matem´atica 11.o / ensino m´edio - academia aberta · t matem´atica 11.o / ensino m´edio...

11
www.academiaaberta.pt www.academiaaberta.pt Matem´ atica 11. o / Ensino M´ edio Ficha+Aulas de Trigonometria Vers˜ao de 23 de Outubro de 2018. Verifique existe vers˜ao com data mais recente aqui. A Ficha+Aulas de Trigonometria inclui 11 aulas e 73 exerc´ ıcios em v´ ıdeo. Todos os direitos de autor est˜ao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva ([email protected], www.academiaaberta.pt e www.facebook.com/aaberta). A ficha tamb´ em est´a dispon´ ıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conte´ udos intera- tivos e f´ orum de tira d´ uvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguinte sequˆ encia: ıdeo da aula Resolver os exerc´ ıcios Confirmar resultados nos v´ ıdeos Para visualizar a resolu¸c˜ao dum exerc´ ıcio deve clicar no ´ ıcone junto ao mesmo. Os v´ ıdeos associados a esta ficha de trabalho tˆ em acesso gratuito. Quando compra um conte´ udo ` a Academia Aberta contribui para a manuten¸c˜ao e melhoria do site, aquisi¸ c˜ao de equipamento e software e para mostrar aos autores a sua gratid˜ ao! Quem acolhe um benef´ ıcio com gratid˜ ao, paga a primeira presta¸ ao da sua d´ ıvida. (Sˆ eneca, 04 a.C.-65). Caros estudantes, professores, explicadores, pais e amantes da matem´ atica, podem contribuir para a Academia Aberta atrav´ esda compra volunt´aria da licen¸ca de utiliza¸ c˜ao desta obra (3 euros ou 12 reais). O pagamento pode ser feito por transferˆ encia banc´ aria ou Paypal. Para tal, deve preencher o seguinte formul´ ario (clicar). Depois de o fazer receber´ a um email com a informa¸c˜ao necess´aria. Preencher e submeter o formul´ ario seguinte (clicar) O cliente recebe um email com os dados para pagamento O cliente envia o comprovativo da transferˆ encia banc´ aria A Academia Aberta envia o recibo de despesas de educa¸ ao AULA 1: Raz˜ oes trigonom´ etricas Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em . 1

Upload: dangduong

Post on 23-Jan-2019

230 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    Matematica 11.o / Ensino Medio

    Ficha+Aulas de Trigonometria

    Versao de 23 de Outubro de 2018.Verifique existe versao com data mais recente aqui.

    A Ficha+Aulas de Trigonometria inclui 11 aulas e 73 exerccios em vdeo.Todos os direitos de autor estao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva([email protected], www.academiaaberta.pt e www.facebook.com/aaberta). A fichatambem esta disponvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conteudos intera-tivos e forum de tira duvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguintesequencia:

    Vdeo da aula Resolver os exerccios Confirmar resultados nos vdeosPara visualizar a resolucao dum exerccio deve clicar no cone junto ao mesmo.

    Os vdeos associados a esta ficha de trabalho tem acesso gratuito. Quando compra umconteudo a Academia Aberta contribui para a manutencao e melhoria do site, aquisicaode equipamento e software e para mostrar aos autores a sua gratidao!

    Quem acolhe um benefcio com gratidao, paga a primeira prestacao da sua dvida.(Seneca, 04 a.C.-65).

    Caros estudantes, professores, explicadores, pais e amantes da matematica, podemcontribuir para a Academia Aberta atraves da compra voluntaria da licenca de utilizacaodesta obra ( 3 euros ou 12 reais). O pagamento pode ser feito por transferenciabancaria ou Paypal. Para tal, deve preencher o seguinte formulario (clicar). Depois de ofazer recebera um email com a informacao necessaria.

    Preencher esubmeter oformulario

    seguinte (clicar)

    O clienterecebe um

    email com osdados parapagamento

    O clienteenvia o

    comprovativo datransferenciabancaria

    AAcademia Abertaenvia o recibo de

    despesas deeducacao

    AULA 1: Razoes trigonometricas

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em .

    1

    http://bit.ly/ficha_aulas_trigonometria11mailto:[email protected]://www.academiaaberta.pthttp://www.facebook.com/aabertawww.academiaaberta.pthttp://bit.ly/contribuicaovoluntariahttp://bit.ly/contribuicaovoluntariahttp://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0a0d.html?id=2618&chapterid=1232

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    1.1. Determine, com aproximacao as decimas, a area do quadrilatero [ABCD].

    1

    2

    3

    1

    1 2 3 4 5 6 7 81 A B

    CD

    28

    29

    21.3

    cm

    1.2. Determine, com base nas indicacoes da figura, a altura da do poste de eletrici-dade arredondada as centesimas.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    12

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161A B C

    D

    b 43

    22.5 b b

    b

    21.3 m

    1.3. Determine, com arredondamento as centesimas, a area a sombreado na figura,limitada por uma circunferencia e por um polgono regular.

    1

    2

    3

    1

    2

    1 212

    b

    6 cm

    2

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewf381.html?id=2618&chapterid=1223http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewf381.html?id=2618&chapterid=1223http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewf381.html?id=2618&chapterid=1223

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 2: Angulos de referencia

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 2 clique em .

    2.1. Determine o valor exato do permetro do seguinte triangulo:

    1

    2

    3

    4

    11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171 A

    B

    C30

    7 cm

    10 cm

    2.2. Simplifique cada uma das seguintes expressoes:

    (a) sen45 cos 30 2 tg60 (b)

    tg45 + 2 sen30

    sen60 4 cos 60 (c) 6 tg230 sen30

    cos 30

    3

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view5cdb.html?id=2618&chapterid=1234http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view25ce.html?id=2618&chapterid=1233http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view25ce.html?id=2618&chapterid=1233

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 3: Angulo e arco generalizados

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 3 clique em .

    3.1. Represente num referencial os angulos de amplitudes 75, 200, 240 e 1256,indique o seu quadrante e a expressao geral dos angulos com o mesmos lado origeme lado extremidade que cada um deles.

    AULA 4: O Radiano

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 4 clique em .

    4.1. Converta em radianos 210, 195 e 9635.

    4

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewa89a.html?id=2618&chapterid=1235http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0758.html?id=2618&chapterid=1231http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view75f8.html?id=2618&chapterid=1227http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view6d09.html?id=2618&chapterid=1230

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    4.2. Converta em graus10

    3 rad, 7

    5 rad e 5 rad.

    4.3. Determine o comprimento do arco s, a amplitude em radianos de e o raio r dacircunferencia:

    (a)

    1

    2

    1

    2

    1 2123100

    5 cm

    s

    (b)

    1

    2

    1

    2

    1 2123

    3 cm

    6 cm

    (c)

    1

    2

    1

    2

    1 2123

    1.2 rad

    8 cm

    r

    AULA 5: Crculo trigonometrico

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 5 clique em .

    5.1. Na figura seguinte estao representados o crculo trigonometrico e os angulosmultiplos de 30 e de 45. Determine a amplitude dos angulos em graus e radianose os valores exatos dos seus senos, co-senos e tangentes. Confirme os valores obtidosna calculadora.

    5

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view6d09.html?id=2618&chapterid=1230http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view6d09.html?id=2618&chapterid=1230http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view6d09.html?id=2618&chapterid=1230http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view6d09.html?id=2618&chapterid=1230http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewf0af.html?id=2618&chapterid=1228http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    1

    1

    11 x

    y

    0 1

    5.2. Calcule o valor exato de cada uma das expressoes:

    (a) sen + sen0 + cos sen(

    3

    2

    )

    3 cos 32;

    (b) sen

    (

    19

    3

    )

    + cos (3) tg(

    13

    4

    )

    + cos

    (

    136

    )

    ;

    (c) tg

    (

    17

    4

    )

    + cos (6) sen(

    72

    )

    + cos

    (

    436

    )

    .

    5.3. Qual o quadrante em que:

    (a) o seno e positivo e crescente;

    (b) o seno e negativo e o co-seno positivo;

    (c) a tangente e negativa e o co-seno e crescente;

    (d) o seno e decrescente e o co-seno crescente.

    5.4. Determine, recorrendo a intervalos de numeros reais, os valores de k para os quaisas seguintes condicoes sao possveis:

    (a) senx =1 3k

    2 x ], 2[ (b) cos x = k2 2k + 1 x 1.Q

    (c) tgx = 4 k2 x ]

    2,

    [

    .

    5.5. Determine o contradomnio de cada uma das seguintes funcoes:

    (a) f(x) = 2 + 3 sen(x

    2

    )

    ; (b) f(x) = 1 2 cos2 x;

    (c) f(x) = 1 + tg2x; (d) f(x) =1 3 cos2 x

    2;

    (e) f(x) =2 sen (x2)

    3; (f) f (x) =

    8

    3 + 2 senx.

    6

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view77bf.html?id=2618&chapterid=1226

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 6: Reducao ao 1. quadrante

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 6 clique em .

    6.1. Exprima nas razoes trigonometricas do angulo de amplitude cada uma das se-guintes expressoes:

    (a) sen (3 ) cos (7 + ) sen(

    2

    )

    ;

    (b) sen

    (

    3

    2

    )

    + 2 cos

    (

    5

    2

    )

    + tg (15 );

    (c) tg

    (

    52 +

    2

    )

    cos(

    72 +

    2

    )

    .

    6.2. Calcule o valor exato de cada uma das seguintes expressoes recorrendo a reducao aoprimeiro quadrante:

    (a) 4 sen

    (

    2

    3

    )

    2 cos(

    11

    4

    )

    3 tg(

    13

    4

    )

    ;

    (b)10 sen

    (

    11

    6)

    + 6 tg(

    9

    4)

    1 2 cos(

    23) .

    7

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view321e.html?id=2618&chapterid=1229http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view2cbb.html?id=2618&chapterid=1243http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view2cbb.html?id=2618&chapterid=1243http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view2cbb.html?id=2618&chapterid=1243http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view2cbb.html?id=2618&chapterid=1243http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view2cbb.html?id=2618&chapterid=1243

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 7: Formulas trigonometricas

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 7 clique em .

    7.1. Sabendo que cos =1

    3e que ], 2[ determine o valor exato de sen2 tg.

    7.2. Sabendo que tg ( ) = 5 e que ]0, [ determine o valor exato de

    sen(

    2

    )

    + cos ( + ) tg (5 ) .

    7.3. Sabendo que tg( ) = 12e que ]0, [ calcule o valor exato de

    5sen(

    2

    )

    + 2 cos(

    72

    )

    2tg (33 ) .

    7.4. Mostre que, sempre que as expressoes tem sentido, se tem:

    (a) ( senx cos x)2 + 4 senx cosx 1 = 2 tgxcos2x;

    (b)( senx cos x)2 1

    2 senx= cosx;

    (c)1

    1 senx 1

    1 + senx=

    2 tgx

    cos x.

    8

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view49c3.html?id=2618&chapterid=1224http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view0fc8.html?id=2618&chapterid=1244

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 8: Funcoes trigonometricas

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 8 clique em .

    8.1. Na figura seguinte esta representado o grafico de uma funcao real de variavelreal definida por f(x) = a+ b sen(2x) para a, b R. Determine f(x).

    1

    2

    3

    1

    2

    1 2 3 4 5 612345

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    4 3

    2

    32

    2

    x

    y

    b b

    b

    1

    2

    5

    2+

    b

    |

    f

    9

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewfb93.html?id=2618&chapterid=1236http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view05ab.html?id=2618&chapterid=1225

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    AULA 9: Equacoes trigonometricas

    Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 9 clique em .

    9.1. Resolva, cada uma das seguintes equacoes trigonometricas e indique, para as tresprimeiras, as solucoes que pertencem ao intervalo [, ].

    (a) 2 senx = 3 (b)

    2 2 sen(3x) = 0

    (c) 3 tgx = 33 (d) cosx+

    3

    2= 0

    (e) 2 cos(x

    2

    )

    +3 = 0 (f) 1 2 sen2

    (

    3

    )

    = 0

    9.2. Resolva no sistema circular cada uma das seguintes equacoes:

    (a) ( senx+ 2)(

    tgx+3)

    = 0 (b) 2 cos(

    2x 3

    )

    +3 = 0

    (c) 2cos2x+3 cosx = 0 (d) 2cos2x+ 2 = 5 cosx

    (e) senx = cos x (f) sen(2x) = cos(

    5

    )

    (g) cos (2x) + 3 senx = 2 (h)3 cosx senx = 1

    (i) senx+ cosx = 1 (j) 12sen(2x) = senx

    (l) 1 + cos t = cos t2

    9.3. Uma funcao f e periodica de perodo P se f(x + P ) = f(x), x Df . Aomenor valor da constante P que verifica esta condicao chamamos perodo positivomnimo de f .

    10

    http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/viewb479.html?id=2618&chapterid=1237http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240http://academiaaberta.pt/10.0.0.127/moodle/mod/book/view8732.html?id=2618&chapterid=1240

  • www.academiaaberta.pt

    www.academiaaberta.pt

    Tendo esta definicao em consideracao, determine o perodo positivo mnimo dafuncao definida por f(x) = 4 + 2 sen(3x 1).

    11

    fd@rm@0: fd@rm@1: fd@rm@2: fd@rm@3: fd@rm@4: fd@rm@5: fd@rm@6: fd@rm@7: fd@rm@8: