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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Funcoes Funcoes Trigonometricas Equacao de Reta

MAT146 - Calculo I - Pre-Calculo

Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva

Edson Jose Teixeira

MAT146 - Calculo I - Pre-Calculo UFV


Comecaremos o curso de Calculo I com uma breve revisao de alguns pre-requisitos necessarios para um bom desempenho na disciplina.

DefinicaoSejam A,B conjuntos nao-vazios. Uma funcao f de A em B, denotadapor f : A → B, e uma lei que associa a cada elemento x ∈ A um unicoelemento y ∈ B. Denotamos y = f (x).

I O conjunto A e chamado domınio de f e sera denotado por Dom(f ).

I O conjunto B e o contradomınio de f .

I A imagem de f e definido como

Im(f ) := {f (x) ∈ B; x ∈ A}.



ObservacaoDada uma funcao real f , o conjunto Dom(f ) sera considerado o domıniomaximo da funcao, ou seja, e o conjunto de todos os numeros reais ondef esta bem definida. Quando conveniente, poderemos fazer restricoes nodomınio.



Exemplo

I Seja f uma funcao dada por f (x) =x2 + 1

x2 − 1. Assim,

Dom(f ) = {x ∈ R; x2 − 1 6= 0} = R \ {−1, 1}.

I Seja g uma funcao dada por g(x) =√

x + 1. Temos

Dom(g) = {x ∈ R; x + 1 ≥ 0} = [−1,∞).



DefinicaoSeja f : A → B uma funcao. O grafico de f , e definido como sendo oseguinte conjunto

{(x , f (x)) ∈ R2; x ∈ A}.

I O grafico de uma funcao e construıdo em um sistema de coordenadascartesianas constituıdas por dois eixos coordenados ortogonais.

I O eixo horizontal, ou eixo x , e o eixo das abscissas onde marcaremosa primeira coordenada do grafico de f .

I O eixo vertical, ou eixo y , e o eixo das ordenadas onde marcaremosa segunda coordenada do grafico de f .



−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

0

f (1)

f (2)

f (x)

x

Figura : Grafico de uma funcao



Geometricamente, o grafico de uma funcao pode interceptar no maximouma unica vez cada reta paralela ao eixo−y .

ExemploConsidere o seguinte subconjunto de R2 dado por

S = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}.

Este conjunto de pontos nao representa o grafico de uma funcao, pois paraum mesmo valor de x , encontramos dois valores distintos de y satisfazendo

a equacao x2 + y2 = 1. De fato, para x = 12 , tome y = −

√32 ou y =

√32 .

Graficamente isso significa que a reta vertical x =1

2intercepta o conjunto

em mais de um ponto.



−1 1x

−1

1

y

0

x = 12

Figura : Curva que nao representa grafico de funcao



Antes de continuar a revisao sobre diferentes tipos de funcoes, definiremosalgumas operacoes.

DefinicaoSejam f , g : A→ R funcoes. Definimos as seguintes operacoes:

(i) (f + g)(x) := f (x) + g(x);

(ii) (f − g)(x) := f (x)− g(x);

(iii) (f · g)(x) := f (x) · g(x);

(iv)

(f

g

)(x) :=

f (x)

g(x), desde que g(x) 6= 0;

(v) (k · f )(x) := k · f (x).

ObservacaoAs operacoes acima so fazem sentido se x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g).



DefinicaoSejam f : A→ B e g : C → D funcoes tais que Im(f ) ⊂ C . Definimos acomposta de g com f , denotada por (g ◦ f ), por

(g ◦ f )(x) = g(f (x)), para todo x ∈ A.

x f (x) g(f (x))

f g

g ◦ f

Figura : Ilustracao de Composta de Funcoes



ObservacaoEm geral,

(f ◦ g) 6= (g ◦ f ),

como veremos no proximo exemplo.

ExemploSejam f : R→ R dada por f (x) = 2x + 1 e g : [0,∞)→ R definida porg(x) =

√x .



Vamos calcular as duas composicoes

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 1) =√

2x + 1 :

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x + 1.

Observe que Dom(f ◦ g) = [0,+∞) e Dom(g ◦ f ) =

[−1

2,+∞

).



DefinicaoSeja f : A→ R uma funcao. Sejam x1, x2 ∈ A. Diremos que

I f e estritamente crescente em A, se

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

I f e estritamente decrescente em A, se

x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

I f e crescente (ou nao-decrescente) em A, se

x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)

I f e decrescente (ou nao-crescente) em A, se

x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2)



Figura : Funcao Estritamente Decrescente



Funcao Constante:

Seja f : R → R dada por f (x) = k , para todo x ∈ R, onde k e umaconstante real qualquer.

−2 −1 1 2 3 4 5 6

x

−1

1

2

y

0

} } } }f (1) f (2) f (3) f (x)

Figura : Funcao Constante

A funcao constante e um exemplo de funcao que e crescente e decrescentesimultaneamente.



Funcao Identidade:

Seja f : R→ R dada por f (x) = x .

x

y

0 x

x

Figura : Funcao Identidade



Funcao Afim:

Seja f : R→ R dada por f (x) = ax + b, onde a, b ∈ R e a 6= 0. O graficodesta funcao e uma reta.

−2 −1 1 2

x

−1

1

y

0

f (x) = x − 1a > 0

Figura : Funcao Afim Crescente



−1 1 2 3

x

−1

1

2

y

0

f (x) = −x + 2a < 0

Figura : Funcao Afim Decrescente

A constante a e chamada coeficiente angular que e a tangente do anguloformado entre a reta e o eixo x .



Funcao Quadratica:

Seja f : R→ R dada por f (x) = ax2 + bx + c , onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. Ografico desta funcao e uma parabola. A concavidade da parabola dependedo sinal da constante a.



I Se a > 0 a parabola tem concavidade voltada para cima.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

−1

1

2

3

y

0

f (x) = x2 − x + 1a > 0

Figura : Parabola com Concavidade para Cima



I Se a < 0 a parabola tem concavidade voltada para baixo.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

−2

−1

1

2

y

0

g(x) = −x2 + x + 2a < 0

Figura : Parabola com Concavidade para Baixo



As coordenadas do vertice da parabola sao dadas por V = (xv , yv ), onde

xv = − b

2ae yv = −∆

4a= −b2 − 4ac

4a.

Pela formula de Bhaskara, temos que

f (x) = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0

⇔ x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.



Logo, definido ∆ = b2 − 4ac , podemos concluir que

I Se ∆ > 0, entao o grafico intercepta o eixo x em dois pontosdistintos.

I Se ∆ = 0, entao o grafico de f intercepta o eixo x no ponto de

abscissa x = − b

2a.

I Se ∆ < 0, entao o grafico de f nao intercepta o eixo x , ou seja, ografico encontra-se totalmente acima ou totalmente abaixo do eixox .



Funcao Polinomial:

Uma funcao polinomial e uma funcao f : R→ R da forma

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn,

onde a0, a1, ..., an ∈ R e n ∈ N.

Quando n = 1, temos uma funcao afim. Quando n = 2, temos uma funcaoquadratica. O numero natural n e chamado grau do polinomio.



Funcao Racional:

Uma funcao f e chamada funcao racional quando ela e o quociente dedois polinomios, ou seja,

f (x) =p(x)

q(x),

onde p e q sao funcoes polinomiais.Neste caso

Dom(f ) = {x ∈ R; q(x) 6= 0}.



Funcao Definida por Partes:

Este e um tipo de funcao definida de forma diversa em diferentes partesdo seu domınio.

ExemploSeja f : R→ R definida por

f (x) =

{x + 1, se x < 1

x2, se x ≥ 1



O grafico desta funcao e dado por

−3 −2 −1 1 2 3x

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

0

Figura : Funcao Definida por Partes



ExemploOutro exemplo de funcao definida por partes e a funcao modular, oufuncao valor absoluto f : R→ R definida por

f (x) = |x |.

Utilizando a definicao de modulo, podemos escrever

f (x) = |x | =

{x , se x ≥ 0−x , se x < 0

.



−3 −2 −1 1 2 3

x

1

2

3

y

0

Figura : Funcao Modular



Propriedades do Modulo

I |x | ≥ 0 e |x | = 0 se e somente se x = 0

I x ≤ |x |I |x + y | ≤ |x |+ |y | (Desigualdade Triangular)

I ||x | − |y || ≤ |x − y |

ObservacaoSe conhecermos o grafico de uma funcao f , para construir o grafico deg = |f |, basta refletir a parte negativa do grafico de f em torno do eixo x .



ExemploSejam f , g : R→ R funcoes dadas por

f (x) = x − 1 e g(x) = |f (x)|.

Pela definicao de modulo, podemos escrever

g(x) = |x − 1| =

{x − 1, se x ≥ 1−x + 1, se x < 1

.

Assim, os graficos de f e g sao ilustrados na figura abaixo.



−2 −1 1 2 3 4

x

−2

−1

1

2

y

0

|x − 1|

x − 1

Figura : Grafico do Modulo de uma Funcao



Funcao Exponencial:

Seja a > 0, a 6= 1. A funcao exponencial de base a e uma funcao f : R→ Rdefinida por

f (x) = ax .

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

x

−1

1

2

3

4

5

6y

0

Figura : Exponencial de Base a > 1.



−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

x

−1

1

2

3

4

5

6y

0

Figura : Exponencial de Base 0 < a < 1.



Propriedades:

I a0 = 1

I ax > 0, para qualquer x ∈ RI ax+y = ax .ay

I (ax)y = axy

I a−x =1

axI f e crescente se a > 1

I f e decrescente se 0 < a < 1.



Funcao Logarıtmica:

Seja x > 0. Definimos o logaritmo de x na base a, a > 0, a 6= 1 comosendo

logax = y ⇔ ay = x .

Desta forma, podemos falar da funcao logarıtmica g : (0,+∞) → Rdefinida por g(x) = loga x .Quando a = e, escreveremos simplesmente

g(x) = ln x .



ObservacaoNote que definimos anteriormente a funcao exponencial de base asomente para a > 0, a 6= 1. Logo, a base do logaritmo tambem devesatisfazer esta condicao.

PropriedadesSejam a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 0. Entao

I loga xy = loga x + loga y

I loga xy = y loga x

I loga

x

y= loga x − loga y



Propriedades

I Se a > 1, a funcao logarıtmica e estritamente crescente, ou seja,

x < y ⇒ loga x < loga y

I Se 0 < a < 1, a funcao logarıtmica e estritamente decrescente, ouseja,

x < y ⇒ loga x > loga y

I (Mudanca de Base) loga x =logb x

logb a.

I loga(ax) = x , para todo x ∈ R.I aloga x = x , para todo x > 0.



Os graficos das funcoes exponencial e logarıtmica, de base iguais, saosimetricos em relacao a reta y = x .

1 2 3 4 5 6 7 8 9x

−3

−2

−1

1

2

y

0

Figura : Funcao Logarıtmica Crescente



1 2 3 4 5 6 7 8 9x

−3

−2

−1

1

2

3

y

0

Figura : Funcao Logarıtmica Decrescente



Funcoes Seno e Cosseno:

Assumiremos o conhecimento do cırculo trigonometrico, onde adotamoso sentido anti-horario como o sentido positivo e o sentido horario comosendo o negativo. Durante todo o curso, a menos que se diga ocontrario, todos angulos serao medidos em radianos, lembrando que πradianos corresponde a 180 graus, ou seja, a volta completa no cırculotrigonometrico corresponde a 2π radianos.



Considere um ponto P = (x , y) sobre o cırculo trigonometrico de raio 1.O segmento ligando o ponto P ao centro do cırculo forma um angulo αcom o eixo x . Definimos o seno e o cosseno de um angulo α, denotadospor senα e cosα respectivamente, como sendo

senα = y e cosα = x .



1−1

1

−1

x

y

0

P = (x, y)

α

+

−

x2 + y2 = 1

cosα

sen α

Figura : Cırculo Trigonometrico

Desta forma, o domınio de ambas e o conjunto dos numeros reais R e oconjunto imagem e o intervalo [−1, 1].



Para quaisquer α, β ∈ R, valem as seguintes identidades

I sen2 α + cos2 α = 1

I sen(α + β) = senα cosβ + senβ cosα

I cos(α + β) = cosα cosβ − senα senβ

I sen(α− β) = senα cosβ − senβ cosα

I cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ



ExercıcioUtilizando as identidades acima, verifique que

a) sen(−α) = − senα

b) cos(−α) = cosα

c) sen(α +

π

2

)= cosα

d) sen(α− π

2

)= − cosα

e) cos(α +

π

2

)= − senα

f) cos(α− π

2

)= senα

g) sen (α + π) = − senα

h) sen (α− π) = − senα

i) cos (α + π) = − cosα

j) cos (α− π) = − cosα

k) sen(2α) = 2 senα cosα

l) cos(2α) = cos2 α− sen2 α

m) sen2 α =1− cos(2α)

2

n) cos2 α =1 + cos(2α)

2



Funcao Tangente:

A funcao tangentetg : R \ A→ R

e definida por

tgα =senα

cosα,

ondeA =

{π2

+ kπ; k ∈ Z}.

Note que ouve a necessidade de excluir o conjunto A do domınio datangente, visto que a funcao cosseno se anula neste pontos. A imagemdesta funcao e todo conjunto dos numeros reais R.



−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

x

y

0

Figura : Grafico da Funcao Tangente



Funcoes Cotangente, Secante e Cossecante:

As funcoes cotangente, secante e serao definidas respectivamente por

cotgα =cosα

senα

secα =1

cosα

cossecα =1

senα



Note que o domınio da secante coincide com o domınio da tangente. Odomınio da cotangente coincide com o domınio da cossecante e e dado por

R \ {kπ; k ∈ Z} .



−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

x

y

0

Figura : Grafico da Funcao Cotangente



−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

x

y

0

Figura : Grafico da Funcao Secante



−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π

x

y

0

Figura : Grafico da Funcao Cossecante



Valem as seguintes relacoes trigonometricas

I 1 + tg2 α = sec2 α

I 1 + cotg2 α = cossec2 α

I tg(−α) = − tgα

I sec(−α) = secα

I cossec(−α) = − cossecα



Equacao da Reta:

Sejam dois pontos distintos no plano P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), comx1 6= x2. Considere um ponto P = (x , y) qualquer sobre tal reta.

x

y

x1 x x2

y1

y

y2

P1

P

P2

α

α

y2 − y1

y − y1



Por semelhanca de triangulo temos

y2 − y1x2 − x1

=y − y1x − x1

.

Isolando y na equacao acima, encontramos

y =

(y2 − y1x2 − x1

)x +

(y1 −

y2 − y1x2 − x1

x1

).

Note que o coeficiente angular da reta acima, dado por a =y2 − y1x2 − x1

, e a

tangente do angulo α formado entre a reta e o eixo x .



Outra maneira de determinar a equacao de uma reta e conhecendo umponto e o coeficiente angular da mesma. Suponhamos que o coeficienteangular da reta seja a e P1 = (x1, y1) seja um ponto sobre a mesma. Pelomesmo raciocınio apresentado anteriormente, temos que

a =y − y1x − x1

,

ou seja, a equacao e dada por

y = a(x − x1) + y1.


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