Modelagem Matematica

Sandro Rodrigues Mazorche em parceria comFelipe Toledo Ferreira - IC

Tatiana Danelon Assis - MestradoNoemi Zeraick Monteiro - Mestrado

Prof. Dr. Daniel Alexis Gutierrez Pachas( Universidad Catolica San Pablo-Peru)

Universidade Federal de Juiz de Fora

I Congresso de Matematica Academicae Profissional da UFJF - I COMAP

17 e 28 de agosto de 2020

Modelos Matematicos - O inıcio da Jornada

Um passeio pela Matematica atraves de 3 Modelos.

Modelo Economico:Problema de Equilibrio de Nash-Cournot(Felipe Toledo Ferreira)

Modelo de Deformacao:O Problema da Torcao Elasto-Plastico.(Tatiana Danelon Assis)

Modelo Epdemico:SIR em Derivadas Fracionarias.(Noemi Zeraick Monteiro)

Problema de Equilibrio de Nash-Cournot

Antoine Augustin Cournot(1801-1877) , John Forbes NashJr.(1928-2015).

Pavimentando o Caminho: Calculo ; Analise ; ProgramacaoMatematica: Isaac Newton (1642-1727), Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716), Euler (1707-1783), Bernard Bolzano(1781-1848), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), WilliamKarush(1917–1997) e Harold W. Kuhn(1925–2014) e AlbertW. Tucker(1905–1995) - (Condicoes de KKT para umProblema de Minimizacao com Restricoes).

Problema de Equilıbrio de Nash-Cournot

O problema e definido com uma estrutura de mercadooligopolıstica na qual N firmas fornecem um produtohomogeneo de uma forma nao cooperativa.• q = (q1, ..., qn) o vetor de producao das N firmas. A firma i produz qi do

total produzido.

• Q =n∑

i=1

qi e o total produzido por todas as N firmas.

• P(Q) e a funcao demanda inversa.• fi (qi ) e o custo de producao para a firma i .• ui (q1, ..., qi , ...qn) = qi ∗ P(Q)− fi (qi ) e a funcao utilidade da firma i .

Maximizar qi ∗ P(qi + Q)− fi (qi )S .a. qi ≥ 0

, onde Q =n∑j 6=i

qj .

A mathematical programming approach for determiningoligopolistic market equilibrium FH Murphy, HD Sherali, ALSoyster - Mathematical Programming, 1982 - Springer

Iteracao ALG-EP2

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

100

200

300

400

500

Figure: EP1

Iteracao ALG-EP2

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

100

200

300

400

500

Figure: EP1

Iteracao ALG-EP2

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

100

200

300

400

500

Figure: EP1

Iteracao ALG-EP2

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000100

150

200

250

300

350

400

450

Figure: EP1

Iteracao ALG-EP2(*)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000100

150

200

250

300

350

400

450

Figure: EP1(*)

Equilıbrio de Nash-Cournot(Murphy, Sherali, Soyster)

Como de Problema de Equilıbrio:

Maximizar qi ∗ P(qi + Q)− fi (qi )

S .a. qi ≥ 0 onde Q =∑n

j 6=i qj .

Como de Problema de Complementaridade:P(Q∗) + q∗i P

′(Q∗) ≤ f

′i (q∗i ) para cada i = 1, ...,N

q∗i ≥ 0 para cada i = 1, ...,N

q∗i ∗ [P(Q∗) + q∗i P′(Q∗)− f

′i (q∗i )] = 0 para cada i = 1, ...,N

Q∗ =∑N

i=1 q∗i

Como de Problema de Otimizacao Parametrizado PO(Q):Maximizar P(Q)

∑Ni=1 qi + 1

2P′(Q)

∑Ni=1 q

2i −

∑Ni=1 fi (qi )

S .a.∑N

i=1 qi = Qqi ≥ 0

Resultados Numericos

O Problema de Nash-Cournot para cinco firmas.As funcoes fi (qi ) e P(Q) sao definidas da seguinte maneira.

P(Q) = 50001γQ−

1γ e fi (qi ) = ciqi + bi

1+biL− 1

bii q

bi+1

bii .

ui (qi ) = qiP(Q)− fi (qi )

c = [10, 8, 6, 4, 2]; b = [1.2, 1.1, 1, 0.9, 0.8]; L = [5, 5, 5, 5, 5];γ = 1.1Solucao x∗ = [36.9325, 41.8181, 43.7066, 42.6592, 39.1790]

Alg ALG-EP PO(Q) FDA-NCP

1 2 3 Q PO(Q) MNCP NCP

nit 72 34 29 11 69 8 12BL 437 1631 609 - 59 15 25

Problema de Torcao Elasto-Plastico: (Secao Transversal)

Elasto-Plastico: alteracao dimensional ocorremconcomitantemente com as deformacoes elastica e plastica.

H. BREZIS , M. SIBONY em ”Equivalence de DeuxInequations Variationnelles et Applications”, 1971.

Abrindo a Caixa de Ferramenta

Equacoes Diferenciais ; Analise Funicional ; InequacoesVariacionais; Metodos Numericos:

Joseph-Louis Lagrange (1736—1813), Jean-Baptiste JosephFourier (1768—1830);

Marie-Sophie Germain (1776—1831), Richard Edler vonMises (1883-1953);

David Hilbert (1862-1943), Felix Hausdorff (1868-1942), BorisGrigoryevich Galerkin (1871-1945);

Hans Hahn (1879—1934), Stefan Banach (1892—1945),Sergei Lvovich Sobolev (1908-1989);

William Prager (1903-1980), Guido Stampacchia(1922—1978), Jacques-Louis Lions (1928-2001), Tsuan WuTing (1923-1997);

Roland Glowinski (1937), Alain Bensoussan (1940);

Haım Brezis (1944), Pierre-Louis Lions (1956).

O Problema de Torcao Elasto-Plastico

Caso Base Quadrada c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}

Caso: Barra Circular para c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}

Caso em L para c constante.(Tatiana)Em azul o Conjunto de Plasticidade P = {(x , y) ∈ D : ||∇u|| = 1}

Caso: c nao constante.(Tatiana)

c(x , y) =

5 se (x , y) ∈]0, 1

2[x ] 1

2, 1[

−5 se (x , y) ∈] 12, 1[x ]0, 1

2[

0 se (x , y) ∈]0, 12[x ]0, 1

2[∪]1, 1

2[x ]1, 1

2[

Modelos Epidemicos

O guia do mochileiro das galaxias

Probabilidade e Estatıstica; Calculo Fracionario; SistemaDinamicos; Metodos Numericos para Calculo Fracionario;Processo Estocastico; Analise Complexa; Funcoes Especiais;

Guillaume Francois Antoine, Marques de l’Hopital(1661—1704); Simeon Denis Poisson (1781—1840);Pierre-Simon, Marques de Laplace (1749—1827);JosephLiouville (1809-1882);Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866);

Niels Henrik Abel(1802—1829);Oliver Heaviside(1850-1925);Jules Henri Poincare (1854—1912);

Anton Karl Grunwald (1838–1920); Aleksey VasilievichLetnikov (1837–1888);Magnus Gosta Mittag-Leffler(1846—1927);Hermann Klaus Hugo Weyl (1885—1955)

Michele Caputo;Podlubny;Humbert;Agarwal;Prabhakar

Derivada Fracionaria(1695,l’Hopital / Leibniz) Dny = dny

dxn : ”Segue que D12 x sera

igual a x√dx : x . Este e um aparente paradoxo do qual um

dia importantes aplicacoes serao obtidas.”

(Funcao de Mittag–Leffler de dois parametros) Seja z ∈ C,com α, β ∈ C dois parametros tal que Re(α) > 0 eRe(β) > 0. Funcao de Mittag–Leffler via series de potencia:

Eα,β(z) =∞∑k=0

zk

Γ(αk + β). (1)

A derivada fracionaria Riemann-Liouville

R−La Dα

t f (t) =1

Γ(n − α)

(dn

dtn

)∫ t

a(t − θ)n−α−1f (θ)dθ . (2)

A derivada fracionaria de Caputo

Ca D

αt f (t) =

1

Γ(n − α)

∫ t

a(t − θ)n−α−1 dn

dθnf (θ)dθ . (3)

Modelo SIR com dinamica Vital: S(t)+I(t)+R(t)=N

Caso Classico: [tempo]−1

dS(t)dt = λN − β S(t)

N I (t)− λS(t)dI (t)dt = β S(t)

N I (t)− γI (t)− λI (t)dR(t)dt = γI (t)− λR(t)

Caso-1 Derivada Fracionaria de Caputo: [tempo]−α

DαS(t) = λN − β S(t)N I (t)− λS(t)

DαI (t) = β S(t)N I (t)− γI (t)− λI (t)

DαR(t) = γI (t)− λR(t)

Caso-2 Derivada Fracionaria de Caputo: [tempo]−α

DαS(t) = λαN − βα S(t)N I (t)− λαS(t)

DαI (t) = βα S(t)N I (t)− γαI (t)− λαI (t)

DαR(t) = γαI (t)− λαR(t)

Modelo SIR com α1 6= α2 6= α3 e N(t)= S(t)+I(t)+R(t)

Dα1S(t) = −βα1 S(t)N I (t)

Dα2 I (t) = βα2 S(t)N I (t)− γα2 I (t)

Dα3R(t) = γα3 I (t)

Antoine Lavoisier: O princıpio da conservacao de massas:”Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”

Fluxo diferente entre os compartimentos e dN(t)dt = 0.

N = N0 +

∫ t

0

[β2(t − θ)α2−1

Γ(α2)− β1(t − θ)α1−1

Γ(α1)

]S(θ)

NI (θ)dθ

+

∫ t

0

[γ3(t − θ)α3−1

Γ(α3)− γ2(t − θ)α2−1

Γ(α2)

]I (θ)dθ

Dokoumetzidis, Magin and Macheras, A commentary onfractionalization of multi-compartmental models, Journal ofpharmacokinetics and pharmacodynamics, 2010.

Modelo SIR com dinamica vital em DF Riemann-Liouville

Angstmann, Christopher N and Henry, Bruce I and McGann,Anna V, A fractional-order infectivity and recovery SIR model,Fractal and Fractional, 2017.

dS(t)dt = γ(t)N − ω(t)S(t)θ(t,0)

NτβD1−β

(I (t)θ(t,0)

)− γ(t)S(t)

dI (t)dt = ω(t)S(t)θ(t,0)

NτβD1−β

(I (t)θ(t,0)

)− θ(t,0)

τα D1−α(

I (t)θ(t,0)

)− γ(t)I(t)

dR(t)dt = θ(t,0)

τα D1−α(

I (t)θ(t,0)

)− γ(t)R(t)

θ(t, 0) = e−∫ t

0 γ(u)du. Se β = α = 1 , γ(t) ≡ γ e ω(t) ≡ ω :

Modelo Classico:

dS(t)dt = γN − ωS(t)I (t)

Nτ − γS(t)dI (t)dt = ωS(t)I (t)

Nτ − 1τ I (t)− γI (t)

dR(t)dt = 1

τ I (t)− γR(t)

Modelo SIR-DF(Caputo)

Figure: Alfas iguais Figure: Alfas iguais

Figure: Alfas diferentes Figure: Alfas diferentes

Modelo SIR-DF - Riemann-Liouville

Figure: w - constante Figure: w - constante

Figure: w - variavel Figure: w - oscilatorio

Modelo SIR-DF - Noemi

Figure: Model X Real data Figure: Projection of the peak

Figure: Projection of thepeak

Figure: Projection of thepeak

OBRIGADO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

J.R.R. Tolkien, foi um premiado escritor, professor universitario efilologo britanico.