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Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica

Abraham Martın del Campo

CONACYT – CIMAT

20 de febrero de 2018

Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2


Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)

who is the point p ∈ M closest to u?


Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)


Encontramos los puntos crıticos:(.20249, .999579), (.21752, -.99944), (.600555, -.965761), (-.761301, -.902727)


Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)


Seleccionamos el que este a menor distancia:(.20249, .999579), (.21752, -.99944), (.600555, -.965761), (-.761301, -.902727)


DefinicionDado un u ∈ Rn, un punto crıtico de du(x) es un punto p ∈ Rn tal que

p ∈ Mreg and ∇du(p) ⊥ TpM

Nuestro algoritmo

1. Encontrar un punto crıtico.

2. Utilizar lazos aleatorios para explorar la fibra.

3. El test de la traza para saber cuando detenerse.


3. Test de la Traza

Despues de r lazos aleatorios (paso 2), obtenemos un conjuntoSr = {p∗1, . . . ,p∗r } de puntos crıticos (no necesariamente diferentes).

Pregunta

Se tiene en general que Sr−1 ⊆ Sr ⊆ S,

¿Pero cuando se tiene Sr = S?


3. Test de la Traza

Teorema (Sommese-Verschelde-Wampler ’03)

La traza de M con respecto a Lt es una funcion lineal en t. Aun mas,la suma de coordenadas de cualquier subconjunto propio de Lt ∩Mno es lineal en t.

Sea M una variedad irreducible de codimension k y de grado D. Lainterseccion de un plano k -dimensional L generico con M consta de Dpuntos:

M ∩ L = {q1, . . . ,qD}.

La traza de estos puntos es la suma coordenada a coordenada.


3. Test de la Traza



Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .Cuando t = −1, se tiene que

M ∩ Lt = {(0.309,0.0954), (−0.809,0.6546)}

y la traza

tr(M ∩ Lt) = (−0.5,0.75).


3. Test de la Traza



Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .Cuando t = −3, se tiene que

M ∩ Lt = {(0.651,0.4243), (−1.151,1.3257)}

y la traza

tr(M ∩ Lt) = (−0.5,1.75).


3. Test de la Traza



Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .En general,

M ∩ Lt ={(−1±

√1−4t

4 , 1−2t±√

1−4t8

)}y la traza

tr(X ∩ Lt) =(−1

2 ,1−2t

4

).


¿Cuantos puntos crıticos son reales?

Una vez que hemos encontrado todos los puntos crıticos (sobre Cn)para un u, podemos encontrar todos los puntos crıticos para otro u′

usando homotopıas de parametros.

Para u ⇒ generico, hay 16 puntoscrıticos sobre C

Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales






Para (0.2,0.7)⇒ 4 reales

Para (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales






Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 reales

Tambien se tienen 8 y 2 reales






Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales

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