apostila 2 ano matematica

MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015

1

APOSTILA 2015

MATEMÁTICA

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


2

Sumário

1.Sequências.................................................................................................................................4

1.1 Sequências numéricas............................................................................................................

2. Progressão Aritmética...............................................................................................................6

2.1 Classificação de uma P.A........................................................................................................6

2.2 Termo geral de uma P.A.........................................................................................................6

2.3 Propriedades de uma P.A.......................................................................................................7

2.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...........................................................................10

3.Progressão Geométrica............................................................................................................13

3.1 Fórmula do termo geral.........................................................................................................13

3.2 Propriedades principais.........................................................................................................14

3.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.G ..........................................................................16

3.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita................................................................16

4. Matrizes...................................................................................................................................19

4.1 Representação genérica de uma matriz................................................................................19

4.2 Lei de formação de uma matriz.............................................................................................20

4.3 Tipos de matrizes..................................................................................................................20

4.4 Operações com matrizes.......................................................................................................25

4.5 Matriz inversa........................................................................................................................32

5. Determinantes.........................................................................................................................34

5.1 Determinante de ordem 2x2..................................................................................................34


3

5.2 Regra de Sarrus....................................................................................................................34

5.3 Teorema de Laplace..............................................................................................................36

6. Sistemas Lineares...................................................................................................................42

6.1 Equações lineares.................................................................................................................42

6.2 Sistemas lineares..................................................................................................................42

6.3 Método do escalonamento....................................................................................................43

6.4 Matrizes associadas a um sistema linear..............................................................................43

6.5 Regra de Cramer...................................................................................................................44

7. Trigonometria na circunferência..............................................................................................53

7.1 Arcos e ângulos.....................................................................................................................53

7.2 Medidas de arcos e ângulos..................................................................................................54

7.3 Conversão entre graus e radianos........................................................................................54

7.4 Comprimento da circunferência.............................................................................................55

7.5 Congruência de arcos...........................................................................................................55

7.6 Razões trigonométricas.........................................................................................................59

7.7 Funções trigonométricas.......................................................................................................61

7.8 Outras razões trigonométricas..............................................................................................67

7.9 Relações trigonométricas......................................................................................................69

Exercícios de vestibulares...........................................................................................................73

Referências bibliográficas.........................................................................................................106


4

1. Sequências

Em nossas aulas estudaremos as sequências, na qual seus elementos estão dispostos em

uma determinada ordem pré-estabelecida.

1.1 Sequências numéricas

Os elementos de uma sequência numérica devem ser apresentados entre parênteses,

conforme os exemplos abaixo:

• (2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) é uma sequência de números pares positivos.

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais.

• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.

• (10, 15, 20, 30,35,40) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e

menores que 45.

Existem dois tipos de sequências, as sequências finitas e as sequências infinitas:

• Sequência finita é uma sequência numérica na que tem um último elemento, ou seja, tem fim,

como por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45.

• Sequência infinita é uma sequência que não possui um último termo, ou seja, seus elementos

seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.

Denominamos o primeiro termo de uma sequência numérica por a1, o segundo termo por a2, o

terceiro por a3 e assim segue. O último elemento de uma sequência finita é representado por

an. A letra n determina o número de elementos da sequência.

(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.

(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita.

Os elementos de uma sequência numérica são determinados por uma lei matemática. Por

exemplo:

Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 2n + 1, n N*.

a1 = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3

a2 = 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5

a3 = 2.(3) + 1 = 6 + 1 = 7

a4 = 2.(4) + 1 = 8 + 1 = 9


5

a5 = 2.(5) + 1 = 10 + 1 = 11

Portanto, a sequência será: (3,5,7,9,11).

Exercícios sobre sequências numéricas

1- Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos termos gerais estão expressos a

seguir:

a) 2na n

b) 2 1na n

c) 1

nan

2- Escreva os quatro primeiros termos da sequencia na n

n .)1( .

3- Calcule o 15º termo da sequência cujo termo geral é: 3 1na n .

4- Calcule o 20º termo da sequência cujo termo geral é: 2 1na n .

5- Obtenha o décimo quarto termo da sequência em que n

nA 102 .

6- Determine o quarto termo da sequência, em que 15.2 n

nA .

7- Determine os sete primeiros termos de uma sequência tal que 10 1n

na .

8- Determine o 5º termo da sequência 1)2( n

na .

9- Qual a posição do termo de valor 20 na sequência dada por 2 6na n ?


6

10- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequência dada por 13 .( 1)n

na n ?

2. Progressão Aritmética

Denominamos Progressão Aritmética (ou PA) qualquer sequência numérica cujo termo

seguinte, é igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razão.

Por exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17,...) é uma PA de razão 3.

2.1 Classificação de uma P.A:

Uma progressão aritmética é dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior,

ou seja: an > an-1.

Uma progressão aritmética é dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu

anterior, ou seja: an < an-1.

Outra forma de determinar se a PA é crescente ou decrescente é a partir da sua razão, se r > 0

a PA é crescente, se r < 0 a PA é decrescente.

2.2 Termo Geral de uma PA

Considere a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.

Conforme a definição, um termo é a2 = a1 + 1.r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

___________________________

an = an-1 + r = an = a1 + (n – 1) . r

Denominamos a expressão: an = a1 + (n – 1). r como o termo geral da PA.

Onde an é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a1 é o primeiro termo da

Progressão Aritmética.

Cálculo da Razão de uma PA:

Para saber a razão de uma PA qualquer (a1, a2, a3, ... , an, ...), podemos utilizar uma das

expressões utilizadas para determinar o termo geral da PA:


7

an = an-1 + r r = an - an-1

Dessa maneira podemos deduzir que a razão é obtida a partir da diferença entre quaisquer

termos consecutivos, como por exemplo:

r = an – an-1 = an-1 – an-2 = … = a3 – a2 = a2 – a1

Exemplos:

Qual o centésimo termo da PA (1, 5, 9, 13, 17,...)?

Primeiro termo: a1= 1

Razão: r = a2 – a1 =5 – 1 = 4

Como queremos o centésimo termo, n = 100

Para calcular o centésimo termo, utilizaremos a expressão que nos dá o Termo Geral da PA.

an= a1 + (n – 1) . r a100 = 1 + (100 - 1). 4 = 1 + 99.4 = 1 + 396 = 397.

Portanto 397 é o centésimo termo da PA.

Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96,..., 22)?

Como queremos saber o número de termos da PA, sabemos que esse número é dado por n,

então essa é a incógnita que queremos encontrar.

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22

Substituindo na fórmula do termo geral, temos:

22 = 100 + (n - 1). (- 2)

22 - 100 = - 2n + 2

22 - 100 - 2 = - 2n

- 80 = - 2n

n= 40

Portanto, a PA possui 40 termos.

2.3 Propriedades de uma P.A

P1. Cada termo de uma PA pode ser dado pela média aritmética entre seu anterior e seu

posterior.

Exemplo:


8

1. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos: .

2. Na PA ( 2,x,12) calcule o valor de x.

Pela propriedade anterior, temos:

P2. A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma PA é constante.

1. Exemplo:

PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d

2. Qual o segundo termo da PA (3,t,15,21,27)

Pela propriedade anterior, temos:

t+21 = 3+27

t+21 = 30

t = 30 – 21

t = 9

Exercícios sobre Progressão Aritmética

11- Escreva:

a) Uma P.A de oito termos em que 1 6a e 4r .

b) Uma P.A de sete termos em que 1 4a e 2r .

c) Uma P.A de quatro termos em que 1 2a a e ar .

12- Calcule o número real x de modo que a sequência (x+1, 3x-1, 2x+3,...) seja uma P.A.

13- Encontre o termo geral das seguintes Progressões Aritméticas:

a) (2, 7,...)

b) (1, 9,...)

c) (-1, 3,...)

d) ,...)5,3(


9

e)

,...

4

11,

3

7

14- Qual é o décimo quarto termo da P.A(4,10,...)?

15- Qual é o quadragésimo número natural ímpar?

16- Qual é o nono termo da P.A ,...)4,2,( mamaa ?

17- Calcule três números em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 24.

18- Escreva uma P.A de três termos, de modo que a sua soma seja igual a -3 e seu produto

seja igual a 8.

19- Obtenha três números em P.A de modo que sua soma seja 12 e seu produto 48.

20- Um estacionamento no centro de São Paulo cobra R$ 20,00 pela primeira hora de

estacionamento. A partir da segunda, há um decréscimo dos preços segundo uma

progressão aritmética. O preço da segunda hora é R$ 18,00 e o preço da quarta hora é R$

12,00. Assim, se um automóvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor

deverá ser pago pelo proprietário do carro estacionado?

21- Numa P.A de razão 5, o primeiro termo é igual a 4. Qual é a posição do termo igual a 44.

22- Considere a P.A(100, 93, 86,...). Determine a posição do termo de valor 37.

23- Quantos termos tem a P.A(4,7,10,...,157)?

24- Quantos termos tem a P.A(-1,2,...,86)?

25- Interpole cinco meios aritméticos entre 6 e 30.


10

26- Interpole oito meios aritméticos entre 26 e -1.

27- Insira cinco meios aritméticos entre -5 e 13.

28- Insira quatro meios aritméticos entre 0 e 2.

29- Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 200?

30- Quantos números ímpares há entre 18 e 272?

31- Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o 1º segundo. Depois disso, em cada

segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o

corpo percorrerá em 8 segundos?

32- Quantos são os múltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1000?

33- Determine quantos múltiplos de 3 existem entre 1 e 100.

34- Quantos múltiplos de 5 existem entre 100 e 1500?

35- Quantos múltiplos de 6 maiores que 17 e menores que 972 existem?

2.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3,..., an-1, an).

A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a partir da

propriedade P2:

Temos:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an


11

Aplicando a propriedade P2:

Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo

valor (são iguais à soma dos termos extremos a1 + an), de onde concluímos inevitavelmente

que:

2. Sn = (a1 + an). n, onde n é o número de termos da PA.

Daí então vem finalmente que:

Exemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...).

31

3.94

).1(

10

10

1

A

A

rnAAn

175

2

10).314(

2

).(

10

1

S

S

naaS

n

nn

Exercícios sobre soma dos termos de uma P.A

36- Calcule a soma dos trinta primeiros números ímpares positivos.

37- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...).

38- Calcule a soma dos cem primeiros números naturais pares.

39- Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A (-7,-9,-11,...).


12

40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo é 2

1 e a razão

.2

3

41- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que 21 A e 3r .

42- Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos.

43- Calcule a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91.

44- Obtenha a soma dos múltiplos de 3 entre 13 e 100.

45- Calcule a soma dos números ímpares compreendidos entre 100 e 258.

46- Calcule a soma dos números pares compreendidos entre 200 e 357.

47- Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.

48- Qual é a soma de todos os números pares positivos de 2 a 450?

49- Determine a expressão que fornece a soma dos n primeiros números ímpares positivos.

50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-

se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele

percorreu no final do 3º dia?


13

3. Progressão Geométrica

Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer sequência de números reais

ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma

constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2

(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1

(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2

(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

3.1 Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo

termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q

3

................................................

................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1

, que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2, 4, 8,...), pede-se calcular o décimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela

fórmula:

a10 = a1 . q9 = 2 . 2

9 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a

320. Qual a razão desta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4. q8-4

. Daí vem: 320 = 20. q4

Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:

(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.


14

3.2 Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e

posterior.

Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: B2 = A . C; C

2 = B. D; D

2 = C. E; E

2 = D. F etc.

P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.

Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: A . G = B. F = C. E = D. D = D2

Exercícios sobre P.G

51- Escreva:

a) Uma P.G de cinco termos em que 31 A e 3q .

b) Uma P.G de cinco termos em que 51 A e 2q .

52- Determine x de modo que a sequência (x+6, 2-x, 2-4x,...) seja uma P.G.

53- A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G.

Quanto mede o lado desse quadrado?

54- Encontre três números em P.G, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto.

55- Três números reais formam uma P.G de soma 13 e produto 27. Determine esses números.

56- Encontre o termo geral da P.G(1, 5,...).

57- Calcule:

a) O quinto termo da P.G

,...

3

4,4,12 .

b) O décimo termo da P.G (8,-16,32,...).

58- Determine o oitavo termo da P.G ( ,...)16

1,

32

1,

64

1.


15

59- Insira seis meios geométricos entre 3 e 384.

60- Insira sete meios geométricos entre 3 e 768.

61- Insira cinco meios geométricos entre 4 e 256.

62- Insira três meios geométricos entre 9 e .9

1

63- Determine o primeiro termo de uma P.G em que 312507 A e 5q .

64- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 1536)?

65- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 3072)?

66- Em uma P.G cujo 1º termo é 2 e a razão é -3, qual é a posição do termo -486?

67- Calcule a razão de uma P.G, sabendo que 4055 A , 51 A e que a P.G possui 5

termos.

68- Numa P.G, dados 21 A , 5q e 1250nA , calcule n .

69- Quantos termos possui a P.G onde 61 A

, 384nA e 2q

.

70- Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o

número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 15 horas.


16

3.3 Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos

considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn . q = a1. q + a2. q + .... + an-1. q + an. q.

Logo, conforme a definição de PG podemos reescrever a expressão acima como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an. q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn. q = Sn - a1 + an. q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1. qn-1

, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou

seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...)

Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

3.4 Soma dos termos de uma PG infinita

Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos

considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:


17

Exercícios sobre soma dos termos de uma P.G

71- Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...).

72- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G .,...2

1,

,2

1,

2

1

73- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -16, -32, -64, -128, -256, -512).

74- Considere a P.G(7, 14, 28, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G.

75- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G(3, 6, 12,...).

76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(2, 4, 8,...).

77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(1, 3, 9,...).

78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-3, -6, -12,...).

79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(1000, 100, 10,...).

80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(2, 6, 18,...).

81- Quantos termos tem a P.G finita (1, 3, 9,..., x), se a soma de todos os seus termos é 1093?

82- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G( ...)2,2,2,2 3210.

83- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G( ...)3,3,3,3 3210.


18

84- Calcule a soma 108642 222221 .

85- Determine a soma de cada P.G infinita:

a)

,...

18

1,

6

1,

2

1

b)

,...

3

1,1,3

c) ,...25,50,100

d)

,...

4,

2,

222 aa

a

86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(32, 8, 2,...).

87- A soma dos termos da P.G ,...)5,5,5,5( 32 aaa é 3. Determine o valor de a.

88- Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas:

a) 0,555...

b) 0,121212...

c) 3,44....

d) -2,66...

89- Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,49494949....

90- Qual é a geratriz da dízima periódica 2,718181818...


19

4. Matrizes

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas,

utilizadas na organização de dados e informações. Na álgebra, as matrizes são responsáveis

pela solução de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relação entre linhas e

colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas é uma matriz da ordem n x m, para obter

o número de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os exemplos de

matrizes abaixo:

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna), o número de elementos dessa matriz é 3 x

1 = 3

1 2

3 4

5 6

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), o número de elementos dessa matriz é

3 x 2 = 6

1 2

3 4

, matriz quadrada de ordem 2 x 2. O número de elementos dessa matriz é 2 x 2 = 4

4.1 Representação genérica de uma matriz

Seja A uma matriz qualquer de ordem m x n, podemos representar A por:

Ou também, , onde i ∈ {1, · · · ,m} é o índice de linha e j ∈ {1, · · · , n} é

o índice de coluna.

Quanto aos elementos de cada matriz lê-se:

a11: A um, um.

a12: A um, dois.

1

2

3


20

A21: A dois, um.

amn: A m, n.

4.2 Lei de formação de uma matriz

Chamamos lei de formação de uma matriz, a sentença matemática que determina quais serão

cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (aij)m x n | Lei de Formação

Por exemplo: temos que: (aij)2x3= 2j – i, é uma matriz 2x3 onde cada elemento é obtido através

da lei 2j – i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz:

(a11)= 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1

(a12)= 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3

(a13)= 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5

(a21)= 2(1) – 2 = 2 – 2 = 0

(a22)= 2(2) – 2 = 4 – 2 = 2

(a23)= 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4

Logo a matriz 11 12 13

21 22 23

1 3 5

0 2 4

a a aA

a a a

4.3 Tipos de matrizes

Matriz linha: Qualquer matriz com uma única linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre

ordem 1 x m.

Por exemplo, a matriz A =[1, 2, 3, 4], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: Qualquer matriz com uma única coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre

ordem 1 x m.


21

Por exemplo, a matriz

1

2

3

B

do tipo 3 x 1.

Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo

número de linhas e colunas. Por exemplo, a matriz 3 8

2 12C

é do tipo 2 x 2, isto é,

quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é

formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal

principal são nulos. Por exemplo:


22

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são

iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por

exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas

por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª

coluna de At.

Exercícios sobre construção e definição de matrizes

91- Dada a matriz:


23

a- Qual é a sua ordem?

b- Quantos elementos ela possui?

c- Dê o valor dos seguintes elementos: 31122111 ,,, aaaa .

d- Calcule o valor de 33222113 aaaa .

e- Ela é uma matriz quadrada? Justifique

92- Dê o tipo de cada matriz:

a) 81

b)

5,04

97

c)

653

684

791

d)

6867

5698

7735

43,051

93- Construa a matriz A= 22)( xija , sendo jiaij .

94- Construa a matriz A= 23)( xija , sendo jiaij 2 .

520

11142

418

A


24

95- Construa a matriz A= 32)( xija , sendo 222 jiaij .

96- Construa a matriz 32)( xijcC , com

2 jicij .

97- Determine a matriz A= 22)( xija tal que:

a) ija 0, se ji e ija 1, se ji .

b) 2iaij , se ji e

2jaij , se ji .

98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal

secundária da matriz 33)( xijaA em que jiaij 2 .

99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6?

100- Dê a matriz transposta de:

a)

6

3

1

A

b)

3

17

50B

c)

101128

6483

1802

73,05,11

C


25

4.4 Operações com Matrizes

Igualdade de matrizes

Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e se

os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

1 2 1 4,

2 5 8 5

xA B

y

,

Solução:

2 4 2

2 8 10

x x

y y

Adição de matrizes

Assim como nos números, equações e funções que vimos até agora, podemos realizar

algumas operações com matrizes e a soma é uma delas, podemos somar duas matrizes desde

que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m x n, chamamos

matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A + B:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

e a a a b b b

A Ba a a b b b

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

a a a b b b a b a b a bA B

a a a b b b a b a b a b


26

Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:

2 4 9 3 5 9 e

8 1 2 6 2 2A B

Solução:

2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =

8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B

=

5 1 0

2 1 -4A B

Propriedades da adição

Sendo A, B, C e O (matriz nula) são matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades:

- Comutativa: A+B = B+A

- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C

- Elemento neutro: A+O = O+A = A

Subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida

subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A - B:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

e a a a b b b

A Ba a a b b b


27

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

a a a b b b a b a b a bA B

a a a b b b a b a b a b

Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:

2 4 9 3 5 9 e

8 1 2 6 2 2A B

Solução:

2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =

8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B

=

1 9 18

14 3 0A B

Multiplicação de uma Matriz por um número escalar

Seja k um número escalar real qualquer, definimos que a multiplicação de k por uma matriz A

será dada pela multiplicação de cada elemento de A pelo número real k, assim:

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

. . .. .

. . .

a a a a a a k a k a k aA k A k

a a a a a a k a k a k a

Exemplo: seja A, a matriz dada abaixo, calcule 3.A:

1 1

4 10A

Solução:

1 1 3.( 1) 3.1 3 33. 3.

4 10 3.( 4) 3.10 12 30A

Matriz oposta


28

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz

oposta é a multiplicação de uma matriz A por (-1), Então:

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

( 1). ( 1).a a a a a a a a a

A A Aa a a a a a a a a

Exemplo:

1. Obtenha –A, dada a matriz

1 1

3 9A

, Então:

1 1 1 1( 1) ( 1)

3 9 3 9A A

Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula)

Solução

Temos acima que:

1 1 1 1

e -3 9 3 9

A A

, Então:

1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 0 0( ) (Matriz Nula)

3 9 3 9 3 ( 3) 9 9 0 0A A O

Multiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A

pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a

seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:


29

O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da

matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I).

Exercícios sobre operações com matrizes

101- Calcule os valores de x e y nas seguintes igualdades:

a)

26

11

166

31

y

x

b)

01

1123

01

58 2 yx


30

c)

y

x

36

1002

816

2 2

102- Dada a matriz

210

432

011

A

, obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da

matriz A com a sua transposta.

103- Considere as seguintes matrizes:

32)( xijaA , definida por jiaij e 32)( xijbB , definida por jibij . Determine o

elemento 23C da matriz BAC .

104- Dada a matriz

500

121

432

A , determine 3IAT .

105- Sendo 31)( xijaA tal que jiaij 2 e 31)( xijbB tal que 1 jibij , calcule

BA .

106- Se

41

72A e

06

23B , determine a matriz X em cada caso:

a) BXA

b) ABX

c) ABX 2

d) BXA 32

107- Dadas as matrizes

32

10A e

11

02B , calcule ABC 3 . Calcule o produto

dos elementos da diagonal principal dessa matriz.


31

108- Dadas as matrizes: A

12

46 e

53

21B determine:

a) AB 2

b) BA 32

c) TT BA 2

d) BA.

e) AB.

f) 2A

g) 2B

109- Dada a matriz

20

01A , determine AA .32 .

110- Dada a matriz

100

001

012

A , calcule 2A .

111- (UFRJ) Seja

10

11A . Determine o valor de

3A .


41

14M ,

14

41N e

51

32P , calcule

PNM ).( .

113- São dadas as matrizes

13

12A e

01

43B .

a) Calcule BA. .

b) Calcule ..AB

c) Calcule 2A .


32

4.5 Matriz Inversa

Considere que A é uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversível se

existir uma matriz B, tal que:

nA B B A I

Nessas condições dizemos que B é inversa de A, e indicamos por A-1

.

Exemplos:

Determine a Inversa de A, dado:

1 2

4 2A

Temos que A-1

, é uma matriz quadrada de ordem 2, com elementos ainda desconhecidos,

portanto:

1a b

Ac d

, tal que 1

2A A I , então:

11 2 1 0 2 2 1 0

4 2 0 1 4 2 4 2 0 1

a b a c b dA A

c d a c b d

Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de

matrizes:

2 6 1 1 2,

5 0 5 5

a ca c

a c

2 6 0 1 1,

5 1 5 10

b db d

b d

Portanto 1

1 1

5 5

2 1

5 10

A

Exercícios sobre matriz inversa

114- Calcule a matriz inversa de:


33

a)

52

83B

b)

31

20D

115- Dada a matriz

11

32A , determine a matriz X tal que: X

TAA 1.

116- São dadas as matrizes

57

23A e

11

11B . Calcule

1. ABA .

117- Calcule 21)( AA , sendo

43

21A .

118- Dada a matriz

23

35A , determine o valor de AA 21

.

119- Calcule a matriz inversa de

21

11B . Prove que a multiplicação da matriz B pela

sua inversa é igual à matriz identidade.


11

12A e

12

01M :

a) Determine 1M .

b) Determine o traço da matriz MAM ..1, sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos

elementos da diagonal principal.


34

5. Determinantes

Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes são os Determinantes, esses são a

associação de uma matriz quadrada com um número real, através dos determinantes podemos

definir se uma matriz tem ou não matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma

matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A não é inversível.

Para representação do determinante temos a inserção de uma nova simbologia. O

determinante de uma matriz A, será dado como abaixo:

Seja a b

Ac d

uma matriz, seu determinante será representado por deta b

Ac d

.

5.1 Determinante de ordem 2 x 2

Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, o valor do determinante será dado por:

deta b a b

A A a d b cc d c d

5.2 Regra de Sarrus

Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, podemos utilizar a regra de

Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro às definições de Diagonal Principal e

Diagonal Secundária. Na figura abaixo temos as duas diagonais destacadas, de maneira que:

Diagonal principal: a11, a22 e a33.

Diagonal secundária: a13, a22, a31.

Para aplicação prática da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do

determinante e traçar a partir delas três diagonais principais e três diagonais secundárias.


35

O determinante será calculado por meio da diferença entre a soma do produto das três

diagonais principais e a soma do produto das três diagonais secundárias. Conforme abaixo:

Somatório da Diagonal principal

(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)

Somatório da Diagonal secundária

(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)

Cálculo do Determinante

D = {(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)} – {(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 .

a21 . a33)}

Exemplo:

1. Calcule o determinante de

1 1 2

2 3 0

2 3 4

A

utilizando a regra de Sarrus:

1 1 2 1 1 2 1 1

( ) 2 3 0 2 3 0 2 3

2 3 4 2 3 4 2 3

Det A

Somatória das diagonais principais:

[1.( 3).4] (1.0.2) (2.2.3) 12 0 12 0p

Somatória das diagonais secundárias:

(1.2.3) (1.0.3) [2.( 3).( 2)] 6 0 12 18s

Regra de Sarrus:

Det(A) = p – s =0 – 18= -18


36

5.3 Teorema de Laplace

O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas

de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.

Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:

Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema

de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:

1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.

2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.

3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos

elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.

Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas

de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou

igual a 4.

Para melhor explicação do método vamos a um exemplo numérico de sua aplicação.

Exemplo

1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o

Teorema de Laplace.

Solução

Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.


37

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:

Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:

D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.

Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem

mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.

Exercícios sobre determinantes

121- Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:

a) 2A

b)

41

23B

c)

16

34C

d)

32

46D

e)

236

1

2

1

E


38

f)

23

32F

122- Calcule o determinante da matriz 22)( xijaA tal que jiaij 23 .

123- Se

20

11A , encontre o valor do determinante de AA .22 .

124- (Vunesp-SP) Dadas as matrizes

42

31A e

13

21B , calcular o determinante da

matriz BA. .

125- Resolva as equações:

a) 075

2

xx

b) 1213

22

x

c) 38

2

43

122 xxx

d) x

x

x 0

2

4

43

126- Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes:

a)

432

314

523

A


39

b)

524

132

030

B

c)

552

287

402

C

127- Calcule o determinante das matrizes:

a) 33)( xijAA tal que jiAij 32 .

b) 33)( xijBB tal que jiBij 23 .

c) 33)( xijCC tal que jiCij .

128- Se 33)( xijAA tal que

jiaij , calcule o valor de

Adet e

tAdet.

129- Determine o valor de x para que:

a) 0

321

412

31

x

b) 3

025

112

312

x

c) 0

213

42

142

x


40

130- Para que valores de x o determinante

101

00

10

x

x

é positivo?

131- Dada a matriz

321

401

132

A , determine:

a) )( 12acof

b) )( 31acof

c) )( 22acof

d) )( 13acof

e) )( 23acof

f) )( 33acof

132- Dada a matriz

662

542

301

A , determine a soma dos cofatores dos elementos da

2ª linha.

133- (UFSC) Dada a matriz

2244

0731

0085

0010

A

, calcule o determinante dessa matriz.

134- Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes:

a)

87

43A

b)

35

41B


41

c)

401

312

001

C

d)

1012

3121

1312

1010

D

e)

1010

2101

4312

0101

E

135- Resolva as equações:

a) 0

1011

1021

10

15112

xx

b) 0

5070

436

33

00402

x

xxx


42

6. Sistemas Lineares

6.1 Equações lineares

Chamamos equações lineares a toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b de maneira que a1, a2, a3,... , an são números reais, que são

chamados coeficientes das incógnitas x1, x2, x3,... , xn, e b é um número real chamado termo

independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Seja k o grau das incógnitas, a equação é denominada linear, se e somente se, k = 1.

Exemplos

1. São equações lineares

a) x + y = 3

b) 2x – y = 0

c) y +3x = 7

2. Não são equações lineares

a) x² - 4x = - 2

b) 2x³ – y = 7

c) x² + y² = 1

6.2 Sistemas lineares

Um conjunto de equações lineares da forma:

é denominado um sistema linear de m equações e n incógnitas.

Um sistema linear tem n soluções, representadas pela n-upla de números reais (r1, r2,

r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.


43

Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções da seguinte forma:

Sistema linear possível: quando admite solução.

Sistema linear impossível: quando não admite solução.

Um sistema linear possível pode ser classificado em:

Determinado: quando admite uma única solução.

Indeterminado: quando admite infinitas soluções.

6.3 Método do escalonamento

Um sistema linear é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:

10

43

yx

yx

700

150

22

zyx

zyx

zyx

O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é

denominado método do escalonamento.

Exemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear:

95

824

yx

yx.

Primeiro multiplicamos a segunda equação por -4 para eliminamos a incógnita x:

295

4422

95

36820244

y

yx

y

yx

yyxx

Como já achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equação:

12 xy

6.4 Matrizes associadas a um sistema linear


44

Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a

matriz incompleta e a matriz completa.

Matriz incompleta

Seja o sistema linear abaixo:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada

apenas pelos coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

A a b c

a b c

Matriz completa

Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B,

chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna à matriz A, com

os termos independentes de cada equação.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

A a b c

a b c

6.5 Regra de Cramer

Consideremos um sistema linear de n equações e n incógnitas:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

n1 1 n2 2 n3 3 n

a x a x a x ... a x b



a x a x a x ... a

n n nx b


45

Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira

que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, existe um

determinante D, tal que:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

D a a a a

a a a a

Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema

dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita

xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ...

, bn, assim sendo:

Segundo a regra de Cramer:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n

equações e n incógnitas são dados por frações cujo

denominador é o determinante D dos coeficientes das

incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:

ii

Dxx

D

Exemplos

Para resolver um sistema linear pelo método de escalonamento, precisamos ter conhecimentos

de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes à equivalência de

dois ou mais sistemas lineares.

1. A permutação entre as linhas de um sistema linear não alteram o sistema em si, uma vez

que sua solução permanece a mesma.

Exemplo

Os sistemas de equações lineares

x 3y 7

5x 2y 1 e

5x 2y 1

x 3y 7

São sistemas lineares equivalentes, fica óbvio que a dupla ordenada (1, 2) satisfaz a

ambos.

1 12 13 1

2 22 23 2

1 3 32 33 3

2 3

11 1 13 1

21 2 23 2

2 31 3 33 3

1 3

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33

n

n

n

n n n nn

n

n

n

n n n nn

n

b a a a

b a a a

Dx b a a a

b a a a

a b a a

a b a a

Dx a b a a

a b a a

a a a b

a a a b

Dx a a a

3

1 2 3n n n n

b

a a a b


46

2. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu

resultado não será alterado.

Exemplo

Os sistemas de equações lineares

x 3y 7

5x 2y 1 e

x 3y 7

10x 4y 2

O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto,

afirmamos que esses sistemas lineares são equivalentes, a dupla ordenada (1, 2)

satisfaz a ambos.

3. Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação

qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra

na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo:

Os sistemas

15x 3y 22

5x 2y 32

e

15x 3y 22

9y -74

São obviamente, pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira

equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Seja o sistema de equações lineares:

x + 3y - 2z = 3 (e1)

2x - y + z = 12 (e2)

4x + 3y - 5z = 6 (e3)

SOLUÇÃO:

1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:

2x - y + z = 12

x + 3y - 2z = 3

4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformaçãoT2 -


47

somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido

- uso da transformação T3 - vem:

2x - y + z = 12

7y - 2z = 6

4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a

equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:

2x - y + z = 12

-7y + 5z = 6

5y - 7z =-18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:

2x - y + z = 12

-35y+25z = 30

35y -49z =-126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado

obtido, vem:

2x - y + z = 12

-35y+25z = 30

-24z = -96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que:

96z= 4

24, ou seja, z = 4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:

Teremos:

- 35y + 25(4) = 30 y = 2.

Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:

2x - 2 + 4 = 12 x = 5.

Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever

que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno


48

ordenado (5,2,4) :

S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:

5 + 3(2) - 2(4) = 3

2(5) - (2) + (4) = 12

4(5) + 3(2) - 5(4) = 6

o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Exercícios sobre sistemas Lineares

136- Dada a equação 534 yx , determine a solução em que 5y .

137- Verifique se (3,-4,5) é solução da equação 45 zyx .

138- Determine o valor de k para que (-1, 0,1) seja solução da equação 53 zykx .

139- Ache duas soluções da equação: 02

1 yx .

140- Calcule a, de modo que (-1, a+1, 2) não seja solução da equação 042 zyx .

141- Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema:

02

022

0

zyx

zyx

zyx

a) (0,0,0)


49

b) (0, 1, -1)

c) (1,1,1)

142- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaixo?

a)

253

0

12

cba

ca

cba

b)

542

13

02

2

tzyx

tzy

tyx

tzyx

143- Represente o sistema

523

2

yx

yx na sua forma matricial e, depois, resolva-o.

144- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer:

a)

652

443

yx

yx

b)

25

72

yx

yx

c)

1

323

yx

yx


50

d)

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

e)

5

023

1

zyx

yx

zyx

f)

42

032

632

zyx

zyx

zyx

145- Escalone, e resolva se possível, os sistemas:

a)

623

2

yx

yx

b)

25

72

yx

yx

c)

1

323

yx

yx

d)

423

26

yx

yx

146- (Fuvest-SP)

186

2354

1432

z

zy

zyx

, o valor de x é igual a:


51

a) 27

b) 3

c) 0

d) -2

e) 1

147- A solução do sistema

733

822

542

zyx

zyx

zyx

é:

a) (-1, -2,2)

b) (-1, 2, -2)

c) (1,-2,-2)

d) (1, 2, -2)

e) (1,-2,2)

148- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaixo:

1

83

74

zy

yx

zx

Calcule o valor de zyx .

149- A soma de dois números inteiros é 10 e a diferença entre eles é 2. Quais são esses

números?

150- (Faap-SP) Ache dois números reais cuja soma é 9 e cuja diferença é 29.


52

151- Certa escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas 2ª e 3ª séries e

91 nas 1ª e 3ª séries. Qual o total de alunos dessa escola?

152- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C

custam R$ 105,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00.

Qual é o preço do artigo C?

153- Classifique os sistemas em impossível, possível e determinado ou possível e

indeterminado:

a)

523

45

yx

yx

b)

9333

02

6

zyx

zyx

zyx

154- Determine o valor de a para que o sistema

93

155

ayx

yx seja possível e determinado.

155- Determine o valor de k de modo que o sistema

kyx

yx

63

12 seja impossível.


53

7. Trigonometria na circunferência

Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede

uma unidade, sendo assim com o movimento de rotação do raio pela origem temos a

circunferência trigonométrica.

7.1 Arcos e Ângulos

Considere a circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B.

Então, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em

duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência:

Arco de circunferência AMB, e

Arco de circunferência AM'B.

A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonométrico com

origem no ponto A=(1,0) , que são chamados arcos trigonométricos. O ponto A=(1,0) é

chamado origem dos arcos.

Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro

quadrantes, que são partes iguais, com angulação 90º cada uma. Assim, na figura acima, I Q

representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante.


54

7.2 Medidas de arcos e ângulos

Existem maneiras diferentes de se medir ângulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais

usuais, graus e radianos.

Grau

Graus é a forma como usualmente medimos ângulos, esses tem medida igual a 1/360 da

circunferência que contém o arco. Assim sendo uma circunferência tem medida 360o

Radiano

O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um

arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência

toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela

(correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.

7.3 Conversão entre graus e radianos

Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa,

para isso utilizaremos procedimentos matemáticos simples, sim a partir de uma regra de três

simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe.

Para todos os efeitos, temos que 2π r tem o mesmo valor que 360o, assim sendo, temos

facilmente que: πr = 180o, utilizaremos essa notação e nossas conversões. Observe o

exemplo:

Exemplo

1. Converta 45o em radianos:

Solução:

Considerando que as 180o equivale a π rad, sabemos que 45

o tem um valor x rad

correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer:

180 1804

45 445

o

ox

x xx

Então temos que 45o equivalem a

4 rad.

2. Converta

3 radianos em graus

Solução:


55

Da mesma forma temos que πr = 180o, então podemos relacionar as medidas de

3

para x graus.

180180 3 180 180

. 601 3

3 3

o

xx xx

Então, temos que

3 radianos equivalem a 60

o.

7.4 Comprimento da circunferência

O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como

todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro

foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu

respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante.

E essa constante foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria

aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser

representado pela letra do alfabeto grego , facilitando os cálculos.

Sendo C o comprimento da circunferência, temos: rC ..2 , onde r é o raio da

circunferência.

7.5 Congruência de arcos

Dois arcos são considerados côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma posição no

círculo trigonométrico, diferindo-se apenas no número de voltas inteiras.

Então, se um arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α +

2kπ em que k ∈ Z. Na figura abaixo exibimos vários arcos côngruos ao arco de 60º ou de π/3

rad.

Como por exemplo, temos um arco de 60º (ou π/3 rad)


56

E abaixo, seus côngruos:

Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ângulo côngruo, basta

subtrair o valor de 360º quantas vezes forem necessárias, até que 0 360o

.

Exemplo

1. Encontre o representante côngruo de 1200º.

Solução:

Reduzindo uma volta: 1200º - 360º = 840º

Como 840 > 360, podemos continuar reduzindo.

Reduzindo mais uma volta, temos: 840º - 360º = 480º.

Repetindo o procedimento, temos: 480º - 360º = 120º.

Como 0 120 360o o, temos que o representante côngruo a 1200º na primeira

volta do ciclo trigonométrico é 120º.

Exercícios sobre trigonometria na circunferência

156- Converta em radianos:


57

a) 30º

b) 60º

c) 120º

d) 210º

e) 225º

f) 300º

g) 315º

h) 330º

157- Converta em graus:

a) rad3

4

b) rad8

c) rad6

7

d) rad12

e) rad4

7

158- Expresse:

a) 12º para radianos

b) 75º para radianos

c) 5

para graus

d) 12

5 para graus

159- Um atleta percorre um terço de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma

circunferência. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos.


58

160- Calcule o comprimento das seguintes circunferências:

a) Raio igual a 10 cm

b) Raio igual a 7,5cm

c) Diâmetro igual a 18 cm

d) Diâmetro igual a 21 cm

161- Ronycleisson dá 8 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 28 m. Qual a

distância percorrida por Ronycleisson?

162- A bicicleta é um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforço de um

ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela é bastante utilizada no dia a dia por ser

um meio de transporte barato, ecológico e saudável.

a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de diâmetro, qual a distância, em metros,

que ela percorrerá dando uma volta inteira?

b) Se a roda dianteira der 1600 voltas, quantos quilômetros a bicicleta percorrerá?

163- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos:

a) 1300º

b) 440º

c) -1640º

d) 4

21

e) 7

8

f) 6

37

164- Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da

origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:


59

a) 1810º?

b) 2350º?

c) -1200º?

d) rad8

17?

165- (UFGD-MS) Um dispositivo mecânico pode girar no sentido horário e anti-horário, e um

contador registra o ângulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relação ao

ponto de partida. Se o contador marca um ângulo de 5000º negativos, o ângulo positivo

correspondente é:

a) 32º

b) 320º

c) 13º

d) 40º

e) 328º

7.6 Razões trigonométricas

Conhecemos as definições de seno, cosseno e tangente para o triângulo retângulo, agora

iremos ampliar esses conceitos à área onde eles foram originalmente concebidos, o circulo

trigonométrico, ou a circunferência de raio unitário.

Seno

No plano cartesiano consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio

unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante que

determina um arco AM correspondente ao ângulo central a. Chamamos de seno do ângulo a, à

medida da projeção ortogonal de AM no eixo y, indicamos por sen(a).


60

O sinal dos senos será positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e

quarto:

Cosseno

Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ângulo a, à medida da

projeção ortogonal de AM no eixo x, indicamos por cos (a).

O sinal dos cossenos será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e

terceiro:


61

Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular

ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta

tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM

correspondente ao ângulo a.

Quando o arco é apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos representá-los no

primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por exemplo, caso queiramos indicar a tangente

de um ângulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 180º), sendo que esses valores de

tangente são equivalentes. Assim como os valores de um ângulo a no terceiro quadrante, são

equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a -

180º). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente será positivo no primeiro e terceiro

quadrante, e negativo no segundo e quarto.

7.1 Funções trigonométricas

Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funções, no caso das

funções trigonométricas, essas têm um grupo específico de funções, as funções

trigonométricas, que estudaremos de agora em diante.

Função seno


62

Definição

Denominamos função seno a função f: →, que a cada número real x, associa o seno desse

número: f: →, f(x) = sen x

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = .

Imagem de f(x) = sen x; Im (sen x) = [-1,1], pois o raio no círculo trigonométrico mede 1.

Sinal da Função

Assim como já vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen(x) será positivo no primeiro e

segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores côngruos.

Gráfico

Chamamos ao gráfico da função seno de senóide, para sua construção podemos utilizar o

meio de construção através de pontos notáveis e tabela.

Função cosseno

Definição

Denominamos função cosseno a função f: →, que a cada número real x, associa o cosseno

desse número: f: →, f(x) = cos x.

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) =

Imagem de f(x) = cos x; Im (cos x) = [-1,1].

Sinal da Função


63

O sinal de f(x) = Cos (x) será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e

terceiro quadrantes.

Gráfico

Chamamos ao gráfico da função cosseno de cossenóide, para sua construção podemos utilizar

o meio de construção através de pontos notáveis e tabela.

Função tangente

Definição

Denominamos função tangente a função f: →, que a cada número x associa a tangente

desse número: f: →, f(x) = tg x.

Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = / x ½

Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = .

Sinal da Função

O sinal da função tg (x) será positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e

quarto.

Gráfico


64

Chamamos o gráfico da função tangente de Tangentóide, também podendo ser construído

ponto a ponto.

Exercícios sobre seno, cosseno e tangente

166- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos:

a) 3

2

b) 240º

c) 300º

d) 135º

e) 225º

f) 150º

g) 6

h) 2

7

i) 21

j) 2

29

167- Calcule o número

3

4cos

3

23

4

3

2cos

sen

sen

A .


65

168- Calcule o número

4

3

4

3cos

4

5cos

4

7

sen

sen

B

.

169- Calcule o valor da expressão xsen

xxsenA

3

8cos42

, para

2

x .

170- Calcule o valor de º2460cosº330 sen .

171- (FEI-SP) Qual é o valor da expressão )31.(cos2

7

seny ?

172- Determine o valor da expressão:

2

3

2

1510cos

sensenA .

173- O fenômeno da maré em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela

expressão:

4

5.

6cos.2

2

21)(

ttP , em que t é o tempo decorrido após o inicio da

operação )0( t , e P(t) é a profundidade da água no instante t. Qual é a profundidade

aproximada da água no inicio da operação?

174- Determine o valor de:

a) º900tg

b) º1500tg

c) 11tg

d) º150tg

e) º240tg

f) º300tg

g) 3

16tg


66

175- Ache o valor de 4

3º510cos

tg .

176- Que número é maior: º70tg ou º760tg ? Justifique sua resposta.

177- Simplifique a expressão:

24

.3 tgtgA .

178- Determine o valor numérico da expressão: 2

º60

)º15(

3cos)º30(

xtg

xtg

xxsen, para

º60x .

179- Construa a partir de senxy os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o

domínio e determine o conjunto imagem:

a) senxxf 2)(

b) senxxf 1)(

c) senxxf 1)(

d) senxxf )(

180- Construa o gráfico da função dada por 2

)(x

senxf , destacando o domínio, o conjunto

imagem e o período.

181- Construa a partir de xxf cos)( os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o

domínio e determine o conjunto imagem:

a) xxf cos1)(

b) xxf cos1)(

c) xxf cos)(

d) xxf cos2)(


67

182- Determine o período de cada uma das seguintes funções:

a) xseny 6

b) 3

xseny

c) xy 8cos

d) xy 6cos1

7.8 Outras razões trigonométricas

Secante

Podemos calcular a secante de um arco através da relação: x

xcos

1sec .

Cossecante

Podemos calcular a cossecante de um arco através da relação senx

x1

seccos . .

Cotangente

Podemos calcular a cotangente de um arco através da relação tgx

gx1

cot .

Exercícios sobre outras razões trigonométricas

183- Determine o valor da tangente e da cotangente dos seguintes arcos:

a) 0º

b) 30º


68

c) 3

d) 2

e) 2

f) 2

3

g) 4

7

h) 4

5

184- Determine o valor da secante e da cossecante dos seguintes arcos:

a) 0º

b) 30º

c) 45º

d) 4

17

e) 120º

f) 2

3

g) 150º

h)

185- Calcule a cotangente, a secante e a cossecante dos seguintes arcos:

a) 4

b) 150º

c) 270º

d) 2

5

186- Calcule:


69

a) º45secº60sec

b) º45sec.2º30sec.3

c) 2

3seccos

4seccos.2

187- Obtenha o valor de:

a) )º180(sec8)º60(sec 3

b) 2

º30seccos.3º60seccos3

7.9 Relações trigonométricas

Dentro da trigonometria, há algumas relações que são fundamentais em problemas do

cotidiano. Veremos algumas dessas relações:

No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo

cosseno. Ao determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua

projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das

origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo , como mostram os

esquemas a seguir:

Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do Teorema de

Pitágoras:


70

Logo temos 1cos22 sen .

Há algumas outras relações fundamentais que já conhecemos:

x

senxtgx

cos

senx

xgx

coscot

xx

cos

1sec

senxx

1seccos

Há duas relações trigonométricas derivadas da relação fundamental que são importantes em

problemas do nosso cotidiano:

xtgx 22 1sec e xgx 22 cot1seccos .

Exemplo: Sabendo que 5

3senx e Qx º2 , calcular:

a) xcos

b) tgx

c) xsec

a)

5

4cos

25

16cos

25

91cos

1cos25

9

1cos5

3

1cos

2

2

2

2

2

22

x

x

x

x

x

xxsen


71

b) 4

3

5

45

3

cos

x

senxtgx

c) 4

5

5

4

1

cos

1sec

x

x

Exercícios sobre relações fundamentais

188- Sabendo que 5

3senx e que Qx º1 , calcule:

a) xcos

b) tgx

c) gxcot

d) xsec

e) xseccos

189- Dado 5

4cos x e Qx º4 determine:

a) senx

b) tgx

c) gxcot

d) xsec

e) xseccos

190- Calcule o valor de tgx e xsec , sendo 2

1senx e Qx º3 .


72

191- Sabendo que 2

3cos x e Qx º2 , calcule:

a) xsec

b) gxcot

192- Dado 4sec x calcule o valor de xcos .

193- Sabendo que 2seccos x calcule o valor de senx .


73

Questões de Vestibulares

Questão 1

(Cefet-SP) Considerando que a seqüência numérica (–95, –79, –63, ..., x) tem soma dos

termos igual a 2 425, x é igual a:

a) 113

b) 225

c) 289

d) 321

e) 385

Questão 2

(ESPM-SP) A soma de todos os números naturais de 2 algarismos distintos é igual a:

a) 4 905

b) 4 540

c) 4 410

d) 4 210

e) 4 090

Questão 3


74

(ESPM-SP) De 1995 a 2004, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em

progressão aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de habitantes era 8% maior que no

ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade aumentou em:

a) 80%

b) 100%

c) 160%

d) 180%

e) 200%

Questão 4

(ESPM-SP) Se os números inteiros estritamente positivos forem escritos obedecendo à

seqüência abaixo, o número 300 estará na:

a) 15.ª linha e 13.ª coluna.

b) 13.ª linha e 17.ª coluna.

c) 11.ª linha e 18.ª coluna.

d) 14.ª linha e 15.ª coluna.

e) 13.ª linha e 16.ª coluna.


75

Questão 5

(Fatec-SP) Sendo n o oitavo elemento da seqüência (1, 2, 6, 24, 120, ...), é correto afirmar que:

a) 0 < n < 12 000

b) 12 000 < n < 24 000

c) 24 000 < n < 36 000

d) 36 000 < n < 48 000

e) 48 000 < n < 60 000

Questão 6

(FGV-RJ) Considere a seqüência cujo termo geral é an = (–1)n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, … .

a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqüência.

b) Calcule a soma dos 2 007 primeiros termos dessa seqüência.

Questão 7

(FGV-SP) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8,

4, 2, 1, ... .


76

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-

se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a:

a) 68

b) 102

c) 136

d) 153

e) 192

Questão 8

(Fuvest-SP)

a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?

b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000?

Questão 9

(Fuvest-SP) Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos é

dada por Sn = bn2 + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:


77

a) o valor de b e a razão da progressão aritmética;

b) o 20.o termo da progressão;

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.

Questão 10

(Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que

a1 > 0 e a6 = –9 . Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a 9.

Nessas condições, o produto a2 · a7 vale:

a) –27

b) –3

c) –

d) 3

e) 27

Questão 11

(Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética.

Somando-se, respectivamente, 4, –4 e –9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa

progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos

termos da progressão aritmética é:

a) 9

b) 11


78

c) 12

d) 13

e) 15

Questão 12

(Fuvest-SP) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro

termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem.

Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da

progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Questão 13

(PUC-MG) De 1996 a 2005, a população de certa cidade aumentou anualmente em progressão

aritmética. Em 2005, constatou-se que o número de habitantes dessa cidade era 5% maior do

que no ano anterior. Com base nessas informações, pode-se concluir que, de 1996 a 2005, a

população dessa cidade aumentou em:

a) 45%

b) 60%

c) 75%

d) 90%


79

Questão 14

(PUC-MG) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é dividido entre três coligações

partidárias em partes diretamente proporcionais aos termos da progressão aritmética: t, t + 6,

t2. Nessas condições, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligação partidária à

qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficará com:

a) 26 min

b) 28 min

c) 30 min

d) 32 min

Questão 15

(UEL-PR) A média aritmética dos números a e b é (a + b)/2 e a média geométrica de a e b é

ab. Dois números têm média aritmética 4,1 e média geométrica 4. A alternativa correta que

apresenta o maior deles é:

a) 1

b) 4

c) 2

d) 8,2

e) 5


80

Questão 16

(UFMT-MT) Admita que a população humana mundial cresça, em progressão geométrica, 1%

ao ano, e a produção de alimentos para essa população cresça, em progressão aritmética,

também 1% ao ano. Admita ainda que a quantidade de alimentos produzidos em 2007 seja

suficiente, sem sobras, para toda essa população. Mantidos esses percentuais de crescimento,

quando a população humana dobrar, que percentual máximo dessa população poderá ser

alimentado?

Considere:

log2 = 0,3

log1,01 = 0,004

a) 87,5%

b) 50%

c) 100%

d) 77,5%

e) 90%

Questão 17

(Unesp-SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados.

No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses

que passaram a freqüentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que

atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se

passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse

atingida pela primeira vez, foi:

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18


81

e) 26

Questão 18

(Unicamp-SP) A Anatel determina que as emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de

87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre as emissoras com freqüências

vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é um

número natural que começa em 200. Desta forma, à emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz

corresponde o canal 200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201,

e assim por diante. Pergunta-se:

a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma região), respeitando-se o intervalo de

freqüências permitido pela Anatel? Qual o número do canal com maior freqüência?

b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a

freqüência do canal 285, supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas?

Questão 19

Sabendo que o primeiro termo de uma PG é positivo, o quarto termo é 192 e o segundo termo

é 12, calcule o primeiro e o sétimo termo.

Questão 20


82

Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da

rodovia de 2 184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses

telefones é instalado no quilômetro 42, e o último, no quilômetro 2 142. Assim, a quantidade de

telefones instalados é igual a:

a) 50

b) 51

c) 52

d) 53

Questão 21

(ESPM-SP) Considere o determinante D = e o determinante D’ que se obtém

substituindo-se cada elemento de D pela soma dos outros três. Se D = D’, podemos afirmar

que:

a) x = 4 ou x = –6

b) x = 2 ou x = 4

c) x = 6 ou x = –4

d) x = –1 ou x = 5

e) x = –4 ou x = –2

Questão 22

(FGV-SP) A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A.

Se e , então a matriz At · B será nula para:


83

a) x + y = –3

b) x · y = 2

c) = –4

d) x · y2 = –1

e) = –8

Questão 23

(FGV-SP) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) = 7. Nessas condições, det (3A) e det

(A–1

) valem respectivamente:

a) 7 e –7

b) 21 e 1/7

c) 21 e –7

d) 63 e –7

e) 63 e 1/7

Questão 24

(FGV-SP) Considere as matrizes e .

Se o determinante da matriz A é igual a 2, então o determinante da matriz B é igual a:


84

Questão 25

(FGV-SP) O sistema linear admite solução não trivial, se:

a) α = –2

b) α ≠ –2

c) α = 2

d) α ≠ 2

e) α R, sendo R o conjunto dos números reais

Questão 26

(FGV-SP) O sistema linear abaixo:


85

a) é impossível

b) admite apenas uma solução

c) admite apenas duas soluções

d) admite apenas três soluções

e) admite infinitas soluções

Questão 27

(FGV-SP) Se o sistema linear

for resolvido pela regra de Cramer, o valor de x será dado por uma fração cujo denominador

vale:

a) 41

b) 179

c) –179

d) 9

e) –9

Questão 28


86

(Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e

as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz

3x3.

tem posto 1.

Questão 29

(Fuvest-SP) O sistema , onde c ≠ 0 admite uma solução (x, y) com x = 1.

Então, o valor de c é:

a) –3

b) –2

c) –1

d) 1

e) 2

Questão 30


87

(Fuvest-SP) Se as matrizes A = e B = são tais que AB = BA, pode-se afirmar

que:

a) A é inversível

b) detA = 0

c) b = 0

d) c = 0

e) a = d = 1

Questão 31

(ITA-SP) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n x n, n ≥

2:

I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.

II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, ..., n, então detA = a11a22...ann.

III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + 1 e a segunda por –

1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então detB = detA.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s):

a) apenas II

b) apenas III

c) apenas I e II

d) apenas II e III

e) todas

Questão 32


88

(ITA-SP) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1

pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de

café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de

café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de:

a) R$ 17,50

b) R$ 16,50

c) R$ 12,50

d) R$ 10,50

e) R$ 9,50

Questão 33

(ITA-SP) O sistema linear não admite solução se, e somente se, o número real b

for igual a:

a) –1

b) 0

c) 1

d) 2

e) –2

Questão 34


89

(ITA-SP) Seja x R e a matriz A = . Assinale a opção correta.

a) x R, A possui inversa.

b) Apenas para x > 0, A possui inversa.

c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.

d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa.

e) Para x = log25, A não possui inversa.

Questão 35

(PUC-RS) Sendo A = , B = e C = A x B, o elemento c33 da matriz C

é:

a) 9

b) 0

c) –4

d) –8

e) –12

Questão 36


90

(UEM-PR) Considere o sistema de equações lineares .

Se z = a, em que a é um número real qualquer, pode-se afirmar que:

a) x = 1.

b) y = a − 3.

c) x = a − 3.

d) x + y = a + 4.

e) z = x − y.

Questão 37

(UFG-GO) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros

de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a figura abaixo.

Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do muro e as distâncias entre os

quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro serão todas iguais. Nessas condições, a

medida do lado de cada quadrado, em metros, será:

a) 0,52

b) 0,60

c) 0,64

d) 0,72

e) 0,80


91

Questão 38

(UFSCar-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que com

p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo

de:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

Questão 39

(Unesp-SP) Considere as matrizes , , com x, y e z números

reais.

Se A · B = C, a soma dos elementos da matriz A é:

a) 9

b) 40

c) 41

d) 50

e) 81


92

Questão 40

(Unesp-SP) Dadas as matrizes A = e B = , o determinante da matriz A · B

é:

a) –1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Questão 41

Três vendedores ambulantes A, B e C decidem testar seu poder de persuasão para descobrir

qual deles é o melhor vendedor.

Para realizar o teste, eles estabeleceram que fossem vendidas as marcas x, y e z de sabonete,

cada uma com o mesmo preço.

Sabe-se que:

• A vendeu 1 sabonete da marca x, 4 sabonetes da marca y, 2 sabonetes da marca z e

arrecadou R$ 45,00;

• B vendeu 2 sabonetes da marca x, 3 sabonetes da marca y, 4 sabonetes da marca z e

arrecadou R$ 55,00;

• C vendeu 3 sabonetes da marca x, 2 sabonetes da marca y, 3 sabonetes da marca z e

arrecadou R$ 47,00.

Encontre o preço de cada sabonete das marcas x, y e z.


93

____________________________________________________________________________

_________

Questão 42

(Unesp-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se A = e B é tal que

B–1

= 2A, o determinante de B será:

a) 24

b) 6

c) 3

d) 1/6

e) 1/24

Questão 43

Verifique se (3,1,2) é uma solução do sistema:

2x+y-z=5

x-y+3z=8

____________________________________________________________________________

___________________________________________________


94

Questão 44

(Unifesp-SP) A solução do sistema de equações lineares

é:

a) x = –5, y = –2 e z = –1

b) x = –5, y = –2 e z = 1

c) x = –5, y = 2 e z = 1

d) x = 5, y = 2 e z = –1

e) x = 5, y = 2 e z = 1

Questão 45

(UPM-SP) Considere a matriz A [2 –1] e uma matriz B = (bij). Se A · B · A = A, então é correto

afirmar que, na matriz B:

a) b21 = 2b11

b) b21 = –1 + 2b11

c) b12 = 1 + 2b11

d) b11 = 1 + 2b12

e) b21 = b11


95

Questão 46

Aplicando a Regra de Sarrus, calcule os seguintes determinantes:

Questão 47

Calculando corretamente o determinante encontramos:

a) 1000

b) 2000

c) 3000

d) 4000

e) 5000

____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Questão 48


96

Calcule a e b sabendo que o sistema:

x-y=1

x+2y=4

é equivalente ao sistema:

ax+by=12

3x-2by=2

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

_____________________

Questão 49

Calcule a para que o sistema a seguir tenha outras soluções além da trivial.

ax+y+2z=0

x+ay+z=0

x+y+z=0_____________________________________________________________________

___________________

Questão 50

Calcule as inversas das seguintes matrizes:


97

Questão 51

(ESPM-SP) No círculo abaixo, de centro O e raio 10 cm, o ângulo x é tal que

0° < x < 90°. Podemos afirmar que a área do triângulo OAB:

a) Tem valor máximo próximo de 100 cm².

b) Tem valor máximo próximo de 50 cm².

c) Tem valor mínimo para x = 45°.

d) Tem valor máximo para x = 45°.

e) Vale 25 cm² para x = 60°.

Questão 52


98

(FGV-SP) A função f(x) = 16 (sen x) (cos x) assume valor máximo igual a:

a) 16

b) 12

c) 10

d) 8

e) 4

Questão 53

(FGV-SP) A soma das raízes da equação sen2x – sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2π] é:

Questão 54


99

(FGV-SP) Considere a função f(x) = . Os valores máximo e mínimo de f(x) são

respectivamente:

Questão 55

a) 60

b) 62

c) 64

d) 65

e) 72

Questão 56


100

(FGV-SP) O valor de cos 72° – cos2 36° é idêntico ao de:

a) cos 36°

b) –cos2 36°

c) cos2 36°

d) –sen2 36°

e) sen2 36°

Questão 57

Questão 58

(Fuvest-SP) O dobro do seno de um ângulo, θ, 0 < θ < , é igual ao triplo do quadrado de sua

tangente. Logo, o valor de seu cosseno é:


101

Questão 59

(Fuvest-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) sen 210° < cos 210° < tg 210°

b) cos 210° < sen 210° < tg 210°

c) tg 210° < sen 210° < cos 210°

d) tg 210° < cos 210° < sen 210°

e) sen 210° < tg 210° < cos 210°

Questão 60

(Fuvest-SP) Se tgθ – 2, então o valor de é:


102

Questão 61

(Fuvest-SP) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a

equação 5cos2x + 3senx = 4.

Determine os valores de senx e cosx.

Questão 62


103

Questão 63

(ITA-SP) O conjunto solução de (tg2x – 1) (1 – cotg

2x) ≠ 4, x ≠ kπ/2, k Z, é:


104

Questão 64

(PUC-RS) O ponto P(x, y) pertence à circunferência de raio 1 e é extremidade de um arco de

medida α, conforme a figura. Então o par (x, y) é igual a:

a) (tanα, senα)

b) (cosα, tanα)

c) (senα, cosα)

d) (cosα, senα)

e) (sen2α, cos2α)

Questão 65

(UFF-RJ) Um caminhão pipa deve transportar água da cidade A para a cidade Z. A figura

abaixo ilustra os caminhos possíveis que o motorista do caminhão pode tomar. As setas

indicam o sentido obrigatório de percurso. Os valores colocados próximo às setas especificam

o custo de transporte (todos dados em uma mesma unidade monetária) para o trecho em

questão.

Marque a opção que indica o caminho de menor custo total de transporte de A para Z.


105

a) A → B → Y → Z

b) A → B → X → Z

c) A → C → B → Y → Z

d) A → C → B → X → Z

e) A → C → Y → Z


106

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,

2004.

RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.

apostila 2 ano matematica

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