matemática apostila 1 suely
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos
a, b, ... variáveis e parâmetros = igual
A, B, ... conjuntos diferente
pertence a > maior que
não pertence < menor que
está contido maior ou igual a menor ou igual a
Ë não está contido
n! fatorial
contém
somatório
não contém produtório
$ existe
$ não existe infinito
$| existe apenas um / existe um único integral
| tal quelim limite
todo, qualquerlog logaritmo
ln logaritmo natural (neperiano)Þ implica (se então)
números naturaisÛ equivale (se e somente se)
números inteirosÈ união de conjuntos
números racionaisÇ interseção de conjuntos
números reaisÆ Conjunto vazio
Ú ou
Ù e
~ negação (lógica)
Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b e b > c Þ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
Se c >0 Þ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
Se c < 0 Þ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b Þ a + c > b +c , c R
d) a > b e c > d Þ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 Þ a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a
origem, independentemente do sentido.
a a , se a 0
a , se a 0Propriedades do Valor Absoluto
a 0 e a 0 Û a 0
a 2 a 2
a 2 a a < b, b > 0 Û - b < a < b
a > b, b > 0 Û a > b ou a < -b ou
| a | = b, b > 0 Û a = b ou a = -b
Se a, b R Þ | a . b | = | a | . | b |
a a Se a, b R , b 0 Þ
b b
Se a, b R Þ | a + b | | a | + | b | (Desigualdade Triangular)
Se a, b R Þ | a | - | b | | a - b | | a | + | b |
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.
O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,...
= { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos
números - 1,-2,-3,... .
= { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}
O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e
b são inteiros com b 0.
= { .....,-3,-2,-1, 1 ,0, 1 ,1,2,3,....}22
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples ,
a * = | a Z e b Z
b O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação
decimal infinita não é periódica. Ex:
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
= 3,1415926...
O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos números irracionais.
QUI, sendoQIIÆ
Regras Básicas
Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a
e b. Para os números reais a e b associa-se um único número real, a b , chamado produto
de a e b.
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:
Propriedade comutativa Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:
a + b = b + a a.b = b.a
Propriedade associativa Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se
(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)
Elemento Neutro Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real
a, tem-se:
a + 0 = a a . 1 = a
Elemento oposto e elemento inverso Existem únicos números reais, indicados
– a ( chamado oposto) e1 ( a 0) (chamado inverso), tal
quea
a + (–a) = 0 a . 1 = 1a
Propriedade distributiva Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se
a (b + c ) = ab + ac
(b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e a 0 então b = c
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a
para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Regras de sinal para quaisquer a e b de
–( –a) = a
(–a)b = – (ab) = a(–b)
(–a)(–b) = ab
SubtraçãoA diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e
b reais.
A regra dos sinais nos diz:
– ( a + b) = – a – b
Divisão
O quociente de b por a, onde a 0, indicado por b
, onde b é o numerador e a o a
denominador. Também é chamado fração b
. a
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!
Soma de frações:
a b
a b (c 0)
c c c
a c
ad bc
(b 0, d 0)
d bdb
Produto de frações:
a c ac (b 0, d 0)
dbdb
Quociente de frações:
a
=a
db (b 0, d 0 e c 0)
c b cd
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora.
São Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.
EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Quais das proposições são verdadeiras?
a) 3 d) 1 2
b) N e) 4
c) Z f) 3
2) Complete, usando as propriedades especificadas:
a) 32 . 45 = (comutativa)
b) 5(2 +3 ) = (distributiva)
c) 7 + 0 = (elemento neutro)
d) 3 . 1 = (elemento inverso)3
3) Efetue:
a) (-4)(-3)=..........
b) (2)(-4)(3) =..............
c) (-3)6 =...............
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:
( ) – (– a + 3) = a + 3
( ) – (1 – a) = –1 + a
( ) –2 – a = – (2 + a)
5) Efetue:
a) 1 7 e) 8 4 3 3 5 32
3
1
b) f)
5 7 3 2 1 12
c) -2 + =3 4 g) 10
d) 2 3 1 383 4 5
2
g)32
7 h) Sendo bcd 0 ,
a
a
= bc
cd
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V
PROPRIEDADES
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
3) a) 12 b) – 24 c) – 18
REGRA DE SINAL
4) a) F b) V c) V
EFETUE
5) a) 83
b) 14 15 135 35
c) 8 1 32 3 29 3 4 12 12
NÚMEROS COMPLEXOS
Definição:
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma
z = a + b i, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.
Número complexo Parte real Parte imaginária
2 + 3 i 2 3
2 - 3 i 2 -3
2 2 0
3 i 0 3
-3 i 0 -3
0 0 0
1- Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a + bi e w=c + di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo z = w se, e somente se, a = c e b = d. Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.
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2- Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é: -z = Oposto (a+bi) = (-a) + (-b)i. O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.
3- Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é: z* = conjugado (a+bi) = a + (-b)i. O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i
4- Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:
Z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z.w = (a + bi).(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i.
5- Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:
Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9
Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1
6- Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:
Escrever o inverso desejado na forma de uma fração
Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
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7- Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.
8- Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:
9- Representação geométrica de um número complexo
10- Módulo de um número complexo, se z=a+bi é um número complexo, então r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:
11- Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações: cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a. Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.
12- Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø) e esta última é a forma polar do número complexo z.
13- Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos:
z = r (cos m + i sen m) e w = s (cos n + i sen n)
Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]
14- Potência de um número complexo na forma polar
[Digite texto]
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Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como z = r [cos(m) + i sen(m)], então zk = rk [cos(km) + i sen(km)].
TERMO GERAL DE UMA P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r …
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n 2
Propriedades úteis na resolução de problemas
As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.
1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).Se tomarmos três de seus termos:
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e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos
,que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.
1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.
Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:
3 termos - (x - r, x, x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.
2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.
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Assim, utiliza-se no lugar de no lugar de .
TERMO GERAL DA P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a2 / a1 = q → a2 = a1 . q a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q → a3 = a1 . q2
a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2 . q → a4 = a1 . q3 ( e assim por diante)
Uma PG de razão q pode ser escrita assim:
PG( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an)
Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:
PG( a1, a1. q, a1. 2q, a1. 3q, a1. 4q, ..., a1.q(n-1)
Portanto, o termo geral será: an = a1 . qn - 1
Assim, concluímos que an = a1 . qn - 1 é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos a seguinte fórmula: an = ak . qn - k
an → é o último termo especificamente pedidoak → é o primeiro termo escolhidok → é a posição do termo ak
n → é a posição do termo an
2- P.G. com três termos consecutivos
Para três termos em P.G. (a1, a2, a3 ) vale a propriedade: “o termo do meio é a média geométrica dos outros dois”. ou, com outras palavras, o quadrado do termo do meioé igual ao produto dos outros dois termos. Ou seja (a2)2 = a1 . a3
3-Produto dos termos de uma PG finita.
Em uma PG finita de n termos e razão q, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Com base nessa propriedade, podemos estabelecer uma fórmula para o produto dos n termos da PG.
Pn = (a1.an)n/2
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Exemplo:
Obtenha o produto dos seis primeiros termos da PG (4,8,16,......)
a6= a1.q5 => a6 = 4.25 => a6 = 128
P6 =(a1.a6)6/2 P6 =(4.128)3 => P6 = 5123
4 - soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada pelas seguintes relações:
Sn = (an.q-a1)/q-1 ou Sn= a1.(qn-1)/(q-1)
5-Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada (infinita)
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Sn= a1/(1-q)
EXERCÍCIOS
Exercício 1: (PUC-RIO 2010)
Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:
A) x = 0 e y = 5
*B) x + y = 7
C) x = 0 e y = 1
D) x + 2 y = 7
E) x = y
Exercício 2: (PUC-RIO 2009)
Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
A) 0 . *B) 10 C) 20 D) 30 E) 40
Exercício 3: (PUC-RIO 2007)
Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
A) 40 B) 10 C) nenhum D) 8 *E) 5
Exercício 4: (UDESC 2009)
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O que os brasileiros andam lendo?
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. (Fonte: Associação Brasileira de encadernação e Restaure, adapt.)
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais.
Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I – Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.
II – Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.
III – Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
*D) Somente a afirmativa II é verdadeira.
E) Somente a afirmativa I é verdadeira.
Exercício 5: (UFF 2010)
Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
*D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
6- Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =
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(A) { } (B) {2} *(C) {3} (D) {2,3}
(E) {3,4}
7- Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então
(A) o valor máximo de x/y é 20
(B) o valor mínimo de x/y é 1
(C) o valor máximo de x/y é 4
*(D) o valor máximo de x/y é 4/13
(E) o valor máximo de x/y é 5
8- Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam de seriados também gostam de telenovelas.
O total de pessoas do grupo que gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados é:
a) 30 *b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
9 -Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam volei, 17 nadam e 8 jogam volei e nadam. Quantos alunos não praticam nenhum esporte?
a) 5 b) 7 c) 3 d) 6 * e) 4
10 – (Cesgranrio) – O mínimo múltiplo comum entre 2m , 3 e 5 é 240. O expoente m é:
a) 2 b) 3 *c) 4 d) 5 e) 15
Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32). Resp. 37/3
Sabe-se que, numa PA, . Determine-a.. Resp. (4, 7, 10, 13, 16, ...).
11
- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? R q = 2
12- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. R a10 = 1024
13 - Na PG onde a5=1/32 e razão ¼ , calcule a1. R a1 = 8
14- Quantos termos tem na PG (3,6,.....,48)? R n = 5
15- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) resposta S10 = 1023
16 - Calcule a soma dos termos da PG (1,2,4,8,...,256) resp 511
17-A soma dos termos da PG infinita (0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...) é dada por? resp S=3/9
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18- Escreva a PG onde ( 2, x+1, 8).
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