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MAT146 - Calculo I - Continuidade e Assıntotas
Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva
Edson Jose Teixeira
MAT146 - Calculo I - Continuidade e Assıntotas UFV
DefinicaoUma funcao f : I → R, onde I ⊂ R e um intervalo nao degenerado econtınua a direita em a se
limx→a+
f (x) = f (a).
Uma funcao f : I → R, onde I ⊂ R e um intervalo nao degenerado econtınua a esquerda em a se
limx→a−
f (x) = f (a).
Assim, definiremos a continuidade em um ponto interior a do domınio deuma funcao f , se, e somente se, ela for contınua tanto a direita em aquanto a esquerda em a.
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Em outras palavras, temos a seguinte definicao
DefinicaoDizemos que uma funcao e contınua em um ponto interior a de seudomınio se, e somente se,
limx→a
f (x) = f (a).
Definicoes mais especıficas podem ser extraıdas a partir da ultima definicao,como a seguinte:
DefinicaoDizemos que uma funcao e contınua em um intervalo aberto se, esomente se, ela for contınua em todos os numeros do intervalo aberto.
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Agora, podemos definir continuidade em um intervalo fechado.
DefinicaoUma funcao cujo domınio inclui o intervalo fechado [a, b] sera contınuaem [a, b] se, e somente, ela for contınua no intervalo aberto (a, b),contınua a direita em a e contınua a esquerda em b.
ObservacaoUsando a condicao (ε, δ), podemos expressar a definicao de limite daseguinte forma.
DefinicaoA funcao f sera contınua em um ponto interior a de seu domınio se festiver definida em um aberto contendo a e se para todo ε > 0, existirum δ > 0, tal que
se | x − a |< δ, entao | f (x)− f (a) |< ε.
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ExemploSeja f definida por
f (x) =
{2x + 1 se x 6= 2
1 se x = 2
Neste exemplo, a funcao f esta definida em todos os numeros reais, ouseja, Dom(f ) = R.. Observe que existe uma ”quebra”no grafico ondex = 2. Assim, devemos verificar se lim
x→2f (x) = f (2).
Por definicao da funcao, f (2) = 1. Como
limx→2
2x + 1 = 5 6= 1 = f (2),
f e descontınua em x = 2.
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Seja a 6= 2 ∈ R. Como f (a) = 2a + 1 e
limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = 2(a) + 1 = f (a),
entao f e contınua para todo x ∈ R, tal que x 6= 2.
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Intuitivamente, qualquer funcao y = f (x) cujo grafico possa ser esbocadosobre seu domınio em um movimento contınuo, sem levantar o lapis, e umexemplo de funcao contınua.
DefinicaoUma funcao contınua e aquela contınua em cada ponto de seu domınio.
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Figura : Continuidade da funcao f (x) = x2 no ponto (√
2, 2)
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ExemploSeja f definida por
f (x) =x
x2 + 1
Observe que o grafico acima de f pode ser esbocado em um movimentocontınuo, sem levantar o lapis. Isto nos diz intuitivamente que f econtınua em todo ponto x ∈ R.
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ExemploConsidere a seguinte figura que representa o grafico de uma funcaodescontınua.
Nela, os limites laterais existem e limx→0
f (x) 6= f (0).
Esta descontinuidade e removıvel e sera definida formalmente a seguir.
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DefinicaoSeja f uma funcao descontınua em um numero a, mas para o quallimx→a
f (x) existe. Assim,
limx→0
f (x) 6= f (a).
Tal descontinuidade e chamada de descontinuidade removıvel, pois sef for redefinida em a de tal forma que lim
x→0f (x) = f (a), a funcao tornar
se-a contınua em a.
Se a continuidade nao for removıvel, ela sera chamada dedescontinuidade essencial.
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No exemplo anterior, abordamos uma funcao com uma descontinuidaderemovıvel.Vejamos agora um exemplo de funcao com uma descontinuidade essencial.
Exemplo
Seja f (x) =
{3x + 2, se x < 2−x + 7, se x ≥ 2
Como
limx→2−
f (x) = limx→2−
3x + 2 = 8 e limx→2+
f (x) = limx→2+
−x + 7 = 5,
nao existe limite de f (x) quando x → 2.
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Propriedades de Funcoes Contınuas
No proximo teorema, veremos quando podemos realizar operacoes comfuncoes contınuas em um ponto e ainda obter uma funcao contınua.
TeoremaSe as funcoes f e g sao contınuas em a, entao as seguintes funcoes saocontınuas em a:
1. f + g2. f − g3. k · f4. f · g5. f /g , desde que g(a) 6= 06. f n sendo n um inteiro positivo
7. n√
f desde que seja definida em um intervalo aberto contendo a, en seja um inteiro positivo.
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Compostas
No proximo teorema, veremos sobre a continuidade da composta defuncoes.
TeoremaSe f e uma funcao contınua em a e g e uma funcao contınua em f (a),entao a composta g ◦ f e continua em a
Neste caso, limx→a
g(f (x)) = g(f (a)).
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Teoremas Envolvendo Continuidade
A seguir, enunciaremos alguns teoremas sobre a continuidade de algumasfuncoes.
TeoremaUma funcao polinomial e contınua em todo numero real.
TeoremaUma funcao racional e contınua em todos os numeros de seu domınio.
TeoremaSe n for um inteiro positivo e f (x) = n
√x, entao:
(i) Se n for ımpar, f sera contınua em todo numero real.
(ii) Se n for par, f sera contınua em todo numero positivo a.
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Teoremas Envolvendo Continuidade
TeoremaA funcao exponencial f (x) = ax , com a > 0, a 6= 1 e contınua.
TeoremaA funcao logarıtmica f (x) = loga(x) com a > 0 e a 6= 1 e contınua emtodo seu domınio.
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Teoremas Envolvendo Continuidade
Um teorema bastante utilizado nao so na demonstracao do limitefundamental
limt→0
sin t
t
e o teorema conhecido por Teorema do Sanduıche que enunciaremos aseguir:
TeoremaSuponha que as funcoes f , g e h estejam definidas em algum intervaloaberto I contendo a, exceto possivelmente no proprio a e que
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ I , tal que x 6= a.
Suponha tambem que limt→a
f (x) e limt→a
h(x) existam e tenham o mesmo
valor L. Entao, limt→a
g(x) existe e e igual a L.
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Teoremas Envolvendo Continuidade
Com o teorema do sanduıche, podemos provar o seguinte teorema:
Teoremalimt→0
sin t
t= 1
ExemploCom o teorema anterior, podemos agora, calcular o seguinte limite
limx→0
sin 3x
sin 5x.
limx→0
sin 3x
sin 5x=
limx→0
sin 3x
limx→0
sin 5x=
lim3x→0
3sin 3x
3x
lim5x→0
5sin 5x
5x
=3
5
lim3x→0
sin 3x
3x
lim5x→0
sin 5x
5x
=3
5· 1
1=
3
5.
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Teoremas Envolvendo Continuidade
TeoremaA funcao sin(x) e contınua em todos os numeros reais.
TeoremaA funcao Cosseno e contınua em todos os numeros reais.
TeoremaA funcao tangente, cotangente, secante e cossecante sao contınuas emseus domınios.
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Teoremas Envolvendo Continuidade
Teorema
limt→0
1− cos t
t= 0
Prova:
limt→0
1− cos t
t= lim
t→0
(1− cos t)(1 + cos t)
t(1 + cos t)
= limt→0
(1− cos2 t)
t(1 + cos t)
= limt→0
sin2 t
t(1 + cos t)
= limt→0
sin t
t· limt→0
sin t
(1 + cos t)
= 1 · limt→0
sin t
(1 + cos t)=
0
1 + 1= 0
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Os limites infinitos podem ser aplicados para encontrar assıntotas verticaisde um graficos, se elas existırem. A figura abaixo que representa o graficoda funcao f (x) = 1
x−2
Neste caso, quanto mais os valores de x se aproximam do numero 2, ografico de f (x) se aproxima da reta x = 2.
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DefinicaoA reta x = a sera uma assıntota vertical do grafico da funcao f , se pelomenos uma das alternativas abaixo for verdadeira:
(i) limx→a+
f (x) = +∞
(ii) limx→a+
f (x) = −∞
(iii) limx→a−
f (x) = +∞
(iv) limx→a−
f (x) = −∞
ObservacaoDada uma funcao f contınua, pode existir mais de uma assıntota verticale o grafico nunca interceptara tais assıntotas.
Geometricamente, a assıntota vertical do grafico de uma funcao f e areta paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (a, 0).
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Exemplo
Ache a(s) assıntota(s) vertical(is) da funcao f (x) =x + 2
x2 − 4.
Observe que os candidatos a assıntotas verticais sao x = 2 e x = −2,pois sao os valores que satisfazem a equacao x2 − 4 = 0.Como
limx→−2
x + 2
x2 − 4= lim
x→−2
x + 2
(x − 2)(x + 2)= lim
x→−2
1
x − 2= −1
4,
x = −2 nao e uma assıntota vertical.
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Como
limx→2−
x + 2
x2 − 4= lim
x→2−
x + 2
(x − 2)(x + 2)= lim
x→2−
1
x − 2= −∞
e
limx→2+
x + 2
x2 − 4= lim
x→2+
x + 2
(x − 2)(x + 2)= lim
x→2+
1
x − 2= +∞,
pela definicao, a reta x = 2 e uma assıntota Vertical.
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Segue o grafico da funcao f (x) =x + 2
x2 − 4e de sua assıntota.
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DefinicaoUma reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico de uma funcaoy = f (x) se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for valida:
(i) limx→+∞
f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x > N,
entao f (x) 6= b.
(ii) limx→−∞
f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x < N,
entao f (x) 6= b
ObservacaoA assıntota horizontal pode nao ser unica e o grafico da funcao y = f (x)pode interceptar a assıntota.
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ExemploEncontre a(s) assıntota(s) horizontal(is) da funcao f (x) = x2−4x+2
3x2−2 .
Observe que
limx→∞
x2 − 4x + 2
3x2 − 2= lim
x→∞
x2(1− 4x + 2
x2 )
x2(3− 2x2 )
= limx→∞
(1− 4x + 2
x2 )
(3− 2x2 )
=1
3,
e,
limx→−∞
x2 − 4x + 2
3x2 − 2= lim
x→−∞
x2(1− 4x + 2
x2 )
x2(3− 2x2 )
= limx→−∞
(1− 4x + 2
x2 )
(3− 2x2 )
=1
3,
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ExemploSe x > 2
3 , entao −x < − 23 .
Logo,
−4x < −8
3= −2− 2
3. Assim, − 4x + 2 < −2
3.
Somando x2 em ambos os lados da igualdade obtemos
x2 − 4x + 2 < x2 − 2
3= (3x2 − 2) · 1
3.
Portandox2 − 4x + 2
3x2 − 2<
1
3.
Tomando N = 23 , se x > N, entao f (x) 6= N. Portanto, reta y = 1
3 euma assıntota horizontal.
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Segue o grafico da funcao f (x) = x2−4x+23x2−2 e de sua assıntota horizontal.
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