1 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD APRESENTAO Estetrabalhocompreendequaseatotalidadedamatemticaaplicada Administrao. De Funo a Sistemas Lineares, passando por todo o contedo do ClculoDiferencialeIntegralaumavarivel,pretendemosapartirdeuma linguagemrelativamentefcil,evidenciarasaplicaesqueessestemas matemticospodemdisponibilizarparaoprofissionaldaAdministraoereas afins. Todos os captulos trazem exemplos de aplicaes Administrao. Procuramos fazer uma ponte entre o material didticoe as aes da tutoria no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Ento, esse material motivador para as interaes que iro ocorrer no AVA. OtemaFuno,abordadonoprimeirocaptulo,propiciaumresgate conceitual desse instrumento facilitador de resoluo de problemas, bem como de controle econmico. um preparo para os temas que o seguem, alm de por si s trazer vrias aplicaes econmicas. No segundo capitulo, trazemos inicialmente uma viso intuitiva de Limites no contextoprpriodamatemticaparadepoisformaliz-loerevelartodasas conseqnciasdeseuconceito,notadamentenostemasqueoseguem. Apresentamos exemplos voltados para essa rea. Noquartocaptulo,trazemosoempolgantetemaDerivadaesuafortea aplicaoaoestudodasvariaesdasquantidadeseconmicas.Astaxasde variaodefunesqueseprestamemapoiararesoluodeproblemas econmicosrecebemumcuidadoespecial.Oseuconceito,propriedadese aplicaessotrazidosdeformaadarumforteembasamentoemClculo Diferencial aplicado administrao. 2 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Ocapitulo5abordaaIntegraoesuasaplicaesnocalculodereas, com implicaes na resoluo de problemas econmicos. Oscaptulos6e7contemplamostemasMatrizeseSistemasLineares, respectivamente.Abordamosessestemasapartirdeumasituaoproblema geradora conceitual e motivadora ao uso dessas ferramentas matemticas. Nofinalapresentamosasrespostasdosexercciospropostosemcada captulo. Esperamos ter reunido uma gama suficiente de elementos matemticos para formaroadministradorparaosproblemasqueadvirodesuaprofissionalizao, semdescartaranecessriaconsultadoestudanteaosoutroslivrosdidticosj consagrados na rea de matemtica pura ou na rea de matemtica aplicada. Estaumarevisodaprimeiraediojdisponibilizadaprimeiraturmado Curso de Administrao na modalidade a distncia da UFMA que, ao ser utilizada, tantonoensinoadistnciacomonopresencial,peloautor,foisendoavaliadae recebendo revises e acrscimos de exemplos e problemas propostos. So Lus, maro de 2012. O Autor 3 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1. FUNO: FUNDAMENTOS, DEFINIES E APLICAES 1.1 A correspondncia: base para a idia de funo NaAntiguidade,quandoohomemqueriacontrolaraquantidadedeseu rebanho,quandonosabiaaindacontar,usavadeummodorudimentarde controle, mas muito eficaz: a correspondncia. Aolevarseurebanhoparapastar,acadaanimalquesaadocercadoele colocava uma pedra em um saco. Ao trazer de volta os animais para o cercado, ao passoqueiamentrando,opastortiravaumapedra,ficandoassimsabendoseo rebanho no havia tido perda ou ganho de animais. Esse processo deu origem ao nome Calculus, que, em latim, significa pedra. Chamandoavacadeantecedenteeapedradeconsequente,fica estabelecida uma relao entre antecedente e consequente, de modo que pensar o antecedentenoslevaapensarnoconsequente.Talrelaodenominada correspondncia. Voltando-nosparaaatualidade,podemosdizer, sem contar, que o nmero de passageiros em um nibus menor, maior ou igual ao nmero de poltronas disponveis, pela simples correspondncia que podemos chamar um-a-um. Na figura ao lado, vemos que o nmero de poltronas maior que o nmero de passageiros, sem precisar contar. ANTECEDENTE CONSEQUENTE 4 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Comovemos,aidiadecorrespondnciafoieutilizadaparacontrolede quantidade. Existem diversas maneiras de se estabelecer uma correspondncia entre os elementosdedoisconjuntos.Umarelaoemquetodoantecedentetem,pelo menos,umconsequentedenominadaderelaocompletaeseparacada antecedente, existir apenas um consequente (um-a-um), dizemos que a relao unvoca. Pensemosnaseguintesituao:numasalaexistem4pessoasecada pessoa tem um nome. Podemos obter as situaes I e II: Pessoas NomesPessoas Nomes Jos Pedro Ana Jos Carlos Carlos Antnio I II No h possibilidade de haver algum sem nome e cada pessoa s tem um nome. Esta uma relao unvoca. Mas,esenomespassasseaserantecedenteepessoaspassasseaser consequente? Teramos as situaes III e IV: NomesPessoas Nomes Pessoas Jos Pedro AnaJos Carlos Carlos Antnio III IV 5 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Observamos que h uma reciprocidade entre I e III e entre II e IV, da dizer queelassorecprocasentresi.Entretanto,nasegundasituao,entreIIIeIV, apenasIVunvoca.Nessecaso,dizemosqueIIeIVsocorrespondncias unvocas e recprocas entre si. Nossoestudovaiseinteressarpelascorrespondnciasquesejampelo menos unvocas. Reflita sobre as diversas correspondncias no dirio do AVA. Combasenaidiadecorrespondnciasentreconjuntosnumricos,o homem inventou um instrumento bastante rigoroso para controlar as quantidades a partirdaregularidadeexistentenarelaoentreoselementosdedoisconjuntos representativos de uma situao social, econmico-financeira ou cientfica. Tomemosumexemploquepodeocorrerno cotidianodequalquerpessoa,respeitandoascondies scio econmicas: tomar um txi. Aoiniciarumacorrida,percebemosnotaxmetro(medidordopreo)um valor chamado de bandeirada, no valor de R$ 3,20, por exemplo. Isso significa que sparaentrarnotxi,opassageirojestdevendoessevalor.Oque acrescentar,apartirda,dependerdaquantidadedequilmetrosrodados. Suponhamos que a cada 1 km rodado, o taxmetro mede R$ 0,20 a mais. Isso significa que, se chamarmos de q a quantidade de quilmetros inteiros rodadosedepovalordacorrida,teremosumarelaounvocaentreesses valores, de forma regular, ou seja: Duascorrespondnciasunvocaserecprocasentresiso chamadas de biunvocas ou bijetivas. 6 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Km (q) Preo (p) 0 0 . 0,20 + 3,20 = 3,20 1 1 . 0,20 + 3,20 = 3,40 22 . 0,20 + 3,20 = 3,60 3 3 . 0,20 + 3,20 = 3,80 4 4 . 0,20 + 3,20 = 4,00 q q . 020 + 3,20 = p Podemosescreveralgebricamenteessacorrespondnciaquesemostra unvoca. Para qualquer valor de q, teremos um valor p correspondente, obtido pela expresso p = 0,20q + 3,20 Observamos nesse exemplo que a expresso composta de uma parte fixa e outra varivel! Fica claro que o conceito de correspondncia fundamental para oestudo defuno.Contudo,estudaressetemanosobrigaabuscarumanoodelei. Considerequeohomemnoconsegueabarcar,numgolpedevista,atotalidade do fenmeno que observa. Ento, faz recortes realidade estudada, de modo a ter ummaiorcontrolesobreela.Essasseriamascondiesiniciaisdofenmeno observado. Chamaremos o recorte da realidade de isolado. OqueocorrernoisoladoreceberonomedeLeiNatural,quese caracterizapelasmudanasnaqualidadedeseuselementos.Umaleinatural todaregularidadedemovimentaonoisolado.Nonossoexemplo,oisolado uma corrida de txi e a regularidade como varia o preo, proporo que varia a quilometragem, a partir da leitura do taxmetro, isto : 0,2q. 7 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Uma lei pode ser quantitativa ou qualitativa. Uma lei quantitativa refere-se svariaesdasquantidadesnumisoladoeumaleiqualitativarefere-ses variaes nas qualidades de um isolado. Conceitualmente,umafunonascedanecessidadedecriarmosum instrumentoparaexplicararealidade,apartirdeumaleiquantitativa.Paraseter um exemplo disso, podemos citar a regularidade da variao da receita relativa venda de certo produto cujo preo 10 reais. Isso gera duas tabelas, tais que uma (Q)indicaavariaodaquantidadevendidaeaoutra(R)avariaodareceita obtida. A relao entre essas duas tabelas unvoca (Observe!), isto , QRdeformaquetodoelementoqeQtemumnicoelemento correspondente r em R, pela relao R(q) = r = 10q. Essarelaoresultanacriaodeuminstrumentoquedependeda correspondncia entre dois conjuntos numricos (Quadro I). Q (quant.)1234 ... R (receita)10203040 ... Quadro I Para a montagem do instrumento que explica esse fenmeno, necessrio se fazumarepresentaosimblicaparaosconjuntosenvolvidos.Oconceitode varivel nasce dessa problemtica. Varivelarepresentaosimblicadequalquerdos elementosdeumconjuntofinitoouinfinitoE.Convenciona-se representar por uma letra qualquer do alfabeto, por exemplo, q. Avariveldeterminadapeloseudomnio,podendoser contnua se pertencer a um intervalo real ou ento pode ser inteira ou discreta, se pertencer a um conjunto discreto de elementos. 8 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD No exemplo da receita, temos a correspondncia entre duas variveis. q r Neste caso dizemos que tanto q e r so variveis; a variao de r depende davariaodeq.Ento,dizemosquequmavarivelindependenteequer uma varivel dependente ou que r funo de q e escrevemosr = f(q) De um modo geral, Vejamosoutraaplicaoqueconsolidaintrodutoriamenteoempregoda funo na rea administrativa. Uma indstria de mquinas de lavar tem um custo fixo de R$ 4.000,00 e um custo varivel de R$ 150,00 por mquina produzida. Sabe-se ainda que o preo de venda de uma mquina R$ 250 reais. a.Encontre a expresso para calcular o custo total de fabricao. b.Encontre o custo para produzir 500 mquinas. c.Calcule o custo adicional, quando a produo for elevada de 500 para 800 mquinas. d.Quantas mquinas podero ser produzidas a um custo de R$ 79.900,00? e.Determinar a funo receita total. f.Qual o faturamento gerado por 500 mquinas? g.Determine a funo lucro. h.Qual o lucro resultante da venda de 500 mquinas? Sejam x e y duas variveis representativas de conjuntos numricos; diz-sequeyfunodex,eescreve-sey=f(x),seentreasduasvariveis existe uma correspondncia unvoca no sentido x y. A x chama-se varivel independente, a y varivel dependente. 9 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Soluo: a)Primeiro temos que escrever a funo que representa essa situao.Vejamos:i) Temos um custo fixo que independe da produo no valor de R$ 4.000,00; ii)Temosumcustovarivelquedependedaquantidadeproduzida.Acada unidade x produzida o custo de R$ 150,00. Juntandoasinformaesdei)eii)podemosescreverumafunoque chamaremos de funo Custo e denotaremos por C(q). C(q) = 4000 + 150q(I) b)Basta substituir o valor de q = 500 em (I) para obter o custo pedido. C(500) = 4000 + 150 . 500 C(500) = 4000 + 75000 C(500) = 79000 Isto , o custo para produzir 500 mquinas de R$ 79.000,00. c)Para calcular o custo adicional de produo de 500 para 800 mquinas, h duas maneiras de fazer. Deixaremos uma delas para voc pensar e colocar na biblioteca do AVA. Nessecaso,podemoscalcularocustoparaproduziressasquantidades em separado e depois fazer a subtrao.Ento, basta calcular C(800), cujo resultado 124.000,00 (Verifique!). Assim, o custo adicional, em reais, ser C(800) C(500) = 124000 79000 C(800) = 45000. d) dado que C(q) = 79900, ento basta substituir esse valor na expresso (I) e encontrar o q correspondente. 79900 = 4000 + 150q 150q = 79900 4000 = 75900 q = 506 10 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Ento,R$79.900,00ocustonecessrioparaproduzir506mquinas. (Verifique isso, substituindo 506 em (I)) e)Areceitatotalproporcionalaquantidadevendida.Paracadaqunidade vendida, obtm-se R$ 250,00. Ento, podemos escrever R(q) = 250q (II) f)Paracalcularofaturamentodeumaquantidadedemquinasvendidas, basta substituir a quantidade em (II). Se q = 500 R(150) = 250 . 500 = 125 000 Isto , o faturamento de 500 mquinas vendidas de R$ 125.000,00. g)AfunolucrodadapeladiferenaentreasfunesReceitaTotal(II)e Custo Total (I). Algebricamente encontra-se a expresso pela diferena das expresses (II) e (I). L(q) = R(q) C(q) = 250q (4000 + 150q)= 250q 4000 150q L(q) = 100q 4000(III) h)Para responder essa questo, basta substituir 500 em (III). Ento, L(500) = 100 . 500 4000 = 46.000. Ou seja, o lucro das vendas de 500 mquinas de R$ 46.000,00. PARADA PARA VERIFICAR CONCEITOS APRENDIDOS 1)NoFRUMContextualizandooConceitodeFuno,discutacomos seus colegas sobre o papel da funo como um instrumento de controle de quantidades. Onde esse conceito utilizado? Que exemplo pode ser Atividades: Oitemh)poderiaserrespondidadeoutramaneira.Pensee coloquesuasoluonabibliotecadoAVA.Coloquenodiriode bordosuasreflexes,dificuldadesencontradasaofazeressa atividade. 11 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD dado aplicao desse conceito? Como foi seu contato com esse tema, no ensino mdio? 2)Numa sala h trs homens e 4 mulheres. Cada homem encontra-se com suaesposa.Seconsiderarmososhomenscomoantecedenteseas mulheres como conseqentes, que tipo de correspondncia a relao homemmulher?Esuarecproca?Dumexemploemquea correspondncia seria biunvoca. 3)Umalojapagaosalriodeseusempregadosdevendadaseguinte forma: R$ 485,00 mais 10% sobre tudo que o empregado vende. a)Qualaexpressomatemticaparaencontrarosalriodeum empregadoqualquer,emumdeterminadoms?Identifique primeiroasvariveiseaspartesquecompemaexpresso analtica do salrio do vendedor. b)QualosalriodoempregadoquevendeummontantedeR$ 1 500,00? c)Quantoumvendedorprecisavenderparareceberumsalriode 750 reais? 1.2 Os conjuntos numricos Asfunessoferramentasque,parafazeremsentido,necessriosefaz determinarquequantidadesnumricasestosendoenvolvidaserelacionadas,a partir de sua lei matemtica de correspondncia. Para tanto, devemos conhecer os conjuntos que podemos considerar nessas relaes. 1.2.1 Os nmeros: uma construo bela e prticaEmtodososmomentosdenossavida,precisamosutilizaracontagemem diversassituaes:sejanosupermercado,sejanaverificaodosalrio,nas 12 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD contas a pagar, etc. O homem no vive isolado, ele precisa estar em relao com os outros e a necessidade da contagem influencia no seu cotidiano. Na antiguidade, o homem primitivo no tinha nenhum conhecimento sobre o que seria contar. Seus processos iniciais de controle das quantidades basearam-se nacorrespondnciadecadaelementodeseupatrimnioque,emgeral,erao gado, com uma pedra que colocava em um saco. medida que a vida social foi aumentando de intensidade, desenvolveram-se mais as relaes entre os homens e tornou-se necessrio informar-se, entender como seria a contagem. A partir da, surgiram os nmeros, ficando entendido que a idia do nmero noumprodutodopensamento,maissimdeumaobservaovindada experinciaedeumanecessidade.Pode-seafirmarqueoshomensno construram primeiro o nmero para depois contarem. Os nmeros naturais foram se formando lentamente pela prtica diria da contagem. Hindciosdasprimeirasconcepesde nmero j nos tempos remotos do comeo da idade da pedra, no perodo paleoltico. O modo de vida do homem, nessa forma de transio, tem relao com asnoeseorigemdosnmeros,atravsda construodeinstrumentosparacaaepescae, pelodesenvolvimentodalinguagem,influenciouna contagem.Tambmaarteepinturaemcavernas revelamaformadevidadospovosenosmostra umanotvelcompreensodaforma matematicamente falando. http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/File/imagens/2matematica/3homcave.jpg 13 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Noperodoneolticoondeohomemdeixa deserpassivocomrelaoanatureza.Almde usarinstrumentosrsticosparacontrolede quantidade como osso, gravetos, as partes do corpo forammuitousadasparaessecontrole.Onome dgitovemdededosquedesignaosnmeros naturais de 1 a 9. H uma relao entre o nosso sistema de base que 10 e os nmeros de dedosdasduasmos.Nossosistemadenumeraodecimalquefoicriaodos hindusedivulgadomundialmentepelosrabesdaserdenominadodehindu-arbico utiliza os seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A criao de umsmbolo(ozero)pararepresentarafaltadeumaunidadeemalgumaordem numricadeumacontagem,utilizandoosistemadenumerao,recentee constitui-se um dos atos mais audazes do pensamento. Foiapartirdaidiadacorrespondnciaqueosistemadecontageme numeraoevoluiu.Podemosdizerqueacontagemserealizafazendo corresponder, sucessivamente, a cada objeto de qualquer coleo, um nmero da sucesso natural. Considerando,ento,queoconjuntodosNmerosNaturaisservepara representar quantidades existentes, ele representado da seguinte forma N = 1, 2,3,4, 5, 6, . . .` Naantiguidade,paraalgunspovosprimitivos,osnmerosnaturais bastavam.Comasmodificaessociais,issofoimudando,exigindodoser humano, comercial por natureza, necessitado de representar numericamente o que v e o que comercializa, outras representaes numricas. 14 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Comacomplexidadequefoialcanandoavidasocialeeconmicadoser humano,surgiramosoutrosconjuntosnumricos.Issofoiacontecendodevidoa necessidadedeefetuaroperaesque,nodomniodeumdeterminadoconjunto, no era possvel ou ento de representar determinadas grandezas como o tempo, a temperatura, a altitude e o deslocamento, para dar alguns exemplos. A criao dos conjuntos numricos foi baseada num principio cientfico que negaanegao.Asimpossibilidadesexistentesparaumdeterminadoconjunto foramnegadas,ampliandoocampodecontagemoumedio.Assimforam surgindo os conjuntos que se seguem. 1.2.2 Conjunto dos nmeros inteiros Z Z =... -3, -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, ... ` Podemos dizer, na notao de conjuntos, queZ = N 0 `(- N) AletraZpararepresentaro conjuntovemdapalavraalem Zahl que significa nmero. Mas,almdacontageme representaodequantidades inteirasdapercepohumana,a medidaumaatividadefundamentalparaodesenvolvimentoesobrevivnciado serhumano.Apartirdanecessidadedemedir,apareceuumaimpossibilidadede representaonumricaparaaoperaodedividircomnmerosinteiros.Assim surgiu o conjunto dos nmeros racionais. 15 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.2.3 O conjunto dos nmeros racionais Q = x = nm/ m, n e Z, n 0 ` Observamosquetantoosnmerosnaturaiscomoosinteirospodemser escritos na forma de uma frao, ento so tambm racionais. 624 -4 -;2105 = =Simbolicamente, na notao de conjuntos, isso quer dizer: N c Z c Q Todavia, nem sempre o resultado de uma medida pode ser escrito na forma deumafrao.Quandoocorreisso,dizemosqueamedidaexpressaporum nmero irracional. Como exemplos de nmeros que no so escritos na forma de frao, temos:2 , t . 1.2.4 Os nmeros reais Finalmente,reunindoosnmerosracionais(Q)comosnmeros irracionais obtemos o conjunto dos Nmeros Reais. R = QIrracionais Porcorrespondnciabiunvocaoconjuntodosnmerosreaispodeser representadoporumareta,emquecadapontocorrespondeaumnmeroreale vice versa. R -1 02112 2 Resumindo, temos N = 1, 2,3,4, 5, 6, . . .` Z =... -3, -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, ... `N c Z c Q c R 16 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Q = x = nm/ m, n e Z, n 0 ` No estudo de funes, precisamos dominar a notao e representao dos subconjuntos do conjunto dos nmeros reais. o que trata o prximo tpico desse texto. A reta real e seus subconjuntos Sejam a e b nmeros reais com a b. Os subconjuntos de R definidos como seguem so chamados de intervalos: 1)Aberto: (a, b) = ]a,b[ = x e R /a < x < b`ab 2)Fechado: [a, b] = x e R /a x b`a b 3)Fechado esquerda: [a, b[ = x e R /a x < b`ab 4)Fechado direita: ]a,b] = x e R /a < x b`a b Intervalos infinitos 5)]- , b] = x e R / x b` b 6)]- , b[ = x e R / x < b`b 7)[a, [ = x e R / x > a`a 8)]a, [ = x e R /x > a` a Operaes com intervalos Considere os intervalos A = [2, 4] B = ]1, 5[ Calcular AB e A B A 24 B15 A B2 4[2, 4] 17 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD A2 4 B 15 AB 15]1, 5[ 1.2.5 Problemas Considere os intervalos A = ]3, 4], B = [-1, 6[, C = [-3, 2], D = ]1, 4], E = ]1, 2[, F = [3, 4], G = ]- , 2], H = [-1, 1], I = [-3, [, J = ]-, 2] Efetue as operaes dadas e apresente as solues na reta real, na notao de intervalo e na representao de conjuntos. a):AB e A B b ) CD e C D c) EF e E F d) GH e G H e) IJ e I J 1.3 Formalizando o conceito de funo Apsapresentarmos,conceitualmente,afuno,formalizaremosaseguir esseconceito,apresentandoasntesedetudoqueescrevemosanteriormente nessetexto,naformadeumconceito.Emseguida,umaabordagemsobrea identificaodeumafuno,apartirdasrepresentaesgrficasouatravsde diagramas de algumas relaes. Asdiversasqualidadesqueumafunopodeapresentarcrescente, decrescente,injetora,sobrejetoraebijetoraseroanalisadas,bemcomoa composio e a inversibilidade de uma funo. 18 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.3.1 Definio SejaxumelementodoconjuntoAeyum elemento do conjunto B. A relao f de A B (l-se de A em B) uma funo se, e somente se, a todo elemento x e A corresponde um nico elemento y e B. 1.3.2 Notaes Seja f uma funo definida de A em B. Temos as seguintes notaes: f: A BA Bf: A Btal que x f(x)xf(x)y = f(x) Dizemos que A o Domnio (D) e B o Contradomnio (CD). Ex: f: R R ou f: RR Tal que y = 2x - 1 x 2x 1 1.3.3 Imagem Dizemos ainda que a Imagem de f (x) de A em B dada pelo conjunto Im = y e B / - x e A tal que y = f(x)` Usando diagramas podemos ver mais precisamente isso. DfCD -2 -2Im-1 -1 34 Se f dada por f(x) = 2x 1, a imagem de 5 f(5) = 2.5 1 = 10 1 = 9 1.3.4 Identificao de uma funo i) Atravs do diagrama de Venn Consideremos os conjuntos A e B e cada relao proposta: A = -3, -2, 0, 1, 2` B = -2, -1, 0, 1, 2, 3` Temos:f(-2) = f(3)= -2 f(-1) = -1 D (f) = -2, -1, 3`CD(f) = -2, -1, 4`Im(f) = -2, -1`Veja que Im cCD Poressadefinio observa-sequefuno umacorrespondncia unvoca (completa e um-a-um). 19 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Nosdiagramasqueseguem,podemosidentificarseumarelaopodeou no ser uma funo. A(I)BA(II)B -3-2,-3 -2 -2 -1-2 -1 0 0 00 1 1 11 2 222 3 3

A(III)B A(IV)B -3-2 -3 -2 -2-1 -2-1 00 00 11 1 1 22 2 2 33 Questo:Asrelaesrecprocasde(III)e(IV)sofunes?Discuta isso num frum apropriado no AVA. Em(II),temosumarelao completa, mas no unvoca. 1 e A tem dois correspondentes em B (II) no funo Em(I),temosumarelaono-completa. 2eAnotemcorrespondente em B. (I) no funo. Em(III),temosumarelao unvoca(completaeum-a-um). (III) funo Em(IV),temosumarelao unvoca(completaeum-a-um). (IV) funo 20 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD ii) Atravs de grficos Considere os grficos a seguir. Analisemos cada um traando retas verticais paralelas ao eixo oY. a)yb) y c) y xx x d)y x 1.4 Funes injetora, sobrejetora e bijetora H funes que tm algumas caractersticas peculiares que observaremos a partirdaqui.Hduasformasdeidentific-las:atravsdodiagramadeVennou atravs de seus grficos. a)atravs do diagrama de Venn Considere as funes f, g, h e k e seus diagramas de Venn respectivos: AfB Cg D 0-11 0 10 21 22 32 33 4 4 OsistemacartesianofoiumacriaoengenhosadeRenDescartes(1596-1650)quefundiuageometriacomalgebra,paraummelhorestudodas variaesdasquantidades.Constituiumacorrespondnciabiunvocados pontos do plano com pares ordenados do tipo (a, b), em que a elemento do eixooX,chamadodeabscissaebelementodoeixooY,chamadode ordenada. Temosemaedretasverticaistocandoo grficoemumsponto,significandoque todo e qualquerponto do eixooX s tem um correspondentenoeixooY.Logo,esses grficos representam uma funo. O que no acontece em b e c. 21 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Eh FGk H 10 10 2 121 3 2 3 2 4 3 4 3 i)asfunesfehrelacionamelementosdistintosdodomnioaelementos distintos do contradomnio. Dizemos que f e h so funes injetoras. ii)Asfunesgehtmseusconjuntosimagensiguaisaoseu contradomnio.Dizemos que g e h so sobrejetoras. iii) A funo k no tem nenhuma das qualidades apresentadas no item i e ii no recebendo nenhuma denominao especial. iv) Observamos que a funo h tem as qualidades injetoras e sobrejetora e por isso recebe a qualidade de bijetora. As funes bijetoras so aquelas cujas recprocas so tambm bijetoras. b)Atravs do grfico Analisemos as seguintes situaes que seguem, respeitando o domnio e contradomnio das funes: i) y y xx f: R Rtal que f(x) = xf: R+ R tal que f(x) = x Nocasoi,observamosqueasretasparalelasaoeixooX,passandopelos pontos que compem o contradomnio de f, quando cortam, no cortam o grfico maisdeumavez,significandoquenohelementosdistintosdodomniocom imagensiguais.Dizemosqueasfunesqueseapresentamassimso injetoras. 22 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD ii) yy xx f: R Rtal que f(x)= x 1f: R R+ tal que f(x) = x Nocasoii,observamosquetodasasretasparalelasaoeixoX,passando pelospontosquecompemoCD(f),cortamogrficoemalgumponto, significando que y e CD(f), - x e D(f) tal que y = f(x). Dizemos que as funes que se apresentam assim so sobrejetoras. iii) f: R Rtal que f(x) = 2xf: RRtal que f(x) = x y y xx No caso iii, observamos que toda e qualquer reta paralela ao eixo oX corta o grfico em um s ponto, significando que as funes tm as caractersticas dei e ii. Dizemos que as funes que se apresentam assim so bijetoras. Formalmente, temos: f: A B injetora x1, x2 e A, x1 x2 f(x1) f(x2) De outro modo, f(x1) = f(x2) x1 = x2 f: A B sobrejetora y e B, - x e A / f(x) = y Nesse caso, temos Im (f) = CD (f) f: A B bijetora f injetora e sobrejetora ou23 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD f: A B bijetora y e B, - um nico x e A / f(x) = y Umaparadaparaverificaraaprendizagemdeconceitosetcnicasde reconhecimento de funes e suas qualidades. 1)Considereosgrficosabaixoeanaliseserepresentamounouma funo, se os conjuntos relacionados so os reais. a) b)yy x x c) yd)y xx 2)Verifiqueseasfunesrepresentadaspelosgrficosaseguirso injetora, sobrejetora ou bijetora a) yb)y xx f: R R tal que f(x) = x 3 f: R+R tal que4 x 4 x ) x ( f2+ + =c)yd) y x x f: R R - tal que f(x) = - xf: R+ R - tal que f(x) = - x 24 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.5 Funo Afim Vejamos o seguinte problema econmico, encontrado no Quadro II, relativo correspondncia entre a oferta de um produto e o seu preo respectivo, em que o preo depende da oferta. Quadro II Oferta(q)010305070 Preo (p)5205080110 Observamos que a variao na varivel independente produz uma variao proporcional na variao da varivel dependente, seno vejamos: A variao de 10 na oferta produz uma variao de 15 (20 5) no preo. Se fizermosumavariaode20(5030),temosumavariaode30(8050). Conclumos que existe uma razo constante entre a variao do preo e a variao da oferta. Veja: 5 , 1oferta da iao varpreo do iao varqpq q) q ( p ) q ( p...30 5050 8010 3020 500 105 201 21 2= =AA== === Significaquecadavariaounitrianaofertaproduz1,5navariaodo preo. A relao matemtica que se estabelece p = 1,5q Podemosestabelecerumaexpressoanalticafinalparaessasituao econmica.Vemosnesseexemploquehumpreoparaoproduto,mesmoque ele no seja ofertado, que 5, isto , p(0) = 5. Ento 5 a parte fixa ou constante dessa expresso. Apartirdaoferta,avariaodopreopassaaserproporcionalavariao daoferta(1,5q),queconstituiapartevariveldaexpressomatemtica dopreo emrelaooferta.Temosassimumapartefixaeumapartevarivelna expresso a ser obtida, que p(q) = 1,5q + 5(I) 25 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Esse tipo de expresso representa uma funo do 1 grauconhecida como funo afim, que estudaremos a seguir. 1.5.1 Definio Uma aplicao de R em R recebe o nome defuno afim, quando a cadax e R associa o elemento (ax + b) e R em que a, b e R, a 0. De outro modo, temosf: R R tal que f(x) = a.x + b (II) 1.5.2 Particularizao Seb=0,aexpressoanalticadafunoafimassumeaformaf(x)=ax, recebendo o nome de funo linear. 1.5.3 Grfico O grfico da funo afim uma reta (Fig.1). p 50 Ap = 30 o 20 Aq = 20 5 1030q Fig. 1 No intervalo [10, 30] 5 , 12030qp= =AA tgo =qpAA = 1,5 1,5taxadeinclinaoda retaquerepresentaa funoafimf(x)=1,5x+5. Essataxatambm representacomoavarivel y varia em relao a varivel x. Temos assim uma taxa de variaomdianum intervalodado.Verifica-se queissovaleparatodoe qualquer intervalo. Poranalogiaemrelaoa expresso(II),temosquea=1,5.Prova-sequetgo exatamente o valor dea em (II),querecebeonomede coeficiente angular. Fica como desafio! Sugesto:Consideredois pontosdareta:P(x,y) genricoeumconhecido Q(x0, y0). 26 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.5.4 Coeficientes da funo afim Emf(x)=ax+b,temosdoiscoeficientesaebquesodenominados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear. O coeficiente linear a ordenada do ponto interseco da reta com o eixo oY, ou seja f(0) = b. 1.5.5 Zero da funo afim O zero de uma funo o valor do domnio, cuja imagem zero, isto , se x0 o zero de f, ento f(x0) = 0. Para obter o zero da funo, faz-se f(x) = 0. Neste caso, f(x0) = ax0 + b = 0 ax0 = - b x0 = ab Ex: Se f(x) = 3x 6, ento x0 =236= . Substituanaexpressoeconfira!Evitedecorarafrmulaeprefira resolver a equao! Coloque no dirio como seria isso! Geometricamente, o zero da funo a abscissa do ponto de interseco do seu grfico com o eixo oX. Ento, temos elementos suficientes para a construo do grfico da funo afim. Basta determinar o coeficiente linear e o zero! Sef(x)=3x6,sejaadeterminaodesseselementosessenciaisparao esboo do grfico. xy = 3x 6 0 0 Temos dois pontos suficientes para o esboo do grfico (0, -6) e (2, 0). y (2,0) x (0,-6) xy = 3x 6 0-6 20 27 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.5.6 Crescimento e decrescimento de uma funo Consideremosoproblemaaseguireanalisemosamovimentaodos valoresdavarivelindependente,repercutindonamovimentaodavarivel dependente. Opreopdeumprodutovariadeacordocomasuademandaqea expresso analtica da funo que representa essa relao P(q) = -1,5q + 45 Estudemosocomportamentodessafunop(q)entreosvaloresde demanda q1 = 10 e q2 = 20. Clculo das imagens de q1 e q2. p(q1) = p(10) = 30 p(q2) = p(20) = 15 Fig. 2 De um modo geral: A funo f: A B tal que y = f(x) decrescente no conjunto A1 c A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2e A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Sefdecrescenteemtodooseudomnio,dizemosquef decrescente. Nota-se que q1 = 10 < q2 = 20 e p(q1) = 30 > p(q2) = 15 Observa-sequeparaessafuno,emtodooseu domnio,seq1 < q2ep(q1)>p(q2).Vejaogrfico(Fig. 2). DizemosqueP(q)=-1,5q+45umafuno decrescente. 28 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Temos tambm A funo f: A B tal que y = f(x) crescente no conjunto A1 c A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 e A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Se f crescente em todo o seu domnio, dizemos que f crescente. Podemosobservarnogrficodeumafunoessesdoisfenmenos. Considere para isso os conjuntos A = [a, b], B = [b, c]e C = [c, d] y c

ab d x Temos: i) x1, x2 e A, x1 < x2, temos f(x1) < f(x2) f crescente em A. ii) x1, x2 e B, x1 < x2, temos f(x1) > f(x2) f decrescente em B. iii) x1, x2 e C, x1 < x2, temos f(x1) < f(x2) f crescente em C Questo:Qual o sinal da expresso: 2 12 1x x) x ( f ) x ( fem que a) f crescenteb) f decrescente Asrespostasdessasquestessoteisparaoestudodocrescimentoe decrescimento da funo afim. Verifique que se f(x) = ax + b, temos: a > 0 f (x) crescente a < 0 f(x) decrescente 29 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.5.7 Aplicao A demanda q de um produto dependente do seu preo p de venda (R$). A relao de dependncia entre q e p dada por q(p) = 50 2p. a) Esboce o grfico de q(p) indicando seus principais elementos.b) Qual o valor de p quando q igual a 30? c)Afunoq(p)crescenteoudecrescente?Analiseessaquestoapartirdo conhecimento do valor do coeficiente angular. q a)50 25p b)seq=30,devemossubstituiressevalornaexpressoanalticada funo e achar o p que corresponde a ele. q(p) = 50 2p 30 = 50 2p 2p = 50 30 = 20 p = 10 Logo, para se ter uma demanda de 30 unidades, o preo do produto deve ser R$ 10,00. c)Ocoeficienteangulardaexpressoanaltica2 0, temos duas razes reais e distintas, ou seja, aac b bx2421 + =e aac b bx2422 =a)se A = 0, temos duas razes reais e iguais, seno vejamos. abx20 = abx2=c)se A < 0, no existem razes reais. 1.6.3 Grfico Ogrficodafunodo2grauumaparbolaemquepodemosdestacar alguns elementos (Fig. 3): a)um eixo de simetria reta perpendicular ao eixo x que simetriza a parbola. b)concavidade conforme o sinal de a, temos: i.se a > 0 temos a concavidade voltada para cima ii.se a < 0 temos a concavidade voltada para baixo c) Pontos em que o grfico corta o eixo x: so os pontos em que as abcissas so os zeros ou asrazes da funo. d)Ponto em que o grfico corta o eixo y: o ponto de coordenadas (0, f(0)). Fig. 3 a > 0 a < 0 33 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD e)Vrtice da parbola V(xv, yv)= |.|

\| A a 4,a 2b, ponto de interseco do eixo de simetria com a parbola. Novrtice,aordenadarepresentaovalormximooumnimodafuno conformeaconcavidadedaparbola,sejaparabaixo,sejaparacima, respectivamente. Seguem as possveis situaes de grfico dessa funo (Fig. 4): Fig. 4 Voltando situao inicial do estudo dessa funo, temos R(q) = -2q2 +160q. Faamos a sua anlise grfica: 34 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD a)Clculo dos zeros ou razes: Temos a = -2,b = 160ec = 0. Anulando a expresso de R, encontramos uma equao incompleta que podemos resolv-la sem a frmula de Bhaskara. -2q2 + 160q = 0 q(-2q + 160) = 0 q = 0 ou -2q + 160 = 0 q = 80 Temos, ento, q1 = 0 e q2 = 80. b)Clculo do vrtice: O vrtice tem as seguintes frmulas para a obteno de suas coordenadas: abqv2 =402 2160= =) (qv earv4A = = 3200825600) 2 .( 40 ). 2 .( 4 160442 2= = =aac b Podemostambmobterorvsubstituindooqvnaexpressoanalticada funo, isto : rv = R(qv) = R(40) = -2.40 + 160. 40 = -2.1600 + 6400 = 3200 Conclumos que o valor mximo da receita na comercializao desse produto R$ 3.200,00 e que, para isso, basta que sejam vendidas 40 unidades. Vide Fig. 5. c)Ponto em que o grfico corta o eixo das receitas: Isso se d quando q = 0, isto , no ponto de ordenada igual a R(0) = 0. Fig. 5 Verifiquequeqvpodeserobtido pelamdiaaritmticadasrazes!! Por qu? rmx = 3200 35 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Considere agora a seguinte situao envolvendo as funes custo, receita e lucro. Uma indstria produz certo produto a um custo dado por C(q) =-5q+ 11. A receita de comercializao desse produto dada por R(q) = q2 9q + 14. a)EsboarosgrficosdeReCnummesmosistemacartesiano,indicando seusprincipaiselementoseospontoschamadosdebreak-evenemquea receita igual ao custo,. b)A funo custo crescente ou decrescente? Para que valores de q, C(q) positivo? c)A funo receita apresenta ponto de mximo ou mnimo? Qual a quantidade comercializada que corresponde a esse valor? Indique um intervalo em que areceitacrescente.Emqueintervalosafunocrescente?E decrescente? d)Para que valores de q a receita positiva? E negativa? e)Determineafunolucro,esboceseugrficoindicandoseusprincipais elementos. Qual a relao entre os pontos de break-even e a funo lucro? Soluo: a)Para o grfico de R(q), obtemos os seguintes dados essenciais: q1= 2, q2= 7, qv = 4,5, rv = -6,25 e R(0) = 14 Para o grfico de C(q), precisamos do zero (q = 2,2) e C(0) = 11 Ospontosdebreak-evensosituaesdeequilbrioemumasituao econmica, isto , ocorrem quando C(q) = R(q). Logo,-5q+ 11 = q2 9q + 14 q2 -9q +5q +14 11 =0 q2 -4q + 3 = 0 q3 = 1 ou q4 = 3 Nesse caso C(1) = R(1) = 6 e C(3)=R(3) = -4 Veja o grfico dessa funo na fig. 6 que nos mostra todas essas situaes. 36 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Fig. 6 Observamospelogrficoqueentreq=1eq=3aempresatemprejuzo,pois nesse intervalo o custo superior receita. b)Afunocustodecrescente,poisseucoeficienteangularnegativo,a=-5. Observando o grfico, vemos que o custo positivo no intervalo 0 < q < 2,2 c) A funo receita apresenta umvalor mnimo igual a R$ (- 6,25) e para tanto a quantidadecomercializadadeveserde4,5.Naprtica,notemosessevalorde mercadoriacomercializada,entretantopodemosafirmarqueocomportamentoda receitamnimaseriaentre4e5produtoscomercializados.Nessecaso,sendo negativa, podemos dizer que o maior prejuzo seria de 6,25 reais. Quantoaocrescimentoeodecrescimentodessafuno,podemosvernogrfico que a receita crescente no intervalo ] 4,5, [ e decrescente no intervalo ]-, 4,5[. d) A receita positiva para valores inferiores a q1 = 2,q2 = 7, que so os zeros e negativaentreessesvalores.Logoavendadevaloresentreessesvaloresdeve ser evitada. e) A funo lucro dada por L(q) = R(q) C(q) = q2 9q + 14 (-5q+ 11)= L(q) = q2 - 4q + 3 Pontos de break-even (1, 6) e (3, -4) Receita mnima = R$ -6,25 C(q) = -5q+ 11 R(q) = q2 9q + 14 37 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Para o seu grfico, temos razes q1 = 1 ou q2 = 3 (so as mesmas abscissas dos pontos de break even! por que nesse caso o lucro nulo. Vide Fig. 7). qv =223 12q q2 1=+=+ e rv = L(qv) = -1 e L(0) = 3 Fig. 7 1.6.4 Problemas propostos 1) UmindustririotemsuaproduomodeladapelafunoP(t)=-t+12t+64, onde t (medido em horas) o tempo de produo. a)Esboce o grfico da funo produo, revelando seus elementos principais. b)Afunoproduotemumvalormximooumnimo?Oqueidentificaisso emsuaexpressoanaltica?Qualotemponecessrioparaqueisso acontea? c)Qual o tempo necessrio para que a produo seja 46 unidades? d)Quais os intervalos de crescimento e decrescimento da funo produo? 2) Areceitaobtidapelacomercializaodecertotipodebolsadependeda quantidade comercializada segundo a relao R(q) = -2q + 400q. Pontos de break-even L(q) = 0 38 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD a)Qual a relao do preo da bolsa em funo da quantidade vendida? b)Esboce o grfico da funo receita, identificando seus elementos principais. c)A funo receita tem um valor mnimo ou mximo? Qual a quantidade de bolsas a ser vendidas para a obteno desse valor? d)Emqueintervalosdequantidadevendidaareceitacrescente?E decrescente? e)Considere que o custo de produo e comercializao das bolsas seja dado porC(q)=140q+2400.Obtenhaafunolucroeesboceseugrfico apresentando seus principais elementos. f)Mostre,nummesmogrfico,asfunesreceitaecusto,indicandoseus pontosdebreak-even.Faaumarelaoentreessespontoseafuno lucro. 1.7 Funes polinomiais e funes racionais Algumasfunesqueapresentaremosaolongodessadisciplinatmuma caracterstica peculiar, qual seja a que definiremos a seguir. 1.7.1 Funo Polinomial 1.7.1.1 Definio -Uma funo f dita polinomial de grau n se f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ...+ an-1x + an,sendo a0, a1, a2, an-1, an, constantes (coeficientes) com a0 0 e n > 0 inteiro 1.7.1.2 Grfico: uma curva de grau n 1.7.1.3 Domnio: D = R 1.7.1.4 Particularizaes: Se n = 0, temos uma funo constante f(x) = a0 Se n = 1, temos uma funo linear f(x) = a0x + a1 39 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Se n = 2, temos uma funo quadrtica f(x) = a0x2 + a1x + a2 Exemplo 1.7.1 Seja f(x) = x + 2x - 5x + 2. Veja o grfico dessa funo. Dparaperceberqueafunotemduasconcavidades,oquenosfaz pensaremummximoeemummnimolocais.Veremosmaisnafrentecomo encontrar esses valores. Grficodef(x)=x+2x-5x+2.Emestudosposterioressaberemoscomo esboar esse grfico (Fig. 8). Fig. 8 1.7.2 Funo Racional 1.7.2.1 Definio - Uma funo dita racional se definida como o quociente de duasfunespolinomiais,ouseja ) x ( q) x ( p) x ( f = ,sendop(x)eq(x)polinmioseq(x) 0. 1.7.2.2 Domnio:R - { } 0 ) x ( q / R x = e f(x) = x + 2x - 5x + 2 = (x 1) (x + 3x 2) Razes: x1 = 1;x2 = -3,562; x3 = 0,562 40 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.7.2.3 GrficoSeja 1 x4 x x 2 x) x ( f2 3 + = verifique que a reta x = 1 divide o grfico em duasparte,poisq(x)=x1=0quandox=1.Dizemosqueogrficodefsofre uma descontinuidade em x = 1. (Fig. 9). Fig. 9 Exemplo1.7.2:Ocustototalenvolvidonaproduodecertaquantidadeq de produtos dado em funo do tempo de produo pela relao C(t) = t - 3t + 1 e o nmero de unidade produzidas at o tempo t dado por q(t) = t +1. A funo racionaldadapor 1 t1 t 3 t) t ( f2+ + = afunoCustoMdiodessaproduoem funo o tempo. 1.8 Funo composta Vamos pensar no seguinte problema: Suponha que o custo de uma indstria de informtica para fabricar y computadores seja dado porz = f(y) = y - 4y + 100. Assntota Vertical x = 1 41 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Considere que a produo de y mquinas seja dependente do nmero x de operriospelarelaoy=3x.Oproblemaestemdeterminarocustode fabricao em funo do nmero de operrios. Analisando a situao, destacamos que, conforme o nmero de x operrios, so produzidas y = g(x) mquinas tal queg(x) = 3x. Podemospensarentoqueocustotemumadependnciaemrelaoao nmero de operrio, seno vejamos: Temos z = f(y), mas y = g(x) = 3x Substituindo y = g(x) em z = f(y), ficamos com z = f[g(x)] = f(3x) = (3x) -4(3x) + 100 z = 9x - 12x + 100. Dizemos que z = f[g(x)] uma funo composta de f com g. 1.8.1 Definio Dadas as funes f e g define-se a funo composta de f com g, denotada por fog (l-se f bola g), como (fog)(x) =f[g(x)], onde o domnio de fog o conjunto de todos os valores x no domnio de g tais que g(x) pertence ao domnio de f. Um diagrama nos auxilia a enxergar esse fato matemtico. gy = g(x)f x z = f[g(x)] fog obs.: y varivel dependente de g e varivel independente de f. 42 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Ex 1.8.1: Seja f(x) = 4x - 3 e g(x) = 2x + 1. Calcular fog e gof. (fog)(x) = f[g(x)] = 4[g(x)] - 3 = 4 (2x + 1) - 3 = 4 (4x + 4x + 1) 3(fog)(x) = f[g(x)] = 16x + 16x + 4 3 =16x + 16x + 1 (gof)(x) = g[f(x)] = 2(4x - 3) + 1 = 8x- 6 + 1 = 8x - 5 Ex 1.8.2: Suponha que o lucro L (R$), na venda de q toneladas de soja, seja dado por L(q) = 5q + 4e que a produo q em funo do tempo t (em horas) seja q = f(t) = t + 2. Calcular o lucro depois de 5 horas de produo. Soluo: Devemos fazer uma composio de L com f, isto L[f(t)] = 5.f(t) + 4 = 5 ( t + 2) + 4 = 5t + 10 + 4 = 5t + 14ouL(t) = 5t +14 Ento, em 5 h de produo, teremos o lucro de L(5) = 5.5+14 = 5. 25 + 14 = 125 + 14 L(5) = 139 1.9 Funo Inversa 1.9.1 Definio - Diz-se que a funo g:Y X a inversa da funo f: X Y, que se denota por f -1, quando se tem [g(f(x))](x) = x e [f(g(y))](y) = y para quaisquer x e X e y e Y f XY x = g(y)y = f(x) g Veja! 1)Odomnioda funo f -1 aimagem de f. 2)Aimagemdef -1 o domnio de f. Dizemosquegefso inversas entre si. fegdevemser bijetorasparaque sejam inversas entre si. 43 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 1.9.2 As funes Exponencial e Logartmica: inversas entre si. 1.9.2.1 Propriedades Considere 0 1 10 o - > c = +- f(x) 4 1 x 0que tal , 0 , 0 4 ) 1 x 3 ( lim1 x o depende de c, ento consideremos a desigualdade 31 1 3 3 3 4 1 3c< c < c < c < + x x x ) x (Ento, fazendo 3c= oc < c < + c < c < c< < 4 ) 1 x 3 ( 4 1 x 3 3 x 3 1 x 331 x 0c < 4 ) x ( fLogo,4 ) 1 x 3 ( lim1 x= +. 2.4 Limites laterais Aointroduzirmosotemalimite,deformaintuitiva,mencionamosas aproximaesfeitaspeladireitaoupelaesquerdaemrelaoaumnmerodo domnio da funo. Vejamos novamente: 4 x 216 x 4) x ( f2+=X-2,5-2,1-2,01-2,001-2,0001-1,5-1,9-1,99-1,999-1,9999 Y-9-8,2-8,02-8,002-8,0002-7-7,8-7,98-7,998-7,9998 Aproximao pela esquerda aproximao pela direita Note que x -2- y -8 x -2+ y -8 Escrevemos: 8 ) x ( f lim2 x = 8 ) x ( f lim2 x =+ De modo geral, definimos: 51 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 2.4.1 Limite lateral direita AfunoftemlimitedireitaL1,quandoxtendeaapeladireita,e denotamos por 1a xL ) x ( f lim =+, sepodemostornarosvaloresdef(x)toprximosdeL1,tornandox suficientemente prximo de a e direita de a. De modo anlogo, definimos o limite lateral esquerda. 2.4.2 Limite lateral esquerda A funo f temlimite esquerda L2, quando x tende aa pela esquerda, e denotamos por 2a xL ) x ( f lim =, sepodemostornarosvaloresdef(x)toprximosdeL2,tornandox suficientemente prximo de a e esquerda de a. O limite da funo em um determinado ponto existe quando oslimiteslateraisnessepontosoiguais,comoafirmao seguinte teorema. 2.4.3 Teorema: Se f definida em um intervalo aberto contendoa, excetopossivelmentenopontoa,entoL ) x ( f lima x=,se,e somente se,L ) x ( f lim ) x ( f lima x a x= =+ 52 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo 2.4: Considere a funo dada por > +=< + 0 x se 3 x0 x se10 x se3 x2 Graficamente temos: Observa-se que3 ) x ( f lim0 x=;3 ) x ( f lim0 x=+ 3 ) x ( f lim0 x= f(0)=1 2.5Problemas(acesseatarefadisponibilizadanoAVAeresolvaos problemas propostos.) 2.6 Propriedades 2.6.1 Se a, m e n so nmeros reais, ento n a m n mxa x+ = +. ) ( lim2.6.2Conseqncia de 2.6.1: a)Se c um nmero real qualquer, entoc c lima x= b)a x lima x= 2.6.3 Limite de uma funo polinomial Se nn n na ... x a x a x a ) x ( f + + + + = 2211 0, ento, 53 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD ) a ( f a ... a a a a a a ) x ( f limn2 n21 n1n0a x= + + + + = 2.6.4 Considere queL ) x ( g limeL ) x ( f lim2a x1a x= = Ento valem as seguintes propriedades: | || || |0 L que desde;LL) x ( g lim) x ( f lim) x ( g) x ( flim ) e; L . L ) x ( g lim ). x ( f lim ) x ( g ). x ( f lim d); L L ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c)real; c , cL ) x ( f lim c ) x ( cf lim ) breal; n, L ) x ( f lim ) x ( f lim ) a221a xa xa x2 1a x a x a x2 1a x a x a x1a x a xn1na xna x= = == = = = = ==((

= 1L) x ( fa xlim) x ( fa x1 1a x a x11n1na xna xe e e lim ) h0 L; L ln ) x ( f lim ln )] x ( f ln[ lim g)mpar; positivo inteiro ne 0 L seou inteiro ne 0 L se , L ) x ( f lim ) x ( f lim ) f= => =((

=s> = = Exemplo 2.6 Use as propriedades para calcular os seguintes limites: a)2 3 1 . 2 1 . 4 1 ) 3 x 2 x 4 x ( lim2 31 x = + = + (funo polinomial) Queoutrapropriedadepoderiatersidousada?Coloquenodiriode bordo. 54 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD b)6 ) 3 3 ).( 4 3 ( ) 3 x ( lim ). 4 x ( lim ) 3 x )( 4 x ( lim3 x 3 x 3 x = + = + = + Combinao da propriedade 2.6.4d com a 2.6.1. c) 23463 11 ) 1 ( 4 ) 1 (3 x lim) 1 x 4 x ( lim3 x1 x 4 xlim1 x21 x21 x == + = + = + Combinao das propriedades 2.6.4,2.6.1e2.6.3. d)2 8 4 2 ) 4 x ( lim 4 x lim3 3322 x3 22 x= = + = + = + Que propriedades foram utilizadas? e)1 ) 1 ( ) 3 x ( lim ) 3 x ( lim332 x32 x = =((

= propriedades 2.6.4a e 2.6.1. 2.6.5 Problemas propostos Calcule os limites propostos: a)4 x 2 x 3 x lim2 3 42 x +b)) 3 s )( 2 s ( lim4 34 s+ c) 1 x lim3 x+ d) 5 x25 xlim5 x + (observe que o limite do denominador nulo!!!) e) |.|

\|+ +x 23x 33 xe 2 x 2 limAcesse o ambiente virtual e resolva os problemas propostos na aula relativa a propriedades de limites. 2.7 Limite no infinito H situaes que remete ao estudo do valor de f(x), quando se aproxima de valores que cresce indefinidamente, ou seja, que tendem ao infinito. No que diz respeito Seja a funo 2 xx) x ( f+= , temos o seguinte quadro de variao dos valores de f(x) x110100100010000100000 f(x)0,3333330,8333330,9803920,9980040,99980,99998 55 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Observamosque,aofazeraproximarxdevalorespositivosalmdecerto limite, o valor de f(x) se aproxima de um valor definido, que y = 1. Ento,12 xxlimx=+ Se calcularmos tambm o que acontece se os valores decrescerem alm de um certo limite, verifica-se que o valor de f(x) tambm se aproxima de y = 1. Veja o grfico: 2.7.1 Definio A funo f(x) tem um limite L quando x cresce indefinidamente (ou quando x tende ao infinito), que se denota por xlim f(x) = L, sepodemosfazercomquef(x)seaproximearbritariamentedeL,tomandox suficientemente grande. Por outro lado, Assntota horizontal y = 1 56 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD AfunotemumlimiteMquandoxdecresceindefinidamente(ouquando tende a menos infinito) que se denota por M ) x ( f limx= , se podemos fazer que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto. Vale o seguinte teorema Certosproblemasdeindeterminaoemlimitesnoinfinitopodemser resolvidos, usando esse teorema. Seno vejamos. Determinemoso 5 x 3 x 2 x1 x x 2 x 3lim3 4 52 3 4x+ + ++ + + .Esteseconfiguraumcasode indeterminao (pois+=. Pesquise outras operaes com). Pararesolver,divide-seonumeradoreodenominadorpela maiorpotncia de x, existente no denominador. Desse modo recairemos na aplicao do Teorema 2.7.1. =|.|

\|+ + +|.|

\|+ + +=+ + ++ + +=+ + ++ + + 5 2x5 3 2x5 25 3 2x3 4 52 3 4xx5x3x21 limx1x1x2x3limx5x3x21x1x1x2x3lim5 x 3 x 2 x1 x x 2 x 3lim5x2x x x5x3x2x xx1lim 5x1lim 3x1lim 2 1 limx1limx1limx1lim 2x1lim 3 + + ++ + +=aplicando o Teorema 2.7.1 00 . 5 0 . 3 0 . 2 10 0 0 . 2 0 . 35 x 3 x 2 x1 x x 2 x 3lim3 4 52 3 4x=+ + ++ + +=+ + ++ + + Teorema 2.7.1 Para todo n > 0, temos0x1lim e0x1limnxnx= = , desde que nx1 esteja definido. 57 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 2.7.1.1 Problemas propostos Calcule os limites propostos: a) 15 x 5 x x10 x x xlim2 32 3x+ + ++ + b) 15 x 5 x x4 x x 13 x 2 x 4 x 5lim2 32 3 4 5x+ + + + + c) 8 x 2 x x5 x xlim2 32x+ + + 2.7.2 Aplicao do limite no infinito (TAN, 2007) CustoMdioACustomOfficefabricaumalinhademesasparaexecutivos. Estima-sequeocustototaldafabricaodexmesasdecertomodelodeC(x) = 100x + 200000 dlares por ano, de modo que o custo mdio da fabricao dexmesasdadopor x200000100x200000 x 100x) x ( C) x ( CMe + =+= = dlares por mesa. Calcular) x ( CMe limx e interpretar o resultado. 100 0 100x200000lim 100 limx200000100 lim ) x ( CMe limx x x x= + = + =|.|

\|+ = :Resolva os problemas propostos no AVA. Significaquequandoaproduochegaanveisde produosuficientementegrande,ocustopormesase aproxima de um valor constante definido que nesse caso 100 dlares. Veja o grfico de CMe(x) 58 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 3. CONTINUIDADE Quandointroduzimosotemalimiteeodefinimos,observamososdiversos casos em que o limite existe. Na definio de limite, destacamos os trs casos em queolimiteaconteceeumdelesolimitedeumafunonumpontoiguala imagemdafunonesseponto.Nessecasodizemosqueafunocontinuae noapresentasaltosnogrfico,comoacontecenosoutrosdoiscasos apresentados em que o limite tambm existe. Acontinuidadedeumafunoentodependedetrssituaes,como vemos a definio a seguir 3.1 Definio Dizemosqueumafunofcontnuanumpontoaseasseguintes condies so satisfeitas: a)f definida no ponto a; b)) x ( f lima x existe; c)) x ( f lima x = f(a) Graficamentepodemosverificarsituaesdedescontinuidadesdeuma funo em um ponto a y(a) y(b) a xax 59 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD (c) y(d)y axax ColoquenodiriodebordodoAVAquecondiesnoforamsatisfeitas para as funes representadas pelos grficos em (a), (b), (c), e (d). Exemplo 3.1: Considerando a funo 4 x 216 x 4) x ( f2+=j estudada no inicio desse capitulo, vimos que ela sofre uma descontinuidade em x =-2, pois no existe f(-2) (volteaogrficonapgina47ereveja!).Comoforarqueessafunoseja contnua nesse ponto?sverificarqueelanosatisfazaprimeiracondioeemconseqncia disso a terceira tambm. Mas o limite existe no ponto considerado. Ento, a funo em x = -2 deve ter imagem igual ao limite dela em x = -2. Isto ,8 ) x ( f lim ) 2 ( f2 x = = Afunodeve,porisso,serdefinidadaseguinteforma,paraqueelaseja contnua em x = -2: ==+=2 - xse 8 -2 - xse,4 x 216 x 4) x ( f2 3.2 Propriedades Se f e g so contnuas em x = a, ento: 1)f g contnua em a; 2)f.g contnua em a; 60 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 3)f/g contnua em a, desde g(a) 0; 4)[f(x)]n,ondennumeroreal,contnuaemx=asempreque estiver definida nesse ponto; 5)Uma funo polinomial contnua para todo nmero real; 6)Umafunoracionalcontnuaemtodosospontosdeseu domnio; 7)A funo exponencial f(x) = ex contnua para todo numero real; 8)Sefcontnuaemaegcontnuaemf(a),entoafuno composta gof contnua no ponto a. 3.3 Problemas propostos 1)Verifique a continuidade da funo das funes dadas nos pontos indicados: 3 x se ,53 x se ,9 x27 x) x ( f23=== em x = 3 2)Esboceogrficoeinvestigueacontinuidadedafunonospontos indicados: a. ==+=5 - xse, 5 --5 x se,5 x25 x) x ( f2 no ponto x = -5 b.2 xe 1 x 0, xpontos nos 1 xse, x - 21 x se,21 x 0 se,x0 xse, x1) x ( g2= = =>=< s 0 e a 1) Se x x xe y'e ln e ' y e ye a = = = =Exemplo: Seja y = 4x y = 4x.ln4 4.5.9 Derivada da Funo Logartmica Sex log ya=(a > 0 e a 1), ento e logx1' ya=(a > 0, a 1) Se x1e lnx1y'lnx x log ye ae= = = = =Exemplo: Sejae logx1' y x log y3 3= =4.5.10 Regra da Cadeia para derivada de funes compostas Sejam f e g funes derivveis, tal que y = g(u) e u = f(x). Seasderivadas dxduu e dudyy = ' = ' existem,entoafunocomposta y = g(f(x)) tem derivada que dada por(x) f (u). g' (x) y' oudxdu.dudydxdy' = =Exemplo: Seja uma funo dada por( )5 2 3x 3 x 4 x y + = determinar dxdy. Temos( )52 3x 3 x 4 x y + = .Fazendou=x 3 x 4 x2 3 + ,ficamoscom y = 5u . 74 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Derivando y em relao a u e u em relao x, temos 3 x 8 x 3dxdu eu 5dudy2 4 + = = . Substituindo esses resultados na frmula da regra da cadeia dxdu.dudydxdy=) 3 x 8 x 3 ( . ) x 3 x 4 x ( 5dxdy ) 3 x 8 x 3 .( u 5dxdy2 4 2 3 2 4 + + = + =4.5.11 Aplicaes da regra da cadeia 4.5.11a. Se u = g(x) uma funo derivvel e n um nmero racional no nulo, ento vale: | | | | ) x ( ' g ) x ( g n ) x ( gdxd1 n n =Exemploi)Volteaoexemplodoitem4.5.10eanaliseaaplicaodessa regra. Exemplo ii) Sejax 3 x 3 ) x ( f2 = . Determine(x) f ' . Devemosantestransformaraexpressodefnumafunopotnciade expoente fracionrio. )' x 3 x .( ) x 3 x ( 321) x ( ' f ) x 3 x ( 3 x 3 x 3 ) x ( f2 1 ) 2 / 1 ( 2 2 / 1 2 2 = = = 1 x 3 x 2) 3 x 2 ( 3) x ( ' f) x 3 x ( 2) 3 x 2 ( 3) x ( ' f ) 3 x 2 ( ) x 3 x (23) x ( ' f22 / 1 22 / 1 2= = = 4.5.11b. Se g derivvel, ento valem as seguintes regras de derivao: i)| | ) x ( ' g . e e) x ( g ) x ( g=' ii)| |) x ( g) x ( ' g) x ( g ln =' 1 Usa-se [f(x)] para simbolizar a derivada de f(x) 75 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo i: Seja y =) 3 x 2 ( e ' y )' x 3 x .( e ' y ex 32x 2 x 32x x 32x+ = + = + + + x 32xe ) 3 x 2 ( ' y++ = Exemplo ii: Seja y = 2 x 55' y2 x 5)' 2 x 5 (' y ) 2 x 5 ln(+= ++= + 4.5.12 Problemas propostos Nos problemas de a) a i) calcular a derivada. ) 1 t ( ) t 2 (2t (t) f b)) 3 x 4 x 2 ( 5 ) x ( f ) a3 2 3 8 2 3+ = + =32r 2 r f(r) ) d4 s3 s) s ( g ) c + =+=x 4 ln 4 e31f(x) f)3 x11) (3x f(x) ) e3x 2+ =+ + =4 - 2r3 s(r) h)1) ln(2t h(t) ) g = + =i) 5x1) x ( f = 4.6 Derivadas de ordem superior Aderivada' f deumafunof,denominadadederivadaprimeiradefou derivadadeprimeiraordemdef,porsuavez,tambmumafunoe,portanto, tambm podemos investigar as taxas de variaes em seu domnio. Aocalcularmosaderivadade' f encontraremosoquesedenominade derivadasegundaouderivadadesegundaordemdef,denotadaporf ' ' .Desse modof ' '=) ' f ( ' . 76 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Assim, sucessivamente teremos a derivada de terceira ordem ( f ' ' ' ), etc., at aderivadadeordemnouderivadaden-simaordemouaindan-simaderivada de f () n (f )As notaes a seguir so usuais: 22dxx d) x ( f y = ' ' = ' 'para a derivada segunda (derivada de segunda ordem) 33dxx d) x ( f y = ' ' ' = ' ' 'para a derivada terceira (derivada de terceira ordem) nn) n ( ) n (dxy d) x ( f y = =para a derivada de ordem n Exemplo:Considereafunof(x)= 4 5 2 32 4 5 + x x x x .Calcularas derivadas de f at a quarta ordem. 72 x 120 y x 72 60x ' ' y' 4 x 36 20x ' y' 5 x 4 x 12 x 5 ' y(4) 2 2 3 3 4+ = + = + = + = 4.6.1 Problema proposto Calcular as derivadas sucessivas de f(x) at a ordem n indicada. a) y =; 2 x 5 x 2 x 32 3+ +n = 4b) y = 2 x 3e+; n = 3 4.7 Derivao de uma funo dada implicitamente Algumasfunessoexpressasdeformaquenosabemosdeimediato como se d a relao entre as variveis dependente e independente. Quando isso acontece, dizemos que a varivel dependente dada de forma implcita em relao a varivel independente. Podemos definir. 77 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Consideremos a equao F(x, y) = 0(1) Dizemosqueafunorepresentadapory=f(x)definidaimplicitamente pela equao (1), se ao substituirmos y por f(x) em (1), esta equao se transforma numa identidade. Exemplo: A equao0 2 y31x2= + + a forma implcita da funo dada por ) x 2 ( 3 ) x ( f2 = . Masnemsemprepodemoschegardeformafcilexpressoanalticade uma funo, a partir da equao que a define implicitamente. E uma questo que se apresenta em saber a derivada de uma funo dada implicitamente. Existe uma tcnica para resolver isso, que apresentamos a seguir. Seja y = f(x) dada implicitamente por0 y y x x2 3 4= + . Encontrar dxdy. Atcnicaconsisteemderivarambososmembrosdaequaodadaem relaoax,tomandocuidadoparaconsiderary=f(x)eusararegradacadeia, quando uma expresso contiver y, colocando y ou dxdy no lugar da derivada. Ento, derivando, 0 )' y ( )' y x ( 4x ' 0 )' y y x x (2 3 3 2 3 4= + = + (I) Temos duas expresses com y. Derivando em separado, temos dxdyy 2 )' (y produto) do (regradxdyx y x 3 )' y x (2 3 2 3= + =Substituindo os resultados em (I), fica 0dxdyy 2dxdyx y x 3 x 4 0dxdyy 2 )dxdyx y x 3 ( 4x3 2 3 3 2 3= + = + + (II) 78 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Isolando dxdyem (II), fica 3 2 3x 4 y x 3dxdyy 2dxdyx = + ) x y 2 (x 4 y x 3dxdyx 4 y x 3dxdy) x y 2 (33 23 2 3= = 4.7.1 Problemas propostos. Calcule dxdy para as funes dadas implicitamente. a)0 ) 1 x ln( x xy c) 0 1yx2 xyb) 25 y x3 2 2= + + = + = +4.8 Diferencial Emalgumassituaes,deseja-sesaberqualfoiarepercussonavarivel dependente, ao ter ocorrido uma pequena variao na varivel independente. Por exemplo: com um aumento pequeno na taxa de juros de um financiamento, qual a mudana no valor da prestao? Questeseconmicascomoessaspodemserresolvidasporestimao.O conceito de diferencial nos ajuda a resolver essas questes. 4.8.1 Acrscimo ou incremento na varivel independente. Seja f uma funo dada por y = f(x). Considere uma variao na varivel x, de x1 a x2. Essa variao denominada de acrscimo ou incremento de x denotada por Ax e dada por Ax = x2 - x1. O acrscimo Ax implica numa variao Ay, na varivel y, dada por Ay = f(x2) f(x1) e fazendo x2 = x1 + Ax Ay = f(x1 + Ax) f(x2) Graficamente, temos 79 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD y f(x1+Ax) f(x1)Ay = f(x1+Ax) f(x1) x1x1+Axx Ax Exemplo 4.8.1: Seja y = x x 22 . Determine Ax e Ay, quando x varia de 3 a 3,01. Ax = 3,01 3 = 0,01 Ay = f(x1+Ax) f(x1)= f(3,01) f(3) = 3,0401 3 = 0,0401 PodemosobterumaaproximaoparaAy,conformeobservamos,apartir do grfico da Fig 14. y f(x+Ax) Ayf(x) dy Ax x x+Axx Fig. 14 Observamos que a declividade da reta tangente dada por xdyA. Por outro lado, a declividade da reta tangente f(x). Ento, xdyA = f(x)dy =' f (x) Ax. Assim, Ay ~ dy =' f (x) Ax Essa boa aproximao de Ay chamada de diferencial de y.Exemplo:Tomemosoexemplo4.8.1evejamosoclculoaproximadopara Ay a partir de dy. Nesse exemplo, Ax = 0,01,x = 3. Ento, f(x) = x - 2x f(x)= 2x - 2 dy = (2x 2). Ax Observa-sequecomoa retatangentebem prximadacurvadefnas proximidadesdopontode tangncia,dysetorna umaboaaproximao de Ay 80 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Substituindo os dados, temos dy = (2.3 2). 0,01dy = 0,04. Encontramos Ay = 0,0401. Cometemos um erro de 0,0001 por aproximar Ay por dy. 4.8.2 Problemas propostos 1)Determine a diferencial de cada funo. a)f(x) =x x 3 22 b) g(x) =x2)Seja f a funo definida por y = f(x) =6 x 5 x2+ . a)Encontre a diferencial de y. b)Use a diferencial para estimar Ay quando x varia de 3,5 para 3,75. c)DetermineovalorrealdeAyquandoxvariade3,5para3,75e compare com o resultado obtido em b). 3)Calcule5 , 17 . Sugesto: faa f(x) =xe x =16 e Ax = 1,5 4)(TAN, 2007) Investimentos. Lup deposita $ 10.000 em fundo que paga jurosrporanocompostosmensalmente.Oinvestimentodelaapsdez anos dado por12012r1 10000 A|.|

\| + =a) Encontre a diferencial de A. b) Aproximadamente,qualseriaomontanteamaisnacontadeLupao final dos dez anos se seu fundo pagasse 8,1% ao ano, em vez de 8% aoano?Esepagasse8,2%emvezde8%?Esepagasse8,3%em vez de 8%? 81 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 4.9 Aplicaes da derivada 4.9.1 Funes MarginaisAlgunsproblemaseconmicosconsistememdeterminarvariaesnas quantidades econmicas. Por exemplo, necessitamos saber, tendo o conhecimento devaloresdecusto,emrelaoaumnveldeproduo,qualocusto conseqente, se houver uma variao pequena nesse nvel. Suponhaqueocustodeproduodeumdeterminadoprodutosejadado pela funo custo C(q) = 500 3 22+ + q qe queiramos saber: a)Qual o custo para produzir a 81 unidade? b)Qual a taxa de variao do custo quando q = 80? c)Compare os resultados de a e b. Soluo:a)DevemoscalcularC(81)eC(80)efazeradiferenaC(81)- C(80). Calculando, temos: C(81) = 13 865C(80) = 13 540 C(81) - C(80).= 325 Confira!!! Significa que o custo adicional para a produo de mais uma unidade para o nvel de produo igual a 80 R$ 325,00 b) A taxa de variao do custo, quando q = 80, dada por C(80), ou seja: C(x) = 4q + 3 C(80) = 323 (Muito prximo do encontrado em a!) Vejamos porque. Temos queh) ( C ) h ( C ) ( C ) ( C ) ( C ) ( C) ( C ) ( C80 80180 1 80180 8180 81 += +== Onde h = 81 80 = 182 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Ento a diferena) ( C ) ( C 80 81 dada pela taxa de variao mdia de C no intervalo[80, 81] ou mesmo a taxa de declividade da reta secante ao grfico de C que passa pelos pontos (80, 13540) e (81, 13865). Se considerarmos h cada vez menor, tendendo a zero, essas taxas tendem ataxadevariaoemq=80(C(80))etaxadedeclividadedaretatangentea curva de C no ponto (80, 13540), respectivamente, isto , ) 80 ( Ch) 80 ( C ) h 80 ( Climh) 80 ( C ) h 80 ( C1) 80 ( C ) 1 80 ( C1) 80 ( C ) 81 ( C) 80 ( C ) 81 ( C0 h' = +~~ += +== Analogamente, temos: SeR(q)afunoReceitatotal,entoRMg(q)=R(q)afuno Receita Marginal. SeL(q)afunoLucroTotal,entoLMg(q)=L(q)afunoLucro Marginal. SeCMe(q)afunoCustoMdio,ento ____CMe =CMe(q)afuno Custo Mdio Marginal. Concluso:Ocustoadicionaldemaisumaunidade,considerandoum determinado nvel de produo pode ser aproximado pela taxa de variao instantneadocustononvelconsiderado,quesedenominadecusto marginal. Assim, para qualquer nvel de produo, se C(q) a funo Custo Total, a funo Custo Marginal dada pela funo derivada de C, isto , por C(q), denotada por CMg(q). 83 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo 4.9.1 (TAN, 2007, Exerccio proposto com adaptaes). AindstriadetelevisoPulsar25fabricatelevisode19polegadas.A quantidade demandada x desses televisores est relacionada com o preo unitrio no atacado p pela equao180 x 006 , 0 p + = . Afunocustototalsemanalassociadacomaproduodo modeloPulsar 25 dada por60000 x 120 x 02 , 0 x 000002 , 0 ) x ( C2 3+ + =em dlares. Responder: a) Determine as funes receita R e o lucro L. b) EstabeleaafunocustomarginalC,afunoreceitamarginalRea funo lucro marginal L. c) Calcule C(2000), R(2000) e L(2000),interpretando seus resultados Solues: a)Temos que R = p.xx x , x ) x , ( ) x ( R 180 006 0 180 006 02+ = + =x x , ) x ( R 180 006 02+ = . A funo lucro L(x) dada pela diferena R(x) C(x), ento 60000 x 60 x 0194 , 0 x 000002 , 0 ) x ( L) 60000 x 120 x 02 , 0 x 000002 , 0 ( x 180 x 006 , 0 ) x ( L2 32 3 2 + = + + + = b)60000 120 02 0 000002 02 3+ + = x x , x , ) x ( C Se120 04 0 000006 02+ = x , x , ) x ( ' C . Sex x , ) x ( R 180 006 02+ =180 012 0 + = x , ) x ( ' RSe + = 60000 60 0194 0 000002 02 3x x , x , ) x ( L60 0388 0 000006 02+ = ' x , x , ) x ( Lc)Substituindo o valor 2000 nas funes marginais, obtemos C(2000) = 64R(2000) = 156L(2000) = - 41,6 84 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Significa que o custo adicional para produzir a 2001 televiso de R$64,00, areceitaadicionalpelavendada2001deR$156,00eolucroadicional pela venda do 2001 televisor de R$ -41,60 (um prejuzo). 4.9.1.1 Problema proposto (TAN2007)LucroMarginal.OComplexodeapartamentosLynbrook Westpossui100unidadesdedoisdormitrios.Olucromensal(em dlares)obtidopeloalugueldexapartamentosde P(x) = - 10x2 + 1760x 50000. a) Qual o lucro real obtido no aluguel da 51 unidade, assumindo que 50 unidades j tenham sido alugadas? b) Calculeareceitamarginalquandox=50ecompareseusresultados com aqueles obtidos na parte a). 4.9.2 Elasticidade da demanda Economicamente, a demanda por um produto est intrinsecamenteligada variaodeseupreo.Emgeral,quandoopreodeumprodutoaumentaasua procuradiminui.Oestudodessetpicosepreocupaemanalisaroefeitoda variao do preo de um produto em sua demanda. Amedidapercentualdessainflunciaconhecidacomoelasticidadeda demanda(E).Seademandaqfunodopreopediferencivel,entoa elasticidade da demanda dada pordpdqqpE =Essamedidadaproximadamenteavariaopercentualdademanda quando o preo varia 1%. 85 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo4.9.2Aquantidadeqdeumprodutoeoseupreoestorelacionados pela equao de demanda q = 300 2p, 0 s p s 150. Pede-se determinar: a)a elasticidade de demanda em funo do preo Se q = 300 2p, ento2dpdq = , logo p 150p) p 150 ( 2p 2) 2 (p 2 300pdpdqqpE== = =b)Calcular a elasticidade de demanda quando p = 120 4120 150120E == .Temos1 > ENesse caso, quando o preo for R$ 120,00, uma variao de 1% no valor do preorepercutirnumadiminuiodeaproximadamente4%nademanda, significandoqueareduopercentualdademandamaiorqueoaumento percentualdopreo.Diz-sequeademandaelstica( 1 > E )emrelaoao preo. c)Calcular a elasticidade de demanda quando p = 50. 5 , 050 15050E ==Temos1 < ENessa situao, quando o preo for R$ 50,00, uma variao de 1% no valor dopreorepercutirnumadiminuiodeaproximadamente0,5%nademanda, significandoqueareduopercentualdademandamenorqueoaumento percentualdopreo.Diz-sequeademandainelstica( 1 < E )emrelaoao preo. d)Calcular a elasticidade de demanda quando p = 75. 175 15075E ==Temos1 = E86 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD DizemosnessecasoqueseopreoforR$75,00,umavariaode1%no valor do preo repercutir numa diminuio de aproximadamente 1% na demanda, significandoqueareduopercentualdademandaaproximadamenteigualao aumentopercentualdopreo.Diz-queademandaunitria( 1 = E )emrelao ao preo. 4.9.3 Regra de LHOSPITAL NoCaptulo 2,vimos algunscasosdeindeterminaes noclculodelimite de algumas funes quando tanto o numerador e o denominador tendiam para zero ou infinito. O instrumento matemtico a seguir, denominado de Regra de LHospital resolve muitos problemas dessa natureza2. Sejam f e g funes derivveis num intervalo (a, b), exceto possivelmente no ponto a e (a, b). Suponhamos que0 = ' ) x ( gpara todo x = a em (a, b). i)Seento , L) x ( g) x ( f lim e 0 ) x ( g lim ) x ( f lima x a x a x=''= = ; L) x ( g) x ( f lim) x ( g) x ( f lima x a x=''= ii)Seento , L) x ( g) x ( flim e ) x ( g lim ) x ( f lima x a x a x='' = = ; L) x ( g) x ( f lim) x ( g) x ( f lima x a x=''= Obs.:asregrasieiisovlidassesubstituirmos a x por x , +a x , -a x . 2GuillaumeFranoisAntoine,MarqusdeL'Hospital(16611704)foiummatemticofrancs reconhecido por essa regra. 87 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo 4.9.4 Determinar os limites: a) 002 x x4 x x 2 xlim22 31 x= + + +? Aplicando a Regra de LHospital: 381 x 21 x 4 x 3lim2 x x4 x x 2 xlim21 x22 31 x=+ + += + + + b)?ex 2limxx = Aplicando a Regra de LHospital 0e2limex 2limxxxx= = Observao:Casonumaprimeiratentativaaindapersistaaindeterminao, aplica-se novamente a regra at no existir mais a indeterminao. 4.9.4 Crescimento e decrescimento das funes Seaderivadadeumafunofemumpontoxasuataxadevariao nesseponto,entoseessataxaforpositiva,significaqueafunocresceao darmos um pequeno acrscimo a x e se for negativa, a funo decresce ao darmos um acrscimo a esse ponto. Ou seja, a funo crescente no intervalo onde sua derivadapositivaedecrescentenointervaloondeaderivadanegativa. Podemosconcluir,tambm,queseaderivadafornula,significaquenoh variao em f, isto , f constante no intervalo considerado. Osignificadogeomtricodaderivadatambmnosajudaadeterminarse uma funo crescente ou decrescente em um intervalo. (Vide Fig. 15) 88 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD yyy ) x ( f ' > 0) x ( f' < 0) x ( f' = 0 xx x f(x) crescentef(x) decrescentef(x) constante Resumindo em um teorema, temos: Ento,determinaremqueintervalosumafunocrescenteou decrescente, basta estudar o sinal de sua derivada. Exemplo 4.9.4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da funox 62x53x) x ( f2 3+ = . Calculando a derivada de f, encontramos( ) 6 x 5 x x f2+ = ' . Estudando o sinal de) x ( f 'temos ) x ( f ' > 0 para x e ]-, 2[ ou x e ]3, [ ) x ( f ' < 0 para x e ]2, 3[ ) x ( f '= 0 para x = 2 ou x = 3 Ospontosemqueaderivadanulaounoexistirsochamadosde pontoscrticos.Nonossoexemploanteriorencontramosx=2ex=3onde ) x ( f '= 0. Essespontospodemserospontosdemximo,demnimoounemuma coisa ou outra de uma funo.Seja f uma funo contnua e derivvel no intervalo I= [a, b]. i)SeIx, 0 ) x ( f e > ' , ento f crescente em I; ii)SeIx, 0 ) x ( f e < ' , ento f decrescente em I. iii)SeIx, 0 ) x ( f e = ' , ento f constante em I. Fig. 15 89 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Veja esse caso, graficamente. 4.9.5 Mximos e mnimos Considere a figura que segue y x1x2 x3x4x Dizemos que; f(x1) e f(x3) so chamados de mximos relativos ou mximos locais. f(x2) e f(x4) so chamados de mnimos relativos ou mnimos locais. ) x ( f ' > 0 f crescente ) x ( f ' < 0 f decrescente ) x ( f ' > 0 f crescente 90 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 4.9.5.1 DefinioSejaafunodadapory=f(x)definidanointervalo[a,b].Podemosdizer que y tem um-Mximo relativo ou mximo local em x = x0 se f(x0) > f(x), x prximo de x0. -Mnimo relativo ou mnimo local em x = x0 se f(x0) < f(x), x prximo de x0. Osgrficosqueseguemmostramdiversassituaesondeocorremos mximosemnimosrelacionadoscomopontocrticodafunoemum determinado ponto a. yy y axa xax a ponto de mnimoa ponto de mximo a no ponto de mx. ) a ( f ' =0) a ( f ' =0nem de mnimo ) a ( f ' =0 y y y a x a x ax a ponto de mximo a ponto de mnimoa no ponto de mx - ) a ( f '- ) a ( f ' nem de mnimo - ) a ( f 'Encontreexemplosdefunesemqueumpontoamximoou mnimo, mas que nesse ponto no existe derivada. 91 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Observa-se que 1)o ponto de mnimo determina quando f passa de decrescente para crescente; 2)opontodemximodeterminaquandofpassadecrescentepara decrescente. IssonoslevaaochamadoTestedaPrimeiraDerivadaqueajudaa determinar se um determinado ponto de mximo ou mnimo. 4.9.5.2 Teste da primeira derivada Sejafumafunocontnuanointervalo[a,b],tendoderivadaf ' emtodo ponto de (a, b), exceto talvez no ponto x0. i.se) x ( f ' >0,x0f(x) 0 em (a, b), ento f ser convexa em (a, b) ii) se) x ( f ' '< 0 em (a, b), ento f ser cncava em (a, b). 4.9.7.2 Ponto de Inflexo Numgrficodeumafunopodemexistirpontosemqueaconcavidade muda de sentido. Esses pontos so denominados de ponto de inflexo. Exemplo 4.9.7 Determinar os pontos de inflexo e reconhecer os intervalos onde a funo 3) 2 x ( ) x ( f =tem concavidade voltada para cima ou para baixo. 12 x 6 ) 2 x ( 6 ) x ( f ) 2 x ( 3 ) x ( f ) 2 x ( ) x ( f2 3 = = ' ' = ' =--+ Estudo do sinal de) x ( f ' ' :Zero:x = 22 Ento temos: O intervalo em que f convexa ( ) x ( f ' ' >0)- x > 2 O intervalo em que f cncava ( ) x ( f ' ' ' . xe D(f) /e decrescent f 0 ) x ( f < ' . e)Encontrar os pontos de mximo e mnimo Se c ponto crtico de f ei)f ' ' (c) > 0, ento f tem um valor mnimo relativo em c. ii)f ' ' (c) < 0, f tem um valor mximo relativo em c. iii) Sef ' ' (c) =0, c pode ser ponto de inflexo ou nada se pode afirmar. f)Determinar as concavidades e pontos de inflexo Estudar o sinal de) (x f ' 'g)Encontrar as assntotas horizontais e verticais se existirem: Aretax=aassntotaverticaldogrficodef,sepelomenosuma das seguintes situaes acontecerem:Ver 1.7.2.3 = = = =++) x ( f lim ii)) x ( f lim iii)) x ( f lim ii)) x ( f lim ) ia x a x a x a x A reta y = b assntota horizontal do grfico de f, se pelo menos uma das seguintes situaes acontecerem: Ver 2.7 b ) x ( f lim ii)b ) x ( f lim ) ix x= = 97 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo 4.9.9 Esboar o grfico de28 x 17 x 10 x y2 3+ + = . a) Estabelecer o domnio de f:D(f) = R (trata-se de uma funo polinomial) b) Calcular os pontos de interseco do grfico com os eixos; ) 7 x ).( 4 x ).( 1 x ( ) 28 x 11 x ).( 1 x ( 28 x 17 x 10 x y2 2 3 + = + + = + + =7x 4; x ; 1 x) 0 ) x ( f / x ( zeros3 2 1= = = = (interseco com o eixo X) f(0) = 28 ) 28 , 0 ( a interseco com o eixo Y c) Encontrar os pontos crticos: xe D(f) /0 x f = ' ) ( . 17 x 20 x 3 ) x ( f 28 x 17 x 10 x ) x ( f2 2 3+ = ' + + =317x; 1 x 0 17 x 20 x 3 0 ) x ( f6 52= = = + = 'd) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento: Estudando o sinal de) (x f ' temos: 0 ) x ( f > ' , se 317x ou 1 x > < crescente f 1 317 0 ) x ( f < ' , se317x 1 < < e decrescent f . e) Encontrar os pontos de mximo e mnimo Os pontos crticos de f so 317x ; 1 x6 5= =ef ' ' (x) = 6x - 20 Calculando1 0 14 1 f < = ' ' ) ( ponto de mximo.36 1 f = ) (Calculandof ' ' = ) (31714 > 0 317 ponto de mnimo.f27400)317( =Questo:Dariapararesponderoitemepelosresultadosded?Coloque no dirio de bordo sua resposta. f)Determinar as concavidades e pontos de inflexo Estudando o sinal de) (x f ' '- + 310 98 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 310xpara) ( > > ' ' 0 x f concavidade voltada para cima 310xpara) ( < < ' ' 0 x f concavidade voltada para baixo 310x para) ( = = ' ' 0 x f 310 ponto de inflexo Temos, assim, o grfico que segue: xy-2 0 2 4 6 8-20020 Analiseosdoistestesdaderivadanesseexemploedigaarelaoentreosdois testes e coloque no Dirio de Bordo do AVA. 4.9.10 Problemas propostos 1)(TAN,2007)Maximizandooslucros.OcomplexoresidencialdeLynbrook West tem 100 unidades de dois dormitrios. O lucro mensal (em dlares) realizado pelo aluguel de x apartamentos dado porP(x) = -10x + 1760x 50000 Quantasunidadesdevemseralugadasparamaximizarolucromensal?Qualo lucro mensal realizvel? 2) (MUROLO, 2004) Esboar o grfico de y = x - 12x +36x + 10. 1 310 317 mximo mnimo inflexo 99 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 5 INTEGRAL Nesse captulo, estudaremos o Clculo Integral relacionado ao estudo dereasaplicadoaadministrao.Veremosquepodemosencontrartambmas funeseconmicasdadassuasfunesmarginais.Paratanto,temosque conhecerumconceitofundamentalqueenvolveadeterminaodeumafuno quedeuorigemaumafunoderivadadada,queoconceitodefuno primitiva. Considereentoafuno5 2 + = x ) x ( f .Pelograu,devesera derivada de alguma funo quadrtica ou de grau 2. Qual ou quais? Podemos citar vrios. Por exemplo:2 5 4 52+ + = + = x x g(x); x x ) x ( h2. Todas as duas tm como derivada a funo5 2 + = x ) x ( f . Ento, intuitivamente a funo primitiva de uma funo f aquela cuja derivada resulta em f. Formalmente, definimos a seguir. 5.1 Funo Primitiva UmafunoF(x)umaprimitivadef(x)numintervalo(a,b),seasua derivadaigualaf(x)emtodosospontosdesseintervalo,ouseja,( ) x f ) x ( F = 'para todo x e (a, b). Nos exemplos dados, vimos que h e g se diferem por uma constante, j que a derivada de uma constante zero. Isso significa que SeFumaprimitivadafunof,entoG(x)=F(x)+k,ondekuma constante qualquer, tambm uma primitiva de f. Verifique que G(x) = F(x)!! 100 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD O conceito de primitiva nos remete a outro conceito importante no clculo integral. 5.2 Integral Indefinida Se F(x) uma primitiva de f(x), a expresso F(x) + k chamada de integral indefinida da funo f(x) e denotada por}+ = k ) x ( F dx ) x ( f( I ) Temos as seguintes denominaes para os elementos da expresso ( I ): }-sinal de integrao; f(x) funo a ser integrada ou funo integrando; f(x)dx integrando, onde dx indica a varivel de integrao; k constante de integrao. 5.2.1 Conseqncias da definio a. }= ' + = ) x ( f ) x ( F k ) x ( F dx ) x ( fb.( )dx x f} representa uma famlia de funes primitivas da funo integrando 5.2.2 Propriedades i) } }= dx ) x ( f K dx ) x ( Kfii) } } }+ = + dx ) x ( g dx ) x ( f dx )) x ( g ) x ( f (Exemplo 5.2.2: Calcular a integral indefinida }+ dx ) x 2 x 3 (2. Nesseexemplo,observamosquepodemosaplicarasduaspropriedadesieii, sucessivamente. Seno vejamos: }+ dx ) x 2 x 3 (2= ) k2x( 2 ) k3x( 3 xdx 2 dx x 3 dx x 2 dx x 322132 2+ + + = + = +} } } } }+ dx ) x 2 x 3 (2= k x x2 3+ +(Verifique por derivao, conforme 5.2.1a.) 101 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 5.2.3 Tcnicas gerais de integrao considere k e c, constantes reais a) Integral da funo constante. Se f(x) = k }+ = c kx dx ) x ( fEx: Se f(x) = 3 }+ = c x 3 dx 3b) Integral da funo potncia f(x) = nxSe f(x) = nx -1 n para , c1 nxdx x1 nn= ++=}+ Ex.: Se f(x) =3x c4xc1 3xdx x4 1 33+ = ++=}+ c)Integral da constante multiplicada por uma funo Se f(x) = kf(x) } }= dx ) x ( f k dx ) x ( kf Ex.: Se f(x)= 3x 3} }= = dx x 3 dx x 33 3' c4x 3c 34x 3) c4x( 34 4 4+ = + = +d) Integral da funo exponencial Se f(x) = xe c e dx ex x+ = } e) Integral de a x1 }+ =c ) a x ln( dxa x1 5.2.4 Mtodo de integrao por substituio Nem todas as integrais indefinidas so de fcil integrao. Apresentamos a seguiromtododeintegraoporsubstituiooumtododamudanade varivel para integrao 102 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Essemtodoconsisteemsuporconhecidaaderivadadeumafuno composta. Sabemos pela regra da cadeia que( ) ) x ( g )). x ( g ( F )) x ( g ( F ' ' =' (I) Sefizermos (II)dx ) x ( g du ) x ( gdxdug(x) u e)) x ( g ( f )) x ( g ( F ' = ' = = = 'Mudando as variveis em (I), temos ( ) ) x ( g )). x ( g ( f )) x ( g ( F ' ='Ento F(g(x)) uma primitiva de) x ( g )). x ( g ( f ' !!!. Ou seja }+ = ' k )) x ( g ( F dx ) x ( g )). x ( g ( f(III) Fazendo as substituies de (II)em (III), fica } }+ = = ' k ) u ( F du ) u ( f dx ) x ( g )). x ( g ( fExemplo: Calcular a integral } + dx ) 4 x 2 ( ) 5 x 4 x (3 2 Fazendodx ) 4 x 2 ( du ) 5 x 4 x ( u2 = + =k4) 5 x 4 x (k4udu u dx ) 4 x 2 ( ) 5 x 4 x (4 2 43 3 2++ = + = = + } } 5.2.5 Problemas propostos 1) Calcular as seguintes integrais indefinidas: a) } + dx ) 14 x 2 x 4 x (2 3b) }+ ) x e 2 (xdxc) dxx32} d) } dx ) x 8 x 3 )( x 4 x (2 2 3 2)(TAN,2007)FunesdeReceita.AgernciadaLorimarWatchCompany determinou que a funo receita marginal diria associada produo e venda de seus relgios de pulso dada por R(x) = - 0,009x + 12. 103 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Onde x denota o nmero de unidades produzidas e vendidas e R(x) medida em dlares/unidade. a. DetermineafunoreceitaR(x)associadaproduoevendadesses relgios. b. Qualaequaodedemandaquerelacionaopreounitrioporatacado com a quantidade de relgios de pulso demandada? 3) (MARQUES, 2006) Uma indstria sabe que o custo marginal de produo de x unidadesdeR$300 x 4 x 92+ /unidades.Ocustoparaproduziras2primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades. (sugesto: a partir da informao do custo de produo de 2 unidades obtm-se a constante k.) 5.3 Integral Definida Considere a funo f(x). O clculo da rea da regio S limitada pelo grfico def,oeixoXeasretasx=aex=b,ondeaebsoosextremosdointervalo[a, b], nos fornece o valor numrico da funo primitiva de f no intervalo de a at b. Para calcular essa rea observe o grfico que segue. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf Podemosdividirointervalo[a,b]emnsub-intervalosiguaisa na b de modo que S 104 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD b a ... a a ... a a a an k 1 k 2 1 0= < < < < < = Seja jx umelementodointervalo] a , a [k k 1 ,k=1,...,n.Sesomarmos todos os retngulos de altura igual a) x ( fj e base igual ax A , obtemos a rea em questo a partir do somatrio = =A =njjnjjx ) x ( f A1 1. O somatrio =Anjjx ) x ( f1 denominado de soma de Riemann3 da funo f(x). Sefizermosncrescerilimitadamente,atendnciax A setornarmuito pequenodetalmodoqueintuitivamenteasomadasreasdosretngulosse aproxima do que se pode entender como a rea S. Ou seja, em termos de limite S =x ) x ( f limn1 jjnA||.|

\|= 5.3.1 Definio: Seja f uma funo contnua no intervalo [a, b]. Suponha que este intervalosejadivididoemnpartesiguaisdelargura na bx= A eseja jx um nmero pertencente ao j-simo intervalo, para j = 1, 2, ..., n.Neste caso, a integral definida de f em [a, b], denotada por }badx ) x ( f dada por =}badx ) x ( f x ) x ( f limn1 jjnA||.|

\|= , se este limite existir. Se }badx ) x ( fexiste, dizemos que f integrvel em [a, b]. 3GeorgFriedrichBernhardRiemann(18261866)foiummatemticoalemo,com contribuiesfundamentaisparaateoriadasfunescomplexas,geometriadiferencial, clculo integral e anlise. 105 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Deoutromododizemosqueaintegraldefinidadafunofnointervalo[a,b]areadaregioSlimitadapelogrficodef,oeixoXeasretasx=ae x = b, onde a e b so os extremos do intervalo [a, b]. Existe um resultado matemtico que facilita o clculo dessa rea chamado Teorema Fundamental do Clculo que enunciamos a seguir. 5.3.2 Teorema Fundamental do Clculo e o Clculo de reas Sejaf(x)umafunocontnuasobreointervalo[a,b]eseF(x)uma primitiva de f(x) nesse intervalo, ento } = =baba) a ( F ) b ( F dx ) x ( f ) x ( FExemplos5.3.2Apresentamosaquiumexemplodeintegraodefinidae quatro possveis situaes envolvendo reas. a) Calcular a integral 41302131412x3x4xdx ) x x x (102 3 4102 3= + + = + + = + +} b) Calcular a rea da regio limitada pelas retas y = x 2, x = 3 e x= 5 Temos o seguinte grfico Despreza-sea constanteda primitiva!!Por qu? 106 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD A regio hachureada a que devemos calcular sua rea, usando a integral definida no intervalo [3, 5]. Calculando a primitiva de f(x) = x - 2 temosx 22x) x ( F2 = 212 9 20 2562910225) 3 . 223( 5 . 225) 3 ( F ) 5 ( F dx ) 2 x ( A2 253+ = + = = = = }428A = = Verificaogeomtrica:calculearea,considerandoasmedidasdo trapzioquearegioconfigura,cujasbases,maioremenor,so, respectivamente iguais a 3 e 1 e a altura igual a 2 e compare com o resultado encontrado usando a integral definida. c)Calcular a rea da regio limitada pela curva de3 x 4 x ) x ( f2+ =e o eixo dos x. Veja o grfico. 107 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD A regio hachureada a que devemos calcular sua rea, usando a integral definida no intervalo [1, 3]. Mas a regio hachureada est abaixo do eixo dos x! Logo, as reas calculadas considerando os valores de f(x) nesseintervalo sero todos negativos e como a rea uma medida positiva, nesse caso, tomamos o mdulo da integral definida encontrada. Isto }=31dx ) x ( f ACalculando a primitiva de f(x), temosx 32x43x) x ( F2 3+ = . Ento, 3434) 1 ( F ) 3 ( F dx ) 3 x 4 x ( A312= = = + = } d)Encontreareadaregiolimitadaentreascurvasde 2 x ) x ( fe4 x ) x ( g2 = = . Veja o grfico. Observe que as curvas se interceptam nos pontos de abscissas iguais a -1 e2.Essesdevemseroslimitesdeintegrao.Nessecaso,ofatodareaestar f(x) g(x) 108 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD abaixo do eixo x no interfere no sinal, pois se pode considerar como se as curvas, nesse intervalo, estivessem acima do eixo dos x. O clculo da rea da regio hachureada, considerando qual a funo cujo grfico est acima do grfico da outra, nesse caso f(x) > g(x), no intervalo dado, obtido por dx ) 2 x x ( dx ) 4 x 2 x ( dx )) x ( g ) x ( f ( A21221221} } } + + = + = =x 22x3x) x ( F2 3+ + =Ento, 62767 2067310)67(310) 1 ( F ) 2 ( F A =+= + = = =RESPONDA OS PROBLEMAS PROPOSTOS DISPONIBILIZADOS NO AVA 5.4 Aplicao da integral definida 5.4.1 Excedente do consumidor Considereafunodemandaf(x)querepresentaospossveispreos(y) queosconsumidoressedispemapagarpelasdiversasquantidadesxdeuma mercadoria.Se(x0,y0)opontodeequilbrio,oconsumidorquesedispea pagarmaisquey0beneficiado.Aregiohachureadadafiguraquesegue representaobenefcioglobaldosconsumidores,tambmdenominadode Excedente do consumidor. y y = f(x) EC Y0(x0, y0 0x0x Isto,oexcedentedo consumidor(EC) dado por 0 000y . x dx ) x ( f ECx = } 109 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD Exemplo5.4.1Afunodemandaparaumprodutodadapory=183x. SupondoqueopreodeequilbrioR$9,00,determineoexcedentedo consumidor e represente a regio cuja rea d o excedente do consumidor. Soluo:SeopreodeequilbrioR$9,00,podemosencontraraquantidade correspondente substituindo esse valor na equao da demanda. 9 = 18 3x 3x = 18 9 3x = 9 x = 3. Assim, o ponto de equilbrio (x0, y0) = (3, 9). 27 ) 0 ( F ) 3 ( F 9 . 3 dx ) x 3 18 ( y x dx ) x ( f EC300 00x0 = } = }=50 , 13 27 50 , 40 2722754 27 023 . 33 . 18 EC2= = = = Ento, o excedente do consumidor R$ 13,50. Veja o grfico. Calculeareadotringulohachureadoecomparecomoresultadoobtido por integrao. 2x 3x 18 ) x ( F Temos2 =110 __________________________________________________________________________ Prof. Me. Domcio Magalhes MacielUFMA /DEMAT/NEAD 5.4.2 Excedente do Produtor. Considereafunodeofertaf(x)paradeterminadosprodutos,ondeyo preounitrioparaxunidadesofertadas.Se(x0,y0)opontodeequilbrio,os produtores que ofertam seus produtos a umpreo inferior a y0 saem lucrando. A regiohachureadadafigura