cálculo vetorial

187
Cálculo Vetorial

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Page 1: Cálculo Vetorial

Cálculo Vetorial

Page 2: Cálculo Vetorial

Campos Vetoriais

Definição

Um campo vetorial em um plano é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P) paralelo ao plano.

Um campo vetorial no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P)

Page 3: Cálculo Vetorial

Definição

Em 2D:

Em 3D:

F x , y= f x , y ig x , y j

F x , y , z = f x , y , z ig x , y , z jh x , y , z k

Campos Vetoriais

Page 4: Cálculo Vetorial

Representação Gráfica

F x , y =x

x2 y2

4i−

y

x2 y2

4j

Page 5: Cálculo Vetorial

Representação Gráfica

F x , y=x i y j

Page 6: Cálculo Vetorial

Representação Gráfica

F x , y , z=x i y jz k

Nesta visualização, os eixos de referências não passam pela origem.

Page 7: Cálculo Vetorial

Exemplo 1:

Represente graficamente o seguinte campo vetorial:

F x , y = j.

Representação Gráfica

Page 8: Cálculo Vetorial

Exemplo 1: solução

Represente graficamente o seguinte campo vetorial:

Neste caso temos:

Trata-se de um campo constante, que a cada associa o vetorx , y ∈ℝ2 0,1.

Representação Gráfica

F x , y = j.

Page 9: Cálculo Vetorial

Exemplo 1: solução

Representação Gráfica

Page 10: Cálculo Vetorial

Campos Escalares

Definição

Um campo escalar em um plano é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P).

Um campo escalar no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P)

Page 11: Cálculo Vetorial

Campos Escalares

Exemplos

2D: Temperatura em uma placa metálica.

3D: Temperatura em uma sala de aula.

Page 12: Cálculo Vetorial

Parametrização

Estudaremos integral de linha (caminho). É preciso saber parametrizar caminhos!

Como parametrizamos caminhos?

Page 13: Cálculo Vetorial

Parametrização

Associe os gráficos com as expressões:

+

Page 14: Cálculo Vetorial

Parametrização

Associe os gráficos com as expressões:

+

Page 15: Cálculo Vetorial

Parametrização

Segmento de reta

Descrevendo parametricamente um segmento reta cujas extremidades são conhecidas:

A=1,3, 4

B=5,5,7

Page 16: Cálculo Vetorial

Parametrização

Segmento de reta

A=1 i3 j4 k

B=5 i5 j7 k

r t =At B−A , 0≤t≤1

AB

O

B−At B−A

Page 17: Cálculo Vetorial

Parametrização

Segmento de Parábola

x

y

y=x2

Page 18: Cálculo Vetorial

Parametrização

Segmento de Parábola

Fazemos , o que nos leva a .

Observando que deduzimos então que

r t =t it2 j ,−2≤t≤3

x=t y=t2

−2≤x≤3−2≤t≤3

Page 19: Cálculo Vetorial

Parametrização

Como se parametriza uma circunferência?

x

y

Page 20: Cálculo Vetorial

Parametrização

Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:

r t =cos t isin t j ,0≤t≤43

t=0Sentido Anti-horário!

Page 21: Cálculo Vetorial

Parametrização

Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:

r t =sin t icos t j ,0≤t≤43

t=0

Sentido Horário!

E se

o ra

io fo

r R?

Page 22: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Integral de Linha

Suponha que f(x,y) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:

r t =gt iht j , a≤t≤b

O que significa integrar sobre a curva?

Que motivação teríamos para calcular esta integral?

Page 23: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Integral de Linha

A integral de f(x,y) sobre a curva C.

∫Cf x , y ds

Observe que não usamos simplesmente dx ou dy

Sendo f(x,y) sempre positiva, esta integral fornece a área sob a curva.

Page 24: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Um caminho

Sendo C caminho que une (0,b) a (0,c)

∫Cf x , y ds = ∫C

f 0, y dy

∫b

cf y dy

A integral de linha transformou-se em uma integral unidimensional.

Page 25: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Integral de Linha

Suponha que f(x,y,z) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:

r t =gt iht jk t k , a≤t≤b

∫Cf x , y , z ds

Page 26: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Uma motivação

f(x,y,z) pode ser a densidade linear de massa no ponto (x,y,z) e podemos estar interessados em calcular a massa total de uma determinada linha.

r t =gt iht jk t k , a≤t≤b

Page 27: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Definição

Sn=∑k=1

nf xk , yk , zk sk

Sn=∫Cf x , y , z ds

“Integral de f sobre C”

Page 28: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Calcule as integrais abaixo (como escrevê-las?):

f x , y =10 f x , y =100

∫C1∪C2

f x , y ds ∫C3∪C4

f x , y ds

-2 0 2

0

2

x

y

C1

C4

C3 C2

Page 29: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

A função: vista superior A função: perspectiva. Observe o caminho C

1 e C

2 na cor branca.

A função: vista lateral

Page 30: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Definição

Seja uma parametrização para o caminho C.

Sabemos que

portanto:

∫Cf x , y , z ds=∫a

bf g t ,ht , k t ∣v t ∣dt

dsdt=∣v∣

ds=∣v∣dt

r t =gt iht jk t k

Page 31: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Integral de Linha em um Campo Escalar

Page 32: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Exemplo 1: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):

f x , y , z=x−3y2z

Page 33: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

f x , y , z=x−3y2z

Page 34: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Aditividade

∫Cf ds=∫C1

f ds∫C2

f ds⋯∫Cn

f ds

Page 35: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Exemplo 2: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):

f x , y , z=x−3y2z

Page 36: Cálculo Vetorial

Integral de Linha

Page 37: Cálculo Vetorial

Exercícios

1. Calcule onde C é o

segmento de reta

de .

∫Cx− yz−2ds

x=t , y=1−t , z=1

(2,−1,1) a (3,−2,1)

Page 38: Cálculo Vetorial

Exercícios

2. Calcule ao longo da curva∫C x2 y2ds

r=4 cos t i4 sent j3 t k −2 ≤ t ≤ 2

Page 39: Cálculo Vetorial

Trabalho

Definição

O trabalho realizado por uma força

através de uma curva lisa C com parametrização é

F=M iN jP k

r s

W=∫CF⋅T ds

T é vetor tangente unitário.Integral de linha em um campo vetorial

Page 40: Cálculo Vetorial

Trabalho

Lembre-se:

W=∫CF⋅T ds

T=d rd s

d r=T d s

W=∫CF⋅d r

Como se usa isto?

W=∫CF⋅

d rdt

dt

Page 41: Cálculo Vetorial

Trabalho

Page 42: Cálculo Vetorial

Trabalho

Exemplo 1:

Encontre o trabalho realizado pela força

durante a trajetória

F= y−x2 iz− y2 jx−z2 k

r t =t it2 jt3 k , 0,0 ,0 a 1,1 ,1

Page 43: Cálculo Vetorial

Trabalho

Page 44: Cálculo Vetorial

Exercícios

1. Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de

no sentido anti-horário ao redor de uma circunferência de raio 2 centrada na origem

do ponto (2,0) a ele mesmo.

f x , y =x y 2

Page 45: Cálculo Vetorial

Exercícios

2. Calcule , onde C é o caminho formado por um quarto de circunferência centrada na origem e com raio 1, partido de (1,0) até (0,1)

∫Cx4 dx+xy dy

Page 46: Cálculo Vetorial

Exercícios

3. Calcule , onde C é o segmento de reta que une os pontos (0,0,1) e (1,2,5)

∫Cy dx+xdy+xy dz

Page 47: Cálculo Vetorial

Função Potencial

Definição

Se F for um campo vetorial definido sobre D e

para alguma função escalar f em uma região aberta D no espaço, então

f é chamada função potencial para o campo vetorial F.

F=∇ f

Page 48: Cálculo Vetorial

Exemplo 1:

Verifique se a função é um potencial para .

f x , y =xyF= yixj

Campo Conservativo

Page 49: Cálculo Vetorial

Solução:

Tudo o que temos que verificar é se

Logo a função dada é um potencial para o campo em questão.

F=∇ f .

∇ f x , y =∂xy ∂ x

i∂xy ∂ y

j= y ixj=F x , y .

Campo Conservativo

Que outras funções seriam potenciais para F?Que outras funções seriam potenciais para F?

Page 50: Cálculo Vetorial

Exemplo 2:

é um campo conservativo. Encontre sua função potencial.

F x , y =2xi2y j

Campo Conservativo

Page 51: Cálculo Vetorial

Exemplo 2: solução

Sabemos que:

O que implica:

F=∇ f=Px , y iQ x , y j=∂ f∂ xi

∂ f∂ y

j .

P x , y =2x , Q x , y =2y .

∂ f∂ x=2x ⇒ f x , y =∫2x dxg y ,

Campo Conservativo

Page 52: Cálculo Vetorial

Exemplo 2: solução

mas,

Logo:

f x , y =x²g y ,

∂ f∂ y=2y=

dgdy

⇒ g y =∫2y dyc ⇒ g y = y²c.

f x , y =x² y²c .

Campo Conservativo

Page 53: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exercício 1:

Encontre o potencial associado à função:

F=2 x i3 y j4 z k

Page 54: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exercício 2:

Encontre o potencial associado à função:

F= y sen z ix sen z j x y cos z k

Page 55: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que

F=∇ f

F

?

Page 56: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que

NÃO

F=∇ f

F

?

Page 57: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Será possível encontrar uma função f tal que

apenas se for conservativo.

Situação para a qual f é chamada função potencial.

F=∇ f

F

Page 58: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Definições

será conservativo se for independente do caminho. F ∫ F °d r

Page 59: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

∫CF°d r=f r B−f r A

Page 60: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Page 61: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Teste para Campos Conservativos

Page 62: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exemplo 1: Mostre que

é conservativo e encontre uma função potencial para ele.

F=ex cos y yz ix z−ex sen y jx yz k

Page 63: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exemplo 1: Solução – Parte 1

Page 64: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exemplo 1: Solução – Parte 2

Page 65: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exemplo 1: Solução – Parte 3

Page 66: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exercício 1:

Quais dos campos abaixo são conservativos?

a)

b)

c)

d)

F= yz ixz jxy k

F= y sen z ix sen z jxy cos z kF=−y ix jF=z y iz j yx k

Page 67: Cálculo Vetorial

Campo Conservativo

Exercício

1. Calcule a integral de linha da função abaixo abaixo no segmento de reta que une os pontos (1,2,2) e (2,2,3):

F= yz ixz jxy k

Page 68: Cálculo Vetorial

Diferencial Total

Definições

Page 69: Cálculo Vetorial

Diferencial Total

Teste de Exatidão

Page 70: Cálculo Vetorial

Diferencial Total

Exemplo 1:

Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral:

Sobre o segmento de reta de (1,1,1) até (2,3,-1)

∫1,1 ,1

2,3 ,−1ydxx dy4 dz

Page 71: Cálculo Vetorial

Diferencial Total

Exemplo 1: Solução

Page 72: Cálculo Vetorial

Diferencial Total

Exercício 1:

Calcule as seguinte integrais:

a)

b)

∫0,0 ,0

2,3 ,−62x dx2ydy2z dz

∫1,1 ,2

3,5 ,0yz dxxz dyxy dz

Qual é o caminho de integração?

Page 73: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então

∮CPdxQdy=∬D ∂Q

∂ x−∂P∂ y dA

Page 74: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Curvas Planas

Simples Não Fechada

Não Simples Não Fechada

Simples Fechada

Não Simples Fechada

Page 75: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Regiões Conectadas

Região conectada simplesmente

Regiões não conectadas simplesmente

Região não conectada

Page 76: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 1:

Calcule , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) e de (0, 1) a (0, 0).

∮Cx4 dxxy dy

Page 77: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 1: Solução

Page 78: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 2: Calcule

onde C é o círculo .

∮C3y−esen xdx7x y41dy

x2 y2=9

Page 79: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 2: Solução

Page 80: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exercício 1:

Calcule a Integral

Onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1.

∮Cxydy− y2dx

Page 81: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exercício 1: Solução

Page 82: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exercício 2

Aplique o teorema de Green para calcular as integrais abaixo (curvas c/ orientação positiva):

a)

b)

∮C6yx dx y2x dy

∮C3y dx2x dy

C :x−22 y−32=4

C : 0≤x≤ , 0≤ y≤sin x A fronteira de

Page 83: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exercício 3

Calcule a integral abaixo (verifique orientação antes de calcular a integral).

∮CF⋅d r

F=⟨exx2 y , e y−x y2⟩

C : x2 y2=25 Sentido Horário

Page 84: Cálculo Vetorial

Aplicações

Cálculo de Áreas

Como a área de uma região D é , desejamos escolher P e Q tais que

Existem várias possibilidades

∫∫d1dA

∂Q∂ x−∂P∂ y=1

P x , y =0

Q x , y =x

P x , y =− y

Q x , y =0

P x , y =−12

y

Q x , y =12

x

Page 85: Cálculo Vetorial

Aplicações

Exemplo 1

Determine a área delimitada pela elipse abaixo utilizando o teorema de Green:

x2

a2y2

b2=1

Page 86: Cálculo Vetorial

Aplicações

Exemplo 1: Solução

Page 87: Cálculo Vetorial

Aplicações

Exercício 1

Determine a área delimitada por uma circunferência de raio R utilizando o teorema de Green.

Page 88: Cálculo Vetorial

Aplicações

Exercício 2

Use o teorema de Green para achar a área sob um arco da cicloide abaixo:

x=t−sin t

y=1−cos t

Page 89: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

União de Regiões Simples

∮C1∪C3

PdxQ dy=∬D1 ∂Q∂ x

−∂ P∂ y dA

∮C2∪−C3

PdxQ dy=∬D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

Page 90: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

∮C1∪C3

P dxQ dy=∫C1

PdxQ dy∫C3

P dxQ dy

∮C2∪−C3

PdxQ dy=∫C 2

PdxQ dy∫−C3

P dxQ dy

∮C1∪C2

P dxQ dy

∮C1∪C2

P dxQ dy=∬D1∪D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

+

∫C1

P dxQ dy∫C2

P dxQdy

=

Page 91: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Regiões Não Conectadas Simplesmente

∮∂D'PdxQ dy=∬D ' ∂Q

∂ x−∂P∂ y dA

∮∂D' 'P dxQdy=∬D ' ' ∂Q

∂ x−∂ P∂ y dA

∮C1

PdxQdy∮C2

PdxQ dy=∬D ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

Page 92: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 1

Calcule a integral abaixo se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horário, de modo que

(a) não envolva a origem

(b) envolva a origem.

∮C

−y dxx dy

x2 y2

Page 93: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 1: Solução

Se não incluirmos a origem: para qualquer caminho a integral de linha é igual a zero (o teorema de Green garante!).

C1C2

C3

Page 94: Cálculo Vetorial

Teorema de Green

Exemplo 1: Solução

Se incluirmos a origem: Qualquer caminho a integral de linha é igual a 2π (o teorema de Green garante!).

C4

C5

Page 95: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Curvas Parametrizadas

Superfícies Parametrizadas

t0 2π

y

x

r t =a cost ia sin t j

x

y

z

2

r ,=a sin cos iasin sin jacosk

Domínio de r(t)

Domínio de r(φ, θ) Esfera de raio a

Circunferência de raio a (Sentido Anti-horário)

Page 96: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 1

Determine a parametrização do cilindro

x2 y2=4, 0≤z≤1

Page 97: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 1: Solução

O cilindro tem representação .

Sabemos que em coordenadas cilíndricas:

como: obtemos

1z

2

r=2, 0≤z≤1

x=2cos y=2sin z=z

r=x i y jz k

r , z =2cos i2sin jz k

Domínio de r(θ,z)

Page 98: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 2

Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z=x22 y2 .

Page 99: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 2: Solução

Podemos escolher x e y para parâmetros livres.

r=x i y jz k

r x , y =x i y jx22 y2k

D : x , y ∈ ℝ2

Page 100: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Parametrizando Superfícies de Revolução

Seja S uma superfície criada a partir da rotação de uma dada função f(x) em torno do eixo x.

x=x

y=f x cos

z=f x sin

r x , y =x if x cos jf x sin k 0≤≤2

Page 101: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 3:

Determine as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva abaixo em torno do eixo x:

y=sin x , 0≤x≤2

Page 102: Cálculo Vetorial

Superfícies Parametrizadas

Exemplo 3: Solução

D : 0≤x≤2 , 0≤≤2

r x , y =x if x cos jf x sin k

r x , y =x isin x cos jsin x sin k

Page 103: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangente

Sabemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície quando essa é dada em forma de função escalar.

Exemplo

Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto z=x22 y2 1,1 ,3.

Page 104: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Solução:

z=x22 y2 1,1 ,3

f x , y , z=x22 y2−zFunção para a qual a superfície é uma simples superfície de nível.

Superfície. Ponto em questão.

∇ f x , y , z=2x i4y j−1k

∇ f 1,1 ,3=2 i4 j−1 k

n⋅r−r0=0Eq. do Plano.

2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente

n=∇ fVetor normal ao plano.

Page 105: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Solução:

Plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto (1,1,3) observado de dois lugares distintos. O plano e o paraboloide foram desenhados parcialmente para facilitar visualização.

Page 106: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangenter u , v =f u , v ig u , v jhu , v k

Page 107: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangente

r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k

ru=∂ f∂uu0 , v0 i

∂ g∂uu0 , v0 j

∂h∂uu0 , v0k

r v=∂ f∂ vu0 , v0 i

∂ g∂ vu0 , v0 j

∂h∂ vu0 , v0k

n = ru × rv

Page 108: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Exemplo 1:

Calcule o plano tangente à superfície abaixo no ponto (1,1,3):

r x , y =x i y jx22 y2k

Page 109: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Exemplo 1: Solução

r x , y=x i y jx22 y2k

r x=∂ r∂ x

r y=∂ r∂ y

r x=1 i2 x k

r y=1 j4 y k

Page 110: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Exemplo 1: Solução

r x , y=x i y jx22 y2k

r x=∂ r∂ x

r y=∂ r∂ y

r x=1 i2 x k

r y=1 j4 y k

Page 111: Cálculo Vetorial

Planos Tangentes

Exemplo 1: Solução

r x , y=x i y jx22 y2k

r x=1 i2 x k r y=1 j4 y k

n⋅r−r0=0Eq. do Plano.

2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente

n=r x×r y n=−2 i−4 j1k

−2x−1−4 y−11z−3=0

Page 112: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Definição: Se uma superfície parametrizada lisa S é dada pela equação

e S é coberta uma única vez quando (u,v) varre todo o domínio D dos parâmetros, então a área da superfície S é

r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k u , v ∈D

A S =∬D∣ru×r v∣dA

A origem desta expressão será investigada após o estudo de seu uso.

Page 113: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 1:

Calcule a área da esfera de raio a.

Page 114: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 1: Solução

A parametrização de uma esfera de raio a é dada por

r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k

r=acoscos iacos sin j−a sin k

r=−asin sin iasin cos j

∣r×r∣=a2sin

Page 115: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 1: Solução

∣r×r∣=a2sin

∬D∣r×r∣dA=∬D

a2 sin dA

∫0

∫0

2a2 sin dd =4 a2

Não se deixe enganar pelas aparências. Trata-se de uma integral dupla no sistema de coordenadas cartesianas.

2Domínio de r(φ, θ)

Page 116: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 2

Determine a área da parte do plano

que está no primeiro octante.

3x2yz=6

Page 117: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 2: Solução

Podemos parametrizar a região

no primeiro quadrante da seguinte forma:

3x2yz=6

x

y

z6

3

2

r x , y =⟨ x , y ,−3 x−2 y6⟩

3

y

x2

Domínio da parametrizaçãoSuperfície cuja área está sendo calculada.

Page 118: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 2: Solução

x

y

z6

3

2

r x×r y=∣i j k1 0 −30 1 −2∣=3 i2 j1 k

∣r x×r y∣=322212=14

r x=⟨1,0 ,−3⟩

r y=⟨0,1 ,−2⟩

Page 119: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 2: Solução

∣r x×r y∣=14

∬D∣r x×r y∣dA=14∬D

dA=314

Page 120: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 3:

Determine a área da parte do plano

que está dentro do cilindro

2x5yz=10

x2 y2=9.

A imaginem a superfície!

Page 121: Cálculo Vetorial

Área da Superfície

Exemplo 3: Solução

A superfície cuja área está sendo calculada está dentro do cilindro.

Plano mais cilindro.

Page 122: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 3: Solução

O plano dentro do cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma.

2x5yz=10

r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩

3

y

x3-3

-3

Domínio da parametrização

Page 123: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 3: Solução

r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩

r x=⟨1,0 ,−2⟩ r y=⟨0,1 ,−5⟩

r x×r y=2 i5 j1k

∣r x×r y∣=30

∬D∣r x×r y∣dA=30∬D

dA=9 30

Page 124: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Caso Particular

Superfície dada por z = f(x,y) pode ser parametrizada da seguinte forma

r x , y =⟨ x , y , f x , y ⟩

r x=⟨1,0 ,∂ f x , y ∂ x ⟩

r y=⟨0,1 ,∂ f x , y ∂ y ⟩

r x×r y=⟨−∂ f∂ x

,−∂ f∂ y

,1⟩

Page 125: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Caso Particular

r x×r y=⟨−∂ f∂ x

,−∂ f∂ y

,1⟩

A S =∬D ∂ z∂ x

2

∂ z∂ y

2

1dA

∣r x×r y∣= ∂ f∂ x

2

∂ f∂ y

2

1 = ∂ z∂ x

2

∂ z∂ y

2

1

Page 126: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 4:

Determine área do paraboloide que está abaixo do plano

z=x2 y2

z=9

Page 127: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 4: Solução

Determine área do paraboloide que está abaixo do plano

z=x2 y2

z=9

A S =∬D12x 22y 2dA

A S =63737−1

Page 128: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 5:

Calcule a área do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros x2 y2=1

x2 y2=4z= y2−x2

Page 129: Cálculo Vetorial

Área de Superfície

Exemplo 5: Solução

z= y2−x2

A superfície cuja área está sendo calculada está entre os cilindro.

Paraboloide mais cilindros.

Page 130: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Suponha que cada ponto de uma superfície S tenha um determinada densidade superficial f.

Se quisermos determinar a massa da superfície S, calculamos:

f=f x , y , z

∬Sf x , y , zdS

AtençãodS: elemento de superfície.Já utilizamos dS para elemento de arco.

Integral de superfície de um campo escalar

Page 131: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

É possível mostrar que o elemento de superfície é dado por

O que nos leva a

∬Sf x , y , zdS=∬D

f x , y , z∣ru×r v∣dA

dS=∣ru×r v∣dA

Atenção para esta mudança sutil.S: superfície. D: Domínio da parametrização da superfície.

Page 132: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1:

Calcule a integral de superfície abaixo:

∬Sx2dS S : x2 y2z2=1

Page 133: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

Um exercício anterior nos forneceu as seguintes relações:

∬Sx2dS=∬D

sin cos 2sin dA

r ,=sin cos isin sin jcosk

∣r×r∣=sin

2Domínio de r(φ, θ)

Page 134: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

∬Sx2dS=∬D

sin cos 2sin dA

=∫0

2

∫0

sin 3cos2dd

=∫0

2cos2d∫0

sin 3d

=∫0

2cos 2d∫0

sin 2sin d

Page 135: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

=∫0

2cos 2d∫0

sin 2sin d

=∫0

2cos 2d∫0

1−cos2sin d

=∫0

2cos2d∫0

sin −cos2 sin d

=43

Page 136: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2:

Calcule a integral de superfície abaixo:

∬Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.

Page 137: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

∫Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.

x

y

z1

1

1

Superfície na qual a integral está sendo calculada.

Page 138: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

A superfície pode ser escrita como função de x e y:

∬Sxz dS

z=1−x− y

=∬Dxz∣ru×r v∣dA=∬D

xz 1 ∂ z∂ x

2

∂ z∂ y

2

dA

=∬Dxz 1 −1

2−1

2dA=∬D

xz3 dA

Page 139: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

∬Dxz3dA=∬D

x 1−x− y 3dA

z=1−x− y

1

y

x1

Região de Integração

∫0

1

∫0

1−xx 1−x− y 3dy dx=3

24

Page 140: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3:

Calcule a integral de superfície abaixo:

∬Sy2 z2dS S : z=x2 y2

Entre os planos z =1 e z=2.

Page 141: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3: Solução

Calcule a integral de superfície abaixo:

∬Sy2 z2dS

=∬Dy2 z2

∣ru×r v∣dA=∬Ry2 z21 ∂ z

∂ x 2

∂ z∂ y

2

dA

=∬Ry2x2 y2

2dA

Qual é o domínio?

Page 142: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3: Solução

=∬Ry2x2 y2

2dA

=∬Rr sin 2 r2

2 r dr d

=2∫0

2

∫1

2r5 sin 2dr d=

21

2

Page 143: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Campo Vetorial

A definição de integral de superfície para este tipo de campo necessita de superfícies orientadas.

∬SF x , y , z ⋅d S

AtençãodS: elemento de superfície orientado.

Fluxo do campo vetorial F através da superfície S.

Page 144: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Orientação de Superfície

Utilizamos um vetor unitário normal à superfície para definir sua orientação positiva.

Nem toda superfície é orientável.

n=ru×r v

∣ru×r v∣

Page 145: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1:

Determine uma orientação para a superfície abaixo:

n=ru×rv

∣ru×rv∣3

3

2

x

y

z

Page 146: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

Não é preciso utilizar a fórmula abaixo.

n=ru×r v

∣ru×r v∣

3

3

2

x

y

z

n=2 i3 j3 k

n=2

22i

3

22j

3

22k

Todos os pontos da superfície apresentam igual vetor orientação.

Page 147: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2:

Determine uma orientação para a esfera de raio a (sentido positivo para fora) centrada na origem.

Page 148: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k

r=acoscos iacos sin j−a sin k

r=−asin sin iasin cos j

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩

r×r=

∣r×r∣=a2sin

Page 149: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩

r×r=

∣r×r∣=a2sin

n=r×r∣r×r∣

=⟨sin cos , sin sin ,cos⟩

Page 150: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3:

Determine a orientação para uma superfície cilíndrica de raio a.

Page 151: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3: Solução

r , z =a cos iasin jz k

r=−asin iacos j r z=k

r×r z=acos iasin j

∣r×r z∣=a

n=r×r∣r×r∣

n=cos isin j

Page 152: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Calculando

O cálculo da integral de superfície pode ser feito utilizando os seguintes fatos:

∬SF⋅d S=

∬SF⋅n dS=∬S

F⋅ru×r v

∣ru×r v∣dS=∬D

F⋅ru×r v

∣ru×r v∣∣ru×r v∣dA=

∬DF⋅ ru×rvdA

Page 153: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1:

Encontre o fluxo do campo vetorial dado abaixo através de uma esfera de raio a centrada na origem.

F=z k

Page 154: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

F=z k=a cos k

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩r×r=

∬DF⋅ ru×rvdA

O valor de z foi copiado da parametrização da esfera.

∬Da3cos2

sin dA

Page 155: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 1: Solução

∬DF⋅ ru×rvdA =∬D

a3cos2sin dA

2Domínio de r(φ, θ)

= ∫0

2

∫0

a3cos2 sin dd

=4 a3

3

Page 156: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2:

Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .

∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k

Page 157: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

Para o plano x = 1

Para o plano x = -1

F=1 i2y j3z k n=i

∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S

dS=4

F⋅n=1

F=−1 i2y j3z k n=−i

∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S

dS=4

F⋅n=1

Page 158: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 2: Solução

F n ∬SF⋅ndSF⋅n

1 i2y j3z k

Plano

x=1

x=−1

y=1

y=−1

z=1

z=−1

−1 i2y j3z k

i 1 4

−i 1 4

x i2 j3z k

x i−2 j3z k

j 2 8

−j 2 8

x i2y j3 k

x i2y j−3 k

k 3 12

−k 3 12

48

Page 159: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Caso Particular

Uma superfície dada por pode ser considerada uma superfície de nível de uma função de três variáveis:

G x , y , z =z−f x , y

G x , y , z =0 z=f x , y

z=f x , y

Page 160: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Caso Particular

Nesta situação, nos fornece um vetor perpendicular à superfície.

É possível provar que

∇G

∇G=r x×r y

∫SF⋅d S=∫D

F⋅ r x×r ydA= ∫DF⋅∇G dA

Page 161: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Prova

∇G = r x×r y

G x , y , z =z−f x , y

z=f x , y Superfície

r x , y =x i y jf x , y k

r x=1 i∂ f∂ x

k

r y=1 j∂ f∂ y

k

r x×r y=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y

j1 k∇G=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y

j1 k

Page 162: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3:

Calcule a integral de superfície abaixo:

∫SF⋅d S

F=xy i4x2 j yz k S : z=x e y 0≤x≤1, 0≤ y≤1

Page 163: Cálculo Vetorial

Teorema da Divergência

Teorema da Divergência: Seja G um sólido cuja superfície S

1 é orientada para fora. Se

onde f, g e h possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo G, e se dS for o elemento de superfície orientado para fora, então

F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k

∮S1

F⋅d S=∭G∇⋅F dV

Page 164: Cálculo Vetorial

Teorema da Divergência

Operador Nabla e suas aplicações

∇⋅F=div F=∂ f∂ x∂ g∂ y∂h∂ z

∇=∂

∂ xi

∂ yj

∂ zk

∇ f=∂ f∂ xi

∂ f∂ y

j∂ f∂ zk

f x , y , z

F x , y , z =f igjhk

Gradiente

Divergente

Page 165: Cálculo Vetorial

Teorema da Divergência

Exemplo 1:

Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .

∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k

Page 166: Cálculo Vetorial

Teorema da Divergência

Exemplo 2:

Calcule a integral de superfície para e S a superfície esférica

∫SF⋅d S

x2 y2z2=4F=x2 ixz j3z k

Page 167: Cálculo Vetorial

Teorema da Divergência

Exemplo 3:

Calcule a integral de superfície para , onde S são as superfícies do cilindro sólido entre o plano z =0, do paraboloide e do círculo em z=0 que fecha a região.

∫SF⋅d S

x2 y2=4F= y ixy j−z k

z=x2 y2

Page 168: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3:

x2 y2=4, 0≤z≤4z=x2 y2

Page 169: Cálculo Vetorial

Integral de Superfície

Exemplo 3:

Superfície do exemplo 3: Lateral do cilindro + paraboloide + círculo inferior.

Page 170: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Teorema de Stokes: Seja S1 uma superfície orientada

lisa por partes limitada por uma curva C lisa por partes, fechada, simples e com orientação positiva. Se as componentes do campo vetorial

forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo S

1,

então:

F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

Page 171: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Rotacional de um Campo Vetorial

∇×F=

Page 172: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Orientação Relativa de Curvas e Superfícies

O caminhante deve andar com a cabeça na direção dos vetores que orientam a superfície.

Orientação positiva: a superfície fica a esquerda do caminhante.

Page 173: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 1:

Verifique o teorema de Stokes para a situação abaixo:

z=1− x2 y2

F=⟨ y , z , x ⟩

Page 174: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 1: Solução

z=1− x2 y2

F=⟨ y , z , x ⟩

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

r t =⟨cos t , sin t ,0⟩ 0≤t≤2

∮CF⋅d r=−

A integral de linha

Page 175: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 1: Solução

F=⟨ y , z , x ⟩

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

G=z−1x2 y2

A integral de superfície

∬S1

∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA

∬D−2x−2y−1dA=∫0

2

∫0

1−2r cos−2r sin−1r dr d =−

∬S1

∇×F⋅d S=−

Page 176: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 2:

Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)

F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r

yz=2x2 y2=1

Imagine a situação.

Page 177: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 2:

Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)

F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r

yz=2x2 y2=1

Page 178: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 2: Solução

∇×F=12y k

∬S1

∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA

G=z2− y

∬D∇×F⋅∇GdA=∬D

12y dA

∫0

2

∫0

112 r sinr dr d =

∫CF⋅d r=

Page 179: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 3:

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde

e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.

F=xz i yz jxy k

x2 y2=1

∬S1

∇×F⋅d S

Imagine a situação.

Page 180: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 3:

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde

e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.

F=xz i yz jxy k

x2 y2=1

∬S1

∇×F⋅d S

Page 181: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 3: Solução

Vamos utilizar o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfície.

∬S1

∇×F⋅d S=∮CF⋅d r

F=xz i yz jxy k

r=cos t isin t j3 k

∫0

2−3cos t sin t3sin t cos t dt=0

Page 182: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 4:

Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial numa partícula que percorre o retângulo C no plano z = y, mostrado na figura abaixo:

F x , y , z =x2 i4xy3 j y2 x k

Page 183: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 4: Solução

O trabalho é dado por

Vamos aplicar o Teorema de Stokes para evitar o cálculo de quatro integrais de linha.

W=∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

∇×F=2 xy i− y2 j4y3k

Page 184: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 4: Solução

Como z=f(x,y) (Caso particular)

∇×F=2 xy i− y2 j4y3k

W=∬S1

∇×F⋅d S=∬D∇×F⋅∇G dA

G x , y , z = y−z

∇G x , y , z = j−kObserve que invertemos isso! Foi necessário para conservar a orientação

positiva.

Page 185: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 4: Solução

∇G⋅∇×F=− y2−4y3

W=∬D∇×F⋅∇G dA=∫0

1

∫0

3−y2−4 y3dy dx

−∫0

1 [ y3

3 y4 ]

y=0

y=3

dx=−∫0

190dx= −90

Page 186: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 5:

Use o Teorema de Stokes para calcular a

integral , onde

onde C é o círculo no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.

F=2y i3x j−z2 k

x2 y2=9∬C

F⋅d r

Page 187: Cálculo Vetorial

Teorema de Stokes

Exemplo 6:

Use o Teorema de Stokes para calcular a

integral , onde

onde C é a elipse no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.

F=x2 i2x jz2k

4x2 y2=4

∬CF⋅d r