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- Departamento de Matematica Aplicada (GMA)

MATEMATICA BASICA

Notas de aula - versao 3

2009-1

Marlene Dieguez Fernandez

Observacoes gerais

• A disciplina Matematica Basica e oferecida no mesmo perıodo da disciplina Pre-Calculo. Os conteudos dessasduas disciplinas sao complementares e os topicos de Pre-Calculo serao bastante usados em Matematica Basica.

• As listas de exercıcios para os alunos praticarem o conteudo de cada topico serao distribuıdas separadamente.

UFF/GMA - Matematica Basica - Parte I - Logica e conjuntos Notas de aula - Marlene - 2009-1 2

Sumario

I Nocoes de logica e conjuntos 2

1 Conjuntos 31.1 Conceito primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Formas de descrever conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Atribuicao de letra ou de nome a conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 A relacao entre elemento e conjunto: o sımbolo ′′ ∈ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Conjuntos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1 Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.2 Conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3 Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.5 Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Visualizacao: Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Primeiras nocoes de logica 62.1 Afirmacao ou sentenca logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 O operador logico ′′nao′′ e os conectivos logicos ′′e′′ ′′ou′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 O operador ′′nao′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 O conectivo ′′e′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 O conectivo ′′ou′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.4 Negacoes de ′′e′′ e de ′′ou′′: Leis de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 O quantificador universal: ′′ ∀ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 O quantificador existencial: ′′ ∃ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 As negacoes de ′′∃′′ e de ′′∀′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Os conectivos logicos =⇒ e ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 O conectivo =⇒ (implicacao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Quando p =⇒ q e falso? ou seja, quando p 6=⇒ q e verdadeiro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 O conectivo ⇐= (a recıproca de =⇒) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivalencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Definicao: o que e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos 163.1 Igualdade, inclusao e subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Inclusao e subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 A negacao de ′′ ⊂ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Propriedades da inclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Operacoes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Uniao e intersecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Diferenca e complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.4 Propriedades das operacoes e do complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Nocoes da estrutura de teorias matematicas: axioma, postulado, hipotese, tese,definicao, propriedade, Teorema, ... 21

5 Tecnicas de Demonstracao 225.1 Teste de todos casos admissıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Metodo dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Reducao ao absurdo e contradicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Metodo indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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Parte INocoes de logica e conjuntos

Introducao

Porque estudar nocoes de logica?

Se um problema foi resolvido, e claro que a logica foi usada para resolve-lo, mas sem o conhecimento de variasinformacoes sobre o problema, de nada adiantaria simplesmente usar a logica, nao poderıamos ter encontrado asolucao. Na verdade, a logica funciona fazendo a ligacao ou conexao entre varias informacoes para poder concluirnovas informacoes.

O que pretendemos nesse inıcio de curso e formalizar alguns procedimentos logicos ou itens da logica, de formaque se criarmos o habito de aplicar esses procedimentos logicos, com certeza nao chegaremos a conclusoes erradas,tao comuns. Alem disso, tendo o claro conhecimento de quais sao esses procedimentos logicos, sempre poderemosrecorrer a eles para encontrar a solucao ou as possıveis solucoes ou concluir que um problema nao tem solucao,bem como compreender ou demonstrar teoremas.

A logica e os conjuntos.

O uso dos procedimentos logicos podem ser exemplificados em qualquer area de conhecimento humano, mas,por simplicidade e facilidade, a maioria dos nossos exemplos serao com conjuntos. Para isso, primeiramente vamosrever conceitos da linguagem dos conjuntos. A seguir veremos as primeiras nocoes de logica. Aplicaremos essasnocoes de logica a novos conceitos de conjuntos, voltaremos com mais nocoes de logica que serao aplicados aosconjuntos. Isto e, formalizacoes conceituais de itens da logica e de conjuntos serao vistos paralelamente.

1 Conjuntos

1.1 Conceito primitivo

Um conjunto e uma colecao de objetos ou de elementos.

Observe que nao precisamos especificar a natureza desses elementos, juntando alguns elementos, com similari-dade ou nao entre eles, ja conseguimos formar um conjunto.

Exemplos

1. os tres elementos carbono, hidrogeneo e oxigeneo formam um conjunto

2. gato, cachorro, cavalo e boi formam um conjunto

3. uva, maca, gato e cachorro formam um conjunto

4. os animais mamıferos formam um conjunto

5. os numeros inteiros entre 4 e 400 formam um conjunto

6. os numeros inteiros entre 1 e 10 junto com as 10 primeiras letras do alfabeto formam um conjunto

7. os numeros inteiros maiores do que −4 formam um conjunto

1.2 Formas de descrever conjuntos

Um conjunto pode ser descrito por:

• Listagem dos elementos entre chaves

Exemplos

1. { uva, maca, gato, cachorro }2. {−4,−2, 0, 2, 4}3. {−100,−98,−96,−94, · · · , 94, 96, 98, 100}


4. {20, 40, 60, · · · }

Observacao sobre o sımbolo ′′ · · · ′′. Quando sao muitos os elementos a serem listados, podemos usar o sımbolo′′ · · · ′′ no lugar de toda a listagem, desde que fique claro quais sao os elementos que foram substituıdos por′′ · · · ′′.

• Indicacao da propriedade de seus elementos.

E comum usar essa forma de descricao quando o conjunto tem muitos elementos.

As propriedades podem estar ou nao entre chaves, isto e,

– podemos descrever em palavras: conjunto dos elementos que possuem a propriedade P– podemos descrever em sımbolos: {x ; x possui a propriedade P }

No segundo caso ′′ ; ′′ tem o significado de ′′tal que′′. Tambem e comum usar ′′ | ′′ significando ′′tal que′′.

Exemplos

1. Conjunto (ou especie) de animais mamıferos.

2. {X tal que X e animal mamıfero}.3. {x; x e numero inteiro par situado entre −100 e 100}.4. {p | p = 20n e n = 1, 2, 3, 4, · · · }

Atencao: em matematica ou em logica temos que ser bem claros ou precisos, nao pode haver duvida sobre apropriedade que descreve um conjunto.

Exemplo: conjunto de plantas bonitas nao faz sentido, beleza nao e propriedade porque e subjetiva.

1.3 Atribuicao de letra ou de nome a conjunto

Por simplicidade, quando dentro de uma ou mais frases, precisamos nos referir a um mesmo conjunto varias vezes,e aconselhavel atribuirmos uma letra a esse conjunto, o usual e letra maiuscula. Neste caso dizemos que a letra eigual ao conjunto com significado de nome ou letra representar o conjunto.

Obs. pode ser uma palavra ou uma unica letra que representa o conjunto, o que acharmos conveniente.

1. A representa o conjunto dos ımpares entre -100 e 100

A = conjunto dos ımpares entre -100 e 100

A = {−99,−97,−95,−93, · · · , 93, 95, 97, 99}2. r e o conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano

r = conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano

Aqui preferi usar a letra minuscula r, em geometria essa e a notacao usual para retas. Observe que o conjuntosao os pontos de uma reta.

1.4 A relacao entre elemento e conjunto: o sımbolo ′′ ∈ ′′

O sımbolo ′′ ∈ ′′ e usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto e, a ∈ A.

O sımbolo ′′ 6∈ ′′ e usado para dizer que um elemento a nao pertence a um conjunto A, isto e, a 6∈ A.

Exemplos

1. Seja P = conjunto dos numeros pares. 1000 ∈ P e 1001 6∈ P .

2. Seja A = conjunto dos valores de x que sao solucoes da equacao (x− 2)(x + 10) = 0.

Verifique que 2 ∈ A , −10 ∈ A, 0 6∈ A.

3. Seja B = conjunto dos valores de x que sao solucoes da equacao (x− 2)(x + 10) = 1.

Verifique que 3 6∈ B, −9 6∈ B,(√

35− 4) ∈ B.

1.5 Conjuntos especiais

1.5.1 Conjuntos numericos

Os seguintes conjuntos numericos serao estudados com detalhes mais adiante.

• Conjunto dos numeros naturais, denotado por N = {1, 2, 3, · · · }Provavelmente voce esta surpreso com o fato do numero zero nao fazer parte desse conjunto. Aqui cabe umaobservacao de carater geral: uma das mais importantes caracterısticas da Matematica e ser uma linguagemuniversal, por isso, usamos tantos sımbolos e conceitos. Se, na internet voce usar um buscador para encontrar< numeros naturais > ficara surpreso com a quantidade de sites de discussao se o zero e ou nao um numeronatural. Na verdade, estamos diante de um conceito matematico nao universal, considerar ou nao o zero umnumero natural tem consequencias, precisamos fazer uma escolha ou convencao. E claro que o numero 0 eimportante, por isso esta incluıdo nos inteiros. Quando 0 e convencionado natural, sempre que uma afirmacaonao for verdadeira para n = 0 sera preciso dizer que n e natural, n > 0. Quando um texto (livro, notas deaula, artigo, etc) fizer referencia aos numeros naturais, procure em algum lugar no texto qual a convencaousada para os naturais, em geral fica no inıcio, como estamos fazendo aqui.

• Conjunto dos numeros inteiros, denotado por Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }.• Conjunto dos numeros racionais, denotado por Q

• Conjunto dos numeros reais, denotado por R

• Conjunto dos numeros complexos, denotado por C

Por enquanto, vamos admitir que se apresentamos um numero, sabemos dizer se esse numero pertence ou naopertence a cada um desses conjuntos. Exemplos,

1. 10 ∈ N; 10 ∈ Z; 10 ∈ Q; 10 ∈ R; 10 ∈ C2. −10 6∈ N; −10 ∈ Z; −10 ∈ Q; −10 ∈ R; −10 ∈ C3. 2

5 6∈ N; 25 6∈ Z; 2

5 ∈ Q; 25 ∈ R; 2

5 ∈ C

4.√

2 6∈ N;√

2 6∈ Z;√

2 6∈ Q;√

2 ∈ R;√

2 ∈ C5.√−2 6∈ N;

√−2 6∈ Z;√−2 6∈ Q;

√−2 6∈ R;√−2 ∈ C

1.5.2 Conjunto vazio

Se nao ha como listar elementos ou nao ha elemento que possui a propriedade do conjunto dizemos que esse e umconjunto vazio. Denotamos um conjunto vazio pelos sımbolos { } ou ∅.

Exemplos

1. O conjunto dos animais imortais e um conjunto vazio.

2. O conjunto dos numeros reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero e vazio.

1.5.3 Conjunto unitario

Um conjunto e dito um conjunto unitario quando possui um unico elemento.

Exemplos

1. A = conjunto dos paıses pentacampeoes da Copa do Mundo ate o ano de 2009.

O Brasil e o unico elemento desse conjunto A !!!

2. Conjunto dos numeros reais aproximados em duas casas decimais que resultam da extracao da raiz quadradado numero 2.

O unico elemento desse conjunto e 1,41.

3. Conjunto dos numeros reais que resultam da extracao da raiz quadrada do numero 9.

O unico elemento desse conjunto e 3.


1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito

Um conjunto A e dito finito quando e possıvel contar todos os seus elementos. O resultado dessa contagem echamado de numero de elementos do conjunto A ou cardinal de A, denotado por # A, com valor possıvel 0 ounumero natural.

Observacoes

• Elementos repetidos sao contados uma unica vez.

• Apesar de nao ser possıvel contar os elementos do conjunto vazio, por convencao e coerencia com o que seravisto adiante sobre outros conceitos de conjuntos (uniao e intersecao), diz-se que o conjunto vazio e finito epossui 0 elementos.

• Se um conjunto nao e finito podemos dizer qualquer uma das duas afirmacoes: o conjunto e infinito ou possuiuma infinidade de elementos. Denota-se por #A = ∞.

Exemplos

1. A = {−100,−98,−96,−94, · · · , 94, 96, 98, 100} e finito. #A = 101. Verifique.

2. A = conjunto dos numeros reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero e finito. #A = 0.

3. A = {0, 2, 4, · · · , 94, 96, 98, 100, . . .} e infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A = ∞.

4. A = conjunto dos numeros reais entre -100 e 100 e infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A = ∞.

1.5.5 Conjunto universo

O conjunto Universo e o maior conjunto no contexto que estamos trabalhando (livro, capıtulo de livro, tese, notasde aula, teoria, problema, etc).

Em alguns casos ha necessidade de citar qual o conjunto Universo esta sendo considerado, pois dependendo doconjunto universo, chega-se a conclusoes distintas. Por exemplo, A =

{x; x e solucao da equacao 4x2 = 25

}.

Se o conjunto universo (isto e, o conjunto em que devemos encontrar os valores de x) sao os racionais ou osreais, encontramos duas solucoes, x = 5

2 e x = − 52 . Se o conjunto universo sao os inteiros, nao ha solucao.

E usual explicitar o conjunto universo no inıcio, se no exemplo anterior o conjunto universo sao os racionais,deverıamos ter escrito: A =

{x ∈ Q; x e solucao da equacao 4x2 = 25

}.

1.6 Visualizacao: Diagrama de Venn

Dado um conjunto, atribuimos uma letra a esse conjunto e envolvemos oucercamos essa letra com uma curva fechada qualquer, como na figura ao lado.A curva e a letra formam o Diagrama de Venn, uma representacao visual doconjunto. A figura ao lado e o diagrama de Venn de um conjunto A.

Quando estamos lidando com varios conjuntos e as relacoes existentes entreeles, a representacao dos conjuntos em diagramas de Venn e particularmenteutil. Veremos exemplos mais adiante.

A

2 Primeiras nocoes de logica

2.1 Afirmacao ou sentenca logica

Uma afirmacao pode ser considerada uma afirmacao ou sentenca logica quando for possıvel atribuir um e so umdos dois valores a essa afirmacao: verdadeiro ou falso.

Observacoes

• Algumas afirmacoes nao sao consideradas afirmacoes logicas. Por exemplo, ”maca e uma fruta sem graca”tem muita subjetividade, uns vao responder que e verdadeira, outros vao responder que e falsa por causa do”sem graca”. Logo essa nao e uma afirmacao logica.Se a afirmacao fosse apenas ”maca e uma fruta”, todos iriam responder que e verdadeira. Logo essa e umaafirmacao logica.

Se a afirmacao fosse ”maca e um legume”, todos iriam responder que e falso. Logo essa e uma afirmacaologica.


• Uma afirmacao logica pode ter um termo variavel ou indeterminado, por exemplo ′′x e um numero real′′ .Dependendo do valor que se atribua a letra x podemos responder se a sentenca e verdadeira ou falsa. Nestecaso, diz-se que e uma afirmacao aberta ou sentenca logica aberta .

• Caso nao exista termo variavel ou indeterminado na afirmacao, dizemos que e uma afirmacao fechada ousentenca logica fechada . Por exemplo, ′′o numero 10.000 e uma potencia de 10′′ e uma afirmacao logicafechada e e verdadeira. ′′o numero 300 e divisıvel por 10.000′′ e uma afirmacao logica fechada e e falsa.

• E bastante comum usar a palavra proposicao em vez de afirmacao. Assim, podemos substituir a palavraafirmacao pela palavra proposicao em tudo que foi dito acima. Ora vamos usar uma, ora outra.

• Quando e pedido ”verificar que uma afirmacao ou proposicao e verdadeira”, ja esta dito que e verdadeira,e so para provar que e verdadeira. Por exemplo, ′′Verifique que 2437 e um numero primo′′, ja esta dizendoque e verdadeiro que o numero 2437 e primo, esta sendo pedido para provar que e um numero primo.

Quando e pedido ”verificar se uma afirmacao ou proposicao e verdadeira”, nao esta dito que e verdadeira,a resposta pode ser uma das duas, verdadeira ou falsa. ′′Verifique se 4693 e um numero primo′′, nao estaafirmando que e verdaderio, nem que e falso, e preciso descobrir, a resposta podera ser verdadeira ou falsa.

• Muitas afirmacoes sao da forma: ”suponha que x possui a propriedade P”. Neste caso a unica possibilidadee x possuir a propriedade P ser verdadeiro, isto e, no lugar de x, so podemos atribuir um valor que possui apropriedade P .

• Por simplicidade, podemos atribuir letras a uma afirmacao, por exemplo ′′p: suponha x um numero inteiromaior que 10′′.

• Uma afirmacao pode ser uma afirmacao ou sentenca simples, isto e, com uma unica sentenca, bem comopode ser uma afirmacao ou sentenca composta , isto e, formada por varias afirmacoes, todas ligadasentre si por termos com significado logico bem definido, chamados conectivos logicos. Veremos alguns dessesconectivos com detalhes nas proximas secoes.

2.2 O operador logico ′′nao′′ e os conectivos logicos ′′e′′ ′′ou′′

2.2.1 O operador ′′nao′′

A toda afirmacao ′′p′′ corresponde uma afirmacao ′′nao p′′ e denotamos ′′ ∼ p′′.

Observacao:

- Quando p e verdadeira, ∼ p e falsa.

- Quando p e falsa, ∼ p e verdadeira.

Exemplos

1. p : −2 e um numero inteiro (p e verdadeira) nao p : −2 nao e um numero inteiro (nao p e falsa)

2. q : 10 e multiplo de 3 (q e falsa) nao q : 10 nao e multiplo de 3 (nao q e verdadeira)

3. r : − 3810 esta entre −4 e −3 (r e verdadeira) ∼ r : − 38

10 nao esta entre −4 e −3 (∼ r e falsa)

4. p : x e um numero maior do que zero ∼ p : x nao e um numero maior do que zero

5. p : x e solucao da equacao 2x− 1 = 4 nao p : x nao e solucao da equacao 2x− 1 = 4

6. p : {x ∈ R; 2x− 1 = 4} ={

52

}nao p : {x ∈ R; 2x− 1 = 4} 6= {

52

}

2.2.2 O conectivo ′′e′′

Dadas duas afirmacoes ′′p ′′ e ′′q′′, podemos formar uma afirmacao composta ′′p e q′′ tal que

′′p e q′′ tem como unica possibilidade de ser verdadeira quando ′′p ′′ e verdadeira e ′′q′′ e verdadeira.

Uma outra notacao usual e ′′p ∧ q′′. Usaremos indistintamente uma das duas: ′′p e q′′ ou ′′p ∧ q′′.

Exemplos


1. p : 20 e par (V) q : 20 e maior do que 10 (V) p e q: 20 e par e maior do que 10 (V)

2. p : 20 e par (V) q : 20 e menor do que 10 (F) p e q: 20 e par e menor do que 10 (F)

3. p : 20 e ımpar (F) q : 20 e maior do que 10 (V) p e q: 20 e ımpar e maior do que 10 (F)

4. p : 20 e ımpar (F) q : 20 e menor do que 10 (F) p ∧ q: 20 e par e menor do que 10 (F)

5. p : se x e par e V q : se x e maior do que 10 e V p e q: x e par e maior do que 10 e V

6. p : x ∈ A (V) q : x ∈ B (V) p ∧ q : x ∈ A e x ∈ B (V)

7. p : x ∈ A (V) q : x ∈ B (V) ∼ q : x 6∈ B (F) p ∧ ∼ q : x ∈ A e x 6∈ B (F)

8. p : x ∈ A (V) ∼ p : x 6∈ A (F) q : x ∈ B (V) ∼ p ∧ q : x 6∈ A e x ∈ B (F)

9. p : x ∈ A (V) ∼ p : x 6∈ A (F) q : x ∈ B (V) ∼ q : x ∈ B (F) ∼ p ∧ ∼ q : x 6∈ A e x 6∈ B (F)

2.2.3 O conectivo ′′ou′′

Dadas duas afirmacoes ′′p ′′ e ′′q′′, podemos formar uma afirmacao composta ′′p ou q′′ tal que′′p ou q′′ e verdadeira quando pelo menos uma das afirmacoes ′′p′′ ou ′′q′′ e verdadeira.

Uma outra notacao usual e ′′p ∨ q′′. Usaremos indistintamente uma das duas: ′′p ou q′′ ou ′′p ∨ q′′.

Observacao:O ′′ou′′ logico tem o mesmo significado do ′′e/ou′′ da nossa linguagem corrente.Na linguagem corrente, apenas ′′ou′′ muitas vezes significa um ou outro, nao os dois simultaneamente. Por exem-

plo, ′′o documento devera ser assinado pelo diretor ou pelo sub-diretor′′. Em logica, este ′′ou′′ e dito ′′ou exclusivo′′.

Exemplos

1. p : 20 e par (V) q : 20 e negativo (F) ′′p ∨ q′′: 20 e par ou negativo (V)

2. p : 20 e ımpar (F) q : 20 e positivo (V) ′′p ∨ q′′: 20 e ımpar ou positivo (V)

3. p : 20 e par (V) q : 20 e positivo (V) ′′p ∨ q′′: 20 e par ou positivo (V)

4. p : 20 e ımpar (F) q : 20 e negativo (F) ′′p ∨ q′′: 20 e ımpar ou negativo (F)

5. p : o carro avancou sinal (V) q : o carro derrapou (V) ′′p ∨ q′′: o carro avancou sinal ou derrapou (V)

6. p : o carro avancou sinal (V) q : o carro derrapou (F) ′′p ∨ q′′: o carro avancou sinal ou derrapou (V)

7. p : o carro avancou sinal (F) q : o carro derrapou (V) ′′p ∨ q′′: o carro avancou sinal ou derrapou (V)

8. p : o carro avancou sinal (F) q : o carro derrapou (F) ′′p ∨ q′′: o carro avancou sinal ou derrapou (F)

2.2.4 Negacoes de ′′e′′ e de ′′ou′′: Leis de De Morgan

Dadas as afirmacoes p e q, sao validas as seguintes leis:

(I) ∼ (p e q) tem o mesmo significado de ∼ p ou ∼ q

(II) ∼ (p ou q) tem o mesmo significado de ∼ p e ∼ q

Para verificar (I), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos osresultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo sao iguais.

p q ∼ p ∼ q (p e q) ∼ (p e q) (∼ p ou ∼ q)V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V


Para verificar (II), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos osresultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo sao iguais.

p q ∼ p ∼ q (p ou q) ∼ (p ou q) (∼ p e ∼ q)V V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

Exemplos

1. (p e q) : x e par e positivo ∼ (p e q) : x nao e par ou x nao e positivo

2. (p ou q) : n e multiplo de 2 ou de 5 ∼ (p ou q) : n nao e multiplo de 2 e nao e multiplo de 5

3. (p e q) : 36 e multiplo de 3 e de 2 (V) ∼ (p e q) : 36 nao e multiplo de 3 ou nao e multiplo de 2 (F)

4. (p e q) : 32 e multiplo de 2 e de 5 (F) ∼ (p e q) : 32 nao e multiplo de 2 ou nao e multiplo de 5 (V)

5. (p e q) : 3 ∈ A e 4 ∈ A ∼ (p e q) : 3 6∈ A ou 4 6∈ A

6. (p ou q) : 8 ∈ B ou 10 ∈ B ∼ (p ou q) : 8 6∈ B e 10 6∈ B

2.3 Quantificadores

2.3.1 O quantificador universal: ′′ ∀ ′′

Quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjunto A, dizemos:

para todo x ∈ A, usamos o sımbolo ∀x ∈ A.

Outras formas de escrever, com mesmo significado: para qualquer x ∈ A, para qualquer que seja x ∈ A.

Exemplos

1.√

x ≥ 0 ∀x; x ∈ R e x ≥ 0

2. Considere A = conjunto dos multiplos de 10. Podemos verificar que: ∀x ∈ A, x e par.

2.3.2 O quantificador existencial: ′′ ∃ ′′

Quando queremos nos referir a alguns dos elementos de um conjunto A, dizemos:

para algum x ∈ A, usamos o sımbolo ∃x ∈ A.

Exemplos

1. ∃x ∈ R tal que√

x > 3. Neste caso existe uma infinidade de valores de x ∈ R, mas nao sao todos.

2. ∃x ∈ Q tal que 5x = 1. Neste caso existe apenas um valor de x ∈ Q, x = 15 .

3. x2 = 9 para algum x ∈ R, ou, escrevendo de outra forma, ∃x ∈ R; x2 = 9.

Neste caso existem dois valores de x ∈ R, sao: x = +√

9 = +3 ou x = −√9 = −3.

4. Dada uma constante a ∈ R; a ≥ 0, podemos afirmar que ∃x ∈ R; x2 = a.

No caso a = 0 existe um valor de x ∈ R que e x = 0

No caso a > 0, existem dois valores de x ∈ R, sao: x = +√

a ou x = −√a.

Observacao: a seguir temos varias formas alternativas de escrever afirmacoes, todas com mesmo significado.

• A propriedade P e valida para algum x ∈ A.

• A propriedade P e valida para pelo menos um x ∈ A.

• Para algum x ∈ A, x possui a propriedade P.

• Para pelo menos um x ∈ A, x possui a propriedade P.

• Existe x ∈ A tal que x possui a propriedade P (′′ tal que ′′ pode ser substituıdo por ′′ ; ′′).

• Existe pelo menos um x ∈ A; x possui a propriedade P.

• Existe algum x ∈ A; x possui a propriedade P.

• ∃x ∈ A; x possui a propriedade P.

2.3.3 As negacoes de ′′∃′′ e de ′′∀′′

A negacao de p : ∀x; x possui a propriedade P e ∼ p : ∃x; x nao possui a propriedade P

A negacao de p : ∃x ∈ A; x possui a propriedade P e ∼ p : ∀x ∈ A; x nao possui a propriedade P

Mas a negacao de p tambem pode ser: ∼ p : 6 ∃x ∈ A; x possui a propriedade P

Exemplos

1. p : x ≥ 1 ∀x ∈ R (F) ∼ p : ∃x ∈ R; x < 1 (V)

2. p : ∀a constante real, x2 = a2 admite solucao real (V)

∼ p : ∃a constante real: x2 = a2 nao admite solucao real (F)

3. p : Existe algum planeta que possui seres vivos (V). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos.

∼ p : Todos os planetas nao possuem seres vivos (F). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos.

4. p : Existe algum planeta que nao possui seres vivos (pode ser V ou pode ser F).

Por enquanto, nao ha justificativa para verdadeira nem para falsa.

∼ p : Todos os planetas possuem seres vivos (pode ser F ou pode ser V, respectivamente)

2.4 Os conectivos logicos =⇒ e ⇐⇒2.4.1 O conectivo =⇒ (implicacao)

Dadas duas afirmacoes (ou proposicoes) p e q

temos que a afirmacao (ou proposicao) p =⇒ q e verdadeira quando

sempre que p e uma afirmacao verdadeira entao q tambem e uma afirmacao verdadeira

Em outras palavras, estamos supondo que sao dadas duas afirmacoes, p e q e supomos tambem que p everdadeira. Neste caso, quando p e verdadeira, o que acontece com q? e verdadeira ou falsa? Se de alguma formaconseguirmos concluir que q so pode ser verdadeira, dizemos que p =⇒ q.

Observacoes

• Esse de ′′alguma forma conseguimos concluir que e verdadeira′′, podemos citar que alguem ja conseguiuprovar a conclusao ou que a conclusao foi provada em algum lugar ou temos que provar a conclusao. Existemvarios metodos de prova, mais adiante veremos alguns.

• Ha varias formas alternativas de escrever a afirmacao ou proposicao p =⇒ q , todas com mesmosignificado, algumas estao listadas a seguir. Sugestao: leia antes o exemplo 1.

– Se p e uma afirmacao verdadeira entao q e uma afirmacao verdadeira.

– Se p entao q.

– p implica em q (daı vem a palavra implicacao)

– p implica q

– p verdadeira e uma condicao suficiente para q verdadeira.

– p e condicao suficiente para q.

– Se p e verdadeira, garante-se que q e verdadeira.


– Se ∼ q e verdadeira entao ∼ p e verdadeira.Essa precisamos verificar que de fato tem o mesmo significado. Vejamos, primeiro estamos admitindoque ∼ q e verdadeira, isto e q e falsa. Mas p so tem uma das duas possibilidades, verdadeira oufalsa. Se p for verdadeira, como admitimos que p =⇒ q, temos que q e verdadeira. Como assim?q nao pode ser verdadeira e falsa, logo p nao pode ser verdadeira, p so pode ser falsa, isto e, ∼ p everdadeira, como querıamos verificar.

– Se q e falsa entao p e falsa. (idem anterior)

– Se ∼ q e verdadeira =⇒ ∼ p e verdadeira.

– Se q e falsa =⇒ p e falsa.

– q ser verdadeira e uma condicao necessaria para p ser verdadeira.A condicao q precisa ser verdadeira, porque se q fosse falsa, entao p seria falsa tambem, como vimos emparagrafo anterior.

– q e uma condicao necessaria para p.

– Uma condicao necessaria para p ser verdadeira e q ser verdadeira.

– Uma condicao necessaria para p e q.

• O conectivo logico =⇒ e transitivo, ou seja, se p =⇒ q e q =⇒ r entao p =⇒ r.

Ver exemplo 2.

• ATENCAO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condicao p e falsa, simplesmente porque a afirmacaop =⇒ q so garante o que acontece quando p e verdadeira, e omissa quando p e falsa. Isso significa que quandop e falsa e so sabemos que p =⇒ q, nada podemos concluir sobre q, isto e, tanto q pode ser verdadeira quantoq pode ser falsa. Ver exemplo 3.

Exemplos

1. A = conjunto das infracoes de transito num paıs ideal.

B = conjunto das penalidades de transito num paıs ideal.

Obs. paıs ideal e aquele onde de fato a lei e aplicada.

Uma das infracoes e ′′invadir sinal′′ que significa desobedecer sinal vermelho.

Uma das penalidades e ser multado.

Uma das leis e: invadir sinal sera penalizado com multa e perdera sete pontos na carteira de habilitacao.

Dessa lei, podemos concluir que

p: invadir sinal (V) =⇒ q : recebe multa (V)

• Podemos escrever tambem em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado.

– invadir sinal =⇒ receber multa– Se p: invadir sinal (V) entao q : recebe multa (V).– Se invadir sinal entao recebe multa.– p: invadir sinal (V) implica em q : receber multa (V)– invadir sinal implica receber multa– p: invadir sinal (V) e uma condicao suficiente para q : receber multa (V).– invadir sinal e condicao suficiente para receber multa.– Se ∼ q : nao recebe multa (V) entao ∼ p : nao invadiu sinal (V).

Vejamos, primeiro estamos admitindo ∼ q : nao receber multa (V). Para p resta uma das duaspossibilidades, p : invadiu sinal (V) ou ∼ p : nao invadiu sinal (V).Vamos escolher a primeira, p : invadiu sinal (V).Neste caso, p: invadiu sinal (V) =⇒ q : recebe multa (V).Como assim? ∼ q : nao recebe multa (V) e q : recebe multa (V) nao podem ser verdadeirassimultaneamente. Logo so resta a outra possibilidade, ∼ p : nao invadiu sinal (V).

– Se nao recebe multa entao nao invadiu sinal.– Uma condicao necessaria para p: ter invadido sinal e q : ter recebido multa (V)– q : receber multa (V) e uma condicao necessaria para p: ter invadido sinal (V).– receber multa e uma condicao necessaria para ter invadido sinal.

2. p : x e multiplo de 10 =⇒ q : x e par.

Podemos afirmar que a implicacao e verdadeira. Acreditamos que voce saiba porque. Se nao sabe, aqui estauma prova.

x e multiplo 10 =⇒ x e multiplo de 2 e de 5 =⇒ x e multiplo de 2 =⇒ x e par.

• Podemos escrever tambem em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado.

– Se x e multiplo 10 entao x e par.– x ser multiplo de 10 e condicao suficiente para x ser par.– x nao e par =⇒ x nao e multiplo de 10.– x ser numero par e condicao necessaria para x ser multiplo de 10.

3. No exemplo 2 anterior,

se x for igual a 25, a afirmacao p e falsa e a afirmacao q e falsa.

se x for igual a 22, a afirmacao p e falsa e a afirmacao q e verdadeira.

Este exemplo serve para evidenciar que nao estamos afirmando nada quando p e falsa, isto e, a afirmacaop =⇒ q so garante que q sera verdadeira sempre que p for verdadeira, nao garante nada sobre q quando p forfalsa.

2.4.2 Quando p =⇒ q e falso? ou seja, quando p 6=⇒ q e verdadeiro?

No caso p verdadeira e q falsa.

Exemplos:

1. 3 e primo =⇒ 7 e divisor de 37 e FALSA.

Justificativa: 3 e primo e VERDADEIRA e 7 e divisor de 37 e FALSA.

2. Quando as afirmacoes p e q sao sentencas abertas, a implicacao sera falsa se apresentarmos um caso ouexemplo em que p seja verdadeira e q seja falsa.

∀a ∈ R; a < 1 =⇒ a2 < 1 e FALSA, isto e, ∀a ∈ R; a < 1 6=⇒ a2 < 1.

Justificativa: a = −2 < 1 e VERDADEIRA e a2 = (−2)2 = 4 < 1 e FALSA.

2.4.3 O conectivo ⇐= (a recıproca de =⇒)


temos que a afirmacao (ou proposicao) p ⇐= q e verdadeira quando q =⇒ p e verdadeira.

Em outras palavras, estamos supondo que sao dadas duas afirmacoes, p e q e supomos tambem que q everdadeira. Neste caso, quando q e verdadeira, o que acontece com p ? e verdadeira ou falsa? Se de alguma formaconseguirmos concluir que p so pode ser verdadeira, dizemos que p ⇐= q.

Observacoes

• Ha varias formas alternativas de escrever a afirmacao ou proposicao p ⇐= q , todas com mesmosignificado, algumas estao listadas a seguir. Para a maioria basta fazer uma troca de ordem de p e q naobservacao analoga de p =⇒ q.

– Se q e uma afirmacao verdadeira entao p e uma afirmacao verdadeira.

– Se q entao p.

– p e implicado por q (daı vem a palavra recıproca)

– q implica em p

– q implica p

– q verdadeira e uma condicao suficiente para p verdadeira.

– q e condicao suficiente para p.

– Se q e verdadeira, garante-se que p e verdadeira.

– Se ∼ p e verdadeira entao ∼ q e verdadeira.

– Se p : e falsa entao q e falsa.

– p ser verdadeira e uma condicao necessaria para q ser verdadeira.A condicao p precisa ser verdadeira, porque se p fosse falsa, entao q seria falsa tambem, como vimos emparagrafo anterior.

– p e uma condicao necessaria para q.

– Uma condicao necessaria para q ser verdadeira e p ser verdadeira.

– Uma condicao necessaria para q e p.

• ATENCAO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condicao q e falsa, simplesmente porque a afirmacaop ⇐= q so garante o que acontece quando q e verdadeira, e omissa quando q e falsa. Isso significa que quandoq e falsa e so sabemos que p ⇐= q, nada podemos concluir sobre p, isto e, tanto p pode ser verdadeira quantop pode ser falsa.

Exemplo

∀x ∈ R; x2 < 4 ⇐= ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2. Queremos provar que a proposicao e verdadeira.

Vamos usar aqui uma propriedade de ordem dos numeros reais que sera vista com detalhes mais adiante.

Considere a, b, c, constantes reais. Vale a seguinte propriedade : a 0 =⇒ ac < bc. Em palavras, adesigualdade nao se altera quando multiplica-se os dois lados por um numero positivo.

Admitimos x ∈ R; 0 ≤ x < 2 (isto e, supomos verdadeira a afirmacao).

0 ≤ x < 2 =⇒ x < 2 e (x = 0 ou x > 0).Caso x = 0 temos que x2 = 0 < 4 e verdadeiro.Caso x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por x, obtendo: x · x < 2 · x.Mas x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por 2, obtendo 2 · x < 2 · 2 = 4.Logo x2 = x · x < 2 · x e 2 · x < 2 · 2 = 4 =⇒ x2 < 4. cqd

A ultima implicacao e justificada por uma das propriedades de ordem dos numeros reais (as propriedades seraoestudadas mais adiante), descrita a seguir.

Propriedade transitiva de ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a < b e b < c =⇒ a < c.

Apenas por curiosidade, observamos que a recıproca de ∀x ∈ R; x2 < 4 ⇐= ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2. nao everdadeira, isto e,

∀x ∈ R; x2 < 4 =⇒ ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2 e FALSA.Justificativa: Para x = −1 : x2 = 1 < 4 e VERDADEIRA. Para x = −1 : 0 < x = −1 < 2 e FALSA.Logo a recıproca e FALSA.

2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivalencia)


temos que a afirmacao (ou proposicao) p ⇐⇒ q e verdadeira quando

p =⇒ q e p ⇐= q sao verdadeiras, isto e, quando a implicacao e a sua recıproca sao verdadeiras.

Ha varias formas alternativas de escrever a afirmacao ou proposicao p ⇐⇒ q , todas com mesmosignificado, algumas estao listadas a seguir.

• p e uma afirmacao verdadeira se e somente se q e uma afirmacao verdadeira.

• p se e so se q.

• p e equivalente a q (daı vem a palavra equivalencia)

• p equivale a q

• p verdadeira e uma condicao necessaria e suficiente para q verdadeira.

• q verdadeira e uma condicao necessaria e suficiente para p verdadeira.

• p e condicao necessaria e suficiente para q.

• q e condicao necessaria e suficiente para p.

• ∼ p e verdadeira se e somente se ∼ q e verdadeira.

• p : e falsa se e somente q e falsa.

• ∼ p e verdadeira ⇐⇒ ∼ q e verdadeira.

• p : e falsa ⇐⇒ q e falsa.

Exemplos:

1. x ∈ R e x2 = x ⇐⇒ x = 0 ou x = 1.

Primeiro vamos provar que a implicacao e verdadeira, isto e, provar (=⇒):

Novamente vamos usar propriedades dos reais que serao vistas com detalhes mais adiante.

x2 = x =⇒ x2 + (−x) = x + (−x) = 0 =⇒ x(x− 1) = 0 =⇒ x = 0 ou x− 1 = 0 =⇒ x = 0 ou x = 1.

Em cada implicacao foi usada uma ou mais propriedades dos reais, admitindo-se todas as variaveis ou cons-tantes numeros reais. Por exemplo, na primeira foi usada: a = b =⇒ a+ c = b+ c tomando a = x2, b = x, c =−x. Na mesma implicacao, foi usada a propriedade de elemento simetrico x + (−x) = 0. Fica com exercıcioa citacao das propriedades usadas nas demais implicacoes. cqd.

Agora vamos provar que a recıproca da implicacao e verdadeira, isto e, provar (⇐=):

Novamente temos que usar propriedades dos reais.

x = 0 e 0 ∈ R =⇒ x2 = 02 = 0 e x ∈ R =⇒ x2 = x = 0 e 0 = x ∈ R.

x = 1 e 1 ∈ R =⇒ x2 = 12 = 1 e x ∈ R =⇒ x2 = x = 1 e 1 = x ∈ R. cqd.

2. Suponha x ∈ R. E verdade que x2 > 4 ⇐⇒ x < −2 ou x > 2 ?

A resposta e sim, porque? Para responder vamos usar algumas propriedades de ordem dos reais que seraovistas com detalhes mais adiante.

x2 > 4 ⇐⇒ x2 − 4 > 0 (usamos a propriedade: para a, b, c reais e verdade que a 4 ⇐⇒ (x− 2)(x + 2) > 0.

Agora vamos usar outra propriedade:

para a, b reais e verdade que: ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), em palavras, oproduto de dois numeros reais e positivo se e so se os dois sao positivos ou os dois sao negativos. Logo

(x− 2)(x + 2) > 0 ⇐⇒

x− 2 > 0 e x + 2 > 0oux− 2 < 0 e x + 2 < 0

⇐⇒

x > 2 e x > −2oux < 2 e x < −2

⇐⇒

x > 2oux < −2

cqd

2.5 Definicao: o que e?

Quando estamos falando ou escrevendo alguma palavra ou conceito e sabemos que possivelmente quem esta nosouvindo ou lendo nao sabe o significado claro e preciso dessa palavra ou conceito, e preciso definir o que essapalavra ou conceito representa, caso contrario, ninguem vai saber do que estamos falando ou escrevendo.

Algumas formas usuais de definir palavras ou conceitos estao listadas a seguir.

Definicao 1 - Um XX e aquilo que possui as propriedades P1, P2, e P3.

Definicao 2 - Um ZZ e chamado de Y Y Y Y quando ZZ satisfaz uma das condicoes: C1 ou C2.

Definicao 3 - Um ZZ e chamado de Y Y Y Y se ZZ satisfaz uma das condicoes C1 ou C2.

A real observacao que queremos fazer e:


por tras de qualquer definicao (isto e, implicitamente) sempre existe uma equivalencia, mesmo que a definicaonao esteja escrita na forma de equivalencia.

As definicoes 1, 2 e 3 anteriores devem ser entendidas como:

Definicao 1 - E um XX ⇐⇒ XX possui as propriedades P1, P2, e P3.

Definicao 2 - Um ZZ e chamado de Y Y Y Y ⇐⇒ ZZ satisfaz uma das condicoes: C1 ou C2.

Definicao 3 - Um ZZ e chamado de Y Y Y Y ⇐⇒ ZZ satisfaz uma das condicoes C1 ou C2.

Exemplos

1. Definicao (numero par)

Um numero inteiro n e um numero par se ∃k ∈ Z; n = 2k.

Apesar de nao estar escrito ”se e so se”, isto significa:

Um numero inteiro n e um numero par ⇐⇒ ∃k ∈ Z; n = 2k.

2. Definicao (numero ımpar)

Um numero inteiro n e um numero ımpar se ∃k ∈ Z; n = 2k + 1.

Isto significa:

Um numero inteiro n e um numero ımpar ⇐⇒ ∃k ∈ Z; n = 2k + 1.

2.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar?

Ja vimos que quando queremos verificar que uma afirmacao e verdadeira e preciso provar que e verdadeira. Agora,queremos saber: exemplos provam que uma afirmacao e verdadeira?

A resposta e: depende!!!

• se for possıvel testar que a afirmacao e verdadeira em todos os exemplos admissıveis para essa afirmacaoentao teremos provado que e verdadeira em qualquer caso.

• se testarmos se a afirmacao e verdadeira apenas em alguns dos exemplos, mas nao em todos os exemplosadmissıveis para essa afirmacao, nao estamos provando que a afirmacao e verdadeira porque ela poderia serfalsa nos casos que nao foram testados.

Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirmacao e falsa?

A resposta e: sim!!!

• se testarmos a afirmacao em um unico exemplo, e a resposta for falsa, entao podemos afirmar imediatamenteque a afirmacao e falsa porque para ser verdadeira teria que ser verdadeira em todos os exemplos admissıveis.

Um exemplo em que a afirmacao e falsa e chamado de contra-exemplo.

Exemplos e contra-exemplos:

1. Todo multiplo de 10 e par. (outra forma dessa afirmacao: m e multiplo de 10 =⇒ m e par)

A afirmacao e verdadeira para x = 10, x = 20, x = 30. Nao provei. E impossıvel esgotar todos os exemplos.Entao temos que provar, sem ser atraves de exemplos.

Ja provamos essa afirmacao no exemplo 2 da secao 2.4.1. Agora vamos ver outra prova, diferente daquela.Para provar, primeiro, vamos lembrar a definicao de multiplo:

Definicao (multiplo)

Um numero inteiro m e multiplo de um numero inteiro n quando existe um inteiro q tal que m = qn.

Agora, vamos supor que m e um multiplo de 10. Pela definicao de multiplo,

∃q ∈ Z; m = q× 10. Mas, sabemos que 10 = 2× 5 e tambem podemos aplicar as propriedades comutativa eassociativa dos numeros inteiros,

∃q ∈ Z; m = q×2×5 = 2×(q×5). Como o produto de dois inteiros e um inteiro (propriedade de fechamentodos inteiros), temos que q × 5 = k, onde k e inteiro. Logo,

∃k ∈ Z; m = 2k =⇒ m e par (aqui usamos a definicao de par) cqd

2. x ∈ R; (x2 − 1)(x2 + x) = 0 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0.

Queremos provar que a afirmacao e verdadeira. Neste caso, resolvendo a equacao, e possıvel encontrar todosos exemplos admissıveis de x ∈ R; (x2 − 1)(x2 + x) = 0. Vejamos,

(x2 − 1)(x2 + x) = 0 ⇐⇒ x2 − 1 = 0 ou x2 + x = 0

⇐⇒ (x− 1)(x + 1) = 0 ou x(x + 1) = 0.

⇐⇒ x− 1 = 0 ou x + 1 = 0 ou x = 0 ou x + 1 = 0

⇐⇒ x = 1 ou x = −1 ou x = 0 (uma das possibilidades pode ser eliminada porque estava repetida)

Vamos testar em todos exemplos admissıveis.

Para testar, vamos ter que usar modulo ou valor absoluto de um numero real, colocamos aqui a definicao demodulo, em Pre-Calculo as propriedades do modulo serao estudadas com detalhes.

Definicao (modulo ou valor absoluto)

O modulo ou valor absoluto de um numero real x e denotado por |x| e definido por |x| ={

x se x ≥ 0−x se x < 0

para x = 1, |x| = |1| = 1 =⇒ |x| = 1 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmacao verdadeira)

ou para x = −1, |x| = | − 1| = −(−1) = 1 =⇒ |x| = 1 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmacao verdadeira)

ou para x = 0, |x| = |0| = 0 =⇒ |x| = 0 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmacao verdadeira)

Conclusao: a afirmacao e verdadeira para todos os exemplos admissıveis, logo a afirmacao e verdadeira.

3. ∀x ∈ R,√

x2 = x

Testando a afirmacao em alguns exempos admissıveis,

x = 1, temos que√

x2 =√

12 =√

1 = 1 = x (afirmacao verdadeira)

x = 2, temos que√

x2 =√

22 =√

4 = 2 = x (afirmacao verdadeira)

x =√

3, temos que√

x2 =√(√

3)2

=√

3 = x (afirmacao verdadeira)

A afirmacao e verdadeira nesses exemplos, mas esses nao sao todos os exemplos admissıveis.

Queremos provar que essa afirmacao e falsa.

Contra-exemplo:

x = −1, temos que√

x2 =√

(−1)2 =√

1 = 1.

Como 1 6= −1, fica claro que√

x2 6= x quando x = −1 ou,

de outra forma, a afirmacao√

x2 = x, quando x = −1, e falsa.

Ou seja, a afirmacao ∀x ∈ R,√

x2 = x e falsa.

Dizemos que x = −1 e um contra-exemplo para a afirmacao ∀x ∈ R,√

x2 = x.

3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos

3.1 Igualdade, inclusao e subconjuntos

3.1.1 Igualdade de conjuntos

Definicao (Igualdade de conjuntos)Dois conjuntos sao iguais quando tem exatamente os mesmos elementos.

1. A ={x ∈ R; x e solucao da equacao (x− 2)

(x2 + 1

)= 0

}

B ={x ∈ R; x e solucao da equacao

(x2 − 4x + 4

) (x2 + 9

)= 0

}.

Resolvendo as equacoes, verifica-se que A = {2} e B = {2}. Logo A = B.

(a resolucao das equacoes fica como exercıcio)

2. A = {x ∈ Z; x ≥ 1} B = NA = B = {1, 2, 3, · · · }.


3.1.2 Inclusao e subconjunto

Definicao (subconjunto).

Sejam A e B conjuntos. A e um subconjunto de B quando todo elemento de A tambem e elemento de B.

Quando A e subconjunto de B, dizemos que A esta contido em B e denotamos por A ⊂ B.

Tambem dizemos que B contem A e denotamos por B ⊃ A.

Observe que implicitamente entendemos que A e um subconjunto de B se e so todo elemento de A tambem eelemento de B.

Em sımbolos,Dados A e B conjuntos, A ⊂ B se e so se: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.

Isto significa:se admitimos A ⊂ B podemos afirmar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.se conseguimos provar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B podemos afirmar que A ⊂ B.

Exemplo Considere A = {n ∈ Z; n e multiplo de 10} e B = {n ∈ Z; n e multiplo de 2}.Vamos verificar que A ⊂ B e verdadeiro.E suficiente provar que ∀n ∈ A =⇒ n ∈ B. Provamos isto a seguir.∀n ∈ A =⇒ ∃q ∈ Z; n = 10q = 2× 5× q = 2k, onde k = 5q e k ∈ Z =⇒ ∃k ∈ Z; n = 2k =⇒ n ∈ B.

3.1.3 A negacao de ′′ ⊂ ′′

Sabemos que p : A ⊂ B significa p : ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.

Logo ∼ p : A 6⊂ B significa ∼ p : ∃x; x ∈ A e x 6∈ B.

3.1.4 Propriedades da inclusao

Para quaisquer conjuntos A, B, C, valem as propriedades:

P1 A ⊂ A (justificativa: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A)

P2 A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A

Justificativa:

(=⇒) Precisamos provar A = B =⇒ (i) A ⊂ B e (ii) B ⊂ A.

(i) ∀x ∈ A e A = B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B

e

(ii) ∀x ∈ B e B = A =⇒ x ∈ A =⇒ B ⊂ A

(⇐=) Precisamos provar p : A ⊂ B e B ⊂ A =⇒ q : A = B.

Ja vimos que (p =⇒ q) tem o mesmo significado de (∼ q =⇒∼ p).

Neste caso e mais facil provar (∼ q =⇒∼ p), e o que faremos a seguir.

∼ q : A 6= B =⇒⟨ ∃x; x ∈ A e x 6∈ B

ou∃x; x 6∈ A e x ∈ B

=⇒⟨ A 6⊂ B

ouB 6⊂ A

Por outro lado, p : (A ⊂ B e B ⊂ A) e ∼ p : (A 6⊂ B ou B 6⊂ A).

Logo, comparando com o resultado anterior, provamos (∼ q =⇒∼ p).

P3 A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva)

Podemos visualizar com o diagrama de Venn, como na figura abaixo. A seguir, apresentamos uma prova.

BA

C B C BA

Considere ∀x ∈ A. Como A ⊂ B, podemos afirmar x ∈ B. Como B ⊂ C, podemos afirmar x ∈ C.

Exemplos:

1. A = conjunto dos multiplos de 6 B = conjunto dos multiplos de 2 e de 3.

Queremos verificar que A = B.

Primeiro provaremos que A ⊂ B e depois que B ⊂ A, assim, pela propriedade P2, concluiremos que A = B.

Provando A ⊂ B:

∀n ∈ A =⇒ ∃q ∈ Z; n = 6q = 2× 3× q = 2(3q) = 3(2q). =⇒ (∃k1 = 3q ∈ Z; n = 2k1) e (∃k2 = 2q ∈ Z;n =3k2) =⇒ n e multiplo de 2 e n e multiplo de 3 =⇒ n ∈ B =⇒ A ⊂ B.

Provando B ⊂ A:

∀n ∈ B =⇒ n e multiplo de 2 e n e multiplo de 3 =⇒ (∃q1 ∈ Z; n = 2q1) e (∃q2 ∈ Z;n = 3q2)

=⇒ (∃q1 ∈ Z; 3n = 3× 2q1) e (∃q2 ∈ Z; 2n = 2× 3q2). Observe que

3n− 2n = n = 6q1 − 6q2 = 6(q1 − q2) = 6k, isto e, ∃k = q1 − q2 ∈ Z; n = 6k =⇒ n ∈ A =⇒ B ⊂ A.

2. A = {x ∈ R; x ≥ −4} e B = {x ∈ R; x ≥ 2}.Queremos responder as seguintes perguntas: A ⊂ B ? B ⊂ A ? A = B ?

Vamos comecar pela primeira, A ⊂ B?

Se pretendemos provar que A ⊂ B e verdadeiro, entao precisaremos provar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B everdadeiro.

Se pretendemos provar que A 6⊂ B, isto e, provar que A ⊂ B e falso, basta apresentar um contra-exemplopara a implicacao: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B, isto e, apresentar um exemplo de x em que x ∈ A e x 6∈ B.

Vamos comecar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se forfalso, significa que encontramos um contra-exemplo.

Testando,

x = 5 > −4 e x = 5 > 2, logo x ∈ A e x ∈ B , nada se pode afirmar sobre A ⊂ B.

x = 3 > −4 e x = 3 > 2, logo x ∈ A e x ∈ B, nada se pode afirmar sobre A ⊂ B.

x = 0 > −4 e x = 0 < 2, logo 0 ∈ A e 0 6∈ B, isto e, este e um contra-exemplo que mostra que A ⊂ B efalso, ou seja, mostra que A 6⊂ B.

Como A 6⊂ B, ja podemos responder a terceira pergunta: A 6= B.

So falta responder: B ⊂ A?

Vamos comecar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se forfalso, significa que encontramos um contra-exemplo.

x = 5 > 2 e x = 5 > −4, logo x ∈ B e x ∈ A , nada se pode afirmar sobre B ⊂ A.

x = 3 > 2 e x = 3 > −4, logo x ∈ B e x ∈ A, nada se pode afirmar sobre B ⊂ A.

x = 0 < 2, 0 6∈ B. Atencao: este nao e um exemplo admissıvel para teste pois e preciso que x ∈ B paraentao verificar se x ∈ A.

Se continuarmos testando em mais alguns numeros x tal que x > 2, isto e, x ∈ B verificaremos que para estex, x ∈ A. Como e impossıvel testar em todos os valores, comecamos a desconfiar que de fato e verdadeiropara todo x ∈ B. Para provar precisamos encontrar um argumento que pode ser aplicado em todo x ∈ B.

Este argumento sera uma das propriedades de ordem dos numeros reais que serao vistas com detalhes maisadiante, descrita a seguir.

Propriedade transitiva da ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a 2. Sabemos que 2 > −4, aplicando a propriedade transitiva da ordem,concluımos que x > −4, isto e, x ∈ A. Acabamos de verificar que ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A, isto e, B ⊂ A.

3.2 Operacoes com conjuntos

3.2.1 Uniao e intersecao

Definicao (Uniao)

Sejam A e B conjuntos. A operacao uniao de A e B, denotada por A ∪B, e definida por:

A ∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}


Observacao: lembrando o significado do ′′ou′′ logico, podemos dizer que,

x ∈ A ∪B ⇐⇒ ocorre uma das situacoes descritas a seguir:

(i) x ∈ A e x 6∈ B (ii) x 6∈ A e x ∈ B (iii) x ∈ A e x ∈ B

Definicao (Intersecao)

Sejam A e B conjuntos. A operacao intersecao de A e B, denotada por A ∩B, e definida por:

A ∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B}Exemplos

1. A = conjunto dos numeros pares B= conjunto dos multiplos de 3

E facil verificar que:

10 ∈ A =⇒ 10 ∈ A ∪B

10 6∈ B =⇒ 10 6∈ A ∩B

10 ∈ A e 10 6∈ B =⇒ 10 ∈ A ∪B e 10 6∈ A ∩B

33 6∈ A e 33 ∈ B =⇒ 33 ∈ A ∪B e 33 6∈ A ∩B

36 ∈ A e 36 ∈ B =⇒ 36 ∈ A ∪B e 36 ∈ A ∩B

49 6∈ A e 49 6∈ B =⇒ 49 6∈ A ∪B e 49 6∈ A ∩B

2. Dados os conjuntos A e B e facil verificar as seguintes afirmacoes:

(i) ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B , isto e, A ⊂ A ∪B (de fato, ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B ).

(ii) ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B , isto e, B ⊂ A ∪B (de fato, ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B ).

(iii) ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A , isto e, A ∩B ⊂ A (de fato, ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ A ).

(iv) ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ B , isto e, A ∩B ⊂ B (de fato, ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ B ).3. Dados A e B, vamos provar as seguintes equivalencias:

A ∪B = B ⇐⇒ A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.

Ver diagramas de Venn ao lado, com duas situacoes admissıveispara A ⊂ B.

B

A

A=B

A ⊂ B e A 6= B A ⊂ B e A = B

Vamos comecar por A ⊂ B ⇐⇒ A ∪B = B.

(=⇒) Estamos supondo: A ⊂ B. Queremos provar: A ∪B = B.

(i)∀x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ⊂ B ou x ∈ B (pois supomos no inıcio que A ⊂ B)

=⇒ x ∈ B =⇒ A ∪B ⊂ B.

(ii) Vimos no exemplo anterior: B ⊂ A ∪B. Logo, por (i) e (ii) concluımos A ∪B = B.

(⇐=) Estamos supondo: A ∪B = B. Queremos provar: A ⊂ B.

∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A ∪B = B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B.

Agora vamos provar A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.

(=⇒) Estamos supondo: A ⊂ B. Queremos provar: A ∩B = A.

(i) Vimos no exemplo anterior: A ∩B ⊂ A.

(ii)∀x ∈ A =⇒ x ∈ A e x ∈ A ⊂ B (pois supomos no inıcio que A ⊂ B) =⇒ x ∈ A e x ∈ B

=⇒ x ∈ A ∩B =⇒ A ⊂ A ∩B. Logo, por (i) e (ii) concluımos A ∩B = A.

(⇐=) Estamos supondo: A ∩B = A. Queremos provar: A ⊂ B.

∀x ∈ A =⇒ x ∈ A = A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B.


3.2.2 Conjuntos disjuntos

Definicao (conjuntos disjuntos)

Diz-se que dois conjuntos A e B sao disjuntos quando A ∩B = ∅.

Isto e o mesmo que dizer que A e B nao tem elementos em comum.

Exemplo: Os conjuntos A = {x ∈ R; x ≤ −2} e B = {x ∈ R; x ≥ 2} sao disjuntos.

3.2.3 Diferenca e complementar

Definicao (Diferenca)

Sejam A e B conjuntos. A operacao diferenca entre A e B ou A menos B, denotada por A−B, e definida por:

A−B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}Outra notacao usual para a diferenca e A\B.

A seguir estao representados os diagramas de Venn de A−B em tres casos distintos.

B

A

B

A - B

B

A

B

A - B

B

A

B

A - B

Caso 1: A ∩B 6= ∅ e B 6⊂ A Caso 2: A ∩B = B ⇐⇒ B ⊂ A Caso 3: A ∩B = ∅ (A e B disjuntos)

Definicao (Complementar de B em A)

Sejam A e B conjuntos tais que B ⊂ A.

Neste caso diz-se que A−B e o complementar de B em A e denota-se por {AB.

Veja o diagrama de Venn no caso 2 acima

Definicao (Complementar)

Seja B conjunto tal que B ⊂ U , onde U e o conjunto Universo.

Neste caso diz-se simplesmente que U −B e o complementar de B e denota-se por {B ou Bc.

3.2.4 Propriedades das operacoes e do complementar

Sejam A, B e C conjuntos. A seguir listamos algumas propriedades das operacoes uniao, intersecao, diferenca ecomplementar.

1. Idempotencia: A ∪A = A e A ∩A = A

2. Comutativa: A ∪B = B ∪A e A ∩B = B ∩A

3. Associativa: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪B ∪ C e (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩B ∩ C

4. Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

5. Quando A e B finitos, #(A ∪B) = #(A) + #(B) − #(A ∩B)

6. (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)

7. Sendo U o conjunto universo, U c = ∅ e ∅c = U

8. Sendo U o conjunto universo, A ∪Ac = U e A ∩Ac = ∅9. (A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc

10. (Ac)c = A

Observacao: um excelente exercıcio e desenhar diagramas de Venn e depois provar cada propriedade.


4 Nocoes da estrutura de teorias matematicas: axioma, postulado, hipotese, tese,definicao, propriedade, Teorema, ...

Todas as teorias matematicas, das mais simples as mais elaboradas, tem muita coisa em comum em sua estrutura.O objetivo desse assunto estar sendo abordado aqui e unicamente informar quais sao as principais caracterısticascomuns a todas as teorias, nao sera estudada a teoria da teoria.

Entao vamos listar algumas dessas caracterısticas.Costumo dizer aos meus alunos, que podemos fazer uma comparacao com jogos.O que e um jogo? E um conjunto de regras. Antes de comecar a jogar todos os jogadores devem ter o

conhecimento dessas regras. Algumas dessas regras sao basicas, para dar partida no jogo. Outras sao consequenciasdas regras basicas. Na pratica, o jogador comeca a aplicar essas regras e vai aprimorando as jogadas, vai criandoestrategias para atingir o objetivo do jogo.

Voltando a teoria matematica, em geral, o objetivo de uma teoria e criar conhecimento para ser aplicado nasdiversas areas do conhecimento humano. Essa aplicacao tanto pode ser pratica quanto teorica, isto e, muitasteorias sao criadas para o desenvolvimento de outras teorias. Na disciplina Historia da Matematica voces vao teroportunidade de conhecer varios exemplos onde o desenvolvimento de teorias matematicas esta intrinsicamanteligado as aplicacoes.

Para ′′dar partida ao jogo′′ e preciso estabelecer as regras basicas do jogo, em matematica essas regras basicassao chamadas de axiomas ou postulados. Axiomas ou postulados nao se demonstram, aceitamos como afirmacoesverdadeiras. Os termos que aparecem nos axiomas ou postulados sao chamados de termos primitivos, nao saodefinidos.

Exemplos de axiomas ou postulados da Geometria (Euclidana)

• Dois pontos determinam uma reta

• Tres pontos determinam um plano

Os termos ponto, reta e plano da Geometria sao termos primitivos.

Exemplos de axiomas ou postulados na linguagem dos conjuntos.

• Um conjunto e uma colecao de objetos ou elementos

• O sımbolo ′′ ∈ ′′ e usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto e, a ∈ A.

Os termos conjunto, elemento e pertence e o sımbolo ′′ ∈ ′′ sao primitivos.

Depois de estabelecidos os axiomas, postulados, termos e sımbolos primitivos, a partir deles surgem novasregras, que recebem varios nomes especıficos, alguns deles sao: hipotese, tese, definicao, propriedade, Teorema,afirmacao, proposicao, lema, corolario.

Ja vimos os significados dos conectivos de duas afirmacoes ′′ =⇒ ′′ e ′′ ⇐⇒ ′′ e suas varias formas deescrever.

Tambem ja vimos que qualquer definicao deve ser entendida como uma equivalencia, isto e, como ′′ se e somentese ′′, isto e, como ′′ ⇐⇒ ′′.

Propriedades, Teoremas, afirmacoes, proposicoes, lemas, corolarios sao afirmacoes compostas de varias afirmacoese sempre podem ser escritas em uma das formas:

implicacao , isto e, ′′ se · · · entao ′′, isto e, ′′ =⇒ ′′.

equivalencia , isto e, ′′ se e somente se ′′, isto e, como ′′ ⇐⇒ ′′.

Hipotese e o que supomos verdadeiro, e a afirmacao que fica do lado esquerdo da implicacao direta (=⇒), oudo lado direito da implicacao recıproca (⇐=).

Tese e o que queremos provar ou demonstrar atraves de argumentacoes a partir da hipotese, e a afirmacao quefica do lado direito da implicacao direta (=⇒), ou do lado esquerdo da implicacao recıproca (⇐=).

Observacoes


• Muitas vezes a hipotese comeca com ′′suponha · · ·′′ ou ′′admita · · ·′′. Mesmo que nao esteja escrito nadadesse tipo, pense que esta escrito.

• E claro que uma equivalencia tem duas hipoteses e duas teses, apesar de muitas vezes referirmos apenas comohipotese a afirmacao que esta do lado esquerdo da equivalencia e como tese a que esta do lado diteito.

• Muitas propriedades comecam com um cabecalho em separado e depois vem uma implicacao ou uma equiva-lencia. Este cabecalho e uma hipotese, as vezes chamada de hipotese geral. Se o cabecalho for seguido porequivalencia o cabecalho e uma hipotese tanto da implicacao direta quanto da implicacao recıproca.

Porque sao tantos termos com mesma estrutura?

Para enfatizar a importancia e/ou a localizacao no encadeamento logico da teoria. A seguir, estao listados ostermos com a descricao das formas mais usuais em que sao empregados.

Nao precisamos tentar ′′memorizar′′ nada do que esta na descricao, basta compreeender, a medida que os termosaparecerem nas teorias que serao estudadas, naturalmente serao memorizados.

• As propriedades, em geral, sao consequencias imediatas de um conceito novo que tanto pode ser um conceitoprimitivo como uma definicao.

• Lema, proposicao ou Teorema, em geral, precisam de argumentacoes mais elaboradas para serem demonstra-dos.

• Teoremas sao as proposicoes mais importantes da teoria, tanto pela sua aplicacao para demonstracoes degrande parte da teoria quanto pela sua aplicacao pratica em outras areas de conhecimento. Devido a suaimportancia, muitas vezes os teoremas recebem nome, que pode ser em homenagem ao seu descobridor, istoe, o nome da pessoa que demonstrou o teorema pela primeira vez, ou pode ser pelo que representa na teoria.

Alguns exemplos de nomes de teoremas sao: em Geometria, o Teorema de Pitagoras; em Calculo de umavariavel, o Teorema do Valor Medio, o Teorema Fundamental do Calculo; em Calculo de varias variaveis, oTeorema de Stokes; em Equacoes Diferenciais, o Teorema de Existencia e Unicidade de Solucoes; em Algebra,o Teorema Fundamental da Algebra; em Analise, o Teorema de Weierstrass.

• Lema e uma proposicao que sera usada apenas na demonstracao de um Teorema especıfico, em geral, estalocalizada imediatamente antes do teorema.

• Corolario e uma proposicao que e uma consequencia imediata de um teorema.

E preciso observar que essas descricoes nao sao completamente rigorosas, alguns autores chamam de teoremas asmesmas afirmacoes que outros autores chamam de propriedades. Quando um texto tem muitos teoremas, pode serque o autor preferiu chamar de teoremas o que outros chamam de proposicoes ou propriedades. Eu particularmenteprefiro os que reservam o termo teorema para grandes resultados, e uma forma de destacar a importancia.

5 Tecnicas de Demonstracao

Uma observacao simples e importante e: demonstrar, provar e mostrar sao sinonimos. Assim como demonstracaoe prova sao sinonimos.

O que nao se demonstra?

Como ja comentamos anteriormente, nao se demonstra axiomas e postulados. Tambem nao demonstramos asdefinicoes.

O que precisa ser demonstrado? O que podemos usar nas demonstracoes?

Como vimos anteriormente, afirmacoes, propriedades, proposicoes, Teoremas, lemas e corolarios nem sempresao enunciados na forma de implicacao (=⇒) ou de equivalencia (⇐⇒), mas sempre podem ser entendidos e escritosem uma dessas formas. Vale o mesmo comentario para exercıcios escritos nas formas: mostre que · · · ou verifiqueque · · · .

O primeiro passo e identificar quais sao as hipoteses e qual e a tese, para isso e aconselhavel colocar na formade implicacao ou equivalencia.

Alem das hipoteses do enunciado, podemos citar e usar como hipoteses os postulados ou axiomas, as definicoes,as propriedades, etc, tudo que ja foi visto anteriormente.

Cuidado, nao invente propriedades, queremos dizer com isso que as simplicacoes so devem ser feitas quandotemos certeza que as propriedades que estamos usando sao verdadeiras. Se ha duvida se determinada propriedadee verdadeira, comece verificando em alguns exemplos, se o teste falhar e porque e falsa, se nao falhar, nao bastamesses exemplos, e preciso provar que e verdadeira.

O que e uma conjectura?E uma afirmacao que temos fortes indıcios ser verdadeira, mas ainda nao conseguimos provar que e verdadeira

e tambem nao conseguimos encontrar um contra-exemplo de que e falsa. Quando uma conjectura finalmente edemonstrada verdadeira muda de status, recebe o nome de Teorema.

Ha conjecturas que levam anos para mudar de status ou ser provada que e falsa, um exemplo e uma conjectura dofamoso matematico Fermat que se acreditava ser verdadeira, mas levou mais de 100 anos ate que outro matematico,Leonhard Euler, mostrasse que era falsa! Essa conjectura era:

Todo numero P (n) = 1 + 2(2)n

; n ∈ {0, 1, 2, 3...} e um numero primo.Por volta de 1620, quando so se dispunha de lapis e papel, Fermat verificou que P (0) = 3; P (1) = 5;

P (2) = 17; P (3) = 257; P (4) = 65.537 eram verdadeiras. Euler verificou que P (5) era falsa.

A seguir listaremos e descreveremos as tecnicas de demonstracoes usuais.

5.1 Teste de todos casos admissıveis

Se queremos provar que uma afirmacao e verdadeira atraves de exemplos, precisamos testar em todos os casospossıveis que satisfazem as hipoteses do enunciado, isto e, em todos os casos admissıveis para as hipoteses.

Esse teste em todos os casos admissıveis para as hipoteses e uma das tecnicas de demonstracao.

Como exemplo, ver ex. 2 da secao 2.6.

5.2 Metodo dedutivo

O metodo dedutivo e aquele em que cada afirmacao nova resulta da aplicacao de postulados ou definicoes ouafirmacoes (provadas anteriormente) sobre as hipoteses do enunciado.

Essas afirmacoes podem ser da forma de implicacao (=⇒) ou de equivalencia (⇐⇒), depende do que se querprovar.

• Se queremos demonstrar Hipotese =⇒ Tese, podemos visualizar o metodo dedutivo assim:

Hipotese =⇒ afirmacao 1 =⇒ afirmacao 2 =⇒ · · · =⇒ Tese.

Observe que a hipotese, a tese ou afirmacao pode ser simples ou composta (ligadas por ′′e′′ ou ′′ou′′).

Como exemplo, ver ex. 2 da secao 2.4.1.

• Se queremos demonstrar: afirmacao A ⇐⇒ afirmacao B, podemos demonstrar de duas formas distintas,visualizadas a seguir.

1. Hipotese = afirmacao A ⇐⇒ afirmacao 1 ⇐⇒ afirmacao 2 ⇐⇒ · · · ⇐⇒ afirmacao B = Tese.

ExemploConsidere y = (x− 2)(x− 5) tal que que x e um numero real qualquer.Usando propriedades dos numeros reais que serao revisadas detalhadamente mais adiante, queremosverificar que as seguintes equivalencias sao verdadeiras:(i) y = 0 ⇐⇒ x = 2 ou x = 5.(ii) y > 0 ⇐⇒ x < 2 ou x > 5.(iii) y < 0 ⇐⇒ 2 < x < 5.Demonstracoes:(i) y = (x− 2)(x− 5) e y = 0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 5) = 0 ⇐⇒ (x− 2) = 0 ou (x− 5) = 0[ na ultima equivalencia usamos a propriedade: para a e b reais, ab = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0 ]⇐⇒ x = 2 ou x = 5.

(ii) y = (x− 2)(x− 5) e y > 0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 5) > 0 ⇐⇒⟨ x− 2 > 0 e x− 5 > 0

oux− 2 < 0 e x− 5 < 0

[ usamos a propriedade: para a e b reais, ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) ]

⇐⇒⟨ x > 2 e x > 5

oux < 2 e x < 5

⇐⇒⟨ x > 5

oux < 2

(iii) y = (x− 2)(x− 5) e y < 0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 5) < 0 ⇐⇒⟨ x− 2 > 0 e x− 5 < 0

oux− 2 < 0 e x− 5 > 0

[ usamos a propriedade: para a e b reais, ab < 0 ⇐⇒ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0) ]

⇐⇒⟨

x > 2 e x < 5oux < 2 e x > 5 ( 6 ∃x; x < 2 e x > 5)

⇐⇒ 2 < x e x < 5 ⇐⇒ 2 < x < 5

2. Separar e demonstrar a implicacao direta (=⇒) e a implicacao recıproca (⇐=), isto e,(=⇒):Hipotese = afirmacao A =⇒ afirmacao 1 =⇒ afirmacao 2 =⇒ · · · =⇒ afirmacao B = Tese.(⇐=):Hipotese = afirmacao B =⇒ afirmacao 1 =⇒ afirmacao 2 =⇒ · · · =⇒ afirmacao A = Tese.

Como exemplo, ver ex. 3 da secao 3.2.1.

5.3 Reducao ao absurdo e contradicao

Em muitos casos queremos demonstrar que Hipotese =⇒ Tese, mas a demonstracao dedutiva (isto e, supondoa hipotese verdadeira demonstrar que a tese e verdadeira) pode ser muito trabalhosa ou difıcil de demonstrar.

Vamos ver o que acontece se negamos a Tese, isto e, se supomos a Tese falsa. Veremos duas possibilidades.

• Tese falsa =⇒ afirmacao 1 =⇒ afirmacao 2 =⇒ · · · =⇒ afirmacao ′′comprovadamente falsa′′.Como assim? conseguimos provar que uma afirmacao ′′comprovadamente falsa′′ e verdadeira?Isso e um absurdo !!!Logo, como nao podemos negar a Tese, a Tese e verdadeira.Exemplos de afirmacoes ′′comprovadamente falsas′′: 4 = 2, 10 e um numero primo, · · · .O que acabamos de descrever e visualizar e a tecnica de reducao ao absurdo, pode ser resumida assim:Se provar: Tese falsa =⇒ afirmacao ′′comprovadamente falsa′′, estara provado: Hipotese =⇒ Tese.

• Tese falsa =⇒ afirmacao 1 =⇒ afirmacao 2 =⇒ · · · =⇒ Hipotese falsa

Na secao 2.4.1 (o conectivo =⇒ (implicacao)) vimos que p =⇒ q e nao q =⇒ nao p tem mesmo significado.

Assim, se provar: Tese falsa =⇒ Hipotese falsa, estara provado: Hipotese =⇒ Tese.Como queremos que a hipotese do enunciado seja verdadeira e quando conseguimos provar que Tese falsa =⇒Hipotese falsa, dizemos que hipotese falsa e uma contradicao com a hipotese que queremos verdadeira.O absurdo aqui e a hipotese do enunciado ser verdadeira e falsa simultaneamente.Esse tipo de demonstracao e chamado de tecnica por contradicao com a hipotese .

Atencao: nas duas tecnicas nao e possıvel usar a implicacao: ′′hipotese do enunciado′′ =⇒ ′′tese do enunciado′′

porque isso ainda nao foi provado, e justamente o que queremos provar!!!

Exemplos:

1. Um exemplo classico de demonstracao por absurdo e a prova que para todo numero p primo o numero√

pnao e racional, isto e, e um numero irracional. Faremos a demonstracao mais adiante, quando estudarmoscom detalhes os numeros racionais e irracionais.

2. Na demonstracao da implicacao recıproca (⇐=) da propriedade P2 da inclusao, secao 3.1.4, usamos a tecnicade contradicao com a hipotese.

5.4 Metodo indutivo

Este metodo e aplicado apenas em propriedades ou formulas em que aparece uma variavel n, tal que n e um numeronatural maior do que ou igual a um dado numero natural.

So descreveremos e usaremos essa tecnica mais adiante.

UFF/GMA - Matematica Basica - Parte II - Numeros reais Notas de aula - Marlene - 2009-1 25

Sumario

II Numeros reais: inteiros, racionais e irracionais 26

2 Operacoes, axiomas e propriedades dos reais 262.1 As operacoes Soma e Produto e os Axiomas Algebricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Definicao das operacoes subtracao e divisao e da potencia natural . . . . . . . . . . . 272.3 Propriedades algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Propriedades algebricas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Outras propriedades algebricas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Leis de cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.4 Lei do anulamento do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.5 Igualdade de fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.6 Produtos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Implicacoes e equivalencias em expressoes e em equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 O que e uma expressao? o que e uma equacao? o que e uma solucao de equacao? . . . . . 332.4.2 O que sao expressoes equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 O que sao equacoes equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.4 Simplificar expressoes e o mesmo que simplificar equacoes? . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Axiomas e propriedades de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.1 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.2 Propriedades de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 Podemos trocar ′′ < ′′ por ′′ ≤ ′′ e ′′ > ′′ por ′′ ≥ ′′ ? . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Implicacoes e equivalencias em inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.1 O que e uma desigualdade? O que e uma inequacao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.2 O que e uma solucao de inequacao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.3 Como representar as solucoes de uma inequacao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.4 Podemos simplificar inequacoes exatamente da mesma forma que simplificamos equacoes? 41

26

Parte II

Numeros reais: inteiros, racionais e irracionais

IntroducaoHistoricamente os conjuntos numericos, que sao os naturais, os inteiros, os racionais, os irracionais, os reais

e os complexos surgiram na mesma ordem em que sao estudados nas escolas de Ensino Basico, Fundamentale Medio. A necessidade de estudo de um novo tipo de conjunto numerico sempre esteve de alguma formavinculada a necessidade de ampliar as propriedades dos numeros para que pudessem resolver novos problemas.

Essa e a ordem natural de estudo e ja foi vista por todos os alunos que entram na Universidade.

Agora vamos construir axiomaticamente os numeros reais, isto e, os numeros reais serao definidos como osnumeros que satisfazem um determinado numero de axiomas ou postulados, aceitos sem demonstracao. O con-junto dos complexos serao estudados separadamente. Os outros conjuntos sao subconjuntos dos reais e algunsaxiomas dos reais nao se aplicam nos subconjuntos, destacaremos quais nao se aplicam.

Muitas vezes os axiomas tambem sao chamados de propriedades ou propriedades basicas. E muito importanteque tenhamos em mente esses axiomas, sao eles que nos permitem encontrar novas definicoes e propriedades.

A aplicacao natural das propriedades dos reais e na resolucao de equacoes e inequacoes, que surgem nosproblemas de diversas areas de conhecimento. As equacoes e inequacoes sao exaustivamente estudadas na disci-plina Pre-Calculo. Nas simplificacoes das equacoes e inequacoes sao usadas fortemente as propriedades dos reais.

Infelizmente, e muito comum o aluno aplicar as propriedades de forma equivocada, ora porque sao aplicadassem os devidos cuidados de verificar as hipoteses em que e possıvel aplicar, ora porque no afa de simplificar,surgem propriedades que nao existem.

Um dos objetivos do nosso estudo dos reais e consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reais,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do que aprendemos em nocoes de logica.

Espera-se que ao final do estudo o aluno seja capaz de aplicar os axiomas dos reais em algumas demons-tracoes de outras propriedades bem como seja capaz de identificar corretamente quais propriedades podem serusadas em simplificacoes de equacoes e inequacoes.

2 Operacoes, axiomas e propriedades dos reais

2.1 As operacoes Soma e Produto e os Axiomas Algebricos

Seja R um conjunto, chamado conjunto dos numeros reais ou conjunto dos reais.

Soma e Produto sao operacoes aplicadas sobre quaisquer dois elementos a, b ∈ R.

Unica notacao usual da soma de a e b: a + b (leia-se a mais b)Notacoes usuais do produto de a por b: a× b, a · b e ab. (leia-se a vezes b)

Para ∀ a, b, c ∈ R admitem-se verdadeiros os axiomas algebricos descritos a seguir.Axiomas da Soma Axiomas do Produto

Lei do fechamento AS1 : a + b ∈ R AP1 : a× b ∈ RLei associativa AS2 : (a + b) + c = a + (b + c) AP2 : (a× b)× c = a× (b× c)Lei comutativa AS3 : a + b = b + a AP3 : a× b = b× aLei do elemento neutro AS4 : ∃ 0 ∈ R; a + 0 = a AP4 : ∃ 1 ∈ R; a× 1 = aLei do elemento simetrico AS5 : ∀a, ∃ − a ∈ R; a + (−a) = 0 (diz − se : −a e o simetrico de a)

Lei do elemento inverso AP5 : ∀a 6= 0, ∃ 1a∈ R; a× 1

a= 1 (diz − se :

1a

e o inverso de a)

Axioma da Soma e ProdutoLei distributiva ASP : a× (b + c) = a× b + a× c


Observacoes:

• Foram atruibuıdas letras (AS1, AS2, AP5, etc) apenas para facilitar, quando for preciso citar referenciasaos axiomas.

• Qualquer outra propriedade algebrica dos reais pode ser deduzida ou provada a partir desses axiomas.Listaremos algumas importantes, algumas sao triviais de demonstrar, outras nao.

• Os numeros reais, que sao os elementos do conjunto dos reais, satisfazem esses axiomas, mas apenas essesaxiomas nao caracterizam os numeros reais, isto e, nao sao apenas os numeros reais que satisfazem essesaxiomas. Os numeros racionais, os numeros irracionais e os numeros complexos tambem satisfazem essesaxiomas.

• Os numeros naturais surgiram historicamente com o objetivo de contar objetos, onde poderia juntarobjetos e contar, isto e, somar, poderia juntar por grupos, isto e, multiplicar. Isto e, nos numerosnaturais, poderiam definir as operacoes soma e multiplicacao. A lei de formacao dos naturais comecoucom o numero 1, depois, somando 1 ao 1, obtem o 2, somando 1 ao 2, obtem o 3, depois foi estabelecidoque todo numero natural pode ser obtido como a soma de um outro numero natural com o numero 1 ,isto e, todo numero natural tem um sucessor, logo 8 e o sucessor de 7, 1001 e o sucessor de 1000, assimpor diante.

E assim, o conjunto dos naturais e {1, 2, 3, 4, 5, · · · }, como ja sabemos e denotado por N.

No conjunto N dos naturais nao existe o elemento neutro da soma, nem o elemento simetrico, mas existeo elemento neutro do produto, o unico elemento que possui elemento inverso e o proprio elemento neutro1.

• O conjunto Z dos numeros inteiros e formado pelos numeros naturais, pelo zero e pelos simetricos dosnaturais. Isto e, Z = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, · · · }.No conjunto Z dos inteiros, os unicos numeros que possuem elemento inverso sao o 1 e o −1.

• Agora vamos ver que a subtracao, a divisao e as potencias naturais podem ser definidas usando os axiomasalgebricos.

• Outra notacao para o elemento inverso de a e a−1, isto e, a−1 =1a

.

2.2 Definicao das operacoes subtracao e divisao e da potencia natural

Definicao (Subtracao) Sejam a, b ∈ R.

A subtracao b de a e denotada por a− b e definida como a soma de a com o simerico de b.

Em sımbolos, a− b := a + (−b). (leia-se a menos b)

Definicao (Divisao) Sejam a, b ∈ R e b 6= 0.

A divisao de a por b e denotada por a÷ b e definida como o produto de a pelo inverso de b.

Em sımbolos, a÷ b := a× 1b. (leia-se a dividido por b) Outras notacoes: a÷ b =

a

b= a/b

Observacao sobre a divisao por 0: como 0 nao possui inverso, a divisao por zero nao e definida.

Observacao sobre os sımbolos ′′ := ′′ e ′′ 4= ′′, conhecidos como ′′por definicao′′.

Esses dois sımbolos tem exatamente o mesmo significado: a expressao do lado esquerdo do sımbolo e nova,esta sendo definida pela expressao do lado direito, que usa algo conhecido previamente. O sımbolo ′′ 4

= ′′ emais usado em textos matematicos, o sımbolo ′′ := ′′ tambem e usado em textos matematicos mais recentes,e o mesmo sımbolo usado em programas computacionais.


Definicao (Potencia natural) Sejam a, b ∈ R e n ∈ N.

A potencia de a elevada a n e denotada por an e an := a× a× a× · · · × a︸︷︷︸n vezes

.

2.3 Propriedades algebricas

2.3.1 Propriedades algebricas basicas

Assim denominadas porque sao bastante usadas, junto com os axiomas e as definicoes, para demonstrar outraspropriedades tambem importantes.

Nas provas dessas propriedades sao usados apenas os axiomas, mas isso nao significa de forma alguma que efacil descobrir como provar todas elas. Tente provar antes de ver as demonstracoes, assim, provavelmente vocepercebera a dificuldade em algumas delas. Em todas as provas sera citado o axioma que esta sendo usado.

Afirmacao de carater mais geral que sera usada nas demonstracoes:

• Transitividade da igualdade: a = b e b = c =⇒ a = c.

Propriedade PA 1 Unicidade do elemento neutro da somaEnunciado: So existe um numero real que satisfaz o axioma de existencia de elemento neutro da soma.

Prova:Suponha, por absurdo, que a tese e falsa, isto e, suponha que existe outro elemento neutro 0′ ∈ R; 0′ 6= 0.Por um lado, 0 e elemento neutro da soma =⇒ 0′ + 0 = 0′.Por outro lado, 0′ e elemento neutro da soma =⇒ 0 + 0′ = 0.Mas, pela lei comutativa da soma, temos que 0′ + 0 = 0 + 0′

transitivvidade da igualdade=⇒ 0′ = 0.

Mas 0 = 0′ e 0 6= 0′ nao podem ocorrer simultaneamente,portanto nao e possıvel negar a tese, isto e, o elemento neutro 0 ∈ R e unico.

Propriedade PA 2 Unicidade do elemento neutro do produtoEnunciado: So existe um numero real que satisfaz o axioma de existencia de elemento neutro do produto.

Prova:Suponha, por absurdo, que a tese e falsa, isto e, suponha que existe outro elemento neutro 1′ ∈ R; 1′ 6= 1.Por um lado, 1 e elemento neutro da soma =⇒ 1′ · 1 = 1′.Por outro lado, 1′ e elemento neutro da soma =⇒ 1 · 1′ = 1.Mas, pela lei comutativa da soma, temos que 1′ · 1 = 1 · 1′ transitivvidade da igualdade

=⇒ 1′ = 1.Mas 1 = 1′ e 1 6= 1′ nao podem ocorrer simultaneamente.portanto nao e possıvel negar a tese, isto e, o elemento neutro 1 ∈ R e unico.

Propriedade PA 3 0 + a = a, ∀a ∈ R.Prova:Pela lei do elemento neutro da soma, ∃ 0 ∈ R e por hipotese, a ∈ R lei comutativa da soma=⇒ 0 + a = a + 0,pela lei do elemento neutro da soma, a + 0 = a,pela transitividade da igualdade, concluımos que 0 + a = a.

Propriedade PA 4 1 · a = a, ∀a ∈ R .Prova: (tente provar sozinho, antes de ver a demonstracao)

Pela lei do elemento neutro do produto, ∃ 1 ∈ R e por hipotese, a ∈ R lei comutativa do produto=⇒ 1 · a = a · 1,

pela lei do elemento neutro do produto, a · 1 = a,pela transitividade da igualdade, concluımos que 1 · a = a.

Propriedade PA 5 Unicidade do elemento simetricoEnunciado: So existe um numero real que satisfaz o axioma de existencia de elemento simetrico.

Prova: (tente provar sozinho, antes de ver a demonstracao)Considere a ∈ R e −a ∈ R um simetrico de a.Suponha, por absurdo, que a tese e falsa, isto e, existe outro elemento simetrico (−a)′ ∈ R; (−a)′ 6= −a.Aplicando os axiomas da soma, (−a)′ AS4= (−a)′ + 0 AS5= (−a)′ + ((a) + (−a)) AS2= ((−a)′ + a) + (−a) AS 3=


= (a + (−a)′) + (−a) AS5= 0 + (−a) AS4= −a =⇒ (−a)′ = −a.Mas (−a)′ 6= −a e (−a)′ = −a′ nao podem ocorrer simultaneamente,portanto nao e possıvel negar a tese, isto e, o elemento simetrico −a ∈ R e unico.

Propriedade PA 6 Unicidade do elemento inversoEnunciado: So existe um numero real que satisfaz o axioma de existencia de elemento inverso.Prova: exercıcio.Observacao sobre notacao de existencia e unicidade.O sımbolo ′′ ∃ ! ′′ significa ′′existe um unico′′. Pelas propriedades acima,

• Podemos escrever ∃! 0 ∈ R; a + 0 = a, ∀a ∈ R e tambem ∃! 1 ∈ R; a · 1 = a,∀a ∈ R.

• Dado a ∈ R, podemos escrever, ∃! − a ∈ R, e se a 6= 0 podemos escrever ∃! 1a∈ R.

Propriedade PA 7 −a + a = 0, ∀a ∈ R.Prova: exercıcio.

Propriedade PA 81a· a = 1, ∀a ∈ R e a 6= 0.

Prova: exercıcio.

Propriedade PA 9 −(−a) = a, ∀a ∈ R (leia-se: a e o simetrico de −a).Prova:Por hipotese, a ∈ R AS5=⇒ ∃ − a ∈ R AS5=⇒ ∃− (−a) ∈ R tal que −a + (−(−a)) = 0.Por outro lado, a ∈ R PA 7=⇒ −a + a = 0Acabamos de verificar que tanto a quanto −(−a) sao simetricos de −a.Como qualquer numero real admite apenas um simetrico, concluımos que −(−a) = a.

Propriedade PA 1011a

= a, ∀a ∈ R e a 6= 0(

leia-se: a e o inverso de1a

).

Prova: exercıcio.

Propriedade PA 11 (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R.Prova:(b + c) · a lei comutativa= a · (b + c) lei distributiva= a · b + a · c lei comutativa= b · a + c · a

Propriedade PA 12 a · 0 = 0 = 0 · a, ∀a ∈ R.Prova: (esta, aparentemente simples, nao e simples de perceber como provar, mas entender a prova e simples)

Pela lei do elemento neutro da soma e propriedade PA 2, ∃ ! 0 ∈ R; a · 0 + 0 = a · 0.Por outro lado, a · 0+a · 0 lei distributiva= a · (0+0) elemento neutro= a · 0 transitividade da igualdade

=⇒ a · 0+a · 0 = a · 0Assim, pela unicidade do elemento neutro da soma, a · 0 + a · 0︸︷︷︸

=0

= a · 0. Isto e, a · 0 = 0.

Para provar a outra igualdade, basta usar a lei comutativa, 0 · a = a · 0 = 0

Propriedade PA 13 (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.Prova: (tente provar antes, nao e simples)Por hipotese, a ∈ R, logo ∃ ! − a, o simetrico de a, tal que a + (−a) = 0.Se provarmos que a + (−1)(a) = 0, poderemos concluir que a + (−1)(a)︸︷︷︸

=−a

= 0. Isto e, (−1) · a = −a.

Logo, vamos calcular a + (−1)(a).a + (−1)(a) elemento neutro= 1 · a + (−1) · a lei distributiva= (1 + (−1)) · a elemento neutro= 0 · a PA12= 0.Provamos o que precisava provar.Para provar a outra igualdade, basta usar a lei comutativa, (−1) · a = a · (−1) = −a.


2.3.2 Outras propriedades algebricas importantes

Vamos provar apenas algumas dessas propriedades, outras serao deixadas como exercıcio. Antes de ver ademonstracao de cada propriedade, tente provar sozinho.

Para provar cada propriedade podemos usar as definicoes, axiomas e propriedades disponıveis, por essemotivo a maneira de provar nao e unica. Quanto mais propriedades ficam disponiveis, maior e o numero demaneitas diferentes de provar.

Quando aparecer o sımbolo ′′ := ′′, significa que usamos alguma definicao.

Propriedade PA 14 −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R.

Prova da primeira igualdade: −(a · b) PA13= (−1) · (a · b) associativa= ((−1) · (a)) · b PA13= (−a) · bProva da segunda igualdade: −(a·b) PA13= (−1)·(a·b) comutativa= (a·b)·(−1) associativa= a·(b·(−1)) PA13= a·(−b)

Propriedade PA 15 (−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ R.

Prova: (−a) · (−b) PA14= −(a · (−b)) PA14= = −(−(a · b)) PA9= a · b

Propriedade PA 16a · bc

= a · b

c=

a

c· b, ∀a, b, c ∈ R, c 6= 0

Prova da primeira igualdade:a · bc

:= (a · b) · 1c

associativa= a ·(

b · 1c

):= a · b

c

Prova da segunda igualdade:a · bc

:= (a · b) · 1c

associativa= a ·(

b · 1c

)comutativa= a ·

(1c· b

)

associativa=(

a · 1c

)· b :=

a

c· b

Propriedade PA 17 − 1a

=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R, a 6= 0

Prova da primeira igualdade:−1a

elemento neutro=−1 · 1

a

PA16= −1 · 1a

PA13= − 1a

Prova da segunda igualdade: pela lei do elemento inverso,1−a

e o elemento inverso de −a.

Por outro lado, (−a) ·(− 1

a

)PA15= (a) ·

(1a

)elemento neutro= 1.

Logo1−a

e −1a

sao os inversos de −a. Como o inverso e unico,1−a

= −1a

Propriedade PA 181

a · b =1a· 1

b, ∀a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0.

Prova: Primeiro vamos verificar (a · b) ·(

1a· 1

b

)= 1.

(a · b) ·(

1a· 1

b

)AP3= ab ·

(1b· 1

a

)AP2= a ·

(b · 1

b

)· 1

a

AP5= a · (1) · 1a

AP4= a · 1a

AP5= 1.

Assim, provamos que(

1a· 1

b

)e o elemento inverso de (a · b).

Como o elemento inverso de (a · b) e unico e e igual a1

(a · b) , temos que1

a · b =1a· 1

b

Propriedade PA 19a · bc · d =

a

c· b

d, ∀a, b, c, d ∈ R, c 6= 0, d 6= 0.

Prova:a · bc · d := (a · b) · 1

c · dPA18= (a · b) ·

(1c· 1

d

)AP2= a ·

(b · 1

c

)· 1

d

AP3= a ·(

1c· b

)· 1

dAP2=

(a · 1

c

)·(

b · 1d

):=

a

c· b

d


Propriedade PA 20a + b

c=

a

c+

b

c, ∀a, b, c ∈ R, c 6= 0.

Prova: exercıcio.

Atencao: como esta propriedade e muito util em simplificacoes, alguns pensam que basta trocar os nume-radores com os denominadores e a propriedade continua valendo. Isso nao e verdade.

Exercıcio: de um contra-exemplo para mostrar que a igualdadec

a + b=

c

a+

c

be falsa.

Propriedade PA 21 −(a + b) = −a− b, ∀a, b ∈ R.Prova: exercıcio.

Propriedade PA 22 − a + b

c=−a− b

c, ∀a, b, c ∈ R, c 6= 0.

Prova: exercıcio.

Propriedade PA 231a

b

=b

a, ∀a, b ∈ R, a, b 6= 0.

Prova: exercıcio.

Propriedade PA 24

a

bc

d

=a

b· d

c, ∀a, b, c, d ∈ R, b, c, d 6= 0.

Prova: exercıcio.

2.3.3 Leis de cancelamento

Propriedade PA 25 A igualdade nao se altera quando soma-se ou multiplica-se o mesmonumero nos dois lados da igualdade.

Sejam a, b, c ∈ R. Valem as seguintes propriedades:

i) a = b =⇒ a + c = b + c (preservacao da igualdade na soma)

ii) a = b =⇒ a · c = b · c (preservacao da igualdade no produto)

Prova: nessa prova so e usada a logica, nao e usado nenhum axioma ou propriedade dos reais.i) Sabemos que a + c = a + c, ∀a, c. Logo, a = b =⇒ a = b e a + c = a + c =⇒ a + c = b + c.ii) Sabemos que a · c = a · c, ∀a, c. Logo, a = b =⇒ a = b e a · c = a · c =⇒ a · c = b · c.

Propriedade PA 26 Leis de cancelamento da soma e do produto (implicacoes)

Sejam a, b, c ∈ R. Valem as seguintes propriedades:

i) a + c = b + c =⇒ a = b (e a recıproca da preservacao na soma)

ii) a · c = b · c e c 6= 0 =⇒ a = b (nao e a recıproca da preservacao no produto)

Prova:i) a + c = b + c

PA25=⇒ a + c + (−c) = b + c + (−c) AS5=⇒ a + 0 = b + 0 AS4=⇒ a = b

ii) a · c = b · c e c 6= 0 PA25=⇒ a · c · 1c

= b · c · 1c

AP5=⇒ a · 1 = b · 1 AP4=⇒ a = b

Observacao. Essa propriedade e conhecida como a ′′corta corta′′, mas e preciso tomar todo o cuidado noproduto, so pode cortar se tem certeza que o termo cortado e nao nulo e a outra igualdade e verdadeira.

Veja esse exemplo:4 · x = 3 · x, aplicando o ′′corta corta′′, 4 6 x = 3 6 x, concluımos que 4 = 3. Ue? o que houve?Resposta: a igualdade 4x = 3x e verdadeira apenas quando x = 0, isto e, a hipotese da lei do cancelamento

(4 · x = 3 · x e x 6= 0) e falsa, nao podemos aplicar a propriedade.


Lembre sempre

So podemos aplicar uma propriedade quando

forem verdadeiras as hipoteses da propriedade.

Propriedade PA 27 Lei de cancelamento da soma (equivalencia)

Sejam a, b, c ∈ R. Vale a seguinte propriedade: a = b ⇐⇒ a + c = b + c.

Prova: (releia as propriedades PA25 i) e PA26 i) )

(=⇒) Ja esta provada, e a propriedade PA25 i).(⇐=) Ja esta provada, e a propriedade PA26 i).

Observacao: no cancelamento do produto vamos precisar acrescentar c 6= 0 na hipotese paraque seja verdadeira a equivalencia.

Isto e, sejam a, b, c ∈ R, a seguinte afirmacao, a = b ⇐⇒ a · c = b · c E FALSA,E FALSA PORQUE (⇐=) E FALSA.

Contra-exemplo:a = 10, b = 2, c = 0, a, b, c ∈ R, a hipotese 10× 0 = 2× 0 e verdadeira e a tese 10 = 2 e falsa.

Propriedade PA 28 Lei de cancelamento do produto (equivalencia)

Sejam a, b, c ∈ R, c 6= 0. Vale a seguinte propriedade: a = b ⇐⇒ a · c = b · c.

Prova: (releia as propriedades PA25 ii) e PA26 ii) )

(=⇒) Ja esta provada, e a propriedade PA25 ii).(⇐=) Ja esta provada, e a propriedade PA26 ii).

2.3.4 Lei do anulamento do produto

Propriedade PA 29 Lei do anulamento do produto

Para a, b ∈ R vale a seguinte equivalencia: a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0

Prova:(⇐=) Por hipotese, a = 0 ou b = 0. Analisando cada um dos dois casos,caso a = 0 =⇒ a · b = 0 · b = 0ou caso b = 0 =⇒ a · b = a · 0 = 0(=⇒) Pela logica, dado a ∈ R, a = 0 ou a 6= 0. Por hipotese, a · b = 0. Assim, temosa · b = 0 =⇒ a · b = 0 e (a = 0 ou a 6= 0) =⇒ (a · b = 0 e a = 0) ou (a · b = 0 e a 6= 0)Analisando cada um dos dois casos,caso (a · b = 0 e a = 0) =⇒ a = 0

ou caso (a · b = 0 e a 6= 0) =⇒ 1a· a · b =

1a· 0 =⇒ 1 · b = 0 =⇒ b = 0

Propriedade PA 30 Para a, b ∈ R vale a seguinte equivalencia: a · c = b · c ⇐⇒ a = b ou c = 0

Prova: e simples entender que e uma consequencia da lei do anulamento.a · c = b · c ⇐⇒ a · c + (−b · c) = b · c + (−b · c) ⇐⇒ a · c− b · c = 0 ⇐⇒ (a− b) · c = 0 PA29⇐⇒ a− b = 0 ou c = 0⇐⇒ a− b + b = 0 + b ou c = 0 ⇐⇒ a + 0 = b ou c = 0 ⇐⇒ a = b ou c = 0.


2.3.5 Igualdade de fracoes

Propriedade PA 31 Teste da igualdade de fracoes.

Para a, b, c, d ∈ R, b, d 6= 0 e verdadeira a seguinte equivalencia:a

b=

c

d⇐⇒ a · d = b · c.

Voce prestou atencao nas hipoteses b, d 6= 0? Sem essas hipoteses nao vale a equivalencia porque as ex-pressoes da igualdade do lado esquerdo nao estariam definidas se tivessem denominadores nulos.

Prova: Exercıcio. Sugestao: use a propriedade PA28.

Propriedade PA 32 Simplificacoes em somas de fracoes (reducao ao mesmo denominador).

Para a, b, c, d, p, q ∈ R, b, d, p, q 6= 0, valem as seguintes igualdades:

i)a

b+

c

d=

ad

bd+

bc

bd=

ad + bc

bd

ii)a

b− c

d=

ad

bd− bc

bd=

ad− bc

bd

iii) Quando m=bp=dq,a

b+

c

d=

ap

bp+

cq

dq=

ap + cq

m

Provas: Exercıcio.

Obs. Se b, d, p, q ∈ N, m sera um multiplo comum de b e d.

2.3.6 Produtos notaveis

Propriedade PA 33 Principais produtos notaveis.

Sejam a, b ∈ R, n ∈ N. Valem as seguintes igualdades.

i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

ii) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

iii) (a− b)2 = a2 − 2ab + b2

iv) (a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

v) a2 − b2 = (a− b)(a + b)

vi) a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

vii) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

viii) an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1)

Prova: exercıcio. Provar da i) ate a viii).

Ha um produto notavel importante que sera estudado mais adiante, e o produto denominado Binomio deNewton. O Binomio de Newton estabelece uma formula para (a + b)n.

2.4 Implicacoes e equivalencias em expressoes e em equacoes

Agora temos por objetivo justificar o uso das propriedades algebricas para simplificar expressoes e equacoes.Primeiro vamos precisar responder as seguintes perguntas:

2.4.1 O que e uma expressao? o que e uma equacao? o que e uma solucao de equacao?

Uma expressao algebrica em x ∈ A, que denotaremos por E(x), e o resultado obtido pela aplicacao dasoperacoes algebricas soma, produto, subtracao, divisao, potenciacao e radiciacao sobre a variavel x e sobrevalores fixos ou constantes.

Ainda nao fizemos a revisao de radiciacao, sera feita mais adiante.Existem expressoes em x que nao sao expressoes algebricas.Exemplos de expressoes algebricas em x: E(x) = 4x2 + 2x− 1 +

x

x− 1; E(x) =

√x + 2

√x− 1.

Exemplo de expressoes nao algebricas em x: E(x) = 2 sen (x)+4 cos(2x); E(x) = 3 log10(2x)+3 log2(3x).


As expressoes trigonometricas serao revisadas e estudadas em Pre-Calculo e as logarıtmicas em MatematicaBasica.

Uma equacao em x e uma igualdade entre duas expressoes em x.

Um valor fixo a e uma solucao de uma equacao em x se ao atribuırmos o valor fixo a a variavel x,encontramos o mesmo valor nas duas expressoes da equacao.

2.4.2 O que sao expressoes equivalentes?

Diz-se que duas expressoes sao iguais ou equivalentes em x ∈ A quando para todo x ∈ A, se subtituirmoso valor x nas duas expressoes, os resultados obtidos nas duas expressoes sao iguais.

Quando transformamos uma expressao E(x) em outra expresssao atraves da aplicacao sucessiva de pro-priedades algebricas sobre os termos constantes e sobre o termo variavel x da expressao E(x), obtemos umanova expressao F (x) na varıavel x.

Alguns casos de aplicacao de propriedades das operacoes algebricas em que obtemos expressoes iguais ouequivalentes:

• Se somarmos e subtrairmos uma mesma expressao a qualquer expressao que faca parte da expressaooriginal entao sera obtida uma nova expressao igual ou equivalente a original.

Justificativa

Considere H(x) uma expressao que faz parte da expressao original E(x).

Somando e subtraindo uma expressao G(x) a H(x), obtemos H(x)+ G(x)−G(x) = H(x)+ 0 = H(x).

Assim nao alteramos a expressao H(x), consequentemente nao alteramos a expressao E(x).

Exemplo 1 E(x) = 4x2 + 8x− 1 e vamos somar e subtrair 4 a E(x).

F (x) = E(x) + 4− 4 = 4x2 + 8x− 1 + 4− 4 = 4x2 + 8x + 4− 1− 4 = = 4(x2 + 2x + 1)− 5 = 4(x + 1)2− 5.

Assim, as expressoes E(x) = 4x2 + 8x− 1 e F (x) = 4(x + 1)2 − 5 sao iguais ou equivalentes.

Exemplo 2 E(x) =x− 2x− 1

e vamos somar e subtrair 1 a x− 2.

F (x) =x− 2 + 1− 1

x− 1=

x− 1− 2 + 1x− 1

=x− 1− 1

x− 1=

x− 1x− 1

− 1x− 1

= 1− 1x− 1

.

Assim, as expressoes E(x) =x− 2x− 1

e F (x) = 1− 1x− 1

sao iguais ou equivalentes.

Exemplo 3 E(x) =x2 + 1

x2 + x + 1e vamos somar e subtrair x a x2 + 1.

F (x) =x2 + x− x + 1

x2 + x + 1=

x2 + x + 1− x

x2 + x + 1=

x2 + x + 1x2 + x + 1

− x

x2 + x + 1= 1− x

x2 + x + 1.

Assim, as expressoes E(x) =x2 + 1

x2 + x + 1e F (x) = 1− x

x2 + x + 1sao iguais ou equivalentes.

• Se multiplicarmos e dividirmos uma mesma expressao nao nula em x ∈ A, por qualquer expressao quefaca parte da expressao original entao sera obtida uma nova expressao igual ou equivalente a expressaooriginal em x ∈ A .

Justificativa

Considere H(x) uma expressao que faz parte da expressao original E(x).

Multiplicando e dividindo H(x) por uma expressao G(x), onde x e tal que G(x) 6= 0, obtemos:

H(x) · G(x)G(x)

= H(x) · 1 = H(x), onde x e tal que G(x) 6= 0

Assim nao alteramos a expressao H(x), consequentemente nao alteramos a expressao E(x) para x talque G(x) 6= 0.


Exemplo E(x) =x− 1√x + 1

, vamos multiplicar e dividir por (√

x− 1), para x 6= 1.

F (x) =(x− 1)

(√

x + 1)· (√

x− 1)(√

x− 1)=

(x− 1) (√

x− 1)((√

x)2 − 12) =

(x− 1) (√

x− 1)(x− 1)

=√

x− 1 para x 6= 1.

Assim, as expressoes E(x) =x− 1√x + 1

e F (x) =√

x− 1 sao iguais ou equivalentes para x 6= 1.

Vale a pena observar que algumas operacoes algebricas aplicadas sobre uma expressao, nao conduzem a umanova expressao igual ou equivalente a expressao original, isto e, conduzem a uma nova expressao que nao eequivalente a expressao original.

• Somar a mesma expressao ao numerador e ao denominador de uma expressao nao conduz a uma expressaoequivalente.

Exercıcio 1: Verifique quex + a

x− a6= x + a + a

x− a + a, ∀a 6= 0.

Exercıcio 2: Sejam P (x), Q(x),H(x) expressoes em x tais que H(x) 6= 0 e Q(x) + H(x) 6= 0 .

Prove queP (x)Q(x)

=P (x) + H(x)Q(x) + H(x)

⇐⇒ P (x) = Q(x).

• Elevar uma expressao ao quadrado nao conduz a uma expressao equivalente.

Exercıcio: Verifique quex− 1√

xe

(x− 1)2

xnao sao equivalentes.

2.4.3 O que sao equacoes equivalentes?

Considere duas equacoes em x ∈ A, F (x) = G(x) e K(x) = L(x).

Essas equacoes sao ditas equivalentes em x ∈ A quando

x ∈ A e solucao de F (x) = G(x) ⇐⇒ x ∈ A e solucao de L(x) = K(x).

Isto significa que:x ∈ A e solucao de F (x) = G(x) =⇒ x ∈ A e solucao de L(x) = K(x)ex ∈ A e solucao de L(x) = K(x) =⇒ x ∈ A e solucao de F (x) = G(x)

2.4.4 Simplificar expressoes e o mesmo que simplificar equacoes?

A resposta e nao.

Simplificar uma expressao E(x), x ∈ A significa aplicar sucessivamente propriedades algebricas sobre aexpressao E(x), x ∈ A para obter uma nova expressao F (x), x ∈ A igual ou equivalente a expressao originalE(x), x ∈ A.

Simplificar uma equacao E(x) = F (x), x ∈ A significa aplicar sucessivamente propriedades algebricas sobreas expressoes E(x) e F (x), x ∈ A para obter uma nova equacao K(x) = L(x), x ∈ A.

Observacoes importantes sobre simplificacao de equacao:

• As expressoes K(x) e L(x) obtidas da simplificacao da equacao E(x) = F (x) nao sao equivalentes asrespectivas expressoes E(x) e F (x).

Exemplo

F (x) = 4x2 e G(x) = 8x− 4 na equacao original 4x2 = 8x− 4.

Podemos aplicar a propriedades de cancelamento da soma a = b ⇐⇒ a+ c = b+ c e da multiplicacao parac 6= 0, temos a = b ⇐⇒ a · c = b · c. E tambem a propriedade a2 = 0 ⇐⇒ a = 0 (nao foi dada, prove).

Aplicando as propriedades para simplificar,


4x2 = 8x− 4+(−8x+4)⇐⇒ 4x2 +(−8x+4) = 8x− 4+ (−8x+4) ⇐⇒ 4x2− 8x+4 = 0 ⇐⇒ 4(x2− 2x+1) = 0

÷4 6=0⇐⇒ 44(x2 − 2x + 1) =

04⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 0 ⇐⇒ (x− 1)2 = 0 ⇐⇒ x− 1 = 0 ⇐⇒ x = 1.

Assim na simplificacao obtivemos como ultima equacao x = 1, isto e, temos K(x) = x e L(x) = 1.

F (x) = 4x2 e K(x) = x nao sao equivalentes.

G(x) = 8x− 4 e L(x) = 1 nao sao equivalentes.

• Porque as solucoes da ultima equacao simplificada sao as unicas candidatas a solucoes da primeira equacao?

Isso e uma questao de logica.

Ao resolver equacoes, nas simplificacoes estaremos usando propriedades. E muito comum escrevermosuma equacao embaixo da outra, sem explicitar se a propriedade usada na simplificacao e uma propriedadede equivalencia ou se e uma propriedade so de implicacao, isto e, nao vale a recıproca da simplificacao.

Veja, tanto nas propriedades de equivalencia quanto nas propriedades de implicacao usadas nas simpli-ficacoes, temos:

x ∈ A e solucao da equacao E(x) = F (x) =⇒ x ∈ A e solucao da equacao K(x) = L(x).

Sabemos que p =⇒ q e o mesmo que ∼ q =⇒∼ p.

Aplicando essa propriedade de logica, temos que:

x ∈ A nao e solucao da equacao K(x) = L(x) =⇒ x ∈ A nao e solucao da equacao F (x) = G(x).

Isto e, para ser solucao de F (x) = G(x) e necessario ser solucao da equacao K(x) = L(x).

• Quando podemos afirmar que todas as solucoes da ultima equacao simplificada sao exatamente as solucoesda equacao original?

Resposta: quando todas as propriedades usadas nas simplificacoes foram propriedades de equivalencia,garantimos que as solucoes da ultima equacao sao todas as solucoes da primeira equacao.

Exemplo

No exemplo anterior, todas as simplificacoes foram de equivalencia. Logo, como a unica solucao da ultimaequacao e x = 1 entao a unica solucao da equacao original 4x2 = 8x− 4 sera x = 1.

• Quando e preciso testar se as solucoes da ultima equacao simplificada sao exatamente as solucoes daprimeira equacao?

Resposta: Quando nas simplificacoes foi usada pelo menos uma propriedade em que so vale a implicacao,isto e, nao vale a recıproca da propriedade usada.

Exemplo: Queremos resolver a equacao√

x = 6− x.

Para resolver, vamos usar a propriedade a = b =⇒ a2 = b2. Exercıcio: prove que a recıproca e falsa, istoe, a2 = b2 6=⇒ a = b.√

x = 6−x =⇒ (√

x)2 = (6−x)2 ⇐⇒ x = 36−12x+x2 ⇐⇒ x2−12x+36−x = 0 ⇐⇒ x2−13x+36 = 0

⇐⇒ x =13±√169− 144

2⇐⇒ x =

13± 52

⇐⇒ x = 9 ou x = 4.

Testando as solucoes na equacao original,

Para x = 4, temos√

4 = 2 e 6− 4 = 2. Logo a equacao√

x = 6− x e verdadeira para x = 4.

Para x = 9, temos√

9 = 3 e 6− 9 = −3. Logo a equacao√

x = 6− x e falsa para x = 9.

Assim, a unica solucao e x = 4.

Lembre sempre

Para resolver equacoes e preciso saber bem

as propriedades algebricas.

2.5 Axiomas e propriedades de ordem

2.5.1 Axiomas de ordem

Os seguintes axiomas (ou propriedades) sao aceitos, sem demonstracao.

Axioma da ordem 1. Dado a ∈ R, uma e so uma das tres possibilidades e verdadeira:

(i) a e positivo (ii) a = 0 (iii) −a e positivo

Conhecido como ′′propriedade de tricotomia da ordem′′.

Quando −a e positivo, diz-se que a e negativo.

Axioma da ordem 2. Dados a, b ∈ R vale as afirmacao:

a e positivo e b e positivo =⇒ a + b e positivo e a · b e positivo.

Conhecido como ′′ propriedade de fechamento da ordem ′′, na soma e no produto.

Consequencia imediata dos axiomas: 1 e positivo e −1 e negativo.Prova: sabemos que 1 6= 0, logo pelo axioma 1, temos dois casos excludentes:caso (i) 1 e positivo.caso (iii) −1 e positivo. Neste caso, pelo axioma 2, concluımos que (−1)(−1) e positivo. (*)Por outro lado, sabemos que (−1)(−1) = 1 (**).Por (*) e (**), concluımos que o numero 1 e positivo.Essa conclusao contradiz o o axioma 1, pois nao e possivel −1 positivo e 1 positivo.Logo, nao e possıvel supor −1 positivo.So restou o caso (i) 1 e positivo.Nessa prova vimos que −1 nao e positivo.Como sabemos que −1 6= 0, so resta a possibilidade −(−1) e positivo, isto e, −1 e negativo.

Definicao. Ordenacao dos numeros reais. Dados quaisquer a, b ∈ R,

Diz-se que a e maior do que b se a− b e positivo e denota-se por a > b.

Diz-se que a e menor do que b se b− a e positivo e denota-se por a < b.

Consequencia da definicao: caso particular, a ∈ R e b = 0:

Diz-se que a e maior do que 0 se a− 0 = a e positivo, isto e, se a e positivo e denota-se por a > 0.

Diz-se que a e menor do que 0 se 0−a = −a e positivo, isto e, se a e negativo e denota-se por a < 0.

2.5.2 Propriedades de ordem

A partir dos axiomas da ordem, prova-se outras propriedades de ordem. Aqui estao listadas algumas delas.Outras, que nao estao listadas, podem ser demonstradas a partir dos axiomas e das propriedades listadas aqui.

Propriedade PO 1 Dado a ∈ R, uma e so uma das tres possibilidades e verdadeira:

(i) a > 0 (ii) a = 0 (iii) a < 0

Tambem e conhecida por ′′tricotomia da ordem′′.

Prova: Pelo axioma 1, uma e so uma das tres possibilidades e verdadeira(i) a e positivo.Nesse caso, por definicao de maior do que, temos que a e maior do que 0, denotado por a > 0.(ii) a = 0. Nesse caso e identico, nada a provar.(iii) −a e positivo.Nesse caso, por definicao de menor do que, temos que a e menor do que 0, denotado por a < 0.

Propriedade PO 2 Dados a, b, c ∈ R, vale a implicacao: a 0 =⇒ b − a + 0 > 0 =⇒ b − a + c + (−c) > 0 =⇒ b + c − a − c > 0=⇒ b + c− (a + c) > 0 =⇒ b + c > a + c =⇒ a + c < b + c.

Propriedade PO 3 Dados a, b, c ∈ R e c > 0, vale a implicacao: a 0 =⇒ b > a e c > 0 =⇒ b− a > 0 e c > 0 axioma 2=⇒ (b− a) · c > 0bc− ac > 0 =⇒ bc > ac =⇒ ac < bc.

Propriedade PO 4 Dados a, b, c ∈ R e c < 0, vale a implicacao: a b · c.Conhecida como ′′lei de inversao da ordem no produto′′.

Prova: a 0 e 0− c > 0 =⇒ b− a > 0 e − c > 0 axioma 2=⇒ (b− a) · (−c) > 0

b · (−c)− a · (−c) > 0 =⇒ −bc + ac > 0 =⇒ ac− bc > 0maior do que

=⇒ ac > bc.

Propriedade PO 5 Dados a, b, c ∈ R, vale a implicacao: a 0 e c− b > 0 axioma 2=⇒ b− a + c− b > 0 =⇒ c− a + b− b > 0c− a + 0 > 0 =⇒ c− a > 0 =⇒ c > a =⇒ a < c.

Propriedade PO 6 (outra tricotomia). Dados a, b ∈ R, uma e so uma das possibilidades e verdadeira:

(i) a b

Prova: Dados a, b ∈ R, podemos calcular b− a.

Aplicando a propriedade PO 1 (segunda tricotomia) em a− b, temos 3 casos distintos:(i) a− b < 0 (ii) a− b = 0 (iii) a− b > 0Mas, aplicando as definicoes de maior do que e menor do que, a cada um deles, temos respectivamente:(i) a b

Propriedade PO 7 Dados a, b, c ∈ R, vale a equivalencia: a < b ⇐⇒ a + c < b + c.

Prova: Vamos separar em ida (=⇒) e volta (⇐=).(=⇒) E a propria PO 2.(⇐=) a + c 0 ⇐⇒ 1a

> 0 (ii) a < 0 ⇐⇒ 1a

< 0

Prova:

(i) (=⇒) a > 0 =⇒ a 6= 0 =⇒ ∃ !1a6= 0; a

1a

= 1. Suponha, por absurdo, que1a

< 0menor do que

=⇒

− 1a

> 0 axioma2=⇒ a ·(− 1

a

)> 0 =⇒ −1 > 0, o que e absurdo. Pelo axioma 1, so resta o caso

1a

> 0.

(⇐=)1a

> 0. Suponha, por absurdo, que a < 0menor do que

=⇒ −a > 0 axioma2=⇒ −a ·(

1a

)> 0 =⇒ −1 > 0,

o que e absurdo. Pelo axioma 1, so resta o caso a > 0.

(ii) Exercıcio

Propriedade PO 9 Dados a, b, c ∈ R, c > 0, vale a equivalencia: a 0PO 8=⇒ ac < bc e1c

> 0 PO 3=⇒ ac1c

< bc1c

=⇒ a · 1 bc.

Prova: Exercıcio.

Propriedade PO 11 Dados a, b ∈ R, valem as equivalencias:

(i) a < 0 ⇐⇒ −a > 0 (ii) a > 0 ⇐⇒ −a < 0 (iii) a −b (iv) a > b ⇐⇒ −a < −b.

Prova:(i) a < 0 e − 1 < 0 PO 10⇐⇒ (−1) · a > (−1) · 0 ⇐⇒ −a > 0

(ii) −a < 0(i)⇐⇒ −(−a) > 0 ⇐⇒ a > 0

(iii) a (−1)b ⇐⇒ −a > −b

(iv) a > b e − 1 < 0 ⇐⇒ b < a e − 1 < 0(PO 10)⇐⇒ (−1)b > (−1)a ⇐⇒ −b > −a ⇐⇒ −a < −b

Propriedade PO 12 Dados a, b ∈ R, valem as equivalencias:

(i) ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0)

(ii) ab < 0 ⇐⇒ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0)

Provas: Vamos provar (i). Exercıcio: provar (ii)(i) (⇐=) Hipotese: (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0)As duas afirmacoes entre parenteses sao excludentes pois sao falsos os seguintes casos:(a > 0 e b > 0 e a < 0) ou (a > 0 e b > 0 e b < 0) ou (a > 0 e a < 0 e b < 0) ou (b > 0 e a < 0 e b < 0).Assim, so restam os 2 casos verdadeiros e excludentes:Caso 1 (a > 0 e b > 0) axioma2=⇒ a · b > 0.Caso 2 (a < 0 e b < 0) PO 11=⇒ −a > 0 e − b > 0 axioma2=⇒ (−a)(−b) > 0 =⇒ a · b > 0.

(=⇒) Hipotese: ab > 0.Pela tricotomia da ordem, sabemos que a = 0 ou a < 0 ou a > 0.Analisando cada um deles,Caso 1 a = 0 =⇒ ab = 0 · b = 0. Logo o caso a = 0 e ab > 0 e falso.

Caso 2 a > 0 e ab > 0 PO 8=⇒ 1a

> 0 e ab > 0 PO 3=⇒ 1a· ab >

1a· 0 =⇒ 1 · b > 0 =⇒ b > 0.

Logo, nesse caso, a > 0 e b > 0.

Caso 3 a < 0 e ab > 0 PO 8=⇒ 1a

< 0 e ab > 0 PO 4=⇒ 1a· ab <

1a· 0 =⇒ 1 · b < 0 =⇒ b < 0.

Logo, nesse caso, a < 0 e b < 0.

Propriedade PO 13 Dado a ∈ R, vale a implicacao: a > 0 =⇒ a2 > 0.

Outra forma de escrever essa propriedade e: para todo a ∈ R; a > 0 temos que a2 > 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: use a2 = a · a e o axioma 2.

Propriedade PO 14 Dado a ∈ R, nao vale a recıproca da propriedade anterior, isto e, a2 > 0 6=⇒ a > 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: apresente um contra-exemplo.

Propriedade PO 15 Dado a ∈ R, vale a implicacao: a < 0 =⇒ a2 > 0.

Outra forma de escrever essa propriedade e: para todo a ∈ R; a < 0 temos que a2 > 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: use a2 = a · a = (−a)(−a) = (−a)2, a propriedade PO11 e o axioma 2.

Propriedade PO 16 Dado a ∈ R, vale a equivalencia: a 6= 0 ⇐⇒ a2 > 0.

Outra forma de escrever essa propriedade e: para todo a ∈ R; a 6= 0 se e so se a2 > 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: para a 6= 0 separe nos dois casos possıveis e excludentes, a > 0 e a < 0.

Propriedade PO 17 Dado a ∈ R, valem as equivalencias: (i) a > 0 ⇐⇒ a3 > 0 (ii) a < 0 ⇐⇒ a3 < 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: use a3 = a2 · a, axiomas e propriedades anteriores.

2.5.3 Podemos trocar ′′ < ′′ por ′′ ≤ ′′ e ′′ > ′′ por ′′ ≥ ′′ ?

A resposta e SIM, em todos os axiomas e propriedades podemos trocar.

Mas e preciso entender o que isso significa. Lembre que a ≤ b significa a = b ou a < b, sao casos excludentes.

Quando escrevemos a ≤ b =⇒ c ≤ d significa que:a = b =⇒ c ≤ d =⇒ c = d ou c < d. Isto e, a = b =⇒ c = d ou c < d (ou exclusivo)

ou (exclusivo)

a < b =⇒ c ≤ d =⇒ c = d ou c < d. Isto e, a < b =⇒ c = d ou c < d (ou exclusivo)

Ou ainda, a ≤ b =⇒ c = d ou c < d (ou exclusivo)

Exemplo. Vamos verificar que a seguinte afirmacao e verdadeira x ≤ 2 =⇒ x ≤ 3.Prova: x ≤ 2 =⇒ x = 2 ou x < 2 =⇒ (x = 2 ou x < 2) e 2 < 3 =⇒ (x = 2 e 2 < 3) ou (x < 2 e 2 < 3)=⇒ (x < 3) ou (x < 3) =⇒ x < 3 =⇒ x ≤ 3.

Propriedade PO 18 Vale a seguinte implicacao: a ∈ R =⇒ a2 ≥ 0.

Prova: Exercıcio. Sugestao: para x ∈ R considere os 2 casos possıveis e excludentes x = 0 e x 6= 0e use propriedades anteriores.

Preste atencao para a grande importancia dessa propriedade.

Como e uma implicacao, podemos afirmar: para todo numero real, o seu quadrado e positivo nulo. Ou ditode outra forma, o quadrado de qualquer numero real e positivo ou nulo.

Podemos pensar em um outro conjunto que satisfaca todas as propriedades algebricas apresentadas ate aqui,mas que nao satisfaca essa propriedade, isto e, um conjunto onde o seu quadrado pode ser um numero negativo.

E justamente pensando nisso que historicamente surgiram os numeros complexos. Isto e, existem outrosnumeros que nao sao os reais, cujo quadrado e um numero negativo. Estudaremos os numeros complexos nofinal desse perıodo.

2.6 Implicacoes e equivalencias em inequacoes

Da mesma forma que observamos no item 2.4, vamos responder algumas perguntas.

2.6.1 O que e uma desigualdade? O que e uma inequacao?

Dados dois numeros a, b ∈ R, sabemos que a = b ou a 6= b. Como a 6= b significa que a > b ou a < b,nos dois casos, diz-se que ha uma desigualdade entre a e b.

Considere A ∈ R.Uma inequacao em x ∈ A e uma desigualdade entre duas expressoes E(x) e F (x) definidas em x ∈ A.

Assim, E(x) < F (x), x ∈ A e E(x) > F (x), x ∈ A sao inequacoes em x ∈ A.

Observamos que E(x) ≤ F (x), x ∈ A e na verdade uma forma de escrever uma equacao e inequacaosimultaneamente, mas e usual nos referimos apenas como inequacao. Idem para E(x) ≥ F (x), x ∈ A.

Exemplo de inequacao algebrica:1

x− 1> 4− 2− x

x− 4, x ∈ A = {x ∈ R; x 6= 1, x 6= 4}.

Exemplo de inequacao nao algebrica: 1− sen 2(2x− 3π) < cos2(2x), x ∈ A = R .

2.6.2 O que e uma solucao de inequacao?

Um valor fixo a e uma solucao de uma inequacao em x se ao atribuırmos o valor fixo a a variavel x, adesigualdade da inequacao e verdadeira.

A solucao de uma inequacao e o conjunto de todas as solucoes da inequacao.A solucao de uma inequacao sera um subconjunto dos numeros reais, podera ser o conjunto dos reais, um

subconjunto proprio e nao vazio dos reais ou o conjunto vazio.

2.6.3 Como representar as solucoes de uma inequacao?

As formas usuais sao:

• Usar as notacoes de desigualdades, por exemplo, {x ∈ R; −3 ≤ x < 4 ou x > 10}.• Usar as notacoes de intervalos, por exemplo, [−3, 4) ∪ (10,∞).

• Representar na reta numerica, por exemplo, -−3

s∼∼∼∼∼4

c10

c∼∼∼∼∼

Estamos admitindo que os conceitos de intervalos e reta numerica foram vistos em Pre-Calculo.

2.6.4 Podemos simplificar inequacoes exatamente da mesma forma que simplificamos equacoes?

A resposta e nao. Motivo: as propriedades das equacoes e das inequacoes nem sempre sao as mesmas.

Exemplo: Resolver a equacaox

x− 2=

x + 4x

e a inequacaox

x− 2<

x + 4x

.

Para resolver a equacao, vamos usar apropriedade: para c, d 6= 0,

a

b=

c

d⇐⇒ ad = bc.

Assim, para x 6= 0 e x− 2 6= 0, temos quex

x− 2=

x + 4x

⇐⇒

x2 = (x− 2)(x + 4) ⇐⇒x2 = x2 − 2x + 4x− 8 ⇐⇒0 = 2x− 8 ⇐⇒8 = 2x ⇐⇒4 = x

Solucao da equacao: x = 4

Agora, imaginando que existe uma propriedadeanaloga para resolver a inequacao, vamos substi-tuir ′′ = ′′ por ′′ < ′′ em tudo.

x

x− 2<

x + 4x

⇐⇒

x2 < (x− 2)(x + 4) ⇐⇒x2 < x2 − 2x + 4x− 8 ⇐⇒0 < 2x− 8 ⇐⇒8 < 2x ⇐⇒4 < x

Solucao da inequacao: x > 4

Agora, vamos testar se a solucao da inequacao esta correta em alguns valores arbitrarios de x.

Substituindo x = 6 > 4 nos dois lados da inequacao original,6

6− 2=

34

e6 + 4

6=

106

=53. De fato,

34

<53.

Substituindo x = 1 < 4 nos dois lados da inequacao original,1

1− 2= −1 e

1 + 41

= 5. Vemos, −1 < 5.

Mas, x = 1 < 4 nao faz parte da solucao encontrada. Logo, a solucao da inequacao esta errada.

Isto significa que foi cometido algum erro na resolucao da inequacao. Antes de ler a observacao abaixo, tentedescobrir onde foi cometido o erro.

Aqui esta o erro.

Foi dito, imaginando que existe uma propriedade analoga, essa propriedade nao existe !!!.

Exercıcio: de pelo menos dois contra-exemplos para verificar quepara c, d 6= 0,

a

b<

c

d⇐⇒ ad < bc e FALSA.

Exercıcio: resolva a inequacao, usando as propriedades algebricas para simplificar expressoes e usando aspropriedades de implicacao ou de equivalencia relativas a ordem dos numeros reais.

Confira, a solucao da inequacao e {x ∈ R; 0 < x < 2 ou x > 4} = (0, 2) ∪ (4,∞).

Quando podemos afirmar que a solucao da ultima inequacao simplificada e exatamente asolucao da inequacao original?

Resposta: quando todas as propriedades algebricas e de ordem usadas nas simplificacoes foram propriedadesde equivalencia, garantimos que a solucao da ultima inequacao e a solucao da primeira.

Lembre sempre

Para resolver inequacoes e preciso saber bem

as propriedades algebricas e as propriedades de ordem.

UFF/GMA - Matematica Basica - Parte III - Funcao Notas de aula - Marlene - 2009-1 42

Sumario

III Funcao: conceitos gerais 43

3 Funcao - conceitos gerais 433.1 Conceito e representacao simbolica de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Exemplos e contra-exemplos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Domınio e imagem de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Igualdade de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Propriedades de funcao: injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1 Funcao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.2 Funcao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.3 Funcao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 Composicao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

43

Parte III

Funcao: conceitos gerais

Introducao

Podemos dizer que atualmente em quase todas as areas ou teorias da matematica as funcoes desempenham papelprimordial. Em cada area ou teoria aprofunda-se o estudo de funcoes particulares visando tanto o desenvolvimentoda teoria quanto de suas aplicacoes. Na disciplina Matematica Basica temos apenas por objetivo estudar algunsconceitos gerais do estudo das funcoes, eles sao usados nas funcoes particulares estudadas nas areas ou teorias damatematica.

3 Funcao - conceitos gerais

3.1 Conceito e representacao simbolica de funcao

O conceito geral de funcao e simples, falando informalmente, precisamos de tres ′′coisas′′, para definir uma funcao,dois conjuntos A ⊂ U e B e uma regra R que estabelece uma relacao entre os elementos de A e de B.

Conceito de funcao

Diz-se que dois conjuntos A ⊂ U e B (nessa ordem) e uma regra R que relacionaelementos de A com elementos de B representam, estabelecem ou definem uma funcao fde A para B se

para todo x de A, a regra R aplicada ao elemento x associa um e so um elemento y quedeve pertencer a B.

Observacoes

• A regra R pode ser dada de diversas maneiras, nao ha uma maneira geral de se apresentar a regra. Usa-sedescricoes por palavras, tabelas, diagramas de Venn, visualizacoes em retas numericas, em plano cartesiano,etc. Tudo isso sera visto em cada contexto que serao estudadas as funcoes.

• Quando os conjuntos A e B e a regra R definem uma funcao f e y ∈ B e tal que y foi obtito ao aplicar aregra R em x, denotamos por y = f(x).

A variavel x de A e chamada de variavel livre ou independente e a variavel y de B e chamada de variaveldependente.

• O conjunto U e o conjunto universo no qual A e um de seus subconjuntos. O conjunto universo U dependedo contexto em que a funcao esta sendo definida.

Representacao simbolica de uma funcao

Se os conjuntos A, B e a regra R de fato estabelecem ou definem uma funcao f , duas formas usuais derepresentar simbolicamente a funcao f sao:

A ⊂ Uf−→ B

x 7−→ y = f(x)e f : A ⊂ U −→ B

x 7−→ y = f(x)

Chamamos atencao para o caso em que a descricao da regra R e atraves de expressoes na variavel do conjunto A.Neste caso, na representacao simbolica, e usual igualar essa expressao e f(x), por exemplo y = f(x) = x3−x2 +2x.

3.2 Exemplos e contra-exemplos de funcoes

Continuando a falar informalmente, em alguns casos, quando queremos entender bem o que um conceito ou definicaorepresenta, e mais facil entender o que ′′nao e′′ do que o que ′′e′′. Assim vamos comecar com exemplos que nao saofuncoes, isto e, contra-exemplos de funcoes.

1. A = U = N, B = N, regra R: a cada numero natural n associa-se um numero maior do que n.

A,B e essa regra R nao representam uma funcao, pois por exemplo se n = 100, e possıvel aplicar a regra Rem n = 100 porque

100 ∈ A = N, mas, pela regra R, obtemos uma infinidade de valores y = 101 ∈ B = N, y = 102 ∈ B = N,y = 103 ∈ B = N, · · ·Assim, obtivemos uma infinidade de valores de y ∈ B = N, o que contraria o conceito de funcao porquedeverıamos obter um e so um valor y ∈ B = N.

2. U = conjunto das palavras do idioma portugues.

A = conjunto das palavras do idioma portugues que contem pelo menos uma consoante.

B= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} = alfabeto do Brasil 1.

Regra R: a cada palavra associa-se uma consoante dessa palavra.

Vamos comecar com a palavra ′′uai′′ (mineira!!). Apesar dessa palavra pertencer ao conjunto U , nao e possıvelaplicar a regra R a essa palavra porque ela nao tem consoantes, isto e, ′′uai′′ 6∈ A.

Aplicando a regra R a palavra ′′voo′′ encontramos como resultado a letra ′′v′′.

Vamos verificar em mais uma, aplicando a regra R na palavra ′′dez′′, obtemos y = d ∈ B e y = z ∈ B, o quecontraria o conceito de funcao porque deverıamos obter um e so um valor y ∈ B.

3. U = R, A = [0,∞) e B = R.

Regra R: a cada x ∈ A associa-se um numero y; y2 = x.

Escolhendo x = −4, x ∈ R, mas como −4 < 0 =⇒ x 6∈ A, logo vemos que nao podemos aplicar a regra R aesse valor de x.

Aplicando a regra R a x = 0 ∈ A, obtemos um e so um valor y = 0 ∈ R.

Agora, aplicando a regra R a x = 9 ∈ A e obtemos dois valores y = 3 ∈ R e y = −3 ∈ R. Isto contraria oconceito de funcao, deverıamos ter encontrado um e so um valor de y ∈ R.

Vamos ver agora alguns exemplos de funcao.

1. A = U = N, B = N, regra R: a cada numero natural n associa-se um outro numero natural que e o menornumero natural entre os numeros naturais maiores do que n, em outras palavras, e o sucessor de n.

A,B e essa regra R representam uma funcao, pois por exemplo se n = 100, aplicando a regra R em n = 100,primeiro obtemos os numeros maiores que 100, uma infinidade de valores: 101 ∈ B = N, 102 ∈ B = N,103 ∈ B = N, · · · , e facilmente vemos que o menor deles e 101 ∈ B = N, o sucessor de 100.

Como para todo n ∈ N sabemos que n < n + 1 < n + 2 < n + 3 < · · · , podemos aplicar a regra R a qualquern ∈ N e obtemos um e so um numero sucessor de n, que e n + 1 ∈ N.

Uma representacao simbolica dessa funcao ef : N −→ N

n 7−→ y = f(n) = n + 1

2. A = U = conjunto das palavras do idioma portugues.

B = N ∪ {0}Regra R: a cada palavra do alfabeto portugues associa-se o numero de consoantes do alfabeto do Brasil queaparecem nessa palavra, sendo que as repetidas devem ser contadas a cada vez que aparece.

Vamos comecar com a palavra ′′uai′′ (mineira!!). Aplicando a regra R a essa palavra, o resultado e o unicovalor 0 ∈ B.

Aplicando a regra R a palavra ′′voo′′, encontramos como unico resultado 1 ∈ N ⊂ B.

Aplicando a regra R na palavra ′′dez′′, obtemos o unico numero 2 ∈ N ⊂ B

Aplicando a regra R a ′′inconstucionalissimamente′′, encontramos como unico resultado 14 ∈ N ⊂ B.

E claro que sempre e possıvel aplicar a regra R a qualquer palavra e o resultado sempre sera um unico numerofinito (natural ou zero). Sendo assim, os conjuntos A e B e a regra R descrita acima definem uma funcao f .Podemos escrever, por exemplo, f(uai) = 0; f(voo) = 1; f(dez) = 2; f(inconstucionalissimamente) = 14.

Esse exemplo nao e tao inutil na pratica quanto parece. Muitas funcoes definidas em programas computa-cionais sao funcoes da categoria texto. Se tiver curiosidade, no programa Excel, no menu <inserir> entre em<funcao>.

1O alfabeto portugues consiste no alfabeto latino original, suprimidas as letras K, W e Y, que sao utilizadas apenas em algu-mas palavras estrangeiras nao-aportuguesadas e em adjetivos e substantivos derivados de nomes estrangeiros (Kantiano, Wagneriano,Zwinglianismo, etc.). No atual alfabeto do Brasil as letras K, W e Y estao inclusas, uma vez que o alfabeto do Brasil ja e o do Acordoortografico de 1990. (transcrito da wikipedia em 20/03/2008)

3. U = R, A = [0,∞), B = R.

Regra R: a cada x ∈ A associa-se um numero y; y2 = x e y ≥ 0.

Escolhendo x = −4, x ∈ R, mas como −4 < 0 =⇒ x 6∈ A, logo vemos que nao podemos aplicar a regra R aesse valor de x.

Aplicando a regra R a x = 0 ∈ A, obtemos um e so um valor y = 0 ∈ R.

Aplicando a primeira afirmacao da regra R a x = 9 ∈ A, obtemos dois valores y = 3 ∈ R e y = −3 ∈ R, agoraaplicando a segunda afirmacao obtemos o unico valor y = 3.

Aplicando a regra de R em ∀x ∈ A, vamos verificar que so conseguimos encontrar um unico valor y ∈ R quesatisfaz as duas condicoes da regra R.

Primeiro, podemos usar a seguinte afirmacao: dado um numero real x ≥ 0, sempre existe pelo menos umnumero real y tal que y2 = x. Suponha que existe mais que um, y1 e y2. Se y1 satisfaz a primeira afirmacaoda regra, vamos verificar que qualquer y2 que tambem satisfaz a primeira afirmacao da regra so pode sery2 = y1 ou y2 = −y1.

y1 e y2 satisfazem a primeira afirmacao da regra =⇒ y21 = x e y2

2 = x =⇒ y21 = y2

2 =⇒ y21 − y2

2 = 0 =⇒=⇒ (y1 − y2) (y1 + y2) = 0 =⇒ y1−y2 = 0 ou y1 +y2 = 0 =⇒ y1 = y2 ou y1 = −y2 =⇒ y2 = y1 ou y2 = −y1.

Como y1 e −y1 sao simetricos, apenas um deles e maior ou igual a 0.

Esse unico numero y = y1 ou y = −y1 e podemos escrever f(x) = y.

Acabamos de verificar que A, B e a regra R definem uma funcao f de A para B. Essa funcao f e denominadafuncao raiz quadrada ou funcao raiz e regra R que a define e denotada por f(x) =

√x.

A representacao simbolica e: f : [0,∞) ⊂ R −→ Rx 7−→ y = f(x) =

√x

3.3 Domınio e imagem de funcao

Considere uma funcao f definida de A ⊂ U para B, isto e,f : A ⊂ U −→ B

x 7−→ y = f(x)

O conjunto A e demominado domınio da funcao f .

O conjunto universo U e denominado conjunto de partida ou conjunto de saıda da funcao f .

O conjunto B e denominado conjunto de chegada ou contra-domınio da funcao f .

AtencaoE usual escrever apenas o conjunto de partida, isto e, o conjunto universo do domınio. Neste caso esta suben-

tendido que o domınio e o maior subconjunto de U em que e possıvel aplicar a regra R da definicao da funcao.

Usaremos qualquer uma das seguintes notacoes usuais para o domınio de f : D ou Df ou ainda dom(f).

Dado x ∈ Df dizemos que o elemento y e imagem de x por f , ou simplesmente dizemos que y e imagem de x.

Obs.: para algumas funcoes, nem todo y de B e a imagem de algum x ∈ Df .No ex. 1 anterior, 1 ∈ B = N, mas 1 nao e o sucessor de nenhum natural, isto e, nao e a imagem de nenhum

numero natural n.

A imagem da funcao f e o subconjunto do contra-domınio B, obtido pela aplicacao da regra R que define afuncao f em todos elementos x ∈ Df .

Usaremos qualquer uma das seguintes notacoes usuais para a imagem de f : I ou If ou ainda im(f).

Podemos usar o conceito de conjunto para descrever a imagem de f :

If = {y ∈ B; y = f(x) para algum x ∈ Df}.

Vamos dizer qual e o domınio e qual e a imagem de cada funcao dos 3 exemplos anteriores:


1. Df = A = N If = N− {1}2. Df = A

If =? e muito trabalhoso encontrar a imagem, mas nao impossıvel. Certamente If ⊂ {0, 1, 2, 3, · · · , 40}.3. Df = [0,∞) If = [0,∞)

3.4 Igualdade de funcoes

Definicao (igualdade de funcoes)

Duas funcoes f e g sao iguais se os seus domınios e contra-domınios sao iguais e a regra que define a funcao ea mesma.

Exemplos e contra-exemplos.

1. f : N −→ Nn 7−→ y = f(n) = n + 1

g : N −→ N− {1}n 7−→ y = g(n) = n + 1

h : N ∪ {0} ⊂ Z −→ Nn 7−→ y = h(n) = n + 1

Afirmacao: f 6= g. Justificativa: os contra-domınios sao diferentes.

(observe que os domınios e as imagens sao iguais e a regra e a mesma)

Afirmacao: f 6= h. Justificativa: os domınios sao diferentes.

(os contra-domınios sao iguais e a regra e a mesma, mas as imagens sao diferentes, pois 1 6∈ If e 1 ∈ Ih)

2.f : R −→ R

x 7−→ y = f(x) = (x− 1)2 + x− 1g : R −→ R

y 7−→ z = g(y) = y2 − y

Afirmacao: f = g. Justificativa: (i) os domınios e os contra-domınios sao iguais.

(ii) y = f(x) = (x− 1)2 + x− 1 = x2 − 2x + 1 + x− 1 = x2 − x =⇒ f(x) = x2 − x.

Sendo assim, a regra que define as duas funcoes e a mesma. Uma observacao e que as letras atribuıdas asvariaveis das funcoes sao diferentes, mas isso nao muda a regra.

3.5 Propriedades de funcao: injetora, sobrejetora e bijetora

3.5.1 Funcao injetora

Definicao (funcao injetora)

Dada uma funcao

f : Df ⊂ U −→ Bx 7−→ y = f(x)

diz-se que f e injetora se a seguinte afirmacao e verdadeira:

∀x1, x2 ∈ Df ; f (x2) = f (x1) =⇒ x2 = x1.

Essa afirmacao e a mesma que: ∀x1, x2 ∈ Df ; x2 6= x1 =⇒ f (x2) 6= f (x1).

Observacoes:

• A vantagem dessa definicao e que se queremos provar que uma funcao e ou nao e injetora basta verificar sea afirmacao da definicao e verdadeira ou falsa.

• Para esclarecer a definicao, diz-se que uma funcao e injetora quando y e um elemento da imagem de f , ele sopode ser a imagem de um unico elemento do domınio. Ou, de outra forma, elementos distintos do domıniosao conduzidos para imagens distintas no contra-domınio.



1.

Considere U = {a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, e1, e2}, ondea1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, e1, e2 sao distintos entre si,B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a regra R dada atraves de seu dia-grama de Venn ao lado, com as setas indicando as imagens doselementos do domınio de f .

Observe que:Df = {a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2} ⊂ U e Df 6= U .If = {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ B e If 6= B

Afirmacao: a funcao f nao e injetora.

Justificativa: a1, a2 ∈ Df , f (a1) = f (a2) = 1, mas como foi ditoque a1 e a2 sao distintos, temos que a1 6= a2.

'

&

$

%

a1 - 1

a2 »»»»»»:

b1 - 2

b2 »»»»»»:

c1 - 3

c2 »»»»»»:

d1 - 4d2 - 5

e1 6e2

'

&

$

%

Acabamos de verificar que: a1, a2 ∈ Df , f (a1) = f (a2) (verdadeira) e a1 = a2 (falsa).

Logo, a1, a2 ∈ Df , f (a1) = f (a2) 6=⇒ a1 = a2.

Conclusao: essa funcao f nao e injetora porque a implicacao da definicao e falsa.

2. Considere a funcao f definida por A = R, B = [0,∞) ⊂ R e pela regra R: a x ∈ R, associa-se o quadradodo numero x. E claro que elevando-se um numero ao quadrado obtemos um unico resultado, isto e, de fatoA, B e a regra R definem uma funcao f de A em B, representada simbolicamente a seguir.

f : R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = f(x) = x2

Vamos verificar que essa funcao nao e injetora.

Para verificar basta apresentar um exemplo em que a implicacao e falsa.

Sabemos que se x1 = −1 e x2 = 1, temos que x21 = (−1)2 = 1 e x2

1 = (1)2 = 1.

Logo temos um exemplo em que:

x1 = −1 ∈ A = R, x2 = 1 ∈ A = R e f (x1) = f (x2) = 1 6=⇒ x1 = x2 .

Conclusao: essa funcao f nao e injetora porque a implicacao da definicao e falsa.

3. Considere a funcao do exemplo 1 da secao anterior

f : N −→ Nn 7−→ y = f(n) = n + 1

Essa funcao e injetora pois: ∀ n1, n2 ∈ N e f (n1) = f (n2)(∗)=⇒ n1 + 1 = n2 + 1

(∗∗)=⇒ n1 = n2.

As implicacoes usadas foram: (*) definicao de f ; (**) propriedade dos naturais.

Conclusao: a funcao e injetora porque para esta funcao a implicacao da definicao e verdadeira.

4. Considere a funcao raiz (exemplo 3 da secao anterior):

f : Df ⊂ R −→ Rx 7−→ y = f(x) =

√x

Ja vimos que o (domımio de f ) = Df = [0,∞) e que a (imagem de f) = If = [0,∞].

Vamos verificar que f e injetora.

∀x1, x2 ∈ R e f (x1) = f (x2)(∗)=⇒ √

x1 =√

x2(∗∗)=⇒ (√

x1

)2 =(√

x2

)2 (∗∗∗)=⇒ x1 = x2.

As implicacoes usadas foram: (*) definicao da funcao raiz; (**) propriedade: ∀a, b ∈ R temos que: a =b ou a = −b ⇐⇒ a2 = b2; (***) propriedade: (

√a)2 = a ⇐⇒ a ∈ R e a ≥ 0.

Conclusao: a funcao raiz e injetora porque para esta funcao a implicacao da definicao e verdadeira.


3.5.2 Funcao sobrejetora

Definicao (funcao sobrejetora)

Dada uma funcao

f : A ⊂ U −→ Bx 7−→ y = f(x)

diz-se que f e sobrejetora se a imagem de f e igual ao contra-domınio de f , isto e, se If = B.

Observacoes:

• Intuitivamente, a funcao f e sobrejetora se nao sobra elemento em B, isto e, todo elemento de B e a imagemde algum elemento de A.

• Podemos escrever a definicao usando sımbolos:

diz-se que f e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃x ∈ Df ; y = f(x).


1. Considere a funcao do exemplo 2 da secao anterior

f : N −→ Nn 7−→ y = f(n) = n + 1

Essa funcao nao e sobrejetora pois If 6= B = N.

Justificativa: 1 6∈ If , isto e, 6 ∃n ∈ N; f(n) = n + 1 = 1. Lembre que N = {1, 2, 3, 4, · · · }2. A funcao do exemplo 1 da secao anterior nao e sobrejetora porque 6 ∈ B, 6 6∈ If .

3. Sao sobrejetoras as seguintes funcoes:

f : N −→ N− {1}n 7−→ y = f(n) = n + 1

g : Z −→ Zn 7−→ y = g(n) = n + 1

F : R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = F (x) = x2

G : [0,∞] ⊂ R −→ [0,∞] ⊂ Rx 7−→ y = G(x) =

√x

3.5.3 Funcao bijetora

Definicao (funcao bijetora)

Dada uma funcao

f : A ⊂ U −→ Bx 7−→ y = f(x)

diz-se que f e bijetora se f e injetora e sobrejetora.


1. Considere a funcao f abaixo. Ja provamos que f e injetora e verificamos que f nao e sobrejetora, logo nao ebijetora. Vimos que If = N− {1}.Considere a funcao g abaixo, que so difere de f em seu contra-domınio. A funcao g e bijetora porque einjetora e sobrejetora.

f : N −→ Nn 7−→ y = f(n) = n + 1

g : N −→ N− {1}n 7−→ y = g(n) = n + 1

2. Considere a funcao F : R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = F (x) = x2

Vimos que essa funcao e sobrejetora, mas nao e injetora. Logo F nao e bijetora.


3. Considere a funcao G : [0,∞] ⊂ R −→ [0,∞] ⊂ Rx 7−→ y = G(x) =

√x

Vimos que essa funcao e injetora e sobrejetora. Logo G e bijetora.

4. Considere a funcao f : [0,∞) ⊂ R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = F (x) = x2

Observe que essa funcao so difere da funcao F do exemplo 2 em seu domınio.

Essa funcao e sobrejetora pois qualquer numero real nulo ou positivo e o quadrado de um outro numero real.

Vamos verificar que com esse domınio, essa funcao e injetora.

x1, x2 ∈ [0,∞) e f (x1) = f (x2) =⇒ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 e (x1)2 = (x2)

2 =⇒ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 e(x1)

2 − (x2)2 = 0 =⇒ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 e (x1 − x2) (x1 + x2) = 0 =⇒ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 = x2 ou

x1 = −x2. Como x2 ≥ 0, sabemos que −x2 ≤ 0. Logo so ha a opcao x1 = x2.

Vimos que essa funcao e injetora e sobrejetora. Logo f e bijetora.

Observacoes:

• Nos casos em que a funcao e injetora, mas nao e sobrejetora, se for possıvel encontrar a imagem facilmente,podemos construir uma nova funcao substituindo o contra-domınio pela imagem da funcao. Essa nova funcaosera bijetora.

• Nos casos em que a funcao e sobrejetora, mas nao e injetora, podemos construir uma nova funcao que sodifere da primeira em seu domınio. Existe algum subconjunto do domınio da funcao original no qual a novafuncao nesse subconjunto e injetora. A nova funcao com o novo domınio sera bijetora.

• Quando uma funcao e bijetora diz-se que existe uma relacao biunivoca ou uma relacao um-a-um entre odomınio e a imagem da funcao.

Isto siginifica:

– a cada x ∈ Df existe uma correspodencia com um e so um elemento da y ∈ If .(justificativa: a regra R que define a funcao associa a cada x um e so um valor y)

– a cada y ∈ If existe uma correspondencia com um e so um elemento x ∈ Df .(justificativa: funcao injetora garante que so existe uma variavel x do domınio tal que y = f(x))

3.6 Composicao de funcoes

Intuitivamente, compor funcoes nada mais e do que aplicar o raciocınio de transitividade a funcoes. Se uma funcaopermite que de um valor de x se obtenha um e so um y e outra funcao permite que desse valor y se obtenha um eso um valor z, no final verificamos que do valor x acabamos por obter um e so um valor z, o que caracteriza umaterceira funcao que e chamada de composta das duas primeiras. Agora vamos formalizar essa ideia intuitiva.

Definicao (composicao de funcoes)

Dadas duas funcoes Dgg−→ B

x 7−→ y = g(x)e Df

f−→ Cy 7−→ z = f(y)

Se Ig ∩Df 6= ∅, podemos construir ou definir uma nova funcao da seguinte forma:

Df◦g ⊂ Dgg−→ B ∩Df

f−→ Cx 7−→ y = g(x) 7−→ z = f(y) = f(g(x)) := (f ◦ g)(x)

A funcao f ◦ g definida acima e denominada composta de f e g e ainda Df◦g = {x ∈ Dg; g(x) ∈ Df}.

Observacao.A funcao f acima poderia ter sido dada com a letra x na variavel livre e com a letra y na variavel dependente,

isto e, y = f(x). As letras usadas foram y e z, respectivamaente, para facilitar a compreensao da funcao compostaf ◦ g.

Exemplos:


1. Considere a funcao g com U = {a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, e1, e2}, onde a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, e1, e2 saodistintos entre si, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a regra R dada atraves de seu diagrama de Venn abaixo, com assetas indicando as imagens dos elementos do domınio de f . Considere a funcao f dada abaixo. Vamos obter(f ◦ g)(x) para todos valores do domınio de (f ◦ g) e visualizar a composta em seu diagrama de Venn.

Dg ⊂ Ug−→ B

x 7−→ y = g(x)Df ⊂ N f−→ R

n 7−→ z = f(n) =√

16− n2

D(f◦g) ⊂ Af ◦g−→ R

x 7−→ z = f(g(x))'

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a1 - 1

a2 »»»»»»:

b1 - 2

b2 »»»»»»:

c1 - 3

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d1 - 4d2 - 5

e1 6e2

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&

$

%

(f ◦ g) (a1) = f(g (a1)) = f(g (a2)) = f(1) =√16− 1 =

√15.

(f ◦ g) (b1) = f(g (b1)) = f(g (b2)) = f(2) =√16− 4 =

√12 = 2

√3.

(f ◦ g) (c1) = f(g (c1)) = f(g (c2)) = f(3) =√16− 9 =

√7.

(f ◦ g) (d1) = f(g (d1)) = f(4) =√

16− 16 =√0 = 0.

(f ◦ g) (d2) = f(g (d2)) = f(5) =√

16− 25,nao esta definida em R .

'

&

$

%

a1 -√

15

a2 »»»»»»:

b1 - 2√

3

b2 »»»»»»:

c1 -√

7

c2 »»»»»»:

d1 - 0d2

e1

e2 R

'

&

$

%

2. A funcao f de Df em B e definida por Df = N, B = N e a regra R e dada pela expressao f(n) = n + 2.

A funcao g de Dg em C e definida por Dg = N−{1}, C = N e a regra R e dada pela expressao g(n) = n− 1.

Verifique que Df = N; If = N− {1, 2}; Dg = N− {1}; Ig = N.

Vamos construir as funcoes f ◦ g e g ◦ f e depois verificar se para essas funcoes f ◦ g = g ◦ f ouf ◦ g 6= g ◦ f .

Df = Nf−→ B = N

n 7−→ y = f(n) = n + 2Dg = N− {1} g−→ C = N

n 7−→ y = g(n) = n− 1

Construindo f ◦ g,

Df◦g ⊂ N− {1} g−→ C ∩Df = Nf−→ B = N

n 7−→ y = g(n) = n− 1 7−→ z = f(g(n)) = f(n− 1) = (n− 1) + 2 = n + 1 = (f ◦ g)(n)Construindo g ◦ f ,

Dg◦f ⊂ N f−→ B ∩Dg = N− {1} g−→ C = Nn 7−→ y = f(n) = n + 2 7−→ z = g(f(n)) = g(n + 2) = (n + 2)− 1 = n + 1 = (g ◦ f)(n)

Comparando f ◦ g e f ◦ g vemos que os contra-domınios sao iguais e a regra e a mesma.

Para saber se de fato sao iguais, falta verificar se seus domınios sao iguais.

1 6∈ Df◦g, pois (f ◦ g)(1) = f(g(1)) = f(1− 1) = f(0), mas 0 6∈ N, logo f(0) nao esta definido e g(f(0)) naoesta definido.

Vamos verificar se 1 ∈ Dg◦f , isto e, vamos verificar se e possıvel calcular usando a composta.

Verificando, (g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(1 + 2) = g(3) = 3− 1 = 2. Logo g(f(1)) esta definido, isto e, 1 ∈ Dg◦f .

Assim Dg◦f 6= Df◦g. Conclusao: para essas funcoes, g ◦ f 6= f ◦ g.

3. As funcoes f e g estao definidas a seguir.

Df = Rf−→ B = R

x 7−→ y = f(x) = x2

Dg = Rg−→ C = R

x 7−→ y = g(x) = x + 1

Vamos verificar se para essas funcoes f ◦ g = g ◦ f ou f ◦ g 6= g ◦ f .

Vamos comecar verificando se a regra (f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x) e a mesma.

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2

)= x2 + 1.

Assim, vimos que as regras que definem as duas funcoes sao diferentes.

Conclusao: para essas funcoes, g ◦ f 6= f ◦ g.



Df = Qf−→ B = Q

x 7−→ y = f(x) = 2x− 1

Dg = Qg−→ C = Q

x 7−→ y = g(x) =x + 1

2Vamos verificar se para essas funcoes f ◦ g = g ◦ f ou f ◦ g 6= g ◦ f .

Vamos comecar verificando se a regra (f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x) e a mesma.

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f

(x + 1

2

)= 2

(x + 1

2

)− 1 = (x + 1)− 1 = x

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x− 1) =(2x− 1) + 1

2=

2x

2= x

Assim, vimos que a regra que define as duas funcoes e a mesma.

Falta verificar se seus domınios e contra-domınios sao iguais.

O contra-domınio de f ◦ g e igual a B = Q. O contra-domınio de g ◦ f e igual a C = Q.

Df◦g ={x ∈ Dg; g(x) = x+1

2 ∈ C ∩Df

}=

{x ∈ Q; g(x) = x+1

2 ∈ Q}= Q

Dg◦f = {x ∈ Df ; f(x) = (2x− 1) ∈ B ∩Dg} = {x ∈ Q; f(x) = (2x− 1) ∈ Q} = QConclusao: para essas funcoes, g ◦ f = f ◦ g.

Observacao:

• Em geral, (g ◦ f)(x) 6= (f ◦ g)(x), nao podemos afirmar que sempre (g ◦ f)(x) 6= (f ◦ g)(x) porque em algunspoucos casos (g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x), como no ex. 3 anterior.

3.7 Funcoes inversas

Definicao: (inversa da funcao)

Diz-se que a funcao g : B −→ A e a funcao inversa da funcao f : A −→ B se

g(f(x)) = x, ∀x ∈ A

ef(g(y)) = y, ∀y ∈ B

Observacoes:

• Na definicao acima A = Df e B = Dg

• De acordo com a definicao acima podemos afirmar que:

Diz-se que a funcao f : A −→ B e a funcao inversa da funcao g : B −→ A se

f(g(y)) = y, ∀y ∈ B

eg(f(x)) = x, ∀x ∈ A

Como as duas condicoes sao as mesmas concluımos que: g e a inversa de f ⇐⇒ f e a inversa de g.

E usual dizer que uma e a inversa da outra e a outra e a inversa da uma.

• Podemos visualizar o que as condicoes produzem construindo simbolicamente as composicoes:

Af−→ B

g−→ Af−→ B

x 7−→ y = f(x) 7−→ g(y) = g(f(x)) = x 7−→ f(x) = f(g(y)) = y

• Dada uma funcao f de A em B, nem sempre existe a funcao inversa g de B em A, quando existe diz-se quef admite inversa g ou que f e inversıvel ou invertıvel.2

No caso em que f admite inversa g, denota-se a inversa por f−1.2Ha discussao sobre a grafia correta da palavra ser com t ou com s. No Aurelio so tem com t, mas para o adjetivo analogo convertıvel

ha tambem o adjetivo conversıvel com mesmo significado.


Afirmacao 1Se f admite inversa g entao y = f(x) ⇐⇒ x = g(y).

Verificando a equivalencia,

(=⇒) y = f(x)aplicando g

=⇒ g(y) = g(f(x))g e a inversa de f

=⇒ g(f(x)) = xtrqnsitividade

=⇒ g(y) = x

(⇐=) x = g(y)aplicando f

=⇒ f(x) = f(g(y))g e a inversa de f

=⇒ f(g(y)) = ytrqnsitividade

=⇒ f(x) = y

Afirmacao 2Uma condicao necesaria e suficiente para f admitir inversa g e f ser bijetora.Em outras palavras, f admite inversa g ⇐⇒ f e bijetora.

Prova:(=⇒) Hipotese: f admite inversa g. Queremos provar: f e injetora e sobrejetora.

f (x1) = f (x2)aplicando g

=⇒ g (f (x1)) = g (f (x2))g e a inversa de f

=⇒ x1 = x2 =⇒ f e injetora.

Agora vamos provar que e sobrejetora.

y ∈ Baplicando g

=⇒ g(y) = x, para algum x ∈ Aafirmacao 1

=⇒ y = f(x), para algum x ∈ A =⇒ f e sobrejetora.

Assim provamos que f e injetora e sobrejetora, ou seja, f e bijetora.

(⇐=) Hipotese: f definida de A para B e bijetora.Queremos provar: f admite inversa g definida de B para A.f sobrejetora =⇒ ∀y ∈ B, ∃x ∈ A; y = f(x). Como f e injetora, esse x e o unico elemento de A tal que

y = f(x).Ja que e o unico, podemos definir a regra R para g: ∀y ∈ B associamos o unico valor x ∈ A tal que y = f(x).

Assim g(y) = x.

∀x ∈ A e y = f(x)aplicando g

=⇒ g(y) = g(f(x))g(y)=x=⇒ x = g(f(x)), ou seja, g(f(x)) = x, ∀x ∈ A

∀y ∈ B e g(y) = xaplicando f

=⇒ f(g(y)) = f(x)y=f(x)=⇒ f(g(y)) = y, ou seja, f(g(y)) = y, ∀y ∈ B. cqd

Afirmacao 3

f de A para B admite inversa g de B para A =⇒ Ig = Df e If = Dg.

De fato: Sabemos que Df = A e Dg = B (*).Como f e a inversa de g temos que g e a inversa de f , pela afirmacao 2, ambas f e g sao bijetoras.Assim, f e g sao sobrejetoras, donde If = B e Ig = A. (**).

Por (*) e (**), concluımos que Ig = Df e If = Dg.

Exemplos e contra-exemplos.


Df = A = Rf−→ B = R

x 7−→ y = f(x) = 2x− 1

Dg = B = Rg−→ A = R

y 7−→ y = g(y) =y + 1

2Este exemplo e quase igual ao ex. 3 da secao anterior, trocamos Q por R, tanto nos domınios, quanto noscontra-domınios. Podemos proceder como no ex. 3 e verificar que

g(f(x)) = x, ∀x ∈ A = Df = R e f(g(y) = x, ∀y ∈ B = Dg = R

Faca isso como exercıcio. Conclusao: f e g sao as inversas uma da outra.


Df = A = [2, 4] ∈ R f−→ B = [3, 7] ∈ Rx 7−→ y = f(x) = 2x− 1

Dg = B = [3, 7] ∈ R g−→ A = [2, 4] ∈ Ry 7−→ y = g(y) =

y + 12


Este exemplo e quase igual ao ex. 1 anterior, tanto os domınios, quanto os contra-domınios agora sao intervalosda reta, nao sao mais todos os reais. Neste caso, seria um pouco mais trabalhoso provar que as igualdadesdas condicoes valem exatamente nos valores desses intervalos.

Para provar que f admite inversa, pela afirmacao 2 anterior, basta verificar que f e bijetora.

Vamos encontrar a imagem de f : Admitimos que y = f(x) = 2x − 1 =⇒ y = 2x − 1. Mas esta e a equacaode uma reta no plano, logo para encontrar a imagem de f , basta encontrar f(2) e f(4), a imagem sera ointervalo [f(2), f(4)] ou [f(4), f(2)].

Logo f(2) = 3 e f(4) = 7 =⇒ If = [3, 7] = B =⇒ f e sobrejetora.

x1, x2 ∈ [2, 4]; f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 1 = 2x2 − 1 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2 =⇒ f e injetora.

Logo f e bijetora e f admite inversa g que tambem e bijetora. Como a f e a g, satisfazem as condicoesg(f(x)) = x e f(g(y)) = y nos seus domınios, a funcao g e que e a inversa de f , isto e, f−1(f(x)) = x ef

(f−1(y)

)= y em seus domınios.

3. Considere a funcao F : R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = F (x) = x2

Esse e o ex. 2 da secao 6.5.3. Vimos que F nao e bijetora. Logo essa funcao nao admite inversa.

4. Considere a funcao f : [0,∞) ⊂ R −→ [0,∞) ⊂ Rx 7−→ y = F (x) = x2

Observe que essa funcao so difere da funcao F do exemplo 3 em seu domınio.

Esse e o ex. 4 da secao 6.5.3, ja provamos que essa funcao e bijetora. Logo a funcao f e inversıvel.

Fica como exercıcio verificar que a inversa da funcao f e g : [0,∞] ⊂ R −→ [0,∞] ⊂ Rx 7−→ y = g(x) =

√x

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