limites e continuidade

5/12/2018 Limites e Continuidade - slidepdf.com

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Limit e s e cont inuidade

Professor Pasquelete

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Limit e s e cont inuidade

Material de apoio. Não deve ser utilizado como fonte única de estudo.

Material realizado a fim de simplificação da linguagem de assuntos de

Cálculo I. O aluno deve estudá-lo apenas para tirar dúvidas.



Limites e Continuidade

Importância do LimiteO estudo da função Limite permite-nos cálculos de taxas de variação média einstantânea.

Exemplo prático:

A velocidade do carro mostrada no painel é calculada através de uma função queutiliza o limite para que seja feito o cálculo à menor taxa de variação possível. É possível conhecer, com ele, a velocidade instantânea do veículo uma vez que, através da equaçãoda velocidade média, a função limite diminui as variações de espaço e tempo para osmenores possíveis diferentes de zero, a fim de encontrar uma resposta imediata, em

outras palavras, pega-se a equação de velocidade média e substitui os deltas por taxas devariações que são quase zero, fazendo com que o resultado obtido mostre uma coisamuito próxima da realidade num momento quase específico.




DefiniçãoLimite é usado para descrever o comportamento de uma função àmedida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Por exemplo:

Considere a função F(x) = 2x + 10. Qual o limite da função quando “x” tende a zero? • Resolução:

À medida que o valor de “x” tende a zero, o valor da função se aproxima ao máximo de 10, porém nãotoca o ponto 10 no eixo F(x), mas se aproxima ao máximo que pode, indo até o limite.

Exemplo: Calcule Resolução:Lê-se: Limite de , quando x vai pra um, tende a 3 3




Limites LateraisPodemos nos aproximar do tanto pelo lado esquerdo (pelos valores menores) quanto pelo ladodireito (pelos valores maiores), sendo assim, existe Limite à Esquerda e Limite à Direita que podemser iguais ou não, como veremos adiante.

Limite à Esquerda

O limite à esquerda é o valor que f( ) possivelmente assumirá ao nosaproximarmos o máximo possível de pelo lado esquerdo que possui valoresmenores.

Limite à Direita O limite à direita é o valor que f( ) possivelmente assumirá ao nos aproximarmos

o máximo possível de pelo lado direito que possui valores maiores. Observação Importante: O Limite de uma função só existe quando os dois limites laterais existeme são iguais para o em questão , mas um limite lateral pode existir sem o outro.




DefiniçãoConsideremos a imagem a seguir a partir da função = 3

À medida que aproxima-se de 1 pela esquerda e pela direita, f(x) tende a 3. Isso pode serobservado se tomarmos ∆ x como a menor quantidade possível da variação entre e seuvizinho mais próximo possível. Pela esquerda x = − ∆ x. Pela direita x = + ∆ x. (número àesquerda < x < números à direita)

AproximaçãoPela esquerda

AproximaçãoPela direita

x

y



Limites e Continuidade Exemplo:

Considere a função f(x) = + 2. O que acontece quando x aproxima-se de:

a) 4 pela esquerda?

b) 4 pela direita?

Resolução:

a) Pela Esquerda: x = − ∆ xx = 4 − ∆x

f(x) = + 2 ∆ ∆x)

∆

∆

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

A tabela mostra que quanto menor o ∆ x, f(x) mais próximo de 18 ficará

∆∆∆∆x ∆0.1 17,21000

0.01 17,920100.001 17,99200

0.0001 17,99920



Limites e Continuidadeb) Pela Direita: x =

+ ∆ x

x = 4 + ∆x

f(x) = + 2 ∆ ∆x) ∆ ∆ ∆

∆

∆

∆

∆ ∆ ∆

A tabela mostra que quanto menor o ∆ x, f(x) mais próximo de 18 ficará.

Essa Função analisada tende ao mesmo valor tanto pela esquerda quanto pela direita

∆∆∆∆x ∆0.1 18,810000

0.01 18,080100

0.001 18,008001

0.0001 18,000800



Limites e ContinuidadeO limite não é, necessariamente, igual ao f(x).

Exemplo 1:

Observe o gráfico da Função É possível observar que a função não está

definida para x = 1.

É possível observar no gráfico

Exemplo 2:

Observe o gráfico da Função , x≠ ≠≠ ≠ 1 , x = 1

É possível observar que g(x) = 1

É possível observar no gráfico

x

x

y

y




Propriedades dos Limites {∈ ℜ

{K ∈ ℜ

1) Regra da SomaO limite da soma de duas funções é a soma de seus limites.

2) Regra da DiferençaO limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites.

3) Regra da ProdutoO limite do produto de duas funções é o produto de seus limites.




Propriedades dos Limites4) Regra da Multiplicação por ConstanteO limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicada pelo limiteda função.

5) Regra da QuocienteO limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite dodenominador não seja zero.

≠

6) Regra da PotenciaçãoO limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da função, desdeque o limite seja um número real.

≠

∈Ζ

∈Ζ

≠




Exercícios Resolvidosa a a a

Regra do Quociente

RegradaSomaedaDiferença= RegradaPotência




Exercícios Resolvidosb) b) b) b) ==== im RegradaPotênciacomn=

= ç= )

= Asubstituiçãodovaoraquaxtendepodesersubstituídonafunçãooriginatambém,casonãohajaagumaindeterminação




Indeterminações A Indeterminação é uma expressão matemática da qual não temos certeza do valor,por isso o nome indeterminação.

Exemplo:

=

çã,ãã

Explicação:

Imagine que 0,9 é um número muito próximo de 1 e substituiremos na função:

Logo, quando aplicado o limite na função, não sabemos como “caminharão” ostermos à medida que x se aproximar de 1, caracterizando uma indeterminação.

Não podemos, no exemplo, substituir o limite, achar

e dizer que dá igual a 1




Principais Indeterminações:Pela explicação dada, temos que as principais indeterminações são:

a.

ã ã

b.

±∞

±∞

ã ±∞ã ±∞

c. .±∞ ã ã

d. ã ã

e.

ã ã f.

ã ã As indeterminações desaparecem com cálculos algébricos que possibilitam modificar,algebricamente apenas, a função f(x).



Limites e Continuidade Não indeterminações:

Depois de conhecer as indeterminações, deve-se ter cuidado com algumas funções que se confundem com indeterminações, mas não são.

) ≠

ã . .

Explicação:Um nmero qualquer que vai ser dividido pelo nmero mais próximo de zero possível tenderá a , o sinal é estudado com a divisão ( com )(- com -) ( com -)(- com ). Imagine que você tem um nmero e vai dividi-lo por um nmero cada vez menor a cada divisão, o resultado da divisão será sempre maior, por isso tende a infinito

2)

≠ 3) 4)

5)

≠ É de extrema importância o estudo do sinal nos casos necessários (, 3 e 5)

6)

7)

( )

8) ( )




Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)::::Zerodivididoporqualqueroutronmero=zero. Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 3)3)3)3)::::

MesmaexplicaçãodoCaso. Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 4)4)4)4)::::

MesmaexplicaçãodoCaso2. Explicação (caso 5Explicação (caso 5Explicação (caso 5Explicação (caso 5))))::::Infinito não trata-se de um nmero apenas, mas de um ideia numeral tão grande que dividido por umnmero,continua.

Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 6)6)6)6)::::Você dividirá um nmero por uma ideia tão grande que o resultado tenderá a zero.

ExplicaçãoExplicaçãoExplicaçãoExplicação (caso(caso(caso(caso 7)7)7)7)::::O nmero entre zero e um fica cada vez menor a cada calculo de potência realizado.

Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 8)8)8)8)::::Um nmero maior que ficará cada vez maior a cada calculo de potência realizado.




Teorema do ConfrontoSe não pudermos calcular o Limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com oTeorema do Confronto. O teorema refere-se a uma função cujo seus valores são limitados por outrasfunções. Por exemplo ()()(). Se () tiverem o mesmo limite quando o nas duas funções, então f(x) também terá esse limite para x indo a c também.

= = Então, =




Teorema do Confronto Exemplo:

Sendo,

, .

Resolução:

= e

=

Então,

=1

y = f(x)




Primeiro Limite FundamentalO Primeiro limite fundamental é de extrema importância, pois é o mais utilizado noslimites envolvendo funções trigonométricas. O interessante é mexer algebricamente nafunção para que ela se torne o primeiro limite fundamental.

() = Exemplo:

Calcule

()

=

.()

.

=

.()

.

=

25 (2).2 = 2

5 (2)

2 = 25 . = 2

5

Obs.: () = () =




Limites no InfinitoO infinito é uma ideia numérica não real que ultrapassa todos os limites finitos. Imagine o maior númeroque você conseguir e o infinito será infinitamente maior que ele, impossível de ser imaginado. O x podetender a infinito sem problema algum e a função terá limite normalmente. Com x tendendo a infinito, aestratégia usada para calcular o limite é a mesma quando o infinito não aparece. Deve-se observarindeterminações e mexer algebricamente na função quando isso acontecer.

∞ = L

∞ = L

Exemplos:

∞ = ∞

= , ã ,

é

∞ = ∞ = ã , çã =



Limites e Continuidade Limites Infinitos

Dizemos que a função tem limite infinito se a função tende, com x x, a ±∞.

= ∞ ou

= ∞

= ∞ ou = ∞



Limites e Continuidade Assíntotas Horizontais e Verticais

Assíntotas são retas que as funções jamais tocarão.

Assíntota Horizontal - ±∞ = L

Quando calculamos o limite da função pela qual o x tende a ±∞, o valor encontrado indica umareta horizontal a partir do eixo y pela qual a função jamais tocará.

Assíntota Vertical- lim±f x = ±∞

Quando x x e a função indica um limite infinito, temos então uma assíntota vertical.



Limites e Continuidade Continuidade

A função contínua é toda função que possa ser escrita num único movimento da caneta sem queprecise retirar do papel. Em outras palavras, os valores são contínuos e não saltam de um para outrosem que assuma todos os valores entre eles.

Observe o gráfico ao lado. Ao analisarmos certos

pontos, veremos que alguns são contínuos e outrosnão. Tendo em vista que a função vai de x=0 até

x=4, no ponto x=0 é contínua, pois é a extremidade

da função. Contínua também no ponto x=3 e de

zero a quatro é descontínua apenas nos pontos

x=1, x=2, x=4.

Então,

A continuidade de uma função é determinada quando o valor do limite de um ponto é igual ao valorda função nesse mesmo ponto, com exceção das extremidades que utilizam apenas um dos limiteslaterais, dependendo da extremidade em questão.



Limites e Continuidade Continuidade

Ponto Interior:

lim = ()

Extremidades:Uma função y = f (x) é contínua na extremidade esquerda A ou é contínua na extremidade direita B de seudomínioquando:

lim = () ou lim = ()

A função f(x) é contínua direita de um ponto x = c em seu domínio se lim = ()

A função f é contínua esquerda de um ponto x = c em seu domínio se lim = ()



Limites e Continuidade Propriedades da Funções ContínuasSe as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c.

1. Soma das funções: f + g.

2. Diferença das funções: f g ou g f .

3. Produto das funções: f . g

4. Multiplicação por constante: k . f (para k ∈ ℜ).

5. Quociente das funções: (se g(c) ≠ 0).

6. Potências das funções: (r, s ∈ Z).



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