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Prof. Milton Procpio de BorbaOriginal do Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) MATEMTICA APLICADA (CE 319)

TRIGONOMETRIA1 Introduo

Descutir-se qual o significado que se deve dar ao termo Trigonometria; tomando-se como a cincia analtica estudada atualmente, tem-se ento a origem da Trigonometria no sculo XVII, aps o desenvolvimento do simbolismo algbrico. Mas se considerar o significado da geometria acoplada Astronomia, as origens remontaro aos trabalhos de Hiparco, no sculo II a.C embora existam traos anteriores de seu uso. Se ao considerar, ainda, para significar literalmente medidas do tringulo a origem ser no segundo ou terceiro milnio antes de Cristo. Estudar a histria da trigonometria tambm permite observar o surgimento e o progresso da Anlise e da lgebra, campos da Matemtica nela contidos de forma embrionria. A trigonometria, mais que qualquer ramo da matemtica, desenvolveu-se no mundo antigo a partir de necessidades prticas, principalmente ligadas Astronomia, Agrimensura e Navegao. Os primeiros indcios de rudimentos de trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilnia, a partir do clculo de razes entre nmeros e entre lados de tringulos semelhantes. No Egito, isto pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind[3], que data de aproximadamente 1650 a.C., e contm 84 problemas, dos quais quatro fazem meno ao seqt de um ngulo. Ahmes no foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto, pensa-se que o seqt de uma pirmide regular seja equivalente, hoje, cotangente do ngulo OMV .

VExemplo: Seja OV = 40 e OM = 80, ento o seqt = 80/40 isto : seqt = 2

Na construo das pirmides era essencial manter uma inclinao constante das faces, o que levou os egpcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a razo entre afastamento horizontal e elevao vertical. Alm da utilizao da trigonometria nas medies das pirmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a idia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqncias numricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relgios de sol). Poderamos dizer ento que essas idias estavam anunciando a chegada, sculos depois, das funes, tangente e cotangente. Os predecessores da tangente e da cotangente, no entanto, surgiram de modestas necessidades de medio de alturas e distncias. No mundo Ocidental, o saber dos egpcios foi seguido pelo dos gregos. reconhecido que, se os egpcios foram seus mestres, no tardou para que estes fossem superados pelos discpulos. Na Grcia a Matemtica teve um grande desenvolvimento, e a civilizao grega passou a servir de preceptora a todas as outras naes.

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Segundo o historiador Herdoto (490 - 420 a.C.), foram os gregos que deram o nome gnmon ao relgio de sol que chegou at eles atravs dos babilnios, embora j tivesse sido utilizado pelos egpcios antes de 1500 a.C.. O mais antigo gnmon de que temos conhecimento e que chegou at nossos dias, est no museu de Berlim (Eves, 1995). Ele evidencia e refora a hiptese de que a trigonometria foi uma ferramenta essencial para observao dos fenmenos astronmicos pelos povos antigos, uma vez que a documentao relativa a esse perodo praticamente inexistente. O gnmon era uma vareta (GN na figura abaixo) que se espetava no cho, formando com ele um ngulo de 90, e o comprimento de sua sombra (AN) era observado, num horrio determinado: meio dia. Uma observao dos limites da sombra permitia medir a durao do ano e o movimento lateral dirio do ponto A permitia medir a durao do dia.

Como o tamanho do gnmon era constante, ou seja, usava-se sempre a mesma vareta, na mesma posio, o comprimento de AN ao meio dia variava com o ngulo A. Para ns isto significa uma colocao de AN, ou AN/GN como uma funo do ngulo A, nos dias de hoje denominada cotangente. Porm, no temos nenhum vestgio do nome no perodo. O desenvolvimento da trigonometria est intimamente ligado ao da geometria. Neste campo, a Grcia produziu grandes sbios; entre eles Thales (625 - 546 a.C.), com seus estudos de semelhana que embasam a trigonometria, e seu discpulo Pitgoras (570 - 495 a.C.). Conjectura-se que este ltimo tenha feito a primeira demonstrao do teorema que leva seu nome: Em todo tringulo retngulo a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos. Deste teorema deriva a relao fundamental da trigonometria.

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O Tringulo Retngulo e Pitgoras

Foi visto anteriormente, que um tringulo possui um ngulo reto, isto , um dos seus ngulos mede noventa graus, da o nome tringulo retngulo. Como a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo igual a 180, ento os outros dois ngulos mediro 90. Observao: Se a soma de dois ngulos mede 90, estes ngulos so denominados complementares, portanto podemos dizer que o tringulo retngulo possui dois ngulos complementares.

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Prof. Milton Procpio de BorbaOriginal do Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) MATEMTICA APLICADA (CE 319)

TRIGONOMETRIA2.1 Nomenclatura do Tringulo Retngulo

Os lados de um tringulo retngulo recebem nomes especiais. Estes nomes so dados de acordo com a posio em relao ao ngulo reto. O lado oposto ao ngulo reto a hipotenusa. Os lados que formam o ngulo reto (adjacentes a ele) so os catetos. Para padronizar o estudo da Trigonometria, adota-se as seguintes notaes:

Letra Lado a Hipotenusa b Cateto

Tringulo

Vrtice = ngulo Medida A = ngulo reto A =90 B = ngulo agudo B