Cartografıa matematica y sus aplicaciones

Laura Alexandra Zea Quintero

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar por el tıtulo de Matematico

Director:PhD. Mikhail Malakhaltsev

Jurado:PhD. Jose Ricardo Arteaga

Facultad de CienciasDepartamento de Matematicas

Universidad de los AndesBogota D.C., Colombia

Diciembre del 2018

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Dedicatoria

A James Ivan Coral Lucero, por brindarmeapoyo en todo momento, y creer en mı cuandoyo no podıa. A mi amada abuela AbigailMorales de Zea, pues es gracias a ella quetengo la maravillosa oportunidad de estudiarmatematicas. A mi padre Henry GermanZea Morales por acompanarme y apoyarmeespiritualmente en los momentos mas difıciles.Y finalmente, a todos los profesores que me hansoportado y animado en mi carrera, para queno desfallezca en mis objetivos.

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Indice

1. Introduccion 72. Preliminares de Topologıa 82.1. Espacios topologicos 82.2. Espacios metricos 82.3. Funciones continuas 122.4. Sucesiones, convergencia y continuidad 122.5. Conexidad 142.6. Teoremas elementales de extension de funciones 153. Preliminares de Geometrıa de Curvas y Superficies 163.1. Elementos de algebra tensorial 163.2. Curvas 213.3. Superficies 293.4. Algunas superficies importantes 333.5. Primera forma fundamental 373.6. Mapas isometricos 383.7. Mapas conformales 403.8. Mapas isoareales 433.9. Segunda forma fundamental 454. La metrica Riemanniana 465. La esfera 495.1. Coordenadas cilındricas y esfericas 495.2. Atlas para una esfera 515.3. Regularidad de la esfera 535.4. Primera forma fundamental de la esfera 545.5. Segunda forma fundamental de la esfera 545.6. Area de un triangulo en la esfera 545.7. Consideraciones sobre la metrica Riemanniana en la esfera 556. Cartografıa matematica 556.1. Aspectos geograficos del planeta Tierra 566.2. Escala, distorsion angular, tangencia y secancia 576.3. Consideraciones sobre las coordenadas cartograficas 586.4. Mapas de proyeccion cilındrica 596.5. Mapas de proyeccion conica 696.6. Mapas de proyeccion acimutal 736.7. Proyecciones o mapas de mınima distorsion 777. Conclusion 87Referencias 88

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1. Introduccion

Un mapa terraqueo es una representacion grafica de una parte o de la totalidad de la superficiedel planeta Tierra. Por lo tanto, se espera que las diversas caracterısticas terrestres que se muestranen el mapa en cuestion sean aproximadas a las mostradas en el globo del mundo real. De acuerdo alo anterior, se puede decir que la buena o la mala representacion de un mapa depende de la proyec-cion elegida para construirlo. Geograficamente, una proyeccion es la transferencia coordenada de lasposiciones de lugares en el planeta a una superficie plana; esta definicion es analoga a la matematicaen cuanto a que en esta, la proyeccion no es mas que una carta entre superficies. Hay que destacarque el teorema egregium de Gauss tiene como consecuencia que no puede existir un mapa escala delglobo terraqueo sin alguna clase de distorsion; por lo tanto, el proceso de encontrar una transfor-macion entre la Tierra y el plano requiere siempre un grado de aproximacion y simplificacion. Lostipos de distorsion se clasifican teniendo en cuenta longitud, angulo, forma y area. Toma entoncesuna gran importancia el concepto de factor de escala, el cual esta relacionado con la longitud relativade una curva en la Tierra a la misma representada en el mapa geografico. Ahora bien, los mapas deproyeccion son clasificados en diversas maneras. En este texto se utiliza el metodo de clasificacionrelacionado con la superficie sobre la cual se proyectara la Tierra y que esta ligada con la orientacionrelativa de la primera con respecto al eje de rotacion del globo terraqueo, y si dicha superficie estangente o secante a este. Tambien se trata la clasificacion con respecto a la preservacion de ciertascantidades metricas, a saber, mapas de proyeccion isoareales o que conservan el area, conformales(ortomorficos) o que conservan angulos y finalmente equidistantes, que mantienen casi intacta laescala. Por lo tanto, en este trabajo se presentan diferentes conceptos geometricos de la cartografıamatematica que giran en torno a las definiciones de mapa de proyeccion y a la distorsion mınimapara dicho mapa. Ademas, se estudia el problema matematico de escoger un metodo de mapeo queminimice la distorsion, en particular concentrandonos en la proyeccion equidistante acimutal. En pri-mer lugar, se abordan las bases necesarias para el desarrollo del objetivo de este trabajo. En segundolugar, se presentan ciertos aspectos de la teorıa matematica de la cartografıa, enfoncandome al finalen mapas de mınima distorsion. Finalmente, se presentan conclusiones. Para los fines anteriormentemencionados, se utilizo como principal guıa el artıculo A Problem in Cartography de John WillardMilnor (1969), ası como las demas fuentes bibliograficas referenciadas a lo largo de este trabajo.

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2. Preliminares de Topologıa

En esta seccion se presentan algunos conceptos de topologıa que son indispensables para entender elobjetivo central de este trabajo. Las futuras definiciones que en este capıtulo preliminar se presentan,se daran con la finalidad de preparar y entender los conceptos a lo largo de este proyecto; por ello,no se pretende hacer una exposicion totalmente detallada ya que para ello deberıa realizarse todo uncurso sobre topologıa. Finalmente, en esta capıtulo se utiliza el material bibliografico de referencia[17], [2] y [18].

2.1. Espacios topologicos.

Definicion 2.1. Una topologıa de un conjunto X es una familia τ = Ui ∶ i ∈ I, Ui ⊆X tal que

1. ∅ ∈ τ , X ∈ τ .2. La interseccion finita de elementos de τ esta en τ .3. La union arbitraria de elementos de τ esta en τ .

Las condiciones de la anterior definicion, reciben el nombre de axiomas de una estructura topologica.Por otro lado, el espacio topologico es el par (X,τ) y los elementos de τ se denominan conjuntosabiertos. Sin embargo, por cuestion de comodidad se denota a un espacio topologico simplementepor X. Los elementos de X se llaman puntos del espacio en cuestion. Finalmente, por definicion loscomplementos de los conjuntos abiertos en la topologıa τ reciben el nombre de conjuntos cerrados.

Ejemplo 2.1. En los numeros reales R se puede definir una topologıa τ , con V ∈ τ si V es la unionde intervalos abiertos. Es decir, V ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ V existe un intervalo (a, b)que contiene a x y esta contenido en V . Esta topologıa recibe el nombre de topologıa usual sobre losnumeros reales, y se denota como τu

Definicion 2.2. Sea (X,τ) un espacio topologico. W ⊆X es una vecindad del punto x ∈X -la cualse denota como Wx- si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆Wx. El conjunto de todas las vecindades de x seescribe como W(x).

Definicion 2.3. Un espacio topologico (X,τ) es un espacio de Hausdorff, T2, o separado, si dadocualquier par de puntos x, y ∈X existen vecindades Wx, Wy con Wx ∩Wy = ∅.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 1, pp.9-31).

2.2. Espacios metricos. El concepto de espacios metricos fue introducido en 1906 por el ma-tematico de origen frances Maurice Rene Frechet y fue sin lugar a dudas una de las bases fundamen-tales para el surgimiento de la topologıa. Su objetivo principal, era el de introducir una definiciongeneral con pocas condiciones para el concepto de distancia en objetos matematicos no especıficos;es decir, no necesariamente para curvas, funciones o puntos en el espacio euclidiano Rn.

Definicion 2.4. Un conjunto X, cuyos elementos se llamaran puntos, es un espacio metrico si paracualquiera dos puntos x, y y z de X hay asociado un numero real d(x, y) llamado distancia de x ay, tal que se cumplen los siguientes axiomas

1. d(x, y) > 0 si x ≠ y ; d(x,x) = 0;2. d(x, y) = d(y, x);3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

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Una funcion que cumpla con esta definicion recibe el nombre de funcion distancia o simplementemetrica. Por otro lado, formalmente el par (X,d) recibe el nombre de espacio metrico.

La desigualdad 3. recibe el nombre de desigualdad triangular. Note que si d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y)entonces d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z). Seguidamente, si intercambiamos x con z, tendremos d(z, y) −d(x, y) ≤ d(z, x) y concluimos que −d(x, z) ≤ d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z). Por lo tanto, lo anteriormuestra que la desigualdad 3. tiene como consecuencia inmediata lo siguiente:

(1) ∣d(x, y) − d(z, y)∣ ≤ d(x, z).

Ahora bien, dados (X,d), x ∈ X y ε > 0, el conjunto de puntos y tal que d(x, y) < ε, se denominabola abierta Bε(x). En particular, las bolas abiertas forman una topologıa sobre X, dicha topologıase llama topologıa de espacio metrico.

Ejemplo 2.2. El conjunto de los numeros reales R, con la funcion distancia dada por d(x, y) = ∣x− y∣es un espacio metrico.

Ejemplo 2.3. Dados x = (x1, x2, ......, xn) y = (y1, y2, ......, yn), dos puntos en Rn, se define:

(2) d(x, y) = ∣∣x − y∣∣ = ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)

2 + ..... + (xn − yn)2)1/2.

Dicha funcion es una metrica sobre Rn y es llamada distancia euclidiana.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 2, pp.37) y ([18], Rudin, W. (1976). Cap 2, pp. 33).

Definicion 2.5. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆ X. Decimos que a ∈ X es un puntoadherente o adherido a B, si a no puede ser separado del conjunto A por ninguna de sus vecindades.Esto es, para toda vecindad del punto a Va, se tiene que Va ∩B ≠ ∅. El conjunto de todos los puntosadherentes a B lo denotamos como B y lo llamamos clausura de B,

(3) B = x ∶ x es adherente de B.

Teorema 2.1. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆ X. B es el menor conjunto cerrado quecontiene a B, i. e.,

(4) B =⋂G ∶ G es cerrado y B ⊆ G.

Demostracion. Sea x ∈ ⋂G ∶ G es cerrado y B ⊆ G y veamos que x ∈ B. Dada Vx vecindad, entoncespor definicion de vecindad existe U abierto donde x ∈ U ⊆ Vx. Si Vx ∩B = ∅ entonces U ∩B = ∅ luegoB ⊆ U c, ası que U c es un cerrado que contiene a B y por hipotesis x ∉ U c, lo cual es una contradiccion.Podemos concluir que Vx ∩B ≠ ∅ para toda Vx.En el otro sentido, sea x ∈ B. Si x ∉ ⋂G ∶ G es cerrado y B ⊆ G existe G cerrado tal que B ⊆ G yx ∉ G. Luego x ∈ Gc con Gc abierto y ademas Gc ∩B = ∅ lo que contradice que x ∈ B. ∎

Definicion 2.6. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆ X. Se dice que a ∈ X es punto de acu-mulacion de B ( B se acumula en a) o que a es un punto lımite del conjunto B, si para cualquiervecindad de b Va se tiene que (Va − a) ∩B ≠ ∅.

El conjunto de puntos de acumulacion de B se denotara como Bb y se llamara derivado de B

(5) Bb = x ∣ x es un punto de acumulacion de B.

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Teorema 2.2. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X entonces

(6) B = B ∪Bb.

Demostracion. Se demostrara por doble contenencia. En primer lugar veamos que B ∪ Bb ⊆ B. Six ∉ B, existe una vecindad de x Vx tal que Vx ∩B = ∅, lo que quiere decir x ∉ B y x ∉ Bb.

Por otro lado, sea x tal que x ∉ B∪Bb, entonces existe una vecindad de x Vx con (Vx−x)∩B = ∅,y como x ∉ B se puede concluir que Vx ∩B = ∅, con lo cual x ∉ B. ∎

Colorario 2.2.1. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. B es cerrado si y solo si Ba ⊆ B.

Demostracion. B = B = B ∪Bb, lo que implica que Ba ⊆ B. ∎

Definicion 2.7. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆ X. Se dice que a ∈ X es un punto aisladode B si existe una vecindad de a Va en X para la cual Va ∩B ⊆ a.

Definicion 2.8. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. Se dice que a ∈X es un punto interiorde B si existe U ⊆ X abierto tal que a ∈ U ⊆ B. Al conjunto de puntos interiores de B lo llamamosinterior de B y se denotara como B

(7) B = x ∣ x es un punto interior de B.

Proposicion 2.1. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. B es el mayor abierto contenido enB.

Demostracion. Veamos que B = ⋃S, donde el conjunto S esta definido de la siguiente manera:

(8) S = Ui ⊆X ∣ Ui ⊆ B y Ui es un abierto .

Sea x tales que x ∈ B, entonces existe un abierto Ux con x ∈ Ux ⊆ B. Por lo tanto, Ux ∈ S ypodemos concluir que x ∈ ⋃S.Sea x tales que x ∈ ⋃S, por definicion de interseccion generalizada existe i para el cual x ∈ Ui ⊆ B ypor lo tanto se tiene que x ∈ B.

∎

Colorario 2.2.2. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. B es abierto si y solo si B = B.

Demostracion. Esto es equivalente a decir que B es abierto si y solo si B es vecindad de cada unode sus puntos. ∎

Definicion 2.9. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. Se dice que a ∈X es un punto exteriorde B si existe una vecindad Va tal que Va ⊆ Bc.

El conjunto de los puntos exteriores a B se llamara exterior de B y se denotara como Ext(B).

Definicion 2.10. Sean (X,τ) un espacio topologico y B ⊆X. Se dice que a ∈X es un punto fronterade B si para toda vecindad Va se tiene que Va ∩B ≠ ∅ ≠ Va ∩Bc.

El conjunto de los puntos frontera a B se se denotara como Fr(B):

(9) Fr(B) = x ∣ x es un punto frontera para B.

Definicion 2.11. Sea X un espacio metrico y considerando que los conjuntos mencionados en estadefinicion son subconjuntos de X, tenemos lo siguiente:

1. Bola abierta Br(x) = y ∈X ∶ d(x, y) < r.

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2. Bola cerrada B≤r(x) = y ∈X ∶ d(x, y) ≤ r.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 9, pp.137-150).

Definicion 2.12. Sea X un espacio metrico y considerando que todos los puntos y conjuntos men-cionados en esta definicion son elementos y subconjuntos de X respectivamente, tenemos lo siguiente:

1. Vecindad: Una vecindad de un punto x es un conjunto Vr(x) que consiste en todos los puntosy tal que d(x, y) < r. El numero r es llamado radio de Vr(x). Se dice ademas que la vecindadVr(x) esta centrada en x.

2. Conjunto cerrado: Un conjunto E es cerrado si todo punto limite de E pertenece a el.3. Conjunto acotado: Un conjunto E esta acotado si existe un numero real M y un puntoy ∈X tal que d(x, y) <M para todo x ∈ E.

4. Conjunto denso: Un conjunto E es denso en X si todo punto en X es un punto limite o unpunto o ambos de E.

Teorema 2.3. Toda vecindad de un espacio metrico X, es un conjunto abierto.

Demostracion. Sea x ∈X y Vr(x) una vecindad centrada en x.Sea y cualquier punto perteneciente aVr(x). Por definicion de vecindad tenemos que d(x, y) < r.

Tome ρ = r − d(x, y). Note que ρ > 0. Queremos probar que todos los puntos de nuestra vecindadson puntos interiores. Esto es lo mismo que decir que Vρ(y) ⊆ Vr(x), con Vρ(y) vecindad de y.Sea z ∈ Vρ(y) entonces por definicion de vecindad tenemos que d(z, y) < ρ. Por lo tanto aplicando ladesigualdad triangular se tiene que

(10) d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < ρ + d(x, y) = (r − d(x, y)) + d(x, y) = r,

lo que significarıa que z ∈ Vρ(x), que era lo que querıamos demostrar. ∎

Teorema 2.4. Sea X un espacio metrico y B≤r(x) una bola cerrada centrada en x. Entonces B≤r(x)es un conjunto cerrado.

Demostracion. Probaremos que cualquier punto que este fuera de B≤r(x) no sera punto limite deeste conjunto. Sea z ∈ X un punto que no pertenece a B≤r(x) entonces tenemos que el numerod(x, z) − r > 0, llamemos a este numero ρ. Formemos la bola abierta centrada en z con radio ρ y seam perteneciente a esta bola Bρ(z). Tenemos pues que d(z,m) < ρ. Nuestro objetivo es mostrar qued(m,x) > r.

(11) d(x, z) ≤ d(z,m) + d(m,x).

Entonces

(12) d(m,x) ≥ d(x, z) − d(z,m).

Sin embargo d(z,m) < ρ = d(x, z)−r, entonces −ρ < −d(z, x). Por lo tanto tenemos que d(x, z)−ρ <d(x, z) − d(z,m) y finalmente

(13) d(m,x) ≥ d(x, z) − d(z,m) > d(x, z) − ρ = r.

∎

Hasta aquı se utiliza la referencia con cita bibliografica ([18], Rudin, W. (1976). Cap 2, pp. 33-39).

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2.3. Funciones continuas.

Definicion 2.13. Sea una funcion f ∶ (X,τ) Ð→ (Y, υ) entre espacios topologicos. Dado p ∈ X sedice que f es continua en p si dada una vecindad Vf(p) en Y existe una vecindad Up en X tal quef(Up) ⊆ Vf(p). Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua .

Teorema 2.5. Sea una funcion f ∶ (X,τ) Ð→ (Y, υ) entre espacios topologicos. Entonces, f escontinua si y solo si para cada V ∈ υ se tiene que f−1(V ) ∈ τ .

Demostracion. Supongamos que f es una funcion continua y que V ∈ υ. Sea p ∈ f−1(V ). Como f escontinua, esto significa que existe un abierto Up tal que f(Up) esta contenido en V , luego Up ⊆ f−1(V )

y ası podemos concluir que

(14) f−1(V ) = ⋃ Up ∣ p ∈ f−1(V ).

Para la otra implicacion, sean p ∈ X y V ∈ υ tales que f(x) ∈ V . Ya que p ∈ f−1(V ) ∈ τ yf(f−1(V )) ⊆ V , se tiene que f es continua en p y como p es cualquier punto, se puede concluir quef es continua. ∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 4, pp.71-78).

Definicion 2.14. Sean dos espacios topologicos (X,τ1) y (Y, τ2). Se dice que estos dos espaciostopologicos son homeomorfos o topologicamente equivalentes si y solo si, existe una biyeccion f ∶

X Ð→ Y con f y f−1 continuas. La funcion f se denomina homeomorfismo.

Algunos autores definen la topologıa como el estudio de las propiedades que permanecen inaltera-bles cuando al espacio se le aplica un homeomorfismo. Estas propiedades se denominan invariantestopologicos. Un ejemplo importante que utilizaremos mas adelante, es el presentado en el teoremade Jordan. Esta propiedad se refiere a la capacidad que tiene la circunferencia de dividir el planoeuclidiano en dos regiones.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 6, pp.96-103).

2.4. Sucesiones, convergencia y continuidad.

Definicion 2.15. Sea M un subconjunto no vacıo de un espacio metrico X, y sea S el conjuntode todos los numeros reales de la forma d(a, b), con a ∈ M y b ∈ M . El supremo de S es llamadodiametro de M . y sera simbolizado con δ(M).

Definicion 2.16. Sea X y Y dos espacios metricos, M ⊂ X y un mapa f de M a Y . La oscilacionde f en M es δ(f(M)) (el cual puede ser +∞). Sea a un punto de acumulacion de A, la oscilacion def en a con respecto a A es Ω(a; f) = inf[δ(f(V ∩A))], donde V pertenece al sistema de vecindadesfundamentales de A.

Definicion 2.17. Sea (X,d) un espacio metrico. Una sucesion en X es un mapa que va de losnumeros naturales al espacio metrico X

N Ð→X , nz→ xn ∈X.

La sucesion se denotara como

(xn)n∈No (x1, x2, x3, .....).

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Definicion 2.18. Una sucesion (xn)n∈N en un espacio metrico (X,d) se dice que converge si existeun punto p ∈X con la propiedad de que para todo ε > 0 existe un entero positivo N tal que si n ≥ Nentonces d(xn, p) < ε. Equivalentemente se dice que (xn)n∈N converge al punto p, o que p es el lımitede (xn)n∈N y se denotara por xn → p o lımn→∞ xn = p.

Si (xn)n∈N no converge, decimos que dicha sucesion diverge.

Definicion 2.19. Dada una sucesion (xn)n∈N, considere la sucesion estrictamente creciente (nk)k∈Nde enteros positivos, entonces la sucesion (xni)i∈N es llamada subsucesion de (xn)n∈N. Si (xni)i∈Nconverge, su lımite es llamado lımite subsucesional de (xn)n∈N.

Proposicion 2.2. (xn)n∈N converge a p si y solo si toda subsucesion de (xn)n∈N converge a p.

Demostracion. Supongamos que xn → p. Por definicion esto significa que para todo ε > 0, existeun entero positivo N tal que si para todo ε > 0, existe un numero δ > 0 tal que d(xn, p) < ε sin ≥ N . Tomemos cualquier subsucesion de (xn)n∈N dada por (xni)i∈N, fijemos K entero positivo talque k ≥ K da nk ≥ N . Entonces tenemos que cuando k ≥ K se tiene que d(xnk , p) < ε. Para la otraimplicacion,note que xn → p es subsucesion de si misma. ∎

Teorema 2.6. Si (xn)n∈N es una sucesion convergente en un espacio metrico compacto X, entoncesalguna subsucesion de (xn)n∈N converge hacia un punto de X.

Demostracion. Sea H el rango de la sucesion (xn)n∈N. Si H es finito entonces existe x ∈ H y unasucesion (ni)n∈N con n1 < n2 < n3 < . . ., tales que

(15) xn1 = xn2 = . . . = x.

La subsucesion (xn)n∈N ası obtenida converge evidentemente a x. Por otro lado, si H es infinito, setiene que H tiene un punto lımite x ∈ X. Si escogemos n1 de tal manera que d(x,xn1) < 1. Despuesde escoger n1, . . . , ni−1, existe ni > ni−1 tal que d(x,xni) < 1/i. Podemos concluir que (xni) convergea x. ∎

Teorema 2.7. Toda sucesion acotada en Rk contiene una subsucesion convergente.

Demostracion. Como cada subconjunto acotado de Rk es un subconjunto compacto de compacto Rk,el presente teorema es conclusion de 2.6. ∎

Definicion 2.20. Una sucesion (xn)n∈N en un espacio metrico X se dice es una sucesion de Cauchypara todo ε > 0 existe un entero positivo N tal que si n ≥ N y m ≥ N entonces d(xn, xm) < ε.

Definicion 2.21. Sea X y Y dos espacios metricos; supongamos que M ⊂X, f es un mapa que va delconjunto M a Y y p un punto lımite de M . Se escribira f(x)→ q en tanto x→ p o lımx→ p f(x) = q, siexiste un punto q ∈ Y con la propiedad que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si dY (f(x), q) < ε,para todos los puntos x ∈M para los cuales dX(x, p) < δ.

Definicion 2.22. Sean X y Y dos espacios metricos, M ⊂X, p ∈M y un mapa f ∶M → Y . Decimosque f es continua en el punto p, si para todos los puntos x ∈ M para los cuales dX(x, p) < δ, secumple que dY (f(x), f(p)) < ε. Si f es continua en todos los puntos del conjunto M , se dice entoncesque f es continua en M .

Definicion 2.23. Sean (X,d) y (Y,m) dos espacios metricos. Una funcion f ∶ X → Y se llamauniformemente continua, si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f(x), f(y)) <ε.

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Ejemplo 2.4. Sean (X,d1) y (Y, d2) dos espacios metricos. Una funcion g ∶ (X,d1) Ð→ (Y, d2) sedenomina Lipschitziana con factor de contraccion k, Lipschitz continua o que cumple la condicionde Lipschitz si para todo par de puntos x, y de X se tiene que

(16) d2(g(x), g(y)) ≤ k d1(x, y) con k > 0.

Veamos que g es uniformemente continua. Dado ε > 0 si se toma δ = ε/k; para d1(x, y) < δ se tieneque d2(g(x), g(y)) ≤ k d1(x, y) < k δ < ε. En particular, si k = 1, esto es, d2(g(x), g(y)) = d1(x, y), sedice que g es una isometrıa (es continua e inyectiva).

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 4, pp.71-78. Cap 5, pp. 88-96 ) y ([18], Rudin, W. (1976). Cap 3, pp. 50-55).

2.5. Conexidad. En esta seccion se utiliza la referencia [17].

Definicion 2.24. Sea un espacio topologico (X,τ). Una separacion para X es un par A, B deconjuntos no vacıos, abiertos y tales que A ∪B =X y A ∩B = ∅.

Definicion 2.25. Sea un espacio topologico (X,τ). Decimos que dicho espacio es conexo si no existeseparacion para X.

Teorema 2.8. Sea un espacio topologico (X,τ) y el conjunto 0,1 con topologıa discreta. Entonces,(X,τ) es conexo si y solo si toda funcion continua g ∶X Ð→ 0,1 es constante.

Demostracion. Supongamos que X es conexo y que existe g ∶ X Ð→ 0,1 continua y sobreyectiva.Entonces los conjuntos g−1(0) y g−1(1) forman una separacion para X. Ahora bien, si X no es conexo,entonces existe una separacion A, B para X. Definiendo g ∶ X Ð→ 0,1 como g(x) = 0 si x ∈ A yg(x) = 1 si x ∈ B, se tiene que g es continua y sobreyectiva, lo cual es una contradiccion. ∎

Definicion 2.26. Un camino en un espacio topologico X es una funcion continua g ∶ [0,1] Ð→ X.Si g(0) = a y g(1) = b, se dice que el camino tiene un punto inicial en a y un punto final en b y queg conecta a a con b.

Definicion 2.27. Se dice que un espacio topologico (X,τ) es conexo por caminos si y solo si dadosx y y en X, existe un camino g con punto inicial en x y punto final en y. Cada par de puntos en Xpuede ser unido mediante un camino.

Ejemplo 2.5. Para todo n ∈ N, la esfera Sn es conexo por caminos.

Lema 2.9. Sea (X,τ) un espacio topologico. Si Cii∈I es una familia de subconjuntos conexos deX, con la propiedad que existe un ındice j ∈ I tal que para cada i ∈ I se tiene que Ci∩Cj ≠ ∅, entoncesC = ⋃i∈I Ci.

Demostracion. Sea A,B una separacion de C. Entonces, para cada Ci tenemos que Ci ⊆ A o Ci ⊆ B.Si suponemos Cj ⊆ A entonces, para ningun ındice i, Ci esta contenido en B debido a que Cj no esdisyunto de algun Ci. Ası, todos los Ci estarıan en A obligando a que B sea el conjunto vacıo, lo cualcontradice que A,B sea una separacion. ∎

Teorema 2.10. Sea (X,τ) un espacio topologico. Si X es conexo por caminos entonces es conexo.

Demostracion. Sea p ∈ X. Para cada x perteneciente a X existe un camino αx ∶ [0,1] Ð→ X queconecta p con x. αx([0,1]) ⊆ X es conexo para cada x ∈ X. Por otro lado, αx(0) = p = ⋂xαx([0,1])y por el lema 2.9 tenemos como conclusion que X = ⋃xαx([0,1]) es conexo. ∎

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Hasta aquı se utiliza las referencia con cita bibliografica ([17], Rubiano, G. N. (2010). Cap 13, pp.241-249. Cap 13, pp. 258-259 ).

2.6. Teoremas elementales de extension de funciones.

Teorema 2.11. Sean f y g dos mapas continuos de un espacio metrico M a un espacio metrico M ′.El conjunto A de puntos x ∈M tal que f(x) = g(x) es cerrado en M .

Demostracion. Mostraremos que el conjunto M −A es abierto. Sea a ∈M −A, entonces f(a) ≠ g(a);sea d′(f(a), g(a)) = α > 0. Por continuidad de f y g en a se sigue que existe una vecindad V de aen M tal que para x ∈ V , d′(f(a), g(x)) = α/2. Entonces para x ∈ V , f(x) ≠ g(x), de lo contrariotendrıamos que d′(f(a), g(a)) < α por la desigualdad triangular. ∎

Colorario 2.11.1. Sean f y g dos mapas continuos de un espacio metrico M a un espacio metricoM ′. Si f(x) = g(x) para todos los puntos x de un subconjunto denso A en M , entonces f = g para elconjunto de puntos x donde f(x) = g(x).

Demostracion. Para el conjunto de puntos x donde f(x) = g(x) es cerrado por el teorema anterior ycontiene A. ∎

Teorema 2.12. Sea A un subconjunto denso de un espacio metrico M , y f un mapa de A a unespacio metrico M ′. En orden de que exista un mapa continuo f de M a M ′, que coincida con f enA, una condicion necesaria y suficiente es que para cualquier x ∈M , el lımite lımy→x,y∈A f(x) existe

en M ′; el mapa continuo f es entonces unico.

Demostracion. Como cualquier x ∈M pertenece a A, debemos tener que f(x) = lımy→x,y∈A f(y), por

lo tanto f(x) = lımy→x,y∈A f(y); esto muestra la necesidad de la condicion y el hecho de que si el mapa

f existe, este ha de ser unico. Conversamente, supongamos que la definicion se satisface y probemos

que el mapa f definido por f(x) = lımy→x,y∈A f(y) es una solucion del problema de extension. Primero

que todo, si x ∈ A, la existencia de el lımite implica por definicion que f(x) = f(x), por lo tanto

f extiende a f , y faltarıa ver entonces que f es continua. Sea x ∈ M , V ′ una vecindad de f(x) enM ′; existe una bola cerrada B′ centrada en f(x) contenida en V ′. Por hipotesis, existe una vecindad

abierta V de x en M tal que f(V ∩ A) ⊂ B′. Para cualquiera y ∈ V , f(y) es el lımite de f en elpunto y con respecto a A, por lo tanto lo es tambien con respecto a V ∩ A; entonces se sigue que

f(y) ∈ f(V ∩A) y por lo tanto f(y) ∈ B′ ya que B′ es un conjunto cerrado. ∎

Teorema 2.13. Sea A un subconjunto denso de un espacio metrico M , y f un mapa uniformementecontinuo de A a un espacio metrico M ′. Entonces existe un mapa continuo f de M a M ′ que coincidecon f en A; mas aun, f es uniformemente continua.

Demostracion. Para probar la existencia de f , debemos probar que la oscilacion de f en cualquierpunto x ∈M con respecto a A es 0. Para cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(y, z) < δ entoncesd′(f(y), f(z)) < δ/3 para y y z en A. Por lo tanto, el diametro de f(A ∩B(x; δ/2)) es al menos δ/3,lo que prueba la afirmacion. Considere ahora cualquiera dos puntos s y t en M tal que d(s, t) < δ/2.

Existe un y ∈ A tal que d(s, y) < δ/4 y d′(f(s), f(y)) < δ/3 y un z ∈ A tal que d′(f(t), f(z)) < δ/3.Por la desigualdad triangular tenemos que d(y, z) < δ, y en tanto y y z esten en A tenemos que

d′(f(y), f(z)) < δ/3; por lo tanto, por la desigualdad triangular d′(f(s), f(t)) < δ; lo que probarıaque f es uniformemente continua.

∎

16

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([2], Dieudonne, J. (1969). Cap 3, pp.55-57).

3. Preliminares de Geometrıa de Curvas y Superficies

La Geometrıa Diferencial de Curvas y Superficies se divide en dos grandes ramas; la primera, tienesus raıces en el calculo y se denomina geometrıa diferencial clasica que se encarga del estudio de laspropiedades locales de curvas y superficies. Las propiedades locales son aquellas que dependen delcomportamiento de la curva o superficie en la vecindad de un punto y por lo tanto los metodos paraestudiar estas propiedades derivan del calculo diferencial. Debido a lo anterior, hay que destacar quelas curvas y superficies aquı consideradas son definidas como funciones que se pueden diferenciar uncierto numero de veces. La otra rama recibe el nombre de geometrıa diferencial global que se encargade estudiar la relacion que existe entre las propiedades locales de la curva o superficie y su compor-tamiento a nivel global, es decir toda una curva o toda una superficie. Este trabajo esta enfocadoal estudio de la geometrıa diferencial de curvas y superficies, dirigido en particular a su desarrolloteorico en el espacio tridimensional ordinario. Dicho espacio lo podemos dotar de una metrica quenos facilitara realizar importantes calculos geometricos. De hecho, aquı se trataran conceptos de geo-metrıa analıtica y metrica. La primera, emplea sistemas de coordenadas para ası utilizar metodosalgebraicos y de analisis en el estudio de variedades. La segunda estudia las propiedades de las fi-guras que son invariantes cuando son impuestos movimientos rıgidos, como lo son las traslaciones orotaciones; por ejemplo, la medida de cantidades tales como la distancia entre dos puntos, el anguloentre dos curvas rectas o el area de un triangulo en una superficie curva. Cabe destacar finalmente,que ningun campo de las matematicas se escapa del armazon teorico que proporciona el algebra, y enparticular la del algebra lineal, la cual es indispensable para desarrollar los conceptos antes mencio-nados. Como conclusion, en esta seccion uniremos los preliminares de topologıa con las importantesareas que hemos dicho en las lıneas anteriores de este parrafo. Esto es de crucial importancia para elentendimiento minucioso de la cartografıa matematica. En este capıtulo se ha utilizado como materialbibliografico las siguientes referencias: [10], [16], [5], [6], [3], [23], [13], [21], [11] y [15].

3.1. Elementos de algebra tensorial. El proposito de esta seccion es el de desarrollar las propie-dades de cierto tipos de funciones sobre un espacio vectorial dado. En especıfico, se trata el conceptode transformaciones multilineales, que es de gran importancia en el desarrollo de la geometrıa di-ferencial, y en particular es de utilidad en el entendimiento de la geometrıa de curvas y superficiesnecesaria para la cartografıa.

3.1.1. Producto Punto.

Definicion 3.1. Sea u = (u1, u2, u3, ..., un) ∈ Rn, la norma o magnitud de u es dada por

(17) ∥u∥ =√

(u1)2 + (u2)2 + (u3)3 + ...... + (un)n.

Note que, geometricamente ∥u∥ es la distancia del punto (u1, u2, u3, ...., un) al origen 0.La motivacion detras de la idea de producto punto, surge cuando aplicamos ley de cosenos y la

definicion de norma en el espacio euclidiano n-dimensional a los vectores u y w, y al angulo φ queforman entre ellos. Para encontrar este ultimo:

(18) ∥u∥2 + ∥w∥2 = ∥u −w∥2 + 2∥u∥∥w∥(cosφ).

17

obteniendo por lo tanto

(19) ∥u∥∥w∥(cosφ) = ∑ni=1 u

iwi.

Definicion 3.2. El producto punto, producto interno o producto escalar de dos vectores u y wpertenecientes a Rn es el escalar dado por

(20) u ⋅w = ∑ni=1 u

iwi.

Ahora bien, sea φ, 0 ≤ φ ≤ π el angulo formado por los segmentos Ou y Ow, dada la anteriordefinicion y lo encontrado se puede deducir que:

(21) u ⋅w = ∥u∥∥w∥ cosφ.

Y esto a su vez sugiere, la siguiente definicion del angulo entre dos vectores u y w de Rn:

(22) φ = arc cos u⋅w∥u∥∥w∥

.

Note, que para que la anterior ecuacion tenga sentido se debe cumplir la llamada desigualdad deSchwarz :

(23) ∣u ⋅w∣ ≤ ∥u∥∥w∥.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([5], Fraleigh, J. (1995). Cap , pp. ).

3.1.2. Transformaciones lineales y espacio dual.

Definicion 3.3. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo escalar F . Una transformacionlineal de V en W es una funcion f que va de V en W tal que

(24) f(cα + β) = cf(α) + f(β).

Para todos los vectores α y β de V y todos los c ∈ F .

Supongamos ahora que nos encontramos en espacios euclidianos y queremos ver el comportamientode las transformaciones lineales en dichos espacios. De algebra lineal sabemos que una matriz A sepuede ver como una funcion que mapea un vector x al vector b = Ax.

Proposicion 3.1. Sea A una matriz de tamano m × n. La aplicacion TA ∶ Rn → Rm definida comoTA(x) = Ax es una transformacion lineal.

Demostracion. Para cualquier par de vectores x y y pertenecientes a Rn y para cualquier escalarreal r se tiene:

(25) TA(x + y) = A(x + y) = Ax +Ay = TA(x) + TA(y).

Y

(26) TA(rx) = A(rx) = r(Ax) = rTA(x).

∎

Teorema 3.1. Sea T ∶ Rn → Rm, una transformacion lineal, y sea B = b1,b2, ..,bn una base paraRn. Para cualquier vector v ∈ Rn, el vector T (v) esta unicamente determinado por los vectores T (b1),T (b2),...,T (bn).

18

Demostracion. Sea x cualquier vector perteneciente a Rn. Como B es una base, existen escalaresunicos r1, r2, . . . , rn tal que

(27) x = ∑ni=1 ribi.

Pero como T es una transformacion lineal tenemos:

(28) T (x) = T (∑ni=1 ribi) = ∑

ni=1 riT (bi).

Debido a que los coeficientes ri son determinados de manera unica por x, se sigue que T (x) estacompletamente determinado por los vectores T (bi) con i = 1,2, . . . n. ∎

Teorema 3.2. Representacion matricial estandar de una transformacion lineal: Sea T ∶ Rn → Rm

una transformacion lineal, y sea una matriz A de tamano m × n cuyo vector columna jth es T (ej),esto es:

(29) A = (T (e1) T (e2) . . . T (en)) .

Entonces, T (x) = Ax para cada vector columna x ∈ Rn.

Demostracion. Para cualquier matriz A se tiene que Aej es la columna jth de A. Esto muestra quesi A es una matriz como en el enunciado del teorema, entonces Aej = T (ej) y por lo tanto T y TAdada por TA(x) = Ax tienen la misma base e1,e2, . . . ,e2 de Rn. Por el teorema 3.1 tenemos queT (x) = TA(x) para todo x perteneciente al espacio euclidiano Rn. ∎

Teorema 3.3. Sea T ∶ Rn → Rm una transformacion lineal y A su matriz asociada. Si T es inyectivaentonces

1. Los vectores columna de A son linealmente independientes.2. dim(Rn) ≤ dim(Rm).

Demostracion. 1. Aquı se probara una equivalencia. En primer lugar, supongamos que los vectorescolumnas de A son linealmente independientes. Sea v ∈ Rn dado como v = a1v1 + . . . + anvn.Entonces, si T (v) = 0, tenemos 0 = T (v) = T (a1v1+ . . .+anvn) = a1T (v1)+ . . .+anT (vn). Por laindependencia lineal de T (vj) se sigue que a1 = . . . = an = 0. Por lo tanto, v = 0v1+ . . .+0vn = 0.La otra direccion es clara debido a que ker(T ) = 0 y c1T (v1) + .... + cnT (vn) = 0.

2. Supongamos que por contradiccion que dim(Rn) > dim(Rm). Por teorema tenemos que null(T )+

rank(T ) = dimRn. Note que rank(T ) es la dimension del rango de T , que es un subespacio delespacio vectorial de Rm. Por lo tanto, rank(T ) = dim(rango(T )) ≤ dim(Rm). De lo anterior,se sigue que null(T ) = dim(Rn)− rank(T ) > dim(U)− dim(V ) > 0. Pero por teorema tenemosque T es inyectiva si y solo si, su nulidad es cero. Contradiccion.

∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([2], Fraleigh, J. (1995). Cap 2, pp.140-152 ) y ([6], Hoffman,K. Kunze, R. (1973). Cap 3, pp. 67-111).

Definicion 3.4. Supongamos V un espacio vectorial sobre un campo escalar F . Un operador linealsobre V es una transformacion lineal T de V en V . Por otro lado, una transformacion lineal f de Ven el campo de los escalares se denomina funcional lineal sobre V .

Si V es un espacio vectorial, el conjunto de todos los funcionales lineales sobre V , es un espaciovectorial. Dicho espacio es designado usualmente en la literatura comoHom(V,F ), se denota como V ∗

y se denomina espacio dual de V . Ahora bien, si consideramos F como el campo de los numeros reales,

19

tenemos que los elementos de Hom(V,R) = V ∗ son llamados covectores o 1-covectores. Supondremosde aquı en adelante que V es un espacio vectorial finito dimensional, lo que significa por definicionque tiene una base finita. Por lo tanto si e1, e2, ....., en es la base canonica de V , cada elementov ∈ V es una combinacion lineal unica de elementos de dicha base, esto es v = ∑

ni=1 v

iei. Sea f i ∶ V → Run funcional lineal que toma cada vector v a su coordenada i-th, es decir f i(v) = vi. Note que f i

viene caracterizada de la siguiente manera:

(30) f i(ej) = δi,j = 1 if i = j

0 if i ≠ j

Proposicion 3.2. Las funciones f 1, f 2, ......, fn forman una base para V ∗.

Demostracion. Por definicion, una base de un espacio vectorial de dimension finita, es un conjunto devectores linealmente independientes que genera dicho espacio vectorial, por lo tanto se debe demostrarque f 1, f 2, ......, fn es un conjunto linealmente independiente que generan a V ∗: Sea f ∈ V ∗ y seav ∈ V , sea ademas la base canonica de V dada por e1, e2, ....., en. Tenemos pues que v = ∑

ni=1 v

iei.Por linealidad de f y por como hemos definido f i se tiene

(31) f(v) = vif(ei) = f i(v)f(ei).

Luego

(32) f = vif(ei) = f if(ei).

Note aquı que f i(v) es un escalar real para toda v en V , luego por definicion de combinacion lineal,tenemos que f 1, f 2, ......, fn generan a V ∗.

Ahora demostremos que f 1, f 2, ......, fn es un conjunto linealmente independiente. Supongamosque 0 = ∑

ni=1 cif

i, veamos que para todo ci, se tiene que ci = 0. Supongamos el vector ej, entoncestenemos que

(33) 0(ej) = 0 = cif i(ej) = ciδi,j = cj.

con j = 1, .....n. Por lo tanto el conjunto de vectores f 1, f 2, ......, fn es linealmente independiente.Luego podemos concluir que f 1, f 2, ......, fn genera a V ∗. ∎

Ejemplo 3.1. funciones coordenadas:Como sabemos, si e1, e2, ....., en es la base canonica para un espacio vectorial V , cada elemento

en el se puede escribir como una combinacion lineal de elementos de su base: v = ∑ni=1 b

i(v)ei, dondebi(v) pertenece al campo de los reales. Sea f 1, f 2, ......, fn la base de V ∗ dual a e1, e2, ....., en,entonces tenemos

(34) f i(v) = ∑ni=1 b

j(v)f i(ej) = ∑ni=1 b

j(v)δi,j = bi.

Luego el conjunto de funciones coordenadas b1, b2, ....., bn con respecto a la base e1, e2, ....., enes precisamente la base dual a e1, e2, ....., en, o sea f 1, f 2, ......, fn.

3.1.3. Permutaciones. Fijando un entero positivo t, tenemos que una permutacion de un conjuntoC = 1, ...., t es una aplicacion biyectiva % ∶ C → C. Ahora bien, si tenemos dos permutaciones σ y% en el conjunto C, su producto σ% no es nada mas que su composicion σ %. Por otro lado, unapermutacion cıclica (c1c2...cr) en el conjunto C, es una permutacion % tal que %(c1) = c2, %(c2) = c3,

20

%(cr−1) = cr y %(cr) = c1, que deja todos los demas elementos de C estaticos. Esta permutacion estambien denominada ciclo de longitud r o r-ciclo.

Una transposicion es un ciclo de la forma (a, b), dejando todos los otros elementos de C estaticos.Finalmente, una permutacion % ∶ C → C puede ser denotada en dos maneras, como una matriz:

(35) (1 2 ..... t

%(1) %(2) ..... %(t)) .

O como el producto de ciclos disyuntos:

(36) (c1c2......cr1)(b1......br2).

De la teorıa de las permutaciones, sabemos que si St es el grupo de todas las permutaciones delconjunto C = 1, ...., t, entonces un elemento o permutacion de este grupo es par o impar, si esproducto de un numero par o impar de transposiciones. El anterior hecho, genera la definicion delsigno sgn para una permutacion % ∈ St, el cual puede ser +1 o −1 dependiendo si la permutacion espar o impar, respectivamente. Por lo tanto, es claro que ∀σ, % ∈ St se tiene que:

(37) sgn(σ%) = sgn(σ)sgn(%).

Una manera facil de ver si una permutacion es par o impar, es a traves del concepto de inversionde una permutacion %. Esta, es un par ordenado (%(i), %(j)) tal que i < j pero %(i) > %(j). Esta esuna consecuencia de la siguiente proposicion la cual no se demuestra debido a que se sale del objetivodel presente proyecto.

Proposicion 3.3. Una permutacion es par si y solo si esta puede ser escrita en un numero par deinversiones.

3.1.4. Transformaciones multilineales. Hasta aquı, hemos tenido en consideracion a las aplicacioneslineales, ahora nos extendemos a la definicion de funciones multilineales:

Definicion 3.5. Sean V1, ...., Vr y W espacios vectoriales en el cuerpo de los reales. Un mapa f ∶

V1 × V2 × ... × Vr →W es llamado mapa multilineal si

(38) f(v1, ....., λvi + µv′i, ....., vr) = λf(v1, ....., vi, ....., vr) + µf(v1, ....., v′i, ....., vr),

para todo i y λ,µ ∈ R. Esto es, f es lineal en cada variable vi.

Si consideramos el caso especial cuando W = R, tenemos que f se denomina funcion multilineal,funcion r-lineal o forma, una generalizacion de las funciones lineales. Ahora bien, si tenemos queV1, V2, ....., Vr = V , entonces la funcion multilineal sobre V que obtenemos es llamada r-tensor co-variante o simplemente r-tensor. El espacio vectorial formado por estos r-tensores covariantes esdenotado como Lr(V ). Note que, L0(V ) ≅ R, L1(V ) = V ∗ y L2(V ) es el espacio de las formasbilineales sobre V .

Ejemplo 3.2. El producto punto, dado por f(u, v) = u ⋅ v sobre Rn es bilineal:Supongamos u, w, v vectores de Rn y sea c un escalar en el campo de los numeros reales. Queremos

ver que:

(39) f(cu + v,w) = (cu + v) ⋅w = cf(u,w) + f(v,w) = c(u ⋅ v) + v ⋅w.

Por la definicion de f y por las leyes distributivas en los numeros reales y en el producto puntotenemos :

21

(40)f(cu + v,w) = (cu + v) ⋅w = c∑

ni=1 u

iwi + viwi

= ∑ni=1(cu

iwi + viwi) = ∑ni=1 cu

iwi +∑ni=1 v

iwi

= c∑ni=1 u

iwi +∑ni=1 v

iwi = c(u ⋅w) + v ⋅w.

Que era a lo que querıamos llegar.

Ejemplo 3.3. Sea La funcion f ∶ R3 ×R3 → R3 determinante f(v1, ..., vn) = det[v1, ....vn], es n-lineal.

Ejemplo 3.4. Consideremos la siguiente funcion: Sea x, y ∈ R3, entonces

(41) T (x, y) = x × y ∈ R3.

la cual es claramente una funcion bilineal sobre R3. La anterior funcion es denominada Productocruz en R3.

Definicion 3.6. Una funcion r− lineal f ∶ V r z→ R es simetrica si y solo si

(42) f(v%(1), v%(2), ...., v%(r)) = f(v1, ...., vr).

Para todo % perteneciente a Sr.

Ejemplo 3.5. El producto punto g(v,w) = v ⋅w en R es simetrico.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([10], Loring, W. T. (2008). Cap 3, pp.19-22 ) y ([6], Hoffman,K. Kunze, R. (1973). Cap 3, pp. 67-111).

3.2. Curvas.

3.2.1. Curvas parametrizadas. Un curva puede ser definida de diferentes maneras; por ejemplo,como se dijo en lıneas anteriores puede ser considerada como una funcion, la cual de manera generalva de la recta real al espacio euclidiano. Las curvas seran subconjuntos de R3, unidimensionales y enlas que se aplicaran los resultados del calculo diferencial. Por ahora, una primera manera de definircurvas sera como funciones infinitamente diferenciables o suaves. Aunque mas adelante se dara unadefinicion formal de lo que significa ser ”suave”, recuerde que una funcion real de una variable tieneesta caracterıstica si ella tiene en todos sus puntos derivadas de todos los ordenes lo cual significaautomaticamente que dichas funciones son continuas.

Definicion 3.7. Sea la aplicacion continua e inyectiva α ∶ [a, b] Ð→ R3, t z→ α(t), al conjunto depuntos α([a, b]) se denomina arco simple.

Ejemplo 3.6. La grafica de una aplicacion continua f en el plano euclidiano xy, definida en unintervalo cerrado es un arco simple:

(43)α ∶ [a, b]Ð→ R3

tz→ α(t) = (t, f(t),0).

Ejemplo 3.7. La circunferencia no es un arco simple, pues no es una aplicacion inyectiva.

Definicion 3.8. Sea I un intervalo de la recta real R. Una aplicacion α ∶ I Ð→ R3 es localmenteinyectiva si ∀t0 ∈ I, ∃δ > 0 tal que [t0 − δ, t0 + δ] y se tiene que α∣[t0 − δ, t0 + δ] es inyectiva.

Definicion 3.9. La imagen de un intervalo I de una aplicacion continua localmente inyectiva α ∶

I Ð→ R3, se denomina curva.

22

Definicion 3.10. la representacion parametrica de una curva, es la aplicacion α ∶ I Ð→ R3, t z→α(t) = (x(t), y(t), z(t)) que la define.

Nota 3.1. Note que a pesar de que la circunferencia no es un arco simple, al estar definida poruna aplicacion continua localmente inyectiva se puede concluir que es una curva: α ∶ [0,2π] Ð→ R3,tz→ α(t) = (a cos t, a sin t,0).

Ejemplo 3.8. Supongamos tenemos una lınea L en R2. Es claro que esta lınea puede ser determinadaconociendo su direccion y un punto sobre ella. Es por ello, que la ecuacion de una lınea puede serescrita usando la forma usual, conocida en calculo, como punto-pendiente. Analogamente, si la lıneaL se encuentra en el espacio R3, ella esta determinada por un punto P0 ∈ L y por su direccion. En estecaso, la direccion de la lınea sera dada por un vector que es paralelo a ella, llamemoslo v. Considerepor lo tanto un punto fijo P0(x0, y0, z0) y un punto arbitrario P (x, y, z) sobre la lınea. Los vectoresposicion de P0 y P son r0 =OP0 y r =OP respectivamente. Si tenemos que el vector que va desdeel punto P0 al punto P es a = P0P , entonces r − r0 = P0P = a, luego r = r0 +a. Por otro lado, dadoque v es paralelo a a esto implica que existe un escalar t ∈ R tal que a = tv. Podemos concluir porlo tanto que

(44) r = r0 + tv.

La anterior ecuacion es llamada ecuacion vectorial de la lınea L. Note que a medida que variamosel parametro t, la punta del vector r va trazando la lınea L, debido a que dicho vector detalla laposicion de un punto especıfico sobre L.

Ahora bien, si colocamos cada uno de sus vectores con sus respectivas componentes, esto es r =

⟨x, y, z⟩, r0 = ⟨x0, y0, z0⟩, v = ⟨a, b, c⟩, tenemos

(45) ⟨x, y, z⟩ = ⟨x0, y0, z0⟩ + t⟨a, b, c⟩ = ⟨x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc⟩.

Y obtenemos ası las siguientes ecuaciones escalares, llamadas ecuaciones parametricas de la lıneaL que pasa por el punto P0 en la direccion del vector v = ⟨a, b, c⟩:

(46)x = x0 + at,y = y0 + bt,z = z0 + ct.

Ejemplo 3.9. La helice circular es una curva con representacion parametrica α ∶ R Ð→ R3, t z→α(t) = (a cos t, a sin t, bt). Note que el parametro t mide el angulo que el eje ox forma con la rectaque une el origen o con el punto de proyeccion del extremo del vector α(t) sobre el plano xy.

Para extender nuestros ejemplos de curvas, se pedira no solo que la aplicacion continua sea local-mente inyectiva sino que pueda ademas ser localmente inyectiva a trozos.

Definicion 3.11. Sea I un intervalo de la recta real R. Se dice que una aplicacion α ∶ I Ð→ R3 eslocalmente inyectiva a trozos si I puede ser dividido en un numero finito de sub intervalos, en dondeen cada uno la aplicacion α tiene la propiedad de que es localmente inyectiva.

Es claro que una curva puede tener diferentes representaciones parametricas; por ejemplo, noteque las siguientes representaciones dan todas como resultado la circunferencia x2 + y2 = 1:

(47)α ∶ [0,2π]Ð→ R3

tz→ α(t) = (cos t, sin t,0).

23

(48)ψ ∶ [0,4π]Ð→ R3

tz→ ψ(t) = (cos t, sin t,0).

(49)φ ∶ [0, π]Ð→ R3

tz→ φ(t) = (cos 2t, sin 2t,0).

Por otro lado, hay que notar que a la hora de estudiar las propiedades de una curva se tiene encuenta su ecuacion o representacion parametrica y es aquı donde podemos ampliar el concepto decurva generando una relacion de equivalencia que nos de cuenta cuando representaciones parametricasdistintas dan una misma curva. Ası, por definicion una curva sera una de las clases de equivalenciaen nuestra particion creada.

Definicion 3.12. Sean I y J dos intervalos de los numeros reales. Dos representaciones parametricasα ∶ I → R3, β ∶ J → R3 son equivalentes si existe una funcion continua monotona creciente de J a I,g ∶ J → I con w ↦ t = g(w), tal que para todo w ∈ J se tiene que α(g(w)) = β(w).

Definicion 3.13. Sean I y J dos intervalos de los numeros reales. Dos representaciones parametricasα ∶ I → R3, β ∶ J → R3 se dicen equivalentes opuestas, si existe una funcion continua monotonadecreciente de J a I, g ∶ J → I con w ↦ t = g(w), tal que para todo w ∈ J se tiene que α(g(w)) = β(w).

Nota 3.2. Note que la imagen de una representacion parametrica opuesta es igual a la imagen de unarepresentacion parametrica opuesta; es decir, generan el mismo conjunto de puntos, excepto porquela ultima va en sentido contrario a la primera.

Es en este momento, donde gracias a los conceptos previamente desarrollados llegamos a dosdefiniciones clave: la de curva parametrica y curva parametrizada infinitamente diferenciable.

Definicion 3.14. La clase de representaciones parametricas equivalentes se denomina curva pa-rametrica.

Definicion 3.15. Una representacion parametrica suave de una curva se denomina curva parame-trizada infinitamente diferenciable o curva parametrica suave .

Ejemplo 3.10. Considere el mapa α ∶ RÐ→ R2 definido por α(t) = (t, ∣ t ∣), t ∈ R. Note que esta curvano es una curva parametrica suave, pues ∣ t ∣ no es diferenciable en t = 0.

La palabra suave en la definicion anterior hace referencia a que la aplicacion α ∶ I Ð→ R3 es unacorrespondencia que envıa t ∈ I a un punto α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3, en donde cada una de lasfunciones componentes es infinitamente diferenciable. Por otro lado, es de destacar que a lo largo deeste trabajo el intervalo I sera entendido de manera general, es decir, puede tomar los valores +∞y/o −∞.

Definicion 3.16. Una curva α definido en el intervalo [a, b] es llamada curva cerrada simple siα(s) ≠ α(t) para a ≤ s < t ≤ b, excepto en s = a y t = b.

.La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([13], Montesdeoca, D. A. (1996). Cap

1, pp. 1-9) y ([8], Taylor, J. (2011). Cap 4, pp. 121).

Definicion 3.17. Una curva cerrada simple en el plano, es un homeomorfismo g ∶ S1 Ð→ R2. Laimagen C = g(S1) ⊂ R2 es a veces tambien llamada curva cerrada simple cuando la parametrizacionno es importante.

24

Ahora bien, los siguientes dos teoremas son muy importantes para el desarrollo de este proyecto;sin embargo, no se realizara una demostracion de ellos ya que por su extension, su profundidad ypor el tiempo que demandarıa su discusion nos serıa imposible concentrarnos en su totalidad en elobjetivo principal de este trabajo.

Teorema 3.4. Teorema de la curva de JordanSea C = f(S1) una curva cerrada simple en el plano. Entonces R2 −C es la union disjunta de dos

conjuntos abiertos A y B tal que cada uno es conexo por caminos. Uno de estos conjuntos es acotadoy el otro no. Tambien, C es la frontera de cada uno de estos conjuntos.

Teorema 3.5. Teorema de SchonfliesSea C = f(S1) una curva cerrada simple en el plano y R2 −C = A ∪B dados como en el teorema

de la curva de Jordan, con A acotado. Entonces existe un homeomorfismo del plano a si mismo queenvıa un disco abierto unitario a A y un disco cerrado unitario a A ∪C.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([9], Lawson, T. (2006). Cap 1, pp. 60).

3.2.2. Curvas regulares. En esta seccion se ha usado material bibliografico con referencia [13], [21],[16] y [3].

Definicion 3.18. Sea α ∶ I Ð→ R3 una representacion perimetrica de una curva. Su primera derivadaα′(t) es llamado vector tangente de α en el punto α(t).

Proposicion 3.4. Si el vector tangente de una curva parametrizada es constante, entonces la imagende la curva es una linea recta.

Demostracion. Sea α(t) la curva parametrizada. Supongamos que para todo t α′(t) = c, donde c esun vector constante, entonces tenemos:

(50) α(t) = ∫b

adαdt dt = ∫

b

a cdt = tc + c2.

Donde c2 es otro vector constante. Note que si c ≠ 0, la anterior es la ecuacion parametrica de unalinea recta.

∎

Definicion 3.19. Una curva parametrica es regular de clase Ck, si entre sus representaciones pa-rametricas existe α de clase Ck (curva parametrica suave) con α′(t) ≠ 0, ∀t.

Definicion 3.20. Los puntos singulares de una representacion parametrica α ∶ I Ð→ R3 son lospuntos de t donde la derivada α′(t) no existe o α′(t) = 0.

3.2.3. Longitud de curva. En esta seccion se ha usado material bibliografico con referencia [16] y[21]. Supongamos que tenemos una curva C que es definida por la ecuacion y = f(x), donde f escontinua y a ≤ x ≤ b. dividimos el intervalo [a, b] en n sub- intervalos con puntos finales x0, x1, ...., xn−1

y de igual longitud ∆x. Si f(xi) = yi, entonces el punto Pi(xi, yi) pertenece a C y el polıgono convertices P0,P1, ...., Pn, es una aproximacion a C. La longitud de C es entonces

(51) L = lımn→∞∑ni=1 ∣ Pi−1Pi ∣

Si ∆yi = yi − yi−1, tenemos

(52) ∣ Pi−1Pi ∣=√

(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)

2 =√

(∆x)2 + (∆yi)2.

25

Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo [xi, xi−1], entonces debe existir un x∗i conxi−1 ≤ x∗i ≤ xi, tal que

(53) ∆yi = f(xi) − f(xi−1) = f ′(x∗i )∆x.

Por lo tanto, tenemos que

(54)∣ Pi−1Pi ∣=

√(∆x)2 + (∆yi)2 =

√(∆x)2 + (f ′(x∗i )∆x)

2

=√

1 + (f ′(x∗i ))2√

(∆x)2 =√

1 + (f ′(x∗i ))2∆x.

Por lo tanto aplicando el hecho que L = lımn→∞∑ni=1 ∣ Pi−1Pi ∣, podemos concluir que:

(55) L = lımn→∞∑ni=1 ∣ Pi−1Pi ∣= lımn→∞∑

ni=1

√1 + (f ′(x∗i ))

2∆x = ∫b

a

√1 + (f ′(x))2dx.

Lo anterior es consecuencia de la definicion de integral definida y del hecho que la funcion h(x) =√1 + (f ′(x))2 es continua. Por lo tanto, se ha probado el siguiente teorema:

Teorema 3.6. Si f ′ es una funcion continua en el intervalo [a, b], entonces la longitud de curva dey = f(x) con a ≤ x ≤ b es

(56) L = ∫b

a

√1 + (f ′(x))2dx = ∫

b

a

√

1 + (dydx)

2dx.

Supongamos ahora que C es una curva suave con ecuacion y = f(x) para a ≤ x ≤ b. Sea s(x) ladistancia medida a lo largo de la curva C desde el punto inicial P0(a, f(a)) al punto P (x, f(x)). s(x)se denomina funcion longitud de arco y es dada por

(57) s(x) = ∫x

a

√1 + (f ′(t))2dt.

Ya que el integrando es una funcion continua, si aplicamos el teorema fundamental del calculo enla ecuacion anterior obtenemos

(58) dsdx =

√1 + (f ′(x))2 =

√

1 + (dydx)

2.

Por lo tanto

(59) ds =√

1 + (f ′(x))2dx ⇔ (ds)2 = (dx)2 + (dy)2.

Ahora, supongamos que C tiene una representacion parametrica mediante las ecuaciones parametri-cas x = f(t) y y = g(t) con t ∈ [α,β], donde dx

dt = f′(t) > 0, entonces tenemos que su longitud de arco

viene dada por

(60) L = ∫b

a

√

1 + (dydx)

2dx = ∫β

α

√

1 + (dy/dtdx/dt)

2 dxdydt.

Como dxdt = f

′(t) > 0, entonces

(61) L = ∫β

α

√

(dxdt )2 + (

dydt )

2dt.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([21], Stewart, J. (2008). Cap 9, pp.561-565).

Definicion 3.21. Sea γ ∶ (α,β) Ð→ Rn una curva parametrizada. Su rapidez en el punto γ(t) es∥γ′(t)∥. Y se dice que γ tiene rapidez unitaria si γ′(t) es un vector unitario para todo t ∈ [α,β].

26

Proposicion 3.5. Sea n(t) una funcion suave y vector unitario. Entonces, el producto punto

(62) n′(t) ⋅n(t) = 0.

Esto es, n′(t) = 0 o n′(t) es perpendicular a n(t) para todo t. En particular, si γ es una curva conrapidez unitaria, entonces γ′′(t) es cero o perpendicular a γ′.

Demostracion. Como n es un vector unitario, entonces n ⋅n = 1. Diferenciando esto obtenemos

(63) n′(t) ⋅n(t) +n′(t) ⋅n(t) = 0 ⇒ 2n′(t) ⋅n(t) = 0 ⇒ n′(t) ⋅n(t) = 0.

La ultima parte se sigue tomando n(t) = γ′. ∎

3.2.4. Reparametrizacion y parametro natural. En esta seccion se ha usado material bibliograficocon referencia [13] y [16] .

Definicion 3.22. Una curva parametrizada γ ∶ (a, b)Ð→ Rn es una reparametrizacion de una curva

parametrizada α ∶ (a, b) Ð→ Rn si existe un mapa biyectivo suave µ ∶ (a, b) Ð→ (a, b) llamado mapa

de reparametrizacion tal que el mapa inverso µ−1 ∶ (a, b)Ð→ (a, b) es tambien suave y

(64) γ(t) = α(µ(t)) para todo t ∈ (a, b).

Proposicion 3.6. Toda reparametrizacion de una curva regular es regular

Demostracion. Supongamos α1 es una parametrizacion de una curva y α2 es su reparametrizacion.Sea t = µ(t), con µ el mapa de reparametrizacion y pongamos φ = µ−1 con t = φ(t). Derivando conrespecto a t ambos lados de la ecuacion µ(φ(t)) = t y usando la regla de la cadena tenemos

(65) dµ

dt

dφdt = 1.

∎

Esto quiere decir que dµ

dtnunca es cero. Como α2(t) = α1(µ(t)) y aplicando nuevamente la regla

de la cadena entonces

(66) dα2

dt= dα1

dtdµdt .

Por lo tanto, si dα1

dt ≠ 0 entonces dα2

dtnunca es cero.

Proposicion 3.7. Una curva parametrizada es regular si y solo si tiene una reparametrizacion conrapidez unitaria.

Demostracion. En primer lugar, supongamos que tenemos una curva parametrizadaα1 ∶ [a, b]Ð→ Rn,que posee una reparametrizacion α2 con rapidez unitaria, con un mapa de reparametrizacion φ. Seat = φ(t), entonces tenemos

(67) α2(t) = α1(t) ⇒ ∥dα2

dt ∥ = ∥dα1

dt ∥∣ dtdt ∣.

Por hipotesis tenemos que ∥dα2

dt∥ = 1, esto quiere decir de acuerdo a las ecuaciones anteriores que

∥dα1

dt ∥ ≠ 0 y por definicion, podemos concluir que α1 es una curva regular.Ahora supongamos que la curva parametrizada α1 es regular. Esto significa que el vector tangente

dα1

dt ≠ 0. Luego, si s es la funcion longitud de arco de dicha curva, comenzando desde α1(t0), tenemosque

(68) dsdt =

ddt ∫

t

t0∥α′

1(u)∥du = ∥α′1(t)∥.

27

Por lo tanto, para todo t se tiene que dsdt > 0, y por la proposicion anterior s es una funcion suave

de t. Del teorema de la funcion inversa tenemos que s ∶ (a, b) Ð→ R es inyectiva con su imagen un

intervalo abierto (a, b), y su mapa inverso s−1 ∶ (a, b) Ð→ (a, b) suave. Tomando ahora φ = s−1 y α2

siendo la reparametrizacion de α1, tal que

(69) α2(s) = α1(t).

Entonces,

(70) dα2

dsdsdt =

dα1

dt ⇒ ∥dα2

ds ∥dsdt = ∥dα1

dt ∥ = dsdt ⇒ ∥dα2

ds ∥ = 1.

∎

La anterior prueba, muestra que la longitud de arco es el unico parametro que origina una repa-rametrizacion con rapidez unitaria sobre una curva regular. Por lo tanto, a la longitud de arco se ledenomina parametro natural.

Ejemplo 3.11. Reparametricemos la helice α = ⟨cos(t), sin(t), t⟩ con respecto al parametro naturalmedido desde el punto (1,0,0) en la direccion creciente de t.

En primer lugar hallemos el vector tangente y su correspondiente magnitud:

(71) α′(t) = ⟨− sin(t), cos(t),1⟩. ⇒ ∥α′(s)∥ =√

(− sin2(t) + (cos2(t) + 1 =√

2.

Por lo tanto,

(72) dsdt =

√2.

Note que el punto inicial (1,0,0) corresponde al parametro t = 0, entonces tenemos

(73) s = s(t) = ∫t

0 ∥α′(u)∥du = ∫t

0

√2du =

√2t.

Despejando t de la anterior ecuacion, tenemos que t = s√2

y la reparametrizacion que deseamos es

obtenida substituyendo lo anterior para t:

(74) α(t(s)) = ⟨cos( s√2), sin( s√

2), s√

2⟩.

Colorario 3.6.1. Si α1 es una curva regular y α2 es una reparametrizacion con rapidez unitaria deα1:

(75) α2(u(t)) = α1(t).

Para todo t, donde u es una funcion suave de t. Entonces, si s es la longitud de arco de α1 ,comenzando desde cualquier punto de la curva, tenemos que

(76) u = ±s + c.

Donde c es una constante. De forma conversa, si para algun valor de c, la funcion u es dada porla ecuacion precedente, entonces α2 es una reparametrizacion de α1.

Demostracion. El teorema precedente muestra que u origina una reparametrizacion de rapidez uni-taria para α1 si y solo si

(77) dudt = ±∥

dα1

dt ∥ = ±.dsdt .

Por lo tanto, para alguna constante c se tiene u = ±s + c .∎

28

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 1, pp.1-16).

3.2.5. Curvatura. En terminos generales, la curvatura mide la propiedad de que una curva no estecontenida en una linea recta.

Definicion 3.23. Sea α una curva con rapidez unitaria y parametro natural s. La curvatura k(s)de dicha curva en el punto α(s) es

(78) k(s) = ∥α′′(s)∥.

Ejemplo 3.12. Consideremos un cırculo de radio R y centrado en (x0, y0). Su parametrizacion conrapidez unitaria viene dada por

(79) α(s) = ⟨x0 +R cos( sR), y0 +R sin( sR)⟩.

Derivando la ecuacion vectorial anterior, obtenemos

(80) α′(s) = ⟨− sin( sR), cos( sR)⟩ ⇒ ∥α′(s)∥ =√

(− sin( sR))2 + (cos( sR))2 = 1.

Por lo tanto α(s) es por definicion, una curva de rapidez unitaria. Ahora calculando su segundaderivada obtenemos:

(81) α′′(s) = ⟨− 1R cos( sR),− 1

R sin( sR)⟩ ⇒ ∥α′′(s)∥ =√

(− 1R cos( sR))2 + (− 1

R sin( sR))2 = 1R .

Por lo tanto,la curvatura del cırculo es

(82) k(s) = 1R .

Y podemos concluir que esta es inversamente proporcional al radio R del cırculo en cuestion.

Definicion 3.24. Si C es una curva suave con parametrizacion α, entonces el vector tangenteunitario T es dado por

(83) T =α′(t)

∥α′(t)∥ .

Nota 3.3. De acuerdo a la definicion anterior, note que una definicion equivalente de curvatura esutilizando un vector tangente unitario:

(84) k(s) = ∥dTds ∥.

Y que la curvatura es facil de calcular si esta esta expresada en terminos de un parametro cualquierat en vez del parametro natural s, usando la regla de la cadena:

(85) dTdt =

dTds

dsdt ⇒ k(s) = ∥dTds ∥ = ∥

dT /dtds/dt ∥.

Pero sabemos que dsdt = ∥α′(t)∥. Por lo tanto aplicando esto a la ecuacion anterior tenemos:

(86) k(s) = ∥T ′(t)∥∥α′(t)∥ .

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([21], Stewart, J. (2008). Cap 14, pp.866-872).

29

3.3. Superficies.

Definicion 3.25. S ⊂ R3 es una superficie, si para todo punto P ∈ S, existe un conjunto abiertoU ⊂ R2 y un subconjunto abierto W ⊂ R3 que contiene P tal que S ∩W es homeomorfo a U .

Por lo tanto, una superficie esta equipada con una coleccion de homeomorfismos como en la de-finicion anterior, que reciben el nombre de parametrizaciones o cartas. La coleccion de todas estascartas es llamado atlas de la superficie dada.

Ejemplo 3.13. El plano: Un plano en R3 es una superficie cuyo atlas contiene solo una parametri-zacion. Sea po un punto cualquiera en el plano, y sean p y q dos vectores orto normales paralelos alplano. Entonces, cualquier vector v paralelo al plano es una combinacion lineal de dichos vectores.Esto es v = u1p + u2q, para u1 y u2 escalares. Si r es el vector posicion de cualquier punto del plano,tenemos que r − ro es paralelo al plano y por lo tanto

(87)r − r0 = u1p + u2q,r = r0 + u1p + u2q

Para escalares u1 y u2. Esto quiere decir que nuestra parametrizacion con respecto a u1 y u2 es:

(88) σ(u1, u2) = r0 + u1p + u2q.

Ejemplo 3.14. El cono doble: Consideramos el cono doble como el siguiente conjunto

(89) S = (x, y, z) ∈ R3 ∣ x2 + y2 = z2.

El cono doble no es una superficie. Supongamos por contradiccion que σ ∶ U → S ∩W es unaparametrizacion que contiene el vertice (0,0,0) del cono, y sea a ∈ U que corresponde al vertice.Asumamos que U es una bola abierta con centro a. El conjunto abierto W debe contener un puntop en la mitad inferior S− de S donde z < 0 y el punto q en la mitad superior S+ donde z > 0; sea b yc los puntos correspondientes en U . Es claro que existe una curva ρ en U que pasa a traves de b y c,pero que no pasa a traves de a. Esto es mapeado por σ en la curva δ = σ ρ que cae por completo enS, pasando por p y q pero no por el vertice. Esto es imposible.

Note que si eliminamos el vertice podemos obtener una superficie dada por el conjunto E = S−∪S+.Es claro que esta superficie tiene un atlas formado por dos cartas o parametrizaciones, a saberσ+ ∶ U → R3, donde U = R2 − (0,0), dada por la proyeccion inversa sobre el plano xy:

(90) σ+ (u, v) = (u, v, +(u2 + v2)12 ).

3.3.1. Superficies regulares. Si U es un subconjunto abierto de Rm, un mapa f ∶ U → Rn es suavesi cada una de sus n funciones componentes fi ∶ U → R tiene derivadas parciales continuas de todoslos ordenes.

Definicion 3.26. Una parametrizacion f ∶ U ⊂ R2 → R3 es regular si es suave y los vectores fu y fvson linealmente independientes en todos los puntos (u, v) ∈ U . Esto es equivalente a decir que f hade ser suave y el producto cruz de fu y fv es diferente de cero en todo punto de U .

Definicion 3.27. Una superficie es suave cuando su atlas consiste en parametrizaciones regulares.

Ejemplo 3.15. El plano es una superficie suave. Note que su parametrizacion

(91) f(u, v) = a + up + vq.

Es suave y los vectores fu = p y fv = q son linealmente independientes ya que p y q son vectoresunitarios perpendiculares.

30

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, J. (2001). Cap 4, pp.59-66).

Definicion 3.28. Sea el mapa infinitamente diferenciable f ∶ U ⊂ Rn → Rm. A cada punto p ∈ Uasociamos un mapa lineal

(92) dfp ∶ Rn → Rm.

El cual es denominado diferencial de f en p, definido de la siguiente manera: Sea v ∈ Rn y seaα ∶ (−ε, ε)→ U una curva suave tal que α(0) = p y α′(0) = v. Por la regla de la cadena, la curva

(93) β = f α ∶ (−ε, ε)→ Rm.

es tambien suave. Entonces

(94) β′(0) = dfp(v).

Proposicion 3.8. Sea el mapa suave f ∶ U ⊂ R2 → R3. Para cada cada punto p ∈ U , el mapadiferencial dfp no depende de la escogencia de la curva que pasa por p con vector tangente v.

Demostracion. Consideremos el mapa suave f ∶ U ⊂ R2 → R3 y las coordenadas (u, v) y (x, y, z) enR2 y R3 respectivamente. Sea e1,e2, la base canonica en R2 y g1,g2,g3 la base canonica en R3.Podemos escribir α(t) como α(t) = (u(t), v(t)) con t ∈ (−ε, ε), o sea:

(95) α(t) = u(t)e1 + v(t)e2.

Entonces:

(96) α′(0) =w = u(t)′e1 + v(t)′e2.

Por otro lado, teniendo en cuenta las coordenadas de R2 y R3, tenemos que

(97) f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

y la curva

(98) β(t) = f α(t) = F (α(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))).

Aplicando a la ultima ecuacion la regla de la cadena y tomando las derivadas en t = 0, tenemos

(99) β′(0) = (∂x∂ududt +

∂x∂v

dvdt ,

∂y∂u

dudt +

∂y∂v

dvdt ,

∂z∂u

dudt +

∂z∂v

dvdt ).

o sea

(100) β′(0) = (∂x∂ududt +

∂x∂v

dvdt )g1 + (

∂y∂u

dudt +

∂y∂v

dvdt )g2 + ( ∂z∂u

dudt +

∂z∂v

dvdt )g3.

Pero lo anterior se puede colocar en terminos matriciales como

(101)⎛⎜⎝

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

⎞⎟⎠(dudtdvdt

) = dfp(w).

Esto demuestra que dfp es representado, en las bases canonicas de R2 y R3, por una matriz que de-pende solo de las derivadas parciales en p de las funciones componentes x, y, z de f . Luego, claramentedfp(w) no depende de la escogencia de una curva que pase por p. ∎

31

La anterior proposicion se puede generalizar facilmente cuando consideramos f como una funcionsuave de Rn a Rm. Ahora bien, la matriz dfp ∶ Rn → Rm en las bases canonicas de Rn y Rm, se

denomina matriz Jacobiana de f en p y se representa como (∂fi∂xj

) con i = 1, ...,m y j = 1, ..., n. Por

otro lado, cuando n =m, la anterior matriz es una matriz cuadrada y su determinante es denominadodeterminante Jacobiano:

(102) det( ∂fi∂xj) =

∂(f1,....,fn)∂(x1,....,xn)

.

Ejemplo 3.16. Sea la funcion f ∶ R2 → R2, f(x, y) = (x2 − y2,2xy) con (x, y) ∈ R2. Note que f es unafuncion suave y su diferencial fp en p = (x, y) es

(103) (2x −2y2y 2x

) .

En particular dF(1,1)(2,3) = (−2,10).

Definicion 3.29. Un subconjunto E de R3 es una superficie regular, si para todo punto p ∈ E existeuna vecindad V ∈ R3 y un mapa σ ∶ U → V ∩E, de un conjunto abierto U ⊂ R2 sobre V ∩E ⊂ R3 talque

1. σ es suave. Esto es, que si σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u.v) ∈ V , entonces las funcionescoordenadas x(u, v), y(u, v) y z(u, v) tienen derivadas parciales de todos los ordenes.

2. σ es un homeomorfismo. Por la condicion 1. y debido a la definicion de homeomorfismo, estosignifica que σ tiene una inversa que es continua: σ−1 ∶ V ∩E → U .

3. la condicion de regularidad: Para cada q ∈ U , el diferencial dσq ∶ R2 → R3 es inyectivo.

En esta definicion, σ es llamado carta o parametrizacion.

La condicion 3 nos dice que el mapa dσq ha de ser inyectivo. Esto es equivalente por Teorema 3.3a que uno de los menores de orden 2 de la matriz asociada a la transformacion dσq, sea diferente decero, o sea que alguno de los siguientes menores

(104)

∂(x,y)∂(u,v) = det(

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

) ,

∂(y,z)∂(u,v) = det(

∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

) ,

∂(x,z)∂(u,v) = det(

∂x∂u

∂x∂v

∂z∂u

∂z∂v

) .

sea diferente de cero.A partir de la condicion 3 dada en la definicion anterior, se introducira las llamadas curvas coor-

denadas. Calculemos la matriz del mapa lineal dσq en las bases canonicas e1 = (0,1), e2 = (0,2)de R2 con coordenadas (u, v) y f1 = (1,0,0), f2 = (0,1,0) y f3 = (0,0,3) de R3 con coordenadas(x, y, z). Sea q = (u0, v0). El vector e1 es tangente a la curva u → (u, v0) cuya imagen bajo σ es lacurva u → (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0)). Esta curva es llamada curva coordenada v = v0. Ella esta enla superficie S y tiene un vector tangente en σ(q) dado por

(105) (∂x∂u ,∂y∂u ,

∂z∂u) =

∂σ∂u .

32

Donde las derivadas son calculadas en (u0, v0) y el vector es indicado por sus componentes en la basef1, f2, f3. Por definicion de diferencial, tenemos

(106) (∂x∂u ,∂y∂u ,

∂z∂u) =

∂σ∂u = dσq(e1).

Analogamente, usando la curva coordenada u = u0 se obtiene:

(107) (∂x∂v ,∂y∂v ,

∂z∂v) =

∂σ∂v = dσq(e2).

Por lo tanto la representacion matricial estandar del mapa diferencial dσq esta dado por:

(108) dσq =⎛⎜⎝

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

⎞⎟⎠.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([3], Do Carmo, M. (1976). Cap 2, pp.51-83 y pp. 118-133). En lo que viene se utilizan definiciones mas compactas sobre carta regular,superficie suave y carta admisible.

Definicion 3.30. Una carta µ ∶ U ⊂ R2 → R3 es regular si es una aplicacion suave y los vectores(derivadas parciales) µu y µv son linealmente independientes para todos los puntos (u, v) ∈ U . Estoes lo mismo que decir que el producto vectorial µu × µv es diferente de cero en todo punto de elconjunto abierto U .

Definicion 3.31. Una superficie suave es aquella cuyo atlas esta compuesto de carta regulares.

Ejemplo 3.17. Ya sabemos que el atlas de un plano esta conformado por una sola carta:

(109) σ(u, v) = r0 + up + vq.

En efecto, el plano es una superficie suave pues σu = p σv = q, son vectores derivadas parcialessuaves y linealmente independientes debido la orto normalidad de p y q.

Proposicion 3.9. Sean U y V subconjuntos abiertos de R2 y µ ∶ U ⊂ R2 → R3 una carta regular.Sea φ ∶ V → U un difeomorfismo. Entonces λ = µ φ ∶ V → R3 es una carta regular.

Demostracion. Para probar que λ es una carta regular, habra que probar que es suave y que susderivadas parciales son linealmente independientes. Por hipotesis tenemos que µ es una carta regular,luego por definicion ha de ser suave. Por otro lado, tambien tenemos que φ es un difeomorfismo,por definicion esto significa que es un mapa suave. Como la composicion de mapas suaves es suave,tenemos que λ = µ φ es suave. Ahora bien, sea (u, v) = φ(u, v), por regla de la cadena tenemos:

(110)λu =

∂u∂uµu +

∂v∂uµv,

λv =∂u∂vµu +

∂v∂vµv.

Por lo tanto, si realizamos el producto cruz de los anteriores vectores nos da:

(111) λu ×λv = (∂u∂u∂v∂v −

∂u∂v

∂v∂u)µu ×µv

La cantidad escalar de la parte derecha de la ecuacion anterior, no es nada menos que el determi-nante de la matriz de Jacobi de φ:

(112) det(J(φ)) = det(∂u∂u

∂u∂v

∂v∂u

∂v∂v

) = (∂u∂u∂v∂v −

∂u∂v

∂v∂u).

33

Ahora bien, recordemos que si tenemos dos mapas Υ y Υ entre dos conjuntos abiertos del planoeuclidiano, una forma compacta de expresar la regla de la cadena es:

(113) J(Υ Υ) = J(Υ)J(Υ).

Si tomamos Υ = φ y Υ = φ−1. Podemos deducir que J(φ)−1 = J(φ−1). Esto quiere decir que J(φ)es invertible y por teorema esto significa que J(φ) ≠ 0. Podemos concluir ahora que λu y λv sonlinealmente independientes y por lo tanto queda demostrado que λ es una carta regular.

∎

Teniendo en cuenta la anterior proposicion, decimos que λ es una reparametrizacion de µ y queφ es un mapa de reparametrizacion.

3.3.2. Espacio tangente.

Definicion 3.32. El espacio tangente en un punto P de una superficie S es el conjunto de vectorestangentes en el punto P , de todas las curvas en S que pasan por dicho punto.

Proposicion 3.10. Sea µ ∶ U ⊂ R2 → R3 una carta de una superficie S. Supongamos que P ∈ S estacontenido en esta carta y sea (u, v) coordenadas en U . El espacio tangente a la superficie S en P esel subespacio vectorial de R3 generado por los vectores µu y µv evaluados en el punto (u0, v0) ∈ U talque µ(u0, v0) = P .

Demostracion. Sea γ una curva suave en S, dada por γ(t) = µ(u(t), v(t)). Aplicando la regla de lacadena tenemos que:

(114) dγdt = µu

dudt +µv

dvdt .

Por lo tanto es claro que el vector tangente dγdt es una combinacion lineal de los vectores µu y µv.

∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, J. (2001). Cap 4, pp. 74).

3.4. Algunas superficies importantes.

3.4.1. Superficie reglada. Una superficie reglada es una superficie que se genera trasladando unalınea recta en el espacio. Tambien se puede ver como una superficie que es la union de lineas rectasllamadas rulings. Supongamos que tenemos una curva con representacion parametrica ξ en R3, queinterseca cada una de estas rulings. Note que cualquier punto P de la superficie pertenece a una deestas rectas que intersecan a ξ en un punto Q. Por lo tanto, sean ξ(u) = Q y α(u) un vector diferentede cero que tiene la misma direccion de la linea recta que pasa por Q = ξ(u). En efecto, P tiene unvector posicion

(115) r(u, v) = ξ(u) + vα(u).

Para algun escalar v. Ahora bien, veamos que que condiciones se necesitan para que dicha para-matrizacion sea regular. Note que:

(116)ru =

dξ

du+ v dα

du.

rv = α(u).

34

Si el vector dξ

duy α(u) son linealmente independientes y v es lo suficientemente pequeno, tenemos

que r es regular. Un ejemplo importante de esta clase de superficie serıa el hiperboloide de una hoja,mostrado en la figura 1.

Figura 1. Hiperboloide de una hoja. Un ejemplo de superficie reglada. (Atwood,B (2011). ”Hyperboloid as ruled surface” de MathWorld-A Wolfram Web Resource.http://demonstrations.wolfram.com/HyperboloidAsARuledSurface/

3.4.2. Cilindro generalizado. Un cilindro generalizado no es mas que una superficie reglada. Dichasuperficie se obtiene trasladando una curva en R3 con representacion parametrica ξ en una ciertadireccion. Si α es un vector unitario en la direccion de la traslacion, entonces el punto obtenido portrasladar ξ(u) por el vector vα es:

(117) r(u, v) = ξ(u) + vα.

En efecto, si U = (u, v) ∈ R3 ∶ a < u < b, el mapa r ∶ U Ð→ R3 es suave. Un ejemplo importantede esta clase de superficie es el cilindro circular mostrado en la figura 2, y el cual es dado por laecuacion x2 + y2 = 1 y z = k, con k ∈ R.

3.4.3. Superficie de revolucion. Una superficie de revolucion en el espacio tridimensional, es unasuperficie que es generada al rotar una curva plana α llamada generatriz, al rededor de un eje derotacion. Dicho eje se encuentra en el plano de la curva. Considere la figura 3. Si tomamos el eje zcomo el eje de rotacion y suponemos que la curva generatriz esta en el plano xz. Cualquier punto Pde la superficie es obtenido por la rotacion de algun punto Q perteneciente a la curva generatriz atraves de un angulo v al rededor del eje z. Si la parametrizacion de la curva generatriz que contieneel punto Q es

(118) γ(u) = (f(u),0, g(u)).

35

Figura 2. Cilindro circular. (Stewart. J. 2008) [21].

Figura 3. Superficie de revolucion. (Pressley. A. 2001) [16].

Entonces, el vector posicion del punto P es

(119) r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

3.4.4. Cono generalizado. Un cono generalizado es la union de lineas rectas que pasan por un puntofijo de una curva. Sea γ ∶ (a, b) Ð→ R3 la curva en cuestion, y escogemos en ella un punto fijo P ,tenemos el punto mas general en la lınea recta que pasa por P y un punto γ(u) de la curva vienedado por:

(120) r(u, v) = (1 − v)P + vγ(u).

36

Figura 4. Cono. Weisstein, Eric W. Cone.”From MathWorld–A Wolfram Web Re-source. http://mathworld.wolfram.com/Cone.html

.

En particular, un cono es una superficie cuadratica que tiene por ecuacion canonica:

(121) x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 0.

Donde a, b y c son numeros reales diferentes de cero. La figura 4, es una representacion de estaclase de superficie. La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, J. (2001).Cap 4, pp. 78-83) y ([11], Malakhaltsev, M. Arteaga, J. (2012). Cap 1 , pp. 13-17).

En este punto, es conveniente introducir dos conceptos de extrema importancia en la geometrıa delcono; a saber, el de la constante del cono y la altura inclinada del cono. Estos conceptos, aplican paraconos tangentes al modelo esferico de la Tierra. la constante del cono es un numero que relaciona elangulo sobre la Tierra del un cırculo de tangencia, al angulo de la misma circunferencia pero sobreel cono. Por otro lado, la altura inclinada del cono es la coordenada polar del vertice del como alcırculo de tangencia. la altura inclinada del cono es usada como una coordenada lineal en el sistemade coordenadas polares para mapas. Consideremos pues la siguiente figura: 5:

Sea R el radio del modelo esferico de la Tierra (o simplemente el de una esfera). la altura inclinadadel cono ρ no es nada mas que la distancia QB del triangulo de la figura 5. De trigonometrıa basicase puede ver que la altura inclinada del cono tangente a la Tierra en la latitud φ0 es:

(122) ρ = R cotφ0

La circunferencia d del cırculo paralelo que pasa a traves de los puntos A y B de latitud φ0 quedefine el cırculo de tangencia del cono, es:

(123) d = 2πR cosφ0.

Sea θT el angulo, correspondiente a 2π en la Tierra:

(124) θT = dρ .

Substituyendo las ecuaciones 122 y 123 en la ecuacion anterior y seguidamente simplificando,obtenemos:

(125) θT =2πR cosφ0R cotφ0

= 2π sin θ0.

37

Figura 5. Geometrıa para el cono tangente a la esfera. (Pearson. F. 1990) [15].

La la constante del cono c, es entonces definida como:

(126) c = sin θ0.

Esta constante es un factor multiplicativo que relaciona las longitudes medidas en la esfera, con larepresentacion de dichas longitudes en el mapa generado. Como esta es una funcion lineal, en generaltenemos:

(127) θ = λ sin θ0.

De aquı se sigue que la segunda coordenada polar sobre el mapa generado, es θ. Mas adelantese mostrara que las ecuaciones 122, 126 y 127 se utilizaran en la construccion de las proyeccionesconicas. En particular, para el caso especial cuando θ = π/2 obtendremos una clase de proyeccionesllamadas proyecciones acimutales. En este caso, sinφ0 = 1 y θ = λ. La teorıa presentada anteriormentetiene como referencia ([15], Pearson, II. F. (1990). Cap 2, pp. 62-65).

3.5. Primera forma fundamental. Sea ρ = σ(u(t), v(t)) una curva en una carta σ de unasuperficie S. Como vimos en la seccion anterior, su longitud de arco desde el punto inicial ρ(t0) estadado por

(128) s = ∫t

t0∥ρ′∥du.

Aplicando la regla de la cadena tenemos que ρ′ = σududt +σv

dvdt , por lo tanto:

(129) ∥ρ′∥2 = (σudu

dt+σv

dv

dt) ⋅ (σu

du

dt+σv

dv

dt)

= (σu.σu)u2 + 2(σu.σv)uv + (σv.σv)v

2

= Eu2 + 2Fuv +Gv2.

Si introducimos la siguiente notacion:

(130) E = ∥σu∥2, F = ∥σu∥2, G = ∥σv∥2.

38

Tenemos que la longitud de arco de ρ viene dado por

(131) s = ∫t

t0(Eu2 + 2Fuv +Gv2)1/2dt.

Si ponemos el diferencial dt adentro de la raız cuadrada, obtenemos lo siguiente

(132) E(du)2 + 2Fdudv +G(dv)2.

La anterior expresion se denomina primera forma fundamental de la superficie S. Podemos porlo tanto escribir la longitud de arco de la curva dada en una superficie utilizando la primera formafundamental:

(133) s = ∫t

t0(ds)1/2dt ⇒ ds = (E(du)2 + 2Fdudv +G(dv)2)1/2.

Ejemplo 3.18. Como ya se habıa dicho, el atlas del plano esta dado por la carta

(134) σ(u, v) = r0 + up + vq.

Tenemos entonces que σu = p σv = q y por lo tanto los coeficientes de la primera forma fundamentalson E = ∥σu∥2 = ∥p∥2 = 1, F = σu ⋅ σv = p ⋅ q = 0 y G = ∥σv∥2 = ∥q∥2 = 1. Podemos concluir que laprimera forma fundamental del plano es

(135) ds2 = (du)2 + (dv)2.

Ejemplo 3.19. Veamos ahora la primera forma fundamental de un cilindro generalizado. Como vimosen la sub seccion anterior, la parametrizacion de esta clase de superficie viene dada por

(136) r(u, v) = ξ(u) + vα.

Podemos asumir que ξ es una curva con rapidez unitaria y que esta contenida en un plano per-pendicular al vector unitario α. Entonces:

(137)ru =

dξ

du.

rv = α.

Por lo tanto, los coeficientes de la primera forma fundamental son E = ∥ru∥2 = ∥dξ

du∥2 = 1, F =

ru ⋅ rv =dξ

du⋅α = 0 y G = ∥rv∥2 = ∥α∥2 = 1. Podemos concluir que la primera forma fundamental de

cilindro generalizado es

(138) ds2 = (du)2 + (dv)2.

Note que tiene la misma primera forma fundamental del plano.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 5, pp.97-101).

3.6. Mapas isometricos. En la seccion anterior notamos que el plano y el cilindro generalizadotienen exactamente la misma primera forma fundamental. A groso modo, esto tiene una explicaciongeometrica sencilla: si tomamos un pedazo de papel plano, este puede ser envuelto en un cilindrosin que dicho papel se arrugue o presente irregularidades. En efecto, si dibujamos una curva sobreel plano y seguidamente lo enrollamos, se ve que la curva original sigue siendo una curva en el ci-lindro resultante. De hecho, debido a que no hay arrugamientos, se nota experimentalmente que laslongitudes de la curva inicial y la curva final seran exactamente las mismas. En la seccion anterior,

39

se vio que las longitudes de curvas en una superficie son calculadas por medio de la primera for-ma fundamental, por lo tanto es plausible que las dos formas fundamentales de las dos superficiesanteriormente mencionadas, sean las mismas.

Definicion 3.33. Sean M1 y M2 dos superficies y un difeomorfismo f ∶ M1 → M2. Decimos que fes una isometrıa si toma curvas de M1 y las mapea a curvas en M2 de la misma longitud. Si unaisometrıa f existe, decimos que M1 y M2 son superficies isometricas.

Proposicion 3.11. Sea f ∶M1 →M2 un difeomorfismo. Si µ1 es una carta admisible de M1 entoncesf µ1 es una carta admisible de M2.

Demostracion. Asumamos sin perdida de generalidad que M1 y M2 tienen cada una un atlas com-puesto por una sola carta, a saber µ1 ∶ U1 →M1 y µ2 ∶ U2 →M2 para M1 y M2 respectivamente. Comof es un difeomorfismo, entonces tenemos que f µ1 = µ2 φ, donde φ es un difeomorfismo entre U1

y U2. Tenemos pues que:

(139) f µ1 = µ2 φ = f(µ1(u, v)) = µ2(φ(u, v)).

Pero por teorema tenemos que µ2(φ(u, v)) es una carta regular, o sea que f(µ1(u, v)) es una cartaregular de S2, que era lo que querıamos demostrar. ∎

Proposicion 3.12. Sean M1 y M2 dos superficies y un difeomorfismo f ∶ M1 → M2. la funcion fes una isometrıa si y solo si para cualquier carta µ1 de M1, las cartas µ1 y f µ1 de M1 y M2

respectivamente, tienen la primera forma fundamental igual.

Demostracion. La longitud de cualquier curva puede ser calculada como la suma de las longitudesde curvas cada una perteneciendo a una sola carta, podemos asumir sin perdida de generalidadque M1 y M2 tienen cada una un atlas compuesto por una sola carta, a saber µ1 ∶ U1 → M1 yµ2 = f µ1 ∶ U2 → M2 para M1 y M2 respectivamente. Primero veamos que f efectivamente envıacurvas a curvas. Supongamos que µ1 y µ2 tienen la misma primera forma fundamental. Sea la curvaα ∶ (a, b) → R2, definida como t ↦ (u(t), v(t)), contenida en un abierto U ⊂ R2, entonces tenemosque γ1(t) = µ1(u(t), v(t))) y γ2(t) = µ2(u(t), v(t)) son las curvas correspondientes en M1 y M2

respectivamente. Note que:

(140) f(γ1(t)) = f(µ1(u(t), v(t)) = µ2(u(t), v(t)) = γ2(t).

Por lo tanto f envıa la curva γ1(t) a γ2(t). Ahora bien, por hipotesis tenemos que µ1 y µ2 tienenla misma primera forma fundamental, por lo tanto γ1 y γ2 tienen la misma longitud de curva, puesesta se obtiene integrando la expresion (Eu2 + 2Fuv +Gv2)1/2.

Ahora supongamos que f es una isometrıa. Sea la curva α ∶ (a, b) → R2, definida como t ↦(u(t), v(t)), contenida en un abierto U ⊂ R2, entonces tenemos que γ1(t) = µ1(u(t), v(t))) y γ2(t) =µ2(u(t), v(t)) son las curvas correspondientes en M1 y M2 respectivamente. Dichas curvas tienen porhipotesis la misma longitud, debido a que f es una isometrıa. Por lo tanto:

(141) ∫t

t0(E1u2 + 2F1uv +G1v2)1/2dt = ∫

t

t0(E2u2 + 2F2uv +G2v2)1/2dt.

Para todo t0, t perteneciente al intervalo (a, b), donde E1, F1 y G1 son los coeficientes de la primeraforma fundamental de µ1 y E2, F2 y G2 son los coeficientes de la primera forma fundamental de µ2.Esto implica que los dos integrandos son iguales y entonces:

(142) E1u2 + 2F1uv +G1v2 = E2u2 + 2F2uv +G2v2.

40

Ahora bien, si fijamos t0 ∈ (a, b) y tenemos u0 = u(t0) y v0 = v(t0), aplicando la anterior ecuacionpara las siguientes tres curvas t↦ (u(t), v(t)) ∈ U

(143) u = u0 + t − t0 , v = v0.

Entonces E1 = E2.

(144) u = u0 , v = v0 + t − t0.

Entonces G1 = G2.

(145) u = u0 + t − t0 , v = v0 + t − t0.

Entonces E1 + 2F1 +G1 = E2 + 2F2 +G2. Y en vista de las dos primeras curvas antes mencionadas,tendrıamos F1 = F2. ∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 5, pp.97-101).

3.7. Mapas conformales. Ahora que sabemos como medir longitudes de curvas sobre superficies,una pregunta natural serıa como se miden angulos entre dos curvas y si existen aplicaciones quepreserven esta clase de angulos entre superficies. Consideremos dos curvas λ y λ en una superficiedada S. Supongamos que dichas curvas se intersecan en un punto P que pertenece a una carta ξ deS. Las curvas estan definidas de la siguiente manera:

(146)λ(t) = ξ(u(t), v(t))

λ(t) = ξ(u(t), v(t))

Donde u, v, u y v son funciones suaves y para t0 y t0 tenemos que

(147) ξ(u(t0), v(t0)) = P = ξ(u(t0), v(t0)).

El angulo θ de interseccion entre las curvas λ y λ en el punto P , esta definido como el angulo

entre los vectores tangentes a esas curvas en el punto en cuestion, esto es λ′ y λ′

evaluados en t = t0y t = t0 respectivamente. Lo anterior es lo mismo que aplicar la formula del producto punto para losvectores tangentes antes mencionados:

(148) cos θ = λ′⋅λ′

∣∣λ′∣∣∣∣λ′∣∣.

Ahora bien, si λ(t) = ξ(u(t), v(t)), aplicando la regla de la cadena tenemos

(149) λ′(t) = ξududt + ξv

dvdt .

Analogamente, si λ(t) = ξ(u(t), v(t)) tenemos

(150) λ′(t) = ξu

dudt + ξv

dvdt .

Realizando el producto punto de los anteriores vectores tangentes, tenemos:

(151)λ′ ⋅ λ

′= (ξu

dudt + ξv

dvdt ) ⋅ (ξu

dudt + ξv

dvdt ) = (ξu ⋅ ξu)

dudtdudt + (ξu ⋅ ξv)(

dudtdvdt +

dudtdvdt ) + (ξv ⋅ ξv)

dvdtdvdt

= E dudtdudt + F (dudt

dvdt +

dudtdvdt ) +G

dvdtdvdt .

41

Desarrollando un calculo analogo para ∣∣ λ′ ∣∣2 y ∣∣ λ′∣∣2 y denotando las derivadas con respecto a

t por un punto ⋅ como super ındice, obtenemos la siguiente formula para el angulo entre dos curvasen una superficie, con respecto a primera forma fundamental :

(152) cosθ = Eu ˙u+F (u ˙v+ ˙uv)+Gv ˙v

(Eu2+2F uv+Gv2)1/2(E ˙u2+2F ˙u ˙v+G ˙v2)1/2 .

Ejemplo 3.20. Como explicamos anteriormente en este trabajo, las curvas coordenadas de una su-perficie, pueden ser parametrizadas con respecto a una carta µ de la siguiente manera

(153)γ(t) = µ(a, t),γ(t) = µ(t, b).

Donde a y b son constantes. Por lo tanto tenemos u(t) = a, v(t) = t, u(t) = t y v(t) = b. Calculandola derivada con respecto a t de las anteriores funciones tenemos u = 0, v = 1, ˙u = 1 y ˙v = 0. Es claroque estas curvas se intersecan en el punto µ(a, b) de la superficie. Podemos concluir que el angulo deinterseccion de las dos curvas coordenadas es

(154) cosθ = F√EG

Note que de acuerdo a esta ecuacion, las curvas coordenadas son ortogonales si y solo si F = 0.

Definicion 3.34. Sean M1 y M2 dos superficies y f ∶ M1 → M2 un difeomorfismo. f se denominaconformal, si f toma dos curvas, γ1 y γ1 que se intersecan en M1 a dos curvas γ2 y γ2 que se intersecanen M2 tal que ambos angulos de interseccion sean iguales. Es decir, f preserva angulos.

Teorema 3.7. Sean M1 y M2 dos superficies y f ∶M1 →M2 un difeomorfismo. f es conformal si ysolo si para cualquier carta µ1 de M1, la primera forma fundamental de µ1 y f µ1 respectivamente,son proporcionales.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, supongamos que M1 y M2 son superficies cubiertas poruna sola carta cada una, a saber µ1 y µ2 = f µ1, respectivamente.

En primer lugar, supongamos que las primeras formas fundamentales de µ1 y µ2 = f µ1 sonproporcionales, esto es:

(155) g(E1du2 + 2F1dudv +G1dv2) = E2du2 + 2F2dudv +G2dv2

Para alguna funcion suave g(u, v) donde (u, v) son coordenadas sobre U . Lo anterior es lo mismoque decir que:

(156) gE1du2 + 2gF1dudv + gG1dv2) = E2du2 + 2F2dudv +G2dv2

O sea,

(157) gE1 = E2 ⇒ g = E2

E1

Pero como hemos definido los coeficientes de la primera forma fundamental, sabemos que tantoE1 como E2 son mayores que 0, por lo tanto, g > 0. Ahora bien, sean γ y γ dos curvas en M1,esto es γ(t) = µ1(u(t), v(t)) y γ(t) = µ1(u(t), v(t)). Entonces, f toma γ y γ a curvas µ2(u(t), v(t)) y= µ2(u(t), v(t)). Si calculamos el coseno del angulo entre µ2(u(t), v(t)) y = µ2(u(t), v(t)) y utilizandola hipotesis tenemos:

(158) cosθ = E2u ˙u+F2(u ˙v+ ˙uv)+G2v ˙v

(E2u2+2F2uv+G2v2)1/2(E2˙u2+2F2

˙u ˙v+G2˙v2)1/2 =

gE1u ˙u+gF1(u ˙v+ ˙uv)+gG1v ˙v

(gE1u2+2gF1uv+gG1v2)1/2(gE1˙u2+2gF1

˙u ˙v+gG1˙v2)1/2

42

Cancelando g de la anterior ecuacion, obtenemos

(159) cosθ = E2u ˙u+F2(u ˙v+ ˙uv)+G2v ˙v

(E2u2+2F2uv+G2v2)1/2(E2˙u2+2F2

˙u ˙v+G2˙v2)1/2 =

E1u ˙u+F1(u ˙v+ ˙uv)+G1v ˙v

(E1u2+2F1uv+G1v2)1/2(E1˙u2+2F1

˙u ˙v+G1˙v2)1/2

El lado derecho de la anterior ecuacion es el coseno del angulo entre las curvas γ y γ. Luego, ambosangulos entre las dos curvas en cada una de las superficies, son iguales. Podemos concluir que f esconformal.

Ahora supongamos que f es un difeomorfismo conformal. Nuestro objetivo es probar que la pri-meras forma fundamental de µ1 y µ2 = f µ1 respectivamente, son proporcionales.

Como por hipotesis f es un difeomorfismo conformal, entonces se cumple que:

(160) cosθ = E2u ˙u+F2(u ˙v+ ˙uv)+G2v ˙v

(E2u2+2F2uv+G2v2)1/2(E2˙u2+2F2

˙u ˙v+G2˙v2)1/2 =

E1u ˙u+F1(u ˙v+ ˙uv)+G1v ˙v

(E1u2+2F1uv+G1v2)1/2(E1˙u2+2F1

˙u ˙v+G1˙v2)1/2

para todos los pares de curvas γ = µ1(u(t), v(t)) y γ(t) = µ1(u(t), v(t)). En particular, fijemos(a, b) ∈ U y consideremos las curvas γ = µ1(a + t, b) y γ(t) = µ1(a + t cosφ, b + t sinφ). Aquı, tantoφ, a y b son constantes. Tenemos entonces: u(t) = a + t, v(t) = b, u(t) = a + t cosφ y v(t) = b + sinφ.Calculando la derivada con respecto a t de las anteriores funciones tenemos u = 1, v = 0, ˙u = cosφ y˙v = sinφ. Substituyendo esto en la ecuacion 160, tenemos

(161)E1 cosφ+F1 sinφ

√E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)

=E2 cosφ+F2 sinφ

√E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ)

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacion 161 obtenemos:

(162) (E1 cosφ+F1 sinφ)2

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)=

(E2 cosφ+F2 sinφ)2

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ)

Ahora bien, coloquemos convenientemente a (E1 cosφ + F1 sinφ)2 como:

(163)(E1 cosφ + F1 sinφ)2 = (E1)

2 cos2 φ + 2E1F1 cosφ sinφ + (F1)2 sin2 φ

= E1(E1 cos2 φ + 2F1 sinφ cosφ +G1 sin2 φ) − (E1G1 − (F1)2) sin2 φ

Y a (E2 cosφ + F2 sinφ)2 como:

(164)(E2 cosφ + F2 sinφ)2 = (E2)

2 cos2 φ + 2E2F2 cosφ sinφ + (F2)2 sin2 φ

= E2(E2 cos2 φ + 2F2 sinφ cosφ +G2 sin2 φ) − (E2G2 − (F2)2) sin2 φ

Obtenemos en la ecuacion 162:(165)

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)−(E1G1−(F1)2) sin2 φ

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)=

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ)−(E2G2−(F2)2) sin2 φ

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ).

Entonces(166)

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)−(E1G1−(F1)2) sin2 φ

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)=

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ)−(E2G2−(F2)2) sin2 φ

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ).

Entonces

(167) 1 − (E1G1−(F1)2) sin2 φ

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)= 1 − (E2G2−(F2)

2) sin2 φ

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ).

Entonces

(168) (E1G1−(F1)2) sin2 φ

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)=

(E2G2−(F2)2) sin2 φ

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ).

Por lo tanto

(169) (E1G1−(F1)2)

E1(E1 cos2 φ+2F1 sinφ cosφ+G1 sin2 φ)=

(E2G2−(F2)2)

E2(E2 cos2 φ+2F2 sinφ cosφ+G2 sin2 φ).

43

Entonces

(170)(E1G1 − (F1)

2)E2(E2 cos2 φ + 2F2 sinφ cosφ +G2 sin2 φ)= (E2G2 − (F2)

2)E1(E1 cos2 φ + 2F1 sinφ cosφ +G1 sin2 φ).

Podemos concluir(171)

(E2 cos2 φ + 2F2 sinφ cosφ +G2 sin2 φ) =(E2G2−(F2)

2)E1

(E1G1−(F1)2)E2(E1 cos2 φ + 2F1 sinφ cosφ +G1 sin2 φ)

Ahora bien, si colocamos

(172) g = (E2G2−(F2)2)E1

(E1G1−(F1)2)E2

Obtenemos

(173)

(E2 cos2 φ + 2F2 sinφ cosφ +G2 sin2 φ) = g(E1 cos2 φ + 2F1 sinφ cosφ +G1 sin2 φ)⇒

(E2 cos2 φ + 2F2 sinφ cosφ +G2 sin2 φ) = gE1 cos2 φ + 2gF1 sinφ cosφ + gG1 sin2 φ⇒

(E2 − gE1) cos2 φ + 2(F2 − gF1) sinφ cosφ + (G2 − gG1) sin2 φ = 0.

De acuerdo a lo anteriormente obtenido, si tomamos φ = 0, entonces tendrıamos E2 = gE1. Porotro lado, si tomamos φ = π/2, entonces E2 = gE2. Reemplazando esto en la ultima ecuacion de 173,tenemos

(174) (F2 − gF1) =0

2 sinφ cosφ = 0 ⇒ F2 = gF1.

Podemos concluir ahora que

(175) g(E1du2 + 2F1dudv +G1dv2) = E2du2 + 2F2dudv +G2dv2.

Lo que significa que las primeras formas fundamentales de µ1 y µ2 son proporcionales. ∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 5, pp.101-106).

3.8. Mapas isoareales. En primer lugar, estudiaremos el concepto de area superficial de unasuperficie parametrica y luego nos adentraremos a la teorıa matematica de mapas que preservan sec-ciones de areas entre superficies. Para tal proposito,se utilizara el material bibliografico con referencia[16] y [21].

Supongamos que tenemos una superficie M con una carta r ∶ U → R3. Es claro que la imagen de r escubierta por dos familias de curvas coordenadas obtenidas dejando u y v constantes, respectivamente.Fijemos un punto (u0, v0) perteneciente a U y sean ∆u y ∆v incrementos muy pequenos. Sabemos quepara incrementos muy pequenos tenemos que r(u, v)/∆u ≅ ru y r(u, v)/∆v ≅ rv. Esto es equivalente adecir que para incrementos muy pequenos r(u, v0) ≅ ru∆u y r(u0, v) ≅ rv∆v. La parte de la superficiecontenida por las curvas coordenadas en la superficie correspondientes a los valores de parametrosu = u0, u = u0+∆u y v = v0, v = v0+∆v, es aproximadamente un paralelogramo en en plano con ladosdados por los vectores r(u, v0) ≅ ru∆u y r(u0, v) ≅ rv∆v (las derivadas son evaluadas en el punto(u0, v0). Si recordamos del algebra lineal que el area de un paralelogramo en el plano con lados v1 yv2 es ∣∣ v1 × v2 ∣∣, entonces tenemos que el area del paralelogramo en la superficie es aproximadamente∣∣ ru∆u × rv∆v ∣∣=∣∣ ru × rv ∣∣ ∆u∆v. Tenemos pues la siguiente definicion:

44

Definicion 3.35. Sean M una superficie, una carta de M dada por r ∶ U → R3 y una region R ⊆ U .El area superficial de r(R) viene dada por

(176) A(R) = ∬R ∣∣ ru × rv ∣∣ dudv.

Proposicion 3.13. ∣∣ ru × rv ∣∣=√EG − F 2.

Demostracion. Si v1, v2, v3 y v4 son vectores en R3, sabemos, de algebra lineal que:

(177) (v1 × v2) ⋅ (v3 × v4) = (v1 ⋅ v3)(v2 ⋅ v4) − (v1 ⋅ v4)(v2 ⋅ v3).

Aplicando este hecho a ∣∣ ru × rv ∣∣2= (ru × rv)(ru × rv) obtenemos:

(178) ∣∣ ru × rv ∣∣2= (ru × rv) ⋅ (ru × rv) = (ru ⋅ ru)(rv ⋅ rv) − (ru ⋅ rv)2 = EG − F 2.

∎

Ahora bien, como para una superficie regular tenemos que ru × rv ≠ 0 entonces tenemos que∣∣ ru × rv ∣∣≠ 0 o sea ∣∣ ru × rv ∣∣2= EG − F 2 ≠ 0. Por lo tanto, podemos reescribir la definicion de areasuperficial como

Definicion 3.36. Sean M una superficie, una carta de M dada por r ∶ U → R3 y una region R ⊆ U .El area superficial de r(R) viene dada por

(179) A(R) = ∬R

√EG − F 2dudv.

Definicion 3.37. Sean M1 y M2 dos superficies y f ∶M1 →M2 un difeomorfismo. Decimos que f esun mapa equiareal si toma cualquier region de M1 de una area determinada, a una region en M2, dela misma area. En otras palabras, preserva areas.

Teorema 3.8. Sean M1 y M2 dos superficies, f ∶M1 →M2 un difeomorfismo y las cartas µ de M1 yf µ de M2 con primeras formas fundamentales E1du2+2F1dudv+G1dv2 y E2du2+2F2dudv+G2dv2

respectivamente . f es equiareal si y solo si para cualquier carta µ de M1, las primeras formasfundamentales de las cartas µ y f µ de M1 y M2 respectivamente, satisfacen que

(180) E1G1 − (F1)2 = E2G2 − (F2)

2.

Demostracion. Sea la carta µ ∶ U → R3 como en el enunciado del teorema. Entonces, por definicionf es equiareal si y solo si para todas las regiones R ⊆ U se tiene

(181) ∬R

√E1G1 − (F1)

2dudv =√E2G2 − (F2)

2dudv.

Esto solo es posible si y solo si los dos integrandos son iguales para todo punto, esto es, para todopunto

(182) E1G1 − (F1)2 = E2G2 − (F2)

2.

∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 5, pp.112-116).

45

3.9. Segunda forma fundamental. Supongamos que tenemos una curva r en R2, con rapidezunitaria. A medida que el parametro t cambia de t a t +∆t, la curva r se aleja de la lınea tangenteen el punto r(t) una distancia (r(t +∆t) − r(t)) ⋅n. Por el teorema de Taylor, tenemos:

(183) r(t +∆t) = r(t) + dr(t)dt ∆t + d2r(t)

dt2 (∆t)2 + residuo

Donde es claro que residuo/(∆t)2 tiende a cero en tanto (∆t)2 tiende a cero. Ahora bien, comoel vector normal unitario n es perpendicular al vector tangente T = r y T = r = kn donde k es lacurvatura de r, entonces podemos colocar r ⋅ n = k y obtenemos que la desviacion de la curva encuestion de su lınea tangente es :

(184) (dr(t)dt ∆t + d2r(t)

dt2 (∆t)2 + ...) ⋅n = 12k(∆t)

2 + residuo .

Se puede hacer un raciocino analogo para cartas. Por ejemplo, sea φ una carta en R3 con vectornormal unitario N . Cuando los parametros (u, v) de φ tienen un cambio de (u + ∆u, v + ∆v), lasuperficie se aleja del plano tangente en φ(u, v) en una distancia de

(185) (φ(u +∆u, v +∆v) −φ(u, v)) ⋅N .

Aplicando nuevamente el teorema de Taylor, tenemos que:

(186)(φ(u +∆u, v +∆v) −φ(u, v))=

φu∆u +φv∆v +12(φuu(∆u)

2 + 2φuv∆u∆v +φvv(∆v)2 + residuo.

Donde es claro que residuo/((∆u)2 + (∆v)2) tiende a cero en tanto (∆u)2 + (∆v)2 tiende a cero.Ahora bien, como φu y φv son vectores tangentes a la superficie dada, deben ser perpendiculares alvector normal unitario N . Aplicando este hecho a nuestros calculos, tenemos que la desviacion de φde su plano tangente es:

(187) 12(L(∆u)

2 + 2MN∆u∆u +N(∆v)2).

Donde los coeficientes L, M , N son los coeficientes de la segunda forma fundamental y estan dadospor:

(188)L = φuu ⋅N ,M = φuv ⋅N ,N = φvv ⋅N .

De hecho, la expresion

(189) Ldu2 + 2MN dudv +Ndv2.

Se denomina segunda forma fundamental de φ. Veamos ahora algunos ejemplos importantes:

Ejemplo 3.21. Sea el plano, parametrizado como

(190) σ(u, v) = r0 + up + vq.

En efecto, tenemos que σu = p y σv = q. Entonces σuu = σuv = σvv = 0, por lo tanto los coeficientesde la segunda forma fundamental son:

(191)L = φuu ⋅N = 0,M = φuv ⋅N = 0,N = φvv ⋅N = 0.

Y esto implica que la segunda forma fundamental del plano es 0.

46

Ejemplo 3.22. Consideremos ahora una superficie de revolucion, la cual sabemos esta parametrizadade la siguiente manera:

(192) r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

Podemos asumir que f(u) > 0 para todos los valores u y que la curva generatriz u↦ (f(u),0, f(u)tiene velocidad unitaria. Esto es que

(193) (dfdu)

2 + (dgdu)

2 = 1.

Por comodidad, denotaremos de ahora en adelante en este ejemplo las derivadas con respecto a u,mediante un punto. Tenemos entonces lo siguiente:

(194)ru = (f cos v, f sin v, g),rv = (−f sin v, f cos v,0).

Entonces los coeficientes de la primera forma fundamental son

(195)E = ∥ru∥2 = f 2 + g2 = 1,F = ru ⋅ rv = 0,G = ∥rv∥2 = f 2.

Por otro lado,

(196) ru × rv = (−fg cos v,−fg sin v, f f) ⇒ ∥ru × rv∥ = f.

Por lo tanto, el vector normal unitario es

(197) N = ru×rv∥ru×rv∥

= (−g cos v,−g sin v, f).

Y,

(198)ruu = (f cos v, f sin v, g),

ruv = (−f sin v, f cos v,0),rvv = (−f cos v,−f sin v,0).

Los coeficientes de la segunda forma fundamental son entonces:

(199)L = ruu ⋅N = f g − f g,M = ruv ⋅N = 0,N = rvv ⋅N = fg.

Podemos concluir que la segunda forma fundamental de una superficie de revolucion viene dadapor:

(200) (f g − f g)du2 + fg dv2.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([16], Pressley, A. (2001). Cap 6, pp.123-127).

4. La metrica Riemanniana

En este capıtulo se utiliza material bibliografico del recurso web [22].

47

4.0.1. Metrica Riemanniana inducida. Tenemos que la curva ρ[a, b] esta confinada a una cartaX(Ω) ⊂ S2. Entonces existe una funcion suave u(t) = (u1(t), u2(t) ∈ Ω tal que se tiene lo siguiente:

(201)ρ(t) =X(u1(t), u2(t))∀t ∈ [a, b].

Por lo tanto el vector tangente puede ser escrito como

(202) ρ(t) =X1(u1(t), u2(t))u1 +X2(u1(t), u2(t))u2.

Entonces la longitud de curva del vector tangente viene dada por la siguiente expresion

(203) ∥ρ∥2 = (X1.X1)u12 + 2(X1.X2)u1u2 + (X2.X2)u2

2.

Si i, j = 1,2 la Metrica Riemanniana viene dada por la funcion matricial

(204) gi,j(u) =Xi(u) ⋅Xj(u).

Evidentemente gi,j(u) es una funcion que varia suavemente , simetrica y positivamente definida.Por lo tanto

(205) ∥ρ∥2 =2

∑i=1

2

∑j=1

gi,j(u(t))uiuj.

La longitud de la curva sobre la superficie es entonces determinada por su velocidad por la metricaUn campo vectorial sobre una superficie es ahora determinado por funciones en mi abierto U

usando mi base (las derivadas parciales de mi parche coordenado). Por lo tanto si V y W son doscampos vectoriales tangentes , estos se pueden escribir de la siguiente forma:

(206)V (u) =X1(u)v1(u) +X2(u)v2(u),W (u) =X1(u)w1(u) +X2w2(u).

El producto punto en R3 puede expresarse tambien mediante la metrica dada

(207) V ⋅W = ⟨V ,W ⟩ = ∑2i,j=1 gi,jv

iwj.

donde ⟨, ⟩ es el producto interno en un espacio tangente a una superficie M cualquiera TpM quevaria suavemente sobre M . Esta metrica Riemanniana es tambien llamada primera forma fundamen-tal.

4.0.2. Area y angulos con respecto a la metrica Riemanniana. De la seccion anterior sabemos queel area A(R) de la parte ρ(R) de la carta ρ ∶ U → R3 correspondiente a la region R ⊆ U es

(208) ∬R ∣∣ ρu × ρv ∣∣ dudv.

.Ahora bien, en terminos de una metrica dada volveremos a definir lo anteriormente planteado, ası

como el concepto de angulo entre dos campos vectoriales. Si V y W son campos vectoriales sobreuna superficie M , entonces el angulo α = ∠(v,W ) que hay entre ellos viene dado de la siguientemanera

(209) cosα =<A,B>

∣A∣∣B∣.

Por otro lado si w ⊂ Ω es un sub-dominio suave a trozos en nuestra parametrizacion, el area deX(w) ⊂ S2 es tambien determinada por la metrica de la siguiente manera

(210) A(X(w)) = ∬w ∣∣X1 ×X2 ∣∣ du1du2 = ∬w

√det(gi,j(u))du1du2.

48

Como β =∠(X1,X1) entonces(211)

∣∣X1 ×X2 ∣∣2= sin2β ∣∣X1 ∣∣2∣∣X2 ∣∣2= (1 − cos2β) ∣∣X1 ∣∣2∣∣X2 ∣∣2=∣∣X1 ∣∣2∣∣X2 ∣∣2 −(X1⋅X2)2

= g1,1g2,2 − g21,2.

4.0.3. Superficies Riemannianas abstractas de dos dimensiones. Las propiedades de una curva osuperficie que dependen del espacio coordenado en el cual esten embebidas , se denominan extrınsecas.En contraste las propiedades intrınsecas son aquellas que pueden ser medidas dentro de la superficiemisma sin tener en cuenta el espacio en el cual esta embebido. las medidas como longitudes de arcoy angulos o la metrica riemanniana son cantidades intrınsecas. Si se dota un espacio dos dimensionalM2 con una metrica Riemanniana y un producto interno el objeto matematico resultante es llamadosuperficie Riemanniana abstracta. Sea el plano Euclidiano E2 una superficie Riemanniana abstracta, el espacio en el cual esta embebido es R2 y su metrica viene dada por

(212) gi,j = δi,j = 1 if i = j

0 if i ≠ j

la aplicacion de coordenadas es Y (v1, v2) = (u1, u2) y el espacio tangente es entonces generado porY1 = (1,0) y Y2 = (0,1). Sean dos campos vectoriales tangentes

(213)A(v) = Y1(v)a1(v) +Y2(v)a2(v),B(v) = Y1(u)b1(v) +Y2b2(v).

y su producto interno es

(214) A.B = ⟨A,B⟩ = ∑2i,j=1 δi,ja

ibj = a1b1 + a2b2.

El cual es el producto punto usual en el plano.

4.0.4. Naturaleza tensorial de la metrica y cambio de coordenadas. Sea una superficie esferica S2 ⊂

R3 . No importa que sistema coordenado usemos en una vecindad de un punto P ∈ S2 , el productointerno entre dos vectores, el area de un dominio o la longitud de una determinada curva , siempreseran la mismas porque ellas son expresiones de valores esfericos. Es decir, si tenemos dos sistemasde coordenadas Ω , Ω en una vecindad de P , el producto interno de dos campos vectoriales A y Bsera:

(215) ∑2i,j=1 gi,j(u)a

i(u)bj(u) = ⟨A,B⟩ = ∑2i,j=1 gi,j(u)a

i(u)bj(u).

Es el mismo donde u = u(u). Supongamos pues que tenemos dos coordenadas locales X ∶ ΩÐ→ S2

y X ∶ Ω Ð→ S2 y P ∈ X(Ω) ∩X(Ω) , entonces el cambio de variables se denomina funcion detransicion. Para u ∈X−1

(D) tenemos lo siguiente

(216) X(u) = X(u).

Tal que

(217) u(u) = X−1(X(u)).

49

5. La esfera

Como hemos dicho ya, una superficie es un subconjunto de R3 que en una vecindad de cualquierpunto dado se parece a una parte de R2. Por otro lado, en geometrıa euclidiana una superficie esfericaes una superficie de revolucion formada por el conjunto de puntos del espacio que equidistan a unradio constante de un punto; cabe destacar que un ejemplo importante de esta clase de superficie esel geoide. En este capıtulo se utiliza material bibliografico con referencia [4], [1], [21], [16], [10] y [7].

Definicion 5.1. La figura geometrica contenida por el diametro y la circunferencia cortada por else denomina semicırculo. El centro del semicırculo es el mismo que el del cırculo.

Definicion 5.2. Una esfera es una superficie generada por la revolucion de un semicırculo al rededorde su diametro, el cual permanece fijo.

Definicion 5.3. El cırculo formado por un plano que pasa a traves del centro de la esfera se denominacırculo mayor. Por otro lado, el cırculo formado por un plano que no pasa por el centro de la esferarecibe el nombre de cırculo menor.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([4], Euclides (2002). Cap , pp. ) y Lateorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([1], Casey, J. (1889). Cap 1 , pp. 1-8 ). En laesfera se pueden establecer una serie de coordenadas muy utilizadas por los cartografos desde epocasremotas llamadas coordenadas geograficas, las cuales son un sistema de referencia que se basa en lautilizacion de angulos que nos permite la ubicacion de cualquier punto sobre la superficie esferica.Estos angulos reciben el nombre de latitud (de ancho) y longitud (de largo). De hecho, las coorde-nadas geograficas son nada mas que las coordenadas esfericas utilizadas comunmente en geometrıadiferencial, que introduciremos con mas detalle brevemente y que permiten una parametrizacion ypor consiguiente la generacion de un atlas para la esfera u otras superficies de revolucion.

5.1. Coordenadas cilındricas y esfericas.

5.1.1. Coordenadas cilındricas. En el espacio euclidiano tri dimensional, existe un sistema de coor-denadas que se vincula con el sistema de coordenadas polares de la geometrıa plana. Este sistema,recibe el nombre de coordenadas cilındricas. Recordemos que si p es un punto en el plano con coorde-nadas polares y cartesianas (r, θ) y (x, y) respectivamente, entonces estas se relacionan de la siguientemanera:

(218)

x = rcosθ,y = rsinθ,r2 = x2 + y2,tanθ = y

x .

Por otro lado, si p es un punto en R3, sus coordenadas cilındricas son dadas por la tripa (r, θ, z),donde r y θ son las coordenadas polares de la proyeccion de p sobre el plano xy y z es la distanciaorientada en lınea recta que une dicha proyeccion al punto p. Por lo tanto, se puede concluir quela conexion que existe entre las coordenadas cilındricas y las rectangulares esta determinada por lassiguientes ecuaciones:

(219)x = rcosθ,y = rsinθ,z = z.

50

Figura 6. Coordenadas cilındricas

Y

(220)r2 = x2 + y2,tanθ = y

x ,z = z.

5.1.2. Coordenadas esfericas. El sistema de coordenadas esfericas en R3, viene dado por la tripleta(ρ, θ, φ), donde ρ es la distancia radial (distancia del origen al punto p), θ el angulo polar de lascoordenadas cilındricas (longitud) y el angulo entre el eje z y el segmento recto que une al origen conel punto p o el angulo acimutal (latitud), es el representado por φ. Por otro lado, se tiene que ρ ≥ 0y 0 ≤ φ ≤ π.

Figura 7. Coordenadas esfericas

El sistema de coordenadas esfericas es usado generalmente en objetos donde existe simetrıa alrededor de un punto; ejemplos de esta propiedad se pueden ver en la esfera o en el cono. Note queen este sistema, la esfera con radio c viene dada por la ecuacion ρ = c y el cono superior por φ = a,

51

donde a es una constante. Finalmente, la relacion entre las coordenadas cartesianas y las coordenadasesfericas, puede ser vista en el siguiente esquema:

De los triangulos OPQ y OPP ′ obtenemos:

(221)z = ρcosφ,r = ρsinφ.

Ahora bien, note que x = rcosθ y y = rsinθ. Luego, reemplazando estas ecuaciones en las dadas enla ecuacion 4 se obtiene la forma de convertir coordenadas esfericas a coordenadas:

(222)x = ρsinφcosθ,y = ρsinφsinθ,z = ρcosφ.

Y la consiguiente formula de distancia es dada por:

(223) ρ2 = (x)2 + (y)2 + (z)2.

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([21], Stewart (2008). Cap 16, pp. 1036-1045).

5.2. Atlas para una esfera. Recordemos que en geometrıa, el locus es el conjunto de puntoscuya localizacion satisface o es determinada por una o mas condiciones especıficas. Por otro lado, engeometrıa analıtica una esfera 3-dimensional con centro (x0, y0, z0) y radio r es el locus de todos lospuntos (x, y, z) tales que se cumple la ecuacion (x − x0)

2 + (y − y0)2 + (z − z0)

2.Ahora bien, consideremos la esfera x2 +y2 + z2 = r2 y encontremos su representacion parametrica y

por consiguiente su atlas. Como se vio anteriormente, esta esfera se puede expresar de manera sencillaen coordenadas esfericas como ρ = r; por lo tanto podemos escoger como parametros los angulos φ yθ.

Figura 8. La esfera

52

Entonces, teniendo en cuenta lo anterior, obtenemos que las ecuaciones para convertir coordenadasesfericas a rectangulares (cambio de coordenadas) son:

(224)x = rsinφcosθ,y = rsinφsinθ,z = rcosφ.

Por consiguiente, podemos expresar parametricamente la esfera como

(225) r(φ, θ) = (rsinφcosθ, rsinφ sin θ, rcosφ) = rsinφcosθi + rsinφsinθj + rcosφk.

Sin embargo, se debe restringir el dominio de esta carta de tal manera que nuestra parametrizacionsea inyectiva. Por lo tanto necesitamos tomar intervalos validos en cada parametro, es decir −π

2 ≤ φ ≤ π2

y 0 ≤ θ ≤ 2π. Esto trae un inconveniente, a saber que ahora el dominio de nuestra carta no es unsubconjunto abierto de R2, entonces el abierto mas largo que se puede tomar como dominio es:

(226) U = (φ, θ) ∣ −π2 < φ < π2 ,0 < θ < 2π.

Pero, note ahora que la imagen de esta carta no es toda la esfera y que por lo tanto se debe crearotra carta para poder cubrir la totalidad de ella y ası construir su atlas. Es claro que esta carta serıa:

(227) ν(φ, θ) = (−rcosφsinθ,−rsinφ,−rcosφsinθ).

Otro ejemplo de atlas para la esfera, se construye definiendo en S2 seis cartas correspondientes alos seis hemisferios de ella; es decir, los hemisferios superior, inferior, derecho, izquierdo, frontal yposterior. Por lo tanto, consideremos la esfera unitaria en R3, definida como:

(228) S2 = (x1, x2, x3) ∈ R3 ∣ (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1

Y definamos:

(229)

U+3 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x3 > 0 , ϕ+3(x

1, x2, x3) = (x1, x2),U−

3 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x3 < 0 , ϕ−3(x1, x2, x3) = (x1, x2),

U+2 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x2 > 0 , ϕ+2(x

1, x2, x3) = (x3, x1),U−

2 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x2 < 0 , ϕ−2(x1, x2, x3) = (x3, x1),

U+1 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x1 > 0 , ϕ+1(x

1, x2, x3) = (x2, x3),U−

1 = (x1, x2, x3) ∈ S2 ∣ x1 < 0 , ϕ−1(x1, x2, x3) = (x2, x3).

Figura 9. Carta del hemisferio inferior de la esfera

53

Probemos que la coleccion (U±i , ϕ

±i ) es un atlas sobre S2. Por definicion, tenemos que un atlas

sobre un espacio localmente euclidiano N es una coleccion (Uα, ψα) de cartas suaves compatiblesque cubren a N . Por lo tanto, primero debemos probar que cada uno de los pares (U±

i , ϕ±i ) son

cartas y seguidamente, que la coleccion formada por ellas son compatibles. Probemos, por ejemploque c−3 = (U−

3 , ϕ−3) es una carta; para ello, se debe probar que es un homeomorfismo que manda un

abierto en la variedad escogida a un abierto en el plano euclidiano.Note que ϕ−3(U

−3 ) = (y1, y2)∣(y1)2 + (y2)2 < 1 es un conjunto abierto en R2 y que existe una

aplicacion inversa definida como:

(230) (ϕ−3)−1 ∶ ϕ−3(U

−3 )Ð→ U−

3 , (ϕ−3)−1(y1, y2) = (y1, y2,−

√1 − ((y1)2 + (y2)2).

En donde tenemos que la imagen de esta ultima aplicacion, es un conjunto abierto. De manera similarprobamos lo mismo para todas las cartas c±i = (U±

i , ϕ±i ).

El siguiente paso consiste en demostrar que todas las cartas son compatibles de clase Cω. A modode ejemplo, tomemos las cartas c+3 = (U+

3 , ϕ+3) y c−2 = (U−

2 , ϕ−2). Tenemos:

(231) U+3 ∩U

−2 = (x1, x2, x3)∣(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1 ∶ x2 < 0, x3 > 0.

y entonces los siguientes conjuntos son abiertos (discos abiertos):

(232)ϕ+3(U

+3 ∩U

−2 ) = (y1, y2)∣(y1)2 + (y2)2 < 1, y2 < 0.

ϕ−2(U+3 ∩U

)

2− = (z1, z2)∣(z1)2 + (z2)2 < 1, z1 > 0.

Ahora bien, si hacemos la composicion de estas las aplicaciones anteriores obtiene:

(233)ϕ+3 (ϕ

−2)

−1 ∶ ϕ−2(U+3 ∩U

−2 )Ð→ ϕ+3(U

+3 ∩U

−2 )

⇒ ϕ+3 (ϕ−2)

−1(z1, z2) = ϕ+3(z2,−

√1 − ((z1)2 + (z2)2), z1) = (z2,−

√1 − ((z1)2 + (z2)2)).

y

(234)ϕ−2 (ϕ

+3)

−1 ∶ ϕ+3(U+3 ∩U

−2 )Ð→ ϕ−2(U

+3 ∩U

−2 )

⇒ ϕ−2 (ϕ+3)

−1(y1, y2) = ϕ−2(y1, y2,

√1 − (y1)2 + (y2)2) = (

√1 − ((y1)2 + (y2)2), y1).

Que en efecto son aplicaciones de clase Cω. Finalmente, note que por lo menos una coordenadade cualquier punto perteneciente a la esfera es distinta de cero, por lo que se puede concluir que⋃U±

i = S2. Hemos ası demostrado, que la coleccion (U±i , ϕ

±i ) es un atlas sobre S2. De hecho, esta

demostracion se puede generalizar para el caso de la n− esfera Sn, notando que cada una de las cartasdefinidas proyectan sobre el espacio euclidiano Rn, donde esta proyeccion es vista como el hiper planoxi = 0.

Otro atlas que se puede construir sobre Sn y por consiguiente sobre la esfera S2 en R3, es la llamadaproyeccion estereografica, la cual se vera en detalle en la siguiente seccion.

5.3. Regularidad de la esfera. Mostremos que la esfera unitaria

(235) S2 = (x1, x2, x3) ∈ R3 ∣ (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1 .

es una superficie regular. Note que segun lo demostrado en la seccion anterior, el mapa x1(x1, x2) ∶

U ⊂ R2 → R3 definido para todos los (x1, x2) ∈ U , como:

(236) x1(x1, x2) = (x1, x2,+√

1 − ((x1)2 + (x2)2)).

Donde R2 = (x1, x2, x3) ∈ R3;x3 = 0 y U = (x1, x2) ∈ R2; (x1)2 + (x2)2 < 1, es una carta oparamatrizacion de la esfera unitaria S2, garantizando que x1 sea un homeomorfismo (condicion 2).

54

Note ademas que como (x1)2 + (x2)2 < 1, la funcion +√

1 − ((x1)2 + (x2)2) tiene derivadas parcialesde todos los ordenes. Por lo tanto, x1 es suave (condicion 1). Finalmente es facil ver que:

(237) ∂(x1,x2)∂(x1,x2) ≡ 1.

5.4. Primera forma fundamental de la esfera. Sea la carta para la esfera unitaria S2 dadapor la longitud y la latitud:

(238) σ(θ,ϕ) = (cos θ cosϕ, cos θ sinϕ, sin θ).

Tenemos que

(239)σθ = (− sin θ cosϕ,− sin θ sinϕ, cos θ),σϕ = (− cos θ sinϕ, cos θ cosϕ,0).

Por lo tanto los coeficientes de la primera forma fundamental son E = ∥σθ∥2 = 1, F = σθ ⋅σϕ = 0 yG = ∥σϕ∥2 = cos2 θ. Podemos concluir que la primera forma fundamental de la esfera es

(240) ds = (dθ)2 + cos2 θ(dϕ)2.

En este punto es muy importante observar que la primera forma fundamental del plano es diferentea la primera forma fundamental de la esfera.

5.5. Segunda forma fundamental de la esfera. La esfera (y en particular la esfera unitaria) esuna superficie de revolucion, por lo tanto se puede aplicar la ecuacion 325, para encontrar su segundaforma fundamental. Por lo tanto, podemos tomar f(θ) = cos θ, g(θ) = sin θ, con −π/2 < θ < π/2 ytendrıamos:

(241)L = 1,M = 0,N = cos2 u.

Tendrıamos que la segunda forma fundamental de la esfera es

(242) (dθ)2 + cos2 θ(dϕ)2.

5.6. Area de un triangulo en la esfera.

Proposicion 5.1. En una esfera de radio R, el area del triangulo ABC con los angulos interioresα,β,γ viene dado por : area (ABC) = R2(α + β + γ − π).

Demostracion. Definimos el termino luna para referirnos a una de las regiones entre dos circunferen-cias maximas y llamamos antipodales a los puntos donde ellas se cruzan. Recordemos que los puntoso figuras antipodales son los que corresponden a los extremos opuestos de un diametro de la esfera.Una luna viene dada por un angulo θ del centro de la esfera, definido entre dos planos, que tambienes el angulo entre dos circunferencias maximas. Como el area de una esfera de radio R es 4πR2 ycomo la relacion del area encerrada por las circunferencias maximas con el area de la esfera completaes la misma que el angulo que forman entre 2π por el area, se tiene el Area de la luna es:

(243) θ2π4πR2 = 2θR2.

Asumimos que nuestro triangulo se encuentra en un hemisferio, si no, dividimos el triangulo entriangulos mas pequenos. Cada triangulo es la interseccion de tres cırculos maximos. Si tomamos lostres cırculos maximos que forman el triangulo ABC, tenemos que los cırculos maximos nos dan una

55

copia antipodal del triangulo, es decir, nos dan el triangulo, es decir, nos dan el triangulo A′B′C ′.Tomando ABC junto con tres lunas, formadas por los cırculos maximos, que lo determinan cubrimosun hemisferio contando el area de ABC tres veces. Esto nos da la ecuacion:

(244) 2πR2 = 2αR2 + 2βR2 + 2γR2 − 3area(ABC) + area(ABC).

Entonces,

(245)πR2 = αR2 + βR2 + γR2 − area(ABC),area(ABC) = R2(α + β + γ − π).

∎

Gracias a esta demostracion sabemos que como cada triangulo en la esfera tiene area, entoncescada triangulo en la esfera tienen la suma de sus angulos interiores mayor que π. La teorıa presentadaanteriormente tiene como referencia ([16], Pressley (2001). Cap 5, pp. 97-106 y pp. 123-127).

5.7. Consideraciones sobre la metrica Riemanniana en la esfera. En esta seccion se utilizamaterial bibliografico del recurso web [22]. Si tenemos coordenadas esfericas tenemos que los vectorestangentes para la parametrizacion en cuestion vienen dados por:

(246)X1(u1, u2) = (−sinu1cosu2,−sinu1sinu2, cosu1),X2(u1, u2) = (−cosu1sinu2, cosu1cosu2,0).

Como las componentes de la metrica son gi,j =Xi⋅Xj , tenemos que

(247) (g1,1 g1,2

g2,1 g2,2) = (

1 00 cos2u1) .

Por lo tanto

(248) det(gi,j) = cos2u1.

Y finalmente el area nos da

(249) A(X(w)) = ∬w cos2u1du1du2.

6. Cartografıa matematica

El objetivo de la cartografıa matematica es valerse de un conjunto de proyecciones, atlases o mapaspara pasar la mayor parte de informacion geometrica de la esfera 3 dimensional a una superficie plana,con el objetivo de permitir no solo una mejor navegacion terreste, marıtima o aerea sino tambien,como parte del estudio general de la geometrıa esferica.

El problema considerado es de mayor envergadura, teniendo en cuenta que el planeta Tierra noes perfectamente esferico sino que es aplastado en los polos obteniendo una forma de elipsoide. Porotro lado, es de destacar que para preparar un mapa plano optimo de una superficie curva se debetener en cuenta el grado de distorsion que inevitablemente se generara. Ahora bien, no existe tal cosacomo el mejor mapa de proyeccion entre todos; sin embargo, si existen ciertas caracterısticas que sonescogidas a la hora de construir uno. Estas caracterısticas clasifican a los mapas de proyeccion enisoareales o que conservan el area, conformales (ortomorficos) o que conservan angulos y equidistantesque mantienen casi intacta la escala. Desde otro angulo, existen otros mapas de proyeccion menosusados que tienen relacion con la capacidad de encajar conformalmente la esfera entre una elipse,triangulo o varias otras clases de figuras geometricas. Por otro lado, existen tres clases de superficiesdesarrollables (una superficie que puede ser transformada en el plano sin distorsiones) en las que la

56

Figura 10. Distintos tipos de proyecciones.(Pearson. F. II. 1990) [15].

mayorıa de las proyecciones cartograficas son construidas. Estas son, el cilindro, el cono y el plano. Siun cilindro es envuelto en el globo terraqueo de modo que su superficie toca el Ecuador a lo largo desu circunferencia, los meridianos pueden proyectarse sobre el cilindro como lıneas rectas equidistantesortogonales al Ecuador; y por otro lado, los paralelos seran lıneas rectas paralelas al ecuador. Cuandoel cilindro se corta a lo largo de un meridiano y se desenrolla, se obtiene una proyeccion cilındricacon meridianos y paralelos rectos. La proyeccion de Mercator es un buen ejemplo de esta clase deconstruccion. Por otra parte, si un cono envuelve la esfera, con el eje de rotacion polar de esta ultimapasando por el pico del cono y con la superficie conica tocando algunos paralelos de latitud, entoncesse produce una proyeccion conica. En esta clase de proyeccion, los meridianos se proyectan sobreel cono como lineas rectas equidistantes que surgen desde el apice, mientras que los paralelos seranlıneas alrededor de la circunferencia del cono en planos ortogonales al eje de rotacion polar de lasuperficie esferica. Si el cono se corta alrededor de un meridiano y seguidamente se desenrolla, losmeridianos siguen siendo lıneas rectas, pero los paralelos son arcos circulares con centro en el apice.Finalmente, si se coloca un plano tangente a uno de los polos de la esfera se generan las famosasproyecciones azimutales polares. En estos mapas, los meridianos se proyectan como lıneas rectas quese irradian desde un punto en especıfico, y los paralelos son cırculos con centro en un polo. Un ejemplomuy importante de esta clase de mapas es la proyeccion estereografica. En esta seccion se utiliza elmaterial bibliografico con referencia [20], [15] y [12] .

6.1. Aspectos geograficos del planeta Tierra. Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta,tenemos que esta posee un radio de aproximadamente 6400km, el cual a su vez es el radio de uncırculo mayor en su superficie. Por otro lado, los conceptos de latitud y longitud tiene sus orıgenes enla Grecia y el Egipto antiguos, pero en especial comenzaron a formalizarse por el astronomo griegoHipparchus en el siglo 2 antes de Cristo. Mas tarde, el matematico, astronomo, quımico y geografogreco-egipcio Claudio Ptolomeo, presento la formalizacion definitiva de estos dos conceptos.

Para poder establecer la localizacion de un determinado punto sobre la superficie de la Tierra, esnecesario construir una malla o cuadrıcula sobre ella que sirva de referencia. Esta malla esta formadapor las denominadas lineas de longitud y latitud que comunmente son referidas como meridianos yparalelos, respectivamente. En adicion, el eje de rotacion de globo Terraqueo pasa en lınea recta por

57

Figura 11. Sistema coordenado terrestre.(Pearson. F. II. 1990) [15].

cada uno de los polos (polo Norte y polo Sur). El Ecuador, es una lınea imaginaria cuyo centro es eleje anteriormente mencionado y que se encuentra a la mitad de camino entre cada uno de los polos.Ademas, tanto el ecuador como la circunferencia que pasa por el polo Norte y el polo Sur, son amboscırculos mayores. Tambien lo son, cada uno de los meridianos de longitud. Por otro lado, recordemosque un cırculo menor es aquel que no tiene su centro en el centro de la esfera; consecuentemente, bajoesta definicion los paralelos de latitud con excepcion del Ecuador, son cırculos menores. Asimismo,cada uno de los paralelos estan equitativamente espaciados entre sı, formando 90 espacios que van delEcuador a cada polo; cada espacio es llamado grado de latitud o simplemente latitud. Por lo tanto, lalatitud puede variar de 90 S a 90 N. (La latitud de Ecuador es de 0). Cada grado es sub-divididoen 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En otro orden de ideas, los meridianos de longitudson una sucesion de lıneas imaginarias que surgen como rayos circulares a traves de cada uno de lospolos y que cruzan los paralelos en angulo recto, tocando ası la lınea del Ecuador en varios puntos.Por lo tanto, si el Ecuador es dividido en 360 partes y un meridiano cruza cada marca, se generarancomo resultado 360 grados de longitud, que analogamente a la latitud, tienen la propiedad de quecada uno ellos se dividen en minutos y estos en segundos, como se harıa en el muy conocido sistemasexagesimal. Existen una multitud de proyecciones que no veremos en este trabajo, debido a que nosconcentraremos especıficamente en la proyeccion equidistante acimutal. Sin embargo, en adelante semuestran algunas proyecciones representativas dentro de cada tipo de proyeccion.

6.2. Escala, distorsion angular, tangencia y secancia. En esta seccion se usa el materialbibliografico, con referencia [15]. La distorsion es el factor limitante en el proceso de construccion deun mapa de proyeccion, pues debido a ella existe una falsa representacion de cantidades metricas.En la figura 12 se representan distintas clases de distorsion que se dan en un mapa geografico.

La escala es el vehıculo para transformar longitudes de arco en la esfera (Tierra) a longitudes dearco manejables en el mapa geografico. Existen dos tipos de escalas, a saber la escala principal y la laescala local. La primera, se refiere a la razon entre las distancias originales en el mapa geografico(plano

58

Figura 12. Tipos de distorsion. (Pearson. F. II. 1990) [15].

euclidiano) y las distancias equivalentes en el modelo esferico de la Tierra:

(250) S = dmde.

Donde dm es la distancia entre dos puntos en el plano euclidiano o mapa geografico y de es ladistancia entre dos puntos en la esfera. Por otro lado, debido a la presencia de distorsion en unaproyeccion, se requiere la definicion de otra clase de escala, pues esta podrıa cambiar de una regiona otra. La la escala local esta definida como:

(251) m = dmmdG

.

Donde dmm es la longitud entre dos puntos medida en el mapa geografico y dG es la longitud entredos puntos que en mundo fısico deberıa existir en el globo terraqueo.

Finalmente, hay dos conceptos importantes a la hora de construir una proyeccion en particular.La superficie de proyeccion puede ser secante o tangente a la esfera. Lo anterior es ilustrado en lafigura 13.Por ejemplo, un plano es tangente a la esfera en un solo punto.

6.3. Consideraciones sobre las coordenadas cartograficas. Las ecuaciones de cambio decoordenadas, dependen de la superficie de proyeccion escogida. En efecto, si la superficie de proyecciones un cilindro, las coordenadas cartesianas son utilizadas en el plano euclidiano. Si las superficiesde proyecciones son acimutales polares o conicas, las derivaciones son utilizadas en coordenadaspolares. Entonces, estas coordenadas polares son transformadas a coordenadas cartesianas. Para lasproyeccion acimutal polar, asumimos coordenadas polares son ρ y θ. Entonces la transformacion alas coordenadas coordenadas tiene la forma de:

(252)x = ρ sin θ,y = −ρ cos θ.

59

Figura 13. Tangencia o secancia. (Pearson. F. II. 1990) [15].

Esta convencion, coloca a la longitud 0 en el eje y negativo. Por lo tanto, el eje x positivocorresponde a λ = 90. De manera similar, si la proyeccion es conica se asumen las coordenadaspolares ρ y θ, entonces las coordenadas cartesianas obtenidas de:

(253)x = ρ sin θ,y = ρ0 − ρ cos θ.

Donde ρ0 es la forma vectorial del vertice al origen.

6.4. Mapas de proyeccion cilındrica. El material de referencia utilizado en esta seccion son[14], [16], [19] y [15]. Esta clase de proyecciones se dividen en tres clases. Las proyecciones cilındricasson las que proyectan la superficie esferica sobre un cilindro; es decir, el cilindro es una superficie deproyeccion intermedia entre la esfera y el plano euclidiano. Estas clases de proyecciones se dividenen normales, transversales u oblicuas. Las proyecciones cilındricas normales, denominadas tambienecuatoriales o regulares ocurren cuando el eje de rotacion de la tierra coincide con el eje de rotaciondel cilindro. Son proyecciones cilındricas de una esfera de radio R y son definidas sobre un cilindrode radio R que es tangencial a la esfera en el ecuador. Por otro lado, en las proyecciones cilındricastransversales el eje del cilindro es perpendicular al eje de la Tierra que se interseca con el en el planodel ecuador; es decir, el cilindro es tangencial a un meridiano. Finalmente, si el eje del cilindro tieneotra posicion en el espacio y coincide o es perpendicular al eje de la esfera, entonces la proyeccionse llama proyeccion cilındrica oblicua. En la figura 14, muestra las diferentes clases de proyeccionescilındricas.

60

Figura 14. Clases de proyecciones cilındricas.(Pearson. F. II. 1990) [15].

Figura 15. Proyeccion cilındrica normal. (Osborne. P. 2013) [14].

En las proyecciones cilındricas normales el eje del cilindro coincide con el diametro polar y losplanos que atraviesan este eje intersecan la esfera en sus meridianos y al cilindro en sus curvasgeneradoras. Es decir, el eje x contiene el ecuador y el eje y contiene una curva generadora quegeneralmente es el meridiano de Greenwich (λ = 0). En efecto, los meridianos de la esfera se proyectana rectas, o sea que la coordenada x es constante en la proyeccion de los meridianos. Por lo tanto, lacoordenada x esta dada por x = λ y la coordenada y es una funcion que depende de ϕ. En consecuencialas proyecciones cilındricas normales se definen como

(254)x(ϕ,λ) = λ,y(ϕ,λ) = f(ϕ).

61

Las proyecciones cilındricas normales se definiran como

(255) ζ(ϕ,λ) = (λ, f(ϕ),0).

En este tipo de transformaciones los paralelos(ϕ constante) en S2 son proyectados en rectas cony constante. Como consecuencia las intersecciones perpendiculares entre meridianos y paralelos sonproyectados en intersecciones ortogonales en el mapa en cuestion. La distancia entre meridianos en laproyeccion es constante; sin embargo, la distancia entre paralelos depende de la escogencia de f(ϕ).Ahora bien, veamos la transformacion de angulos en la proyeccion cilındrica normal. Supongamos lasiguiente figura:

Figura 16. Loxodromas. (Osborne. P. 2013) [14].

Sea el rectangulo infinitesimal PMQK perteneciente a la esfera y su proyeccion respectiva P ′M ′Q′K ′,en el cilindro :

Figura 17. (Osborne. P. 2013) [14].

Tenemos entonces que

(256) tanα =δλ cosϕδϕ =

λ cosϕϕ , tanβ = δx

δy =δλ

f ′(ϕ)δϕ = λf ′(ϕ)ϕ .

62

Entonces,

(257)

tanα =δλ cosϕδϕ =

λ cosϕϕ

tanβ = tanαcosϕf ′(ϕ) =

secϕ tanαf ′(ϕ)

Note que si α = β, entonces los angulos se conservan en la proyeccion y por lo tanto, la proyeccioncilındrica normal es una proyeccion proyeccion conformal. Para que esto sea valido se debe tener quesecϕ = f ′(ϕ).

6.4.1. Proyeccion cilındrica de Lambert. El matematico J.H. Lambert presento en su obra Beitragezum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung(1772) la denominada Proyeccion cilındrica deLambert. Sin embargo, Arquımedes ya habıa establecido dicha proyeccion al calcular el area de unaesfera y de un cilindro de la misma altura. Esta proyeccion posee varias caracterısticas, entre ellasdestaca el hecho de que es un difeomorfismo equiareal. Por otro lado, los meridianos forman lıneasrectas que son equidistantes entre sı. Sin embargo, los paralelos aunque tambien forman lıneas rectas,tienen como diferencia que la distancia entre ellas se reduce en tanto va aumentando la latitud. Enesta seccion se utilizara el material bibliografico con referencia [16].

Comencemos con la construccion de la Proyeccion cilındrica de Lambert. Consideremos la esferaunitaria x2 + y2 + z2 = 1 y el cilindro x2 + y2 = 1. Suponemos la esfera contenida dentro del cilindro.Estas superficies se tocan en un cırculo x2+y2 = 1 en el plano z = 0. Para cada punto P pertenecientea la esfera unitaria (diferente de los polos), existe una unica lınea paralela al plano z = 0 que atraviesael punto P y el eje z. En efecto, esta lınea interseca el cilindro en dos puntos, uno de los cuales lollamaremos Q. Sea f el mapa

(258) f ∶ S2 − (0,0,±1)→ C.

Donde C representa el cilindro y S2 − (0,0,±1) la esfera unitaria sin los polos. Sean (x, y, z) lascoordenadas cartesianas del punto P y (X,Y,Z) las coordenadas cartesianas del punto Q. Debidoa que la linea PQ es paralela al plazo z = 0, tenemos que Z = z y (X,Y ) = c(x, y), donde c es unescalar. Ahora bien, como (X,Y,Z) esta sobre el cilindro, tenemos

(259) 1 =X2 + Y 2 = c2(x2 + y2).

Por lo tanto,

(260) 1 = c2(x2 + y2).

Lo que es equivalente a

(261) c = ± 1√x2+y2

.

Si tomamos el signo positivo en la anterior ecuacion, nos da como resultado el punto Q. Finalmente,como tenemos que

(262) (X,Y,Z) = (cx, cy, z).

Reemplazando c en 261 obtenemos la expresion que deseabamos encontrar para f :

(263) f(x, y, z) = (cx, cy, z) = ( x√x2+y2

, y√x2+y2

, z).

Ahora, probaremos que la proyeccion cilındrica de Lambert es equiareal, este hecho tambien recibeel nombre de teorema de Arquımedes.

63

Teorema 6.1. La Proyeccion cilındrica de Lambert es equiareal.

Demostracion. Consideremos que la esfera unitaria menos el polo norte y el polo sur, esta compuestapor un atlas con las siguientes dos cartas: µ1 definida como

(264) µ1(θ, φ) = (cos θ cosφ, cos θ sinφ, sin θ),

con dominio

(265) U1 = (θ, φ) ∣ −π2 < θ < π2 ,0 < φ < 2π,

y µ2 dada por

(266) µ2(θ, φ) = (cos θ cosφ, cos θ sinφ, sin θ),

con dominio

(267) U2 = (θ, φ) ∣ −π2 < θ < π2 ,−π < φ < π,

La imagen de µ1(θ, φ) bajo el mapa f es

(268)

σ = f µ1 = f(µ1(θ, φ))

= f(cos θ cosφ, cos θ sinφ, sin θ) = (cos θ cosφ

√(cos θ cosφ)2+(cos θ sinφ)2

, cos θ sinφ√

(cos θ cosφ)2+(cos θ sinφ)2, sin θ)

= (cos θ cosφ

√cos2 θ(cos2 φ+sin2 φ)

, cos θ sinφ√

cos2 θ(cos2 φ+sin2 φ), sin θ) = (

cos θ cosφcos θ , cos θ sinφ

cos θ , sin θ) = (cosφ, sinφ, sin θ).

Es de destacar que el anterior calculo es exactamente igual para la carta µ2, a excepcion que losdominios cambian. Ahora veamos cada uno de los coeficientes de las primeras formas fundamentalespara µ1 y σ. Para µ1 tenemos que E1 = 1, F1 = 0 y G1 = cos2 θ. Para σ se tiene E2 = cos2 θ, F2 = 0 yG2 = 1. Por lo tanto:

(269) E1G1 − (F1)2 = E2G2 − (F2)

2.

Y note que f corresponde al mapa identidad y por lo tanto es un difeomorfismo. Podemos concluirfinalmente por teorema. que la Proyeccion cilındrica de Lambert ha de ser equiareal o en otraspalabras, preserva areas.

∎

6.4.2. Proyeccion normal del Mercator. Esta clase de proyeccion debe su nombre al cartografoGerard Kremer (1512-1594) debido a que Kremer significa mercader, donde la forma latina delnombre es Gerardus Mercator. A modo groso, la proyeccion del Mercator se construye colocandola representacion de la Tierra dentro de un cilindro, ocupando ası su volumen y generando unaimpresion en la cara interior del cilindro. Finalmente, el cilindro es cortado longitudinalmente ydesplegado para mostrar ası el mapa del globo terraqueo impreso. Un problema importante de estetipo de proyeccion es que no es isoareal, es decir aumenta el tamano de los paıses a medida que nosalejamos del ecuador. En esta proyeccion los meridianos se transforman en recta verticales, paralelas yequidistantes cortando en angulo recto a los paralelos. El espaciamiento entre estos ultimos aumentaa medida que se acercan a los polos y la relacion de proporcionalidad entre paralelos depende de lalatitud.

Definicion 6.1. En la esfera S2, las loxodromas es una familia de curvas que cortan a los meridianosen un angulo constante.

64

Figura 18. Proyeccion Normal del Mercator. (Snyder. P. J. 1984) [20].

Las loxodromas son trayectorias a lo largo de las cuales no varıa la posicion de la aguja de labrujula. Aunque dichas curvas no son los caminos mas cortos entre dos puntos en una esfera, laextension de la mayorıa determina una trayectoria en forma de espiral a uno de los polos. Ahora,procederemos a construir la proyeccion del Mercator. Dicha proyeccion debe ser tal que proyectemeridianos y paralelos a rectas ortogonales y loxodromas a segmentos de recta. Para enviar paralelosa paralelos realizamos la siguiente composicion de mapas:

(270) Y σ ∶ (−π,π) × (− 2π ,

2π)→ S2 → R2 → R3.

Donde σ son las coordenadas geograficas para la esfera unitaria R2 dadas en la ecuacion 238 yY ∶ S2 − N /S → R2 es la proyeccion a encontrar. Como la proyeccion a encontrar ha de ser unaproyeccion cilındrica normal se debe satisfacer que

(271) ζ(ϕ,λ) = (Y σ)(ϕ,λ) = (λ, f(ϕ),0).

Note que como f(ϕ,λ) = f(ϕ), entonces se tiene automaticamente que los paralelos y meridianosproyectan en rectas ortogonales. Nos faltarıa verificar que las loxodromas proyectan a segmentos derecta.

Proposicion 6.1. Sea γ una curva con parametrizacion natural contenida en la esfera S2, conuna carta σ, como la indicada en la ecuacion numero 238. γ es una loxodroma si y solo si γ(s) =σ(ϕ(s), λ(s)). Donde λ′(s) = c2/ cosϕ y ϕ′(s) = c1, para c1 y c2 constantes.

Demostracion. Supongamos γ ∶ (−ε, ε) → S2 una curva con parametrizacion natural contenida en laesfera S2, con una carta σ, como la indicada en la ecuacion numero 238. Supongamos que γ(s) =

σ(ϕ(s), λ(s)). Donde λ′(s) = c2/ cosϕ y ϕ′(s) = c1, para c1 y c2 constantes. En efecto podemos

65

escribir γ′(s) = ϕ′(s)σϕ + λ′(s)σλ. Ahora bien, supongamos que γ es una loxodroma. Por definicionesto significa γ corta los meridianos en angulo constante, o sea:

(272) c1 =<γ′,σϕ>∣γ′∣∣σϕ∣ .

y

(273) c2 =<γ′,σλ>∣γ′∣∣σλ∣

.

Como < γ′, σϕ >= ϕ′(s) < σϕ, σϕ >= ϕ′(s) y ∣ σϕ ∣= 1, debido a que E = 1, reemplazando esto en laecuacion 272, podemos concluir que ϕ′(s) = c1. Analogamente < γ′, σλ >= λ′(s) < σλ, σλ >= λ′(s) cos2ϕy ∣ σλ ∣= cosϕ, entonces

(274) c2 =λ′(s) cos2 ϕ

cosϕ .

Y por lo tanto,

(275) λ′(s) = c2cosϕ .

∎

Debido a que los meridianos y paralelos son ortogonales entre sı, se tiene que c1 y c2 son los cosenosde angulos complementarios. Por lo tanto (c1)

2 + (c2)2 = 1. Ahora bien, ya teniendo en mente todo

lo anteriormente dicho, consideremos nuestro mapa antes definido

(276) ζ(ϕ,λ) = (Y σ)(ϕ,λ) = (λ, f(ϕ),0).

Y la loxodroma γ como γ(s) = Y (λ(s), f(ϕ(s)),0). Si esta curva parametriza una recta en el planoR2, podemos escribir Aλ(s) +Bf(ϕ(s)) +C = 0 para algunas constantes A, B y C. Dicha ecuaciontiene como consecuencia la siguiente ecuacion:

(277) df(ϕ(s))λ′(s) ϕ′(s) = a.

Con a una constante arbitraria. Siguiendo la demostracion de la proposicion anterior, tenemos:

(278) a =c1

dfdϕc2

cosϕ

.

O lo que es lo mismo a decir:

(279) a = dfdϕ = b

cosϕ .

La anterior ecuacion es una ecuacion diferencial que se puede resolver por el metodo de separacionde variables obteniendo la funcion f(ϕ(s)). Veamos una expresion favorable para la constante b enla siguiente proposicion:

Proposicion 6.2. La proyeccion ζ(ϕ,λ) = (Y σ)(ϕ,λ) = (λ, f(ϕ),0) que satisface dfdϕ = b

cosϕ esconformal si y solo si b = 1 o b = −1.

Demostracion. Supongamos que tenemos la proyeccion cilındrica normal

(280) ζ(ϕ,λ) = (Y σ)(ϕ,λ) = (λ, f(ϕ),0).

Tenemos que

(281) ζλ(ϕ,λ) = (1,0,0).

66

y

(282) ζϕ(ϕ,λ) = (0, dfdϕ ,0).

Por lo tanto, los coeficientes de la primera forma fundamental son

(283)E2 =

b2

cos2 ϕ ,

F2 = 0,G2 = 1.

Por teorema, tenemos que dicha proyeccion sera conformal si y solo si existe una constante k2 talque E1 = k2E2, F1 = k2F2 y G1 = k2G2 y recordando que E1 = 1, F1 = 0, G1 = cos2ϕ, tenemos que

(284)1 = k2 b2

cos2 ϕ

cos2ϕ = k2

Que es equivalente a

(285) 1 = k2E2 = b2

Y ası b = 1 o b = −1. ∎

Ahora nuestro objetivo es encontrar las coordenadas de la proyeccion normal del Mercator. Estascoordenadas se pueden deducir resolviendo la ecuacion diferencial:

(286) dfdϕ = 1

cosϕ .

con la condicion inicial f(0) = 0. Para resolver dicha ecuacion integramos:

(287) f(ϕ) = ∫ϕ

0ds

cos s .

Para resolverla, realizamos el siguiente cambio de variables: u = sin s y du = cos sds:

(288)∫ϕ

0ds

cos s = ∫ϕ

0cos s

1−sin2 sds = ∫

sinϕ

0du

1−u2 =12 ∫

sinϕ

01

1+u +1

1−udu

= 12 log ∣ 1 + u ∣ −1

2 log ∣ 1 − u ∣= 12 log 1+u

1−u =12 log 1+sinϕ

1−sinϕ .

La anterior integral siempre tiene solucion debido a que hemos definido nuestra proyeccion tal queno incluya ninguno de los polos, ya que ası ϕ sera distinto de π/2 y −π/2. Podemos concluir que lascoordenadas de la proyeccion normal del Mercator son:

(289) ζ(ϕ,λ) = (λ, 12 log 1+sinϕ

1−sinϕ ,0).

Como hemos visto, esta aplicacion es conformal debido a que f ′(ϕ) = secϕ. Ahora bien, usandola carta σ de la ecuacion numero 238, para la esfera unitaria, tenemos las siguientes ecuacionesparametricas:

(290)x = cosϕ cosλ,y = cosφ sinλ,z = sinϕ.

Entonces

(291) λ = arc cos xcosϕ .

67

Podemos concluir finalmente que la proyeccion normal del Mercator viene dada por

(292) Y (x, y, z) = (arc cos x√1−z2

, 12 arc cos log 1+z

1−z ,0)

Figura 19. Proyeccion Transversa del Mercator. (Snyder. P. J. 1984) [20].

6.4.3. Proyeccion transversa del Mercator. La proyeccion transversa del Mercator es una proyeccioncilındrica transversal, y como ya se explico esta se origina cuando se toma el cilindro tangencial a unmeridiano de la esfera. En nuestro caso, tomamos la circunferencia maxima formada por el meridianode Greenwich y el meridiano λ = 180. Consideremos en primer lugar el esquema de la figura (8).

Nuestro objetivo es construir funciones de los ejes coordenados y(ϕ,λ) y x(ϕ,λ), de tal maneraque el mapa a construir sea conformal. Para tal fin, introducimos una nueva cuadricula construida

68

Figura 20. (Osborne. P. 2013) [14].

a partir de la cuadrıcula de (a) en la figura 20, rotada de tal manera que su ecuador coincida con lacircunferencia maxima o meridiano escogido en (b) de la figura 20. Sean ϕ′ y λ′ las coordenadas delpunto P con respecto a esta nueva cuadricula. Esto es, son los angulos PCM ′ y OCM ′ de la figura20, respectivamente. Note que λ′ es medida positivamente desde el origen O a M ′; esto es, opuestoen sentido a λ′ si se tiene en cuenta la cuadrıcula estandar de (a). Por otro lado, note que tanto x′

como y′ se relacionan con la cuadrıcula rotada en la misma manera en que los ejes fueron asignadospara la la proyeccion normal del Mercator en (a) de la figura 20. Por lo tanto, teniendo en cuentael sentido de λ′, las coordenadas de la proyeccion normal del Mercator con respecto a la cuadrıcularotada son:

(293) ζ ′(ϕ′, λ′) = (−λ′, 12 log 1+sinϕ′

1−sinϕ′ ,0).

Entonces, la relacion entre la cuadrıcula de la proyeccion normal del Mercator y la cuadrıcularotada es y = −x′ y x = y′. Obteniendo ası la formula para las coordenadas de la proyeccion conrespecto a los angulos (ϕ′, λ′):

(294) ζ(ϕ′, λ′) = (12 log 1+sinϕ′

1−sinϕ′ , λ′,0).

Para establecer una relacion entre (ϕ′, λ′) y (ϕ,λ), aplicaremos geometrıa esferica considerando lasiguiente figura:

Figura 21. (Osborne. P. 2013) [14].

Sea el triangulo NM ′P , definido por los meridianos esfericos que pasan a traves del origen, unpunto arbitrario P y un cırculo mayor WM ′PE, el cual es un meridiano de la cuadrıcula rotada.

69

La parte derecha de la figura 21 muestra un triangulo esferico para el cual las reglas de el seno y elcoseno son:

(295) sinAsina = sinB

sin b =sinCsin c .

y

(296)cosa = cos b cos c + sin b sin c cosA,cos b = cos c cosa + sin c sina cosB,cos c = cosa cos b + sina sin b cosC.

Ahora, si realizamos las siguientes identificaciones

(297)A = λ,B = π

2 ,C = β.

y

(298)a = ϕ′,b = π

2 − ϕ,c = π

2 − λ′.

Por lo tanto, utilizando las reglas del coseno y del seno mencionadas anteriormente, obtenemos losiguiente:

(299)sinϕ′ = sinλ cosϕ′,cosϕ′ = sinϕ sinλ′ + cosϕ cosλ′ cosλ,sinϕ = sinλ′ cosϕ′.

Para obtener λ′, en las dos ultimas ecuaciones se elimina cosϕ, obteniendo:

(300) tanϕ′ = secλ tanϕ.

Podemos concluir que las las coordenadas de la proyeccion transversa del Mercator con respectoal meridiano de Greenwich son

(301) ζ(ϕ′, λ′) = (12 log 1+sinλ cosϕ

1−sinλ cosϕ , tan−1(secλ tanϕ),0).

Note que si se desean dichas coordenadas con respecto a otro meridiano, se toma λ = λ − λ0.

6.5. Mapas de proyeccion conica. El material de referencia utilizado en esta seccion son [14],[16], [19] y [15]. Esta clase de proyecciones se dividen en tres clases. Las proyecciones conicas son lasque proyectan la superficie esferica sobre un cono; es decir, el cono es una superficie de proyeccionintermedia entre la esfera y el plano euclidiano. Estas clases de proyecciones se dividen en normales,transversales u oblicuas. Las proyecciones conicas normales, denominadas tambien ecuatoriales oregulares ocurren cuando el eje de rotacion de la tierra coincide con el eje de rotacion del cono. Porotro lado, en las proyecciones conicas transversales el eje del cono es perpendicular al eje de la Tierraque se interseca con el en el plano del ecuador. Finalmente, si el eje del cono tiene otra posicion en elespacio y coincide o es perpendicular al eje de la esfera, entonces la proyeccion se llama proyeccionconica oblicua. Supongamos la esfera unitaria con centro O y el cono con vertice A, como en la figura22. Dicho cono, es tangente a la esfera unitaria, cuya tangente a la esfera sobre una circunferenciapasa a traves del punto T . Una proyeccion conica consiste en extender para cada punto S, el segmento

70

Figura 22. Proyeccion Conica. Weisstein, Eric W. Conic Projection.”De MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ConicProjection.html

de recta OS hasta que interseca al cono en el punto C. Para un cono con vertice A y altura h sobreel origen, el angulo desde el eje z en el que el cono es tangente se encuentra de la siguiente manera:

(302) cos θ = 1h ⇒ θ = arc cos 1

h = sec−1 .

Por otro lado, el radio de la circunferencia de tangencia y la altura sobre el origen en la cual estaesta localizada se encuentra de la siguiente manera:

(303) sin θ = r1 = r ⇒ r = sin θ = sin(arc cos 1

h).

Pero recordermos que

(304) sin(arc cosx) =√

(1 − x2)

por lo tanto,

(305) sin θ = r1 = r ⇒ r = sin θ = sin(arc cos 1

h) =

√

(1 − 1h2 ) =

√h2−1h .

Por otro lado, note que

(306) cos θ = z1 = z ⇒ z = cos(arc cos 1

h) =1h .

Ahora bien, si tomamos como la colatitud del punto S a φ′ = π2 −φ, entonces la longitud l del vector

OC es:

(307) cos(θ − φ′) = 1l .

Entonces,

(308) l = 1cos(θ−φ′) =

1cos(arc cos 1

h+φ−π

2)= 1

sin(φ+arc cos 1h)= csc(φ + arc cos 1

h).

Finalmente, podemos concluir que las ecuaciones parametricas de la proyeccion que que envıanun punto perteneciente a la esfera unitaria con coordenadas (φ,λ) como en las indicadas en la cartadada en la ecuacion 238, a un punto en el cono aplastado son respectivamente:

(309) x = csc(φ + arc cos 1h) cosφ sin λ√

h2−1.

71

y

(310) y = csc(φ + arc cos 1h) cosφ cos λ√

h2−1.

Figura 23. Proyeccion conica equi-areal de Albers.(Snyder. P. J. 1984) [20].

6.5.1. Proyeccion conica equi-areal de Albers. En esta seccion se utilizara el material bibliograficocon referencia [15]. En la proyeccion conica equi-areal de Albers el cono es tangente a modelo esfericode la Tierra. El eje del cono coincide con el eje polar de la esfera y la transformacion entre estasdos superficies, ası como la transformacion inversa son obtenidas como sigue. Recordemos que loscoeficientes de la primera forma fundamental de la esfera con radio R son

(311)E1 = R2,G1 = R2 cos2 θ.

Analogamente, los coeficientes de la primera forma fundamental en coordenadas polares para elcono son:

(312)E2 = 1,G2 = ρ2.

Tenemos que la relacion entre ambas primeras formas fundamentales esta dada por:

(313) E1G1 = E2G2det(∂u∂φ

∂u∂λ

∂v∂φ

∂v∂λ

) .

O sea

(314) R4 cos2 φ = ρ2det(∂ρ∂φ

∂ρ∂λ

∂θ∂φ

∂θ∂λ

) .

Ahora imponemos las siguientes condiciones:

(315) ρ = ρ(φ).

Y

(316) θ = c1λ + c2.

72

Donde c1 es la constante del cono, vista en capıtulos anteriores. Si se impone la condicion de queθ = 0 cuando =0, entonces c2 = c1λ0 y la ecuacion 6.5.1 toma la forma:

(317) θ = c1(λ − λ0).

Ahora bien, desarrollando las derivadas parciales de la matriz de Jacobi, se tiene de la ecuacion315 que

(318) ρλ = 0.

De la ecuacion ,

(319) θφ = 0.

Y

(320) θλ = c1.

Substituyendo las ecuaciones 318, 319 y 320 en la ecuacion 314 y tomando el negativo de la raızcuadrada, entonces simplificando los resultados:

(321) R4 cos2 φ = ρ2det(∂ρ∂φ 0

0 c1) .

Es decir,

(322) R4 cosφ = −ρc1∂ρ∂φ .

El signo menos es debido a que un incremento en φ corresponde a un decaimiento de ρ. Convirtiendola ecuacion 322 en una ecuacion diferencial ordinaria e integrando, tenemos:

(323) ρ cosφ = −R2

c1cosφdφ.

Por lo tanto,

(324) ρ2 = −2R2

c1sinφ + c3.

En la ecuacion 324, c1 = sinφ0 y c3 es obtenido de las condiciones de frontera. recordando laecuacion 122, tenemos que

(325) ρ0 = R cotφ0.

Substituyendo la constante del cono en la ecuacion 324 y evaluando en φ = φ0 obtenemos

(326) ρ2 = −2R2 sinφsinφ0

+ c3.

Entonces

(327) ρ20 = −2R2 + c3.

Por lo tanto,

(328) c3 = ρ0 + 2R2

Substituyendo la ecuacion 325 en la ecuacion 328, se tiene

(329) c3 = R2 cot2 φ0 + 2R2 = R2(2 + cot2 φ0).

73

Substituyendo la ecuacion 329 en la ecuacion 326, simplificando y tomando la raız cuadrada:

(330)ρ2 = R2(2 + cot2 φ0 − 2 sinφ

sinφ0) = R2(2 sin2 φ0

sin2 φ0+

cos2 φ0sin2 φ0

− 2 sinφ sinφ0sin2 φ0

)

= R2

sin2 φ0(1 + sin2 φ sinφ0).

Por lo tanto,

(331) ρ = Rsinφ0

(1 + sin2 φ0 − 2 sinφ sinφ0)1/2.

Recordando la ecuacion 127, tenemos que la relacion entre θ y λ es

(332) θ = ∆λ sinφ0.

Las ecuaciones 331 y 332 usadas con la ecuacion nos dan las ecuaciones cartesianas para el mapeo:

(333)x = S[ρ sin(∆λ sinφ0)].y = S[R cotφ0 − cos(∆λ sinφ0)].

Donde S es un factor de escala. El origen de la proyeccion tiene coordenadas φ0 y λ0, donde φ0 esla latitud de la tangencia del cono. El meridiano central tiene longitud 0

6.6. Mapas de proyeccion acimutal. En esta seccion se usa el material bibliografico, con re-ferencia [20] y [15]. Los mapas de proyeccion acimutal, tambien denominados, mapas de proyeccioncenitales o mapas de proyeccion plana, son construidos mediante una transformacion directa entre elplaneta Tierra (esfera) y el plano euclidiano. Estas clases de proyecciones pueden ser clasificadas deacuerdo al punto de contacto del plano con la superficie esferica, las cuales son esquematizadas en lafigura 24. En los mapas de proyeccion acimutal polares, el plano es tangente a la esfera en cualquierade sus polos. En los mapas de proyeccion acimutal ecuatoriales, el plano es tangente a la esfera encualquier punto del ecuador. Y finalmente, en los mapas de proyeccion acimutal oblicuos, el plano estangente a la esfera en cualquier punto excepto en los polos y en el ecuador. En la figura 24, T es elpunto de tangencia y la lınea OT es aquella que une el centro de la esfera con el punto de tangencia.Esta linea es perpendicular al plano cartografico.

Figura 24. Tipos de proyecciones acimutales. (Pearson. F. II. 1990) [15].

74

Figura 25. Diferentes vistas de la Proyeccion Estereografica. (Snyder. P. J. 1984) [20].

6.6.1. Proyeccion estereografica. Considere en primer lugar, el caso mas sencillo: la esfera unitariaen el espacio tri-dimensional:

(334) S2 = (x, y, z) ∈ R3 ∣ (x)2 + (y)2 + (z)2 = 1 .

Proyeccion estereografica con respecto al polo norte:

Sea N = (0,0,1) el polo norte de dicha esfera. La proyeccion estereografica con respecto alpolo norte, es una funcion

(335) fN ∶ R2 → S2 − N.

75

que mapea cualquier punto A = (x, y,0) sobre el plano z = 0 a un punto B en la esfera. AquıB es el punto contenido en la recta que une los puntos N y A.

Figura 26. Proyeccion estereografica con respecto al polo norte

Ahora bien, procedamos a construirla: si P = (u, v,0) es cualquier punto en el plano xy,dibujemos una linea recta que pase por el punto P y el polo norte N = (0,0,1). Esta lıneainterseca la esfera en un punto; llamemos a este punto Q. Cada punto Q de la esfera surgemediante este procedimiento, como un punto de interseccion, a excepcion del polo norte mismo.Denotemos a los vectores posicion de los puntos P , Q y N como p, q y n respectivamente. Esclaro que el vector NQ = q −n es paralelo al vector NP = p −n. Luego existe un escalar αtal que

(336) q −n = α(p −n).

Lo que es equivalente a decir que:

(337) q = α(p −n) +n.

Ahora bien, note que n = ⟨0,0,1⟩ y p = ⟨u, v,0⟩, reemplazando esto en la ecuacion anterior,obtenemos una ecuacion vectorial para la esfera tri-dimensional:

(338)q = α(⟨u, v,0⟩ − ⟨0,0,1⟩) + ⟨0,0,1⟩ ⇔ q = α(⟨u, v,−1⟩) + ⟨0,0,1⟩⇔ q = ⟨αu,αv,−α⟩ + ⟨0,0,1⟩ ⇔ q = ⟨αu,αv,1 − α⟩.

Ahora bien, como Q esta en la esfera, este punto debe satisfacer la ecuacion de esta: x2 +

y2 + z2 = 1 y por lo tanto, aplicando la ecuacion anterior se debe dar que:

(339)α2u2 + α2v2 + (1 − α)2 = 1 ⇔ α2u2 + α2v2 + (1 − 2α + α2) = 1⇔ α2(u2 + v2 + 1) − 2α + 1 = 1 ⇔ (u2 + v2 + 1)α2 − 2α − 0 = 0.

Aplicando la ecuacion cuadratica a la ultima ecuacion, obtenemos que tiene dos posiblesraıces. A saber, α = 0 que corresponde a el polo norte de la esfera pues nos darıa q − n =

α(p−n) = 0(p−n) = 0 o sea q = n. Y la otra raız serıa α = 2u2+v2+1 . Finalmente, reemplazando

esta ultima raız en q = ⟨αu,αv,1 − α⟩ obtenemos:

(340) q = ⟨ 2uu2+v2+1 ,

2vu2+v2+1 ,

u2+v2−1u2+v2+1⟩.

76

Denotemos el lado izquierdo de la ecuacion anterior por σ1(u, v), y demostremos que σ1 esuna parametrizacion o carta de toda la esfera menos el polo norte. En primer lugar, encontremosla aplicacion inversa de σ1. De la ecuacion vectorial de la esfera, note que

(341)x = αu,y = αv,z = 1 − α.

Eliminando el parametro α de estas ecuaciones tenemos:

(342)xy =

uv ,

y1−z = v.

Utilizando este sistema de ecuaciones para hallar u y v en terminos de x y y obtenemos losiguiente:

(343)u = x

1−z ,v = y

1−z .

Por lo tanto, tenemos que la aplicacion inversa de σ1 esta dada por:

(344) (σ1)−1(x, y, z) = ⟨x, y⟩ = ⟨ x

1−z ,y

1−z ⟩.

Proyeccion estereografica con respecto al polo sur: Sea S = (0,0,−1) el polo sur de laesfera en cuestion. La proyeccion estereografica con respecto al polo sur, es una funcion

(345) fS ∶ R2 → S2 − S.

que mapea cualquier punto A′ = (x, y,0) sobre el plano z = 0 a un punto B′ en la esfera.B′ es el punto contenido en la recta que une los puntos S y A′. Ahora bien, procedamos aconstruirla: si P ′ = (u′, v′,0) es cualquier punto en el plano xy, dibujemos una linea recta quepase por el punto P ′ y el polo norte S = (0,0,−1). Esta lınea interseca la esfera en un punto;llamemos a este punto Q′. Denotemos a los vectores posicion de los puntos P ′, Q′ y S como p′,q′ y s respectivamente. Es claro que el vector SQ′ = q′ − s es paralelo al vector NP ′ = p′ − s.Luego existe un escalar ρ tal que

(346) q′ − s = ρ(p′ − s).

Lo que es equivalente a decir que:

(347) q′ = ρ(p′ − s) + s.

Ahora bien, note que s = ⟨0,0,−1⟩ y p′ = ⟨u′, v′,0⟩, reemplazando esto en la ecuacion anterior,obtenemos una ecuacion vectorial para la esfera tri-dimensional:

(348)q′ = ρ(⟨u′, v′,0⟩ − ⟨0,0,−1⟩) + ⟨0,0,−1⟩ ⇔ q′ = ρ(⟨u′, v′,1⟩) + ⟨0,0,−1⟩⇔ q′ = ⟨ρu′, ρv′, ρ⟩ + ⟨0,0,−1⟩ ⇔ q′ = ⟨ρu′, ρv′, ρ − 1⟩.

Ahora bien, como Q′ esta en la esfera, este punto debe satisfacer la ecuacion de esta: x2 +

y2 + z2 = 1 y por lo tanto, aplicando la ecuacion anterior se debe dar que:

(349)ρ2(u′)2 + ρ2(v′)2 + (ρ − 1)2 = 1 ⇔ ρ2(u′)2 + ρ2(v′)2 + (ρ2 − 2ρ + 1) = 1⇔ ρ2((u′)2 + (v′)2 + 1) − 2ρ + 1 = 1 ⇔ ((u′)2 + (v′)2 + 1)ρ2 − 2ρ − 0 = 0.

Aplicando la ecuacion cuadratica a esta ultima ecuacion, obtenemos que tiene dos posiblesraıces. ρ = 0 que corresponde a el polo sur de la esfera, ya que q′ − s = ρ(p′ − s) = 0(p′ − s) = 0

77

o sea q′ = s. Y la otra raız serıa ρ = 2(u′)2+(v′)2+1 . Finalmente, reemplazando esta ultima raız en

q′ = ⟨ρu′, ρv′, ρ − 1⟩ obtenemos:

(350) q′ = ⟨ 2u′(u′)2+(v′)2+1 ,

2v′(u′)2+(v′)2+1 ,

1−(u′)2−(v′)2(u′)2+(v′)2+1⟩.

Denotemos el lado izquierdo de la ecuacion anterior por σ2(u, v). Esta es la proyeccionestereografica con respecto al polo sur.

6.6.2. Proyeccion equidistante acimutal. De manera general, la proyeccion equidistante acimutalpreserva distancias desde un punto x0 y angulos desde un punto x0. Si tomamos x0 = (0,0,1) el polonorte y escribimos la esfera en las siguientes coordenadas polares, en los dominios que hemos definidopara la esfera a lo largo de este trabajo:

(351) X(u1, u2) = (sinu1 cosu2, sinu1 sinu2, cosu1).

Donde u1 es la distancia desde el polo norte y u2 es la longitud. Los vectores tangentes son:

(352)X1(u1, u2) = (cosu1 cosu2, cosu1 sinu2,− sinu1),X2(u1, u2) = (− sinu1 sinu2, sinu1 cosu2,0).

Por lo tanto, la metrica gij =X i ⋅Xj tiene como consecuencia que:

(353) (g1,1 g1,2

g2,1 g2,2) = (

1 00 sin2 u1) .

La proyeccion equidistante acimutal da las coordenadas polares del plano:

(354)v1 = u1 cosu2,v2 = u1 sinu2.

6.7. Proyecciones o mapas de mınima distorsion. En esta seccion se propone una definicioncuantitativa del termino distorsion, para estudiar el problema matematico de escoger un metodo demapeo que minimice la distorsion. En adelante suponemos que la Tierra es una esfera perfecta. Seutiliza la referencia bibliografica [12].

Definicion 6.2. Sean S la esfera de radio r, en el espacio euclidiano tres dimensional. U es cualquiersubconjunto no degenerado. el termino no degenerado hace referencia a que U debe contener al menosdos puntos distintos. E denotara el plano euclidiano.

En adelante se utilizan los terminos de la definicion 6.2.

Definicion 6.3. Un mapa de proyeccion f definido en un dominio U , es una funcion que asigna acada punto x perteneciente a U , algun punto f(x) del plano euclidiano E.

Definicion 6.4. Sea dS(x, y) la distancia geodesica entre dos puntos x y y de la esfera S. Pordefinicion, esta es igual a la longitud del arco mas pequeno en un circulo mayor, que une los puntosx y y. La distancia euclidiana entre dos puntos a y b de un plano E se denotara analogamente comodE(a, b).

Definicion 6.5. La escala de un mapa de proyeccion f con respecto a un par de puntos distintos xy y en el dominio U es definido como la razon

(355) dE(f(x),f(y))dS(x,y)

= s(x, y).

78

Figura 27. Proyeccion equidistante acimutal. Figura A: proyeccion polar. Figura B:proyeccion ecuatorial. Figura C: proyeccion oblicua. (Pearson. F. II. 1990). [15].

Idealmente nos gustarıa que la escala sea la misma para todos los puntos x y y en U , pero estousualmente no es posible. Por lo tanto, se utilizaran los siguientes conceptos:

Definicion 6.6. Considerese el siguiente conjunto:

(356) M = s(x, y) ∶ (x, y) ∈ U y x ≠ y.

El ınfimo inf(M) = σ1 se denomina mınima escala y el supremo sup(M) = σ2 se llama maximaescala.

En otras palabras, σ1 y σ2 son las mejores constantes posibles tal que para todo para ordenado(x, y) ∈ U , se cumple que:

(357) σ1 ≤ s(x, y) ≤ σ2.

O sea,

(358) σ1 ≤dE(f(x),f(y))

dS(x,y)≤ σ2.

79

Lo que es equivalente a

(359) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y)

Para medir la extension en la cual la escala falla en ser constante a lo largo de todos los puntos(x, y) pertenecientes a la esfera S, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 6.7. La distorsion de un mapa de proyeccion f se define como el logaritmo natural

(360) δ = log(σ2/σ1).

Por lo tanto 0 ≤ δ ≤∞, donde δ es finito si y solo si tanto σ1 y σ2 son positivos y numeros finitos.Si δ es finito, note que la funcion f es continua y uno a uno. En lo que viene, se busca unmapa deproyeccion con la mınima distorsion posible.

Definicion 6.8. Un mapa de proyeccion con distorsion mınima f0, definido en el dominio U ; es unmapa de proyeccion cuya distorsion δ0 es menor o igual que la distorsion de todo mapa de proyecciondefinido en el mismo dominio.

Lema 6.2. Sea U un subconjunto de la esfera S y sea U la clausura topologica de U . Cualquier mapade proyeccion f con dominio U con distorsion finita (δ < ∞) se puede extender de manera unica aun mapa de proyeccion f con dominio U con la misma distorsion δ.

Demostracion. Aplicando la definicion 2.23 de continuidad uniforme y recordando la desigualdad358, tenemos que para todo para ordenado (x, y) ∈ U :

(361) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y).

O sea, si

(362) dS(x, y) ≤dE(f(x),f(y))

σ1= δ ⇒ dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y) = ε.

Lo que es equivalente a decir que f es uniformemente continua. Ahora aplicando este hecho y elteorema de extension 2.13, entonces f extiende a una funcion continua

(363) f ∶ U Ð→ E.

Es claro que f tambien va a satisfacer la desigualdad 358.∎

Ahora, tenemos el siguiente importante teorema preliminar :

Teorema 6.3. Para todo conjunto no degenerado de puntos U ⊂ S, existe un mapa de proyeccioncon distorsion mınima f0 con dominio U .

Demostracion. Dado un conjunto fijo U , consideremos todos los posibles mapas de proyeccion f condominio U . Sea δ0 el ınfimo de las correspondientes distorsiones δ(f), esto es:

(364) δ0 = infδ(f) ∶ f es un mapa de proyeccion con dominio U.

Asumiendo que δ0 es finito, el objetivo es construir un mapa de proyeccion f0, cuya distorsion seaprecisamente δ0. Para tal proposito, escojase una sucesion de mapas de proyecciones f1, f2, f3, ... condominio U , tal que la correspondiente sucesion de distorsiones δ1, δ2, δ3, ... tiende a δ0. Asumiremosque cada fi es escogido de tal manera que tenga por escala maxima 1 y que la imagen fi(U) contengael origen del plano euclidiano E. Sea el siguiente subconjunto denso contable de U :

(365) U∗ = x1, x2, x3, ......

80

Consideremos la siguiente sucesion de puntos:

(366) f1(x1), f2(x1), f3(x1), ......

Recordando que todos los arcos entre puntos antipodales en un cırculo de radio r tienen comolongitud de curva la mitad de la circunferencia en cuestion, o sea πr; se tiene que todos los puntosde la sucesion en la ecuacion 366 estan a una distancia del origen del plano E, menor o igual a πr.Debido a esto y por la definicion 2.12, tenemos que la sucesion en cuestion es una sucesion acotaday por teorema 2.7 podemos concluir que contiene una subsucesion convergente. Esto es, existe unconjunto finito I1 de numeros naturales tal que la subsucesion de puntos fi(x1)i∈I1 converge a unpunto a1 ∈ E, es decir:

(367) fi(x1)i∈I1 Ð→ a1 ∈ E.

De manera similar, se puede encontrar un subconjunto infinito I2 ⊂ I1 tal que el lımite

(368) lımfi(x2) ∣ i→∞ i ∈ I2.

existe. Llamemos a este lımite a2. Continuando inductivamente, podemos encontrar una funcionf con dominio U∗ al plano, definida de la siguiente manera:

(369) f(xj) = aj = lımfi(xj) ∣ i→∞ i ∈ Ij.

Recordemos la siguiente desigualdad

(370) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y).

La cual, en este caso es equivalente a

(371) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ 1 dS(x, y).

O sea

(372) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ dS(x, y).

Pero aplicando la definicion 6.7 y el hecho que σ2 = 1, se tiene

(373) δi = log(σ2σ1 ) = log( 1σ1

).

Pero por propiedades del logaritmo natural, en especıfico de la regla del recıproco, tenemos:

(374) δi = log( 1σ1

) = − logσ1 ⇒ −δi = logσ1 ⇒ e−δi = elogσ1 ⇒ e−δi = σ1.

Aplicando 372 y 374 a nuestro caso en particular, podemos concluir que:

(375) e−δidS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ dS(x, y).

En la ecuacion 376, tomando lımite cuando i tiende al infinito a traves de un apropiado Ij tal quepara todo (x, y) ∈ U∗

(376) e−δ0dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ dS(x, y).

Luego, f es un mapa de proyeccion con dominio U∗ y distorsion δ0. Ahora aplicando el lema 6.2,se tiene que podemos extender f a todo en todo el conjunto U con distorsion δ0.

∎

81

La prueba del teorema 6.3 falla en responder las siguientes preguntas importantes: (1) ¿Es elmapa de distorsion mınima f0 unico?; (2) ¿f0 es diferenciable?; (3) ¿como se puede construir f0, o siquiera una aproximacion a dicho mapa? y (4) ¿como podemos estimar la mınima distorsion posibleδ0 asociada a un conjunto U?. Tales preguntas se pueden responder para un caso muy particular deregion, a saber la region acotada por un circulo en S.

Definicion 6.9. Dado un punto fijo x0 ∈ S. Dα denota el disco esferico cerrado, centrado en x0 conradio geodesico rα. Este consiste en todos los puntos x ∈ S tal que ds(x,x0) ≤ rα, con 0 ≤ α ≤ π.

Nuestro objetivo es probar que existe un unico mapa de proyeccion f0 con distorsion mınimadefinido en el dominio Dα y mostrar que este mapa es suave y que su distorsion viene dada por:

(377) δ0 = log(α/sinα).

Esta clase de proyeccion con distorsion mınima recibe el nombre de proyeccion equidistante aci-mutal. Por definicion, f0 lleva cada cırculo mayor que pase por el punto x0 a una lınea recta en elplano euclidiano. El angulo entre dos cırculos mayores es igual al angulo entre las dos correspondien-tes lıneas y f0 lleva cada cırculo C centrado en x0 a un cırculo f0(C) centrado en f0(x0). El radiode f0(C) es proporcional al radio geodesico. Esto significara que f0 es el mapa inverso del mapaexponencial, y como consecuencia f0 es infinitamente diferenciable. Si denotamos el area de la esferacomo A(S) y el area del disco esferico cerrado como A(Dα); la formula 377 muestra que la distorsionδ0 es pequena para valores pequenos, siendo asindoticamente igual a

(378) δ0 →α2

6 ∼ 23 A(Dα)/A(S).

Cuando α tiende a cero y δ0 →∞ cuando α tiende a π.

Lema 6.4. Sea Dα disco esferico cerrado como en la definicion 6.9. La distorsion δ para cualquiermapa de proyeccion f con dominio Dα satisface la siguiente desigualdad

(379) δ ≥ log(α/sinα).

Demostracion. Asumiremos que f tiene distorsion finita, esto es que δ = log(σ1/σ2) <∞. Recordandola desigualdad 361, tenemos equivalentemente que

(380) dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y).

Por lo tanto, como σ2 ∈ R entonces f es Lipschitz continua por el ejemplo 2.4. Luego f es uni-formemente continua y como consecuencia continua. Mas aun, f es inyectiva. Sea Cα la frontera deldisco Dα. En efecto, segun la definicion 3.16 se tiene que f(Cα) es una curva cerrada simple. Paraseguir con la demostracion del presente lema, demostraremos en primer lugar dos afirmaciones:

Afirmacion 6.4.1. Todo rayo que surge del punto f(x0) en el plano euclidiano E, interseca la curvacerrada simple f(Cα) al menos una vez.

Demostracion. Por los teoremas 3.4 y 3.5 tenemos que la curva cerrada simple f(Cα) divide el planoen dos componentes: E − f(Cα) = E1⋃E2. Una de estas componentes, digamos E1, esta acotada yla segunda no. La componente acotada E1 es la imagen, bajo la funcion continua inyectiva f delinterior del disco Dα. En particular se sigue que el punto f(x0) debe pertenecer a la componenteacotada E1. Por lo tanto cada rayo que sale de f(x0) debe cruzar f(Cα). De lo contrario ella estarıacompletamente al interior del conjunto acotado E1 , lo cual es imposible ya que por definicion losrayos no son acotados. Queda entonces probada la afirmacion en cuestion. ∎

82

Ahora bien, como la curva Cα en S tiene una longitud finita 2πrsinα, se sigue de la condicion deLipschitz que

(381) dE(f(x), f(y)) ≤ σ2dS(x, y).

O sea, si L es la longitud de f(Cα) entonces:

(382) L ≤ 2πσ2rsinα.

Es decir que la curva f(Cα) tiene una longitud finita L. Ahora bien, si asumimos la siguientecondicion de Lipschitz :

(383) σ1dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)).

Como cada punto de Cα tiene una distancia geodesica rα de x0, se puede decir que para todo puntode f(Cα) se tiene una distancia euclidiana al punto f(x0) mayor o igual que σ1rα. Por lo tanto, f(Cα)es una curva cerrada simple con longitud finita L, la cual esta afuera de un disco abierto D∗ de radioσ1rα en el plano euclidiano, y corta todo rayo que pase por el centro de este disco.

Afirmacion 6.4.2. El anterior comentario, implica que L ≥ 2πσ1α. Donde la igualdad se da si ysolo si f(Cα) = ∂D∗.

Demostracion. Tomemos la curva f(Cα) y cortemosla por una linea que pasa por el centro de D∗.Escojase los puntos de interseccion a y b, como los que estan en lados opuestos del disco abierto D∗.Sea A alguno de los arcos de f(Cα) formado por esta maniobra, con extremos a y b. Introducimoscoordenadas polares ρ y θ en D∗. Asumamos primero que el arco A puede ser descrito en terminosdel parametro t por las funciones suaves

(384)ρ = ρ(t).θ = θ(t).

Sabemos de capıtulos anteriores, que la longitud de arco con ecuaciones polares de la funcionr = f(θ), con a ≤ θ ≤ b viene dada por:

(385) L = ∫b

a (r2 + (drdθ)

2)1/2dθ.

Aplicando este hecho a nuestro caso, tenemos que la longitud de arco de A viene dada por lasiguiente integral

(386) L(A) = ∫b

a (ρ2 + (

dρdθ)

2)1/2dθ.

Pero dθ = dθdtdt, entonces la anterior integral es equivalente a

(387) L(A) = ∫b

a (ρ2(dθdt )

2 + (dρdt )

2)1/2dt.

Ahora bien, sabemos que

(388) ρ ≥ σ1rα,

Y denotando las derivadas con respeto a t por puntos, se tiene

(389) ∫b

a ∥θ∥dt ≥ ∥ ∫b

a θdt∥.

Por lo tanto,

(390) L(A) = ∫1

0 (ρ2(dθdt )2 + (

dρdt )

2)1/2dt ≥ ∫1

0 ρ∥dθdt ∥dt ≥ σ1rα∥ ∫

1

0 θdt∥ ≥ σ1rαπ.

83

Podemos concluir que

(391) L(A) ≥ πσ1rα⇒ L = 2L(A) ≥ 2πσ1rα.

Analogamente, si el arco a analizar no es una curva suave (diferenciable a trozos), la anteriordesigualdad puede ser obtenida por un argumento de aproximacion. En efecto, supongamos que Ano es suave a trozos, entonces para cada ε > 0 se puede aproximar A por un camino poligonal A∗

ε dea a b. Dicho camino poligonal A∗

ε de a a b esta afuera del disco con radio σ1rα − ε y satisface que:

(392) L(A) ≥ L(A∗ε ) ≥ π(σ1rα − ε).

Por lo tanto, en la anterior desigualdad haciendo tender ε a cero, se obtiene:

(393) L(A) ≥ πσ1rα.

Ahora supongamos que L = 2πσ1rα y veamos que f(Cα) = ∂D∗; es decir la frontera de D∗.Cualquier pedazo de A que tiene una distancia al centro del disco D∗, mayor que σ1rα debe ser unsegmento de linea recta. De lo contrario, reemplazando una pequena parte de A por una lınea rectase podrıa disminuir la longitud de A, lo cual es imposible. Cualquier segmento de lınea maximal A0

perteneciente a A, debe llevar uno de los puntos finales de A; a saber a o b, a un punto de la fronterade D∗. La unica otra posibilidad serıa los puntos terminales de A0 estuvieran en el cırculo, lo cuales imposible. Por lo tanto, A consiste en un segmento de linea de a al circulo, seguido por un arcode cırculo y luego seguido por un segmento de lınea. De geometrıa elemental sabemos que la mınimalongitud πσ1rα es alcanzada si y solo si A es un semi circulo. Entonces, L = 2πσ1rα si y solo si f(Cα)es la frontera de D∗.

∎

Ahora, combinando la afirmacion 6.4.2 con la desigualdad L ≤ 2πσ2r sinα obtenemos:

(394) 2πσ1rα ≤ 2πσ2r sinα,

o

(395) αsinα ≤ σ2

σ1.

Lo que es equivalente a decir que:

(396) log( αsinα) ≤ log(

σ2σ1

) = δ.

O Sea

(397) δ ≥ log( αsinα).

Y queda ası demostrado el lema 6.4. ∎

Lema 6.5. Si la distorsion de f es igual a log( αsinα), entonces f es la proyeccion equidistante aci-

mutal.

Demostracion. Supongamos que la distorsion de f es precisamente δ = log( αsinα). Entonces de acuerdo

a la afirmacion 6.4.2, f(Cα) debe ser igual al cırculo de radio

(398) σ1rα = σ2rsinα.

Centrado en f(x0). Por lo tanto la imagen f(Dα) debe ser precisamente el disco cerrado, acotadopor el cırculo en cuestion. Consideremos ahora un punto arbitrario x perteneciente a Dα. Construimosun segmento de un cırculo mayor, que pase por el punto x y que una x0 al punto x de la frontera Cαde Dα. Si c denota la distancia geodesica ds(x0, x), note que la distancia geodesica de x a x es igual

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a rα − c de x, y una distancia geodesica estrictamente mayor a rα − c. Esto es, d(x,x) = rα − c y ladistancia geodesica de x a cualquier r otro punto x′ de Cα es d(x,x′) > rα− c. Usando la desigualdad383 y la construccion anterior, tenemos que la imagen f(x) debe satisfacer las siguientes ecuaciones:

(399) dE(f(x), f(x0)) < σ1c,

(400) dE(f(x), f(x)) < σ1(rα − c),

(401) dE(f(x), f(y)) > σ1(rα − c), para cualquier otro punto f(y) ∈ f(Cα).

En efecto, existe un unico punto en el disco f(Dα) que satisface las tres condiciones listadasanteriormente. Dicho punto es aquel que esta a una distancia σ1c a lo largo del segmento de lıneaque une f(x0) y f(x). Por lo tanto, el mapa de proyeccion f con dominio Dα esta completamentedeterminado por los puntos frontera de Dα. Finalmente, basta verificar que f mapea el cırculo Cα alcırculo f(Cα), mediante una trasformacion que multiplica todas las longitudes por un factor constanteσ2. Supongamos que cortamos Cα en dos arcos A y A′ tal que, si denotamos las longitudes de arcocon L, tenemos L(A)+L(A′) = L(Cα) = 2πr sinα. Recordando nuevamente la condicion de Lipschitz :

(402) σ2dS(x, y) ≥ dE(f(x), f(y)).

Si los puntos terminales de los arcos A y f(A) son a, b y f(a), f(b) respectivamente (y analogamentecon los arcos A′ y f(A′) ), aplicando la desigualdad anterior tenemos

(403)σ2dS(a, b) ≥ dE(f(a), f(b)),σ2dS(a′, b′) ≥ dE(f(a′), f(b′)).

Lo que es equivalente a decir

(404)L(f(A)) ≤ σ2L(A),L(f(A′)) ≤ σ2L(A′).

Pero ya hemos probado que

(405) L(f(A)) +L(f(A′)) = L(f(Cα)) = L.

O sea que

(406) L(f(A)) +L(f(A′)) = 2πσ2r sinα = σ2(2πr sinα) = σ2L(Cα).

(407) L(f(A)) +L(f(A′)) ≤ σ2(L(A) +L(A′)).

Es decir,

(408) L(f(A)) +L(f(A′)) ≤ σ2L(Cα).

Lo cual es una contradiccion, por lo tanto las desigualdades de la ecuacion 404 han de ser igualdadesy hemos terminado nuestra lema.

∎

Lema 6.6. La proyeccion equidistante acimutal con dominio Dα tiene una distorsion δ = log( αsinα).

85

Demostracion. Centrando el disco esferico Dα en el polo norte, usaremos las coordenadas esfericas0 ≤ θ ≤ 2π para la longitud y 0 ≤ ϕ ≤ α para la colatitud. Supongamos que f mapea el puntocon colatitud ϕ y longitud θ al punto en el plano con coordenadas cartesianas (rϕ cos θ, rϕ sin θ).Denotando las derivadas con respecto a t, tenemos que la longitud de cualquier curva suave ϕ = ϕ(t),θ = θ = θ(t) en el disco Dα, es dada por la integral:

(409) L = ∫

√ϕ2 + θ2 sin2ϕ dt.

Y la longitud de curva correspondiente en f(Dα) es

(410) L′ = ∫√ϕ2 + θϕ2 dt.

Pero ϕ/ sinϕ es una funcion monotona decreciente de ϕ, entonces tenemos:

(411) sinϕ ≤ ϕ ≤ ( αsinα) sinϕ.

De lo que sigue facilmente

(412) 2πr sinϕ ≤ 2πrϕ ≤ ( αsinα)2πr sinϕ.

Lo que es equivalente a decir que

(413) L ≤ L′ ≤ ( αsinα)L.

Ahora bien, teniendo en cuenta la desigualdad 413 queremos probar que para todo (x, y) ∈ Dα setiene que

(414) dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)) ≤ ( αsinα)ds(x, y).

En efecto, esto implicara que δ ≤ logα/ sinα. Despues, aplicando el lema 6.4 demostrarıamosfinalmente que δ = logα/ sinα. En primer lugar, probemos que dS(x, y) ≤ dE(f(x), f(y)). Sean elconjunto convexo Dα y dos puntos f(x) y f(y) pertenecientes a Dα. Unamos los puntos f(x) yf(y) por un segmento de lınea L′ = dE(f(x), f(y)). La curva correspondiente en Dα tendra longitudL ≥ dS(x, y). Debido a que L ≤ L′, obtenemos lo siguiente:

(415) dE(f(x), f(y)) = L′ ≥ L ≥ dS(x, y).

Lo anterior, es equivalente a

(416) dE(f(x), f(y)) ≥ dS(x, y).

Que era lo que querıamos mostrar. Ahora, mostremos que dE(f(x), f(y)) ≤ ( αsinα)ds(x, y). En

primer lugar, supongamos que α ≤ π/2 para que Dα sea geodesicamente convexo. Sean x y y puntosdentro de Dα, unimos dichos puntos mediante un segmento de circulo mayor A de longitud L =

dS(x, y). Entonces f(A) tiene una longitud L′ ≥ dE(f(x), f(y)), luego la desigualdad L′ ≤ (α/ sinα)Limplica que dE(f(x), f(y)) ≤ ( α

sinα)ds(x, y), que es lo que querıamos probar. Sin embargo, si α > π/2entonces el disco Dα no es geodesicamente convexo, por lo tanto se necesitara otro argumento.Supongamos que el arco de cırculo mayor mas pequeno que une x a y no esta contenido completamenteen el disco Dα, sino que cruza fuera de Dα un punto lımite x, y luego cruza de nuevo en otro puntolımite y. Se mostraran las siguientes ecuaciones:

(417) dE(f(x), f(x)) ≤ ( αsinα)dS(x, x),

(418) dE(f(x), f(y)) ≤ ( αsinα)dS(x, y),

(419) dE(f(y), f(y)) ≤ ( αsinα)dS(y, y).

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Note que sumando las anteriores desigualdades obtenemos lo que queremos demostrar. Solo esnecesario probar la desigualdad 418, pues las demas pueden ser mostradas con los argumentos dadosanteriormente. Introduzcamos una proyeccion equidistante acimutal auxiliar cuyo domino es el discocomplementario D′

π−α centrado en el polo sur. Como π − α ≤ π/2 tenemos que

(420) dE(f(x), f(y)) ≤ ( π−αsinπ−α)dS(x, y).

Multiplicando la anterior desigualdad por α/π − α obtenemos finalmente la desigualdad 418. ∎

Teorema 6.7. Teorema de Milnor Existe un unico mapa de proyeccion f0 con distorsion mınimade dominio Dα. Este mapa de proyeccion es infinitamente diferenciable y su distorsion viene dadapor:

(421) δ = log(α/sinα).

Demostracion. Los lemas 6.4, 6.5 y 6.6 son la demostracion de este teorema en cuestion. ∎

La teorıa presentada anteriormente tiene como referencia ([12], Milnor, J. (1969). pp. 1101-10112).

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7. Conclusion

El objetivo de la cartografıa matematica es valerse de un conjunto de atlases para pasar la mayorparte de informacion geometrica de la esfera al plano euclidiano. Aquı, es de notar que las matematicasinvolucradas en el desarrollo de mapas geograficos rara vez son tratadas en los cursos de pregrado. Porlo tanto, el presente proyecto de grado ha mostrado algunas proyecciones importantes en el mundo dela cartografıa matematica, concentrandonos al final en la proyeccion equidistante acimutal. El procesode proyectar la superficie de la Tierra en un plano requiere la transformacion de coordenadas de unasuperficie a otra, por tal razon se han utilizado preliminares de topologıa y geometrıa diferencialpara estudiar cada una las proyecciones dadas en este trabajo. Se aprendio que las proyeccionescartograficas mas comunes se clasifican segun la superficie de proyeccion utilizada: conica, cilındricao planar. Y con respecto a esto, se puede ver la preservacion o no preservacion de angulos, longitudesde curva o areas. Por otro lado, hemos aprendido que la distorsion es un factor limitante en unmapa de proyeccion ya que es una barrera infranqueable para realizar un mapa de proyeccion ideal.No importando cual tecnica de proyeccion usemos, la distorsion ocurrira en alguna o todas de lascaracterısticas metricas; a saber: longitud, angulo, forma y area. Sin embargo hemos demostrado quela proyeccion equidistante acimutal que tiene por dominio un disco cerrado, posee distorsion mınima.Finalmente, del desarrollo teorico del presente texto surge una pregunta para futuras discusiones:¿como podemos estimar la mınima distorsion posible δ0 para mapas de proyeccion en cualquierdominio U , sin necesidad que sea explıcitamente una region acotada por una circunferencia de laesfera?.

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Referencias

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