apostila matematica assist

7/23/2019 Apostila Matematica Assist

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A

Apostila Digital

Matemtica


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Os nmeros inteiros: o conjunto Z

Z = {... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }O conjunto dos nmeros inteiros infinito. esco!"# d# !etr# Z $#r# re$resent#r o conjunto dos nmerosinteiros, de%e&se #o f#to d# $#!#%r# Z#"!em #!em'o, si(nific#r nmero.

) tri%i#! entender *ue o conjunto dos nmeros n#tur#is + um suconjunto do conjunto dos nmerosinteiros Z, ou sej#- + Z.

efine&se om/du!o de um nmero inteirocomo sendo o nmero sem o seu sin#! #!(rico. ssim *ue ,re$resent#ndo&se o m/du!o de um nmero inteiro *u#!*uer $or , $oderemos cit#r como eem$!os- = 32 = 32 0 = 0 etcO m/du!o de um nmero inteiro , ent'o, sem$re $ositi%o ou nu!o.

"#m#&se o$osto ou simtrico #diti%o de um nmero inteiro # #o nmero #.

7ro$ried#des dos nmeros inteiros-

1 8odo nmero inteiro n, $ossui um sucessor indic#do $or sucn, d#do $or sucn = n 9 1.:em$!os- suc 3 = 3 9 1 = & 2 suc3 = 3 9 1 = 4.

2 #dos dois nmeros inteiros m e n, ocorrer; um# e somente um# d#s condi m i(u#! # n ? i(u#!d#dem @ n > m m#ior do *ue n ? desi(u#!d#dem A n > m menor do *ue n? desi(u#!d#de.:st# $ro$ried#de con"ecid# como 8ricotomi#.

+ot#- Bs %eCes teremos *ue recorrer #os sDmo!os ou os *u#is $ossuem # se(uinte !eitur#-# > # m#ior do *ue ou # = ?.# > # menor do *ue ou # = ?

ssim $or eem$!o, 3, si(nific# *ue $oder; #ssumir em Z os %#!ores3, 2, 1, 0, &1, &2, &3, & 4, ...

E; A 3, terD#mos *ue seri# 2, 1, 0, &1, &2, &3, &4, ...

) /%io *ue o Cero m#ior do *ue *u#!*uer nmero ne(#ti%o ou n# su# form# e*ui%#!ente, *u#!*uer nmerone(#ti%o menor do *ue Cero.

... 10, F, G, , 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , G, F, 10, 11, ...

Operaes em Z

1 Adio:a + b = a mais b.

A adio de dois nmeros inteiros obedece s seguintes regras:

# nmeros de mesmo sin#! - som#m&se os m/du!os e conser%#&se o sin#! comum.

:em$!os-

&3 9 &5 9 &2 = & 10& 9 &6 = & 13

nmeros de sin#is o$ostos- sutr#em&se os m/du!os e conser%#&se o sin#! do m#ior em m/du!o.

:em$!os-

&3 9 9 = 9 4&12 9 95 = &

ropriedades:
http://www.paulomarques.com.br/arq1-7.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq1-7.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq1-7.htm


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#dos os nmeros inteiros #, e c, s'o %;!id#s #s se(uintes $ro$ried#des-

1.1 Hec"#mento- # som# de dois nmeros inteiros sem$re um nmero inteiro. iC&se ent'o *ue oconjunto Z dos nmeros inteiros fec"#do em re!#


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3.2 ssoci#ti%#- # c = # c ou # . . c = # . . c

3.3 omut#ti%#- # = #

3.4 :!emento neutro- # 1 = 1 # = #. O nmero 1 o e!emento neutro d# mu!ti$!ic#&510? 9 >&5&6? = 0 42 50 9 >&5&6?omo j; s#emos *ue = G, sustituindo fic#-G = 0 42 50 9 >&5&6?Nso!#ndo o $roduto >&5&6?, %em->&5&6? = G 0 9 42 9 50 = G 9 42 9 50 0 = 100 0 =

45

Oser%#&se ent'o *ue re#!mente

6!$ 7"#!$ 8"9 = 45 = + 45.

4 7otenci#


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&53= & 125&113= & 1

5 i%is'o- O conjunto Z dos nmeros inteiros n'o fec"#do em re!#


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Nmeros Irracionais

Os nmeros irracionais

Assim como existem as dzimas peridicas, tambm existem as dzimas no peridicas que so justamenteos nmeros irracionais, uma vez que elas nunca podero ser expressas como uma frao do tipo a / b.

xemplos de dzimas no peridicas ou nmeros irracionais!

a" #,$#$$#$$$#$$$$#$$$$$#...

b" %,#'()*'&...

c" ),+#)#)+)...

d" *,'&'$&'$$&'$$$&... etc

xistem dois tipos de nmeros irracionais:os al-bricos e os transcendentes.s nmeros irracionais al-bricos, so as razes inexatas dos nmeros racionais, a exemplo de /) , /' ,/#+ , /#$% , ... etc, ou qualquer outra raiz inexata.01 os nmeros irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais al-bricos, sendo osexemplos mais famosos de nmeros irracionais transcendentes, o nmero p2pi", o nmero de uler e,cujos valores aproximados com duas decimais so respectivamente 3,14 e 2,72.

nmero p representa a razo do comprimento de qualquer circunfer3ncia dividido pelo di4metro damesma circunfer3ncia e o nmero e a base do sistema de lo-aritmosneperianos.

5 interessante comentar, que ao tratarmos na pr1tica, dos nmeros irracionais, deveremos sempre adotaros seus valores aproximados, uma vez que , por serem dzimas no peridicas, os valores adotados serosempre aproxima6es.

7m exemplo cl1ssico de no racionalidade de um nmero, o caso daraiz quadrada de dois. valor aproximado da raiz quadrada de dois 2 2" i-ual a #,&. 8amos analisar o porqu3 donmero /) no ser racional!

9ara isto , vamos utilizar o mtodo da reduo ao absurdo, que consiste em ne-ar a tese, e concluir pelane-ao da :iptese.

8amos supor inicialmente, por absurdo, que /) seja um nmero racional.ra, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o nmero 2 poderia ser escrito na forma de uma frao

irredutvel a / b, ou seja, com a e b primos entre si, e, portanto, teramos!/) ; a < b , onde a e b so inteiros, com b diferente de zero.

=uadrando ambos os membros da i-ualdade anterior, teremos!

) ; a)< b), de onde tiramos a); ).b).

ra, como a) o dobro de b), correto afirmar que a um nmero par.>endo a um nmero par, podemos escreve?lo na forma a ; )@, onde @ um nmero inteiro. a, vem que!2)@"); )b)ou &@); )b), de onde tiramos queb); )@), ou seja, b tambm par. ra, sendo a e b pares, o quociente a / bno seria uma fraoirredutvel, j1 que o quociente de dois nmeros pares outro nmero par. 8emos portanto que isto ne-a a:iptese inicial de que a frao a / bseja irredutvel, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Bo-o,conclumos que afirmar que /) racional , falso, ou seja, /) no um nmero racional, e, portanto, /) um nmero irracional.
http://www.paulomarques.com.br/arq14-1.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq14-1.htm


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Cota! dois nmeros inteiros so ditos primos entre si, se o m1ximo divisor comum2DE" destes nmeros for i-ual F unidade, ou seja! DE 2a,b" ; #.

3 Identificao de nmeros irracionais

Gundamentado nas explana6es anteriores, podemos afirmar que!

%.# H todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.

%.) H todos os nmeros inteiros so racionais.

%.% H todas as fra6es ordin1rias so nmeros racionais.

%.& H todas a s dzimas no peridicas so nmeros irracionais.

%.' H todas as razes inexatas so nmeros irracionais.

%.* H a soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero irracional.

%.+ H a diferena de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.xemplo! /' ? /' ; $ e $ um nmero racional.

%. H o quociente de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.xemplo! / ! /) ; /& ; ) e ) um nmero racional.

%.( H o produto de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.xemplo! /' . /' ; /)' ; ' e ' um nmero racional.

%.#$ H a unio do conjunto dos nmeros irracionais com o conjunto dos nmeros racionais, resulta numconjunto denominado con!nto " dos nmeros reais.

%.## H a interseo do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais, no possui

elementos comuns e, portanto, i-ual ao conjunto vazio 2#".

>imbolicamente, teremos!

$ % I & "

$ ' I & #
http://www.paulomarques.com.br/arq1-14.htmhttp://www.paulomarques.com.br/arq1-14.htm


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Nmeros Naturais

Pertencem ao conjunto dos naturais os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. Esseconjunto representado pela letra N maiscula. Os elementos dos conjuntos devem estarsempre entre chaves.N = {0, 1, , !, ", #, $, %, &, ', 10, 11, 1, 1!, ... (

) *uando +or representar o onjunto dos Naturais n-o nulos e/cluindo o zero devemoscolocar ao lado do N.2epresentado assim3N = {1, ,! ," ,# ,$ ,% ,& ,' ,10 ,11 ,1, ... (

4 retic5ncia indica 6ue sempre poss7vel acrescentar mais um elemento.N = {0, 1, , !, ", #, $, ...( ou N = {0, 1, , !, ", #, $, %, ... (

*ual6uer 6ue seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. 8am9m +alamos emantecessor de um nmero.: $ o sucessor de #.: % o sucessor de $.: 1' antecessor de 0.: "% o antecessor de "&.omo todo nmero natural tem um sucessor, dizemos 6ue o conjunto N infinito.

*uando um conjunto +inito;O conjunto dos nmeros naturais maiores 6ue # in+inito3 {$, %, &, ', ...(


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Nmeros Racionais

Um nmero racional o que pode ser escrito na forma

m

n

onde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser no nulo, isto , n deve ser diferente de zero.Frequentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n. Quando no existe possibilidade dediviso, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este nmero um nmero racional.

omo podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo !em "atim#ratio$razo$diviso$quociente% entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o con&unto de todos osnmeros racionais denotado por Q. 'ssim, comum encontrarmos na literatura a nota(o#

Q $ )m/n # m e n em *, n diferente de zero+

Quando - interesse, indicamos Qpara entender o con&unto dos nmeros racionais positivos e Q o

con&unto dos nmeros racionais negativos. 0 nmero zero tambm um nmero racional.

1odo nmero racional pode ser posto na forma de uma fra(o, ento todas as propriedades v-lidas parafra(2es so tambm v-lidas para nmeros racionais. 3ara simplificar a escrita, muitas vezes usaremos apalavra racionais para nos referirmos aos nmeros racionais.

Representao, ordem e simetria dos racionais

3odemos representar geometricamente o con&unto Q dos nmeros racionais atravs de uma reta numerada.onsideramos o nmero 4 como a origem e o nmero 5 em algum lugar e tomamos a unidade de medidacomo a dist6ncia entre 4 e 5 e por os nmeros racionais da seguinte maneira#

'o observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros racionais obedecem crescente daesquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. 7sta considera(o adotada por conven(o, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

8izemos que um nmero racional r menor do que outro nmero racional s se a diferen(a r9s positiva.Quando esta diferen(a r9s negativa, dizemos que o nmero r maior do que s. 3ara indicar que r menordo que s, escrevemos#

r : s

8o ponto de vista geomtrico, um nmero que est- ; esquerda menor do que um nmero que est- ;direita na reta numerada.

1odo nmero racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto 9q e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto q como 9q esto ; mesma dist6ncia da origem do con&unto Qque 4. omo exemplo, temos que#

!a% 0 oposto de .

8o ponto de vista geomtrico, o simtrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de umespelo que est- localizado na origem. ' dist6ncia do ponto real q ao espelo a mesma que a dist6ncia doponto virtual 9q ao espelo.

Mdulo de um nmero racional

0 m?dulo ou valor absoluto de um nmero racional q maior valor entre o nmero q e seu elemento oposto


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9q, que denotado pelo uso de duas barras verticais @ @, por#

@q@ $ max)9q,q+

Exemplos# @4@$4, @A/B@$A/B e @9C/B@$C/B.

8o ponto de vista geomtrico, o m?dulo de um nmero racional q a dist6ncia comum do ponto q at aorigem !zero% que a mesma dist6ncia do ponto 9q ; origem, na reta numrica racional.

A soma (adio) de nmeros racionais

omo todo nmero racional uma fra(o ou pode ser escrito na forma de uma fra(o, definimos a adi(oentre os nmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de fra(2es, atravs de#

a

b

+

c

d

ad+bc

bd

!ropriedades da adio de nmeros racionais

"ec#o# 0 con&unto Q fecado para a opera(o de adi(o, isto , a soma de dois nmeros racionais ainda

um nmero racional.Associati$a%3ara todos a, b, c em Q#

a ! b c % $ ! a b % c

&omutati$a%3ara todos a, b em Q#

a b $ b a

Elemento neutro%7xiste 4 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o pr?prio q, isto #

q 4 $ q

Elemento oposto%3ara todo q em Q, existe 9q em Q, tal que

q !9q% $ 4

'ubtrao de nmeros racionais%' subtra(o de dois nmeros racionais p e q a pr?pria opera(o deadi(o do nmero p com o oposto de q, isto #

p 9 q $ p !9q%

Da verdade, esta uma opera(o desnecess-ria no con&unto dos nmeros racionais.

A Multiplicao (produto) de nmeros racionais

omo todo nmero racional uma fra(o ou pode ser escrito na forma de uma fra(o, definimos o produtode dois nmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de fra(2es, atravs de#

a

b

c

d

ac

bd

0 produto dos nmeros racionais a e b tambm pode ser indicado por a E b, axb, a.b ou ainda ab semnenum sinal entre as letras.

3ara realizar a multiplica(o de nmeros racionais, devemos obedecer ; mesma regra de sinais que valeem toda a atem-tica#

!5% E !5% $ !5%!5% E !95% $ !95%!95% E !5% $ !95%!95% E !95% $ !5%

3odemos assim concluir que o produto de dois nmeros com o mesmo sinal positivo, mas o produto dedois nmeros com sinais diferentes negativo.

!ropriedades da multiplicao de nmeros racionais


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"ec#o# 0 con&unto Q fecado para a multiplica(o, isto , o produto de dois nmeros racionais ainda umnmero racional.

Associati$a# 3ara todos a, b, c em Q#

a E ! b E c % $ ! a E b % E c

&omutati$a# 3ara todos a, b em Q#

a E b $ b E aElemento neutro# 7xiste 5 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o pr?prio q, isto #

q E 5 $ q

Elemento in$erso# 3ara todo q$a/b em Q, q diferente de zero, existe q95$b/a em Q, tal que

q E q95$ 5

7sta ltima propriedade pode ser escrita como#

a

b

b

a

*i$iso de nmeros racionais# ' diviso de dois nmeros racionais p e q a pr?pria opera(o demultiplica(o do nmero p pelo inverso de q, isto #

p G q $ p E q95

3rovavelmente vocH &- deve ter sido questionado# 3orque a diviso de uma fra(o da forma a/b por outra daforma c/d realizada como o produto da primeira pelo inverso da segundaI

' diviso de nmeros racionais esclarece a questo#

a

b

c

d

a

b

d

c

ad

bc

Da verdade, a diviso um produto de um nmero racional pelo inverso do outro, assim esta opera(o tambm desnecess-ria no con&unto dos nmeros racionais.

!ropriedade distributi$a (mista)

*istributi$a# 3ara todos a, b, c em Q#

a E ! b c % $ ! a E b % ! a E c %

!otenciao de nmeros racionais

' potHncia qndo nmero racional q um produto de n fatores iguais. 0 nmero q denominado a base e onmero n o expoente.

qn$ q E q E q E q E ... E q, !q aparece n vezes%

Exemplos%

!a% !A/>%J $!A/>% !A/>%E!A/>% $ K/5A>!b% !95/A%J$!95/A%E!95/A%E!95/A% $ 95/K!c% !9>%L $!9>%E!9>% $ A>!d% !>%L $!>%E!>% $ A>

bser$ao# Me o expoente n$A, a potHncia qL pode ser lida como# q elevado ao quadrado e se oexpoente n$


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Ra-zes de nmeros racionais

' raiz n9sima !raiz de ordem n% de um nmero racional q a opera(o que resulta em um outro nmeroracional r que elevado ; potHncia n fornece o nmero q. 0 nmero n o Pndice da raiz enquanto que onmero q o radicando !que fica sob o estrano sinal de radical%.

"eia a observa(o seguinte para entender as raz2es pelas quais evito usar o sPmbolo de radical neste

trabalo. 'ssim#r $ nRqS equivale a q $ rn

3or deficiHncia da linguagem T1", que ainda no implementou sinais matem-ticos, denotarei aqui a raizn9sima de q por nRqS. Quando n$A, simplesmente indicarei a raiz quadrada !de ordem A% de um nmeroracional q por RqS.

' raiz quadrada !raiz de ordem A% de um nmero racional q a opera(o que resulta em um outro nmeroracional r no negativo que elevado ao quadrado se&a igual ao nmero q, isto , rL$q.

Do tem sentido R95S no con&unto dos nmeros racionais.

Exemplos%

!a% JR5A>S $ > pois >J$5A>.

!b% JR95A>S $ 9> pois !9>%J$95A>.!c% R5==S $ 5A pois 5AL$5==.!d% R5==S no igual a 95A embora !95A%L$5==.

bser$ao# Do existe a raiz quadrada de um nmero racional negativo no con&unto dos nmerosracionais. ' existHncia de um nmero cu&o quadrado se&a igual a um nmero negativo s? ser- estudadamais tarde no contexto dos Dmeros omplexos.

Erro comum# Frequentemente lemos em materiais did-ticos e at mesmo ocorre em algumas aulas oaparecimento de#

RS $ V=

>=

naa

naa

nm

n m

nn

Observao: se n for par e se a < 08 no caracteri=a um nmero real: R25 (/ con 7 dois reais8 1m e 1n dois naturais e p um inteiro. Assim vale as seuintes

propriedades das rai=es:

nn

mnn m

mn mpn p

nnn

baba

aa

aa

baba

Exerccios') !alcule o valor das e#presses:


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a)

32

3

2

5

2

5

4

4

1

+

/: >5

b)2

5

41

5

1

4

3

2

11

+

/: '>50

c)

+ 21

5,08,0419,04

1

/: >5,7

d)02,02,0

01,01,0

/:

,) Aplicando as propriedades das pot@ncias8 simplifique as e#presses:

a)7

9

8

4256 b)

2

743

2433

1

3279

c)

( ) 73236

255

25125

d)41

943

10103

10101012

/espostas: a) 3225 = b) 932 = c) 62554 = d) 783

0) *screva os nmeros abai#o como o produto de um nmero inteiro por uma pot@ncia de '7:

a) 780 B b) 0777 B c) 7877 B


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d) 7879, B e) 083 B f) 4777777 B

3) !alcule o valor de:

a) 6 64 B b) 4 81B

c) 21

25 B d) 31

8

) !alcule o valor das e#presses:

a) 31

41

3 27)2(168 ++ b) 32

4 825,05,04

++

/: a) b) '

9) Simplifique os radicais:

a) 2352 b) 3 32 c) 5 1024

/: a) 328 b) 3 42 c) 3

4) *fetue:

a)

51

32

51

32

+

++

b)8

1

18

1

2

1+

/espostas: a)

2

152 b)

12

25

6) !alcule

a) 3 8 b) 4 16

/espostas: a) $, b) ,


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Equaes de primeiro grau

Para resolver um problema matemtico, quase sempre devemos transformar uma sentena apresentadacom palavras em uma sentena que esteja escrita em linguagem matemtica. Esta a parte maisimportante e talvez seja a mais difcil da Matemtica.

Sentena com palavras Sentena matemtica

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

ormalmente aparecem letras con!ecidas como variveis ou inc"gnitas. # partir daqui, a Matemtica seposiciona perante diferentes situa$es e ser necessrio con!ecer o valor de algo descon!ecido, que oobjetivo do estudo de equa$es.

Equaes do primeiro grau em 1 varivel

%rabal!aremos com uma situa&o real e dela tiraremos algumas informa$es importantes. 'bserve abalana(

# balana est equilibrada. o prato esquerdo ! um )peso) de *+g e duas melancias com )pesos) iguais.o prato direito ! um )peso) de -+g. uanto pesa cada melancia/

* melancias 0 *+g 1 -+g

2saremos uma letra qualquer, por e3emplo 3, para simbolizar o peso de cada melancia. #ssim, a equa&opoder ser escrita, do ponto de vista matemtico, como(

*3 0 * 1 -

Este um e3emplo simples de uma equa&o contendo uma varivel, mas que e3tremamente 4til eaparece na maioria das situa$es reais. 5alorize este e3emplo simples.

Podemos ver que toda equa&o tem(

2ma ou mais letras indicando valores descon!ecidos, que s&o denominadas variveis ouinc"gnitas6

2m sinal de igualdade, denotado por 1.

2ma e3press&o 7 esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda6

2ma e3press&o 7 direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

# letra 3 a inc"gnita da equa&o. # palavra incgnitasignifica desconhecidae equa&o tem o prefi3o equaque provm do 8atim e significa igual.

2 x + 2 = 14

1o. memro sinal de igualdade 2o. memro

#s e3press$es do primeiro e segundo membro da equa&o s&o os termosda equa&o.

Para resolver essa equa&o, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de 3.

2x + 2 = 14 Equa&o original2x + 2 ! 2 = 14 ! 2 9ubtramos * dos dois membros

2x = 12 :ividimos por * os dois membros


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x = " 9olu&o

#serva$o%uando adicionamos ;ou subtramos< valores iguais em ambos os membros da equa&o, elapermanece em equilbrio. :a mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equa&opor um valor n&o nulo, a equa&o permanece em equilbrio. Este processo nos permite resolver umaequa&o, ou seja, permite obter as razes da equa&o.

Exemplos%

. # soma das idades de #ndr e =arlos ** anos. :escubra as idades de cada um deles, sabendo>se que #ndr - anos mais novo do que =arlos.

9olu&o( Primeiro passamos o problema para a linguagem matemtica. 5amos tomar a letra c paraa idade de =arlos e a letra a para a idade de #ndr, logo a1c>-. #ssim(

c 0 a 1 **c 0 ;c > -< 1 ***c > - 1 ***c > - 0 - 1 ** 0 -*c 1 *?c 1 @

Aesposta( =arlos tem @ anos e #ndr tem @>-1B anos.

*. # popula&o de uma cidade # o triplo da popula&o da cidade C. 9e as duas cidades juntas tDmuma popula&o de . !abitantes, quantos !abitantes tem a cidade C/

9olu&o( Fdentificaremos a popula&o da cidade # com a letra a e a popula&o da cidade com a letrab. #ssumiremos que a1@b. :essa forma, poderemos escrever(

a 0 b 1 .@b 0 b 1 .-b 1 .b 1 *G.

Aesposta( =omo a1@b, ent&o a popula&o de # corresponde a( a1@H*G.1IG. !abitantes.

@. 2ma casa com *?m*de rea construda possui @ quartos de mesmo taman!o. ual a rea decada quarto, se as outras dependDncias da casa ocupam -m */

9olu&o( %omaremos a rea de cada dormit"rio com letra 3.

@3 0 - 1 *?@3 1 *? >-@3 1 *3 1 -

Aesposta( =ada quarto tem -m*.

Exerc&cios%Aesolver as equa$es

. *3 0 - 1 *. GJ > * 1 *@. *K 0 G > K 1 **-. B! > * 1 ? 0 *!

'esigualdades do primeiro grau em 1 varivel

Aelacionadas com as equa$es de primeiro grau, e3istem as desigualdades de primeiro grau, ;tambmdenominadas inequa$es< que s&o e3press$es matemticas em que os termos est&o ligados por um dosquatro sinais(

L menor

maior

L menor ou igual

maior ou igual

as desigualdades, o objetivo obter um conjunto de todas os possveis valores que pode;m< assumir uma


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ou mais inc"gnitas na equa&o proposta.

Exemplo%:eterminar todos os n4meros inteirospositivos para os quais vale a desigualdade(

*3 0 * L -

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos(

Passo 2x + 2 ( 14 Escrever a equa&o original

Passo * 2x + 2 ! 2 ( 14 ! 2 9ubtrair o n4mero * dos dois membros

Passo @ 2x ( 12 :ividir pelo n4mero * ambos os membros

Passo - x ( " 9olu&o

=onclumos que o conjunto solu&o formado por todos os n4meros inteiros positivos menores do que ?(

9 1 N, *, @, -, GO

Exemplo%Para obter todos os n4meros pares positivos que satisfazem 7 desigualdade

*3 0 * L -

obteremos o conjunto solu&o(

9 1 N*, -O

#serva$o%9e ! mais do que um sinal de desigualdade na e3press&o, temos vrias desigualdades)disfaradas) em uma.

Exemplo%Para determinar todos os n4meros inteiros positivos para os quais valem as ;duas * K 1

Para e3trair o valor de 3 na primeira equa&o, usaremos o seguinte processo(2x + 0 = 0* Primeira equa&o

2x + 0 ! 0 = 0* ! 0 9ubtramos @K de ambos os membros

2x = 0* ! 0 :ividimos ambos os membros por *

x = 1, ! 032 Este o valor de 3 em fun&o de K

9ubstitumos aqora o valor de 3 na segunda equa&o @3>*K1(

0x ! 2 = 1* 9egunda equa&o

01, ! 032 ! 2 = 1* #p"s substituir 3, eliminamos os parDnteses

5 ! ,32 ! 2 = 1* multiplicamos os termos por *

114 ! , ! 4 = 0" reduzimos os termos semel!antes

114 ! 10 = 0" separamos variveis e n4meros


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114 ! 0" = 10 simplificamos a equa&o

5* = 10 mudamos a posi&o dos dois membros

10 = 5* dividimos ambos os membros por ?

= " 5alor obtido para K

9ubstituindo K1? na equa&o 31B>;@KS* ;@H?S*< 1 B > S* 1 B>B 1

Exerc&cio%:eterminar a solu&o do sistema(

3 0 K 1 *3 > K 1

=ada equa&o do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. =onstrua as duas retas noplano e verifique que, neste caso, a solu&o um par ordenado que pertence 7 interse&o das duas retas.

6ela$o entre sistemas lineares e retas no plano

o conte3to que estamos trabal!ando aqui, cada equa&o da forma a30bK1c, representa uma reta no planocartesiano. 2m sistema com duas equa$es de primeiro grau em * inc"gnitas sempre pode ser interpretado

como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Aeta ( a3 0 bK 1 cAeta *( d3 0 eK 1 f

R trDs modos de construir retas no plano( retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

9e o sistema formado por duas equa$es que s&o retas no plano cartesiano, temos a ocorrDncia de(

6etas concorrentes%quando o sistema admite uma 4nica solu&o que um par ordenado localizado na

interse&o das duas retas66etas paralelas%quando o n&o admite solu&o, pois um ponto n&o pode estar localizado em duas retasparalelas6

6etas coincidentes%quando o admite uma infinidade de solu$es pois as retas est&o sobrepostas.

Exemplos das tr7s situaes

8ipos de retas Sistema

9oncorrentesx + = 2x ! = )

-aralelasx + = 2x + = 4

9oincidentes x + = 22x + 2 = 4

-rolemas com sistemas de equaes%

. # soma das idades de #ndr e =arlos ** anos. :escubra as idades de cada um deles, sabendo>se que #ndr - anos mais novo do que =arlos.

9olu&o( # idade de #ndr ser tomada com a letra # e a idade de =arlos com a letra =. ' sistemade equa$es ser(

= 0 # 1 **= > # 1 -

Aesposta( = 1 @ e # 1 B

*. # popula&o de uma cidade # o triplo da popula&o da cidade C. 9e as duas cidades juntas tDmuma popula&o de . !abitantes, quantos !abitantes tem a cidade C/


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9oluc&o( Fdentificando a popula&o da cidade # com a letra # e a popula&o da cidade C com C, osistema de equa$es ser(

# 0 C 1 # 1 @C

Aesposta( # 1 IG, C1 *G.

@. 2ma casa com *?m*de rea construda tem @ dormit"rios de mesmo taman!o. ual a rea decada dormit"rio se as outras dependDncias da casa ocupam -m*/

9olu&o( Fdentificaremos a rea de cada dormit"rio com a letra : e a rea das outras dependDnciascom a letra '. #ssim, o sistema ser(

@: 0 ' 1 *?' 1 -

Aesposta( : 1 -

'esigualdades com 2 Equaes em 2 variveis

'utra situa&o bastante comum aquela em que e3iste uma desigualdade com * equa$es em * ou mais

inc"gnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem * equa$es e * inc"gnitas 3 e K. 2ma formageral pode ter a seguinte forma tpica(

a 3 0 b K L cd 3 0 e K f

onde as constantes( a, b, c, d, e, f6 s&o con!ecidas.

Exemplo%:eterminar todos os pares ordenados de n4meros reais para os quais(

*3 0 @K ?G3 0 *K L *

R infinitos pares ordenados de n4meros reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossvele3ibir todas as solu$es. Para remediar isto, utilizaremos um processo geomtrico que permitir obter umasolu&o geomtrica satisfat"ria.

-rocesso geomtrico%

;< %raar a reta *30@K1? ;em vermel!oplano contendo o ponto ;*,*< ;em verde


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Equaes do segundo grau

Equaes algbricas so equaes nas quais a incgnita x est sujeita a operaes algbricas como:

adio, subtrao, multiplicao, diviso e radiciao.

Exemplos:

. a x ! b " #

$. a x% ! bx ! c " #

&. a x'! b x% ! c " #

(ma equao algbrica est em sua )orma can*nica, quando ela pode ser escrita como:

aoxn! ax

n+! ... ! an+x! an" #

onde n um nmero inteiro positivo -nmero natural. / maior expoente da incgnita em uma equaoalgbrica denominado o grau da equao e o coe)iciente do termo de mais alto grau denominadocoe)iciente do termo dominante.

Exemplo:0 equao 'x%!&x!$"# tem o grau $ e o coe)iciente do termo dominante '. 1este caso,

di2emos que esta uma equao do segundo grau.

A frmula quadrtica de Sridhara (Bhaskara

3ostraremos na sequ4ncia como o matemtico 5rid6ara, obteve a 7rmula -con6ecida como sendo de86as9ara, que a )rmula geral para a resoluo de equaes do segundo grau. (m )ato curioso que a7rmula de 86as9ara no )oi descoberta por ele mas pelo matemtico 6indu 5rid6ara, pelo menos umsculo antes da publicao de 86as9ara, )ato recon6ecido pelo prprio 86as9ara, embora o materialconstrudo pelo pioneiro no ten6a c6egado at ns.

/ )undamento usado para obter esta )rmula )oi buscar uma )orma de redu2ir a equao do segundo grau auma do primeiro grau, atravs da extrao de ra2es quadradas de ambos os membros da mesma.

5eja a equao:

a x% ! b x ! c " #

com a no nulo e dividindo todos os coe)icientes por a, temos:

x% ! -b;a x ! c;a " #

$ " -b% + 'ac ; 'a%

!ota"o:(saremos a notao ?=x> para representar a rai2 quadrada de x@#. ?=A> representar a rai2quadrada de A. Esta notao est sendo introdu2ida aqui para )a2er com que a pgina seja carregada maisrapidamente, pois a linguagem BC3D ainda no permite apresentar notaes matemticas na nternet deuma )orma )cil.

Extraindo a rai2 quadrada de cada membro da equao e lembrando que a rai2 quadrada de todo nmeroreal no negativo tambm no negativa, obteremos duas respostas para a nossa equao:

x ! -b;$a " ! ?=-b%+'ac ; 'a%>

ou

x ! -b;$a " + ?=-b%+'ac ; 'a%>

que alguns, porpreguiaou descuido, escrevem:


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contendo um sinal F que lido como mais ou menos. Dembramos que este sinal F no tem qualquer

signi)icado em 3atemtica.Gomo estamos procurando duas ra2es para a equao do segundo grau, deveremos sempre escrever:

xH " +b;$a ! ?=b%+'ac> ;$a

ou

xI " +b;$a + ?=b%+'ac> ;$a

0 )rmula de 86as9ara ainda pode ser escrita como:

onde D-Js ve2es usamos a letra maiscula IdeltaI do al)abeto grego o discriminante da equao dosegundo grau, de)inido por:

K " b% + 'ac

Equa"o do segundo grau

(ma equao do segundo grau na incgnita x da )orma:

a x% ! b x ! c " #

onde os nmeros reais a, b e c so os coe)icientes da equao, sendo que a deve ser di)erente de 2ero.Essa equao tambm c6amada de equao quadrtica, pois o termo de maior grau est elevado aoquadrado.

Equa"o #ompleta do segundo grau

(ma equao do segundo grau completa, se todos os coe)icientes a, b e c so di)erentes de 2ero.

Exemplos:

. $ x% ! Lx ! A " #

$. & x% ! x ! $ " #

Equa"o incompleta do segundo grau(ma equao do segundo grau incompleta se b"# ou c"# ou b"c"#. 1a equao incompleta o coe)icientea di)erente de 2ero.

Exemplos:

. ' x% ! Mx " #

$. & x% ! N " #

&. $ x% " #

$esolu"o de equaes incompletas do %o& grau

Equaes do tipo ax'): 8asta dividir toda a equao por a para obter:

x% " #

signi)icando que a equao possui duas ra2es iguais a 2ero.


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Equaes do tipo ax'*c): 1ovamente dividimos toda a equao por a e passamos o termo constantepara o segundo membro para obter:

x% " +c;a

5e +c;a )or negativo, no existe soluo no conjunto dos nmeros reais.

5e +c;a )or positivo, a equao ter duas ra2es com o mesmo valor absoluto -mdulo mas de sinaiscontrrios.

Equaes do tipo ax'*+x): 1este caso, )atoramos a equao para obter:

x -ax ! b " #

e a equao ter duas ra2es:

xH " # ou xI " +b;a

Exemplos gerais

. 'x%"# tem duas ra2es nulas.

$. 'x%+O"# tem duas ra2es: xH"?=$>, xI" +?=$>

&. 'x%!A"# no tem ra2es reais.

'. 'x%+$x"# tem duas ra2es reais: xH"&, xI"#

Exerc,cios:?esolver as equaes incompletas do segundo grau.

. x% ! Mx " #

$. $ x% " #

&. & x% ! L " #

'. $ x% ! A " #

A. # x% " #

M. N x% + O " #

$esolu"o de equaes completas do %o& grau

Gomo vimos, uma equao do tipo: ax%!bx!c"#, uma equao completa do segundo grau e para resolv4+la basta usar a )rmula quadrtica -atribuda a 86as9ara, que pode ser escrita na )orma:

onde D"b%+'ac o discriminante da equao.

;$axI " -+b + ?=D>;$a

Exemplos:


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x'*%x*6)

x'*%x*3)

x'*%x)

7 uso da frmula de Bhaskara

3ostraremos agora como usar a )rmula de 86as9ara para resolver a equao:

x% + A x ! M " #

. denti)icar os coe)icientes: a", b" +A, c"M

$. Escrever o discriminante K " b%+'ac.

&. Galcular K"-+A%+'QQM"$A+$'"

'. Escrever a )rmula de 86as9ara:

A. 5ubstituir os valores dos coe)icientes a, b e c na )rmula:

xH " -;$-A!?=> " -A!;$ " &xI " -;$-A+?=> " -A+;$ " $

Exerccios

. Galcular o discriminante de cada equao e analisar as ra2es em cada caso:

a. x% ! N x ! O " #

b. N x% + $' x ! M " #

c. x% + $ x ! ' " #

d. & x% + A x ! $ " #

e. # x% ! L$ x + M' " #

$. ?esolver as equaes:

a. x% ! M x ! N " #

b. & x% + x ! & " #

c. $ x% + $ x + $ " #

d. & x% + # x ! & " #

Equaes fracionrias do segundo grau

5o equaes do segundo grau com a incgnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

. &;-x% + ' ! ;-x + & " #

$. &;-x%+'!;-x+$"#


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&;-x% + ' ! ;-x + & " #

x deve ser di)erente de &, di)erente de $ e di)erente de +$, assim podemos obter o mnimo mltiplocomumentre os termos como:

33G-x " -x% + '-x + &

?edu2indo as )raes ao mesmo denominador que dever ser 33G-x, teremos:

=&-x+& ! -x%+'> ; -x%+'-x+& " #o que signi)ica que o numerador dever ser:

&-x + & ! -x% + ' " #

que desenvolvido nos d:

x$ ! &x + & " #

que uma equao do segundo grau que pode ser resolvida pela )rmula de 86as9ara. 1oexistiro nmeros reais satis)a2endo esta equao.

$. Gonsideremos agora o segundo exemplo:

-x!&;-$x+"$x;-x!'

/ mnimo mltiplo comum entre $x+ e x!' 33G"-$x+-x+' -o produto entre estes )atores e33G somente se anular se x";$ ou x" +'. 3ultiplicando os termos da equao pelo 33G,teremos uma sequ4ncia de expresses como:

-x!&-x!'"$x-$x+x% ! Lx ! $ " 'x% + $x+&x% ! Nx ! $ " #&x% + Nx + $ " #x% + &x + ' " #-x+'-x! " #

5oluo: xH"' ou xI" +

&. Estudemos outro exemplo:

&;-x%+'!;-x+$"#

/ mnimo mltiplo comum 33G"x%+'"-x+$-x!$ e este 33G somente se anular se x"$ ou x" +$.3ultiplicando os termos da equao pelo 33G, obteremos:

& ! -x!$"#

cuja soluo x" +A

Exerc,cios:?esolver as equaes do segundo grau )racionrias:

. x ! M;x " +L

$. -x!$;-x! " $x;-x+'

&. -$+x;x ! ;x% " &;x'. -x!$;-x+$ ! -x+$;-x!$ "

Equaes +i0quadradas

5o equaes do 'o. grau na incgnita x, da )orma geral:

a x'! b x% ! c " #

1a verdade, esta uma equao que pode ser escrita como uma equao do segundo grau atravs dasubstituio:

R " x%

para gerar

a R% ! b R ! c " #

0plicamos a )rmula quadrtica para resolver esta ltima equao e obter as solues RH e RI e o


31/95

procedimento )inal deve ser mais cuidadoso, uma ve2 que

x% " RH ou x% " RI

e se RH ou RI )or negativo, as solues no existiro para x.

Exemplos:

.


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Inequao do 1 Grau

Uma inequao do 1 grauna incgnita x qualquer expresso do 1 grau que pode ser escrita numa dasseguintes formas:ax + b > 0;

ax + b 0;ax + b ! 0;ax + b " 0#

$nde a% b so n&meros reais com a ' 0#

(xemplos:

)*x + > 0x , 10 " 0*x + - " 01* , x 0

Resolvendo uma inequao de 1 grau

Uma maneira simples de resol.er uma equa/o do 1 grau isolarmos a incgnita x em um dos membrosda igualdade# $bser.e dois exemplos:

(xemplo1: esol.a a inequa/o )*x + > 0#

olu/o:)*x > )2ultiplicando por 3)14

*x x 5*

6ortanto a solu/o da inequa/o x 5*#

(xemplo *: esol.a a inequa/o *x , 7 0#olu/o:*x 7x 75*x 8

6ortanto a solu/o da inequa/o e x 8

6ode)se resol.er qualquer inequa/o do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma fun/o do 1 grau%com o seguinte procedimento:1# 9guala)se a expresso ax + b a ero;*# ocalia)se a rai no eixo x;8# (studa)se o sinal conforme o caso#(xemplo 1:)*x + > 0)*x + < 0x < 5*

(xemplo *:*x , 7 0


33/95

*x , 7 < 0x < 8


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Inequao de 2 Grau

As inequaes so expresses matemticas que utilizam, na sua formatao, os seguintes sinais dedesigualdades:

>: maior que


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S !x " # $ x %1 ou x 1$'&

Exemplo 3

'etermine a soluo da inequaox % (x 0"

S !x " # $ x 0 ou x (&

Exemplo (

(alcule a soluo da inequaox % )x + * > 0"

S = {x ? R / x < 3 e x > 3}


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Funes, Constante, 1 e 2 Grau

Tipos particulares de funes

FUNO CONSTNT!Uma funo dita constante quando do tipo f"#$ % &, onde k no depende de x .Exemplos:a) f(x) = 5b) f(x) = !

"ota: o #$%fico de uma funo constante uma $eta pa$alela ao eixo dos x .

&e'a o #$%fico a se#ui$:

FUNO 'O 1 G(U

Uma funo dita do #$au , quando do tipo ) % a# * +, onde a * + .

Exemplos :f(x) = !x - ( a = ! b = - )f(x) = !x (a = ! b = ).

/$op$iedades da funo do #$au :

) o #$%fico de uma funo do #$au semp$e uma $eta .

-) na funo f(x) = ax b , se b = + , f dita funo linea$ e se b * + f dita funo afim ."ota: consta que o te$mo0123foi int$odu4ido po$ eon6a$d Eule$ (p$onunciase 7ile$) excepcionalmatem%tico su8o 9+9;!).!) o #$%fico inte$cepta o eixo dos x na $ai4 da equao f(x) = + e, po$tanto, no ponto deabcissa x = ba .alo$ a c6amado coeficiente an#ula$ e d% a inclinao da $eta .?) se a @ + , ento f c$escente .9) se a A + , ento f dec$escente .;) quando a funo linea$, ou se'a, = f(x) = ax , o #$%fico uma $eta que semp$e passa na o$i#em.

Exe$c8cio $esol>ido:


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Bete$mine a funo f(x) = ax b, sabendose que f(-) = 5 e f(!) = +.

CDUFD:/odemos esc$e>e$:5 = -.a b+ = !.a b

Cubt$aindo memb$o a memb$o, >em:

5 ( +) = -.a b (!.a b)5 = a G a = 5

Cubstituindo o >alo$ de a na p$imei$a equao (pode$ia se$ na se#unda), fica:5 = -.( 5) b G b = !5.o#o, a funo p$ocu$ada : = 5x !5.

0#o$a $esol>a esta:0 funo f definida po$ f(x) = ax b. Cabese que f() = ! e f(!) = , ento podemos afi$ma$ que f() i#ual a:Ha) -b) -c) +d) !

e) !

FUNO 'O 2 G(U

Uma funo dita do - #$au quando do tipo f"#$ % a#2* +# * c, com a * + .Exemplos: f(x) = x- -x ( a = , b = - , c = ) = x-( a = , b = + , c = + )

Grfico da fun-o do 2 .rau ) % a#2* +# * c /0 sepre ua par+ola de ei#o ertical 3

/$op$iedades do #$%fico de ) % a#2* +# * c:

) se a @ + a pa$%bola tem um ponto de m8nimo .-) se a A + a pa$%bola tem um ponto de m%ximo!) o >$tice da pa$%bola o ponto &(x>, >) onde:

x> = b-a

>= B


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= a(x x).(x x-)

Exe$c8cios Mesol>idos

UQCal Cabese que - e ! so $a84es de uma funo quad$%tica. Ce o ponto( , ;) pe$tence ao #$%fico dessa funo, ento:a) o seu >alo$ m%ximo ,-5b) o seu >alo$ m8nimo ,-5

c) o seu >alo$ m%ximo +,-5d) o seu >alo$ m8nimo -,5He) o seu >alo$ m%ximo -,5.

CDUFD:Cabemos que a funo quad$%tica, pode se$ esc$ita na fo$ma fato$ada: = a(x x)(x x-) , onde xe x-, so os 4e$os ou $a84es da funo.

/o$tanto, pode$emos esc$e>e$: = aRx ( - )S(x !) = a(x -)(x !) = a(x -)(x !)

Qomo o ponto (,;) pe$tence ao #$%fico da funo, >em:; = a( -)( !)

; = a()(e$: = x- x onde a = , b = e c = +.D >alo$ p$ocu$ado de x, se$% o x>(abcissa do >$tice da funo).

0ssim,x>= b -.a = -() = -

o#o, a alte$nati>a co$$eta a let$a 0 .


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Juros Simples

O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os jurosgerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestadoou aplicado, antes de somarmos os juros. Transormando em !rmula temos"

# $ P . i . n

Onde"

# $ jurosP $ principal %capital&i $ ta'a de jurosn $ n(mero de perodos

)'emplo" Temos uma dvida de *+ ---,-- que deve ser paga com juros de / a.m. pelo regime de juros simples edevemos pag0la em 1 meses. Os juros que pagarei sero"

# $ --- ' -.- ' 1 $ 2-

3o somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

4ontante $ Principal 5 #uros 4ontante $ Principal 5 % Principal ' Ta'a de juros ' 6(mero de perodos &

4 $ P . % 5 % i . n & &

)'emplo" 7alcule o montante resultante da aplica8o de *+9-.---,-- : ta'a de -,;/ a.a. durante ?@O" 4 $ P . % 5 %i.n& & 4 $ 9---- A 5 %-,;B--&.%


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C 0 Hual o capital que aplicado a juros simples de ,1/ a.m. rende *+C.;--,-- de juros em 9; diasI Temos imediatamente" # $ P.i.n ou seja" C;-- $ P.%,1B--&.%9;BC-& Observe que e'pressamos a ta'a i e o perodo n em rela8o : mesma unidade de tempo, ou seja, meses. =ogo, C;-- $ P. -,-1 . 1,; $ P . -,-C-J Fa, vem" P $ C;-- B -,-C- $ *+2.222,29

< 0 Se a ta'a de uma aplica8o de ;-/ ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicadoatravs de capitaliGa8o simplesI

Objetivo" 4 $ 1.P Fados" i $ ;-B-- $ ,; K!rmula" 4 $ P % 5 i.n& Fesenvolvimento"1P $ P % 5 ,; n&

1 $ 5 ,; n

n $ 1BC ano $ meses

Exerccios

& O juro produGido por um capital de ;.---,-- aplicado : ta'a de juros simples de 2/ a.a. durante 1 anos igual a"

a& ;--,--b& .1--,--c& .---,--d& --,--e& 2--,--

1& O juro de uma aplica8o de .---,-- em meses, se a ta'a de juros de


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a& C-/ a.a.b& / a.d.c& C/ a.m.d& C2-/ a.a.e& 1/ a.a.

& 3s ta'as de juros ao ano, proporcionais :s ta'as 1;/ a.t.J / a.b.J C-/ a.q. e ;/ a.m., so, respectivamente"a& --/J -/J E-/J -/

b& --/J -/J E-/J -/c& 9;/J 12/J 1-/J ;-/d& 9;/J ;-/J 1-/J 12/e& --/J ;-/J 1-/J -/

E& 3s ta'as de juros bimestrais equivalentes :s ta'as de 1-/ a.a.J ;-/ a.s.J 2/ a.q. e E-/ a.t. sorespectivamente"a&


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c& 2 meses e 1 mesesd& 2 meses e mesese& 1 meses e meses

2& #oo eG um dep!sito a praGo i'o por 1 anos. Fecorrido o praGo, o montante, que era de *+ 1.---,--, oireaplicado em mais um ano a uma ta'a de juros ;/ superior : primeira. Sendo o montante de *+ C9.92-,-- e oregime de capitaliGa8o juros simples, o capital inicial era, em *+"a& C9.92-,--

b& ;2.--,--c& -.---,--d& E2.---,--e& -1.---,--

9& O praGo em que um capital colocado : ta'a de ;/ a.a., rende um juro comercial igual a B;- de seu valor igual a"a&


43/95

1


44/95

e& E--,--

CC& %TT6BE& O capital que, investido Loje a juros simples de 1/ a.a., se elevar a *+ .1E2,-- no im de meses, de"a& .--,--b& .---,--c& .CE1,--d& .1--,--

e& .CEE,2

C


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Juros Compostos

O atual sistemafinanceiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior

rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo,

e no caso do composto o juro incide ms a ms de acordo com o somatrio acumulativo do capital

com o rendimento mensal, isto , prtica do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e

financiamentos so calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um

maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro aoms. Qual ser o !alor ao "inal da aplica#o

A tabela demonstrar ms a ms a movimentaofinanceirana aplicao do regime de juros

compostos.

&o "inal do 8' ms o montante ser de R$ 5(1,().

!ma expressomatemticautilizada no clculo dos juros compostos a seguinte"

* + C -1 i/t,ondeM: montanteC: capitali: taxa de jurost: tempo de aplicao

Obs." Os clculos envolvendo juros compostos exigem con#ecimentos de manuseio deumacalculadora cient$fica.

Exemplo 2Qual o montante produido por um capital de R$ 2.000,00 aplicados a uma ta3a de juros mensais de1,5% durante um ano

C R$ 2.000,00i 1,5% ao ms + 1,54100 + 0,015t 1 ano + 1 meses

* + C -1 i/t* + 2000 -1 0,015/1* + 2000 -1,015/1* + 2000 1,165718
http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#


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* + 8)76,)) montante ser de R$ 8.)76,)).

Com a utilia#o dessa "9rmula podemos tamb:m calcular o capital de acordo com o montante.

Exemplo 3Calcule o !alor do capital que, aplicado a uma ta3a de % ao ms, rendeu em 10 meses a quantia de

R$ 15.)2,()

* R$ 15.)2,()t 10i % a.m. + 4100 + 0,0

* + C -1 i/t15)2,() + C -1 0,0/1015)2,() + C -1,0/1015)2,() + C 1,1866(C + 15)2,() 4 1,1866(

C + 1500,00

capital : de R$ 1.500,00.

Calculando a ta3a de juros da aplica#o.

Exemplo 4Qual a ta3a de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 1 meses que gerou omontante de R$ 10.1(5,6)

C R$ 8.000,00

* R$ 10.1(5,6)t 1i

; ta3a de juros da aplica#o "oi de %.

Calculando o tempo da aplica#o. -


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C R$ 800,00* R$ 1.(((,86i )% a.m.+ )4100 + 0,0)t

1.(((,86 + 800 -1 0,0)/t1.(((,86 + 800 1,0)t1.(((,864800 + 1,0)t1,0)t+ 1,807 (aplicar propriedade dos logaritmos)log1,0)t+ log1,807t log1,0) + log1,807t 0,01) + 0,52t + 0,5240,01)t + 0

capital de!er "icar aplicado por 0 meses.

&a tabela dos 100 primeiros n>meros naturais destacamos em aul os n>meros primos, portanto osn>meros primos entre 1 e 100 so , ), 5, 2, 11, 1), 12, 16, ), 6, )1, )2, (1, (), (2, 5), 56, 71, 72,

21, 2), 26, 8), 86, 62.


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Porcentagem

* Definio

PORCENTAGEM pode ser definida como a centsima parte de uma grandeza, ou o clculo aseado em

!"" unidades#$ %isto com fre&'(ncia as pessoas ou o pr)prio mercado usar e*press+es de acrscimo ou redu-o nospreos de produtos ou ser%ios#

Alguns e*emplos.

/ O 0eite te%e um aumento de 1234uer dizer &ue de cada R5 !"","" te%e um acrscimo de R5 12,""

/ O cliente te%e um desconto de !23 na compra de uma cala 6eans4uer dizer &ue em cada R5 !"","" a lo6a deu um desconto de R5 !2,""

/ 7os funcionrios &ue traal8am na empresa, 923 s-o dedicados#

:ignifica &ue de cada !"" funcionrios, 92 s-o dedicados ao traal8o ou a empresa#

* Noo da porcentagem em nmeros

E*emplos.a;" dias!""O n?mero >" dias de traal8o representa . PORCENTAGEM

;9" de R5 !1","" de compra = R5 @,""!""O %alor de R5 @,"" representa . PORCENTAGEM

* O que taxa de porcentagem

$ definido como ta*a de porcentagem o %alor otido aplicando uma determinada ta*a a um certo %alor#Tamm pode/se fi*ar a ta*a de porcentagem como o numerador de uma fra-o &ue tem comodenominador o n?mero !""#* Como calcular porcentagemTodo o clculo de porcentagem, como informado, aseado no n?mero !""#O clculo de tantos por cento de uma e*press-o matemtica ou de um prolema a ser resol%ido indicadopelo sBmolo 3;, e pode ser feito, na soma, por meio de uma propor-o simples#Para &ue se possam fazer clculos com porcentagem 3;, temos &ue fi*ar o seguinte.

!; A ta*a est para porcentagem acrscimo, desconto, etc;, assim como o %alor !"" est para a &uantia aser encontrada#


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E*emplificando.Dm tBtulo tem desconto !"3, sore o %alor total de R5 !"",""# 4ual o %alor do tBtuloF"3 . R5 !"",""!""3 .

= R5 F",""

1; O n?mero &ue se efetua o clculo de porcentagem representado por !""#E*emplificando.Efetue o clculo !"3 de 2"!""3 . 2"!"3 .

= 2Os# Nos dois e*emplos dados foram usados o sistema de clculo de regra de tr(s, 6 ensinados emtutoriais anteriores#

F; O capital informado tem sempre por igualdade ao !""#E*emplificando.Efetua/se o resgate de um c8e&ue pr/datado no %alor de R5 !2","" e otem/se um desconto de 1"3

!""3 . R5 !2",""1"3 . = R5 F",""

* Exemplos para fixao de definio

!; Dm 6ogador de as&uete, ao longo do campeonato, fez 12" pontos, deste total !"3 foram de cestas de"1 pontos# 4uantas cestas de "1 pontos o 6ogador fez do total de 12" pontos#

!"3 de 12" = !" 12" = 12"" = 12 !"" !""Portanto, do total de 12" pontos o 6ogador fez 12 pontos de "1 pontos#

1; Dm celular foi comprado por R5 F"","" e re%endido posteriormente por R5 F","", &ual a ta*a percentualde lucro Neste caso procurado um %alor de porcentagem no &ual s-o somados os R5 F"","" iniciais com aporcentagem aumentada e &ue ten8a como resultado o %alor de R5 F",""F"" H F""#I!"" = F"F = F" J F""


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= "IF = !F,FFF dBzima peri)dica;Assim, a ta*a de lucro otida com esta opera-o de re%enda foi de 1!"

* #ator $ultiplicante

K uma dica importante a ser seguida, no caso de clculo com porcentagem# No caso se 8ou%er acrscimono %alor, possB%el fazer isto diretamente atra%s de uma opera-o simples, multiplicando o %alor doprodutoIser%io pelo fator de multiplica-o#Le6a.Ten8o um produto , e este ter um acrscimo de F"3 sore o preo normal, de%ido ao prazo depagamento# Ent-o asta multiplicar o %alor do mesmo pelo n?mero 1!%& Caso o mesmo produto ao in%sde F"3 ten8a 1"3 de acrscimo ent-o o fator multiplicante 1!'%#

Oser%e esta pe&uena taela.

E*emplo. Aumente !93 sore o %alor de um produto de R5 1","", temos R5 1","" !,!9 = R5 1F,"E assim sucessi%amente, possB%el montar uma taela conforme o caso#7a mesma forma como possB%el, ter um fator multiplicante &uando se tem acrscimo a um certo %alor,tamm no decrscimo ou desconto, pode/se ter este fator de multiplica-o#Neste caso, faz/se a seguinte opera-o. ! J ta*a de desconto isto na forma decimal;

Le6a.Ten8o um produto , e este ter um desconto de F"3 sore o preo normal# Ent-o asta multiplicar o %alordo mesmo pelo n?mero %!(%& Caso o mesmo produto ao in%s de F"3 ten8a 1"3 de acrscimo ent-o ofator multiplicante %!)%#Oser%e esta pe&uena taela.


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E*emplo. 7esconto de 93 sore o %alor de um produto de R5 2@,"", temos R5 2@,"" ",>F = R5 2F,>E assim sucessi%amente, possB%el montar uma taela conforme o caso#

* Exerccios resol+idos de porcentagemOs e*ercBcios propostos est-o resol%idos, em um passo/a/passo prtico para &ue se possa acompan8ar a

solu-o de prolemas en%ol%endo porcentagem e tamm para &ue se ten8a uma mel8or fi*a-o sore oconte?do#!; 4ual %alor de uma mercadoria &ue custou R5 222,"" e &ue pretende ter com esta um lucro de !93:olu-o.!""3 . 222!9 = 222*!9 I!"" = >F2I!"" = >,F2Temos o %alor da mercadoria. R5 222,"" H R5 >,F2Preo inal. ,- ./0!Os# Este clculo poderia ser resol%ido tamm pelo fator multiplicador. R5 222,"" !,!9 = R5 ,F2

1; Dm aluno te%e F" aulas de uma determinada matria# 4ual o n?mero m*imo de faltas &ue este alunopode ter saendo &ue ele ser repro%ado, caso ten8a faltado a F"3 por cento; das aulas :olu-o.!""3 . F"F"3 . = F"#F" I !"" = >"" I !"" = > = >Assim, o total de faltas &ue o aluno poder ter s-o 0 faltas#

F; Dm imposto foi criado com alB&uota de 13 sore cada transa-o financeira efetuada pelos consumidores#:e uma pessoa for descontar um c8e&ue no %alor de R5 !2#12","", receer lB&uido &uanto!""3 . !2#12"


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",93 . Neste caso, use diretamente o sistema de taela com fator multiplicador# O capital principal &ue o %alor doc8e&ue . R5 !2#12","" ",>@ = R5 !#>2,""Assim, o %alor lB&uido do c8e&ue ap)s descontado a alB&uota ser de R5 !#>2,""# :endo &ue os 13 do%alor total representam a &uantia de R5 F"2,""#

:omando os %alores. R5 !#>2,"" H R5 F"2,"" = ,- 1&'%!%%


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Probabilidade

1 Introduo

Chama-se experimento aleatrioquele cujo resultado imprevisvel porm pertence necessariamente a

um conjunto de resultados possveis denominado espao amostral!"ualquer su#conjunto desse espao amostral denominado evento!

$e este su#conjunto possuir apenas um elemento o denominamos evento elementar!

%or exemplo no lanamento de um dado o nosso espao amostral seria & ' (1 ) * + , .!

/xemplos de eventos no espao amostral &0

0 sair n2mero maior do que +0 ' (, .

30 sair um n2mero primo e par0 3 ' ().

C0 sair um n2mero mpar0 C ' (1 * ,.

4ota0 5 espao amostral tam#m denominado espao de prova!

6rataremos aqui dos espaos amostrais equiprov7veis ou seja aqueles onde os eventos elementares

possuem a mesma chance de ocorrerem!

%or exemplo no lanamento do dado acima sup8e-se que sendo o dado per9eito as chances de sair

qualquer n2mero de 1 a so i:uais! 6emos ento um espao equiprov7vel!

/m oposio aos 9en;menos aleatrios existem os 9en;menos determinsticos que so aqueles cujos

resultados so previsveis ou seja temos certe #olas a


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cB sair um m2ltiplo de *0 a:ora o evento ' (* . com ) elementosG lo:o a pro#a#ilidade procurada ser7

pAB ' ) ' 1*!

dB sair um n2mero menor do que *0 a:ora o evento ' (1 ). com dois elementos! %ortantopAB ' ) '

1*!

eB sair um quadrado per9eito0 a:ora o evento ' (1+. com dois elementos! %ortanto pAB ' ) ' 1*!

1!) - Considere o lanamento de dois dados! Calcule a pro#a#ilidade de0

aB sair a soma H

5#serve que neste caso o espao amostral & constitudo pelos pares ordenados AijB onde i ' n2mero no

dado 1 e j ' n2mero no dado )!

evidente que teremos * pares ordenados possveis do tipo Ai jB onde i ' 1 ) * + , ou o mesmo

ocorrendo com j!

s somas i:uais a H ocorrero nos casos0A)BA*,BA++BA,*B e A)B! %ortanto o evento @soma i:ual a H@

possui , elementos! Jo:o a pro#a#ilidade procurada ser7 i:ual a pAB ' ,*!

#B sair a soma 1)

4este caso a 2nica possi#ilidade o par AB! %ortanto a pro#a#ilidade procurada ser7 i:ual a pAB ' 1*!1!* &ma urna possui #olas a


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Pividindo am#os os mem#ros por nA&B vem0

nABnA&B O nANBnA&B ' nA&BnA&B de onde conclui-se0

pAB O pANB ' 1

4ota0 esta propriedade simples muito importante pois 9acilita a soluo de muitos pro#lemas

aparentemente complicados! /m muitos casos mais 97cil calcular a pro#a#ilidade do evento

complementar e pela propriedade acima 9ica 97cil determinar a pro#a#ilidade do evento!

%,0 $endo e 3 dois eventos podemos escrever0

pA & 3B ' pAB O pA3B pA Q 3B

5#serve que se Q3' M Aou seja a interseo entre os conjuntos e 3 o conjunto va


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5ra a expresso acima pode ser escrita sem nenhum preju


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Anlise Combinatria

Introduo Anlise Combinatria

Anlise Combinatria um conjunto de procedimentos que possibilita a construo de grupos diferentesformados por um nmero finito de elementos de um conjunto sob certas circunstncias.

Na maior parte das e!es" tomaremos conjuntos # com m elementos e os grupos formados com elementos

de # tero p elementos" isto " p ser a ta$a do agrupamento" com p%m.Arranjos" &ermuta'es ou Combina'es" so os tr(s tipos principais de agrupamentos" sendo que elespodem ser simples" com repetio ou circulares. Apresentaremos alguns detal)es de tais agrupamentos.

*bserao+, comum encontrarmos na literatura termos como+ arranjar" combinar ou permutar" mas todo ocuidado pouco com os mesmos" que -s e!es so utili!ados em concursos em uma forma dbia

Arranjos

/o agrupamentos formados com p elementos" 0p%m1 de forma que os p elementos sejam distintos entre s2pela ordem ou pela espcie. *s arranjos podem ser simples ou com repetio.

Arranjo simples+No ocorre a repetio de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

3rmula+As0m"p1 4 m50m6p1Clculo para o e$emplo+As07"81 4 75848758498.

:$emplo+/eja #4;A"" m47 e p48. *s arranjos simples desses 7 elementos tomados 8 a 8 so 98grupos que no podem ter a repetio de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada.?odos os agrupamentos esto no conjunto+

As4;AF

Aqui temos um total de m4B letras" a ta$a p47" o subconjunto escol)ido tem m14 elementos e a ta$a que

este subconjunto ser formado p148. Com as letras A"< e C" tomadas 8 a 8" temos @ grupos que esto noconjunto+

&ABC4 ;A


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3rmula+&s0m1 4 m.

Clculo para o e$emplo+&s01 4 4@.

:$emplo+/eja C4;A"


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:$emplo+/eja C4;A"" m47 e p48. As combina'es simples desses 7 elementos tomados 8 a 8 so @grupos que no podem ter a repetio de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. ?odosos agrupamentos esto no conjunto+

Cs4;A


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Cada e! que um elemento for retirado" indicaremos esta operao com a mudana da cor do elementopara a cor ermel)a.

&ara escol)er o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos" temos m possibilidades. Ramossupor que a escol)a ten)a ca2do sobre o m6simo elemento de C.

c1" c2" c"" c#" c)" ..." cm*2" cm*1" cm

&ara escol)er o segundo elemento" deemos obserar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora

e$istem apenas m69 elementos. /upon)amos que ten)a sido retirado o ltimo elemento dentre os quesobraram no conjunto C. * elemento retirado na segunda fase o 0m6916simo.

c1" c2" c"" c#" c)" ..." cm*2" cm*1" cm

Aps a segunda retirada" sobraram m68 possibilidades para a pr$ima retirada. =o que sobrou" seretirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem 0m681" teremos algo que pode ser isuali!ado como+

c1" c2" c"" c#" c)" ..." cm*2" cm*1" cm

/e continuarmos o processo de retirada" cada e! teremos 9 elemento a menos do que na fase anterior.&ara retirar o p6simo elemento" restaro m6pH9 possibilidades de escol)a.

&ara saber o nmero total de arranjos poss2eis de m elementos tomados p a p" basta multiplicar osnmeros que aparecem na segunda coluna da tabela abai$o+

Jetirada Nmero de possibilidades

9 m

8 m69

m68

... ...

p m6pH9

No.de arranjos m0m6910m681...0m6pH91

=enotaremos o nmero de arranjos de m elementos tomados p a p" por A0m"p1 e a e$presso para seuclculo ser dada por+

A0m"p1 4 m0m6910m681...0m6pH91

:$emplo+Consideremos as I ogais de nosso alfabeto. Duais e quantas so as possibilidades de disporestas I ogais em grupos de 8 elementos diferentesF * conjunto soluo +

;A:"AS"A*"AG":A":S":*":G"SA"S:"S*"SG"*A"*:"*S"*G"GA"G:"GS"G*>

A soluo numrica A0I"814I748O.

:$emplo+Consideremos as I ogais de nosso alfabeto. Duais e quantas so as possibilidades de disporestas I ogais em grupos de 8 elementos 0no necessariamente diferentes1F

/ugesto+ Construir uma reta com as I ogais e outra reta paralela - anterior com as I ogais" usar a regrado produto para concluir que ) I$I48I possibilidades.

* conjunto soluo +

;AA"A:"AS"A*"AG":A"::":S":*":G"SA"S:"SS"S*"SG"*A"*:"*S"**"*G"GA"G:"GS"G*"GG>

:$emplo+Duantas placas de carros podem e$istir no atual sistema brasileiro de trnsito que permite letrasiniciais e 7 algarismos no finalF

TU#6987

/ugesto+ Considere que e$istem 8@ letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas a e 9Oalgarismos que podem ser dispostos 7 a 7 e em seguida utili!e a regra do produto.


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'(mero de ermuta!es simples

:ste um caso particular de arranjo em que p4m. &ara obter o nmero de permuta'es com m elementosdistintos de um conjunto C" basta escol)er os m elementos em uma determinada ordem. A tabela dearranjos com todas as lin)as at a ordem p4m" permitir obter o nmero de permuta'es de m elementos+

Jetirada Nmero de possibilidades

9 m

8 m69... ...

p m6pH9

... ...

m68

m69 8

m 9

No.de permuta'es m0m6910m681...0m6pH91...7..8.9

=enotaremos o nmero de permuta'es de m elementos" por &0m1 e a e$presso para seu clculo serdada por+

&0m1 4 m0m6910m681 ... 0m6pH91 ... . 8 . 9

:m funo da forma como constru2mos o processo" podemos escreer+

A0m"m1 4 &0m1

Como o uso de permuta'es muito intenso em Qatemtica e nas ci(ncias em geral" costuma6sesimplificar a permutao de m elementos e escreer simplesmente+

&0m1 4 m

:ste s2mbolo de e$clamao posto junto ao nmero m lido como+ fatorial de m" onde m um nmeronatural.

:mbora !erono seja um nmero natural no sentido que ten)a tido origem nas coisas da nature!a" procura6

se dar sentido para a definio de fatorial de m de uma forma mais ampla" incluindo m4O e para istopodemos escreer+

O49

:m conte$tos mais aanados" e$iste a funo gama que generali!a o conceito de fatorial de um nmeroreal" e$cluindo os inteiros negatios e com estas informa'es pode6se demonstrarque O49.

* fatorial de um nmero inteiro no negatio pode ser definido de uma forma recursia atras da funo&4&0m1 ou com o uso do sinal de e$clamao+

0mH91 4 0mH91.m" O 4 9

:$emplo+=e quantos modos podemos colocar juntos liros A" < e C diferentes em uma estanteF *nmero de arranjos &014@ e o conjunto soluo +

&4;A

'(mero de Combina!es simples

/eja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos" j imos antes que poss2elescol)er p elementos de A" mas quando reali!amos tais escol)as pode acontecer que duas cole'es com pelementos ten)am os mesmos elementos em ordens trocadas. Gma situao t2pica a escol)a de um casal0P"Q1. Duando se fala casal" no tem importncia a ordem da posio 0P"Q1 ou 0Q"P1" assim no ) anecessidade de escol)er duas e!es as mesmas pessoas para formar o referido casal. &ara eitar a


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repetio de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos" introdu!iremos o conceito decombinao.

=iremos que uma coleo de p elementos de um conjunto C com m elementos uma combinao de melementos tomados p a p" se as cole'es com p elementos no tem os mesmoselementos que japareceram em outras cole'es com o mesmo nmero p de elementos.

Aqui temos outra situao particular de arranjo" mas no pode acontecer a repetio do mesmo grupo de

elementos em uma ordem diferente.Ssto significa que dentre todos os A0m"p1 arranjos com p elementos" e$istem p desses arranjos comos mesmos elementos" assim" para obter a combinao de m elementos tomados p a p" deeremos diidiro nmero A0m"p1 por m para obter apenas o nmero de arranjos que contem conjuntos distintos" ou seja+

C0m"p1 4 A0m"p1 5 p

Como

A0m"p1 4 m.0m691.0m681...0m6pH91

ento+

C0m"p1 4 M m.0m691.0m681. ... .0m6pH91 5 p

que pode ser reescrito

C0m"p14Mm.0m691.0m681...0m6pH915M09.8..7....0p691p

Qultiplicando o numerador e o denominador desta frao por

0m6p10m6p6910m6p681....8.9

que o mesmo que multiplicar por 0m6p1" o numerador da frao ficar+

m.0m691.0m681.....0m6pH910m6p10m6p691....8.94 m

e o denominador ficar+

p 0m6p1

Assim" a e$presso simplificada para a combinao de m elementos tomados p a p" ser uma das

seguintes+

'(mero de arranjos $om repetio

/eja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escol)idos neste conjunto em umaordem determinada. Cada uma de tais escol)as denominada um arranjo com repetio de m elementostomados p a p. Acontece que e$istem m possibilidades para a colocao de cada elemento" logo" o nmerototal de arranjos com repetio de m elementos escol)idos p a p dado por mp. Sndicamos isto por+

Arep0m"p1 4 mp

'(mero de permuta!es $om repetio

Consideremos bolas ermel)as" 8 bolas a!uis e I bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordemdeterminada. Sremos obter o nmero de permuta'es com repetio dessas bolas. ?omemos 9Ocompartimentos numerados onde sero colocadas as bolas. &rimeiro coloque as bolas ermel)as em compartimentos" o que d C09O"1 possibilidades. Agora coloque as 8 bolas a!uis nos compartimentosrestantes para obter C09O6"81 possibilidades e finalmente coloque as I bolas amarelas. As possibilidadesso C09O668"I1.

* nmero total de possibilidades pode ser calculado como+

?al metodologia pode ser generali!ada.


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'(mero de $ombina!es $om repetio

Considere m elementos distintos e ordenados. :scol)a p elementos um aps o outro e ordene esteselementos na mesma ordem que os elementos dados. * resultado c)amado uma combinao comrepetio de m elementos tomados p a p. =enotamos o nmero destas combina'es por C rep0m"p1. Aqui ata$a p poder ser maior do que o nmero m de elementos.

/eja o conjunto A40a"b"c"d"e1 e p4@. As cole'es 0a"a"b"d"d"d1" 0b"b"b"c"d"e1 e 0c"c"c"c"c"c1 so e$emplos decombina'es com repetio de I elementos escol)idos @ a @.

&odemos representar tais combina'es por meio de s2mbolos V e a!ios W onde cada ponto V repetido 0ecolocado junto1 tantas e!es quantas e!es aparece uma escol)a do mesmo tipo" enquanto o a!io W serepara separar os objetos em funo das suas diferenas

+a,a,b,d,d,d- e.ui/ale a 000000+b,b,b,$,d,e- e.ui/ale a 000000+$,$,$,$,$,$- e.ui/ale a 000000

Cada s2mbolo possui 9O lugares com e$atamente @V e 7W. &ara cada combinao e$iste umacorrespond(ncia biun2oca com um s2mbolo e reciprocamente. &odemos construir um s2mbolo pondoe$atamente @ pontos em 9O lugares. Aps isto" os espaos a!ios so prenc)idos com barras. Ssto pode ser

feito de C09O"@1 modos. Assim+

Crep0I"@1 4 C0IH@69"@1

Eenerali!ando isto" podemos mostrar que+

Crep0m"p1 4 C0mHp69"p1

ropriedades das $ombina!es

* segundo nmero" indicado logo acima por p con)ecido como a taxaque define a quantidade deelementos de cada escol)a.

?a$as complementares

C0m"p14C0m"m6p1

:$emplo+C098"9O1 4 C098"814@@.

Jelao do tringulo de &ascal

C0m"p14C0m69"p1HC0m69"p691

:$emplo+C098"9O14C099"9O1HC099"X14@OI

'(mero Binomial

* nmero de combina'es de m elementos tomados p a p" indicado antes por C0m"p1 c)amadoCoeficiente


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A funo enolida com este conte$to a funo gama. ?ais clculos so teis em &robabilidade e:stat2stica.

eorema Binomial

/e m um nmero natural" para simplificar um pouco as nota'es" escreeremos mpno lugar de C0m"p1.:nto+

0aHb1m4 amHm1am*1bHm2am*2b2Hm"am*"b"H...Hmmbm

Alguns casos particulares com m48" " 7 e I" so+

0aHb124 a2H 8ab H b2

0aHb1"4 a"H a2b H ab2H b"

0aHb1#4 a#H 7 a"b H @ a2b2H 7 ab"H b#

0aHb1)4 a)H I a#b H 9O a"b2H 9O a2b"H I ab#H b)

A demonstrao segue pelo &rinc2pio da Snduo Qatemtica.

Sremos considerar a &roposio &0m1 de ordem m" dada por+

&0m1+ 0aHb1m4amHm1am*1bHm2am*2b2Hm"am*"b"H...Hmmbm

&091 erdadeira pois 0aHb114 a H b

Ramos considerar erdadeira a proposio &0Z1" com Z[9+

&0Z1+ 0aHb134a3HZ1a3*1bHZ2a3*2b2HZ"a3*"b"H...HZ3b3

para proar a propriedade &0ZH91.

&ara que a proposio &0ZH91 seja erdadeira" deeremos c)egar - concluso que+

0aHb13414a341H0ZH911a3bH0ZH912a3*1b2H...H0ZH91+341-b341

0aHb13414 +a4b-5+a4b-3

4 +a4b-56a3431a3*1b432a3*2b243"a3*"b"4555433b37

4 a56a3431a3*1b432a3*2 b243"a3*"b"4555433b37

4b56a3431a3*1b432a3*2b243"a3*"b"4555433 b37

4 a341431a3b432a3*1b243"a3*2b"4555433ab3

4a3b431a3*1b2432a3*2 b"43"a3*"b#4555433b341

4 a3414631417a3b46324317a3*1b2463"4327a3*2b"

463#43"7 a3*"b#45554633*1433*27a2b3*14633433*17ab3433b341

4 a34146314387 a3b46324317a3*1b2463"4327a3*2b"

463#43"7a3*"b#45554633*1433*27a2b3*14633433*17ab3433b341

&elas propriedades das combina'es" temos+

Z1HZ84C0Z"91HC0Z"O14C0ZH9"9140ZH911

Z2HZ14C0Z"81HC0Z"914C0ZH9"8140ZH912

Z"HZ24C0Z"1HC0Z"814C0ZH9"140ZH91"

Z#HZ"4C0Z"71HC0Z"14C0ZH9"7140ZH91#

... ... ... ...

Z3*1HZ3*24C0Z"Z691HC0Z"Z6814C0ZH9"Z69140ZH913*1

Z3HZ3*14C0Z"Z1HC0Z"Z6914C0ZH9"Z140ZH913

: assim podemos escreer+

+a4b-3419 a3414+341-1a3b 4 +341-2a3*1b2 4 +341-"a3*2b"

4+341-#a3*"b# 45554 +341-3*1a2b3*1 4 +341-3ab3 4 33b341

que o resultado desejado.


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Razo e Proporo

RAZO

Conceitualmente a razo do nmero a para o nmero b, sendo b 0, igual ao quociente de a por b que podemosrepresentar das seguintes formas:

As razes acima podem ser lidas como:

razo de apara b aest para b apara b

m qualquer razo, ao termo ac!amamos de antecedentee ao termo bc!amamos de consequente"

Razo inversa ou recproca

#e$amos as seguintes razes:

e

las so tidas como razes in%ersas ou rec&procas"

Note que o antecedente de uma o consequente da outra e vice-versa.

'ma propriedade das razes in%ersas que o produto delas sempre igual a (, isto se de%e ao fato de uma ser oin%erso multiplicati%o da outra"

Agora %e$amos as seguintes razes:

e

A primeira razo possui os nmeros ( e ) como seu respecti%o antecedente e consequente, $ a segunda razo possuio nmero ) como o seu antecedente e o nmero (, omitido, como o seu consequente" m fun*o disto, peloantecedente de uma ser o consequente da outra e %ice+%ersa, estas duas razes tambm so in%ersas uma em rela*oa outra"

Apesar de uma razo ser apresentada na forma de uma fra*o ou de uma di%iso, %oc pode calcular o seu %alor final afim de se obter o seu %alor na forma decimal" -or e.emplo:

A razo de !para ! ", pois ! # ! $ "na forma decimal, ou se$a, ! o trip%ode !"

/este outro caso, a razo de "para & '()!, pois " # & $ '()!na forma decimal"

Razo centesima%

Como %isto acima, a razo de "para & '()!, pois " # & $ '()!na forma decimal, ou se$a, "equi%ale a )!*de &" )!*nada mais que uma razo de antecedente igual )!e consequente igual a ''" por isto c!amada de razocentesima%"

+,emp%os

1 salrio de -aulo de 23 )"000,00 e 4oo tem um salrio de 23 ("000,00" 5ual a razo de um salrio para outro6

7emos: a%rio de Pau%o # a%rio de /oo"

nto:

A razo acima pode ser lida como a razo de )000 para (000, ou )000 est para (000" sta razo igual a ), o queequi%ale a dizer que o salrio de -aulo o dobro do salrio de 4oo, ou se$a, atra%s da razo estamos fazendo umacompara*o de grandezas, que neste caso so os salrios de -aulo e 4oo"

-ortanto a razo de um salrio para outro igual a )"


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u ten!o uma estatura de (,80m e meu fil!o tem apenas 80cm de altura" 5ual a razo de nossas alturas6

Como uma das medidas est em metros e a outra em cent&metros, de%emos coloc+las na mesma unidade" 9abemosque (,80m equi%alente a (80cm" 7emos ento a razo de (80cm para 80cm:

),) a razo de nossas alturas"

Proporo

A i0ua%dade entre raz1es denomina-se proporo.

1s nmeros a, b, ce d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma propor*o se, e somente se, a razo a # bfor igual ; razo c # d"

"Podemos ento a3irma que estas raz1es so i0uais e que a i0ua%dade abai,o representa uma proporo#

?+se a propor*o acima da seguinte forma:

4' est para !( assim como & est para )4"

Propriedade 3undamenta% das propor1es

5ualquer que se$a a propor*o, o produto dos e.tremos igual ao produto dos meios" Assim sendo, dados os nmeros

a, b, ce d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma propor*o, ento o produto de apor dser igual aoproduto de bpor c:

e0unda propriedade das propor1es

5ualquer que se$a a propor*o, a soma ou a diferen*a dos dois primeiros termos est para o primeiro, ou para osegundo termo, assim como a soma ou a diferen*a dos dois ltimos termos est para o terceiro, ou para o quarto termo"nto temos:

ou

1u

ou

5erceira propriedade das propor1es

5ualquer que se$a a propor*o, a soma ou a diferen*a dos antecedentes est para a soma ou a diferen*a dosconsequentes, assim como cada antecedente est para o seu respecti%o consequente" 7emos ento:

ou

1u

ou


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6uarta proporciona%

@ados trs nmeros a, b, e c, c!amamos de quarta proporcional o quarto nmero ,que $unto a eles formam apropor*o:

7endo o %alor dos nmeros a, b, e c, podemos obter o %alor da quarta proporcional, o nmero ,, recorrendo ;

propriedade fundamental das propor*es" 1 mesmo procedimento utilizado na resolu*o de problemas de regra de trssimples"

5erceira proporciona%

m uma propor*o onde os meios so iguais, um dos e.tremos a terceira proporcional do outro e.tremo:

/a propor*o acima a a terceira proporcional de ce %ice+%ersa"

+,emp%os

-aguei 23(,00 por (g de carne" 9e eu ti%esse pago 23),00 teria comprado )g" A igualdade da razo do pre*o decompra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma propor*o6

1s termos da nossa suposta propor*o so: !, , 2!e 2"

-odemos utilizar apropriedade fundamental das proporespara %erificamos se tais termos nesta ordem formam ouno uma propor*o"

7emos ento:

Como B0 difere de ), no temos uma igualdade, consequentemente no temos uma propor*o"

-oder&amos tambm ter analisado as duas razes:

Como as duas razes possuem %alores diferentes, ob%iamente no se trata de uma propor*o"

Como uma das razes resulta em ( e a outra resulta em (),, conclu&mos que no se trata de uma propor*o, $ que( difere de (),"

A propor*o no ocorreu porque ao comprar )g de carne, eu obteria um desconto de 23 ),0 no pre*o do quilograma,o que dei.aria as razes desproporcionais"

A soma de dois nmeros igual a )0" 9abe+se que um deles est para , assim como o outro est para D" 5uais soestes nmeros6

-ara a resolu*o deste e.emplo utilizaremos a terceira propriedade das propor*es" C!amando um dos nmeros de aeo outro de b, podemos montar a seguinte propor*o:

9abemos que a soma de acom bresulta em 2&', assim como a adi*o de !a )resulta em 2" 9ubstituindo estes%alores na propor*o teremos:

-ortanto:


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Conclu&mos ento que os dois nmeros so (00 e (0"

5uatro nmeros, todos diferentes de zero, (0, 8, ) e . formam nesta ordem uma propor*o" 5ual o %alor de .6

9eguindo o e.plicado sobre a quarta proporcional temos:

1 %alor do nmero . )0"

+,erccios

7 6ua% a razo que i0ua% a 28) e cu9o antecedente se9a i0ua% a :.

2esolu*o:

#amos igualar as razes"

8 E )

F D

). E 8 . D

). E G

F E GH)

F E )8

@esta forma a razo igual a )HD, com antecedente igual a 8 : 8H)8 E )HD

27 A%me9ando desen;ar uma representao de um ob9eto p%ano de !m de comprimento( usando uma esca%a de#2'( qua% ser o comprimento no desen;o#

2esolu*o:

scala: (

)0

9abendo que (m E (00 cm"


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nto m E . (00 E 00 cm"

1 comprimento no desen!o ser:

00 . ( E 00 H )0 E

)0

) cm

@esta forma em uma escala (:)0 em plano de m, o comprimento do desen!o ser ) cm"

B> m uma sala de aula, a razo de mo*as para o nmero de rapazes de H" 9e o nmero total de alunos destaturma de pessoas, caso e.ista uma festa quantas mo*as ficariam sem par 6

2esolu*o:

-rimeiro %amos denominar o nmero de mo*as por @O 2

0(" 9e =B, ., (, """> e =G, 8, I, """> forem grandezas diretamente proporcionais, ento o %alor de . J I :


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a> )0b> ))c> )d> )8e> B)

0)" Calcular . e I sabendo+se que =(, ), ., """> e =(), I, , """> so grandezas in%ersamente proporcionais"

0B" @i%idir o nmero (G0 em trs partes diretamente proporcionais aos nmeros ), B e "

0" 2epartir uma !eran*a de 23 K"000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de fil!os e na razo in%ersadas idades de cada uma delas" 9abe+se que a (N pessoa tem B0 anos e ) fil!os, a )N pessoa tem BG anos e B fil!os e aBN pessoa 8 anos e G fil!os"

0" @ois nmeros esto na razo de ) para B" Acrescentando+se ) a cada um, as somas esto na razo de B para "nto, o produto dos dois nmeros :a> K0b> KGc> (80d> D)e> +()

0G" =-'C> 9e =)O BO .O """> e =8O IO O """> forem duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento:a> . E ( e I E Gb> . E ) e I E ()c> . E ( e I E ()d> . E e I E )e> . E 8 e I E ()

0D" 9abe+se que I diretamente proporcional a . e que I E (0 quando . E " @e acordo com estes dados, qual:a> a senten*a que relaciona I com .6b> o grfico da fun*o f: P+)O BQ R definida pela senten*a anterior6c> o %alor de I quando . E )6

08" 9o dados trs nmeros reais, a S b S c" 9abe+se que o maior deles a soma dos outros dois e o menor umquarto do maior" nto a, b e c so, respecti%amente, proporcionais a:a> (, ) e Bb> (, ) e c> (, B e d> (, B e G

e> (, e ()

0K" @i%idindo+se D0 em partes proporcionais a ), B e , a soma entre a menor e a maior parte :a> Bb> Kc> Gd> )e> )8

(0" 7rs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respecti%amente, 23 )0"000,00, 23B0"000,00 e 23 0"000,00" 1 balan*o anual da firma acusou um lucro de 23 0"000,00" 9upondo+se que o lucro se$adi%idido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sTcio receber, respecti%amente:

a> 23 "000,00O 23 (0"000,00 e 23 )"000,00b> 23 D"000,00O 23 (("000,00 e 23 ))"000,00c> 23 8"000,00O 23 ()"000,00 e 23 )0"000,00


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d> 23 (0"000,00O 23 (0"000,00 e 23 )0"000,00e> 23 ()"000,00O 23 (B"000,00 e 23 ("000,00

Reso%uo#

'. +

'2. , $ " e $ B'". As partes so# "2( &: e :'.

'&. A C pessoa deve receber RD 2'.'''(''( a 2C pessoa RD !'.'''('' e a terceira pessoa RD 22!.'''(''.

'!. E

'B. >

'). a7 $ 2,

c7 $ &

':. >'F. E'. >v0


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REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos

quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.Passos utilizados numa regra de trs simples:

!" #onstruir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesmalinha as grandezas de espcies di$erentes em correspondncia.

%!" &denti$icar se as grandezas s'o diretamente ou inversamente proporcionais.

(!" )ontar a propor*'o e resolver a equa*'o.

Exemplos:

" #om uma rea de absor*'o de raios solares de ,%m+, uma lancha com motor movido a energia solarconsegue produzir -- atts por hora de energia. /umentando0se essa rea para ,1m+, qual ser aenergia produzida2

3olu*'o: montando a tabela:

4rea 5m+" 6nergia 57h",%00000000--,100000000 8

&denti$ica*'o do tipo de rela*'o:

4rea000000006nergia,%000000000--9,10000000000 9

&nicialmente colocamos uma seta para bai8o na coluna que contm o 8 5%; coluna".h, $az um determinado percurso em ( horas.6m quanto tempo $aria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada $osse de B-Cm>h2



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" elocidade 5Am>h" Eempo 5h"--00000000000000000(B-0000000000000000 8

%" &denti$ica*'o do tipo de rela*'o:

velocidade0000000000tempo--900000000000000000(FB-90000000000000000 8F

(

8= %--


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" @ma equipe de operrios, trabalhando B horas por dia, realizou determinada obra em %- dias. 3e onJmero de horas de servi*o $or reduzido para 1 horas, em que prazo essa equipe $ar o mesmo trabalho2


Koras por dia00000Prazo para trmino 5dias"

BF000000000000000000000000%-91F0000000000000000000000008 9

invertemos os termos

Koras por dia00000Prazo para trmino 5dias"

BF00000000000000000000000008F1F000000000000000000000000%-F

18 = B. %-

passando0e o 1 para o outro lado do igual dividindo temos:18 = B. % > 1

8 = (%


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" Para se obterem %B Cg de $arinha, s'o necessrios - Cg de trigo. Iuantos quilogramas do mesmo trigos'o necessrios para se obterem N Cg de $arinha2 5R:-"

%" #inco pedreiros $azem uma casa em (- dias. Iuantos dias levar'o 1 pedreiros para $azer a mesmacasa2 5R:-"

(" @ma mquina produz -- pe*as em %1 minutos. Iuantoas pe*as produzir em hora2 5R:%-"

" @m automSvel $az um percurso de 1 horas T velocidade mdia de L- Cm>h. 3e a velocidade $osse de N1Cm >h quantas horas gastaria para $azer o mesmo percurso2 5R:"

1"@ma maquina $abrica 1--- al$inetes em % horas. Iauntos al$inetes ela $abricar em N horas2 5R:N.1--"

L" Iuatro quilogramas de um produto quUmico custam RH %.---,-- quanto custar'o N,% Ag desse mesmoproduto2 5R:(.%--,--"

N" h, $ez um percurso em horas. Iuanto tempo levaria seaumentasse a velocidade para %- Am>h2 5R: ("

%" Oum livro de %N- pginas, h - linhas em cada pgina. 3e houvesse (- linhas, qual seria o nJmero depginas desse livro2 5R:(L-"

Regra de trs compostaregra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamenteproporcionais.

68emplos:

" 6m B horas, %- caminhes descarregam L-m( de areia. 6m 1 horas, quantos caminhes ser'onecessrios para descarregar %1m(2

3olu*'o: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha,as grandezas de espcies di$erentes que se correspondem:Koras 00000000caminhes00000000000volume

BF0000000000000000%-90000000000000000000000L-F1F000000000000000000890000000000000000000000%1F

/ seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o 8.


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%-> 8 = L->%1 . 1>B onde os temos da ultima $ra*'o $oram invertidos

simpli$icando $ica

%->8 = >1

8 = %- . 1

8 = --

8 = -- >

8 = %1

?ogo, ser'o necessrios %1 caminhes

%" Ouma $brica de brinquedos, B homens montam %- carrinhos em 1 dias. Iuantos carrinhos ser'omontados por homens em L dias23olu*'o: montando a tabela:

Komens00000 carrinhos000000 diasB00000000000000000%-000000000000001000000000000000000080000000000000L


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/ssim: ser'o necessrios N%L- Ags de ra*'o

%" 3e - metros de um tecido custam RH 1-,--, quanto custar %% metros 2

3olu*'o: < problema envolve duas grandezas 5quantidade de tecidos e pre*o da compra"

/ssim: %% metros custar'o RH -,--

(" 6m -L dias de trabalho, % con$eiteiros $azem ML- tortas. 6m quantos dias - con$eiteiros poder'o $azer(%- tortas3olu*'o: < problema envolve trs grandezas 5tempo, nJmero de con$eiteiros, quantidade de tortas"

EXERC#CIOS

- W #om - Cg de trigo podemos $abricar NCg de $arinha. Iuantos quilogramas de trigo s'o necessriospara $abricar %B Cg de $arinha2

-% W #om 1- Cg de milho, obtemos (1 Cg de $ub. Iuantas sacas de L- Cg de $ub podemos obter com %-- Cg de milho 2

-( W 3ete litros de leite d'o ,1 quilos de manteiga. Iuantos litros de leite ser'o necessrios para seobterem M quilos de manteiga 2

- W 6m um banco, contatou0se que um cai8a leva, em mdia, 1 minutos para atender ( clientes. Iual otempo que esse cai8a vai levar para atender (L clientes 2

-1 W Paguei RH L,-- por .%1- Cg de uma substXncia. Iuanto pagaria por -,N1- Cg dessa mesmasubstXncia 2

-L W 3eis mquinas escavam um tJnel em % dias. Iuantas mquinas idnticas ser'o necessrias paraescavar esse tJnel em um dia e meio 2

-N W @ma $onte $ornece (M litros de gua em 1 minutos. Iuantos litros $ornecer em uma hora e meia 2

-B W /brimos (% cai8as e encontramos L- bombons. Iuantas cai8as iguais necessitamos para obter (B1bombons 2


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-M W @m automSvel percorre (B- Cm em 1 horas. Iuantos quilmetros percorrer em N horas, mantendo amesma velocidade mdia 2

- W @m automSvel gasta % litros de gasolina para percorrer M% Cm. Iuantos litros de gasolina gastarpara percorrer %- Cm 2

W @ma torneira despeja (- litros de gua a cada 1 minutos. Iuanto tempo levar para encher um

reservatSrio de m( de volume2

% W @m relSgio adianta - segundos em L dias. Iuantos minutos adiantar em 1 dias 2

( W @m relSgio atrasa ( minu

apostila matematica assist

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