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8/19/2019 APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL.pptx

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APLICACIONES DEL ALGEBRA

LINEAL

RECONOCIMIENTO DE

ROSTRO


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NOCIONES DE PARTIDA

• V espacio vectorial dm n

!ase ortonormal de V

Si x pertenece a V

Si en partic"lar

• c"adrada # simetrica $ l"e%o Tdia%onali&a orto%onalmente'

con D matri& dia%onal # P matri& orto%onalc"#as col"mnas son los vectores propios de T

ii

n

iii

v xcvc x ,;1

==

∑=

i

T

ii v xv xc == ,

nxn RT ∈T PDP T =

1nx RV =


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Valores # Vectores propios

• Sea

• Constr"imos

c"adrada$ simetrica # semide(nida positiva

L"e%o todos los valores propios de son reales # ma#ores

o i%"ales a cero # el n"mero de los no n"los coincide condia%onali&a orto%onalmente '

con col"mnas !ase ortonormal de

• Idem

dia%onali&a orto%onalmente'

con col"mnas !ase ortonormal de

mxn R A∈

)(1 nxn A AT T =

1T

)( A Rgo

1T T T VDV A AT ==1

[ ]nvvvV ...21= n R

)(2 mxm AAT T

=2T

T T UDU AAT ==2

[ ]muuuU ...21= m R


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Propiedades

• Sea $

• Las matrices simetricas

tienen los mismos valores propios no n"los

• Los vectores propios asociados a

estan vinc"lados por'

Los vectores )orman "na !aseortonormal del espacio col"mna de A$ l"e%o

es el vector coordenado de respecto a dic*a!ase

r A Rgo =)(

r λ λ λ ,...,, 21

mxmT nxnT R AA R A A ∈∈ ;

T T AA y A A

r

r r

Avu

Avu

Avu

λ λ λ === ,...,,

2

22

1

11

r uuu ,..,, 21[ ]T ir iiii d d d g A ...21=↔

i A


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+n poco de estadistica

• Sea'matri& de datos

• valor medio$ correlacion $covariancia

• Calc"lados a partir de los datos res"ltan'

[ ] )(...21 mxn X X X X n=

{ } { } { }T T X X X X E C XX E R X E X )~)(~(;;~ −−===

[ ] )(...~

);1(1

1

mxn M M M X mx X n

M n

i

i == ∑=

mxmmatrices X X X X n

C XX n

R T T )~

)(~

(1

;1

−−==


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Matri& de Covariancia

• En la matri& de covariancia seres"men la varia!ilidad de los datos# la in)ormacion relativa a las

relaciones lineales entre lasvaria!les

• La matri& de covariancia es

c"adrada$ simetrica # semide(nidapositiva por lo tanto dia%onali&aorto%onalmente


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PROBLEMA PLANTEADO

• Dado "n con,"nto de im-%enes derostro eti."etados con la identidadde la persona /con,"nto deentrenamiento0 # "n con,"nto sineti."etar de im-%enes de rostros delmismo %r"po de personas /con,"nto

test0 $ identi(car cada persona deeste "ltimo %r"po


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Sol"cion

• La idea es encontrar los vectores ."e me,orrepresenten a las im-%enes de los rostros dentro detodo el espacio ima%en Ellos de(nen el s"!espacio delas im-%enes de rostro' el )ace space$ # dentro de este

s"!espacio$ los ."e corresponden a n"estro con,"ntode entrenamiento

• S"pon%amos tener n im-%enes /p1.0 de rostros deentrenamiento Con este con,"nto armaremos lamatri& de datos 2$ c"#as col"mnas sean la

representacion vectorial de dic*as im-%enes• Se calc"la la matri& de covariancia

c"#os vectores propios $ los ei%en3)ace )ormaran "na!ase del espacio col"mna de

T X X X X n

C )~)(~(1 −−=

X X ~−


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• Cada rostro del con,"nto de entrenamiento vienerepresentado por "n vector de coordenadasrespecto a dic*a !ase

• Para identi(car "n rostro no incl"ido en elcon,"nto de entrenamiento$ se procede'

• 40 dada la n"eva ima%en de rostro$ se calc"la elvector coordenado respecto a la !ase deei%en)aces

• 50 se clasi(ca s" vector coordenado de ac"erdo as" menor distancia a los respectivos vectores decoordenadas del con,"nto de entrenamiento


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Base de DATOS

• ORL' Olivetti Researc* La!orator#3Cam!rid%e 6+7

• 48 ima%enes distintas de cada "no de 98

s",etos con variaciones menores deil"minacion$ e1presion del rostro$ post"ra

• Cada ima%en es de 4451:5 pi1els con ;

!its de niveles de %ris• Se "tili&aron 48 ima%enes de s4 a s48

tomando de cada "na Ii0


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BASE DE DATOS +SANDO ORL

!ase de DATOS(%

base de datos


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De matrices a vectores col"mna

• Se trans)orman las im-%enes I i /4451:50 en vectores

col"mna IIi


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ROSTRO PROMEDIO

• M es "na col"mna promedio/48?89140 ."e representa el rostropromedio

• Para vis"ali&arlo$ llevo esta col"mnaa ser n"evamente "na matri&4451:5

• MM


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Rostro Promedio


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A+TOVALORES

• A los (nes de tra!a,ar con los a"tovalores $se arma la matri& T


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Valores Propios encontrados

• Los valores propios encontrados son

• @V$D


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EIGENACES

• Para encontrar las ei%en)aces setoman los vectores

• Como solo tenemos : a"tovalores non"los$ se toman : vectores propios

• A estos vectores col"mna lasvolvemos matrices 4451:5 /De!ido

a ."e aparecen m"# osc"rastomamos "n mJltiplo0

ii

i

ii con

Avu λ σ

σ ==


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IMAGENES DE LAS EIGENACES


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Base Ortonormal del )ace space

• Para o!tener la !ase ortonormal delespacio de rostro %enerado porn"estra Base de Datos se toman

e)ectivamente

• De esta )orma se o!tiene la !ase del

espacio de caras +R


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Reconocimiento de Rostro' primerpaso

• Para "sar este al%oritmo en elreconocimiento de rostro$ a cadavector i /col"mnas de la matri& A0

le calc"lamos s" vector coordenadorespecto a la !ase +R' %i


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Reconocimiento de Rostro' se%"ndopaso

• A los (nes de "sar el mKtodo parareconocimiento de rostro$ tomamos otraima%en de la !ase ORL En partic"lar$

de las clases "tili&adas para armarn"estra !ase de datos pero conim-%enes distintas a las "sadas paraarmar la matri& A Se la lleva a ser matri&

col"mna # l"e%o a la clase do"!le Se leresta el valor medio M # se calc"la s"vector coordenado respecto a la !ase +R


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Reconocimiento de Rostro' tercerpaso

• Para reconocer la ima%en n"eva $ secalc"lan las distancias entre losvectores coordenados % # cada %i '

• La menor distancia por de!a,o de "n"m!ral$ permite individ"ali&ar elrostro

)()()((),(2 iT

iiiii g g g g g g g g g g d L −−=−−==


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E,emplo 4

• Se tomo del arc*ivo sF la ima%enI0

• Reali&ado el proceso indicadoanteriormente $ calc"lado s" vector %de coordenadas respecto a la !asede ei%en)aces # las distancias

e"clideanas respecto a los vectorescoordenados de los rostros "sados enla !ase de datos$ res"ltaron'


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Res"ltados del E,emplo 4

• 5:9:H:H

• 5:FFHF4

• ?899:?:

• ??85:H:• 9594;98

• ?55??;9

• 5?;9HH corresponde al rostro F• ?95H::8

• ?899:?:


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IMAGENES EEMPLO 4


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E,emplo 5

• Se tomo del arc*ivo s4 la ima%enI0




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Res"ltados del E,emplo 5

• 4?;8H4 corresponde al rostro 4

• 58?8;;

• ?89559F

• ?:5FF4:• 5FH498

• 989??84

• ?85:?4• H4?5?8

• 9F:5H8


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IMAGENES EEMPLO 5


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E,emplo ?

• Se tomo del arc*ivo s58 la ima%enI0




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Res"ltados E,emplo ?

• L < / 48e88H 0

• 8?;H:

• 8HH;

• 4959

• 8?994• 89:8F

• 85F

• 85H5H

• 8598

• 8??8;• Se o!serva ."e todos los valores de distancia son m"# %randes Con

"n "m!ral ra&ona!le /e,' H880 podemos ase%"rar ."e el rostro delE,emplo ? no se corresponde con nin%"n rostro de n"estra !ase dedatos


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IMAGEN EEMPLO ?

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