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Elementos de Matem´ atica Trigonometria do Triˆ angulo Retˆ angulo Roteiro no.5 - Atividades did´ aticas de 2007 Vers˜ ao compilada no dia 9 de Maio de 2007. Departamento de Matem´ atica - UEL Prof. Ulysses Sodr´ e E-mail: [email protected] Matem´ atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de aulas constru´ ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e n˜ ao espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆ es, h´ a pouco material de dom´ ınio p´ ublico, mas em inglˆ es existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: ‘No princ´ ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princ´ ıpio com Deus. Todas as coisas foram feitas por interm´ edio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas n˜ ao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por interm´ edio dele, e o mundo n˜ ao o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus n˜ ao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crˆ eem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais n˜ ao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do var˜ ao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre os, cheio de gra¸ ca e de verdade...’ A B´ ıblia Sagrada, Jo˜ ao 1:1-5,10-14 Resumo dos principais conceitos da trigonometria aplicados à Topografia

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Elementos de MatematicaTrigonometria do Triangulo Retangulo

Roteiro no.5 - Atividades didaticas de 2007Versao compilada no dia 9 de Maio de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: [email protected]

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais utilizados em nossas

aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um

roteiro para as aulas e nao espero que estas notas venham a substituir

qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros

citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em

portugues, ha pouco material de domınio publico, mas em ingles existem

diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que

o leitor faca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘No princıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o

Verbo era Deus. Ele estava no princıpio com Deus. Todas as coisas foram

feitas por intermedio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele

estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e

as trevas nao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo

foi feito por intermedio dele, e o mundo nao o conheceu. Veio para o que

era seu, e os seus nao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,

aos que creem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de

Deus; os quais nao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da

vontade do varao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre

nos, cheio de graca e de verdade...’ A Bıblia Sagrada, Joao 1:1-5,10-14

Resumo dos principais conceitos da trigonometria

aplicados à Topografia

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CAPITULO 1

Trigonometria do triangulo retangulo

1.1 Trigonometria e aplicacoes

Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria notriangulo retangulo, assunto comum na oitava serie do Ensino Fundamental.Tambem dispomos de uma pagina mais aprofundada sobre o assunto tratadono ambito do Ensino Medio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicacoes praticas. Desde a anti-guidade ja se usava da trigonometria para obter distancias impossıveis de seremcalculadas por metodos comuns. Algumas aplicacoes da trigonometria sao:

1. Determinacao da altura de um certo predio.

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1.2. TRIANGULO RETANGULO 2

2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processomuito simples.

3. Seria impossıvel se medir a distancia da Terra a Lua, porem com atrigonometria se torna simples.

4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir umaponte, o trabalho dele e facilitado com o uso de recursos trigonometricos.

5. Um cartografo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma mon-tanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demorariaanos para desenhar um mapa.

Tudo isto e possıvel calcular com o uso da trigonometria do triangulo retangulo.

1.2 Triangulo Retangulo

E um triangulo que possui um angulo reto, isto e, um dos seus angulos medenoventa graus, daı o nome triangulo retangulo. Como a soma das medidas dosangulos internos de um triangulo e igual a 1800, entao os outros dois angulosmedirao 900.

Observacao: Se a soma de dois angulos mede 900, estes angulos sao denom-inados complementares, portanto podemos dizer que o triangulo retangulopossui dois angulos complementares.

Ver mais detalhes em triangulos

1.3 Lados de um triangulo retangulo

Os lados de um triangulo retangulo recebem nomes especiais. Estes nomessao dados de acordo com a posicao em relacao ao angulo reto. O lado opostoao angulo reto e a hipotenusa. Os lados que formam o angulo reto (adjacentesa ele) sao os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetos: (perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa: Hypo (por baixo) + teino (eu estendo)

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1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notacoes:

Letra Nome do lado Vertice = Angulo Medida

a Hipotenusa A = Angulo reto A = 900

b Cateto B = Angulo agudo B < 900

c Cateto C = Angulo agudo C < 900

Ver mais detalhes em angulos

1.4 Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posicao em relacaoao angulo sob analise. Se estamos usando o angulo C, entao o lado oposto,indicado por c, e o cateto oposto ao angulo C e o lado adjacente ao anguloC, indicado por b, e o cateto adjacente ao angulo C.

Angulo Lado oposto Lado adjacente

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria e mostrar o uso de conceitos matematicosno nosso cotidiano.

Iniciaremos estudando as propriedades geometricas e trigonometricas no trianguloretangulo. O estudo da trigonometria e extenso e minucioso.

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1.5. PROPRIEDADES DO TRIANGULO RETANGULO 4

1.5 Propriedades do triangulo retangulo

1. Angulos: Um triangulo retangulo possui um angulo reto e dois angulosagudos complementares.

2. Lados: Um triangulo retangulo e formado por tres lados, uma hipotenusa(lado maior) e outros dois lados que sao os catetos.

3. Altura: A altura de um triangulo e um segmento que tem uma extremi-dade num vertice e a outra extremidade no lado oposto ao vertice, sendoque este segmento e perpendicular ao lado oposto ao vertice. Existem3 alturas no triangulo retangulo, sendo que duas delas sao os catetos.A outra altura e obtida tomando a base como a hipotenusa, a alturarelativa a este lado sera o segmento AD, denotado por h e perpendiculara base.

1.6 A hipotenusa como base de um triangulo retangulo

Tomando informacoes da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, e a altura relativa a hipotenusa CB,indicada por a.

2. o segmento BD, denotado por m, e a projecao ortogonal do cateto c

sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

3. o segmento DC, denotado por n, e a projecao ortogonal do cateto b

sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

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1.7. PROJECOES DE SEGMENTOS 5

1.7 Projecoes de segmentos

Introduziremos algumas ideias basicas sobre projecao. Ja mostramos, no inıciodeste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um predio, determina umasombra que e a projecao oblıqua do predio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta nao coincidentes e possıvelobter as projecoes destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situacoes apre-

sentadas, as projecoes dos segmentos AB sao indicadas por A′B′, sendo queno ultimo caso A′ = B′ e um ponto.

1.8 Projecoes no triangulo retangulo

Agora iremos indicar as projecoes dos catetos no triangulo retangulo.

1. m = projecao de c sobre a hipotenusa.

2. n = projecao de b sobre a hipotenusa.

3. a = m + n.

4. h = media geometrica entre m e n.

Ver mais detalhes em media geometrica

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1.9. RELACOES METRICAS NO TRIANGULO RETANGULO 6

1.9 Relacoes Metricas no triangulo retangulo

Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triangulo retangulo ABC

em dois triangulos retangulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o anguloA sera decomposto na soma dos angulos CAD = B e DAB = C.

Os triangulos retangulos ABC, ADC e ADB sao semelhantes.

Triangulo hipotenusa cateto maior cateto menor

ABC a b c

ADC b n h

ADB c h m

Assim:

a

b=

b

n=

c

h

a

c=

b

h=

c

m

b

c=

n

h=

h

m

logo:

a

c=

c

mequivale a ac

2 = a.m

a

b=

b

nequivale a ab

2 = a.n

a

c=

b

hequivale a aa.h = b.c

h

m=

n

hequivale a ah

2 = m.n

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1.10. FUNCOES TRIGONOMETRICAS BASICAS 7

Existem tambem outras relacoes do triangulo inicial ABC. Como a = m+n,somando c2 com b2, obtemos:

c2 + b

2 = a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2

que resulta no Teorema de Pitagoras:

a2 = b

2 + c2

Esta e uma das varias demonstracoes do Teorema de Pitagoras.

1.10 Funcoes trigonometricas basicas

As Funcoes trigonometricas basicas sao relacoes entre as medidas dos lados dotriangulo retangulo e seus angulos. As tres funcoes basicas mais importantesda trigonometria sao: seno, cosseno e tangente. Indicamos o angulo pela letrax, o cateto oposto ao angulo x por CO, o cateto adjacente ao angulo x porCA, a hipotenusa do triangulo por H e m(Z) a medida do segmento Z.

Funcao Notacao Definicao

seno sin(x)m(CO)

m(H)

cosseno cos(x)m(CA)

m(H)

tangente tan(x)m(CO)

m(CA)

Tomando um triangulo retangulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do angulox sob analise e a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo e o seucateto adjacente CA. Portanto a tangente do angulo analisado sera a razaoentre o seno e o cosseno desse angulo.

sin(x) =m(CO)

H=

m(CO)

1

cos(x) =m(CA)

H=

m(CA)

1

tan(x) =m(CO)

m(CA)=

sin(x)

cos(x)

Relacao fundamental: Para todo angulo x (medido em radianos), vale arelacao:

cos2(x) + sin2(x) = 1

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CAPITULO 1

Elementos gerais sobre Trigonometria

1.1 O papel da trigonometria

Trigonometria e uma palavra formada por tres radicais gregos: tri (tres), gonos

(angulos) e metron (medir). Daı vem seu significado mais amplo: Medida dosTriangulos, assim atraves do estudo da Trigonometria podemos calcular asmedidas dos elementos do triangulo (lados e angulos).

Com o uso de triangulos semelhantes podemos calcular distancias inacessıveis,como a altura de uma torre, a altura de uma piramide, distancia entre duasilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria e um instrumento potente de calculo, que alem de seu usona Matematica, tambem e usado no estudo de fenomenos fısicos, Eletricidade,Mecanica, Musica, Topografia, Engenharia entre outros.

1.2 Ponto movel sobre uma curva

Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P esta localizado sobreesta curva, simplesmente dizemos P pertence a curva e que P e um pontofixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre acurva, este ponto recebera o nome de ponto movel.

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1.3. ARCOS DA CIRCUNFERENCIA 2

Um ponto movel localizado sobre uma circunferencia, partindo de um ponto A

pode percorrer esta circunferencia em dois sentidos opostos. Por convencao,o sentido anti-horario (contrario aos ponteiros de um relogio) e adotado comosentido positivo.

1.3 Arcos da circunferencia

Se um ponto movel em uma circunferencia partir de A e parar em M , eledescreve um arco AM . O ponto A e a origem do arco e M e a extremidadedo arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco e denominado arco

orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percursofor de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando nao consideramos a orientacao dos arcos formados por dois pontos A

e B sobre uma circunferencia, temos dois arcos nao orientados sendo A e B

as suas extremidades.

1.4 Medida de um arco

A medida de um arco de circunferencia e feita por comparacao com um outroarco da mesma circunferencia tomado como a unidade de arco. Se u for umarco de comprimento unitario (igual a 1), a medida do arco AB, e o numerode vezes que o arco u cabe no arco AB.

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1.5. O NUMERO PI 3

Na figura seguinte, a medida do arco AB e 5 vezes a medida do arco u.Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u porm(u), temos m(AB) = 5 m(u).

A medida de um arco de circunferencia e a mesma em qualquer sentido, sendoque a medida algebrica de um arco AB desta circunferencia e o comprimentodeste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B e anti-horario, e negativo se o sentido e horario.

1.5 O numero pi

Em toda circunferencia, a razao entre o perımetro e o diametro e uma con-stante denotada pela letra grega π, que e um numero irracional, isto e, que naopode ser expresso como a divisao de dois numeros inteiros. Uma aproximacaopara o numero π e dada por:

π = 3, 1415926535897932384626433832795...

Mais informacoes sobre pi, podem ser obtidas na pagina Areas de regioescirculares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm

1.6 Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) e o radiano, masexistem outras medidas utilizadas por tecnicos como o grau e o grado. Esteultimo nao e muito comum.

Radiano: Medida de um arco cujo comprimento e o mesmo que o raio dacircunferencia que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade temcomprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.

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1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo dacircunferencia na qual estamos medindo o arco.

Grado: E a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circun-ferencia na qual estamos medindo o arco.

Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de compri-

mento igual a 12 cm, em uma circunferencia de raio medindo 8 cm, tomamos:

m(AB) =comprimento do arco(AB)

comprimento do raio= 12/8 = 1, 5 rad

1.7 Arcos de uma volta

Se AB e o arco correspondente a volta completa de uma circunferencia, amedida do arco e igual a C = 2πr, entao:

m(AB) =comprimento do arco(AB)

comprimento do raio=

2πr

r= 2π

A medida em radianos de um arco de uma volta completa e 2π rad, isto e,2π rad = 360 graus.

Temos as seguintes situacoes usuais:

90 graus 180 graus 270 graus 360 graus

100 grados 200 grados 300 grados 400 grados

π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad

Observacao: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.

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CAPITULO 2

O cırculo trigonometrico

2.1 Cırculo Trigonometrico

Seja uma circunferencia de raio unitario com centro na origem de um sistemacartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A sera tomado como aorigem dos arcos orientados nesta circunferencia e o sentido positivo consid-erado sera o anti-horario. A regiao contendo esta circunferencia e todos osseus pontos interiores, e denominada cırculo trigonometrico.

Em livros de lıngua inglesa, a palavra cırculo se refere a curva envolvente daregiao circular enquanto circunferencia de cırculo e a medida desta curva. NoBrasil, a circunferencia e a curva que envolve a regiao circular.

Os eixos OX e OY decompoem o cırculo trigonometrico em quatro quadrantesque sao enumerados como segue:

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2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7

Quadrante abscissa ordenada α

Primeiro positiva positiva 0o < α < 90o

Segundo negativa positiva 90o < α < 180o

Terceiro negativa negativa 180o < α < 270o

Quarto positiva negativa 270o < α < 360o

Os quadrantes sao usados para localizar pontos e caracterizar angulos para usoem trigonometria. Por convencao, os pontos sobre os eixos nao pertencem aqualquer um dos quadrantes.

2.2 Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidassao maiores do que 360o. Por exemplo, se um ponto movel parte de um pontoA sobre uma circunferencia no sentido anti-horario e para em um ponto M ,ele descreve um arco AM . A medida deste arco (em graus) podera ser menorou igual a 360o ou ser maior do que 360o. Se esta medida for menor ou iguala 360o , dizemos que este arco esta em sua primeira determinacao.

Assim, o ponto movel podera percorrer a circunferencia uma ou mais vezesem um certo sentido, antes de parar no ponto M , determinando arcos maioresdo que 360o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcosmas com medidas diferentes, cuja origem e o ponto A e cuja extremidade e oponto M .

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2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8

Se AM e um arco cuja primeira determinacao mede m, entao um ponto movelque parte de A e pare em M , pode ter varias medidas algebricas, dependendodo percurso.

Se o sentido for o anti-horario, o ponto M da circunferencia trigonometricasera a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:

m, m + 2π, m + 4π, m + 6π, ...

Se o sentido for o horario, o ponto M sera extremidade de uma infinidade dearcos negativos de medidas algebricas:

m − 2π, m − 4π, m − 6π, ...

e assim temos uma colecao infinita de arcos com extremidade no ponto M .

Generalizando este conceito, se m e a medida da primeira determinacao posi-tiva do arco AM , podemos representar as medidas destes arcos por:

m(AM) = m + 2kπ

onde k e um numero inteiro, isto e, k ∈ Z = {...,−2,−3,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Famılia de arcos: Uma famılia de arcos {AM} e o conjunto de todos osarcos com ponto inicial em A e extremidade em M .

Exemplo 4. Se um arco de circunferencia tem origem em A e extremidade

em M , com a primeira determinacao positiva medindo2π

3, entao os arcos

desta famılia {AM}, medem:

Determinacoes positivas (sentido anti-horario)

k = 0 m(AM) = 2π

3

k = 1 m(AM) = 2π

3+ 2π = 8π

3

k = 2 m(AM) = 2π

3+ 4π = 14π

3

k = 3 m(AM) = 2π

3+ 6π = 20π

3

... ...

k = n m(AM) = 2π

3+ 2nπ = (2 + 6n)π

3

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2.3. ARCOS CONGRUOS E ANGULOS 9

Determinacoes negativas (sentido horario)

k = −1 m(AM) = 2π

3− 2π = −4π

3

k = −2 m(AM) = 2π

3− 4π = −6π

3

k = −3 m(AM) = 2π

3− 6π = −16π

3

k = −4 m(AM) = 2π

3− 8π = −22π

3

... ...

k = −n m(AM) = 2π

3− 2nπ = (2 − 6n)π

3

2.3 Arcos congruos e Angulos

Arcos congruos: Dois arcos sao congruos se a diferenca de suas medidas eum multiplo de 2π.

Exemplo 5. Arcos de uma mesma famılia sao congruos.

Angulos: As nocoes de orientacao e medida algebrica de arcos podem serestendidas para angulos, uma vez que a cada arco AM da circunferenciatrigonometrica corresponde a um angulo central determinado pelas semi-retasOA e OM .

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois angulos orientados umpositivo (sentido anti-horario) com medida algebrica a correspondente ao arcoAM e outro negativo (sentido horario) com medida b = a−2π correspondenteao arco AM .

Tambem existem angulos com mais de uma volta e as mesmas nocoes apre-sentadas para arcos se aplicam a angulos.

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2.4. ARCOS SIMETRICOS EM RELACAO AO EIXO OX 10

2.4 Arcos simetricos em relacao ao eixo OX

Sejam AM e AM ′ arcos na circunferencia trigonometrica, com A = (1, 0)e os pontos M e M ′ simetricos em relacao ao eixo horizontal OX. Se amedida do arco AM e igual a m, entao a medida do arco AM ’ e dada por:µ(AM ′) = 2π − m.

Os arcos da famılia {AM}, aqueles que tem origem em A e extremidades emM , tem medidas iguais a 2kπ + m, onde k e um numero inteiro e os arcos dafamılia {AM ′} tem medidas iguais a 2kπ − m, onde k e um numero inteiro.

2.5 Arcos simetricos em relacao ao eixo OY

Sejam AM e AM ′ arcos na circunferencia trigonometrica com A = (1, 0) eos pontos M e M ′ simetricos em relacao ao eixo vertical OY . Se a medida doarco AM for igual a m, entao a medida do arco AM ′ sera dada pela expressaoµ(AM ′) = π − m. Os arcos da famılia {AM ′}, isto e, aqueles com origem

em A e extremidade em M ′, medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.

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2.6. ARCOS SIMETRICAS EM RELACAO A ORIGEM 11

2.6 Arcos simetricas em relacao a origem

Sejam arcos AM e AM ′ na circunferencia trigonometrica com A = (1, 0) eos pontos M e M ′ simetricos em relacao a origem (0, 0).

Se o arco AM mede m, entao µ(AM ′) = π+m. Arcos genericos com origemem A e extremidade em M ′ medem m(AM ′) = (2k + 1)π + m.

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CAPITULO 3

Seno, Cosseno e Tangente

3.1 Seno e cosseno

Dada uma circunferencia trigonometrica contendo o ponto A = (1, 0) e umnumero real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferencia,cuja medida algebrica corresponde a x radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferencia trigonometrica,de centro em (0, 0) e raio unitario. Seja M = (x′, y′) um ponto desta cir-cunferencia, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arcoAM que corresponde ao angulo central a. A projecao ortogonal do ponto M

sobre o eixo OX determina um ponto C = (x′, 0) e a projecao ortogonal doponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y′).

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y′ do ponto M e edefinida como o seno do arco AM que corresponde ao angulo a, denotadopor sen(AM) ou sen(a).

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3.2. TANGENTE 13

Como temos varias determinacoes para o mesmo angulo, escreveremos

sen(AM) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y′

Para simplificar os enunciados e definicoes seguintes, escreveremos sen(x) paradenotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao angulo a, denotado porcos(AM) ou cos(a), e a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissax′ do ponto M .

Existem varias determinacoes para este angulo, razao pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x′

3.2 Tangente

Seja t a reta tangente a circunferencia trigonometrica no ponto A = (1, 0).Esta reta e perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M epelo centro da circunferencia tem intersecao com a reta tangente t no pontoT = (1, t′). A ordenada deste ponto T , e definida como a tangente do arcoAM correspondente ao angulo a.

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3.3. ANGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14

Assim a tangente do angulo a e dada pelas suas varias determinacoes:

tan(AM) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT ) = t′

Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada anguloa do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de angulos doprimeiro quadrante sao todos positivos.

Um caso especial e quando o ponto M esta no eixo horizontal OX, pois

cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0

Ampliaremos estas nocoes para angulos nos outros quadrantes

3.3 Angulos no segundo quadrante

Se na circunferencia trigonometrica, tomamos o ponto M no segundo quad-rante, entao o angulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao

intervaloπ

2< a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno

esta relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada desteponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada posi-tiva, o sinal do seno do angulo a no segundo quadrante e positivo, o cossenodo angulo a e negativo e a tangente do angulo a e negativa.

Outro caso especial e quando o ponto M esta no eixo vertical OY e temosque:

cos(π

2) = 0, sen(

π

2) = 1

e a tangente nao esta definida, pois a reta OM nao intercepta a reta t, poiselas sao paralelas.

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3.4. ANGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE 15

3.4 Angulos no terceiro quadrante

O ponto M = (x, y) esta localizado no terceiro quadrante, o que significaque o angulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) e simetrico ao pontoM ′ = (−x,−y) do primeiro quadrante, em relacao a origem do sistema,indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada sao negativos. O senoe o cosseno de um angulo no terceiro quadrante sao negativos e a tangente epositiva.

Em particular, se a = π rad, temos que

cos(π) = −1, sen(π) = 0, tan(π) = 0

3.5 Angulos no quarto quadrante

O ponto M esta no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de angulos noquarto quadrante e negativo, o cosseno e positivo e a tangente e negativa.

Se o angulo mede 3π/2, a tangente nao esta definida pois a reta OP naointercepta a reta t, estas sao paralelas. Quando a = 3π/2, temos:

cos(3π

2) = 0, sin(

2) = −1

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3.6. SIMETRIA EM RELACAO AO EIXO OX 16

3.6 Simetria em relacao ao eixo OX

Em uma circunferencia trigonometrica, se M e um ponto no primeiro quad-rante e M ′ o simetrico de M em relacao ao eixo OX, estes pontos M e M ′

possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a o angulo correspondente aoarco AM e b o angulo correspondente ao arco AM ’, entao

sen(a) = −sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = −tan(b)

3.7 Simetria em relacao ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferencia trigonometrica localizado no primeiroquadrante, e seja M ′ simetrico a M em relacao ao eixo OY , estes pontos M

e M ′ possuem a mesma ordenada e as abscissa sao simetricas.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a e o angulo correspondente aoarco AM e b e o angulo correspondente ao arco AM ′, entao

sen(a) = sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = − tan(b)

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3.8. SIMETRIA EM RELACAO A ORIGEM 17

3.8 Simetria em relacao a origem

Se M e um ponto da circunferencia trigonometrica localizado no primeiroquadrante e se M ′ e o simetrico de M em relacao a origem, estes pontos M

e M ′ possuem ordenadas e abscissas simetricas.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a e o angulo correspondente aoarco AM e b e o angulo correspondente ao arco AM ′, entao

sen(a) = −sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = tan(b)

3.9 Senos e cossenos de alguns angulos notaveis

Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns angulos que apare-cem com frequencia em exercıcios e aplicacoes, sem necessidade de memo-rizacao, e atraves de simples observacao no cırculo trigonometrico.

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CAPITULO 2

Resolucao de triangulos

Os elementos fundamentais de um triangulo sao: os lados, os angulos e a area.Resolver um triangulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendotres dentre estes elementos podemos usar as relacoes metricas ou as relacoestrigonometricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estasrelacoes estao expostas na sequencia.

2.1 Lei dos Senos

Seja um triangulo qualquer, como o que aparece na figura

com lados a, b e c, respectivamente tendo angulos opostos A, B e C. Oquociente entre a medida de cada lado e o seno do angulo oposto a este ladoe uma constante igual a 2R, em que R e o raio da circunferencia circunscritaao triangulo, isto e:

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R

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2.1. LEI DOS SENOS 8

Demonstracao: Para simplificar as notacoes denotaremos o angulo que corre-sponde a cada vertice pelo nome do vertice, por exemplo para o triangulo devertices ABC os angulos serao A, B e C respectivamente, assim quando es-crevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do angulo correspondentecom vertice em A.

Seja ABC um triangulo qualquer, inscrito numa circunferencia de raio R.Tomando como base do triangulo o lado BC, construimos um novo trianguloBCA′, de tal modo que o segmento BA′ seja um diametro da circunferencia.Este novo triangulo e retangulo em C.

Temos tres casos a considerar, dependendo se o triangulo ABC e acutangulo,obtusangulo ou retangulo.

1. Triangulo acutangulo: Os angulos correspondentes aos vertices A e A′

sao congruentes, pois sao angulos inscritos a circunferencia correspon-dendo a um mesmo arco BC. Entao:

sen(A′) = sen(A) =a

2R

isto e,a

sen(A)= 2R

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2.1. LEI DOS SENOS 9

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outrosquocientes

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R

2. Triangulo obtusangulo: Se A e A′ sao os angulos que correspondemaos vertices A e A′, a relacao entre eles e dada por A′ = π−A, pois saoangulos inscritos a circunferencia correspondentes a arcos replementaresBAC e BA′C. Entao

sen(π − A) =a

2R= sen(A)

isto e,a

sen(A)= 2R

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos osoutros quocientes

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R

3. Triangulo retangulo: Como o triangulo ABC e um triangulo retangulo,e imediato que

sen(B) =b

a, sen(C) =

c

a, sen(A) = sen(

π

2) = 1

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2.2. LEI DOS COSSENOS 10

Como, neste caso a = 2R, temos,

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)

2.2 Lei dos Cossenos

Em um triangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e igual adiferenca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados eo dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo formadopor estes lados.

a2 = b

2 + c2 − 2 b c cos(A)

b2 = a

2 + c2 − 2 a c cos(B)

c2 = a

2 + b2 − 2 a b cos(C)

Demonstracao: Temos tres casos a considerar, dependendo se o trianguloABC e acutangulo, obtusangulo ou retangulo.

1. Triangulo retangulo: Se o triangulo ABC e retangulo, com angulo retono vertice A, a relacao

a2 = b

2 + c2 − 2 b c cos(A)

Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta relacao recai na relacao de Pitagoras:

a2 = b

2 + c2

2. Triangulo acutangulo: Seja o triangulo ABC um triangulo acutangulocom angulo agudo correspondente ao vertice A, como mostra a figura.Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do

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2.2. LEI DOS COSSENOS 11

triangulo relativa ao lado AB), passando pelo vertice C. Aplicando oTorema de Pitagoras no triangulo CHB, temos:

a2 = h

2 + (c − x)2 = (h2 + x2) + c

2 − 2cx (2.1)

No triangulo AHC, temos que b2 = h2 + x2 e tambem cos(A) =x

b,

ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equacao 2.1,obtemos:

a2 = b

2 + c2 − 2 b c cos(A)

3. Triangulo obtusangulo: Seja o triangulo obtusangulo ABC com oangulo obtuso correspondente ao vertice A, como mostra a figura. Seja

o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triangulorelativa ao lado AB), passando pelo vertice C. Aplicando o Torema dePitagoras no triangulo CHB, temos que:

a2 = h

2 + (c + x)2 = (h2 + x2) + c

2 + 2cx (2.2)

No triangulo AHC, obtemos a relacao de Pitagoras b2 = h2 + x2 e

tambem cos(D) =x

b= cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).

Substituindo estes resultados na equacao 2.2, obtemos:

a2 = b

2 + c2 − 2 b c cos(A)

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2.3. AREA DE UM TRIANGULO EM FUNCAO DOS LADOS 12

As expressoes da lei dos cossenos podem ser escritas na forma

cos(A) =b2 + c2 − a2

2 b c

cos(B) =a2 + c2 − b2

2 a c

cos(C) =a2 + b2 − c2

2 a b

2.3 Area de um triangulo em funcao dos lados

Existe uma formula para calcular a area de um triangulo conhecendo-se asmedidas de seus lados. Se a, b e c sao as medidas dos lados do triangulo, p ametade do perımetro do triangulo, isto e: 2p = a + b + c, entao,

S =√

p(p − a)(p − b)(p − c)

A demonstracao da formula acima esta em nosso link Formula de Heron:http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm

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CAPITULO 4

Funcoes trigonometricas circulares

Funcoes circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circulare sao importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenomenosnaturais periodicos, como variacoes da temperatura terrestre, comportamentosondulatorios do som, pressao sanguınea no coracao, nıveis de agua em oceanos,etc.

4.1 Funcoes reais

Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definicoese propriedades que caracterizam a teoria de funcoes reais.

Funcao: Uma funcao de um conjunto nao vazio A em um conjunto nao vazioB, denotada por f : A → B, e uma correspondencia que associa a cadaelemento de A um unico elemento de B.

O conjunto A e denominado o domınio de f, o conjunto B e denominadocontradomınio de f . O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A

de acordo com a lei f , e a imagem de x por f , indicado por y = f(x).

O conjunto de todos elementos de B que sao imagem de algum elemento deA e denominado conjunto Imagem de f.

Uma funcao f e denominada funcao real de variavel real, se o domınio e

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4.2. FUNCOES CRESCENTES E DECRESCENTES 17

contradomınio de f sao subconjuntos do conjunto dos numeros reais.

Funcao periodica: Uma funcao real f , com domınio em A subconjunto dareta real, e dita periodica se, existe um numero real positivo T , tal que paratodo x ∈ A, vale

f(x + T ) = f(x)

Podem existir muitos numeros reais T com esta propriedade, mas o menornumero T > 0, que satisfaz a esta condicao e o perıodo fundamental.

Exemplo 1. A funcao real definida por f(x) = x − [x], onde [x] e a parte

inteira do numero real x que e menor ou igual a x. Esta funcao e periodica

de perıodo fundamental T = 1.

Funcao limitada: Uma funcao f de domınio A ⊂ R e limitada, se existe umnumero real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:

−L ≤ f(x) ≤ L

e esta ultima expressao e equivalente a |f(x)| ≤ L.

Exemplo 2. A funcao real f(x) =2x

1 + x2e limitada pois

−1 ≤ x

1 + x2≤ 1

4.2 Funcoes crescentes e decrescentes

Seja f uma funcao definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.Afirmamos que f e crescente, se f(x) < f(y) e que f e decrescente, sef(x) > f(y).

Exemplo 3. A funcao real f(x) = 2x + 1 e crescente enquanto que a funcao

real f(x) = e−x e decrescente.

4.3 Funcoes pares e ımpares

Funcao par: Uma funcao f e uma funcao par, se para todo x do domınio def tem-se que

f(−x) = f(x)

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4.4. FUNCAO SENO 18

Funcoes pares sao simetricas em relacao ao eixo vertical OY .

Exemplo 4. A funcao real definida por f(x) = x2 e par.

Funcao ımpar: Uma funcao f e uma funcao ımpar, se para todo x do domıniode f tem-se que

f(−x) = −f(x)

Funcoes ımpares sao simetricas em relacao a origem (0, 0) do sistema de eixoscartesiano.

Exemplo 5. A funcao real definida por f(x) = x3 e ımpar.

4.4 Funcao seno

Dado um angulo de medida x, a funcao seno associa a cada x ∈ R o senodo angulo x, denotado pelo numero real sen(x). A funcao e denotada porf(x) = sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].

x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 0√

2/2 1√

2/2 0 −√

2/2 −1 −√

2/2 0

Grafico: Na figura, o segmento Oy′ que mede sen(x), e a projecao do seg-mento OM sobre o eixo OY .

Propriedades da funcao seno

1. Domınio: A funcao seno esta definida para todos os valores reais, sendoassim Dom(sen) = R.

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4.4. FUNCAO SENO 19

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao seno e

I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}

3. Periodicidade: A funcao e periodica de perıodo 2π. Para todo x ∈ R epara todo k ∈ Z:

sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)

Justificativa: Pela formula do seno da soma de dois arcos, temos

sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)

Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, entao

sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)

A funcao seno e periodica de perıodo fundamental T = 2π. Completamoso grafico da funcao seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalode medida 2π.

4. Sinal

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Seno positiva positiva negativa negativa

5. Monotonicidade

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Seno crescente decrescente decrescente crescente

6. Limitacao: O grafico de y = sen(x) esta contido na faixa do planolimitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,temos:

−1 ≤ sen(x) ≤ 1

7. Simetria: A funcao seno e ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:

sen(−x) = −sen(x)

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4.5. FUNCAO COSSENO 20

4.5 Funcao cosseno

Dado um angulo de medida x, a funcao cosseno denotada por f(x) =cos(x), e a relacao que associa a cada x ∈ R o numero real cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].

x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 1√

2/2 0√

2/2 −1 −√

2/2 0√

2/2 1

Grafico: O segmento Ox, que mede cos(x), e a projecao do segmentoOM sobre o eixo horizontal OX.

Propriedades da funcao cosseno

8. Domınio: A funcao cosseno esta definida para todos os valores reais,assim Dom(cos) = R.

9. Imagem: O conjunto imagem da funcao cosseno e o intervalo

I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}

10. Periodicidade: A funcao e periodica de perıodo 2π. Para todo x ∈ R epara todo k ∈ Z:

cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)

Justificativa: Pela formula do cosseno da soma de dois arcos, temos

cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) − sen(x)sen(2kπ)

Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo

cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) − sen(x)(0) = cos(x)

A funcao cosseno e periodica de perıodo fundamental T = 2π.

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4.6. FUNCAO TANGENTE 21

11. Sinal

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Cosseno positiva negativa negativa positiva

12. Monotonicidade:

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Cosseno decrescente decrescente crescente crescente

13. Limitacao: O grafico de y = cos(x) esta contido na faixa localizadaentre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:

−1 ≤ cos(x) ≤ 1

14. Simetria: A funcao cosseno e par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:

cos(−x) = cos(x)

4.6 Funcao tangente

Como a tangente nao tem sentido para arcos da forma (k + 1)π

2para cada

k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos numeros reais diferentes destesvalores. Definimos a funcao tangente como a relacao que associa a estex ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =sen(x)

cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].

x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 0 1 Inexiste −1 0 1 Inexiste −1 0

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4.6. FUNCAO TANGENTE 22

Grafico: O segmento AT , mede tan(x). Pelo grafico, observamos que quandoa medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a funcao tangenteesta crescendo muito rapido, pois a reta que passa por OM tem coeficienteangular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a intersecaocom a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades

1. Domınio: Como cos(π

2+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que

Dom(tan) = {x ∈ R : x 6= π

2+ kπ}

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao tangente e o conjunto dosnumeros reais, assim I = R.

3. Periodicidade A funcao tangente e periodica de perıodo π

Para todo x ∈ R, com x 6= π

2+ kπ, sendo k ∈ Z:

tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)

Justificativa: Pela formula da tangente da soma de dois arcos, temos

tan(x + kπ) =tan(x) + tan(kπ)

1 − tan(x) · tan(kπ)=

tan(x) + 0

1 − tan(x).0= tan(x)

A funcao tangente e periodica de perıodo fundamental T = π.

Podemos completar o grafico da funcao tangente, repetindo os valoresda tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Tangente positiva negativa positiva negativa

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4.7. FUNCAO COTANGENTE 23

5. Monotonicidade: A tangente e uma funcao crescente, exceto nos pon-

tos x =kπ

2, sendo k ∈ Z, onde a funcao nao esta definida.

6. Limitacao: A funcao tangente nao e limitada, pois quando o angulo se

aproxima de (2k + 1)π

2, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A funcao tangente e ımpar, pois para todo x ∈ R onde atangente esta definida, tem-se que:

tan(−x) = − tan(x)

4.7 Funcao cotangente

Como a cotangente nao existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamosconsiderar o conjunto dos numeros reais diferentes destes valores. Definimosa funcao cotangente como a relacao que associa a cada x ∈ R, a cotangentede x, denotada por:

f(x) = cot(x) =cos(x)

sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].

x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y Inexiste 1 0 −1 Inexiste 1 0 −1 Inexiste

Grafico: O segmento Os′ mede cot(x).

O grafico mostra que quando a medida do arco AM esta proxima de π ou de−π, podemos verificar que o grafico da funcao cotangente cresce muito rapi-damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontale a sua intersecao com a reta s vai se tornando muito distante.

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4.7. FUNCAO COTANGENTE 24

Propriedades:

1. Domınio: Como a funcao seno se anula para arcos da forma kπ, ondek ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x 6= kπ}.

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao cotangente e o conjunto dosnumeros reais, assim I = R.

3. Periodicidade A funcao e periodica e seu perıodo e π. Para todo x ∈ R,sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:

cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)

A funcao cotangente e periodica de perıodo fundamental 2π.

4. Sinal

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Tangente positiva negativa positiva negativa

5. Monotonicidade: A cotangente e uma funcao sempre decrescente, ex-ceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a funcao nao esta definida.

6. Limitacao: A funcao cotangente nao e limitada, pois quando o angulose aproxima de kπ/2, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.

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CAPITULO 5

Funcoes trigonometricas inversas

Uma funcao f , de domınio D possui inversa somente se f for bijetora, logonem todas as funcoes trigonometricas possuem inversas em seus domınios dedefinicao, mas podemos tomar subconjuntos desses domınios para gerar novasfuncoes que restritas a conjuntos menores possuem inversas.

Exemplo 6. A funcao f(x) = cos(x) nao e bijetora em seu domınio de

definicao que e o conjunto dos numeros reais, pois para um valor de y corres-

pondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar

x = 2kπ, onde k e um numero inteiro, isto quer dizer que nao podemos

definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu domınio. Devemos entao restringir

o domınio a um subconjunto dos numeros reais onde a funcao e bijetora.

Como as funcoes trigonometricas sao periodicas, existem muitos intervalosonde elas sao bijetoras. E usual escolher como domınio, intervalos onde o zeroe o ponto medio ou o extremo esquerdo e no qual a funcao percorra todo seuconjunto imagem.

5.1 Funcao arco-seno

Consideremos a funcao f(x) = sen(x), com domınio no intervalo [−π/2, π/2]e imagem no intervalo [−1, 1]. A funcao inversa de f = sen, denominada arco

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5.2. FUNCAO ARCO-COSSENO 30

cujo seno, definida por sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] e denotada por

sen−1(x) = arcsen(x)

Grafico da funcao arco-seno

5.2 Funcao arco-cosseno

A funcao f(x) = cos(x), com domınio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,denominada arco cujo cosseno e e definida por cos−1 : [−1, 1] → [0, π] edenotada por

cos−1(x) = arccos(x)

Grafico da funcao arco-cosseno:

5.3 Funcao arco-tangente

A funcao f(x) = tan(x), com domınio (−π/2, π/2) e imagem em R, possuiuma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1 : R → (−π/2, π/2)e denotada por

tan−1(x) = arctan(x)

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5.4. FUNCAO ARCO-COTANGENTE 31

Grafico da funcao arco-tangente:

5.4 Funcao arco-cotangente

A funcao f(x) = cot(x), com domınio (0, π) e imagem em R, possui umainversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1 : R → (0, π) e deno-tada por

cot−1(x) = arccot(x)

Grafico da funcao arco-cotangente:

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