UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA ~ ^ PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM CIENCIA DA ~ COMPUTACAO

Fundamentos de Matematica Aplicada a InformaticaPROF. JORGE MUNIZ BARRETO PROF. MAURO ROISENBERG PROFa. MARIA APARECIDA FERNANDES ALMEIDA PROFa. KATIA COLLAZOS

FLORIANOPOLIS, 1998

SumarioSumario Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Historia da Matematica e da Computac~o a1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Introduc~o . . . . . . . . . a As Origens . . . . . . . . . A Matematica na Grecia . Os Tempos de Escurid~o . a O Renascimento . . . . . . Os Tempos Modernos . . . A Era dos Computadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv v 1 22 3 5 6 6 7 9

2 Logica

2.1 Notas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Logica de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Calculo Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sintaxe do Calculo Proposicional . . . . . . 2.3.2 Sem^ntica do Calculo Proposicional . . . . . a 2.3.3 Tabelas-Verdade . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Formula Inconsistente ou Contradic~o . . . a 2.3.6 Equival^ncia de Formulas . . . . . . . . . . e 2.3.7 Regras de Infer^ncia . . . . . . . . . . . . . e 2.3.8 Tabelas-Verdade como Forma de Validac~o . a 2.4 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Algumas De nic~es . . . . . . . . . . . . . . o i

1212 14 14 15 16 16 18 18 19 20 27 28 28

2.4.2 Sintaxe do Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Regras de Infer^ncia para o Calculo de Predicados . . . . . . . 30 e

3 Teoria dos Conjuntos

3.1 Origens da Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . 3.2 Conceitos Primeiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Noc~o de Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Relac~o de Pertin^ncia . . . . . . . . . . . . . . . a e 3.2.4 Conjunto Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Propriedades dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Conjuntos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 O Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 O Conjunto Pot^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.7 Algebra dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Conceito de Operac~es unarias, binarias e n-arias o 3.7.2 Uni~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.7.3 Intersec~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.7.4 Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Propriedades das Operac~es . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.9.1 Propriedade Associativa . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Propriedade Comutativa . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3 Propriedade Distributiva . . . . . . . . . . . . . . 3.9.4 Propriedade Re exiva . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.5 Propriedade de Fechamento . . . . . . . . . . . . 3.9.6 Elemento neutro para a uni~o . . . . . . . . . . . a 3.9.7 Elemento neutro para a intersec~o . . . . . . . . . a 3.9.8 Elemento nulo para a intersec~o . . . . . . . . . . a 3.10 Cardinalidade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Os Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Paradoxos na Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Paradoxo de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . .

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34

34 35 35 36 36 37 38 38 39 42 42 42 43 44 45 45 46 47 47 48 48 48 48 48 49 49 49 49 49 49 50 52 52

3.11.2 3.11.3 3.11.4 3.11.5

Paradoxo de Russel . . . Paradoxo do Barbeiro . Paradoxo de Burali-Forti Paradoxo de Godel . . .

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4 Relac~es o

4.1 Introduc~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.2 De nic~o de Relac~es . . . . . . . . . . . . a o 4.3 Relac~es Binarias . . . . . . . . . . . . . . o 4.3.1 De nic~es . . . . . . . . . . . . . . o 4.3.2 Dom nio e Imagem de Relac~es . . o 4.4 Propriedades das Relac~es Binarias . . . . o 4.4.1 Relac~o de Igualdade . . . . . . . . a 4.4.2 Relac~o Re exiva . . . . . . . . . . a 4.4.3 Relac~o Simetrica . . . . . . . . . . a 4.4.4 Relac~o Transitiva . . . . . . . . . a 4.4.5 Relac~o Anti-simetrica . . . . . . . a 4.5 Matrizes e Grafos Representando Relac~es o 4.6 Partic~o e Cobertura de um Conjunto . . . a 4.7 Relac~o de Equival^ncia . . . . . . . . . . a e 4.7.1 Classe de Equival^ncia . . . . . . . e 4.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Relac~o de Compatibilidade . . . . . . . . a 4.9 Relac~o de Ordem . . . . . . . . . . . . . a 4.9.1 Relac~o de Ordem Total . . . . . . a 4.9.2 Relac~o de Ordem Parcial . . . . . a 4.10 Relac~es Externas . . . . . . . . . . . . . . o 4.11 Composic~o de Relac~es Binarias . . . . . a o 5.1 5.2 5.3 5.4

5555 56 56 56 57 59 59 59 59 60 60 60 62 64 64 65 65 66 66 66 67 69 72 72 73 75 75 77 79

5 Func~es o

Introduc~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Conceito de Func~o . . . . . . . . . . . . . . . a Dom nio, Contradom nio e Imagem . . . . . . Tipos de func~es . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.4.1 Func~es injetora, sobrejetora e bijetora o 5.5 Func~o Composta . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.6 Func~o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . a

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5.7 Func~o Caracter stica de um Conjunto . . . . . . . . a 5.8 Func~es de Hash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.9 Recursividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Func~es Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . o 5.9.2 Recursividade em Linguagens de Programac~o a 5.10 Computabilidade de Func~es . . . . . . . . . . . . . . o 5.10.1 Func~es computaveis . . . . . . . . . . . . . . o 5.10.2 Func~es parcialmente computaveis . . . . . . o 5.10.3 Func~es n~o computaveis . . . . . . . . . . . . o a 5.11 Modelos abstratos de um Computador . . . . . . . . 5.11.1 Maquinas de Estados Finitos . . . . . . . . . . 5.11.2 Maquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . .

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82 83 84 85 89 90 90 90 92 92 92 94

6 Estruturas Algebricas6.1 6.2 6.3 6.4

Introduc~o . . . . . . . . . . . . . . . . . a Conceitos de Estruturas Algebricas . . . Estruturas com uma operac~o interna . . a Estruturas com duas operac~es internas . o

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. 98 . 99 . 104 . 106

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Refer^ncias Bibliogra cas e

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Lista de Figuras3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Diagrama de Venn . . . . . . Representac~o de subconjunto a Uni~o de Conjuntos . . . . . . a Intersec~o entre Conjuntos . . a Diferenca entre conjuntos . . . Distributividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 40 45 46 46 48 58 62 62 63 63 65 69 74 76 80 81 81 94 94 95 95

Tipos de relac~es binarias . . . . . . . . . . . . . . o Grafos de diferentes tipos de relac~es binarias . . . o Grafos de relac~es transitivas . . . . . . . . . . . . o Grafos de relac~es simetricas e anti-simetricas . . . o Grafos de relac~es binarias . . . . . . . . . . . . . . o Partic~o de um conjunto em classes de equival^ncia a e Relac~es R, S e a composta R S . . . . . . . . . . o

Dom nio, Contradom nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . Func~es injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . o Func~o que tem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Func~o que n~o tem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a Esquema de Criptogra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de um Maquina de Estados Finitos . . . . . . . . . . . . Diagrama de Transic~o de Estados para um somador sequencial a Maquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con gurac~o de uma Maquina de Turing . . . . . . . . . . . . . a

v

Lista de Tabelas1.1 Tabela para multiplicar 41 por 59 pelo metodo eg pcio . . . . . . . . 4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Tabela-Verdade para o operador de Negac~o a Tabela-Verdade para a Conjunc~o . . . . . . a Tabela-Verdade para a Disjunc~o . . . . . . a Tabela-Verdade para o Condiconal . . . . . Tabela-Verdade para o Bicondiconal . . . . . Tabela de equival^ncias de formulas . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 17 18 20

4.1 R1 = Alunos x Disciplinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 R2 = Disciplinas x Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 R3 = Locais x Horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1 Tabela para operac~o sobre o conjunto fe og . . . . . . . . . . . . . 102 a 6.2 Tabela da operac~o + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 a 6.3 Tabela da operac~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 a

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Cap tulo 1 Historia da Matematica e da Computac~o a1.1 Introduc~o aA civilizac~o industrial baseia-se em grande parte na ci^ncia e na tecnologia. Ena e tretanto, as aplicac~es tecnologicas com as quais nos deparamos parecem cada vez o mais envolver a humanidade em um mundo \concreto", em que as imagens e comunicac~es reduzem dia-a-dia a necessidade de abstrac~o, imaginac~o e deduc~o. o a a a Muitas pessoas, hoje em dia, preferem ir ao cinema ao inves de ler um livro, ou assistir ao noticiario na televis~o ao inves de l^-lo no jornal ou escuta-lo no radio. a e Por outro lado, a matematica valoriza o pensamento abstrato, a formalizac~o, a a capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um manto de detalhes irrelevantes. Pode-se mesmo dizer que fazer matematica n~o e trabalhar com numeros, e a sim com abstrac~es do mundo real, envolvam ou n~o estas abstrac~es quantidades o a o exatas e mensuraveis. Talvez por causa disto, muitas pessoas encaram a matematica como uma disciplina afastada das conquistas e equipamentos tecnologicos, verdadeira \torre de mar m", onde se encastelam os matematicos que passam a sua vida a pensar em coisas que n~o parecem ter a m nima aplicac~o ao mundo real em que vivemos. a a No entanto, isto n~o e verdade. A matematica e a base sobre a qual se assentam a as mais importantes conquistas da ci^ncia e da tecnologia atuais. Como o homem e poderia ter chegado a Lua sem a matematica? Como estudar as estrelas? Como garantir que um computador e capaz de resolver um problema? Como a informac~o a que chega aos nossos televisores, telefones e computadores poderia ser codi cada e decodi cada sem a matematica? 2

Com efeito, varios fatores in uem na escolha dos assuntos de matematica que devem ser vistos como pre-requisitos para o desenvolvimento da Ci^ncia da Come putac~o. Em geral, seleciona-se os diversos topicos da matematica que s~o essenciais a a ao estudos das diversas areas da computac~o, conhecidos a grosso modo como \Maa tematica Discreta", deixando-se de lado os aspectos matematicos utilizados para a modelagem de fen^menos f sicos, tais com o Calculo Diferencial e Integral, etc. o Os topicos matematicos que ser~o vistos neste trabalho s~o: Logica, Teoria a a dos Conjuntos, Relac~es e Func~es, Grafos, Estruturas Algebricas e Teoria Basica o o de Computabilidade. Apesar de procurarmos apresentar o assunto de uma maneira didatica e coloquial, tentaremos manter o formalismo e a precis~o adequada. a Tambem procuraremos, sempre que poss vel, apresentar aplicac~es praticas da area o da computac~o relacionada com os topicos estudados. a O objetivo principal deste cap tulo e tentar situar a matematica atraves de uma rapida vis~o panor^mica da historia da matematica, ressaltando os elemena a tos historicos relacionados com a propria historia da computac~o. N~o e por acaso a a que muitos cientistas, responsaveis por grandes feitos e impulsos no desenvolvimento dos computadores e da computac~o em geral, como Pascal, Babbage, Von Neumann a e Turing, entre outros, eram matematicos.

1.2 As OrigensAs origens da matematica remontam ao proprio in cio da historia da humanidade. Os primeiros passos do pensamento matematico provavelmente estavam associados ao ato de contar colec~es de objetos discretos, e os dedos das m~os poderiam ser o a utilizados para indicar conjuntos de um, dois, tr^s, quatro ou cinco objetos, tais e como um lobo, duas arvores, tr^s ovelhas e assim por diante. e A descoberta da escrita deu um grande impulso nas habilidades matematicas, assim como permitiu que atraves da arqueologia pudessemos conhecer como a matematica evoluiu nos quatro mil^nios que antecederam a era crist~. e a Foi o desenvolvimento da agricultura que tornou o homem sedentario e possibilitou o aparecimento das grandes civilizac~es surgidas na Mesopot^mia (os babil^nios) o a o e nas margens do Rio Nilo (os eg pcios). Este desenvolvimento agr cola so foi poss vel gracas a utilizac~o de um calendario e de sistemas de irrigac~o. a a O desenvolvimento de um calendario pressup~e algum desenvolvimento da aritmetica, o de tecnicas de observac~o astron^mica e de sistemas de medic~o de angulos. Entre a o a ^ o IV e o III Mil^nios AC desenvolveram-se sistemas de calendario bastante apurae

41 1 2 4 8 16 32

59 59 118 236 472 944 1888

Tabela 1.1: Tabela para multiplicar 41 por 59 pelo metodo eg pcio dos na Mesopot^mia e no Egito que ja permitiam prever com razoavel precis~o as a a epocas de enchente, plantio e colheita. Tambem os sistemas de irrigac~o exigiam a conhecimentos primitivos de engenharia e agrimensura. Com a agricultura abundante, oresceu o comercio e a troca de mercadorias, o que exigia conhecimentos de aritmetica aplicada. Os babil^nios, que sucederam os sumerios na Mesopot^mia no nal do terceiro o a mil^nio AC possuiam um avancado sistema de numerac~o. Este era um sistema e a posicional com base 60 (o nosso sistema de numerac~o atual e em base 10). Eles a dividiam o dia em 24 horas, cada hora em 60 minutos e cada minuto em 60 segundo. Talvez o aspecto mais interessante das habilidades de calculo dos babil^nios sejam o as suas tabelas para aux lio ao calculo. Para tornar a multiplicac~o mais facil, os babil^nios usavam a formula a:b = a o 2 ; a2 ; b2)=2, sendo esta a raz~o da exist^ncia das tabelas de quadrados de ((a + b) a e numeros, achadas por arqueologos. Os eg pcios, assim como os romanos possuiam um sistema de numerac~o que a n~o era muito adequado para operac~es aritmeticas. No entanto, os eg pcios eram a o muito pragmaticos em sua utilizac~o da matematica. Em um papiro datado de 1850 a AC, encontra-se um exemplo numerico concreto do calculo do volume de um tronco de pir^mide de base quadrada. Em outro papiro, chamado de papiro de Rhind, a encontra-se a recomendac~o de como multiplicar 41 por 59. \Pegue 59 e some a ele a mesmo, ent~o some o resultado com ele mesmo e assim por diante". a Como 64 e maior que 41, n~o e necessario continuar. proceda-se agora as seguina tes subtrac~es: o 41 ; 32 = 9 9 ; 8 = 1 1 ; 1 = 0

Agora selecione os numeros da coluna da direita correspondentes aos fatores 32, 8 e 1 e some-os: 1888 + 472 + 1 = 2419 Note-se que a multiplicac~o e obtida utlizando-se apenas operac~es de adic~o. a o a Outro fator impulsionador do desenvolvimento da matematica, alem da agricultura e do comercio, est~o os rituais religiosos e funerarios. Tome como exemplo as a proprias pir^mides do Egito e os grandes monumentos de pedra (megalitos) espalhaa dos pela Europa e Norte da Africa. Acredita-se que Stonehenge, na Inglaterra, foi constru do entre 1900 e 1600 AC e muitos historiadores a rmam que ele era utilizado como uma \calculadora de pedra" com o objetivo de prever o nascimento do Sol e da Lua no solst cio e no equinocio.

1.3 A Matematica na GreciaProvavelmente o contato dos gregos com o Imperio Persa durante o seculo VI AC trouxe aos gregos consideraveis conhecimentos dos antigos povos do Oriente Medio. A revoluc~o do pensamento metematic o na Grecia comecou devido a um forte a esp rito do curiosidade, de atividades racionalistas e da crenca de que o homem poderia entender o mundo e a si proprio. Atraves de Thales e Pitagoras, ainda no seculo VI AC, o pensamento matematico grego comecou a adquirir caracter sticas familiares aos matematicos contempor^neos: 1) necessidade de de nic~es precisas a o 2) preocupac~o com explicitar pressuposic~es 3) desenvolvimento do pensamento a o dedutivo e seu emprego para uni car o pensamento matematico da epoca 4) noc~o a de pesquisa, formulac~o clara dos problemas e distinc~o n tida entre uma conjectura a a e um teorema demonstrado. Na Grecia a loso a e a matematica estavam intimamente relacionadas e varias discuss~es e analises cr ticas foram surgindo. Os processos in nitos (de limite) que o se usava na geometria sofreram uma profunda analise cr tica nos trabalhos de Zeno de Elea. E da Grecia tambem o berco do racioc nio logico e da Logica como disciplina matematica. No in cio, Logica era expressa em linguagem natural pelos losofos de Atenas. Racioc nios tipicamente logicos se encontram em dialogos de Socrates com seus disc pulos e depois em Plat~o. Mas foi com Aristoteles que a Logica tomou um a carater independente de outras formas de pensamento. Com a primeira escola de matematica de Alexandria, fundada no m do seculo IV

AC, surge a monumental obra de Euclides (365-275 AC) \Elementos" (Stoichia), que incorporava o trabalho de seus predecessores e suas proprias contribuic~es, expondo o a geometria do plano e do espaco de forma dedutiva. A matematica grega chegaria ao seu apogeu com Arquimedes (287-212 AC). Sua contribuic~o a geometria e rigoraso e cheia de imaginac~o. N~o menos engenhosas a a a foram suas contribuic~es para o estudo da mec^nica e da hidrostatica. o a A partir do seculo II AC ocorre o decl nio geral do progresso matematico. Ate a queda do Imperio Romano, a atividade matematica praticamente desapareceu do mundo ocidental. O crepusculo da civilizac~o do Mundo Antigo atinge assim, a tambem a matematica. Como legado, os gregos nos deixaram grandes conhecimentos sobre a logica, os numeros e as formas geometricas. Eles tambem nos legaram a inspirac~o de que a Natureza seria pass vel de ser conhecida e explicada pela raz~o, a a utilizando-se como instrumento racional a matematica.

1.4 Os Tempos de Escurid~o aEnquanto na Idade Media o pensamento matematico passava por um per odo de escurid~o intelectual, a matematica se desenvolvia nos centros de cultura do Mundo a Arabe, onde os textos matematicos gregos foram preservados e traduzidos. A matematica arabe se concentrava particularmente nas areas de algebra e trigonometria. Deste trabalho podemos destacar os trabalhos de Al-Khowarismi e de Bhaskara. V^m dos arabes e dos hindus o aperfeicoamento do sistema posicional decimal, ine cluindo a representac~o do numero zero. a

1.5 O RenascimentoA agitac~o artstica, intelectual e cultural durante a Renascenca (seculos XVI, XVII a e XVIII) atinge a loso a, a ci^ncia e a matematica. Nesta epoca, a obra de Are quimedes e traduzida para o latim. As atividades cient cas e matematicas s~o a estimuladas por problemas praticos, como a construc~o de canais, moinhos d'agua, a construc~o naval, cartogra a e navegac~es. O aprimoramento tecnologico e a curia o osidade cient ca caminhavam juntas. O interesse pela mec^nica teorica levou ao a desenvolvimento do calculo diferencial e integral como ferramenta para modelar e explicar os fen^menos f sicos. o Um grande progresso matematico e alcancado nesta epoca. Fermat e Descartes desenvolvem a geometria anal tica Newton e Leibnitz, o calculo diferencial e inte-

gral Fermat e Pascal iniciam a teoria da probabilidade Galileo e Newton aplicam a matematica para fundamentar a din^mica, resultando no Teoria da Gravidade de a Newton. Com apenas dezoito anos, Pascal direcionou seus interesses para o projeto e construc~o de uma maquina calculadora. Em poucos anos, por volta de cinquenta a destas maquinas haviam sido vendidas. Muitas das caracter sticas do mundo moderno t^m suas origens na efervesc^ncia e e deste per odo. A partir de ent~o a matematica estava rmemente estabelecida como a base de todo o desenvolvimento cient co.

1.6 Os Tempos ModernosNo nal do seculo XVIII e no in cio do seculo XIX, o per odo de entusiasmo criador dos dois seculos anteriores diminui gradualmente. Se antes a matematica se apoiava em inspirac~o e intuic~o, n~o se preocupando muito com o formalismo e o rigor, a a a agora, se procura bases rigorosas para apoiar o crescimento de pesquisas puras e aplicadas. O primeiro grande vulto deste per odo e Carl-Friedrich Gauss (1775-1855). Suas contribuic~es abrangem toda a matematica de epoca: algebra, aritmetica, analise, o geometria diferencial, geometria n~o-euclidiana, func~es anal ticas, mec^nica celeste, a o a etc. H. N. Abel (1802-1829) procura fundamente a teoria da converg^ncia de series e numericas e de series de func~es A. L. Cauchy (1789-1857) se ocupa de formalizar o a teoria dos limites e da integral de nida. Em 1833, Charles Babbage (1791-1871) concebeu uma maquina considerada por muitos como a antecessora dos modernos computadores, por trazer a ideia de \programa" armazenado, sendo o primeiro programa a ser escrito feito por uma de suas amigas, Lady Lovelace cujo primeiro nome serviu para designar uma linguagem de programac~o, Ada. Inicialmente ele construiu a maquina chamada \Di erence a Engine" 11]. Seu sucesso o fez conceber uma outra, bem mais complexa que denominou \Analytical Engine" e que n~o chegou a completar e que se tivesse sido a conclu da, realizaria todas as operac~es aritmeticas e armazenaria informac~es para o o utilizac~o posterior. Isto seria feito atraves de um complexo mecanismo de rodas, a engrenagens e alavancas. A maquina nunca foi conclu da devido ao corte de verbas. Babbage pode ser considerado, com sua invenc~o, um precursor das ideias a interdisciplinares. Com efeito, em sua epoca, dava-se enorme import^ncia ao que a se chamavam aut^matos e que iam desde bonecos que se mexiam ate complicados o relogios mec^nicos, tais como o da catedral de Estrasburgo, na Franca, fronteira com a

a Alemanha. Alem disto, Babbage costumava frequentar reuni~es femininas, onde o muitas mulheres se dedicavam ao trabalho com teares. Ora, os teares utilizavam tas perfuradas, a posic~o dos furos comandando o ponto a ser feito. Unindo as a duas ideias, aut^matos e teares nasceu a \Maquina Anal tica", ou em suas proprias o palavras :\The calculating part of the engine may be divided into two portions: 1st, the mill in which all operations are performed 2nd, the store in which all numbers are originally placed and to which the numbers computed by the engine are returned. (C.Babbage, 26 Dec. 1837 in Randel, pagina75 ?])". Foi com ele que nasceu a noc~o de CPU e memorias separados. a Na area de fundamentos matematicos, uma teoria logicamente satisfatoria dos numeros reais so veio a aparecer na segunda metade do seculo XIX, com os trabalhos de Dedekind (1831-1916), Weirstrass (1815-1897) e Georg Cantor (1845-1918). Estes matematicos procuraram mostrar como construir uma teoria satisfatoria dos numero reais 2 de conjuntos.

De nic~o 3.8.2 Chama-se produto cartesiano ou apenas produto dos n conaEste conjunto produto representa-se por uma das notac~es: o

juntos X1 X2 ::: Xn , pela ordem em que est~o escritos, ao conjunto de todas as a n ; uplas (x1 x2 ::: xn) tais que x1 2 X1 x2 2 X2 ::: xn 2 Xn .

X1 x X2 x ::: x Xn ou

n Y i=1

Xi

Os conjuntos X1 X2 ::: Xn dizem-se os fatores do produto cartesiano X1 X2 ::: Xn, sendo X1 o primeiro fator ate Xn o ne-simo fator.

Exerc cio 3.8.1 Dados os conjuntos: A = f1 2g e B = f3 4g. Obter: A B ,B A, A2 e A3.

3.9 Propriedades das Operac~es o3.9.1 Propriedade AssociativaQuaisquer que sejam os conjuntos X , Y e Z , tem-se que: X (Y Z ) = (X Y ) Z X \ (Y \ Z ) = (X Y ) \ Z

3.9.2 Propriedade ComutativaQuaisquer que sejam os conjuntos X e Y , tem-se que: X Y =Y X X \Y =Y \X

3.9.3 Propriedade DistributivaQuaisquer que sejam os conjuntos X , Y e Z , tem-se que: X \ (Y Z ) = (X \ Y ) (X \ Z ) X (Y \ Z ) = (X Y ) \ (X Z ) A gura 3.6 mostra a distributividade.

Figura 3.6: Distributividade

3.9.4 Propriedade Re exivaQualquer que seja o conjunto X , tem-se que:

X X=X X \X =X

3.9.5 Propriedade de FechamentoQuaisquer que sejam os conjuntos X e Y , ent~o a uni~o de X e Y , denotada por a a X Y e a intersec~o de X e Y denotada por X \ Y , ainda s~o conjuntos no universo. a a

3.9.6 Elemento neutro para a uni~o aO conjunto vazio e o elemento neutro para a uni~o de conjuntos e tal que para a todo conjunto X , se tem: X =X

3.9.7 Elemento neutro para a intersec~o aO conjunto universo U e o elemento neutro para a intersec~o de conjuntos, tal que a para todo conjunto X , tem-se: X \U =X

3.9.8 Elemento nulo para a intersec~o aSe tomarmos a intersec~o do conjunto vazio a teremos o proprio conjunto vazio. com qualquer outro conjunto X ,

X\ =

3.10 Cardinalidade de Conjuntos3.10.1 Os Numeros Naturaisos conjuntos dos numeros naturais e um conjunto bastante conhecido e utilizado por muitas pessoas no seu dia-a-dia. Uma de suas utilizac~es mais frequentes e o para contar elementos e objetos. Esta utilizac~o permite a de nic~o da noc~o de a a a similaridade ou equipot^ncia de dois conjuntos e tambem do conceito de \numero e cardinal" de um conjunto. Deste modo podemos introduzir os conceitos de conjuntos nitos e in nitos, que s~o de grande import^ncia na teoria dos aut^matos. a a o

Os Axiomas de Peano O conjunto N = f0 1 2 :::g dos numeros naturais (incluido o zero) pode ser geradoiniciando-se com um conjunto vazio

e a noc~o de \conjunto sucessor" de um a

conjunto. Um \conjunto sucessor" e denotado por A+ e de nido como sendo o conjunto A+ = A fAg. Seja o conjunto vazio e os seus conjuntos sucessores:+

( +)+ (( +)+)+ :::

que s~o: a

Se chamarmos de 0 o conjunto , ent~o + = 0+ = 1 1+ = 0 0+ = 2, e assim a por diante, obteremos o conjunto f0 1 2 :::g. podemos resumir dizendo que o conjunto dos numeros naturais pode ser obtido atraves da aplicac~o dos seguintes axiomas, conhecidos como Axiomas de Peano. a 1. 0 2 N (onde 0 = ) 2. Se n 2 N , ent~o n+ 2 N onde n+ = n fng a 3. Se um subconjuto S

f g f f gg f f g f f ggg:::

N possui as propriedades:

(a) 0 2 S , e (b) se n 2 S , ent~o n+ 2 S a ent~o S = N a

3.10.2 CardinalidadeNa sec~o anterior, nos preocupamos com a gerac~o dos numeros naturais. vejamos a a agora, como utilizar o conjunto dos numeros naturais para contar. Atraves desta propriedade podemos medir o \tamanho" de um conjunto e \comparar" os tamanhos de quaisquer dois conjuntos. A primeira quest~o que devemos examinar agora, diz respeito a como contar a algo, seja o numero de pessoas em uma sala, o numero de livros em um estante, ou o numero de elementos em um conjunto. O que devemos fazer, neste caso, e estabelecer uma correspond^ncia de um-para-um entre os objetos a serem contados e e o conjunto de naturais f1 2 3 ::: ng. Por esta correspond^ncia dizemos que o e numero de objetos e n. generalizando esta tecnica temos:

De nic~o 3.10.1 Dois conjuntos A e B s~o ditos equipotentes (ou equivalentes, ou a a

possuindo a mesma cardinalidade, ou ainda, similares), e denotados por A B, se e e somente se existir uma correspond^ncia de um-para-um entre os elementos e de A e os elementos de B .

Exemplo 3.10.1 Seja N = f0 1 2 :::g e N2 = f0 2 4 :::g

Mostre que N N2 . Soluc~o: a para cada elemento x de N , correspondera o elemento y = 2x de N2 . Assim, podemos estabelecer uma correspond^ncia de um-para-um entre N e N2 e portanto e N N2. Note tambem que N2 N .

Podemos agora utilizar o conjunto dos numeros naturais para contar os elementos de um conjunto, ou seja, determinar seu numero cardinal. Intuitivamente, um conjunto e nito se consiste de um numero espec co de elementos diferentes, isto e, se estabelecermos uma correspond^ncia de um-para-um entre os elementos do e conjunto e os elementos do conjunto dos numeros naturais, no qual o numero 0 corresponde ao conjunto vazio, o numero 1 corresponde ao primeiro elemento do conjunto, o numero 2 corresponde ao segundo elemento do conjunto, e assim por diante, ate o numero n, que corresponde ao ultimo elemento do conjunto. Dizemos ent~o que o conjunto tem n elementos e que seu numero cardinal e n. a

De nic~o 3.10.2 Dado um conjunto X , diz-se que X e nito se tem n elementos. aO numero n chama-se numero cardinal do conjunto X e escreve-se n(X ) = n.

Os conjuntos podem ser nitos e in nitos. Diz-se que um conjunto e in nito se ele for equivalente a um subconjunto proprio.

De nic~o 3.10.3 Qualquer conjunto cujo numero cardinal e um numero natural e a

um conjunto nito. Tambem, qualquer conjunto que n~o seja nito e chamado de a conjunto in nito. e chamado de enumeravel.

De nic~o 3.10.4 Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos numeros naturais a De nic~o 3.10.5 A cardinalidade de um conjunto enumeravel e denotada pelo a s mbolo @0 chamado aleph zero. Utilizamos a notac~o n(X ) para denotar a caradinalidade de um conjunto nito X .

De nic~o 3.10.6 Todo conjunto nito ou enumeravel e chamado de contavel. aO conjunto dos numeros reais, por exemplo, e in nito, porem, por ser compacto n~o pode se estabelecer uma correspond^ncia de um-paraum com o conjunto dos a e numeros naturais e, portanto, ele e n~o-enumeravel. a

De nic~o 3.10.7 Um conjunto que seja in nito e n~o enumeravel e chamado de a aincomensuravel. Cantor provou que o conjunto pot^ncia de um dado conjunto deve ser maior e (cardinalidade maior) do que este conjunto e a rmou a exist^ncia de cardinalidade e trans nita.

Exemplo 3.10.2 Exemplos de conjuntos nitos:conjunto dos numeros de dias da semana conjunto de vogais conjunto de numeros de telefones de uma cidade

Exemplo 3.10.3 Exemplos de conjuntos in nitos:conjunto dos numeros naturais conjunto de atomos no universo

3.11 Paradoxos na Teoria dos ConjuntosNesta sec~o s~o apresentados alguns paradoxos da Teoria dos Conjuntos. Maiores a a detalhes podem ser encontrados em 9] e 12].

3.11.1 Paradoxo de CantorO Paradoxo de Cantor diz que o conjunto de todos os conjuntos e seu proprio conjunto pot^ncia. Portanto, a cardinalidade do conjunto de todos os conjuntos deve e ser maior do que ele mesmo. Seja C o conjunto de todos os conjuntos. Portanto, cada subconjunto de C e tambem um membro de C . Assim, o conjunto pot^ncia de e C e subconjunto de C , isto e, 2C C Mas 2C C implica em #(2C #(C ) contudo, de acordo com o teorema de Cantor #(C ) < #(2C ) Assim, o conceito de conjunto de todos os conjuntos conduz a uma contradic~o. a

3.11.2 Paradoxo de RusselEste paradoxo e devido ao losofo e matematico brit^nico Bertrand Russell para a ajudar a explicar o paradoxo que ele descobriu na teoria dos conjuntos. Primeira considerac~o: a maioria dos conjuntos n~o s~o elementos deles mesmos, mas alguns a a a s~o. Por exemplo, o conjunto de todas as arvores n~o e uma arvore, nem o conjunto a a de todas as l nguas n~o e uma l ngua. Todavia, uma lista de todas as listas (a qual e a uma lista) ou o conjunto de todas as ideias abstratas, a qual e tambem e uma ideia abstrata. Supondo-se agora que exista um conjunto S , o qual e composto de todos os conjuntos que n~o s~o elementos de si mesmos. Se S n~o e um elemento de si a a a mesmo, ent~o ele pertence a este conjunto. Mas, se S e um conjunto, ent~o ele e um a a elemento de si mesmo e n~o pertence ao conjunto. Uma soluc~o para este problema a a torna necessario que qualquer conjunto de nido por um predicado tambem seja um sub-conjunto de um conjunto conhecido (a excec~o deste e o conjunto pot^ncia). a e Desde que o conjunto de \conjuntos, os quais n~o s~o elementos deles mesmos" a a n~o e conhecido, deve ser feito primeiro um subconjunto de algum outro conjunto a conhecido. Por exemplo, supondo-se U o conjunto dos conjuntos e A qualquer conjunto que pertence a U e n~o e elemento de si mesmo. Agora, S e de nido como: a

S = fA 2 U jA 2 Ag =A quest~o pode ser feita: S e um elemento de si mesmo? A resposta e n~o. Se a a S 2 S , (S pertence ao conjunto dos conjuntos os quais n~o s~o elementos de si a a mesmos), ele satisfaz sua propria propriedade de de nic~o e portanto S 2 S . a = Em outras palavras S pertence ou n~o a si mesmo? Se S n~o pertence a S , a a ent~o, pela de nic~o de S , S pertence a si mesmo. Alem disso, se S pertence a S , a a ent~o pela de nic~o de S , S n~o pertence a si mesmo. Em ambos os casos somos a a a conduzidos a uma contradic~o 9]. a Este paradoxo e semelhante ao Paradoxo do Barbeiro descrito na sub-sec~o a 3.11.3.

3.11.3 Paradoxo do BarbeiroSupondo-se que exista uma cidade onde um homem tenha uma barbearia. Este barbeiro deve barbear todos os homens e somente homens que n~o barbeiam a si a mesmos. Quem barbeia o barbeiro ? Este paradoxo e conhecido como o paradoxo do barbeiro. Pensando que os homens desta cidade pertencem a dois conjuntos: o conjunto dos homens que barbeiam a si mesmos e o conjunto dos homens que n~o a

barbeiam a si mesmos (n~o existe um terceiro conjunto!). Se o barbeiro pertence a ao primeiro conjunto (homens que se barbeiam), descrito pelas circunst^ncias, ele a n~o se barbeia. Portanto, ele pertence ao segundo conjunto, ent~o descrito pelas a a mesmas circunst^ncias, ele deve barbear a si mesmo. A pergunta e se sim ou n~o. a a A unica soluc~o e que tal situac~o descrita acima n~o pode existir. a a a

3.11.4 Paradoxo de Burali-FortiExiste um paradoxo conhecido como Paradoxo de Burali-Forti atribu do a Cesare Burali-Forti. O Paradoxo diz respeito ao conjunto de \todos" numeros ordinais. Este conjunto deve ter um numero ordinal o qual n~o esta no conjunto, isto e o a paradoxo existe desde que se diz conjunto de \todos" numeros ordinais. Segundo 12] intuitivamente, na teoria dos conjuntos cada conjunto ordenado tem um numero ordinal. Alem disso, o conjunto de todos os ordinais e ordenado, aonde este conjunto de todos ordinais tem um numero ordinal dito O. Mas o conjunto de todos os ordinais crescentes e incluindo qualquer ordinal dado e ordenado e portanto tem um numero ordinal, o qual excede o ordinal dado em 1. Consequentemente, o conjunto de todos ordinais incluindo O tem o numero ordinal O + 1, o qual e maior do que O. Portanto, O n~o e um numero ordinal de \todos" ordinais. a

3.11.5 Paradoxo de GodelOutro paradoxo mais moderno, seria o sobre Teorema da Incompleteza de Godel. Um sistema de axiomas e completo quando todo teorema sera verdade ou mentira. Se existir um sistema de axiomas consistentes (ou seja quando n~o existirem axiomas a que entrem em contradic~o com outros axiomas) existir~o sempre teoremas que se a a podera provar que s~o mentiras e teoremas que se podera provar que s~o verdades a a e outros que n~o se pode provar nada, nem que sejam verdades, nem que sejam a mentiras. Neste caso, o sistema e dito incompleto, no sentido de que existem coisas que n~o se pode provar, nem que sejam verdades ou mentiras. a O Teorema de Godel parte da premissa de que existem verdades e mentiras levando a conclus~o que existem teoremas verdadeiros, falsos e outros que n~o se a a sabe se s~o verdades ou mentiras. Ou seja, partindo-se de duas verdades chegaria-se a a um terceiro valor de verdade: n~o sabido. Este teorema pode ser interpretado a como uma comprovac~o da logica que utiliza conjuntos nebulosos (logica \fuzzy"). a

Cap tulo 4 Relac~es o4.1 Introduc~o aO conceito de uma relac~o e um conceito frequentemente utilizado, seja no nosso diaa a-dia, seja na matematica. Associado ao conceito de relac~o esta a ac~o de comparar a a objetos que estejam relacionados entre si. A capacidade de um computador de realizar operac~es diferentes baseado no resultado de comparac~es e, talvez, uma o o das caracter sticas mais utilizadas durante a execuc~o de um programa. Do mesmo a modo, podemos dizer que bases de dados s~o compostas por relac~es entre conjuntos a o e a manipulac~o da base para extrac~o de novas relac~es envolve diretamente a a a o manipulac~o das propriedades das relac~es. a o A palavra \relac~o" sugere muitas vezes exemplos familiares de relac~es, tais a o como, a relac~o de pai-para- lho, m~e-para- lho, irm~o-para-irm~, etc. Exemplos sia a a a milares tambem s~o frequentemente encontrados na aritmetica, onde temos relac~es a o como: \maior que", \menor que" ou \igual a". Tambem podemos dizer que existe uma relac~o entre a area de um c rculo e seu raio, ou entre a area de um quadrado e a seu lado. Estes exemplos sugerem relac~es entre dois objetos, no entanto, podemos o citar relac~es entre tr^s objetos, tais como a relac~o entre pai-m~e- lho, ou entre a o e a a area de um tri^ngulo, sua base e sua altura. Exemplos similares tambem existem a para relac~es entre quatro ou mais objetos. o Neste cap tulo procuramos formalizar o conceito de relac~o e apresentamos metodos a de representac~o, tais como matrizaes e grafos. As propriedades basicas s~o vistas a a e certas classes importantes de relac~es s~o introduzidas. o a

4.2 De nic~o de Relac~es a oPode-se de nir relac~es como subconjunto proprio do produto cartesiano. o

Xi i = 1 :::nonde n e o numero de conjuntos. A relac~o de nida no produto cartesiano: an Y i=1

Xi R

n Y i=1

Xi

Com esta de nic~o tem-se relac~es binaria, ternaria e n-aria. a o

De nic~o 4.2.1 : Relac~o n-aria: Dados os conjuntos X1 X2 ::: Xn, uma relac~o a a aem X1 x X2 ::: Xn e um subconjunto de X1 X2 ::: Xn .

Um caso especial de uma relac~o n-aria e a relac~o unaria em um conjunto X , a a a qual e apenas um subconjunto de X . Um elemento x 2 X satisfaz a relac~o se e a somente se x pertencer ao subconjunto 7].

4.3 Relac~es Binarias o4.3.1 De nic~es oNa vida, as pessoas podem estabelecer varias relac~es. Um exemplo de relac~o o a binaria e o que podemos chamar de conex~o matrimonial (casamento). Neste caso, a ha um par \ordenado" (marido, mulher) que satisfaz a tal relac~o matrimonial. O a ideal e que a relac~o entre seus elementos seja de um para um. O que as vezes a nem sempre ocorre ... Em outro exemplo, duas pessoas podem ter tambem relac~o a hierarquica (pai e lho). O analogo matematico considera as relac~es binarias para o distinguir a ordem de pares de objetos de outros pares de objetos e seus relacionamentos.

distinguir elementos que s~o pares ordenados iguais (x = y ), escolher amos o par a (2 2) que satisfaz esta relac~o. Mas, se o interesse fosse aqueles cujo relacionamento a e possuir um numero menor do que o outro (x < y), poder amos escolher os pares (1 2), (1 3) e (2 3).

Exemplo 4.3.1 Se temos os conjuntos X = f1 2g e Y = f2 3g, teremos que o produto cartesiano X x Y = f(1 2) (1 3) (2 2) (2 3)g. Se estamos interessados em

De nic~o 4.3.1 Dados dois conjuntos quaisquer X e Y , uma relac~o binaria entre a aX e Y e um subconjunto obtido do produto cartesiano X x y ! (x y) 2Observac~es: oUma relac~o binaria e um subconjunto e e aqui denotada pela letra grega (rho). a Simbolicamente:

Y destes conjuntos.

X X a express~o x y equivale a dizer (x y) 2 a o conjunto X e o conjunto de partida e o conjunto Y e o conjunto de chegada ou contradom nio o numero de relac~es binarias poss veis de X em Y e dado por o n(X ):n(Y ) . 2

Exemplo 4.3.2 Dados X = f1 2g e Y = f2 3 4g. A relac~o e dada pela desa cric~o x y ! x + y e mpar. Portanto, (1 2) 2 , (2 3) 2 e (1 4) 2 . a Exerc cio 4.3.1 Para cada uma das seguintes relac~es em N x N , quais s~o os o apares ordenados que pertencem a :

x y ! x = y + 1 (2 2)(2 3)(3 3)(3 2) x y ! x divide y (2 4)(2 5)(2 6) x y ! x + y e mpar (2 3) (3 4)(4 5)(5 6) x y ! x > y2 (1 2)(2 1)(5 2)(6 4)(4 3)A gura 4.1 mostra as quatro possibilidades de relacionamento entre os elementos dos conjuntos X e Y .

De nic~o 4.3.2 Seja uma relac~o binaria. O conjunto D( ) de todos os objetos a a x tais que para algum y, (x y) 2 e chamado de dom nio de , ou sejaD( ) = fxj9y((x y) 2 )g

4.3.2 Dom nio e Imagem de Relac~es o

Figura 4.1: Tipos de relac~es binarias o

de x chama-se dom nio da relac~o e o conjunto dos valores de y chama-se de imagem a da relac~o. a Sejam X e Y quaisquer dois conjuntos. Um subconjunto do produto cartesiano X Y de ne uma relac~o . Para qualquer relac~o , temos que D( ) X e a a R( ) Y e a relac~o e dita uma relac~o \de X para Y". Se Y = X , ent~o e dita a a a uma relac~o \de X para X" ou uma relac~m \em X". Assim, qualquer relac~o em a a a X e um subconjunto de X X e e dita ser uma Relac~o Interna. a Uma operac~o foi de nida como um conjunto de pares ordenados. Deste modo, a e poss vel aplicar as operac~es usuais sobre conjuntos tambem sobre as relac~es. o o O conjunto resultante tambem sera composto por pares ordenados e de nira uma relac~o. a Sejam R e S duas relac~es, ent~o R \ S de ne uma relac~o tal que: o a a x(R \ S )y = xRy ^ xSy Do mesmo modo, R S de ne uma relac~o tal que: a x(R S )y = xRy _ xSy e tambem x(R ; S )y = xRy ^ x 6 S = (x y) 2 R ^ (x y) 62 S e nalmente x( R)y = x 6 Ry = (x y) 62 R:

De nic~o 4.3.3 De maneira similar, o conjunto R( ) de todos os objetos y tais a que para algum x, (x y ) 2 e chamado de imagem de , ou seja R( ) = fyj9x((x y) 2 )g Em suma, dada uma relac~o = f(x y) 2 X Y jx yg, o conjunto dos valores a

4.4 Propriedades das Relac~es Binarias oUma relac~o em um conjunto X tem certas propriedades. a

4.4.1 Relac~o de Igualdade aA relac~o de igualdade num conjunto X , implica que o par (x y) pertence a relac~o a a se x = y. Esta relac~o de igualdade tem tr^s propriedades: a e 1. para qualquer x 2 X , x = x, ou (x x) 2 2. para qualquer x, y 2 X , se x = y portanto, y = x, ou (x y) 2 ! (y x) 2 3. para qualquer x y z 2 X , se x = y e y = z ou (x y)] 2 e (y z) 2 ! (x z) 2 . Estas tr^s propriedades fazem com que a relac~o de igualdade seja re exiva, e a simetrica e transitiva.

4.4.2 Relac~o Re exiva a

De nic~o 4.4.1 Uma relac~o binaria em um conjunto X e re exiva se, para todo a a x 2 X , x x, ou seja (8x)(x 2 X ! (x x) 2 )A relac~o e re exiva no conjunto dos numeros reais uma vez que, para todo a x,temos que x x. Do mesmo modo, o relac~o de inclus~o \contido ou igual" e a a re exiva na fam lia de todos os subconjuntos de um conjunto Universo. A relac~o a de igualdade de conjuntos tambem e re exiva. Por outro lado, a relac~o < n~o a a e re exiva no conjunto dos numeros reais, assim como a relac~o dos subconjuntos a proprios na fam lia dos subconjuntos de um conjunto Universo.

4.4.3 Relac~o Simetrica ay em X :

De nic~o 4.4.2 : Uma relac~o em um conjunto X e simetrica se, para todo x e a a(x y) 2 ! (y x) 2 As relac~es e < n~o s~o simetricas no conjunto dos numeros reais, enquanto a o a a relac~o de igualdade e. A relac~o de ser irm~o n~o e simetrica no conjunto de todas a a a a as pessoas, mas e simetrica no conjunto dos homens.

4.4.4 Relac~o Transitiva ay, e z em X :

De nic~o 4.4.3 : Uma relac~o em um conjunto X e transitiva se, para todo x, a a(x y) 2 ^ (y z) 2 ! (x z) 2 As relac~es , < e = s~o transitivas no conjunto dos numeros reais. As relac~es o a o , e de igualdade s~o tambem transitivas na fam lia dos subconjuntos de um a conjunto Universo. Entretanto a relac~o \ser m~e" n~o e transitiva. a a a

De nic~o 4.4.4 Uma relac~o em um conjunto X e anti-simetrica se, para todo a ax e y em X :(x y) 2 ^ (y x) 2 ! x = y Repare que e poss vel possuir uma relac~o que seja ao mesmo tempo simetrica e a anti-simetrica. Este e o caso onde cada elemento esta relacionado consigo mesmo e n~o esta relcionado com nenhum outro elemento. a Vejamos agora algumas relac~es conhecidas e suas propriedades: o Seja < o conjunto dos numeros reais. As relac~es > e < em < s~o transitivas. A o a relac~o de igualdade = em < e re exiva, simetrica e transitiva. a Seja X o conjunto de todos as disciplinas oferecidas em uma universidade, e para x 2 X e y 2 X , x y se x e um pre-requisito para y. Esta relac~o e transitiva. a Seja X o conjunto de todos os homens brasileiros e seja x y a relac~o x e irm~o a a de y. Esta relac~o e simetrica. a Seja X o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto Universo. A relac~o a de subconjunto em X e re exiva, anti-simetrica e transitiva. Ja a relac~o subcona junto proprio e apenas anti-simetrica e transitiva. Classes importantes de relac~es que possuam uma ou mais destas propriedades o ser~o vistas mais adiante neste cap tulo. a

4.4.5 Relac~o Anti-simetrica a

4.5 Matrizes e Grafos Representando Relac~es oUma relac~o de um conjunto nito X para um conjunto nito Y pode ser reprea sentada atraves de uma matriz da relac~o . a Sejam X = fx1 x2 ::: xmg Y = fy1 y2 ::: yng, e uma relac~o de X em Y . A a matriz da relac~o pode ser obtida da seguinte maneira: a

1 se xi yj 0 se xi 6 yj onde rij e o elemento da i-esima linha e j-esima coluna. Se X tem m elementos e Y tem n elementos, ent~o a matriz da relac~o e uma matriz m n. a a Considere como exemplo a relac~o x y de X em Y com m = 3 e n = 2: a = f(x1 y1) (x2 y1) (x3 y2) (x2 y2)g 1 07 (4.1) 1 17 5 0 1 A partir de agora e ao longo desta subsec~o, assumiremos que as relac~es s~o a o a de nidas em um conjunto X . Observando a matriz da relac~o podemos perceber a algumas das propriedades de uma relac~o em um conjunto. Se a relac~o e re exiva, a a ent~o toda a diagonal da matriz deve ser 1. Se a relac~o e simetrica, ent~o a matriz a a a da relac~o tambem e simetrica. Se a relac~o for anti-simetrica, ent~o a matriz e tal a a a que se rij = 1, ent~o rji = 0 para todo i 6= j . a Uma relac~o tambem pode ser representada gra camente atraves do desenho de a seu \ grafo". Seja uma relac~o em um conjunto X = fx1 ::: xmg. os elementos de a X s~o representados por pontos ou c rculos chamados \nos" ou \vertices". Os nos a correspondentes a xi e xj s~o identi cados como xi e xj respectivamente. Se xi xj , a isto e, se (xi xj ) 2 , ent~o conecta-se os nos xi e xj atraves de um arco e coloca-se a uma seta no arco na direc~o de xi para xj . Quando todos os nos correspondentes a aos pares ordenados da relac~o estiverem conectados atraves de arcos orientados, a tem-se ent~o um grafo da relac~o . a a Atraves do grafo de uma relac~o e poss vel observar algumas das suas propriedaa des. Se uma relac~o for re exiva, ent~o deve existir um arco em ciclo, ou um \loop" a a para cada no. Se uma rela~o for simetrica, se existir um arco orientado conectando a o no xi ao no xj , ent~o devera haver um outro arco orientado do no xj para o no a xi. Para relac~es anti-simetricas, nenhum destes arcos-de-retorno dever~o existir. o a Se uma relac~o for transitiva, a visualizac~o desta propriedade atraves de grafos n~o a a a e t~o simples, de qualquer modo, os grafos da gura 4.3 ilustram algumas relac~es a o transitivas. A matriz da relac~o e: a2 6 =6 4 3

8 < rij = :

Figura 4.2: Grafos de diferentes tipos de relac~es binarias o

Figura 4.3: Grafos de relac~es transitivas o

4.6 Partic~o e Cobertura de um Conjunto aDe nic~o 4.6.1 Seja S um dado conjuto e A = fA1 A2 ::: Amg onde cada Ai, ai = 1 ::: m e um subconjunto de S em i=1

Ai = S

Ent~o, o conjunto A e chamado de \cobertura" de S e os conjuntos A1 A2 ::: Am a \cobrem" S . Se alem disso, os elementos de A, que s~o subconjuntos de S forem a mutuamente disjuntos,ou seja m \ Ai = i=1 .

Figura 4.4: Grafos de relac~es simetricas e anti-simetricas o

Figura 4.5: Grafos de relac~es binarias oEnt~o A e chamado de \partic~o" de S e os conjuntos A1 A2 ::: Am s~o chaa a a mados de \blocos" da partic~o. a

Exemplo 4.6.1 Seja S = fa b cg e consideremos os seguintes subconjuntos de S .A = ffa bg fb cg B = ffag fa cgg C = ffag fb cgg D = ffa b cgg E = ffag fbg fcgg F = ffag fa bg fa cgg S.os conjuntos A e F s~o coberturas de S enquanto que C ,D e E s~o partic~es de a a o

4.7 Relac~o de Equival^ncia a eDe nic~o 4.7.1 Uma relac~o em um conjunto X e uma relac~o de equival^ncia a a a ese: 1. 2. 3. for re exivo, isto e, para cada x 2 X , (x x) 2 for transitivo, isto e, (x y) 2 e (y z) 2 ! (x z) 2 for simetrico, isto e, (x y) 2 ! (y x) 2

Uma relac~o de equival^ncia e generalizac~o da relac~o de igualdade 7]. Para a e a a cada elemento em um conjunto:

x=x x = y e y = z implica que x = z x = y implica em y = xS~o exemplos de relac~es de equival^ncia: a o e 1. A igualdade de numeros em um conjunto de numeros reais. 2. A igualdade de subconjuntos em um conjunto Universo. 3. A similaridade de tri^ngulos em um conjunto de tri^ngulos. a a 4. A relac~o entre linhas que s~o paralelas em um conjunto de linhas de um plano. a a 5. A relac~o de habitantes da mesma cidade no conjunto das pessoas que moram a em Santa Catarina. 6. A relac~o de proposic~es que s~o equivalentes em um conjunto de proposic~es. a o a o

4.7.1 Classe de Equival^ncia eUma relac~o de equival^ncia num conjunto divide-o em partic~es, colocando os elea e o mentos que s~o relacionados a cada um dos outros numa mesma classe, denominada a de classe de equival^ncia. Estas classes de equival^ncia podem ser tratadas como e e entidades.equival^ncia. e

Exemplo 4.7.1 A gura 4.6 mostra a partic~o do conjunto N em duas classes de a

Figura 4.6: Partic~o de um conjunto em classes de equival^ncia a e

4.7.2 Exemplos

Exemplo 4.7.2 Dois numeros inteiros s~o ditos equivalentes se o resto da divis~o a a

do numero escolhido e o mesmo. Por exemplo, 10 dividido por 9 da resto 1, isto e equivalente a 19 dividido por 9. Assim 10 e equivalente a 19, 28, 37, etc... por ter resto 1 quando divididos por 9.

Exemplo 4.7.3 Ser par ou mpar. Todos os numeros pares est~o em equival^ncia a e Exerc cio 4.7.1 Dado o conjunto X = f1 2 3 4g e = f(1 1) (1 4) (4 1) (4 4) (2 2) (2 3) (3 2) (3 3)g.

ao serem divididos por 2 darem resto 0. Assim como, todos os numeros mpares est~o em equival^ncia ao serem divididos por 2 darem resto 1. a e

Escreva a matriz de , desenhe seu grafo e mostre que esta e uma relac~o de equia val^ncia. e

Exerc cio 4.7.2 Seja X = f1 2 :::7g e = f(x ; y) j x ; y e divis vel por 3g.Mostre que e uma relac~o de equival^ncia e desenhe o grafo de . a e

Exerc cio 4.7.3 Seja Z o conjunto dos inteiros e seja a relac~o chamada \modulo acongruente 3" de nida por = f(x y)jx 2 Z ^ y 2 Z ^ (x ; y) e divis vel por 3g. Determine as classes de equival^ncia geradas pelos elementos de Z . e

4.8 Relac~o de Compatibilidade aDe nic~o 4.8.1 Uma relac~o em X e chamada uma \relac~o de compatibilidade" a a ase ela e re exiva e simetrica.

Exemplo 4.8.1 Seja X = fball, bed, dog, egg, letg e seja a relac~o dada por a = f(x y)jx y 2 X ^ x y se x e y possuem alguma letra em comum g.

Ent~o e uma relac~o de compatibilidade e x e y s~o chamados compat veis se a a a x y.

Embora uma relac~o de equival^ncia em um conjunto de na uma partic~o de a e a um conjunto em classes de equival^ncia, uma relac~o de compatibilidade n~o necese a a sariamente de ne uma partic~o. Entretanto ela de nie uma cobertura do conjunto. a

4.9 Relac~o de Ordem aA relac~o de ordem e uma generalizac~o do conceito de menor ou igual ( ) ou de a a maior ou igual ( ). Uma relac~o de ordem e re exiva, antisimetrica e transitiva. A a relac~o de ordem e interna e so existe se comparar elementos do mesmo conjunto. a

4.9.1 Relac~o de Ordem Total aSe todos os elementos podem ser comparaveis esta relac~o e de ordem total. a

De nic~o 4.9.1 Uma relac~o de ordem num conjunto n~o vazio A tal que todos a a a

os elementos de A s~o comparaveis dois a dois pela chama-se relac~o de ordem a a total em A. Portanto, uma relac~o de ordem total em A e uma ordem que a satisfaz a condic~o: a (8x)(8y)(x y 2 A e x y ou y x)

Exemplo 4.9.1 A ordem natural \x y" no conjunto R dos numeros reais e uma ordem total em