matematica 2

UNIDADE II

MÚLTIPLOS E DIVISORES OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROSProfessor Acácio Pedro da Silva Junior

Objetivos de Aprendizagem

• Entenderosconceitosrelacionadosaosmúltiplosedivisoresdeumnúmero.

• TerhabilidadesparacalcularoMínimoMúltiploComumeoMáximoDivisorComumentredoisoumaisnúmeros.

• IdentificareResolverproblemasqueenvolvammúltiplosedivisores.

• Manipularasoperaçõesentrenúmerosinteiros.

• Exercitarhabilidadesbásicasdeoperarnúmerosinteiros.

• EstimularoraciocínioLógico-matemático.

• Sabermanipularcorretamenteosparênteses,colchetesechaves.

• Dominarasseisoperaçõesfundamentais:Adição,Multiplicação,Subtração,Divisão,PotenciaçãoeRadiciaçãonoconjuntodosnúmerosinteiros.

• Entenderaspropriedadesparacadatipodeoperação.

• Saberresolverexpressõesnuméricas,desdeasmaissimples,atéasmaiselaboradas.

Plano de Estudo

Aseguir,apresentam-seostópicosquevocêestudaránestaunidade:

• OconjuntodosMúltiplosdeumnúmero

• OMínimoMúltiplocomum

• PropriedadesdoMMC

• OconjuntodosDivisoresdeumnúmero

• OMáximoDivisorComum

• ResoluçãodeProblemasenvolvendoMMCeMDC

• Operaçõescomnúmerosinteiros

• Cálculomentaldeexpressõessimples

• Adição/Subtraçãodeinteiros

40 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância

• Remoçãodosparêntesesacompanhadosdesinal

• Ordemderesoluçãoquantoaosseparadores:Parênteses,ColcheteseChaves

• Multiplicação/Divisãodeinteiros

• JogodeSinais

• Propriedadesdasquatrooperaçõesiniciais

• Ordemderesoluçãoquantoàsoperações

• Potenciação

• Propriedadesdaspotências

• Radiciação

• Interpretaçãodasraízescomopotências

• Racionalização

41TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância

INTRODUÇÃO

Nesta segunda unidade, você estudará temas muito importantes para o mundo da matemática: amanipulaçãonumérica.Trata-sedeumconteúdodaeducaçãobásicae,talvezporisso,muitosafirmemqueéumtemafácil.Aexperiênciamostraquenãoébemassim.

Semodomínioplenodestaunidade,nãoháformadeobterbonsresultadosemdisciplinasqueenvolvamálgebra,cálculo,geometriaanalítica,estatística,física,entretantasoutras.Porisso,vocêdeveseesforçaraomáximopararesolverasextensasbateriasdeexercíciosdefixação.Terdúvidaséumbomsinal(nomínimoéumsinaldequevocêestáfazendo)!

Oiníciodestaunidadetratademaisalgunsconjuntosnuméricos:oconjuntodosMúltiploseoconjuntodosDivisoresdeumnúmero.Ambasserãoferramentasessenciaisàsaplicaçõesenvolvendofrações,demodogeral,eaosconceitosdeálgebra.

Asegundapartedestaunidadeirádesafiá-loaocálculomental,aoraciocíniológicoeàsnovasformasde interpretar algumas das operações ditas fundamentais. Você se surpreenderá com o poder dosparênteses,colchetesechavesemumaexpressãonumérica.Edescobriráqueoresultadopodemudardrasticamenteapartirdautilização,ounão,dessesseparadores,tornandoamanipulaçãodasexpressõesnuméricasbastantedelicada.

3. MÚLTIPLOS E DIVISORES

Depoisdeestudaroquesãoecomoserelacionamosconjuntos,éconvenientebuscaroentendimentoacercadedoistiposespeciaisdeconjuntos:oconjuntodosMúltiplosdeumnúmeroeoconjuntodosDivisoresdeumdadonúmero.

3.1.ConjuntodosMúltiplosdeumNúmero

ChamamosdeMúltiplodeumdadonúmeronatural “n” todonúmero inteiroquepodeserobtidopeloprodutoentre“n”ealgumnúmerointeiro.Simbolicamente,escrevemosM(n)pararepresentarosmúltiplosde“n”.

Aindapodemosescreverqueumnúmero“a”éummúltiplodonúmero“n”seadivisãode“n”por“a”forexata.

Exemplos

M(2)={0,±2,±4,±6,±8,±10,±12...}éoconjuntodosmúltiplosde2

M(3)={0,±3,±6,±9,±12,±15,...}éoconjuntodosmúltiplosde3




Notequetaisconjuntossãoinfinitos:nãohácomodefinirummaiormúltiplodealgumnúmero,aindaquevocêpenseemumnúmerosuficientementegrandecomomúltiplodeumdado“n”,sempreserápossívelencontraralgummaior.

Namaioriadasvezes,temosinteresseemusarapenasosmúltiplospositivosdosnúmerosdados.Assimconsideraremos:

M(2)={2,4,6,8,10,12...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde2.

M(3)={3,6,9,12,15,...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde3.



Lembre-se: zero não tem sinal! Não é positivo nem negativo e, por isso, não está elencado no conjunto dos múltiplos positivos.

Notequeomenormúltiplopositivodeumdadonúmero“n”éopróprionúmero“n”.

3.2.MínimoMúltiploComum-MMC

Antes de explicitar o conceito “MínimoMúltiploComum”, é necessário entender o termo, palavra porpalavra:

Apalavra“Múltiplo”foidefinidaanteriormenteedispensamaioresexplicações.

M(3)={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48...}.

M(4)={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,72...}.

Otermo“MúltiploComum”serefereaoconjuntodosmúltiploscomunsadoisoumaisnúmeros:

MC(3,4)={12,24,36,48...}representaosmúltiploscomunsa3e4.

MC(3,4)=M(3)∩M(4)

Aexpressão“MínimoMúltiploComum”serefereaomenorelementodoconjuntodosmúltiploscomunsadoisoumaisnúmeros:

MMC(3,4)=12

Assim,oMínimoMúltiploComumentreosnúmerosa,b,c...éomenornúmerointeiro,positivo,queémúltiplo,simultaneamente,dea,b,c...


3.2.1. Propriedades do MMC

I.Se“a”émúltiplode“b”,MMC(a,b)=1

II.Se“a”e“b”sãoconsecutivos,MMC(a,b)=a.b

III.Se“a”e“b”sãoprimosentresi,MMC(a,b)=a.b

O conceito “primos entre si” relaciona dois números de forma que não exista qualquer outro inteiro,diferentede1,queosdividasimultaneamente.

Exemplos:

MMC(100,101)=10100=100.101(sãoconsecutivos).

MMC(64,1024)=1024(1024émúltiplode64).

MMC (10, 21) = 210 (são primos entre si – não há outro número, além do 1, que divida 10 e 21simultaneamente).

MMC(1,10)=10(10émúltiplode1,emparticular,qualquernúmeroémúltiplode1).

3.3.ConjuntodosDivisoresdeumNúmero

ChamamosdeDivisordeumdadonúmeronatural“n”todonúmerointeiroquedivida“n”.Simbolicamente,escrevemosD(n)pararepresentarosdivisoresde“n”.

Exemplos

D(6)={±1,±2,±3,±6}éoconjuntodosdivisoresde6.


D(20)={±1,±2,±4,±5,±10,±20}éoconjuntodosdivisoresde20.


A exemplo dosmúltiplos, namaioria das vezes, usamos apenas os divisores positivos dos númerosdados.Assim,consideraremos:

D(6)={1,2,3,6}éoconjuntodosdivisoresde6.


D(20)={1,2,4,5,10,20}éoconjuntodosdivisoresde20.



Notequeomaiordivisorpositivodeumdadonúmero“n”éopróprionúmero“n”.

3.4.MáximoDivisorComum-MDC

Antes de explicitar o conceito “MáximoDivisorComum”, é necessário entender o termo, palavra porpalavra:

Apalavra“Divisor”foidefinidaanteriormenteedispensamaioresexplicações.

D(8)={1,2,4,8}.

D(20)={1,2,4,5,10,20}.

Otermo“DivisorComum”serefereaoconjuntodosdivisorescomunsadoisoumaisnúmeros:

DC(8,20)={1,2,4}representaosdivisorescomunsa8e20.

DC(8,20)=D(8)∩D(20)

Aexpressão“MáximoDivisorComum”serefereaomaiorelementodoconjuntodosdivisorescomunsadoisoumaisnúmeros:

MDC(8,20)=4

Assim,oMáximoDivisorComumentreosnúmerosa,b,c...éomaiornúmerointeiro,positivo,queédivisor,simultaneamente,dea,b,c...

Observação:sedoisnúmeros“a”e“b”sãoprimosentresi,omáximodivisorcomumentre“a”e“b”éiguala1,umavezqueonúmero1dividequalquernúmero.OndeescrevemosMDC(a,b)=1.

3.5. Resolvendo Problemas envolvendo MMC e MDC

PararesolverproblemasenvolvendoMMCeMDC,éimprescindívelquevocêdomineosconceitos:

Sevocêsedeparacomumasituaçãoemqueháumavariaçãodosnúmerosemquantidadesconstantes(de5em5anos,de3em3dias,acada4minutos...),ométodoparaaresoluçãodeveseroMMC.

Sevocêsedeparacomumasituaçãoemqueénecessáriodividirumdadonúmeroemporçõesiguais,sendoasmaiorespossíveis,ométodoparaaresoluçãodeveserocálculodoMDC.

Exercícios:

01.(UFMG)Entrealgumasfamíliasdeumbairro,foidistribuídoumtotalde144cadernos,192lápise216borrachas.Essadistribuiçãofoifeitademodoqueomaiornúmeropossíveldefamíliasfossecontempladoetodasrecebessemomesmonúmerodecadernos,omesmonúmerodelápiseomesmonúmerodeborrachas,semhaversobradequalquermaterial.Nessecaso,onúmerodecadernosquecadafamília


ganhoufoi:

a)4 d)9

b)6 e)10

c)8

02.Numacertavizinhança,háquatrogatos:Lalá,Lelé,LilieLulu.Lalámiaacada15minutos,Lelémiaacada4minutos,Lilimiaacada12minutoseLuluacada2minutos.Sabendoquemiaramjuntosàs15h15min,aquehoraselesmiarãojuntosnovamente?

03.Umasaladecinemacomportacertonúmerodepessoas.Quantaspessoas,nomínimo,hánasalasepodemsercontadasde12em12,de6em6ede8em8?

04. Numa demonstração aeróbica, os participantes foram distribuídos em vários quadrados com 36pessoasemcadaum.Depoissaíramemgruposde20pessoas.Qualseriaomenornúmeropossíveldeatletasqueparticiparamdademonstração?

05.SuponhamosqueoPresidentedeumamultinacionaltenhamandatodetrabalhocomtempodeterminadoequeestetempoéde4anos,osassessoresdeletambémtêmmandatocomtempodeterminadoe,paraestes,otempoéde6anoseosauxiliaresseguemomesmoesquemaetêmmandatode3anos.Seem2001houveeleiçãointernanestaempresaparaos03cargos,emqueanoserealizarãonovamenteesimultaneamenteaseleiçõesparaessescargos?

06. JoãoeMariamoramemSalvadorede temposem temposvãoàFeiradeSantana,umacidadepróximadacapitalbaiana.Elevaide15em15diaseelavaide10em10dias.Nodia20deJulho,osdoisviajaramparaFeiradeSantana.Combinaramde ir juntosnaprimeiraoportunidade.Quando issoacontecerá?

07.Joãotinhauma“prova”deadmissãoemumatecelagem:deveriadividirdoisrolosdetecido,umde36metroseoutrode48metrosdecomprimento,empedaçosiguaisedemaiorcomprimentopossível.Qualdeveráserocomprimentodecadapedaço?

08.Trêscordas,umade48metrosdecomprimento,outracom60metroseaterceiramedindo90metrosdeveriamserdivididasempedaçosiguaisedemaiorcomprimentopossível.Qualseráocomprimentodecadapedaçodecorda?

09. Trêsrelógiosdespertadoressãoprogramadosdaseguintemaneira:oprimeirodeverádespertaracada4horas;osegundoacada6horaseoterceiroacada5horas.Sabe-sequetocaramjuntosàs15h15mindodia15deJaneiro,emqueocasiãoosdespertadorestocarãojuntosnovamente?

10. Virgínia deseja plantar 72mudas de violeta, 24 de rosas, 36 orquídeas e 48 camélias nomenornúmeropossíveldecanteiros.Sabendoquecadacanteirodeveráreceberomesmonúmerodeplantas


deumasóespécie:

a)Quantoscanteirossãonecessários?

b)Qualéonúmerodeplantasquedevecontercadacanteiro?

11. (UFMG) Entrealgumasfamíliasdeumbairro,foidistribuídoumtotalde144cadernos,192lápise216borrachas.Essadistribuiçãofoifeitademodoqueomaiornúmeropossíveldefamíliasfossecontempladoetodasrecebessemomesmonúmerodecadernos,omesmonúmerodelápiseomesmonúmerodeborrachas,semhaversobradequalquermaterial.Nessecaso,onúmerodecadernosquecadafamíliaganhoufoi:

a)4 b)6

c)8 d)9

4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

Antesdecomeçarmos,tenteresolvermentalmenteoexercícioaseguir:

4.1.ExercitandoHabilidades

Exercitesuahabilidadeemresolveralgumasoperações“simples”comnúmerosinteiros:

a)4+7 h)2+3+5+7+9

b)4–7 i)–2–4+1

c)7–8–3 j)–4+5+3

d)4+8–7 k)–6+4–2

e)15+22+6 l)–1–2–8–5

f)15–7–3+5 m)–4–20–6+100–1

g)8–11–7+4 n)125–108+57–135+50

Respostas:

a)11 b)–3 c)–4 d)5 e)43 f)10 g)–6h)26 i)–5 j)4 k)–4 l)–16 m)69 n)–11


Sevocêtevedúvidas,ouseerroualgumdositens,aconselhoquenãotrateestaunidadecomdesdém.Estudecomafincoemantenha-seatentoaosoutrostópicos.

Pratiquemaisumpouco!(Usecalculadoraparaconferirseusresultados!)

a)–17+43+14+23–45 b)24–7–8–10–4+31–19

c)19–21+36–100–35+100 d)–23+24–25+26–27+28

e)210+60–126+63–208+117 f)–99+85–121–310+420+115

g)75+95–105+110–125–55 h)104+104+104–210–312+105+105

Horadeaprenderumpoucodelógica!Paracompletaraspirâmidesdenúmerosaseguir,vocêdeveráescreveremcadaquadrovazioasomadosdoisquadrosimediatamenteabaixodele.Observe:

−10 −4

2

−12

7 2

4

3

13

-2

1

6

1 1 1 1

9

7

5 2 4

3

6

2 −1 1

12

6

4

1

0

6 3

−4 1 −1

Quandoelencamosasoperaçõesentrenúmerosinteiros,costumamosescrever:Adição,Subtração,Multiplicação,Divisão,Potenciação,Radiciação,entreoutras,comose,defato,fossemmuitasoperações.Noentanto:


ASubtraçãoéaadiçãodoopostodeumdadonúmeroepodemosusaraexpressão“soma”pararepresentá-la.

A Divisão é a multiplicação pelo inverso de um dado número e podemos usar a expressão “produto” pararepresentá-la.

ARadiciaçãoéapotênciaapresentadacomexpoentefracionário.

4.2.Adição/Subtração

Paradeterminarasoma(ouadição)dedoisnúmerosinteiros,devemosconsiderarqueosnúmerosPOSITIVOSREPRESENTAMOQUETEMOSeosnúmerosNEGATIVOSREPRESENTAMOQUEDEVEMOS.Sevocêtemmaisdoquedeve,aindatesobraalgo.Sevocêdevemaisdoquetem,continuadevendo.Éporissoquesempresemantémosinaldomaiornúmero.

4.3.Remoçãodeparêntesesquandoacompanhadodesinal

Sinal positivo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinalpositivo,podemoseliminartantoosparênteses,quantoosinal.(Osinal“+”mandamanterosinal).

Sinal negativo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinalnegativo,devemostrocarossinaisdostermosqueestãoentreparêntesesparapodermoseliminá-los.(Osinal“−”mandatrocarosinaldoqueestáentreosparênteses).

Exemplos:

+(–7)=–7

–(–7)=+7

8+(–5)=8–5=3

8–(–5)=8+5=13

–3+(–4+2)=–3+(–2)=–3–2=–5

–3–(–4+2)=–3–(–2)=–3+2=–1

2+(–3x+6)=2–3x+6=8–3x

2–(–3x+6)=2+3x–6=–4+3x

Épossívelestenderasmesmasregrasparaassituaçõesemqueaparecem,alémdosparênteses,oscolcheteseaschaves.

4.4.Ordemderesolução–{[(Separadores)]}

Porhora,paradeterminararesoluçãodealgumasexpressõessimpleséimportantequevocêsaibadaexistênciadeumaordemdepreferênciapararesolvê-lasquantoaosseparadores(Parênteses,ColcheteseChaves).

Osprimeirossímbolosquedevemserobservadossãoosparênteses().Nessecontexto,vocêdeveráresolvero


queestáentreparêntesesantesdosoutrossímbolos.Sejasensatoeresolva-osdeformacoerente.

Nasequência,casoexistam,vocêdeveráobservaroscolchetes[].Resolvaoqueestáentrecolchetesdeformacoerente.

Porfim,resolvaoqueestáentreaschaves{}eoquemaisrestar.

Releiaevejaqueaordemnãoéobrigatória,éordemdepreferência.Hácasosemqueiremosresolvercolchetesantesdeparêntesese,alémdisso,seumseparadornão interferirnooutro, tambémpodemos resolvê-losemmaiorespreocupaçõesquantoàordem.Mas,sehouverparêntesesentreoscolchetes,nãoháformaderesolveroscolchetessemquesesaibaovalornuméricoqueestáentreosparênteses.

Tomemuitocuidadoaocolocarossinais!Osnúmeros+5e−5,porexemplo,podemnãoservistosapenascomoumproblemadesinal.Imagineque,emumdadoproblema,umcarropare5metrosantesdebateremumcaminhão(nãohácolisão),osinaltrocadopodeindicarqueocarroparou5metrosdepoisdebater(hácolisão).

Exemplo:

y=2–[7–(–1–3+6)–8]

y=2–[7–(+2)–8]

y=2–[7–2–8]

y=2–[–3]

y=2+3

y=5

Exercícios

01.Elimineosparêntesesemcadaumadasexpressõesaseguir,apresentando,comoresposta,oresultadodassomasenvolvidas:

a)–(–7+11) e)14+(–1–2)

b)7+(8–3) f)–(1+1+1–4)

c)10–(–2+5) g)9+(9–16)–6

d)–3–(–1–5+8) h)–7+(–2–8)+3–(–5–1+4)

02.Umnúmero“a”étalquea=–9+[(–4+11)–(–13+11)–5].Nessascondições,digaqualéosinalde“a”.

03.Determineassomasalgébricasaseguir:

a)3+[6–(–7+1)]

b)3+6–(–7+1)

c)–10–[11+(2–6)]+1

d)–10–11+(2–6)+1


e)–[21+(–20+22)–(24–29)–23]

f)–21+(–20+22)–(24–29)–23

g)–7–[(–5+11)+11–(–5–18+9)–4]

h)–7–(–5+11)+11–(–5–18+9)–4

i)6–{4+[–7–(–3–9+5)]}

j)6–4+[–7–(–3–9+5)]

Nesteexercício,vocêdeveterpercebidoaimportânciadossímbolos(),[]e{},poisaausênciadosmesmosalteraoresultado.

4.5.Multiplicação/Divisão

Paradeterminaroproduto (multiplicação)dedoisnúmeros inteirosnãonulos,devemosmultiplicarnúmeropornúmeroesinalporsinal(amultiplicaçãoporzerosempreresultaráemzero).

Paradeterminaroquociente(divisão)entredoisnúmerosinteirosnãonulos,devemosdividirnúmeropornúmeroesinalporsinal(adivisãodonúmerozerosempreresultaráemzero.Adivisãoporzeronãoédefinida).

4.5.1.“JogodeSinais”

Paraosdoiscasos,valedizerque:seosdoisfatorestêmsinaisiguais,oproduto/quocienteéumnúmeropositivo.Caso tenhamsinaisdiferentes, o produto/quociente seránegativo. (Fiqueatento: essa regrasóseaplicaàmultiplicaçãoeàdivisão!).

Quandose tratadamultiplicaçãode trêsoumaisnúmeros inteiros,multiplicamosdoisdelese,nasequência,multiplicamosoresultadoporumterceirofator(quarto,quintoetc.).Ouainda,quandopossível,cabemultiplicá-losdoisadois.

Exemplos:

(–3).(–5).(–4)=(+15).(–4)=–60

(+12).(–5).(–4).(–15)=(–60).(+60)=–3600

4.6. Propriedades

4.6.1.ElementoNulodaadição

Todonúmero“n”somadoazero,resultaem“n”.Zeroéoelementonuloparaaadição.

4.6.2.ElementoNeutrodamultiplicação

Todonúmero“n”multiplicadoporum,resultaem“n”.Uméoelementoneutroparaamultiplicação.


4.6.3. Comutativa

Dada operação é dita comutativa se, ao trocar a ordem dos fatores (termos), o resultado não se alterar. AMultiplicação e a Adição são operações dotadas da propriedade comutativa. Subtração e Divisão NÃO sãocomutativas:(vocêjádeveterouvido:“Aordemdosfatoresnãoalteraoproduto!”–Issoéomesmoquedizer:“Amultiplicaçãoécomutativa!”)

Exemplos:

Operação a & b b & a

Adição 5 + 1 = 6 = 1 + 5 = 6

Multiplicação 15 . (– 4) = – 60 = (– 4) . 15 = – 60

Subtração 13 – 2 = 11 ≠ 2 – 13 = – 11

Divisão 4 ÷ (– 2) = –2 ≠ (– 2) ÷ 4 = –0,5

Osímbolo&nãotemsentidoparaamatemática.Sóutilizamosparaquefossepossívelrepresentarqualquerumadasquatrooperações.

4.6.4.Associativa

Dadaoperaçãoéditaassociativaseaformadeagrupar(associar)osfatores(termos)nãoalteraroresultado.AMultiplicaçãoeaAdiçãosãoassociativas.SubtraçãoeDivisãoNÃOsãoassociativas:

Exemplos:

Adição [(–6)+(+8)]+(+5)=[(+2)]+(+5)=+7(–6)+[(+8)+(+5)]=(–6)+[(+13)]=+7

Multiplicação [(–6).(+8)].(+5)=(–48).(+5)=–240(–6).[(+8).(+5)]=(–6).(+40)=–240

Subtração [(–6)–(+8)]–(+5)=[(–14)]–(+5)=–19(–6)–[(+8)–(+5)]=(–6)–[(+3)]=–9

Divisão [(–6)÷(+8)]÷(+5)=[(–0,75)]÷(+5)=–0,15(–6)÷[(+8)÷(+5)]=(–6)÷[(+1,6)]=–3,75

4.6.5. Distributiva

Dadooprodutodeumnúmero“n”porumasomaalgébrica,ofator“n”podeserdistribuídoentreostermosdasomaalgébrica,ouseja,paramultiplicarumnúmeroporumasomaalgébrica,podemosmultiplicá-loporcadaumadasparcelase,aseguir,adicionarosresultadosobtidos,casopossível.

Exemplos:

(+6).[(+3)+(–5)]=(+18)+(–30)=–12


(–9).(–3+7)=(+27)+(–63)=–36

5(3x–16)=15x–80(aausênciadeoperaçãoentreonúmero5eosparêntesesrepresentaumamultiplicação!)

4.7.Ordemderesolução-Operações

Antesderesolveralgumasexpressõesnuméricas,éimportantequevocêsaibaqueexisteumaordempredefinidapararesolvê-lastantoquantoaosseparadores(vistonotópico4.4)quantoàsoperaçõese,alémderespeitaraordemdossímbolos(parênteses),[colchetes]e{chaves},vocêdeveráestaratentoàordemderesoluçãoquantoàsoperações:

PrimeirovocêdeveráresolverasPOTÊNCIASeRAÍZES(veremosnasequência).

DepoisvocêdeveráresolverasMULTIPLICAÇÕESeDIVISÕES(naordememqueaparecerem).

DepoisvocêdeveráresolverasADIÇÕESeSUBTRAÇÕES(naordememqueaparecerem).

Exercícios:

01.Calcule:

a)(–7).(+11).(–2) b)(–9).(–5).(–3)

c)(+10).(+6).(–4) d)(–12).(–6).(+3)

e)(–6).(–2).(–5).(+10).(–1) f)81+(–20).(+4)

g)(–4).(–7)–30 h)–23–(–6).(+3)

i)(–9).(+6)–(+2).(–27) j)25–(–3).(–7)+(–6).(+4)–(–16)

k)31+(–40):(+2) l)–10–20:(+4)

m)(+30):(–6)+(–18):(+3) n)(–91):7+15

o)7:(–7)+2.(–6)+11 p)(–36):(–4)+3.(–3)

q)46:(–23)+7–4.(+2) r)8.(–11)+200:(+2)–12

s)63–84:(–21)–3.(+23)

4.8.Potenciação

Aexemplodeoutrosconceitosmatemáticos,apotenciaçãosurgiupelanecessidadedesimplificara formadeescreveramultiplicaçãodeumdadonúmero“a”porelemesmocom“n”repetições:

an=a.a.a.a...a.a(nrepetições)inicialmentecoma∈ N e n > 1.


Chamamosonúmero“a”debase,onúmero“n”deexpoenteeotermo“an”depotência.Nessecaso,dizemosqueonúmero“a”estáelevadoaoexpoente“n”.

4.8.1.Nomenclaturaemrelaçãoaoexpoente

Háformasdecitardeterminadapotênciaemrelaçãoaoseuexpoente:

Potência Como se lê

2a “a” elevado ao quadrado / “a” ao quadrado

3a “a” elevado ao cubo / “a” ao cubo

4a “a” elevado à quarta potência

5a “a” elevado à quinta potência

6a “a” elevado à sexta potência

A partir daí, seguimos dizendo:

“a” elevado (ao ordinal correspondente ao número do expoente) potência

Apartirdaí,seguimosdizendo:

“a”elevado(aoordinalcorrespondenteaonúmerodoexpoente)potência

4.8.2.DeterminaçãodoSinaldaPotência

Quandotratamosdapotenciaçãodenúmerosinteiros,abasepodeserumnúmeropositivoounegativo,edevemosconsiderarosdoiscasos.Paranãoimporalgosimplesdecompreender,gostariaquevocêtentasseentenderassequênciasaseguir:

Base Positiva Base Negativa

1(+ 2) = +2

2(+ 2) = (+ 2).(+ 2) = + 4

3(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 8

4(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 16

5(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 32

6(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2). (+ 2) = + 64

1(– 2) = – 2

2(– 2) = (– 2).(– 2) = + 4

3(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2) = – 8

4(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = + 16

5(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = – 32

6(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) .(– 2) = + 64

Quandooexpoenteéumnúmeroímpar,apotênciatemsempreomesmosinaldabase,independentedosinal da base.

Quandooexpoenteéumnúmeropar,apotênciatemsempresinalpositivo, independentedosinaldabase.

MUITOCUIDADO!

(−2)6=(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)=+64(osinaltambémfoielevadoaoexpoente6)

−26=−2.2.2.2.2.2=−64(apenasonúmero2foielevadoaoexpoente6)


4.8.3.PropriedadesdasPotências

Paraapresentarcadaumadaspropriedades,buscaremosgeneralizarapartirdeumexemploaleatório.Todasaspropriedadessãoválidasdentrodoconjuntodosnúmerosinteiros,excetoquandofornotadaumarestrição.

( ) (b ≠ 0)

Exemplo

1. am . an = am + n 27 . 23 = (2. 2. 2. 2. 2. 2. 2) . (2. 2. 2) = 210 = 27 + 3

2. a ÷ a = a 27 ÷ 2 3 = 2 4 = 2 7 − 3

3. a0 = 1 (a ≠ 0) 20 = 27 – 7 = 27 ÷27 =

4. (an) k = ank (27)5 = (27). (27). (27). (27). (27) = 27 + 7 + 7 + 7 + 7 = 235 = 27. 5

5. (a.b)n

nn

= a

=

n . bn (3. 5)4 = (3. 5). (3. 5). (3. 5). (3. 5) = 3. 3. 3. 3. 5. 5. 5. 5 = 34 . 54

6. ( 34 ) = ( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 )( 3

4 ) = 3

45

7. 0n = 0 (n ≠ 0) 07 = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 0

8. 1n = 1 112 = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 = 1

9. a−n = 1/ an 5−4 = 50−4 = 50 ÷ 54 = 50

54 = 154

2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2

2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2. 2. 2. 2. 2

a ab b

Propriedade

m n m - n

=

= 1

55n

Asrestriçõesnaspropriedades3e7surgempeladiscordânciaacercadapotência00.

Apropriedade3diriaquearespostaé1.(Porcontadoexpoentezero)

Apropriedade7diriaquearespostaé0.(Porcontadabasezero)

Exercícios:

01.Efetueasexpressõesaseguirusandoaspropriedadeslistadasanteriormente(seoresultadoforumnúmeromuitogrande,deixedaformamaissimplespossível,aindanaformadepotência):

a)103 b)(-3)2

c)–82 d)(-8)2

e)(0,7)2 f)(-5)3

g)(0,5)-2 h)(-0,1)-3

i)27 j)(-3)4

k)(35)2 l)3-2

m)(-3)-5 n)(82)5

o)74.72 p)(0,9)10:(0,9)4

q)312.315:310 r)(72.133)4:(78.1311)

s)67.62.6-1 t)0,310.0,3-5.0,37:0,310


u)109:106 v)3.(-5)2+5.(-3)3

w) 3

3

2÷ø

öçè

æ x) 33

3

2

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ

y) 22

2

1.

2

1-

÷ø

öçè

æ÷ø

öçè

æ z) 2

4

3-

÷ø

öçè

æ

02.Façasimplificaçõesdemodoquecadaexpressãoalgébricafiquereduzidaaumasópotência:

a)p-7.p19.p-5.p-1.p-10 b)g150.g50:(g20)8

c)(y6)20.(y-10)-2:y95 d) ( ) ( )

( ) 10410

751021053

.

...

mm

mmmm--

03. Sabendoquex=−(−2)5,determineovalordex.

04. Sabendoquex=−(−5)−2ey=10−1,calculeovalordex+y.

05.Sabendoquea=(–1)100eb=(–1)101,calculeovalorde(a+b)ede(a–b)

06.Reduzaaumasópotência:

a)(–8)5.(–8).(–8)4 b)[(+2)6]2

c)(–10)9:(–10)6 d)(+9).(+9)11.(+9)8

e)(–13)20:(–13)14 f)[(+7)4]3

g)(+10)5.(+10).(+10)8 h)(+20)7:(+20)6

i)[(–4)7.(–4)10.(–4)]:[(–4)8]2 j)[(–2)6]2:[(–2)6.(–2)2.(–2)]

07.Determineovalordecadaumadasexpressõesnuméricasaseguir:

a)

23

1- b)5−2.10

c)

12

8- d)

4

1

3

9-

-

e)5−1+10−1 f)2−5–2−3

g)(3−2+6−1)-2 h)(2−3+2−3):(4−1+4−1)

08. (Desafio!) Qualéametadede222?


(Dica:Escreva“ametade”comosendouma“divisãopor2”).

4.9.ExpressõesNuméricasSimples

Jálistamosaordemdepreferênciaparaaresoluçãonocasodeumaexpressãonumérica:

Quanto aos Separadores Quanto aos Operadores

Ordem Separador Símbolo Ordem Operador Símbolo

1º. Parênteses ( ) 1º. Potências e Raízes na e

2º. Colchetes [ ] 2º. Multiplicação e Divisão x e ÷

3º. Chaves { } 3º. Adição e Subtração + e −

√an

Exemplos:

01.Calcularovalordaexpressãonumérica32:(–2)2–(–3).(–3)3.

32:(–2)2–(–3).(–3)3=

=32:(+4)–(–3).(–27)= →efetuamosaspotenciações

=(+8)–(+81)= →efetuamosasmultiplicaçõesedivisões

=+8–81= →eliminamososparênteses

=–73

02.Calcularovalordaexpressãonumérica(–5+2)2:(–9)–[2.(–4–2)–(–1)3.(–5+8)]

(–5+2)2:(–9)–[2.(–4–2)–(–1)3.(–5+8)]=

=(–3)2:(–9)–[2.(–6)–(–1)3.(+3)] →calculandoointeriordosparênteses

=(+9):(–9)–[2.(–6)–(–1).(+3)] →efetuandoaspotenciações

=(–1)–[(–12)–(–3)] →efetuandoasdivisõesemultiplicações

=–1–[–12+3] →eliminandoosparênteses

=–1–[–9] →calculandoointeriordoscolchetes

=–1+9 →eliminandooscolchetes

=+8

Exercícios:

01.Calculeovalordasexpressõesnuméricas:


a)(–9)2–(+5).(+16)

b)(–2)4:(+16).(–1)7

c)(–6)2–(–7)+130

d)52–(–3)3+2(–4)2

e)4.(–5)3+(–20)2

f)112–4.(–5)2+100

g)17–3.(–2)2–(–6)2.(–1)7

h)41–3.(–4)2+6o–20:(–2)2

i)7.(–2)2–5.(–2)3–102

j)(–3)3–5.(–2)+2.(–3)2–1

02.Sea=–(–3)3eb=(–1)8,calculea+b.

03.Sex=–(–2)5ey=–(+2)5,calculex–y.

04.Calculeovalordasexpressõesnuméricas:

a)(–7–4).(–9+2)–(–72+2):(–5–5)+(–9–4+6)

b)(–9–3):(–1+7)–[10–(–4–3).(–5+4)+(–36):(–1–3)]

c)50–7.(+4)–[(–44):(–11)+(–3).(+3)–1]

d)(–6)2:(–12)–(–3)3+(–2)5:(–4)2–50

e)(–2–3)2:(–25)+[30–(–10+6)2:(–2)3–52]

f)(–7)2+[100–(–3)3:(+9)–(–1)9]–42

g)22+(25:22)–[(–3)4:(–3)2–42:(–11+7)+100]

h)52–7.(–2)3–[–20:(–2)2+6.(–1)4–3]+(–5)2:(–5)

i)(–3)2–(–3)3–[(–10)2:(–20)+(–6+4)5:(–4)2–40]

j)(–5)2:52–(–4)3–[82–(–1)8.(–2)3+(–72):(–6)2]

k)(–2).(–10)2+152–[–92:(+3)3+62:(–12)+23]

l)100+(–300):(–10)2–18+[(–98):72–9.(–2)3–82]

4.10.Radiciação

Ageometrianemsempre trabalhacomnúmeros inteirosouexatos.Emgrandepartedasvezes,énecessárioindicarouresolverumaraizparadeterminarcertamedida.Porexemplo, metroséamedidacorrespondenteàdiagonaldeumquadradodeladoiguala1metro.

Éimportantequevocêsaibalidarcomestesnúmeros:


échamadoderadicalouraiz,“a”éoradicandoe“n”éoíndicedaraiz.

Onomedaraizsegueanomenclaturadaspotências,deformabempróxima:

ou éaraizquadradanonúmero“a”.

éaraizcúbicade“a”

éaraizquartade“a”

éaraizquintade“a”

éaraiz(ordinalcorrespondenteaoíndice)de“a”

4.10.1.EscrevendoRaízescomoPotências

Todaraizpodeserescritaemformadepotência:

Assim, escrever é omesmo que escrever 21/2 e, por se tratar de potência, valem asmesmas regras epropriedadesdaspotências,ficandomaisfácildemanipularasraízes,omelhor,aspotências.

Buscarovalornuméricodeumaraizquadradanemsempreseráumatarefasimples:

Parasaberovalorde ,vocêteráquebuscarumnúmero“b”deformaqueb.b=a.

Parasaberovalorde ,vocêteráquebuscarumnúmero“b”deformaqueb.b.b=a

nãoestádefinidanosreais,poisnãohánúmeroreal“n”quemultiplicadoporelemesmo,resulteemumnúmeronegativo.

Generalizando:nãoexisteraizdeíndiceparparanúmerosnegativos(noConjuntodosNúmerosReais).

Exemplos:


Nomais,tudopodeserescritodeformaintuitiva,bastarespeitaraspropriedades.

4.10.2.Racionalização

Amaiorpartedaspessoasencontragrandesdificuldadesaoefetuaradivisãodeumnúmerointeiroporoutro.Essadificuldadesemostraaindamaiorquandoodivisoréumaraiz.Paratentarsimplificaroscálculos,ajudandonotratodaTrigonometria,daGeometriaPlana,daGeometriaAnalíticaentreoutras,utilizamosumprocessopráticoparaforçaro“desaparecimento”daraiznodivisor:aRacionalização!

Tomeadivisão comoexemplo.Onúmero ,comodivisor,nãonosdeixaverdeformaclaraseadivisãoéexatanemseoresultadocontinuarácomraiz.

ResultadoImportante:multiplicarodivisoreodividendoporummesmonúmeroquealteraoquociente(resultado).

Assim,devemosbuscarumnúmeroqueaomultiplicarpor√2,representaumnúmero inteiro.Opadrãoébemsimples:

Paraonúmero √2,usamosonúmero√2comofatorracionalizante,pois√2.√2=√4=2

Paraonúmero√3,usamosonúmero√3comofatorracionalizante,pois√3.√3=√9=3

Paraonúmero√5,usamosonúmero√5comofatorracionalizante,pois√5.√5=√25=5

Emgeral,paraonúmero√n,usamosonúmero√ncomofatorracionalizante,pois√n=n

Destaforma:

Cuidado!Nemsempreoresultadoseráumnúmerointeiro.Hádiversassituaçõesemqueonúmerocontinuarácomumaraiz(nodividendo,nãonodivisor).Vejamaisdoisexemplos:

Exemplos:

I.Nocasodonúmero temos:

II.Nocasodonúmero temos:


Apesardeatentaçãosergrande,nãopodemossimplificaro15queestádentrodaraizcomo5.

4.10.3. Conjugado

Háaindaumtipoespecialderacionalização:aquebuscaasoluçãodeumadivisãoemqueodivisorécompostopordoistermos(sejamduasraízesouumaraizeumnúmeroracionalqualquer).Talmétodoutilizaumconceitoquenãovimosatéomomento(ProdutosNotáveis),portanto,vamossimplesmentedefiniroConjugadodeumdadonúmerocomosendoofatorpeloqualomultiplicamosobtendocomorespostaumnúmeroracional.Amecanizaçãoémaisfácilqueateoria.Acompanheatabelacomosconjugados:

Número Fator Racionalizante Produto Note que basta trocar o sinal

que separa os dois termos.

Pratique! Multiplique cada

número pelo seu fator

racionalizante e encontre o

“produto” como resposta. Não é

para decorar, você tem que

saber fazer!!!!a - b²

a - b²

a² - b

a² - b

a - b

a - ba b+

a b+

a b+

ba +

a b-

ba -

a b-

a b-

b+a b-a

b-a b+a

Exemplo:

Nocasodonúmero temoscomofatorracionalizanteonúmero√3 √2

Exercícios:

01.Calculeovalordasraízesabaixo:

a)√121 b)√729

c)√64 d) √576

e) f)

g)√1225 h)

i) j)

k) l)


m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

02.Escrevaaspotênciasaseguiremformaderaiz

03.Escrevaosradicaisnaformadeexpoentefracionário:

04.Simplifiquecadaumdosseguintesradicais,retirandofatoresdoradicando:

05.Resolvaasoperações:

06.Aplicandoapropriedadedistributivadamultiplicação,simplifiqueasexpressõescomradicais:(sigaoexemplo)


a)(Exemplo)

07.Racionalizeodenominadordecadaumadasseguintesfrações:

Useconceitospré-adquiridosdeáreaeperímetropararesolverasituaçãoaseguir:

08.Afiguraabaixorepresentaumterrenoretangularcomasmedidasdadasemmetros.

a)Quantosmetrosdemuroserãonecessáriosparacercaresseterreno?

b)Qualéaáreadesseterreno?


c) Quantooproprietáriodeverágastarparagramaroterreno,seopreçodometroquadradodegramacorrespondeaR$5,20?

(Casovocênãoselembre:oPerímetroédadopelasoma de todos os lados e a Áreaédadapeloproduto entre comprimentoelargura).

09.Vocêvaiconheceruma“fórmula”usadaemFísicaquandoseestudaomovimentodoscorposemquedalivre.Repareque,senãoexistisseoconceitoeosímbolopararaizquadrada,seriamuitocomplicadoexplicarcomosecalculaovalordotempo“t”,dadoemsegundos,quandoseconheceovalordaaltura“h”,dadoemmetros.Vejaafórmula:

Essaequação,descobertaporGalileu,dizemquantossegundos,aproximadamente,umobjetochegaaosoloquandoéabandonadodeumadeterminadaalturadadaemmetros.Quantotempoumobjetoquecaideumaalturaiguala19,6mdemoraparachegaraosolo?

Sugiroquevocêacesse<http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/>.Trata-sedeumsitecomlinguagembemsimpleseserviráparaquevocêadquiranovasexperiênciasmatemáticas.Essarecomendaçãovaleparatodasasunidadesdestematerial!

ATIVIDADE DE AUTOESTUDO1.Comoodomíniodessesconceitospodemelhorarmeudesempenhoacadêmico?


2.Vocêdominavaasseisoperações?Foisurpreendidoporalgumadasoperaçõesquejulgavadominar?

3.Existeformadesedesenvolveremseucursosemquevocêpreciseconhecerasoperaçõeslistadas?

2.Vocêdominavaasseisoperações?Foisurpreendidoporalgumadasoperaçõesquejulgavadominar?

3.Existeformadesedesenvolveremseucursosemquevocêpreciseconhecerasoperaçõeslistadas?

IMENES,LuizMárcioeLELLIS,MarceloCestari.MatemáticaParatodos:–4Volumes.2.ed.SãoPaulo:Sci-pione,2006.Oresultadoéumtrabalhoinovador,quereinterpretaconteúdostradicionais,traznovasideias,aproximaaauladeMatemáticadarealidadeeajudaa“aprenderaaprender”,desenvolvendocompetênciasúteisparatodaavida.Aconselhoquevocêencontreexemplaresde5ªsérie(6ºano)e6ªsérie(7ºano)paraampliarosseusestudos–talvezvocêsóosencontreemSebos,poisoprofessorImenesmudoudeeditora,agoraestápublicandopelaEditoraModerna.Casoprefira,busquepeloautor.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesta unidade, você deve ter visto que amanipulação numérica é, de fato,muito importante para amatemática.Noentanto,acompreensãodaspropriedades,semterquedecorá-las,sugeremaisdoquesimples“continhas”.Estamosdiantedeumasituaçãoemqueosaberfalamaisaltoqueodecorar(atémesmoquandofalamosemtabuada).

Épossívelquevocêtenhaficadosurpresocomaquantidadedeoperaçõesquepodemserrealizadasdeformamaisracionalquemecânica.

Vocêdeveterentendidoqueamecanizaçãoémuitoimportante,massósevocêjásaberesolverdeformaracional,usandotodooraciocíniológicoquevocêadquiriuduranteasuaformaçãointelectual.

Estamoschegandoàmetade!

matematica 2

Documents