β

Agora observe as seguintes figuras:Fig. A Fig. B

Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja:

13,5 = 3 18 = 3 18,6 = 3 4,5 6 6,2

Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais.


13,5m 18,6m

18m

Y

α

β

4,5m 6,2m

6m

Y

α

β

Como reconhecer triângulos semelhantes?

Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:


1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO

“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se

correspondem são respectivamente congruentes.”


A C

B

R

Q

P

^ ^

^ ^ABC ~ PQR

2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO

“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos

determinados por estes lados são congruentes.”


A C

B

R

Q

P

^ ^

ABC ~ PQR

3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO

“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se

correspondem são proporcionais.”


ABC ~ PQRA

C

B

R

Q

P

Teorema de Tales:Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra.

Observe a situação abaixo: Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que:

Ou também que:


Desafio:

As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo:

Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?


Início da rua

Fim da rua

Calçada200m

250m

300m

x

Calçada

Esgoto/Água

Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:

A rede de água mede 500 metros, pois:

200 + 300 = 500

Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque:

250 + 375 = 625

200 = 250300 X

200 . X = 300 . 250

200 X = 75.000

X = 75.000 200X = 375 metros

Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.


Segmentos proporcionais determinados num triângulo

1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais.

Sendo assim:


A

B

C

P Q

r

r//AC BP, PA, BQ E QC são proporcionais.

2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.

Desta forma:


BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são proporcionais.x x

A

B

CD

Vamos ver como estas propriedades funcionam:


A

B

C

P Q

r

3cm

9cm

12cm

x

Solução:

1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.


A

B

CD

5cm 6cm

3cm X

Solução:

2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC

Relações métricas no triângulo retângulo:


Imagem: E2m / Domínio Público

a2 = b2 + c2

b2 = ma

c2 = na

h2 = mn

ah = bc

a = m + n

Em um triângulo qualquer:

Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas:


Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:

Teorema de Pitágoras:

ch

nm

hbc

n m

hb

A

BC D

A’ A’’

B C C Da

b2 = ma

c2 = na

h2 = mn

ah = bca2 = b2 + c2

Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja:

Exemplo:

Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo:

Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.


c

n 9,6m

h12m

BC D a

A

c2 = na

c2 = 15.5,4

c2 = 81

c2 = 9m

h2 = mn

h2 = 9,6.5.4

h2 = 7,2n

b2 = ma

122 = 9,6a

a = 144/9,6

a = 15m

a = m + n

15 = 9,6 + n

n = 19 - 9,6

n = 5,4m

Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:


1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a altura do prédio?

2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente?

a) 40m; 80m; 120m; 160mb) 45m; 85m; 125m; 165mc) 48m; 96m; 144m; 192md) 55m; 95m; 135m; 175me) 60m; 100m; 140m; 180m

120m90m60m30m

Rua 1

Rua 2


.

8

6

x

y

3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.A diferença de x- y é:A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12

r

s

t

4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente:

a)25cm e 13 cmb)4/3 e 16/3c)20 cm e 12 cmd)40cm e 24 cme)40 cm e 28 cm

F

DC

X AB

32 cm24 cm

18 cm y

70 cm

SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:

1º) solução:

Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos:

Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma.

Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.


Sp = 41,25mHp = xHj = 1,8mSj = 6,75m

2º) solução:

Portanto, a alternativa correta é a letra C.


120m90m60m30m

Rua 1

Rua 2

x

y

z

w

Marcando as medidas a seremconhecidas

Note que o comprimento da rua 1Na figura é R1=30+60+90+120 R1 = 300m

Aplicando o Teorema de Tales:

Pela proporção, conclui-se que:y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m

3º) solução:

Alternativa C.


8

6

x

y

Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, Aplicando o Teorema de Tales teremos:

r

s

t

4º) solução:

Portanto, a alternativa correta é a letra D.


F

DC

X AB

32 cm24 cm

18 cm y

70 cm

Note que que na figura os triângulos ABF eCDF são semelhantes e que FC = 42 cm,Desta forma:

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de

semelhança de triângulos propostos a seguir:


3cm 4cm

5cm

6cm

X

Y

Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: ÂNGULO/ ÂNGULO



5

X

12

Y

9

3B)

Como você pôde notar, há várias situações- -problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos.

Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.

Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!


Tabela de Imagensn° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

3a Ottre / Domínio Público http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Vietnamese_wooden_ceiling.jpg17/09/2012

3b John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ramps_in_the_Skate_Park_Penistone_-_geograph.org.uk_-_482429.jpg

17/09/2012

3c 1sttimeright / GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billiard_Rack.jpg

17/09/2012

4a Timeroot / GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangular_cupola_net.PNG

17/09/2012

4b Werewombat / GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multnomah_Falls_Lodge_triangular_window_-_Oregon.jpg

17/09/2012

4c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sh_Sharayan_-_Triangular_Pendant_from_a_Woman%3Fs_Headpiece_-_Walters_572314_-_Back_Detail_A.jpg

17/09/2012

5a Erik Christensen / GNU Free Documentation License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nor%C3%B0rag%C3%B8ta,_Faroe_Islands_(3).JPG

17/09/2012

5b Qurren / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joetsu_Karyoku_powerline_tower_construction.jpg

17/09/2012

5c Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woman_with_wheelbarrow.jpg

17/09/2012

Tabela de Imagensn° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

7 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-

Equilatero.png17/09/2012

8 Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Isosceles.png

17/09/2012

9 Img / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Scaleno.png

17/09/2012

10 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg

17/09/2012

11 E2m / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Ottuso.png

17/09/2012

12 Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Acute.png

17/09/2012

26 E2m / Domínio Público http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg

18/09/2012

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