Esta apostila o resultado de umtrabalho de pesquisa das professoras KARINA WORM BECHMMAN e LUCIENE REGINA LEINEKER ALONSO.cSUMRIO Pg.INTRODUO.........................................................................................................31. JUROS SIMPLES .................................................................................................61.1 Clculo do juro simples .................................................................................. 61.2 Clculo do montante ...................................................................................... 71.3 Taxa mdia .....................................................................................................101.4 Prazo mdio ....................................................................................................11 1.5 Desconto simples ............................................................................................121.6 Desconto comercial, bancrio ou por fora ..................................................121.7 Desconto racional ou por dentro .................................................................131.8 Equivalncia de capitais diferidos.................................................................152. JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................212.1 Clculo dos juros compostos ...........................................................................212.2. A calculadora HP 12C ....................................................................................232.3. Clculo do montante com prazo fracionado ...................................................242.4. Desconto composto ........................................................................................272.5. Clculo do desconto composto real ................................................................ 272.6. Equivalncia de capitais diferidos ..................................................................30 3. TAXAS DE JUROS ..............................................................................................363.1. Taxa nominal ...................................................................................................36 3.2. Taxa efetiva .....................................................................................................373.3. Operaes com taxas .......................................................................................374. RENDAS ................................................................................................................41 4.1. Clculo da renda imediata ...............................................................................434.2. Clculo da renda antecipada ............................................................................434.3. Clculo da renda diferida .................................................................................445. PLANOS DE AMORTIZAO ...........................................................................485.1 Sistema de amortizao constante (SAC) .......................................................485.2. Sistema de amortizao francs (PRICE) .......................................................495.3. Sistema de amortizao crescente (SACRE) ...................................................525.4. Sistema de amortizao com correo monetria ............................................536. DEPRECIAO ....................................................................................................566.1. Mtodo linear ...................................................................................................576.2. Mtodo da taxa constante ................................................................................576.3. Mtodo das taxas variveis...............................................................................576.4. Mtodo de Cole ................................................................................................587. ENGENHARIA ECONMICA .............................................................................607.1. Taxa de atratividade .........................................................................................607.2. Mtodo do perodo de recuperao do capital (Pay-Back)................................617.3. Mtodo do Pay-Back descontado ......................................................................627.4. Mtodo do valor presente lquido (VPL) ...........................................................647.5. Mtodo do valor presente lquido anualizado (VPLA) ......................................657.6. Mtodo do ndice benefcio/custo (IBC) ............................................................657.7. Mtodo da taxa interna de retorno (TIR) ........................................................... 668. PREVISES FINANCEIRAS ..................................................................................728.1. Regresso linear .................................................................................................728.2. Regresso no linear ...........................................................................................738.3. Mtodo dos mnimos quadrados .........................................................................739. BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................832INTRODUO.AMatemticaFinanceiravisaestudarovalordodinheironotempo, nas aplicaes e nos pagamentos de emprstimos, bem como fornecer instrumentos para o estudo e avaliao dos mesmos.Do ponto de vista da Matemtica Financeira, R$ 300,00 hoje no so iguais a R$ 300,00 em qualquer outra data, pois o poder aquisitivo do dinheiro varia ao longo dos perodos, devido taxa de juros por perodo.Devidoaolongoperododetempoemqueasociedadebrasileiratem convividocomainflao, aspessoasdavamcertaprefernciapelaliquidez. A forma mais antiga e tambm a mais usada at os dias de hoje acenar para o proprietrio do capital com uma promessa atrativa de pagamento futuro.A essa remunerao paga pela imobilizao do capital por um dado perodo de tempo que se convencionou chamar de juros. Assim, os juros representam os custos da imobilizao do capital num dado perodo. Geralmente os juros so expressosporumataxaqueincide sobreovalorimobilizado. A taxa dejuros podeservistacomoaremuneraodeumaunidadedocapital imobilizadoao longo de uma unidade de tempo.Umavezqueovalordodinheironotempoea existnciadosjurosso elementos interligados e indispensveis ao desenvolvimento do estudo da Matemtica Financeira, conveniente a utilizao dofluxo de caixaque corresponde ao conjunto de entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo. Esquematicamente, arepresentaodofluxodecaixafeitacomona figura 1.0 1 2 ... nEixo horizontal: Tempo (perodos)Figura 1Dessa forma, a Matemtica Financeira tem como objetivos principais:3(+) recebimentoR$ (+)R$ (-)(-) pagamentoa) atransformaoeomanuseiodefluxosdecaixa, comaaplicaodas taxas de juros de cada perodo, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;b) a obteno da taxa interna de juros que est implcita no fluxo de caixa;c) a anlise e a comparao de diversas alternativas de fluxos de caixa.REGIMES DE CAPITALIZAO.Quandoumcapital aplicadoporvriosperodos, aumacertataxa por perodo, o montante(capital acrescido dos juros) poder crescer de acordo com duas convenes, chamadas regimes decapitalizao. Tem-seoregimede capitalizao simples (ou juros simples) e o regime de capitalizao composta (ou juros compostos).Tantoosjurossimplescomoosjuroscompostossofixadosatravsde uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, ms, dia.Por exemplo, um capital de R$ 10.000,00, aplicado taxa de 8% ao ano, proporcionar, no finalde um ano, um totalde juros equivalentes a R$ 800,00, pois: 8% de R$ 10.000,00 = 1008 . 10.000 = R$ 800,00.a) Regime de capitalizao simplesO juro simples quando produzido unicamente pelo capital inicial.Exemplo: Considere o caso de um indivduo que, no incio do ano depositou R$ 100,00 em um banco X que lhe prometeu juros simples, razo de 10% ao ano. Qual ser o seu saldo credor no final de cada um dos prximos quatro anos?Crescimento de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao anoTempo (ano)Saldo no incio de cada ano Juro Saldo no final de cada ano1234b) Regime de capitalizao compostaOjuro composto quando calculado sempre emfuno do saldo existente no incio do perodo correspondente.4Exemplo:Imagine se o mesmo indivduo do exemplo anterior tivesse colocado, no incio do ano, outros R$ 100,00 em um banco Y, que paga juros compostos, razode10%aoano. Comosecomportariaoseusaldocredoraolongodos quatro anos?Crescimento de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao anoTempo (ano)Saldo no incio de cada ano Juro Saldo no final de cada ano1234Ao capitalempregado d-se o nome de principal, e a soma do principal mais os juros, d-se o nome de montante.Ajurossimples, apenasoprincipal rendejuros, aopassoqueajuros compostos os rendimentos so calculados sobre os montantes, havendo portanto uma incidncia de juros sobre juros.Observando os dois exemplos, os montantes disponveis para o indivduo no final do quarto ano, seriam: No banco Y, a juros compostos R$146,41 No banco X, a juros simples R$140,00DiferenaR$6,41EssadiferenadeR$6,41correspondeaopagamentodejurossobrejuros, devido a juros compostos.5Rendimento de R$ 100,00-20,0040,0060,0080,00100,00120,00140,00160,001 2 3 4tempomontantejuro simplesjuro compostoJuro Simples X Juro CompostoCAPTULO IJUROS SIMPLESClculo dos Juros SimplesNo regime de juros simples os juros de cadaperodo so calculados sempre sobre o mesmo principal. No existe capitalizao de juros nesse regime, pois os juros de um determinado perodo no so incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de clculo dos juros do perodo seguinte.Se a taxa de juros ( i ) for constante e incidir apenas sobre o capital aplicado (c), ento o juro ( J ) por perodo ser tambm constante e igual a:i c J. Nesse caso, observa-se um crescimento linear do capital: Juro SimplesSe a Matemtica Financeira objetiva estudar o relacionamento entre valores monetrios posicionados em pontos distintos no tempo, ento para um capitalcaplicado a uma taxa de juros i duranten perodos de tempo, sob o regime de juros simples pode ser calculado:n i c J . . Nesse regime a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em multiplicaes e divises, sem alterar seu valor intrnseco, ou seja, mantmaproporcionalidadeexistenteentrevalores realizveis emdiferentes 6100200300montante1 2 3 4perododatas. Portanto, no clculo de juros, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade de medida.Quando o prazo da operao dado considerando-se anos constitudos por meses de 30 dias, os juros so chamados comerciais; quando o nmero de dias corresponde queles do ano civil (365 dias), so chamados juros exatos.O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porm necessrio coloc-la na forma fracionria para realizar os clculos financeiros.O regime de juros simples utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operaes de curto prazo, em funo da simplicidade de clculo.Exemplos:1. Calcular ojuroproduzidopor R$500,00, aplicadotaxade10%ao semestre durante 3 semestres.2. Calcular o juro produzido por R$ 40.000,00 taxa de 72% ao ano, durante 45 dias.Clculo do MontanteQuandouminvestidor aplicaumcapital por certotempodeterminada taxa, no finaldesse perodo de tempo ele tem sua disposio no s o valor inicial aplicado, mas tambm os juros que lhe so devidos. Esse total, soma de capital e juros, chamado montante.O valor de resgateM , chamado de montante calculado por:Tempo (n) Juro Montante1i c . ci c M + 1 ) 1 ( 1i c M + 2i c . ) 2 1 (2 2 1 2i c M ci ci c M J M M + + + + 3i c . ) 3 1 ( 23 3 2 3i c M ci ci c M J M M + + + + ... ... ...ni c . ) 1 ( ... ni c M ci ci c Mn n+ + + + Portanto: ) 1 ( in c M + 7Exemplos:1. Qual o montante resultante de uma aplicao de R$ 29.800,00 taxa de 12% ao ms, durante 6 meses?2. Para uma aplicao de R$ 3.000,00 a juros simples e taxa de 10% ao ano, o montante recebido foi R$ 4.800,00. Determine o prazo da aplicao.3. Qualataxaanualdejurossimplesganhoporumaaplicaode R$ 1.500,00 que produz aps um ano um montante de R$ 1.950,00?EXERCCIOS1. Qual o juro de R$ 25.000,00 em 2 anos e 6 meses taxa de 8% ao ano?R: R$ 5.000,002. Calcular o juro de R$ 5.000,00 taxa de 3,6% ao ano em 1 ano, 1 ms e 10 dias.R: R$ 200,003. Calcular o juro produzido por R$ 9.000,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias, taxa de 1% ao ms.R: R$1.590,004. Aquetaxaanual deveser empregadoocapital deR$16.000,00para produzir R$ 2.520,00 de juro,em 2 anos e 3 meses? R: 7% ao ano5. Certocapitalficou empregado por 1 ano e 3 meses a uma taxa de 12% ao ano e rendeu um juro de R$ 650,00. Qual foi o capital empregado?R: R$ 4.333,336. O capital deR$ 400,00 foi colocado a 20% ao ano e produziu um juro de R$ 60,00. Por quanto tempo o capital ficou empregado?R: 9 meses87. Coloqueicerta quantia em um banco a 20% ao ano e retirei, depois de 4 anos, R$9.280,00. Quantorecebi dejuros, sabendoqueaaplicaofoi feita a juros simples?R: R$ 4.124,448. Empresteicerta quantia a 30% ao ano e recebiR$ 3.230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?R: R$ 1.900,009. Certo capital acrescido de juros de 13,5% ao ano, em 2 anos e 5 meses, importa em R$ 7.612,50. Determine o capital.R: R$ 5.739,8510.Determinar o capital e os juros cuja soma, no final de 5 meses, taxa de 15,5% ao ano, atingiu R$ 17.676,00.R: R$ 16.603,68 e R$ 1.072,3211.Qual o capital que, acrescidos dos seus juros produzidos em 270 dias, taxa de 14% ao ano, se eleva a R$ 45.071,50?R: R$ 40.788,6912. Uma pessoa aplicou R$ 110.000,00 do seguinte modo: R$ 68.000,00 a 5% ao ano e R$ 42.000,00 a uma taxa desconhecida. Sabendo-se que, no fim de meio ano, a primeira importncia tinha rendido R$ 125,00 a mais do que a segunda, pergunta-se a que taxa esta ltima foi aplicada?R: 7,5% ao ano13.A soma de um capital com seus juros aplicado durante 110 dias, taxa de 17%ao ano igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano de 360 dias.R: R$ 126,0814.Certo capital, acrescidodosjurosresultantedesuaaplicaodurante 8meseseleva-seaR$23.100,00. Omesmocapital, acrescidodejuros resultantesde13mesesdeaplicao,mesma taxa, eleva-sea R$ 23.475,00. Calcular o capital e a taxa anual.R: R$ 22.500,00 e 4% ao ano15.Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros.R: 0,25% ao ms16.Dois capitais deR$ 11.000,00 eR$ 5.000,00 estiveram aplicados durante 3 anos. Determinar que taxa esteve aplicado o segundo capital, sabendo 9que o primeiro, aplicado taxa de 7% ao ano, rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o segundo. R: 8% ao ano17. Um capital ficou aplicado durante 2 anos, taxa de 4% ao ano. Aps este perodo, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. Determine ocapitalinicial,sabendoqueomontantefinalfoide R$ 17.658,00?R: R$ 15.000,0018. Omontante de uma aplicao, aps 7 meses e 15 dias, foi de R$ 180.900,00. O mesmo capital, mesma taxa, acrescido dos juros de 32 meses, dummontantedeR$210.840,00. Determinar ocapital eataxa mensal.R: 0,7116% ao ms e R$ 171.734,0919. Dois capitais diferem em R$ 86.000,00. O maior, empregado durante 10 meses, rendeu R$ 1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, rendeu, mesma taxa, R$ 1.926,00. Quais foram os capitais empregados e qual a taxa anual?R: 0,36% ao ano, R$ 514.000,00 e R$ 428.000,0020. Doiscapitais, umdeR$240.000,00eooutrodeR$400.000,00foram postos a juros segundo uma mesma taxa. O primeiro rendeu em 50 dias, R$ 10.000,00 a mais do que o segundo em 21 dias. Calcular a taxa de juros anual.R: 100% ao anoTaxa MdiaAtaxamdiarepresentaataxaqueaplicadaaocapital total ofereaa mesma rentabilidade das aplicaes efetuadas em cotas. A taxa mdia a mdia ponderada das taxas.Tn nci c i c i ci. ... . .2 2 1 1+ + +Exemplo:1. Um investidor resolveu diversificar seu capital de R$ 100.000,00 aplicando partes dele emdiversos bancos, obtendo taxas diferentes para cada aplicao, de acordo com a tabela abaixo:Capital TaxaR$ 50.000,00 2% ao ms1R$ 10.000,00 3% ao msR$ 20.000,00 1,5% ao msR$ 20.000,00 2% ao msCalcule a taxa mdia de suas aplicaes.Prazo MdioEntende-se por prazo mdio o tempo (prazo) que aplicado ao capital total, oferea a mesma rentabilidade das aplicaes efetuadas em cotas.Tm mcn c n c n cn. ... . .2 2 1 1+ + +Exemplo: 1. Considerandoumataxade0,2%aodiaparaos diferentes prazos de aplicao dos capitais fornecidos pela tabela abaixo, calcule o prazo mdio das aplicaes desses capitais.Capital PrazoR$ 10.000,00 20 diasR$ 8.000,00 30 diasR$ 27.000,00 40 diasEXERCCIOS1. Calcular a taxa mdia obtida nas seguintes aplicaes, que foram efetuadas pelo mesmo prazo.Capital TaxaR$ 10.000,00 2,5% ao msR$ 8.000,00 3% ao msR$ 27.000,00 1% ao msR: 1,6889% ao ms2. Um capital de R$ 70.000,00 foi dividido em duas aplicaes. A primeira, no valor de R$ 50.000,00, recebeu taxa de 4% ao ms. Calcular qual dever ser a taxa atribuda segunda aplicao para que a taxa mdia seja de 3% ao ms.R: 0,5% ao ms13. Uma nota promissria deR$ 50.000,00venceem30 diaseoutrade R$75.000,00venceemprazodesconhecido. Sabendo-sequeoprazo mdio delas de 32 dias, qual o prazo da segunda promissria?R: 33 dias4. Um capitalde R$ 213.800,00 foidividido em duas aplicaes. A primeira recebeu taxa de 3,5% ao ms e a segunda 5% ao ms. Calcular o valor de cada parcela, sabendo-se que a taxa mdia resultou em 4% ao ms.R: R$ 71.266,67 e R$ 142.533,33Desconto SimplesAidiadedescontoestassociadacomoabatimentodadoaumvalor monetrio em determinadas condies. Assim, por exemplo, quando uma compra feita em grande quantidade comum o vendedor conceder algum desconto no preo por unidade. No comrcio bastante comum tambm o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar vista geralmente proporcionado um desconto sobre o preo oferecido. Nestas situaes, o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preo.Uma outra situao envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; neste caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dar o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. A duplicata , portanto, um ttulo emitido por uma pessoa jurdica contra o cliente paraoqual elavendeumercadoriasprazoouprestouserviosparaserem pagos no futuro, segundo um contrato. A emisso da duplicata s legal se for feita tendo por base a nota fiscal proveniente do servio prestado.Chamamos de desconto de um ttulo ao abatimento que se d sobre o seu valor pela antecipao do seu pagamento.Pelasistemticadecapitalizaosimples, os valores dodescontoso obtidos por meio de clculos lineares. O desconto estudado sob duas modalidades: desconto comercial simples e desconto racional simples.Desconto comercial, bancrio oupor fora aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal do ttulo. utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente, nas chamadas operaes de desconto de duplicatas. O desconto comercial obtido multiplicando-se o valor de resgate (nominal) do ttulo pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer at o seu vencimento, ou seja:1n . . i N d onde: d = desconto comercial, bancrio, por foraN = valor nominal do ttuloi = taxa de desconton = prazoPara se obter o valor presente (valor do ttulo aps o desconto), tambm chamado de valor atual, basta subtrair o valor do desconto do valor nominal do ttulo.d N A e ainda) . 1 (. .n i N An i N N A Exemplos:1. Um ttulo de valor nominal R$ 24.000,00 sofre um desconto bancrio taxa de 30% ao ano, 60 dias antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto e qualo seu valor atual?2. Um ttulo de R$ 100,00 ser descontado a 1% ao ms, 120 meses antes do vencimento. Qual o valor do desconto?OBS.:Odescontocomercial utilizadoparaoperaesdecurtoprazo, para prazos longos, seu clculo se torna impraticvel, pois o valor do desconto se torna to elevado que pode, inclusive, ultrapassar o prprio valor nominal do ttulo.Desconto racional oupor dentro aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor atual do ttulo ou valor lquido.1n in i Ndn i N n i d dn i d n i N dn i d N dn i A d. 1. .'. . . '. '. '. . . '. ). ' ( '. . '+ + n iNAn in i N n i N NAn in i nN Ad N A. 1. 1. . . .. 1. .'++ ++ Exemplo:1. Calcular o valor do desconto por dentro de um ttulo de R$ 2.000,00 com vencimento para 90 dias, taxa de 2,5% ao ms.EXERCCIOS1. Qual ovalor dodescontopor foradeumttulodeR$2.000,00, com vencimento para 90 dias, taxa de 2,5% ao ms?R: R$ 150,002. Qual o valor a ser pago hoje por um ttulo de R$ 50.000,00 cujo vencimento ocorrer daqui a 3 meses, supondo que a taxa de desconto bancrio seja de 5,5% ao ms?R: R$ 41.750,003. Calcular a taxa mensal de desconto por dentro utilizada numa operao de 120 dias, cujo valor de resgate do ttulo de R$ 1.000,00 e cujo valor atual de R$ 880,00.R: 3,4% ao ms4. Sabendo-se que o desconto de um ttulo no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crdito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco de 3,2% ao ms, calcular o prazo do ttulo, com desconto por dentro.R: 4 meses e 5 dias15. Uma nota promissria de valor nominal de R$ 24.000,00 sofre um desconto por fora taxa de 30% ao ano, 30 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto e qual o seu valor atual?R: R$ 600,00 e R$ 23.400,006. Umaduplicata de valornominalde R$ 39.600,00 negociada taxade 30% ao ano, 120 dias antes do vencimento. A quanto importou o desconto que foi racional? Qual o seu valor atual?R: R$ 3.600,00 e R$ 36.000,007. Qual o desconto bancrio, a 5% ao ms, sobre um ttulo de R$ 750,00 pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?R: R$ 87,508. Um ttulo no valor de R$ 1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzidoaR$900,00. Qual foi ataxamensal considerandoodesconto bancrio e o desconto racional?R: 5% ao ms e 6,6667% ao ms9. Determine ovalor atual produzido por umaletraque, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, taxa de 9% ao ms, produziu R$ 140,00 de desconto.R: R$ 777,7810.Calcularodescontopordentrodeumttulocomvencimento daqui a 8 anos, no valor nominal de R$ 1.000,00, se descontado hoje taxa anual de20%. Repitaoclculoverificandoodescontopor foraeanaliseas respostas encontradas.R: R$ 615,38 e R$ 1.600,00Equivalncia de Capitais DiferidosDois ou mais capitais so diferidos quando so exigveis emdatas diferentes. Dessaforma, ttulosdecrditosquetmvencimentosdistintosso capitais diferidos. Dois ou mais capitais diferidos so equivalentes em certa poca se, nessa poca, seus valores atuais forem iguais.Por exemplo: um ttulo de valor nominal R$ 100,00 tem vencimento para 3 meses e outro ttulo de valor nominal R$ 109,31 tem vencimento para 7 meses. Atualizando os valores desses ttulos taxa de 2% ao ms, temos:1) . 1 ( n i N AT 94 ) 7 . 02 , 0 1 ( 31 , 10994 ) 3 . 02 , 0 1 ( 10021 TTAA2 1 T TA A Como os valores atuais dos ttulos so iguais, pode-se afirmar que o capital R$ 100,00 para 3 meses equivalente ao capital R$ 109,31 para 7 meses, taxa de 2% ao ms.Oproblema de equivalncia de capitais diferidos aplica-se quando h substituio de um ttulo (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente.Consideremos, por exemplo, N o valor nominal de um ttulo para n meses e N o valor nominal de outro ttulo, equivalente ao primeiro, com vencimento para n meses; os valores atuais (An e An) dos ttulos so iguais, portanto:) . 1 ( n i N An ) ' . 1 ( ' ''n i N A n ' . 1) . 1 (') ' . 1 ( ' ) . 1 (n i n i NNn i N n i N Exemplo:1. Um ttulo de valor nominal equivalente a R$ 1000,00, vencvel em 3 meses, vai ser substitudo por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se queessesttulospodemserdescontadostaxade1%aoms, qual o valor nominal do novo ttulo?EXERCCIOS1012 3 4 5672T1T1. Um ttulo de valor nominal R$ 200,00 para 45 dias vai ser substitudo por outro para 65 dias. Considerando-se uma taxa de 20% ao ano, qual o valor nominal do novo ttulo?R: R$ 202,312. Umttulo de valor nominal R$ 400,00, pagvel em40 dias, vai ser substitudo por outrocom vencimento para 100 dias. Admitindo-sequeo credor possa resgatarottulo taxa de 24%aoano, determinarovalor nominal do novo ttulo.R: R$ 417,143. Um ttulo de valor nominal equivalente a R$ 144,00, vencvel em 50 dias, foi substitudo por outro de valor nominal R$ 151,00. Calcular o prazo do novo ttulo, sabendo-sequeataxaempregadanessatransaofoi de2%ao ms.R: 3 meses e 27 dias4. Uma empresa deve pagar dois ttulos: um de R$ 720,00 para 2 meses e outro de R$ 960,00 para 3 meses. Entretanto, no podendo resgat-los no vencimento, prope ao credor substitu-los porum nicottulo para 4meses. Calcularovalornominal donovottuloempregandoataxade 1,2% ao ms.R: R$ 1.710,255. Um ttulo de valor nominalequivalenteaR$ 70,40com vencimento para 5 meses, substituiu outro de valor nominal equivalente a R$ 66,00, vencvel em 2 meses. Qual a taxa dessa transao?R: 2% ao ms6. Dois ttulos de R$ 100,00 exigveis em 3 e 4 meses respectivamente, sero substitudospordoisnovosttulos,demesmovalornominal,para 5 e 6meses, respectivamente. Sendode9%aoano, ataxadodesconto, calcular o valor nominal dos novos ttulos.R: R$ 101,567. Uma empresa devedoradedoisttulos de R$ 3.000,00, vencveis em 3 e 4 meses,desejaresgataradvidacomumnico pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa de 1,5% ao ms.R: R$ 6.145,951EXERCCIOS COMPLEMENTARES1. Um empresrio tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra 1,5% ao ms sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Determinar o montantedejuroscobradonomsdeabril assumindoqueacontatem saldozeronofinal demaroequeemabril soemitidososseguintes cheques:Data Valor do cheque1 de abril R$ 2.000,0011 de abril R$ 1.000,0021 de abril R$ 1.000,00R: R$ 45,002. Uminvestidor deposita uma determinada importncia numa instituio financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado at aquela data totaliza R$ 10.480,00. Esse mesmo valor ento depositado em outra instituio financeira, por um prazo de cincomeses.Nofinal desseperodoomontanteacumuladonasegunda instituioigual aR$11.108,80. Sabendo-sequeasduasinstituies operamcomjurossimpleseremuneramseusdepsitoscomamesma taxa, determinar: a) a taxa mensal de juros simples das duas instituies b) b) o valor do depsito inicial na primeira instituio.R: a) 1,2% ao ms; b) R$ 10.000,003. Umaempresaobtmnumbancocomercial umemprstimode R$ 10.000,00 com uma taxa de 1,2% ao ms (desconto por dentro), juros simples, quepodeser liquidadonofinal decadams. Decorridostrs meses, essa empresa resolve liquidar esse emprstimo comrecursos obtidos, no mesmo banco, atravs de um novo emprstimo, com uma taxa de 1%aoms, tambmajuros simples. Decorridos alguns meses a empresadecideliquidar osegundoemprstimoeverificaqueototal de juros acumulados nos dois emprstimos de R$ 981,60. Determinar:a) o valor do segundo emprstimo suficiente para liquidar o primeiro1b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo emprstimoc) o prazo do segundo emprstimod) a taxa mdia mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois emprstimos em conjunto.R: a) R$ 10.360,00; b) R$ 10.981,60; c) 6 meses; d) 1,065% ao ms4. Uma aplicao financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples taxa de 22% ao ano e paga imposto de renda igual a 20% do juro; o imposto pago no resgate.a) qual o montante lquido de uma aplicao de R$ 8.000,00? (Montante lquido igual ao montante menos o imposto de renda.)b) qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante lquido de R$ 9.500,00?R: a) R$ 8.586,66; b) R$ 8.850,935. Uma dvida de R$ 50.000,00 vence daquia 8 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% ao ms, calcule seu valor atual, com desconto racional:a) hojeb) 3 meses antes do vencimentoc) daqui a 2 meses.R: a) R$ 43.103,45; b) R$ 47.169,81; c) R$ 44.642,866. Joo fez uma aplicao de R$ 50.000,00 ajurossimplese taxa de 2,5% ao ms pelo prazo de 9 meses. No entanto, dois meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o ttulo a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para este ttulo era de 2,8% ao ms, utilize desconto racional.R: R$ 58.001,897. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 12.000,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor lquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operao.R: 1,56% ao ms8. Dois ttulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados a uma taxa de desconto comercial de 6% ao ms. Sendo de R$ 900.000,00 a soma de seus valores nominais e de R$ 128.400,00 a soma dos descontos, determine o valor nominal de cada ttulo.R: R$ 420.000,00 e R$ 480.000,009. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% ao ano durante 50 dias. Calcular o capitale o rendimento obtido, sabendo-se que, se a diferena entreambos, acrescidadeR$10.000,00, fosseaplicadamesmataxa, renderia R$ 95.000,00 no prazo de um ano.R: R$ 320.000,00 e R$ 13.331,20110. Uma duplicata com vencimento em 15de dezembrodescontada por R$ 2.000,00 em 1 de setembro do mesmo anoaumataxasimplesde 6%ao ms.Nasmodalidades de descontocomercial eracionalsimples, calcular o valor de resgate (valor nominal) do ttulo e a taxa de desconto.R: R$2.531,64 e R$ 2.420,0011. Calcule a taxa mdia das seguintes letras de cmbio:- valor nominal de R$ 400,00, com vencimento em 50 dias e taxa de 6% ao ms;- valor nominal de R$ 200,00, com vencimento em 30 dias e taxa de 3% ao ms;- valornominalde R$ 300,00, comvencimentoem 45 dias e taxa de 5% ao ms.R: 5,2% ao ms12. Tenho trs ttulos a resgatar: um de R$ 6.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses taxa de 10% ao ms; um outro de R$ 5.000,00, com prazo de 4 meses taxa de 15% ao ms e um ltimo de R$ 8.000,00, com prazo de 3 meses a 12% ao ms. Qual ser a taxa mdia para os descontos?R: 12,39% ao ms13. Dois ttulos de R$ 1.000,00, vencveis, respectivamente, em 4 e 6 meses, sero resgatados em nico pagamento, a ser efetuado no fim de 2 meses. Calcular ovalor dessepagamento, sabendo-sequeataxadodesconto comercial dessa transao de 1% ao ms.R: R$ 1.938,7714. Uma nota promissria de R$ 3.000,00 vence no fim de 3 meses e 15 dias e outra, de R$ 4.000,00, em 5 meses. Calcularovalor do ttulo nico para 8 meses, que substitui os dois primeiros taxa do desconto comercial de 1,8% ao ms.R: R$ 7.536,2115. Trs ttulos de R$ 120,00 vencveis em 30, 60 e 90 dias, respectivamente, serosubstitudospor doisttulosdeR$190,00para120e150dias. Calcular a taxa empregada nessa transao.R: 2,02% ao ms16. A tera parte de um capital foi colocada a 18% ao ano e o restante a 15% ao ano. No fim de 2 anos os juros somaram R$ 300,00. Qualfoio capital aplicado?R: R$ 937,5017. Um ttulo sofre os descontos sucessivos de 5; 3 e 2%. Calcular a taxa nica equivalente a esses descontos.R: 9,693%18. Durante quanto tempo um capital produz juros iguais a de seu valor, taxa de 2% ao ms?R: 3 anos, 1 ms e 15 dias219. A diferena entre os descontos comercial e racional de um ttulo, resgatado 6mesesantesdovencimentotaxade10%aoano, deR$105,00. Calcular o desconto comercial e racional.R: R$ 2.205,00 e R$ 2.100,0020. Os descontos comercial e racional de umttulo, a 20%ao ano, so respectivamente, de R$ 660,00 e de R$ 600,00. Calcular o valor nominal do ttulo e o tempo que falta para seu vencimento.R: R$ 6.600,00 e 6 mesesCAPTULO IIJUROS COMPOSTOSEste captulo tempor objetivo mostrar o problema da capitalizao composta, isto, aquelevoltadoparaocrescimentododinheiroaolongodo tempo, no regime de juros compostos.Em seguida estudado o problema inverso, ou seja, o da diminuio das grandezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operaes de desconto composto.Clculo dos Juros CompostosAocontrriodoqueacontecenoregimedejurossimples, noregimede juros compostos a base sobre a qual a taxa de juro composto incide varivel. No regime de juros compostos a taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado, isto , sobre o capital original mais os juros acumulados at o perodo imediatamente anterior.Considerando um capitalCaplicado a uma taxa de jurosipor n perodos, o desenvolvimento de uma frmula que relaciona um valor monetrio de hojeCcom um valor futuro nM a seguinte: Tempo (n) Juro Montante1 C i .11 1) 1 ( i C M iC C M + + 21. M i ) 1 (1 2 1 1 2i M M iM M M + + 22 2) 1 ( ) 1 )( 1 ( i C M i i C M + + + 32. M i ) 1 (2 3 2 2 3i M M iM M M + + 3323) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( i C M i i C M + + + ... ... ...2n1. nM inni C M ) 1 ( + Logo, o montante, no regime de juros compostos calculado pela expresso: n i C M ) 1 ( + onde C o capital aplicadoi a taxa de jurosn o prazo de aplicaoOgrficoaseguirilustraocomportamentodocrescimentodocapital no regime de juros compostos.Juro CompostoTodas as demais frmulas de juros compostos so deduzidas a partir da expresso genricani C M ) 1 ( + . Para o clculo do capitalni C M ) 1 ( + niMC) 1 ( + Para o clculo do perodoni C M ) 1 ( + ) 1 log( log) 1 (i nCMiCMn+ + ) 1 log(logiCMn+2100200300400montante1 2 3 4perodo Para o clculo da taxa ni C M ) 1 ( + iCMiCMnn+ + 1) 1 (1 nCMiA Calculadora HP-12CA HP-12C uma calculadora de tecnologia norte-americana, por isso, suas teclas tm letras que sintetizam, em ingls, as funes que representam.NomundodasfinanasaHP-12Cpossivelmenteamaispopular das calculadoras financeiras, ela foi projetada para fazer muitos tipos de clculos, por isso, ela possui at trs funes por teclas, simbolizadas por caracteres impressos em cores diferentes: brancas, amarelas e azuis. Para utilizar as funes brancas basta pressionar a tecla diretamente e para acionar as teclas azuis e amarelas pressiona-se primeiramente a tecla (f) e (g) respectivamente. Quando as teclas f e g so acionadas o visor da calculadora mostra as letras f e g.Paraosclculosfinanceiros utilizamos5teclas(i, n, PV, PMTeFV), localizadas na parte superior da HP-12C, que obedecem s seguintes definies:Nmerodeperodos decapitalizaodejuros, expressoemanos, semestres, trimestres, meses ou dias. Os valoresdenpodemsernmeros inteiros ou fracionrios.Taxa de juros por perodo de capitalizao, expresso em porcentagem.Valor Presente (Presente Value), valor do capital inicial aplicado.Valor de cada prestao da srie uniforme (PeriodicPay MenT) que ocorre no fim ou no incio de cada perodo.Valor Futuro(FutureValue), ouvalor domontante acumuladonofimden perodos de capitalizao, com a taxa de juros i por perodo.Devemos observar que: Os valores monetrios (PV, FV, PMT) devemser registrados na calculadorasempredeacordocomaconvenodesinal, isto, as entradasdecaixa(recebimentos)devemter o sinal positivo(+), eas sadas de caixa (pagamentos) devem ter sinal negativo ( - ).2PMTinFVPV A unidade referencialde temo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo do perodo n. Antesdaentradadedadosfinanceirosdevemosapagar osregistros financeiros utilizando as teclas (f) (fin).Exemplos:1. Calcular o montante de umcapital de R$ 10.000,00 aplicado ajuros compostos de 2% ao ms, durante 3 meses.2. Qual a quantia que, colocada em um banco, a juros compostos de 2% ao ms, durante 5 meses, eleva-se a R$ 40.000,00?3. Durante quanto tempo deve-se aplicar R$ 5.000,00 taxa de 7% ao ms, para produzir o montante de R$ 11.260,96?4. Umcapital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?Clculo de montantes com prazo fracionadoNo clculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo da aplicao no corresponde a um nmero inteiro de perodos a que se refere a taxa de juros, mas aumnmerofracionrio. Nessecaso, admitem-seduas alternativas de clculo: clculo pela conveno linear e clculo pela conveno exponencial.2 Clculo pela Conveno LinearOs juros compostos so usados para o nmero inteiro de perodos e os juros simples para a parte fracionria do tempo.O montante, nesse caso, ser dado por:

,_

+ + kPi i C Mt. 1 ) 1 (ondet = parte inteira do tempokP parte fracionria do tempo

Clculo pela Conveno ExponencialOs juros compostos so usados tanto para o nmero inteiro de perodos quanto para a parte fracionria do tempo.Por esta conveno, o montante calculado por:kP ti C M++ ) 1 (NacalculadoraHP-12C, paraclculos pelaconvenoexponencial, as teclas(STO)(EEX) devemserpressionadas(aletracaparecenovisor); caso contrrio, amquinafarosclculospelaconvenolinear. Paraapag-lado visor, basta pressionar novamente as teclas (STO) (EEX).Exemplo:1. Sendo um capital no valor de R$ 10.000,00 que aplicado a uma taxa de juros compostos de 8%ao ano durante um perodo de3 anos e 5meses,calculeo montante usando a conveno linear e a conveno exponencial.CONVENO LINEAR:CONVENO EXPONENCIAL:2EXERCCIOS1. Calcular o montante para umcapital inicial de R$ 10.000,00 a juros compostos de 4% ao ms, durante 8 meses e 12 dias. (Use a conveno exponencial).R: R$ 13.902,092. Em1995, naportadeumbancoencontrava-seumcartazondeselia Aplique hoje R$ 1778,80 e receba R$ 3.000,00 daqui a 6 meses. Qual era a taxa mensal de juros que o banco estava aplicando o dinheiro investido?R: 9,10% ao ms3. Qual otemponecessrioparaqueumcertocapital, colocadoajuros compostos de 5% ao ms, produza juros de 80% do seu valor?R: 13 meses4. Calcular o montante de R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano, durante 30 meses, com capitalizao mensal.R: R$ 13.478,495. Qual a taxa mensal de inflao num pas onde os preos duplicam de valor em 3 meses?R: 26% ao ms6. Qual o montante de uma aplicao de R$ 2.000,00 em 1 ano e meio, taxa de 12,5% ao ano,capitalizado trimestralmente?R: R$ 2.405,557. O capitalde R$ 120,00 foicolocado a juros de 20% ao ano, capitalizado semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?R: R$ 193,268. Durante quanto tempo se deve aplicar R$ 5.000,00 taxa de 7% ao ms,. Para produzir o montante de R$ 12.000,00?R: 13 meses9. Umcapital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?R: 4,84% ao ms10. Usando a conveno linear e a conveno exponencial calcule o montante das aplicaes abaixo:a) Capital deR$12.000,00, aplicadoaumataxade15%aoano, durante 5 anos e 10 meses.b) Capitalde R$ 13.176,15, aplicado a uma taxa de 4% ao bimestre, durante 1 ano e 1 ms.R: a) R$ 27.153,32 e R$ 27.117,65; b) R$ 17.005,47 e R$ 17.002,202Desconto CompostoO Desconto Composto constitudo pela soma de descontos simples, que devem ser calculados isoladamente em cada um dos perodos que faltam para o vencimento do ttulo.Neste desconto, assim como no desconto simples, tambm apresenta duas modalidades: odescontocompostoreal eodescontocompostobancrio. O descontocompostoreal equivalesomadedescontosracionais, enquantoo desconto composto bancrio corresponde soma de descontos comerciais. Entretanto, naprtica, somenteodescontocompostoreal utilizadoeser estudado a seguir.Clculo do desconto composto realComo j foi mencionado, o desconto composto equivale soma de descontos simples; e, considerando umperodo de 4 anos, por exemplo, o desconto composto deveria ser encontrado calculando4 3 2 1' , ' , ' , ' d d d d, respectivamenteeentosomandoosvaloresencontradosemcadadesconto, conforme a figura seguinte.Obviamente, seriamuitotrabalhosoresolver umproblemadedesconto composto real dessa forma. Por esse motivo vamos deduzir uma frmula para o clculo do valor atual (A) de um ttulo de valor nominal (N), com vencimento para (n) perodos, a uma taxa (i).21A2A3A4A N1 2 3 4 anos 04' d3' d2' d 1' dCd d d d d ' ' ' ' '4 3 2 1 + + +ondeinNind+1'322223 2 323212 1 21211 11) 1 ( 1) 1 () 1 ( 1 ) 1 ('1') 1 ( 111 1 1'1'1 1) 1 (1'1'iNiiiNiNii AiNd A Aii AdiNiiiNiNii AiNd A Aii AdiNiNi i NiNiN Ad N AiNid++++++ +++++++ +++ ++ +Portanto, para n perodos, temos:nniNA) 1 ( +ou simplesmente niNA) 1 ( + As demais frmulas so deduzidas a partir dessa. Para o clculo do valor nominalniNA) 1 ( +n i A N ) 1 ( + Para o clculo do prazo de antecipaoniNA) 1 ( +ANi nANiANiN i Annnnlog ) 1 log(log ) 1 log() 1 () 1 ( + + + +) 1 log(logiANn+2 Para o clculo da taxaniNA) 1 ( +nnnANiANiN i A + + +1) 1 () 1 (1 nANiExemplo:Qual ovalor atual deR$1.200,00, a3%aoms, paga4mesesantesdo vencimento?EXERCCIOS1. Dequantotempofoi antecipadoopagamentodeumttulode R$154.000,00sea9%aoano, oseuvalor sofreuumareduode R$ 28.500,00?R: 3 anos2. A que taxa foi descontada uma dvida de R$ 50.000,00 que sendo paga 5 anos antes do vencimento se reduziu a R$ 37.362,96?R: 6% ao ano3. Assumi uma dvida que, a juros compostos equivale aR$ 20.000,00. Pagando-a, porm , 2 anos antes do vencimento, obtive um desconto de 6% ao ano. Quanto desembolsei?R: R$ 17.779,934. Uma dvida de R$ 60.000,00 foi descontada 3 anos antes do vencimento, a 5% ao ano. Em quanto importou o desconto?R: R$ 8.169,745. Qual o valor atual de R$ 20.000,00, exigvel daqui a 10 anos, descontados a 10% ao ano?R: R$ 7.710,876. Calcular o valor atual, a 5% ao ano, de R$ 1234,10 pagos 4 anos, 3 meses e 20 dias antes do vencimento. (Use conveno exponencial).R: R$ 1.000,2727. Um ttulo de R$ 50.000,00 pago 6 anos antes do vencimento, sofreu um desconto de 5,4% ao ano. Calcular o desconto.R: R$ 13.530,798. Dequantotempo foi antecipadoopagamentode R$37.038,90 sabendo que, descontado a 4,5% ao ano, o seu valor se reduziu a R$ 20.000,00?R: 14 anos9. A que taxasedescontouumttulodeR$ 25.600,00que pago, 3 anos, 4 meses e 5 dias antes do vencimento, se reduziu a R$ 19.800,00?R: 7,98% ao ano10. taxa de 8% ao ano, calcular o valor atual de R$ 20.000,00, pago 4 anos antes do vencimento.R: R$ 14.700,60Equivalncia de Capitais DiferidosAoestudar jurosedescontossimples, viu-sequedoisoumaiscapitais, realizveis em datas distintas, so equivalentes se, na poca, seus valores atuais foremiguais. Entretantopelosistemadecapitalizaocompostausual (juros compostos e desconto composto real), a equivalncia dos capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, pois se dois capitais forem equivalentes em uma certa poca, eles o sero em qualquer outra.Para levar o capitalAda poca 1 para a poca 6, basta que o multipliquemos por 5 5) 1 ( u i + , pois capitalizamos o valorApor 5 perodos. Se quisermos voltar o capitalM da poca 7 para a poca 3, teremos de multiplic-lo por 44) 1 (1vi+pois estamos descapitalizando o valor M por 4 perodos.Exemplo:1. Uma pessoa, devedora de um ttulo de valor nominalR$ 1.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dvida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de dois anos. Estabelecendo a taxa de 18%aoanocomcapitalizaessemestraisparaodesconto, calcular o valor desses pagamentos.30 1 2 3 4 5 6 7A5Au4MvMnnni C Mi NiNA) 1 () 1 () 1 (+ + +OBS.:Quandoumdevedor saldaumadvidaantesdoprazocombinado, est diminuindo o risco que corre o seu credor. Assim, justo que o devedor pleiteie uma compensao alm daquela que ele tem por no pagar os juros relativos ao perodo antecipado. Analogamente, quando o prazo aumentado, aumenta tambm o risco do credor e a tambm justo que este tenha uma compensao, alm daquela relativa aos juros do perodo acrescido.Emambososcasos, acompensaoestnamajoraodataxa. Seo devedor vai pagar antecipadamente, pagar com desconto. Quanto maior a taxa, maior o desconto. Quanto maior o desconto, menor a quantia a ser paga. Analogamente, quando o prazo for aumentado e a taxa tambm, o credor receber mais juros do que receberia se a taxa fosse mantida.2. Um advogado fez um emprstimo de R$ 100.000,00 e obrigou-se a pag-lo depois de 10 meses, juntamente com seus juros compostos taxa de 5% ao ms. Quatro meses depois de realizado o emprstimo, o advogado quer modificar a forma de pagamento, propondo pagar R$ 50.000,00 imediatamenteeorestantecomumanicaprestaoaser efetuada4 meses mais tarde. Calcular o valor dessa prestao sabendo que a nova forma de pagamento foi realizada a 6% ao ms.3EXERCCIOS1.Uma empresa contraiu uma dvida de R$ 500.000,00 com um particular que cobra juros bimestrais de 8%. Decorridos 2 bimestres, a empresa pagaR$ 200.000,00 e combina liquidar o saldo restante no final de mais 4 bimestres. Qual o valor do pagamento final?R: R$ 521.339,372Uma firma empreiteira fez um emprstimo, e ficou de pag-lo em duas vezes de R$ 25.000,00 dentro de 4 e 6 meses, a juros de 5% ao ms, passando-se 3 meses a empresa resolve pagar todo o emprstimo, tendo a mesma taxa de desconto. Quanto ela pagar pela dvida?R: R$ 45.405,463. Uma indstria fez umemprstimo e ficou de pagar depois de 5 quadrimestres o montante de R$ 1.000.000,00, tendo os juros sidos contados a 12% ao quadrimestre. Decorrido um quadrimestre, a indstria querliquidaradvidacomdoispagamentosiguais, efetuandooprimeiro imediatamenteeosegundodepoisde2quadrimestres. Qual ovalorde cada pagamento?R: R$ 353.616,874. UmafirmaempreiteirafezumemprstimodeR$200.000,00eficoude pag-lo em duas vezes, dentro de 4 e 6 bimestres, respectivamente, a juros de 10% ao bimestre. Sabendo-se que as prestaes so iguais, qual o valor de cada uma delas?R: R$ 160.322,265. Uma construtora fez um emprstimo de R$ 800.000,00 e combinou pag-lo depois de 5bimestres, juntamente comseus juros taxa de 8%ao bimestre.Quatrobimestres aps ocontrato,a construtora quer saldar a dvidacomtrsprestaesiguaiseconsecutivas, vencendoaprimeira imediatamente. Sabendo-se que a novaformadepagamento foi feitana base de 10% ao bimestre, qual o valor de cada uma das novas prestaes?R: R$ 390.637,076. Uma firma contraiu umemprstimo para pagar do seguinte modo: 1 pagamento depois de um ms no valor de R$ 50.000,00 e o 2 pagamento depois dedois meses novalor deR$100.000,00. Esses pagamentos abrangiam capital mais juros calculados a 7% ao ms. Se a firma modificar aformadepagamento, saldandoodbitocomumanicaprestao4 meses aps a data do contrato primitivo, qual o valor dessa nica prestao, sabendo-se que a nova forma de pagamento foi realizada a 8% ao ms?R: R$ 179.625,607. Foramfeitas asseguintes dvidas: R$20.000,00parapagar emcinco meses com juros a serem capitalizados a 7% ao ms; R$ 30.000,00 para pagar em sete meses com os juros a serem capitalizados a 8% ao ms. Se 3o dbito total fosse pago por duas prestaes iguais, efetuando-as respectivamente, trs meses e seis meses aps a poca do contrato inicial, qual seria o valor de cada uma dessas prestaes, adotando-se a taxa de 9% ao ms?R: R$ 33.875,50EXERCCIOS COMPLEMENTARES1. Na capitalizao composta:a) o montante constante.b) o juro produzido por perodo constante.c) s o capital aplicado inicialmente rende juros, ao fim de cada perodo.d) uma taxa mensal de 15% equivalente a uma taxa bimestral de 30%.e) ojuroproduzidoaofimdecadaperodorenderjuronosperodos seguintes.R: e2. Se um capitalcresce sucessiva e cumulativamente durante trs anos, na base de 10% ao ano, seu montante final :a) 30% superior ao capital inicialb) 130% do valor do capital inicialc) aproximadamente 150% do capital iniciald) aproximadamente 133% do capital inicialR: d3. UmapessoaaplicahojeR$4.000,00e aplicarR$12.000,00daqui a3 meses num fundo que rende juros compostos taxa de 2,6% ao ms. Qual seu montante daqui a 6 meses?R: R$ 17.626,544. Obtenha o montante das aplicaes abaixo, considerando o regime de juros compostos:Capital Taxa PrazoR$ 80.000,00 36% ao ano 2 anosR$ 65.000,00 3% ao ms 1 anoR$ 35.000,00 7% ao trimestre 1 ano e meioR: R$ 147.968,00; R$ 92.674,46 e R$ 52.525,565. Durante quanto tempo um capitaldeve ser aplicado a juros compostos, taxa de 2,2% ao ms para que duplique?R: 32 meses6. Umafbricadetecidosfezumemprstimoparapagarem4prestaes iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 100.000,00 cada, vencendo aprimeiradoismesesapsoemprstimo. Estasprestaesabrangem 3capital maisjuroscalculadosa8%aoms. Se, agora, afbricaquiser saldar a dvida com dois pagamentos iguais, efetuando o primeiro quatro meses aps o emprstimo e o segundo trs meses aps o primeiro, qual o valor de cada um desses novos pagamentos, supondo-se para a segunda transao a taxa de 10% ao ms?R: R$ 256.383,307. Um investidor deseja fazer uma aplicao financeira a juros compostos de 1,5% ao ms, de forma a garantir uma retirada de R$ 10.000,00 no final do 6 ms e outra de R$ 20.000,00 no final do 12 ms, a contar da data da aplicao. Determinar o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses indicados.R: R$ 25.873,178. Um ttulo de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 3 anos, vai ser substitudo por dois ttulos, de mesmo valor nominal, vencveis em 2 e 5 anos respectivamente. Calcular o valor nominal destes ttulos, sabendo-se que os juros so de 12% ao semestre e o desconto de 10% ao semestre.R: R$ 433,489. Uma empresa toma um emprstimo de R$ 5.000,00 por 3 anos, com juros de 18% ao ano, capitalizado trimestralmente. Aps algum tempo, o devedor prope saldar a dvida com 3 pagamentos anuais iguais, realizveis no fim do 2, 3 e 4 anos, respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos, sabendo-sequeataxadedescontoempregadade16%aoano, com capitalizaes semestrais.R: R$ 2.821,8010. Uma empresa toma um emprstimo de R$ 20.000,00 por 3 anos, com juros de18%aoanocapitalizadotrimestralmente. Umanoaps, aempresa prope pagar R$ 10.000,00 imediatamente e liquidar o saldo no fim de 4 anosapartirdestadata. Calcularovalordessepagamento, sabendo-se que a taxade desconto empregada de 20% aoano com capitalizao semestral.R: R$ 27.431.3111. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissria de R$ 10.000,00 vencida h trs meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de R$ 50.000,00 com cinco meses a decorrer at seu vencimento. Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essasduasnotaspromissrias, levandoemconsideraoumataxade 1,2% ao ms, juros compostos, e assumindo os meses com 30 dias.R: R$ 57.469,3912. Uma empresa contraiu um emprstimo a juros compostos de 1,2% ao ms, para ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguaisdeR$100.000,00. Esseemprstimo, entretanto, podeserquitado com um nico pagamento no valor de R$ 197.755,02. Determinar no final 3de que ms deve ser feito esse pagamento para que a taxa de 1,2% ao ms seja mantida.R: 8 ms13. Uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em uma poupana. Dois meses depois, depositamaisR$2.500,00e, doismesesdepoisdesseltimodepsito, realiza uma retirada de R$ 1.300,00. Qual ser o saldo da poupana ao fim do quinto ms, considerando que a taxa de juros compostos ganha de 15% ao ms?R: R$ 6.329,903CAPTULO IIITAXAS DE JUROSUma vez definida a forma de capitalizao, torna-se necessria uma definio rigorosa do tipo de taxa de juros com que se quer trabalhar. Diferentes operaes financeiras usamdiferentes tipos de taxas. Existemtaxas para descontos de duplicatas, taxas para cartes de crdito, taxas para financiamento decurtoprazo, taxas parafinanciamentodelongoprazo, taxas mnimas de retorno exigidas para diferentes tipos de investimentos, etc.Tendo em vista que toda a Matemtica Financeira tem como insumo bsico a taxa de juros, sua especificao rigorosa fundamental para que se obtenham os resultados desejados. Contudo, qualquer que seja o tipo de operao financeira deinteresse, ataxadejurosenvolvidapoderser especificadaemumadas seguintes formas: taxa nominal ou taxa efetiva.Taxa NominalNo regime de juros compostos, uma taxa dita nominal quando o perodo em que a taxa est sendo referenciada no coincide com o perodo em que sua capitalizao est sendo referenciada.Exemplo: 24% ao ano, com capitalizao mensal, uma taxa nominal.Ataxa de juros nominal a taxa mais comumente encontrada nas operaes financeiras. Contudo, apesar desuaproliferaonos contratos de financiamento, elaaparentemente, podeconduzir ailusessobreoverdadeiro custo da transao financeira. No exemplo acima, um leigo poderia, em princpio, imaginar um custo efetivo de capital anual da ordem de 24%, o que seria incorreto, pois 2% ao ms capitalizado durante 12 meses produziriam um resultado maior do que24%aoano. Nessecaso, osclculosfinanceirosdevemserfeitostendo como base a taxa de 2% ao ms.Exemplo numrico: Considerando um capitalde R$ 100,00, aplicado a 20%ao ano, pelo perodo de 1 ano, com capitalizao semestral, vamos calcular o seu montante pelo regime de capitalizao composta.30 1 2 semestresJ = R$ 10,00 J = R$ 11,00R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 121,0010% 10%Os juros realmente pagos no ano so de 21%.A taxa de 20% ao ano nominal.Taxa EfetivaUma taxa de juros dita efetiva se o perodo emque ela estiver referenciada for coincidente com o perodo de capitalizao.Exemplo: 5% ao ms, capitalizado mensalmente10% ao trimestre, capitalizado trimestralmentecomumnocasodetaxasefetivas, noseespecificar operodode capitalizao, ou seja, as taxas acima poderiam ser especificadas como uma taxa efetiva de 5% ao ms ou uma taxa efetiva de 10% ao trimestre. importante notar que essa taxa apresenta, sem subterfgios, o verdadeiro custo da operao financeira realizada.Operaes com TaxasTaxas ProporcionaisDuas taxas so ditas proporcionais quando se indiferente quanto a efetuar os clculos financeiros num perodo qualquer, usando-se uma taxa r, ou num outro perodo kvezes menor que o anterior, usando-se uma taxa r/k, e repetindo-se a aplicao porkperodos. Assim, a taxa proporcional muito comum quando se est trabalhando sob o regime de juros simples.Exemplo: No regime de juros simples um capital aplicado por 1 ano a uma taxade24%aoano(r) produziriaomesmoresultadoquandoessemesmo capital fosse aplicado a uma taxa de 2% ao ms ( ki) por um perodo de 12 meses ( k ), isto :,k kikri er so taxas proporcionais12% ao ano, proporcional a 6% ao semestre5% ao trimestre, proporcional a 20% ao anoTaxas EquivalentesDuastaxassoequivalentesquando, referindo-seaperodosdetempo diferentes, fazemcomqueumcapital produzaomesmomontante, emmesmo intervalo de tempo.3Exemplo: 1,39% ao ms equivalente a 18% ao anoNo caso especfico de juros simples, verifica-se que as taxas proporcionais definidas anteriormente so tambm equivalentes.Clculo da taxa equivalenteSeja:i= taxa anualk=nmero de perodos de capitalizao por anoki = taxa equivalente ai Considerando um capital C = 1 aplicado durante 1 ano, tem-se:) 1 (1i C M + kki C M ) 1 (2+ Para que as taxas kiei sejam equivalentes, os montantes devem ser iguais, logo:kkkki ii C i CM M) 1 ( 1) 1 ( ) 1 (2 1+ ++ +kki i + + 1 11 ) 1 ( + k k i i 1 1 + k k i iExemplos:1. Qual a taxa semestral equivalente a 20% ao ano?2. Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre?Taxas Proporcionais X Taxas EquivalentesAs taxas de juros proporcionais e equivalentes so obtidas, respectivamente, nos regimes de juros simples e compostos.Atabelaseguinteapresentaumacomparaodediversastaxasanuais, proporcionais e equivalentes a determinadas taxas mensais, com a finalidade de mostrar as diferenas entre as taxas anuais obtidas a juros simples (proporcionais) 3e a juros compostos (equivalentes) medida que as taxas de juros aumentam de valor.Taxas anuais proporcionais e equivalentesTaxas efetivas mensais Taxas anuais proporcionaisJuros SimplesTaxas anuais equivalentesJuros Compostos1,00% 12,00% 12,68%3,00% 36,00% 42,58%5,00% 60,00% 79,59%7,00% 84,00% 125,22%10,00% 120,00% 213,84%12,00% 144,00% 289,60%15,00% 180,00% 435,03%20,00% 240,00% 791,61%ConclusoNeste captulo foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxas de juros. Destacamos os seguintes pontos: A taxa efetiva a utilizada nos clculos financeiros, a juros compostos. A taxa nominaltem uma taxa efetiva implcita em seu enunciado, que depende do nmero de perodos de capitalizao. Taxas proporcionais so taxas de juros que permitemo mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros simples. Taxas equivalentes so taxas de juros permitem o mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros compostos.EXERCCIOS1. Qual a taxa trimestral equivalente a 6% ao ano?R: 1,4674% ao trimestre2. Qual a taxa mensal equivalente a 36% ao ano?R: 2,5955% ao ms3. Acadernetadepoupanapagajurosde6%aoano, comcapitalizaes mensais. Qual a taxa efetiva de juros?R: 6,1678% ao ano4. Um ttulo rende juros de 12% ao ano com capitalizaes trimestrais. Qual a taxa efetiva de juros?3R: 12,55% ao ano5. Calcular a taxa mensalproporcional e a taxa mensal equivalente a 24% ao ano.R: 1,8088% ao ms6. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao ms.R: 26,82% ao ano7. O capital de R$ 500,00 foi colocado ajurosde 20% ao ano capitalizado trimestralmente. Calcular o montante no fimde 2 anos e 8 meses empregando a taxa anual efetiva.R: R$ 841,378. Uma instituio financeira paga juros de 24%ao ano, capitalizado trimestralmente. Qual a taxa efetiva?R: 26,2477% ao ano9. Um capital foi aplicado a 1,5% ao ms. Qual a taxa anual equivalente?R: 19,5618% ao ano10. Determinar a taxa diria equivalente taxa de 6% ao semestre.R: 0,03237% ao dia4CAPTULO IVRENDASNas aplicaes financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma s vez ou atravs de uma sucesso de pagamentos ou recebimentos.Quando o objetivo constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalizao. Caso contrrio, quando se quer pagar uma dvida, tem-se um processo de amortizao. Pode ocorrer tambm o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortizao, que o caso dos aluguis.ConceitoAsRendasconstituem um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizveisempocasdistintas, destinadosaconstituirumcapital ouamortizar uma dvida.ElementosOspagamentosquepodemser prestaesoudepsitos, constituemos termos (T ou PMT) da renda. Denomina-se n o nmero de termos (pagamentos) e i a taxa unitria dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital seromontantedarenda,queasomados montantesdosseustermos; se, entretanto, o objetivo for amortizar uma dvida, o valor dessa dvida ser o valor atual (ou valor presente), que a soma dos valores atuais dos seus termos.Classificao das rendasAsrendaspodemser certasoualeatrias.Rendascertasoutambm chamadas sries peridicas uniforme, so aquelas em que o nmero de termos, osvencimentoseseusvalorespodemser previamentefixados. Quandopelos menosumdesseselementosnopuder ser determinadocomantecedncia, a renda chamada aleatria.Rendas ''';'Perptuasperidicas NoVariveisCertas RendasDiferidass AntecipadaImediatasConstantesPeridicass Temporria4- quanto ao prazo:a) temporrias: o nmero de termos finito, a renda tem um termo final.b) perptuas: o nmero de termos infinito.- quanto periodicidade:a)peridicas: o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos constante (mensais, semestrais, etc.).b) no peridicas: caso contrrio.- quanto ao valor dos termos:a) constante: todos os termos so iguais.b) varivel: os termos no so iguais entre si.- quanto forma de pagamento ou de recebimento:a) Imediata: quando os termos so exigveis no fim dos perodos.Ex.: Renda imediata de 6 termos mensais de R$ 100,00.b) Antecipada: quando os termos so exigveis no incio dos perodos.Ex.: Renda antecipada de 6 termos mensais de R$ 100,00.c)Diferida:ostermossoexigveisa partirdeuma dataquenooprimeiro perodo, ouseja, arendadiferidaequivaleaumarendaimediataquetemum prazo de carncia entre o valor atual e o incio dos pagamentos.Ex.: Renda diferida de 3 meses, com 6 termos mensais de R$ 100,00.Clculo da Renda Imediata4100 100 100 100 100 1000 6 5 4 3 2 1100 100 100100100 1000 6 543 2 1100 100 100100100 10006 54 32 1203 1carnciaValorAtual:Joocompraumcarro, queirpagarem6prestaesdeR$ 1450,00, sem entrada. As prestaes sero pagas a uma taxa de juros de 2,5% ao ms. Qual o preo do carro vista?Montante: Uma pessoa deposita R$ 100,00 mensalmente. Sabendo-se que ela est ganhando juros de 1,5% ao ms, quanto possuir em 2 anos?Clculo da Renda AntecipadaValor Atual: Uma loja oferece um certo eletrodomstico em 1 entrada e mais 3 prestaes de R$ 85,00. A taxa de juros cobrada pela loja de 2% ao ms. Qual o valor vista do eletrodomstico?Montante:Calcule o valor acumulado por uma pessoa se depositar mensalmente R$ 150,00, com renda antecipada, em um banco que paga 3% ao ms, durante 6 meses.

Clculo da Renda Diferida4Fluxos de Caixa No HomogneosA Calculadora HP-12C dispe das seguintes funes especiais para tratar fluxos de caixa no homogneos, com at 20 parcelas desiguais.Funes Azuisj jN CF CF e ,0Serve para registrar o valor da parcela do fluxo de caixa colocada no onto zero, ou seja, o valor do principalaplicado ou do investimento inicial. Esse valor guardado na memria fixa 0 da calculadora.Serve para registrar os valores das parcelas individuais do fluxo de caixa colocadas nos diversos pontos j, em ordem seqencial. Esses valores so guardados nas memrias ficas de 1 a 9 e de .0 a .9, e esto portanto limitados a 19 parcelas individuais.Serve para registrar o nmero de parcelas individuais CFj de mesmo valor erepetidas seqencialmente. Cadavalor deNj podeser no mximo igual a 99.Funo Amarela NPVServe par calcular o valor presente lquido do fluxo de caixa que tiver sido registrado na HP-12C pelas funes CFo, CFj e Nj.Valor Atual:Umalojademateriaisdeconstruoofereceumdeterminado produto em 4 parcelas de R$ 60,00, o primeiro pagamento vence em 60 dias. Qual o valor atual se os juros so de 2% ao ms? 4CFoCFjNjNPVEXERCCIOS1. Um televisor em cores custa R$ 1.050,00 vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestaes mensais taxa de 3% ao ms. Calcular a prestao a ser paga pelo comprador. R: R$ 123,092. Um tapete persa vendido por R$ 3.000,00 vista. Pode ser adquirido em prestaes mensais de R$ 481,52, a juros de 3% ao ms. Sabendo que as prestaes vencem a partir do ms seguinte ao da compra, pede-se para calcular o nmero de prestaes.R: 73. Qual o preo vista de um televisor em cores que ofertado nas seguintes condies: 6 pagamentos de R$ 225,00 sem entrada, sendo a taxa de juro praticada pelo comerciante igual a 4% ao ms?R: R$ 1.179,484. UmcarroestvendaporR$4.000,00deentradamais24prestaes mensais de R$ 894,60. Como opo, a agncia vende em 36 prestaes mensaisdeR$645,26, sendonestecasoexigidoumaentradadeR$ 4.800,00. Qual amelhoralternativaseataxadomercadoforde3%ao ms?R: R$ 19.150,54 e R$ 18.887,48(melhor opo)5. Qual a importncia que uma pessoa acumula ao fim de 1 ano se depositar mensalmenteaimportnciadeR4850,00numacadernetadepoupana que rende 1,5% ao ms?R: R$ 11.085,036. Umaimobiliria, especializadanavendadeapartamentos usados, pe venda uma kitchenette por R$ 15.000,00 vista ou em 12 vezes, com uma entradade30%. Qual ovalor daprestaomensal?Considerar ataxa anual de 12%.R: R$ 932,917. O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depsitos de R$ 200,00 em um banco que paga 2% ao ms, sobre o saldo credor, comrenda antecipada. Este dinheiro se destina ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual ser o montante acumulado?R: R$ 10.606,858. A quantia de R$ 56.000,00 foi financiada para pagamento em 8 prestaes mensais e iguais no valor de R$ 8.490,00 sem entrada. Qual a taxa de juros envolvida neste financiamento?R: 4,5% ao ms9. Uma lojade aparelhos de som oferece, numacampanha publicitria, um determinado equipamento em3 parcelas de R$ 300,00, o primeiro pagamento vence em 90 dias. Qual o valor atual se os juros so de 3% ao ms? R: R$ 799,87410. Uma dvida de R$ 4.321,93 vai ser resgatada com15 prestaes trimestrais, diferidas de 6 meses. Calcular o valor das prestaes, sabendo-se que a taxa de juros de 24% ao ano.R: R$ 500,0011. Quanto se deve aplicar no incio de cada ms para, em 5 anos a 12% ao ano, constituir o montante de R$ 10.000,00? OBS.: Renda antecipada.R: R$ 121,2312. Uma mquina vendidaem10prestaes mensais antecipadasdeR$ 1.200,00. Sendo os juros de 1,5% ao ms, qual o valor vista da mquina?R: R$ 11.232,6213. Umapessoadeposita, numainstituiofinanceira, aimportnciadeR$ 200,00. Calcular o montante no fim de 5 anos, sabendo-se que os juros so de 20% ao ano, capitalizado semestralmente, com renda imediata.R: R$ 3.187,4814. Umapessoacompraumobjetodeartepor R$5.000,00com20%de entrada e o saldo em 4 prestaes anuais a juros de 12% ao ano. Calcular o valor da prestao.R: R$ 1.316,9415.Uma empresa toma um emprstimo de R$ 10.000,00 a 10% ao semestre. Sabendo-sequeoresgatedeveser feitoem10prestaessemestrais imediatas, com 2 anos de carncia, calcular o valor das prestaes.R: R$ 2.382,7516. Um emprstimo no valor de R$ 5.892,70 ser pago em parcelas trimestrais imediatas deR$1.000,00, comjuros de4,5%aotrimestre. Calculeo nmero de pagamentos a serem realizados.R: 717. Calcular o valor de cada mensalidade necessria para liquidar em 3 anos umemprstimodeR$800.000,00, comjurosde6%aomserenda imediata.R: R$ 54.715,8718. Calcular o valor de cada prestao mensal necessria formao de um montante de R$ 800.000,00 em 3 anos com juros de 6% ao ms e renda imediata.R: R$ 6.715,8719. Em uma financeira foi feito um Crdito Direto ao Consumidor no valor de R$ 3.000,00 para pagamento em 6 parcelas mensais de R$ 586,90 vencendo a primeira, um ms aps a concesso do emprstimo. Qual foi a taxa de juros cobrada ao ms?R: 4,779% ao ms20. Um emprstimo de R$ 1.000.000,00 deve ser pago por prestaes mensais deR$200.000,00cada. Calcular onmerodeprestaesnecessrias, supondo-se uma taxa de juros de 7% ao ms.R: 7421. Calcular o valor de cada mensalidade necessria para liquidar em 3 anos um emprstimo de R$ 800.000,00 a 6% ao ms de juro e renda antecipada.R: R$ 51.618,7422. Calcular o valor de cada prestao mensal necessria formao de um montantedeR$200.000,00em5anos, ajurosde2%aomserenda antecipada.R: R$ 1.719,2123. Um emprstimo de R$ 2.800,00 ser pago em 8 prestaes mensais de R$ 400,00. Qual foi a taxa de juros cobrada ao ms, com renda imediata?R: 3% ao ms24. No pagamento deum terreno,prope-se pagar prestaes bimestraisde R$ 100.000,00, vencendo a primeira no fim de 1 ano aps a compra e a ltima no fim de 2 anos e meio aps a compra. taxa de 9% ao bimestre, qual o valor atual do terreno?R: R$ 417.103,724CAPTULO VPLANOS DE AMORTIZAOAamortizaoumprocessofinanceiropeloqual umadvidapaga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao trmino do prazo estipulado o dbito seja liquidado. Essas parcelas so a soma de duas partes: a amortizaooudevoluodoprincipal emprestadoeosjuroscorrespondentes aos saldos do emprstimo ainda no amortizado.Essa separao permite discriminar o que representa devoluo do capital (amortizao) do que representa servio da dvida (juros). Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortizao de emprstimos temos:a. Sistema de Amortizao Constante (SAC)b. Sistema de Amortizao Francs (PRICE)c. Sistema de Amortizao Crescente (SACRE)a) Sistema de Amortizao Constante (SAC)No Sistema de Amortizao Constante, o devedor vaipagar a dvida por meio de prestaes peridicas que englobam juros e amortizao. As prestaes so decrescentes, pois a quota de amortizao constante em todas elas e os jurosdecrescememfunodosaldodevedor, quediminui acadapagamento realizado.Obtm-seaquotadeamortizaodividindoovalor doemprstimopelo nmero de pagamentos.npq prestaes de nmero n emprstimo do valorpo amortiza de quota qExemplos: 1) Elaborar a planilha de amortizao para o seguinte financiamento:- valor do financiamento: R$ 200.000,00- prazo: 4 meses- taxa: 10% ao ms4PRESTAO = AMORTIZAO + JUROSn Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)01234T2) Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carncia para o incio dos pagamentos, que os juros sero pagos anualmente, que a taxa de juros de 10% ao ano e que o principal ser amortizado em4 parcelas anuais; construir a planilha de amortizao.n Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)01234567Tb) Sistema de Amortizao Francs (PRICE)Por este sistema o devedor obriga-se a devolver o principal mais os juros emprestaesiguaisentresi eperidicas. Estespagamentossoconstitudos dos juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortizao. Como os pagamentos so todos do mesmo valor, medida que eles vo sendo realizados, os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortizao so progressivamente maiores. Este sistema o mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral.Exemplos:Sem prazo de carncia4a) Um emprstimo de R$ 200.000,00 ser pagoem 4 prestaes mensais. A juros de 10% ao ms, construir a tabela de amortizao.n Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)01234TCom prazo de carncia e juros pagos nesse perodob) UmemprstimodeR$100.000,00serpagoem5prestaesanuais, sendo quehuma carncia de 3 anos para oincio dos pagamentos.A uma taxa de juros de 10% ao ano, construir a tabela de amortizao.n Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)012345678TCom prazo de carncia e juros capitalizados e incorporados no capitalc) Um emprstimo de R$ 100.000,00 ser pago em 5 prestaes anuais, sendo que h uma carncia de 3 anos para o incio dos pagamentos.A uma taxa de juros de 10% ao ano, construir a tabela de amortizao.5n Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)012345678TTabela PriceBasicamente a Tabela Price um caso particular do Sistema de AmortizaoFrancs,em queataxadejurosdadaemtermosnominais(na prtica dada em termos anuais) e as prestaes tm perodo menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, em base mensal).Nesse sistema, o clculo das prestaes feito usando-se a taxa proporcional.A calculadora HP-12C calcula amortizao de acordo com a tabela Price. possvel assim, determinar osjurospagoseadvidaamortizadaemumdado perodosemaelaboraodaplanilhadefinanciamento, usandoasseguintes teclas:Exemplo: Para comprar um apartamento uma pessoa faz um emprstimo bancrio de R$ 40.000,00 aser pagoem60meses, aumataxanominal de15%aoano, capitalizadamensalmente. Calculeovalor dasprestaes, dosjuroseototal amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos separadamente.5famortxyRCL PVTotal de juros pagos no perodo introduzido imediatamente antes.Pressionado aps o clculo dos juros mostra o principal j amortizado.Mostra o saldo devedor.c) Sistema de Amortizao Crescente (SACRE)O Sistema de Amortizao Crescente (SACRE) foiadotado recentemente pelo SFH na liquidao de financiamentos da casa prpria. O SACRE baseado no SAC e no PRICE, j que a prestao igual mdia aritmtica calculada entre as prestaes desses dois sistemas, nas mesmas condies de juros e prazos.Exemplo:Uma dvida de R$ 100.000,00 ser amortizada por meio do SACREem5 prestaes semestrais, taxade20%aosemestre. Construir aplanilhade financiamento.SACn Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)012345TPRICEn Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)012345TSACREn Saldo devedor(R$) Quota de amortizao(R$) Juro(R$) Prestao(R$)012345T -5Sistema de amortizao com correo monetria:Como os emprstimos para a compra da casa prpria so feitos por prazos muito longos (10, 15 anos) e o nosso pas convivia h muito tempo com uma alta taxadeinflao, todososfinanciamentosdoSistemaFinanceirodeHabitao contm correo monetria.Tempos atrs se transformava o valor do financiamento emORTNs (Obrigaes Reajustveis do Tesouro Nacional) e a ORTN tinha correo monetria, ento quando queria se saber o valor da dvida multiplicava o valor da ORTNpeladvidaqueestavatransformadaemmoeda. ComoasORTNsno existem mais, vamos dar o exemplo com correes trimestrais iguais, tanto sobre o saldo devedor quanto sobre a prestao.Exemplo:Aplicaremos a correo trimestral para um emprstimo hipotecrio concedido pela Caixa Econmica Federal no dia 05/01/2004 no valor de R$ 200.000,00. O esquema de pagamento obedece a tabela Price, a juros de 12% ao ano e prazo de 1 ano. Montemos a planilha de financiamento, com correes monetrias de: 2,5%no1 trimestre; 2,3%no2 trimestre; 2,4%no3 trimestree2no4 trimestre.Datas Prestao(R$) Juros(R$) Amortizao(R$) Saldo devedor(R$)5EXERCCIOS1. UmbancoemprestouaseuclienteR$25.000,00paraser amortizado segundo o Sistema Americano pelo prazo de 7 meses, com taxas iguais a 3%aomsparaemprstimoe2%aomsparaaplicao. Construao plano de amortizao.R:Prestao = R$ 3.362,802. Paraumprojetodeexpanso, aempresaPesqueirosLtda., obtmum financiamento de R$ 50.000,00 nas seguintes condies:a) taxa de juros: 8% ao ano, com pagamentos semestrais;b) sistema SAC;c) prazo de amortizao: 4 anos.Construir a planilha de financiamento.R: Quota = R$ 6.250,003. Uma empresa empresta de um banco R$ 75.000,00 para pagar segundo o SAC, uma taxa anual de 15%, com pagamentos mensais. Como benefcio aempresarecebe5mesesdecarnciae1anoparasaldar advida. Construa a planilha de amortizao.R: Quota = R$ 6.250,004. Uma empresa adquiriu um imvel no valor de R$ 120.000,00 pagando 25% vista e resgatando o saldo em 8 prestaes trimestrais iguais, com juros de 10% ao trimestre.Sabendo-se que foiutilizado o Sistema Francs de amortizao, construir a planilha de amortizao.R: Prestao = R$ 16.869,965. Uma indstria tomou emprestados R$ 2.000.000,00 concordando em saldar o dbito em 8 pagamentos a juros efetivos de 36% ao ano, pelo Sistema Price. Pede-se calcular:a) a prestao anual;b) o saldo devedor logo aps o pagamento da 6 prestao;c) a amortizao do quarto ano.R: a) R$ 787.268,47;b) R$ 1.004.516,44;c) R$ 169.210,896. Uma dvida de R$ 1.500.000,00 contratada a juros de 36%ao ano, capitalizadostrimestralmente, seramortizadapelaTabelaPriceemoito anos por meio de pagamentos trimestrais. Pede-se determinar:a) o saldo devedor ao fim do 3 ano;b) o saldo devedor ao trmino do 14 trimestre;c) a distribuio do 20 pagamento em juros e amortizao da dvida;d) o total de juros pagos no perodo.R: a) R$ 1.315.827,64; b) R$1.262.073,27; c) R$ 97.127,49 e R$ 47.016,78; d) R$ 3.112.616,9357. Um financiamento de R$ 100.000,00 ser pago pelo Sistema Price em oito parcelasmensaisa72%aoanocomcapitalizaomensal. Calcular os juros embutidos na 6 prestao.R: R$ 2.582,718. Um financiamento de R$ 2.000.000,00 ser pago pela Tabela Price em 18 parcelas mensais a juros de 10 ao ms. Pede-se, calcular:a) o valor da prestao;b) a soma das amortizaes dos 3 primeiros meses;c) a amortizao introduzida pela 13 prestao.R: a) R$ 243.860,44;b) R$ 145.178,07;c) R$ 137.652,869. Umcapital de R$ 800.000,00 dever ser amortizado em8 parcelas trimestraisajurosde12%ao ano. Elaborarasplanilhas deamortizao pelos sistemas: Price, SAC e SACRE. Faa uma anlise comparativa entre os trs sistemas.5CAPTULO VIDEPRECIAOOs bens que constituemo ativo de uma empresa esto sujeitos constantes desvalorizaes, devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. A diferena entre o preo de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo, chama-se depreciao.A depreciao pode ser terica ou real. A depreciao real aquela que corresponde diferena entre os valores do bem no incio e no fim de um perodo. A depreciao terica baseada em previses do tempo de vida til do bem e de seu valor residual.A depreciao real praticamente impossvelde se calcular, pois a cada perodo deveria ser feita uma avaliao total do bem. Na prtica usa-se a depreciao terica.Os principais mtodos utilizados para o clculo da depreciao so:a) Mtodo Linear;b) Mtodo da Taxa Constante;c) Mtodo das Taxas Variveis;d) Mtodo de Cole.A aplicao de um ou outro desses mtodos depende do administrador, da empresa, do bem que se est depreciando e de outros fatores particulares.Plano de depreciao: umquadro que apresenta, no fimde cada perodo, a quota de depreciao, o valor dofundodeprovisoparadepreciaoeovaloratual do bem.Exemplo Padro:Construir o plano de depreciao de uma mquina que custa R$ 4.000,00 e tem vida til de 5 anos, com R$ 500,00 de valor residual.5a)Mtodo LinearEste o mais utilizado na prtica, devido a sua simplicidade. Consiste em dividir o total a depreciar pelo nmero de anos de vida til do bem.n Quota de Depreciao(R$) Fundo de Depreciao(R$) Valor Atual(R$)012345b) Mtodo da Taxa ConstanteConsisteemestabelecer umataxaconstantededepreciao, aqual calculada sobre o valor do bem no fim de cada perodo.n Quota de Depreciao(R$) Fundo de Depreciao(R$) Valor Atual(R$)012345c) Mtodo das Taxas VariveisConsisteemdeterminarumataxamdia edistribuir asdemaisem torno dela, de maneira que forme uma progresso aritmtica (crescente ou decrescente), cuja soma dos termos seja igual a 100%.Frmulas da P.A.:2) ( 1 n a a nS+ r n a an ) 1 ( 1 + 5n Taxa (%)Quota de Depreciao(R$)Fundo de Depreciao(R$)Valor Atual(R$)012345OBS.: As taxas incidem sobre o saldo a depreciar (R$ 3.500,00)d) Mtodo de ColeConsisteemdividir ototal dadepreciaoemfraes, taisqueonumerador expresse os perodos que faltam para o final da vida til do bem e o denominador represente o somatrio dos perodos.Fraes = n nnnnnn+ + + + + ++ + ++ + + ... 2 11;...;... 2 12;... 2 11;... 2 1n Frao Quota de Depreciao(R$)Fundo de Depreciao(R$)Valor Atual(R$)OBS.: As fraes multiplicam o saldo a depreciar (R$ 3.500,00).5EXERCCIOS1. Um equipamento no valor de R$ 2.000,00 ter valor residual de R$ 400,00, aps 5 anos. Fazer o plano de depreciao pelo mtodo linear.2. Uma mquina comprada por R$ 6.000,00 ter valor residual de R$ 600,00 aps 8 anos de uso. Fazer o plano de depreciao da mquina pelo Mtodo Linear.3. Umequipamentoadquiridopor R$500,00tervalor residual R$100,00 aps 6 anos de uso. Fazer o plano de depreciao desse equipamento pelo mtodo da taxa constante.4. Uma mquina, cuja vida til de 8 anos, foi comprada por R$ 4.000,00 e ter valor residual de R$ 1.200,00. Fazer o plano de depreciao empregando o mtodo da taxa constante.5. Um equipamento no valor de R$ 2.000,00 ter valor residual de R$ 400,00 aps 5 anos. Fazer o plano de depreciao do equipamento empregando o mtodo das taxas variveis decrescentes.6. Um equipamento que custou R$ 1.000,00 ser depreciado em 5 anos pelo mtododastaxasvariveiscrescentes. Fazer oplanodedepreciao, sabendo-se que o valor residual desse equipamento ser de R$ 2.000,00.7. Uma mquina de R$ 1.000,00 ter valor residual, aps 5 anos de uso, de R$ 600,00. Elaborar o seu plano de depreciao pelo Mtodo de Cole.8. Uma instalao industrial foi construda por R$ 9.000,00 e ter valor residual nulo aps 10 anos. Fazer o plano de depreciao pelo Mtodo de Cole.5CAPTULO VIIENGENHARIA ECONMICAUm investimento, para a empresa, um desembolso que feito visando gerarumfluxodebenefciosfuturos, usualmentesuperioraumano. Hoje, em funo da prpria dinmica dos negcios, as tcnicas de anlise de investimentos estosendousadas tantoparainvestimentos deporte, associados alongos horizontes de planejamento, como tambm para operaes de curto prazo, como por exemplonasdecisesrotineirassobrecomprasavistaversuscomprasa prazo.Adecisodefazer investimentodecapital partedeumprocessoque envolve a gerao e avaliao das diversas alternativas que atendams especificaes tcnicas dos investimentos. Aps relacionadas as alternativas viveis tecnicamente que se analisar quais delas so atrativas financeiramente.D se o nome de engenharia econmica ao conjunto dos mtodos utilizados nas anlises de investimentos e das tcnicas empregadas na escolha da melhor alternativa.Surge um problema de engenharia econmica quando se deseja investir um capital ou ocorre a necessidade de se comprar um bem de capital. Em ambos os casos, todas as alternativas tecnicamente viveis para o investimento devem ser analisadas. Um estudo de engenharia econmica compreende:- um investimento a ser realizado;- enumerao das alternativas tecnicamente viveis;- anlise de cada alternativa;- comparao das alternativas;- escolha da melhor alternativa.Taxa de AtratividadeA taxa de atratividade de um investimento a taxa mnima de juros por que convm o investidor optar em determinado projeto de investimento.Corresponde, na prtica, taxa oferecida pelo mercado para uma aplicao de capital, como a caderneta de poupana, Open Market, depsitos a prazo fixo, etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicao de capital, ele no ser atrativo ao investidor.As tcnicas de anlise de investimentos podem ser subdivididas em dois grandegrupos, quais sejam: tcnicasqueservemparaselecionar projetos e tcnicas que servempara gerar indicadores adicionais para os projetos j 6selecionados. NaprimeiracategoriaestooschamadosMtodosRobustosde Anlise de Alternativas de Investimentos, quais sejam: Mtodo do Valor Presente Lquido (VPL); o Mtodo do Valor Presente Lquido Anualizado (VPLA). Na segunda categoria esto os chamados mtodos classificatrios ou de corte, como, por exemplo, Mtodo da Taxa Interna de Retorno (TIR); Mtodo do ndice Benefcio/Custo(IBC); MtododoPerododeRecuperaodoCapital (Pay Back)e Mtodo do Pay-Back Descontado.Exemplo Padro:Vamos supor que tenhamos deescolher qual amelhor alternativade investimentos, entretrs projetos (A, BeC). Ataxamnimadeatratividade considerada ser de 10% ao perodo. Os dados relevantes para a anlise esto no quadro que segue:Perodo Projeto A Projeto B Projeto C0 -42.000 -50.000 -20.00018.000 20.0008.00029.500 10.0006.0003 10.500 10.0006.0004 14.500 15.0004.0005 16.500 15.0004.0001. Perodo de Recuperao do Capital (Pay-Back)Umindicador bastanteusadonoprocessodeseleodeprojetoso PerododeRecuperaodoInvestimentoouPay-Back, isto, onmerode perodos necessrios (tempo) para se recuperar o investimento realizado.Projeto Perodo Recuperado recuperarABC6Autilidade de conhecer o Pay-Back que ele pode ser interpretado tambm como uma medida do grau de risco do projeto. As incertezas associadas a um projeto tendem a aumentar medida que as previses das receitas e dos custos seafastamdadatafocal zero. Nessesentido, oPay-Back podeser utilizado paramensurar o riscoassociadoaoprojeto,istoquantomaiorforo Pay-Backmais incerto estar a recuperao do capital.AsduasprincipaisfragilidadesdoPay-Backresidemnofatodeeleno considerar o valor do dinheiro no tempo (isto tambmpode ser facilmente corrigido) e de desconsiderar tudo o que acontece aps o perodo de recuperao. Essa ltima restrio penaliza todos aqueles projetos que tenham receitas iniciais pequenas, porm crescentes ao longo da vida do projeto.2. Pay-Back DescontadoEste mtodo uma particularidade do mtodo Pay-Back, onde necessrio calcular quantos perodos decorrero at que o valor presente dos fluxos de caixa previstos se iguale ao montante do investimento inicial.Projeto Perodo Recuperado Recuperado Atual recuperarABC63.Valor Presente Lquido (VPL)O Mtodo do Valor Presente Lquido (VPL) uma tcnica que serve para selecionar projetos; como o prprio nome indica, nada mais do que a concentrao de todos os valores esperados de um fluxo de caixa na data zero. Considera-se um investimento como atrativo quando VPL > 0.PROJETO APROJETO BPROJETO C6012 4 3 5-42.0008.000 9.50010.500 14.500.00016.500012 4 3 5-50.00020.000 10.000010.000 15.000.00015.000012 4 3 5-20.0008.000 6.00006.000 4.0004.0004. Valor Presente Lquido Anualizado (VPLA)O Mtodo do Valor Presente Lquido Anualizado (VPLA), tambm conhecidocomoMtododoValor Anual UniformeEquivalente(VAUE), mais uma variao do Mtodo do Valor Presente Lquido. Enquanto no Mtodo do VPL todos os valores do fluxo de caixa so concentrados na data zero, no Mtodo do VPLA o fluxo de caixa representativo do projeto de investimento transformado em uma srie uniforme.PROJETO APROJETO BPROJETO C5. ndice Benefcio/Custo (IBC)OndiceBenefcio/Custo(IBC) umamedidadequantoseganhapor unidadedecapital investido. AhipteseimplcitanoclculodoIBCqueos recursosliberadosaolongodavidatil doprojetoseriamreinvestidostaxa mnima de atratividade.A anlise do IBC, para efeito de aceitar ou rejeitar umprojeto de investimento, feita emfuno da prpria recuperaodo investimento,isto , IBC igual a 1. Assim, tem-se o seguinte critrio:Se IBC > 1Aceitar o Projeto;Se IBC < 1Rejeitar o Projeto.6Genericamente, o IBCnada mais do que uma razo entre o fluxo esperado de benefcios de umprojeto e ofluxo esperado de investimentos necessrios para realiza-lo.custos VPLbenefcios VPLIBC6. Taxa Interna de Retorno (TIR)A Taxa Interna de Retorno (TIR), por definio, a taxa que torna o Valor Presente Lquido (VPL) de um fluxo de caixa igual a zero.A regra para decidir se um projeto atrativo financeiramente, utilizando-se a TIR, bastante simples. Se TIR > TMA, ento o projeto vivel, caso contrrio, o projeto ser considerado invivel.PROJETO APROJETO BPROJETO C6012 4 3 5-42.0008.000 9.50010.500 14.500.00016.500012 4 3 5-50.00020.000 10.000010.000 15.000.00015.000Quadro de Resultados:ProjetosMtodo A B C DecisoPay-BackPay-Back DescontadoIBCVPLVPLATIREXERCCIOS1. UmapessoatemasseguintesalternativasparauminvestimentodeR$ 2.000,00.a) receber o retorno de R$ 2.500,00 no fim de 2 anos;b) receber dois pagamentos anuais de R$ 1.200,00;c) receber quatro pagamentos semestrais de R$ 600,00;d) receber vinte e quatro pagamentos mensais de R$ 90,00.Calcular a melhor alternativa, sabendo-se que a taxa mnima de atratividade de 10% ao ano.Alternativa C2. Numa anlise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produo, em decorrncia da utilizao de equipamentos velhos e obsoletos. Os engenheiros responsveis pelo problema propuseram gerncia duas solues alternativas. A primeira, consistindo numa reforma geral da linha exigindoinvestimentosestimadosemR$10.000,00cujoresultadoser uma reduo anual de custos igual a R$ 2.000,00 durante 10 anos, aps os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. A segunda proposta foi a aquisio de nova linha de produo no valor de R$ 35.000,00 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor lquido de 6012 4 3 5-20.0008.000 6.00006.000 4.0004.000revenda foi estimado em R$ 5.000,00. Esta alternativa dever proporcionar ganhos de R$ 4.700,00 por ano, apresentando ainda um valor residual de R$ 10.705,00 aps 10 anos. Sendo a taxa mnima de atratividade para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser a preferida da gerncia.Alternativa A - VPL = 3420,16, TIR = 15,10%, IBC = 1,34Alternativa B VPL = 6495,87, TIR = 12%, IBC = 1,223. A alta administrao de uma empresa recebeu as seguintes solicitaes de investimento de seus vrios departamentos para o oramento de capital do prximo ano.Depto. Investimento (R$)Benefcios estimados por ano (R$)Valor residual (R$)Vida econmicaA 25.000 3.900 5.000 10 anosB 15.000 2.500 nulo 10 anosC 30.000 5.200 nulo 10 anosConsiderando que a empresa s dispe de R$ 60.000,00 para financiar os projetos e que sua taxa mnima de atratividade 8% ao ano, qual deve ser o pacote oramentrio escolhido: A; B;C; A+B; A+C; B+C; A+B+C?DEPARTAMENTO A VPL = 3485,28, TIR = 10,76%DEPARTAMENTO B VPL = 1775,20, TIR = 10,56%DEPARTAMENTO C VPL = 4892,42, TIR = 11,49%4. A proposta C do exerccio anterior corresponde a um projeto de modificao para determinada linha de produo. Antes de ser apresentada alta administrao esta proposta foi comparada internamente no departamento, como um segundo projeto, tecnicamente alternativo apresentado as seguintescaractersticas:Investimento (R$) Benefcios estimados por ano (R$)Valor residual (R$)Vida econmica20.000 3.600 nulo 10 anosConsiderando-se que as duas propostas houvessem sido conduzidas alta administrao para uma deciso neste nvel, como seria afetada a seleo do pacote oramentrio?VPL = 4156,29, TIR = 12,41%65. Agernciademarketingdeumaempresaindustrial estanalisando4 possibilidades para a localizao de uma central de distribuio para seus produtos, cada alternativa exige diferentes investimentos, devido ao preo do terreno, custo de construo e tamanho do depsito necessrio. Tambm so diferentes os valores residuais e redues anuais nos custos dedistribuio. Admitindo-seumperododeutilizaoigual a10anos foram efetuadas as seguintes estimativas:Localizao Investimento necessrio (R$)Reduo anual dos custos (R$)Valor residual (R$)A 28.000 4.600 24.000B 34.000 5.600 28.000C 38.000 6.200 31.000D 44.000 7.200 35.000Sendo a taxa mnima de atratividade para a empresa de 15% ao ano. Determine a localizao mais adequada.LOCALIZAO A VPL = 1018,77, TIR = 15,75%LOCALIZAO B VPL = 1026,27, TIR = 15,63%LOCALIZAO C VPL = 779,09, TIR = 15,43%LOCALIZAO D VPL = 786,60, TIR = 15,37%6. A gerncia de uma fbrica est considerando a possibilidade de instalar uma novamquina. Apropostadeinvestimentoenvolveumgastoinicial deR$ 10.000,00 objetivando uma reduo de custo de ordem de R$ 2.000,00 por ano duranteosprximos10anos. Sendoataxamnimadeatratividadeparaa empresa igual a 10% ao ano, deseja-se saber se o investimento atrativo.VPL = 2289,13, TIR = 15,09%7. Um fazendeiro est considerando a aquisio de um trator para trabalhar em suas terras. Aps uma pesquisa junto a fornecedores, selecionou duas mquinascapazesdeatenderssuasnecessidades. Sobreelasobteveas seguintes informaes:Discriminao Trator X Trator Y- custo inicial R$ 50.000,00 R$ 35.000,00- custo operacional anual R$ 5.000,00 R$ 7.000,00- valor residual R$ 20.000,00 R$ 10.000,00- vida econmica 10 anos 10 anosSe o custo do capital para o fazendeiro de 10% ao ano, qual marca deve sr escolhida?TRATOR X VPL = -73.011,97TRATOR Y VPL = -74.156,5468. A gerncia de certa empresa est considerando a mecanizao de seu servio de embalagem. Atualmente os produtos so acondicionados manualmente a umcustoanual deR$30.000,00. Doistiposdeequipamentoscapazesde executar a mesma funo encontram-se disponveis no mercado, apresentando as seguintes caractersticas:Discriminao Equipamento A Equipamento B- custo inicial R$ 100.000,00 R$ 70.000,00- custo operacional anual R$ 12.000,00 R$ 15.000,00- valor residual R$ 13.000,00 R$ 8.000,00- vida econmica 10 anos 10 anosSendo a taxa mnima de atratividade iguala 12% ao ano, qualequipamento deve ser escolhido?EQUIPAMENTO A VPL = -163.617,02EQUIPAMENTO B VPL = -152.177,569. Um proprietrio, ao vender um imvel, recebe duas propostas:Proposta A: pagamento inicial de R$ 2.000,00 e 12 pagamentos semestrais de R$ 500,00 cada.Proposta B: pagamento inicial de R$ 1.000,00 e 24 pagamentos trimestrais de R$ 300,00 cada.Admitindo que a taxa mnima de atratividade do proprietrio seja de 20% ao ano, calcular qual a proposta mais vantajosa?PROPOSTA A VPL = 5406,85PROPOSTA B VPL = 5139,5910. Compare os valores atuais dos custos das mquinas X e Y, cuja compra considerada por um prazo de 10 anos, utilizando a taxa de juros de 10% ao ano.Discriminao Mquina X Mquina Y- custo inicial R$ 2.500,00 R$ 4.000,00- valor residual R$500,00 R$800,00- manuteno anual R$400,00 R$200,00MQUINA X VPL = -4765,05MQUINA Y -VPL = -4920,4811. Dois planos de investimento esto sendo estudados:Plano A: Exige uminvestimento inicial de R$ 5.000,00 e uminvestimento adicionalde R$ 3.000,00 no fim de 5 anos. O investimento ini