matem´atica 12.o / ensino m´edio · 2020. 2. 1. · a matem´atica 12.o / ensino m´edio...
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Matemática 12.o / Ensino Médio
Ficha+Aulas de Trigonometria
Versão de 1 de Fevereiro de 2020.Verifique se existe versão com data mais recente aqui.
A Ficha+Aulas de Trigonometria inclui 11 aulas e 73 exerćıcios em v́ıdeo.Todos os direitos de autor estão reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva([email protected], www.academiaaberta.pt e www.facebook.com/aaberta). A fichatambém está dispońıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conteúdos intera-tivos e fórum de tira dúvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguintesequência:
V́ıdeo da aula → Resolver os exerćıcios → Confirmar resultados nos v́ıdeos
Para visualizar a resolução dum exerćıcio deve clicar no ı́cone junto ao mesmo.Os v́ıdeos associados a esta ficha de trabalho têm acesso gratuito e, do
ponto de vista prático, pretendem ser uma introdução ao tema abordado. Soude opinião que a melhor preparação para o Exame Nacional de Matemática A do 12.o anoe para o 12.o ano pode ser proporcionada pelo livro
R.C.Paiva. Preparação h́ıbrida para o exame nacional de matemática 2020, Edição deAutor, 2020. ISBN 10: 98-920-6010-5 Depósito legal: M. 398220/16.
e/ou pela
Plataforma de preparação para o Exame Nacional de Matemática A 2020.
O livro/Plataforma acrescentam aos recursos existentes em www.academiaaberta.pt 1800itens e exerćıcios resolvidos/propostos, 320 v́ıdeos de apoio, 6 exames modelo, testes deavaliação online, entre outros conteúdos.Pode ver mais pormenores e adquirir o livro ou uma licença de acesso à Plataforma atravésdos links em cima e aceder em:
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• bit.ly/plataformamat2020 a um v́ıdeo de apresentação da Plataforma (menos de 3minutos).
1
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AULA 1: Razões trigonométricas
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em .
1.1. Determine, com aproximação às décimas, a área do quadrilátero [ABCD].
1
2
3
−1
1 2 3 4 5 6 7 8−1 A B
CD
28◦
29◦
21.3
cm
1.2. Determine, com base nas indicações da figura, a altura da do poste de eletrici-dade arredondada às centésimas.
1
2
3
4
5
6
7
−1−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16−1A B C
D
b 43◦
22.5◦ b b
b
21.3 m
2
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1.3. Determine, com arredondamento às centésimas, a área a sombreado na figura,limitada por uma circunferência e por um poĺıgono regular.
1
2
3
1 2−1−2
b
6 cm
AULA 2: Ângulos de referência
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2.1. Determine o valor exato do peŕımetro do seguinte triângulo:
1
2
3
4
−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171 A
B
C30◦
7 cm
10 cm
2.2. Simplifique cada uma das seguintes expressões:
(a) sen45◦ cos 30◦ −√2 tg60◦ (b)
tg45◦ + 2 sen30◦
sen60◦ − 4 cos 60◦ (c) 6 tg230◦ − sen30
◦
cos 30◦
3
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AULA 3: Ângulo e arco generalizados
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3.1. Represente num referencial os ângulos de amplitudes 75◦, 200◦, −240◦ e 1256◦,indique o seu quadrante e a expressão geral dos ângulos com o mesmos lado origeme lado extremidade que cada um deles.
AULA 4: O Radiano
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4.1. Converta em radianos 210◦, 195◦ e 96◦35′.
4
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4.2. Converta em graus10
3π rad, −7
5π rad e 5 rad.
4.3. Determine o comprimento do arco s, a amplitude em radianos de θ e o raio r dacircunferência:
(a)
1
2
−1
−2
1 2−1−23100◦
5 cm
s
(b)
1
2
−1
−2
1 2−1−23
θ
3 cm
6 cm
(c)
1
2
−1
−2
1 2−1−23
1.2 rad
8 cm
r
AULA 5: Cı́rculo trigonométrico
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5.1. Na figura seguinte estão representados o ćırculo trigonométrico e os ângulosmúltiplos de 30◦ e de 45◦. Determine a amplitude dos ângulos em graus e radianose os valores exatos dos seus senos, co-senos e tangentes. Confirme os valores obtidosna calculadora.
5
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1
−1
1−1 x
y
0 1
5.2. Calcule o valor exato de cada uma das expressões:
(a) senπ + sen0 + cosπ − sen(
3
2π
)
− 3 cos 32π;
(b) sen
(
19
3π
)
+ cos (−3π)− tg(
13
4π
)
+ cos
(
−136π
)
;
(c) tg
(
17
4π
)
+ cos (6π)− sen(
−72π
)
+ cos
(
−436π
)
.
5.3. Qual o quadrante em que:
(a) o seno é positivo e crescente;
(b) o seno é negativo e o co-seno positivo;
(c) a tangente é negativa e o co-seno é crescente;
(d) o seno é decrescente e o co-seno crescente.
5.4. Determine, recorrendo a intervalos de números reais, os valores de k para os quaisas seguintes condições são posśıveis:
(a) senx =1− 3k
2∧ x ∈ ]π, 2π[ (b) cos x = k2 − 2k + 1 ∧ x ∈ 1.◦Q
(c) tgx = 4− k2 ∧ x ∈]
π2, π
[
.
5.5. Determine o contradomı́nio de cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = 2 + 3 sen(x
2
)
; (b) f(x) = 1− 2 cos2 x;
(c) f(x) = 1 + tg2x; (d) f(x) =1− 3 cos2 x
2;
(e) f(x) =2− sen (x2)
3; (f) f (x) =
8
3 + 2 senx.
6
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AULA 6: Redução ao 1.◦ quadrante
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6.1. Exprima nas razões trigonométricas do ângulo de amplitude α cada uma das se-guintes expressões:
(a) sen (3π − α)− cos (7π + α)− sen(π
2− α
)
;
(b) sen
(
3
2π − α
)
+ 2 cos
(
5
2π − α
)
+ tg (15π − α);
(c) tg
(
−52π +
α
2
)
× cos(
−72π +
α
2
)
.
6.2. Calcule o valor exato de cada uma das seguintes expressões recorrendo à redução aoprimeiro quadrante:
(a) 4 sen
(
2
3π
)
− 2 cos(
11
4π
)
− 3 tg(
13
4π
)
;
(b)10 sen
(
11
6π)
+ 6 tg(
9
4π)
1− 2 cos(
−23π) .
7
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AULA 7: Fórmulas trigonométricas
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7.1. Sabendo que cosα =1
3e que α ∈]π, 2π[ determine o valor exato de senα−2 tgα.
7.2. Sabendo que tg (π − α) = 5 e que α ∈]0, π[ determine o valor exato de
sen(
−α− π2
)
+ cos (π + α)− tg (5π − α) .
7.3. Sabendo que tg(β − π) = −12e que β ∈ ]0, π[ calcule o valor exato de
5sen(
−π2− β
)
+ 2 cos(
7π2− β
)
2tg (33π − β) .
7.4. Mostre que, sempre que as expressões têm sentido, se tem:
(a) ( senx− cos x)2 + 4 senx cosx− 1 = 2 tgxcos2x;
(b)( senx− cos x)2 − 1
2 senx= − cosx;
(c)1
1− senx −1
1 + senx=
2 tgx
cos x.
8
http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3019http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3025
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AULA 8: Funções trigonométricas
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8.1. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função real de variávelreal definida por f(x) = a+ b sen(2x) para a, b ∈ R. Determine f(x).
1
2
3
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5
1
2
3
−1
π2
3
4π π 3π
2−π−3π
2−π
2x
y
b b
b
1
2
5
2+
b
|
f
9
http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3026http://academiaaberta.pt/mod/book/view.php?id=3781&chapterid=3037
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AULA 9: Equações trigonométricas
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9.1. Resolva, cada uma das seguintes equações trigonométricas e indique, para as trêsprimeiras, as soluções que pertencem ao intervalo [−π, π].
(a) 2 senx = −√3 (b) −
√2− 2 sen(3x) = 0
(c) 3 tgx = −3√3 (d) cosx+
√3
2= 0
(e) 2 cos(x
2
)
+√3 = 0 (f) 1− 2 sen2
(
θ − π3
)
= 0
9.2. Resolva no sistema circular cada uma das seguintes equações:
(a) ( senx+ 2)(
tgx+√3)
= 0 (b) 2 cos(
2x− π3
)
+√3 = 0
(c) 2cos2x+√3 cosx = 0 (d) 2cos2x+ 2 = −5 cosx
(e) senx = cos x (f) sen(2x) = − cos(
π5
)
(g) cos (2x) + 3 senx = 2 (h)√3 cosx− senx = 1
(i) senx+ cosx = 1 (j) 12sen(2x) = − senx
(l) 1 + cos t = cos t2
9.3. Uma função f é periódica de peŕıodo P se f(x + P ) = f(x), ∀x ∈ Df . Aomenor valor da constante P que verifica esta condição chamamos peŕıodo positivomı́nimo de f .
10
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Tendo esta definição em consideração, determine o peŕıodo positivo mı́nimo dafunção definida por f(x) = 4 + 2 sen(3x− 1).
AULA 10: Limite notável
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10.1. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a) limx→0
sen(3x)
x(b) lim
x→0
4x
sen(6x)(c) lim
x→0
tg(3x)
x
(d) limx→π
senx
π − x (e) limx→+∞(x
2sen
π
x
)
(f) limx→0
senx
ex − 1(g) lim
x→π3
+
cos2(2x)
cosx− 12
(h) limx→0
sen(3x)
e5x − 1 (i) limx→π+3
senx
10.2. Determine o valor real de k de modo que a função definida por
f (x) =
e2x + k se x ≤ 0sen(2x)
xse x > 0
seja cont́ınua em x = 0.
11
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AULA 11: Derivadas trigonométricas
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11.1. Calcule as derivadas de cada uma das seguintes funções, definidas pela sua expressãoalgébrica:
(a) f(x) = sen (5x+ 3) (b) f(x) = x cos(
2x2 − 4x)
(c) f(x) = sen2 (2− 3x) (d) f(x) = senx× tg(
3x3 + x)
(e) f(x) =tg (3x2)
x2 − x (f) f(x) = 4 +8− 4 senx
cosx
11.2. Estude a monotonia e a existência de extremos relativos da função definida em[0, 2π] por
f(x) =senx
2 + cos x.
12
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11.3. Certa fábrica pretende produzir mosaicos com a forma de trapézios retângulos,como mostra a figura.
1
1 2 3−1
bA 1 cm bB
b
C
2 cm
b
Db
E
h
θ
Considere que AB = 1 dm e BC = 2 dm e que θ ∈]
0, π2
]
designa a amplitude (emradianos) do ângulo ∡BCD:
(a) Exprima a altura h do trapézio e o comprimento da base maior em função deθ.
(b) Mostre que a área A(θ) do trapézio é dada, em dm2, por
A (θ) = 2senθ + sen (2θ) .
(c) Determine o valor de θ para o qual o mosaico tem área máxima e calcule essaárea.
(d) Determine A(
π2
)
e interprete geometricamente o resultado obtido, caracteri-zando o quadrilátero que se obtém para θ = π
2.
AULA EXTRA: Osciladores harmónicos
Definição – Oscilador armónico
Oscilador harmónico é um sistema constitúıdo por um ponto que se desloca numa retanumérica em determinado intervalo de tempo I, de tal forma que a respetiva abcissa,como função de t ∈ I, seja dada por uma expressão da forma x(t) = A cos(ωt + ϕ),onde A > 0, ω > 0 e φ ∈ [0, 2π[. Estas constantes designam-se respetivamente poramplitude, pulsação e fase. A função x é periódica de peŕıodo T = 2π
ω. Designa-se
f = 1Tpor frequência do oscilador harmónico.
Lei de Hooke
Dado um ponto material P de massa m colocado na extremidade de uma mola cujaoutra extremidade se encontra fixa, que tomando por origem da reta numérica em quese desloca o respetivo ponto de equiĺıbrio, a abcissa x(t) da posição de P no instantesatisfaz a equação mx′′(t) = −αx(t) (α > 0). O termo −αx(t) é a força exercidapela mola sobre P (≪lei de Hooke≫: F = −kx). Esta igualdade designa o produto damassa pela aceleração e é um caso particular da ≪segunda Lei de Newton≫: F = ma.
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Proposição
Dado α > 0, as funções definidas por uma expressão da forma x(t) = A cos (√αt+ b),
onde A e b são constantes reais, satisfazem a equação diferencial x′′ = −αx, em queα = k
m> 0, e todas as soluções desta equação são dessa forma. Um sistema constitúıdo
por uma mola e por um ponto material colocado na respetiva extremidade constituium oscilador harmónico.
Exerćıcios: Exerćıcios de escolha múltipla e de desenvolvimento com resolução deste temano livro Preparação h́ıbrida para o Exame nacional de Matemática e na Plataformade preparação para o Exame Nacional de Matemática 12. Pode ver mais pormenorese adquirir o livro ou uma licença de acesso à Plataforma clicando nos links.
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