Pro

Estr

CEJA

 

 

 

F

posta: 

rutura pa

A – Ciênc

Iní

Mi

Fecha

Ane

ara os M

cias da N

ício

olo

mento

exos

Materiais 

Natureza

• Títu• Elem• Para

• Seçõespecinstru

• SeçAindo

• O qMeg

didático

a 

ulomentos de oa início de c

ões para descíficos de coucionais (bo

ção de fechda + Bibliog

ue perguntgamente

os impres

Fundaçã

organizaçãoconversa... 

senvolvimenonteúdo + reoxes, image

amento da grafia + Res

tam por aí? 

ssos 

Desenvolvim

ão CECIERJ / 

o prévia (ob(Seção inic

ntos dos tópespectivos ens, atividad

aula + Resuspostas das 

+ Caia na r

mento Instru

Consórcio C

bjetivos)ial)

picos elementos des)

umo + VejaAtividades

rede + 

 

 

 

 

cional 

EDERJ 

 s

Desen Funda

 

SEJ

Disc

Prof

Para

Temprespossum d

Maspensente

Fontehttp://9c.jpg

Fontehttp://%C3%

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

A profissi

ciplina: Ma

fessor: Ra

a início de

mos vários esente. As fisibilidades dado ou m

o que signsar no númender isto n

e: /www.alunosg

e: /4.bp.blogsp%A1lise.jpg

strucional

/ Consórcio CE

ional – No

atemática

aphael Alc

e conversa

exemplos guras acimde escolhais entre o

nifica análimero de ponas próxim

sonline.com.

pot.com/_1Dw

EDERJ

ome da áre

caires

a...

no nosso cma mostrama de uma

outros.

ise combinossibilidademas seções

br/upload/co

wAni7Gkj0/T

| 2 

ea: Matem

cotidiano em alguns eroupa, pos

natória? Paes de realizs.

onteudo_lege

TMhgs2MOZ

mática e su

em que a aexemplos, ssibilidades

ara que sezação de a

enda/609027

FI/AAAAAAA

uas Tecno

análise comcomo sens de result

rve? Você algumas ta

794bf7cc900

AAAWY/tZFr

ologias

mbinatória ha, tados ao jo

já parou parefas? Vam

eb5d2830c2

rGcgra5Y/s4

está

ogar

para mos

27c83

00/an

Desen Funda

 

FonteQicqJCOM

Fontealgeb

Fonte

Fonte

N.D:

Obje

1. C

2. Ut

3. C

4. En

Seçã

O epossmatéquan

Font

 

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

e: http://2.bpJjJQtYI/Tl4k2

MBINATORIA

e: http://wwwbra-analise_c

e: http://pt.w

e: http://logoe

: Segundo

etivos de a

alcular o fa

tilizar o pri

alcular per

ntender o t

ão 1: O qu

estudo dasibilidades éria será fentos alunos

e: http://ww

strucional

/ Consórcio CE

.blogspot.co2LV6QXI/AA

A.jpg

w.candidocalacombinatoria

wikipedia.org/w

existod.files.

o o conteu

aprendiza

atorial de n

ncípio fund

rmutação s

triângulo d

ue é anális

a análise de realiz

eita, utilizas tem em u

ww.sxc.hu/p

EDERJ

m/-AAAAAAABS

azans.com.ba-combinacao

wiki/Senet

wordpress.c

udista Raf

agem

números n

damental d

simples,

de Pascal.

se combin

combinatzação de ando exemuma determ

hoto/62759

| 3 

Sk/AUbp0lVw

br/beta/imageo-15.jpg

com/2011/03/

fael, as im

aturais,

da contage

natória?

tória nos determinaplos. Entãminada sa

9 

w4J0/s1600/A

ens/imagens

/fatorial-02-0

agens aci

em,

permite adas tarefaão, imaginela de aula.

ANALISE-

s_questoes/m

01.jpg?w=645

ma são liv

calcular as. A expe que você.

matematica-

5

vres.

o númeroplicação dê precise s

o de dessa saber

Desen Funda

 

Olhanestquancontfila epontdetecontprobcontnúmestaumaque

 

Font

A anda M

No li

Seçã

Figu

Box

Todoum pPorémuita res

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ando a figuta sala. Umntos tem ntar um alune ir contandto em que erminado atarmos de blemas de tarmos des

mero de plado ou qua

a determinatenhamos

te: http://ww

nálise comMatemática

ivro “Anális

ão 2: Uma

ura1: Eucli

xe importa

o problemaprocesso dém, na práto complicasolução de

strucional

/ Consórcio CE

ura acima, ma possibila 2ª e dep

no da 1ª filado de formnão saber

aluno. Esteum em umcontagem

sta forma, cacas produzntidade deada cidadeum métod

ww.sxc.hu

mbinatória ta que poss

se Combin

a pequena

Um dHistóriEuclid

Fonte:

des

ante

a de contade contageática, a reada. Dessae muitos p

EDERJ

temos váridade é co

pois na 3ª ea e depois

ma bem aleríamos se j exemplo é

m, mas exisque são imcomo por ezidas em u

e números e. Portantodo de conta

u/photo/576

trata exatasui método

natória e P

“Aq

a parte da

os primeiria pode ses que foi

http://pt.wi

agem podeem como

esolução da forma, exroblemas

| 4 

ias formasontar quante por últimos um alunoeatória. No já havíamoé fácil stem mpossíveisexemplo um determde telefon, é importaagem. 

6695 http:/

amente des para reso

robabilidad

“De maneiAnálise Comque analis

História d

ros probleser encont

escrito ma

ikipedia.org/

e, pelo meno que foi

de alguns xistem téccomo, por

s de contartos alunos o na 4ª. Po da 3ª fila entanto po

os contado

s

inado e de

ante

//www.sxc.

este assunolver probl

des”, Morg

ira mais gembinatóriaa estrutura

da Combin

emas de Atrado no lais ou men

/wiki/Ficheir

nos teoricamostrado desses prnicas de c

r exemplo,

r quantos atem na 1ª

oderíamose depois m

oderíamoso

hu/photo/1

to, ou sejalemas de c

gado define

eral, podema é a parte as e relaçõ

natória

Análise Coivro “Os

nos em 300

o:Euklid‐von

amente, seno exemp

roblemas pcontagem q

arranjos,

alunos temª fila, depois também mais um ds chegar a

1224064

a, é uma pcontagem.

e assim:

mos dizer qda Matem

ões discreta

ombinatóriElementos0 a. C.

n‐Alexandria_

er resolvidoplo da seçãpode se toque simplifpermutaçõ

m is

da 1ª um

parte

que a mática

as”?)

a da s” de

_1.jpg

o por ão 1. ornar ficam ões e

Desen Funda

 

comter usabi

Fim

No ffrancmande n

Outr(165somsobrpermbinô

A imgranbancde p

FontCajo

Seçã

Falapara

Comanimumaform

ResoformVeja

45(67⋅⋅

sequumacons

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

binações. uma ideia, a resolver

do boxe i

final do sécês, Levi

nuscritos, cn objetos to

ro matemá54 – 1705ente em 1

re probabmutações emio para o

mportância nde aplicaçcos. Além probabilidad

es: Análiseri.

ão 3: Fato

aremos agoa o desenv

mecemos imador de fa determinmas diferen

olveremosma compaamos um

12()123123456⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

uenciais. Ea notaçãosecutivos.

strucional

/ Consórcio CE

Essas sãoo matemáproblemas

importante

éculo XIXbem Gers

contendo fóomados k a

ático que s5) que es713, oito a

bilidade, ce combinao caso de e

da Análisção está edisso, a Ade que sur

Combinató

orial de um

ora sobre olvimento

imaginandfesta resoada brincates é poss

s este probcta de mexemplo,

), note qu

Em problemo compacEssa mult

EDERJ

o técnicas ático hindus, usando

e

, foi editadson, escriórmulas paa k.

se dedicouscreveu uanos após com um vações, queexpoentes

e Combinaem problem

Análise Matrgiu a parti

ória e Proba

m número

o fatorial ddas técnic

o a segulve colocaadeira, emsível coloca

blema na smultiplicar

temos de

ue a expres

mas de ancta para tiplicação

| 5 

antigas nau Báskharacontagem.

do um trato em 13

ara o núme

u a análisum trabalhsua mortevalioso coe ele usa positivos e

atória vemmas de artemática éir de jogos

abilidade, M

de um númcas de cont

inte situaçar as 6 crim fila. Daíar estas 6

seção 5, ponúmeros

e calcular

ssão poss

nálise comresolverm

acima, po

a história da, que vive.

abalho arit21 e passero de perm

e combinaho, o Ars , que contéomentário,na demo

e inteiros.

m aumentanrmazenamé usada na de azar.

Morgado. U

mero, pois tagem.

ção: em uianças, quí surge umcrianças e

or enquantconsecut

r a seguin

ui muitos

mbinatória émos multr exemplo

da matemáeu entre 1

tmético hesado adiamutações e

atória foi JConjecta

ém o tratad, e tambnstração d

ndo com oento de in

a resolução

ma história

será de g

uma festaue estão pma questãem fila?

to vamos ttivos, chante expres

números,

é muito cotiplicação

o, pode se

ática, para 114 e 118

ebreu do jante em ve combina

Jakob Bernandi, publido de Huyém apresdo teorem

o tempo e nformaçõeso de proble

a da matem

rande utili

de crianparticipandão, de qua

te mostrar amada fatssão num

todos eles

omum usade núm

r represen

você 85, já

udeu vários ações

noulli cado

ygens senta a do

uma s em emas

ática,

dade

ça o o de

antas

uma torial. érica

s são

rmos meros ntada

Desen Funda

 

da s

colodestanteé iguMasperg(n+1

de 4

33

!2 =

que

Resu

5! =

4! =

3! =

2! =

1! =

0! =

E de

n! =

É im

Por

tambque seu

5! =

4! =

3! =

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

seguinte m

camos umte número)ecessores aual a 24, p como cal

gunta notem) dividido

4 dividido

3123

3!3

=⋅⋅

=

11

1!1

!0 ===

umindo tem

5 4 3 2 1 =

4 3 2 1 = 2

3 2 1 = 6

2 1 = 2

1

1

e maneira g

n (n – 1) .

mportante s

exemplo,

bém, então fatorial dantecesso

5 4 3 2 1

4 3 2 1) =

3 2 1) = 3

strucional

/ Consórcio CE

maneira:

m número ) isto signifaté chegar

pois 4! = 4lculamos 1mos que opelo núme

o por 4, o

12 ⋅ . Usand

1= . Chegam

mos:

= 120

24

geral,

.. 2 1, para

sabermos

como res

o precisamde um núm

or. Vejamos

) = 5 4!

= 4 3!

3 2!

EDERJ

!2 !5!7 , mas

seguido dfica que esr ao núme3 2 1 = 24

1! e 0!, quo fatorial deero (n+1), p

ou seja,

do este m

mos a con

a qualquer

fazer simp

solver !13!15 ?

mos fazer mero é igus alguns ex

| 6 

o que si

de um ponstamos muero 1. Por e4 e assim al é a rese um númpor exemp

344!4

!3⋅

==

esmo racio

clusão que

número n

plificações

? O valor

simplificaal a este nxemplos:

ignifica ist

nto de excultiplicandoexemplo, 4temos, 3!

sposta? Paero n é igu

plo, o fatori

234

123⋅⋅=

⋅⋅

ocínio, tem

e 1! = 1 e 0

natural ma

com fator

r de 15! é

ação, paranúmero mu

to? Bem,

clamação o este núm4! (lemos: = 3 2 1 = 6

ara responual ao fatoial de 3 é i

1 . Temos

mos que !1

0! = 1.

aior que 1.

rial de núm

é muito al

a isto deveultiplicado

toda vez

(lemos: famero pelos

quatro fat6, 2! = 2 1

ndermos a orial do núigual ao fa

s também

212

2!2

! =⋅

==

.

meros gran

lto e o de

emos percpelo fatori

que

torial seus orial) = 2. esta

mero torial

que

1= , e

ndes.

e 13!

ceber al do

Desen Funda

 

E de

n! =

Podetemodize

Vam

subs

“cort

que

Exem

a) 7!

Solu

a) 7!

b) 6!

Pode7! =

c) P

ou s

!4!8=

que

d) 6

simpe o 8

!3 !6!9

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

e maneira g

n (n – 1)!

emos usaos que 5! r que 5! =

mos calcul

stituindo

tando” o 1

1415!13!15

⋅=

mplo1: Cal

!

ução:

! = 7 6 5 4

! = 6 5 4 3

eríamos te7 6! = 7 72

rimeiro, de

eja, !2!4!8≠

!4!45678 ⋅⋅⋅⋅

!4678

!4!8 ⋅⋅⋅=

!3 !6789

!3 !6!9 ⋅⋅⋅=

plificações,8 do nume

!3 !6!6789=

⋅⋅⋅=

strucional

/ Consórcio CE

geral,

, para qua

r este rec= 5 4!, ma 5 4 3 2!

lar então

na expre

3! do num

210= . Vam

lcule:

b) 6!

3 2 1 = 50

2 1 = 720

er resolvido20 = 5040

evemos ch

Para reso

, “cortando

678!45

⋅⋅=⋅

!3789!6=

⋅⋅=

, podemoserador com

39

!3789

⋅⋅

=⋅⋅

=

EDERJ

alquer núm

curso quanas como 4

!13!15 , para

ssão ant

merador co

mos resolv

040

o o item b

amar a ate

lvermos, fa

o” o 4! do

168056 =⋅

123789⋅⋅⋅⋅

= , ne

s simplificam o 2 do de

7431278

⋅⋅=⋅⋅

| 7 

mero natura

ntas vezes! = 4 3! en

a isto us

erior tem

m o do de

ver mais alg

primeiro e

enção que

açamos o s

numerado

este ponto

r o 9 do nuenominado

847 =

al n maior q

s forem nentão 5! = 5

saremos q

mos !13!15=

enominado

guns exerc

c) !4!8

e depois no

e 8! Dividid

seguinte:

r com o 4

é importa

umerador or, chegan

que 0.

ecessárias5 4 3!, ou a

que 15! =

!13!131415 ⋅⋅ ,

or chegamo

cícios.

o item a fa

o por 4! N

! do denom

ante lembra

com o 3 dndo ao seg

, por exemainda pode

= 15 14 1

simplifica

os a concl

d) !3 !6!9

azer o seg

ão é igual

minador, te

armos-nos

o denominguinte resu

mplo, emos

3! e

ando,

usão

uinte

a 2!,

emos

s das

nador ltado

Desen Funda

 

Ativ

Calc

a) 47

Fim

Seçã

Verede a

esco

B1C

B2C

B3C

A figposs4 + 4

No epois contmancolo

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

vidade 1-C

cule o fato

!!

da ativida

ão 4: Prin

emos um panálise com

olher uma d

C1, B1C2, B

C1, B2C2, B

C1, B3C2, B

gurinista tsibilidades 4 + 4 = 12

entanto, esse a quan

tando umaneira geral caremos n

strucional

/ Consórcio CE

alculando

orial das ex

b) !3!6

ade

cípio Fund

poderoso mbinatória

dentre as s

B1C3, B1C

B2C3, B2C

B3C3, B3C

tem 4 poscom a blupossibilida

sta não é antidade dea a uma t

um problena posição

EDERJ

o o Fatoria

xpressões

damental

princípio qque é cham

Imagprecispara sua do númpode para e

Fonte

Para B1, Bas qu

seguintes

C4

C4

C4

ssibilidadeusa B2 e mades de es

a melhor foe blusas e todas as pema de ano da pess

| 8 

al

a seguir:

c) 131

da contag

que nos ajmado de p

ginemos a sa decidir qum deter

disposição mero total

escolhereste ator?

e: http://ww

resolvermB2 e B3 asuatro calçaopções:

es de arrumais 4 possscolha.

orma de recalças fospossibilidanálise comsoa que v

!2 !3!5

gem

udará a reprincípio fu

seguinte qual calça minado attrês blusade possiba combin

ww.sxc.hu/ph

os este prs três blusaas, dessa

umação cosibilidades

esolver umssem maioades. Assimmbinatória vai realizar

d) !34

esolver vándamenta

situação, e qual blu

tor, sabenas e quatrobilidades qnação de

hoto/993680

roblema, cas e de C1forma a f

om a bluscom a blu

m problemaores demorm, para refaremos o

r tais taref

!1 !!4

rios problel da contag

uma figuriusa irá escdo que te

o calças que a figuricalça e b

0

hamaremo1, C2, C3 figurinista

sa B1 masa B3, ou

a de contararíamos mesolvermo

o seguinte:fas e vere

emas gem.

inista olher em a ual é inista blusa

os de e C4 pode

ais 4 seja,

gem, muito os de : nos emos

Desen Funda

 

quanexemtarefseja

TARuma

TARuma

Comtarefposs

4TARE

De mnúmresu

pTARE

Estecont

Box

Acabhttp:?seqlancdia a

Fim

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ntas possmplo anterfas, sendo:

REFA 1: ea das 4 blus

REFA 2: ea das 3 calç

mo para cafa 2 então sibilidades

3TARE

    4

1 EFA

maneira gemero de pultados pos

pp 2TARE

    1

1 EFA

e é o chamtagem

xe Multimíd

be com //objetosed

quence=13he! Mergua dia e é de

do boxe m

strucional

/ Consórcio CE

ibilidades rior, temos uma a de

scolher 1 sas dispon

scolher 1 ças dispon

ada 1 das devemos

.

32 EFA

eral, se tepossibilidadssíveis é ig

pTAR

  ...  2

2 EFA

mado Prin

dia

sua ducaciona3 como eulhe em umesafiado e

multimídia

EDERJ

esta pesss que nos e escolher

blusa: temníveis.

calça: temníveis.

possibilidmultiplicar

emos n tardes para gual a p1 p

pnn REFA

cípio Mult

fome dis2.mec.go

estudar mama simula

em meio às

a

| 9 

soa tem colocar na1 blusa e

m 4 possi

m 3 possi

ades da tar estas pos

refas a secada uma

p2 ... pn

tiplicativo q

e estudov.br/bitstratemática ção onde

s combinaç

de realizaa posição a outra tar

bilidades

bilidades

arefa 1 tessibilidade

rem realiza das tar

que é o p

dar, vejaream/handpode ser você pode

ções que r

ar cada uda figurin

refa escolh

(pode esc

(pode esc

mos 3 poss, ou seja

zadas e p1refas entã

princípio fu

a clicandle/mec/217simples c

e combinarealiza.

uma delasista que teher 1 calça

colher qua

colher qua

ssibilidade, temos 4

1, p2, ..., pão o total

undamenta

do no 720/index.como pedir elemento

. No erá 2 a. Ou

lquer

lquer

es da 3=12

pn o l de

al da

link htmlr um

os do

Desen Funda

 

Exembanddispcore

Sabeparaposs

Solu

O prdo Jband

TARposs

TARTemesco

3TARE

Pelodistin

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

mplo 2: Odeiras. Eleoníveis no

es disponív

endo que Ja pintar a síveis que

ução:

rimeiro pasJair, ou sedeira.

REFA 1: essibilidades

REFA 2: emos 2 possolher.

2TARE

    3

1 EFA

o princípio ntas. A seg

strucional

/ Consórcio CE

O aluno Jae está em o concursoveis a segu

Jair deve uoura par

podem se

sso para reeja, quais

scolher qu: verde, az

escolher qusibilidades,

22 EFA

multiplicatguir mostra

EDERJ

ir está padúvida de

o são verduir.

usar uma crte da bar feitas com

esolvermosão as ta

ual cor usazul ou verm

ual cor us pois 1 co

tivo temosamos as 6

| 10 

rticipando e como deve, vermelh

cor para pindeira, dem estas co

s esta quearefas que

ar para pinmelha.

sar para por já foi us

s 3 2 = 6 pbandeiras

de um cove pintar sha e azul.

ntar o inteetermine oores.

estão é no temos qu

ntar o inte

pintar a pada restan

possibilidads possíveis

oncurso desua bandeVeja o qu

rior da esto número

s colocarmue cumprir

rior da es

parte externdo apena

des de mos.

e desenhoeira, e as cue ele fez

rela e outrde band

mos na posr para pin

trela. Tem

rior da estas 2 cores

ontar band

os de cores e as

a cor eiras

sição tar a

mos 3

trela. para

eiras

Desen Funda

 

Exemmoddistin

TARqual

TARmes

TARmes

Devenecedifer

TAR

Peloband

Agorreso

Ativ

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

mplo 3: Edo que faixntas podem

REFA 1: pquer uma

REFA 2: pinma cor usa

REFA 3: pima cor usa

emos obsessariamenrente da se

4TAR

    5

1 REFA

o princípio deira é igu

ra que vocolvendo as

vidade 2 O

strucional

/ Consórcio CE

xistem 5 cxas adjacenmos pintar

pintar a pdas 5 core

ntar a segada na prim

ntar a tercada na seg

servar qunte ser difegunda faix

4TARE

   4

2 EFA

multiplicaal a 5 4 3 =

cê já conhatividades

O mapa aba

EDERJ

cores dispntes não pr esta band

primeira faes.

unda faixameira faixa

ceira faixagunda faix

ue na teferente daxa.

43 EFA

ativo, temo= 60.

hece o Pris a seguir.

aixo é da A

| 11 

poníveis papossuam adeira?

aixa: 5 po

a: 4 possiba.

: 4 possibia.

erceira faa cor usad

os que o t

incípio Fun

América do

ara pintar a mesma c

ossibilidade

bilidades, p

ilidades, p

ixa a coda na prim

total de po

ndamental

o Sul.

a bandeicor. De qua

es, pois

pois não po

pois não po

or usada meira faixa

ossibilidad

l da Conta

ra a seguantas man

podemos

odemos us

odemos us

não prea, mas ap

es de pin

agem, exe

ir de eiras

usar

sar a

sar a

ecisa enas

tar a

ercite,

Desen Funda

 

Fonthttp:co.g

N.D:

Tendquanpaís

Fim

Ativ

Em Sabequaneste

Fim

Ativ

Quade m

Fim

Ativ

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

te: //n.i.uol.coif

: Ilustraçã

do quatro ntas formaes adjacen

da ativida

vidade 3: J

um jogo dendo que ntas peças jogo teria

da ativida

vidade 4: G

ntos são omúltipla-esc

da ativida

vidade 5: S

strucional

/ Consórcio CE

om.br/licao

ão, favor d

cores paras distintasntes não p

ade 2

Jogando d

de dominó uma peç

s tem um dquantas p

ade 3

Gabaritand

os gabaritocolha, cont

ade 4

Só se for d

EDERJ

decasa/en

desenhar u

ra pintar os podem seodem ter a

dominó

ó, cada peça pode dominó. E peças?

do

os possívetendo 4 alt

do seu lad

| 12 

nsfundame

um mapa s

os países er pintadosa mesma c

eça é formconter dose cada p

eis de umaternativas

do

ental/geogr

semelhan

da Américs todos escor.

mada de dois númeroeça tivess

a avaliaçãoem cada q

rafia/americ

nte ao map

ca do Sul,stes países

dois númeos repetide dois núm

o que posquestão?

ca/amsul_

pa acima.

, determins, sabendo

eros de 0 dos, determeros de 0

sui 5 ques

_politi

e de o que

a 6. rmine 0 a 9,

stões

Desen Funda

 

O cadevecadedeveum a

Fim

Seçã

Paraseçã

Exemcriansurgcrian

Parafesta

TARpois

TARpois prim

TARpois

TARpois

TARpois

TARjá es

Assi

6TARE

Pelocrian

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

asal Amanem escolheiras. De qem sentar ao lado do

da ativida

ão 5: Perm

a explicarmão 3.

mplo 4: Emnças, que ge uma qunças em fil

a resolverma, ele terá

REFA 1: espode esco

REFA 2: espode esc

meira da fila

REFA 3: esjá escolhe

REFA 4: esjá escolhe

REFA 5: esjá escolhe

REFA 6: esscolhemos

m, temos:

5TARE

    6

1 EFA

o princípio nças em fil

strucional

/ Consórcio CE

nda e Dieher três luquantas forem cadeiroutro?

ade 5

mutação s

mos permu

m uma fesestão partestão, de a?

mos este pque realiza

scolher umolher qualq

scolher umolher qual

a.

scolher umemos duas

scolher umemos três c

scolher umemos quatr

scolher ums cinco cria

4TAREF

   5

2 EFA

multiplicata é igual a

EDERJ

go e suaugares de rmas eles pras adjacen

simples

utação sim

ta de crianticipando dquantas f

problema nar 6 tarefas

ma criança quer uma d

ma criança quer uma

ma criança s crianças e

ma criançacrianças e

ma criançaro crianças

a criança anças e sob

3TAREFA

  3 FA

ivo, temosa 6 5 4 3 2

| 13 

filha Mariuma únic

podem tomntes? E se

mples voltem

nça o animde uma deformas dife

nos coloqus:

para ser adas criança

para ser adas crianç

para ser e sobraram

a para ser sobraram

a para ser s e sobrara

para ser abrou apena

25 TAREFA

  4 A

s que o tota1 = 720.

a Antôniaca fila desmar esta dee Amanda

mos ao ex

mador de feeterminadaerentes é

uemos na

a primeira as.

a segunda ças que so

a terceira m quatro.

a quarta três.

a quinta am duas.

última da as uma.

16 TAREFA

  5

al de possi

vão parasocupada ecisão, sabe Diego q

xemplo dad

esta resolv brincadeipossível c

posição d

da fila: 6

da fila: 5 obrou após

da fila: 4

da fila: 3

da fila: 2

fila: 1 pos

ibilidades d

a um cinemque poss

bendo queuiserem se

do no iníc

ve colocar ra, em fila

colocar est

do animado

possibilida

possibilidas a escolh

possibilida

possibilida

possibilida

ssibilidade,

de colocar

ma e sui 6 e eles entar

io da

as 6 . Daí tas 6

or de

ades,

ades, ha da

ades,

ades,

ades,

pois

r as 6

Desen Funda

 

É imcham

NoteresuDe f

Notetrocaposi

De fobjepermperm

Vocêresp

Exem

Solu

Anagletra

Assi

Paraentreanag

Exem

a) co

b) te

Solu

a) Te

TAR

TAR

1TARE

Pelo

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

mportante oma fatorial

emos que ultado seriaforma gera

emos que oar a ordemção entre o

forma geratos. Na a

mutação. Emutação de

ê sabe o qponder a es

mplo 5: Qu

ução:

gramas sãas desta pa

m, alguns

a sabermoe si, ou segramas.

mplo 6: Qu

omeçam co

erminam co

ução:

emos 2 tar

REFA 1: a p

REFA 2: tro

4TARE

    1

1 EFA

o Princípio

strucional

/ Consórcio CE

observarmode 6, ou s

se ao invéa 5!, se fosl, se fosse

outra formm dos alunos alunos

al, trocar oanálise coE a permute n objetos

ue é anagstas pergu

uantos são

ão “palavraalavra.

exemplos

os o total deja, é um c

uantos são

om L

om O

refas.

primeira le

ocar a posi

4!2 EFA

Multiplicat

EDERJ

os que o pseja, 6 5 4

és de 6 crsse 4 crian

em n crianç

a de olharnos na filateríamos o

os objetos ombinatóriatação de n

s é igual a

rama? E ontas atravé

o os anagra

as” (com s

da palavra

de anagramcaso de pe

o os anagra

tra da pala

ção das ou

tivo temos

| 14 

produto 6 53 2 1 = 6!

rianças o nças o resças, teríam

mos para ea, ao fazero resultado

de posiçãoa chamamn objetos én fatorial)

o que isto tés do exem

amas da p

ignificado

a SEJA sã

mas bastaermutação

amas da p

c) co

d) co

avra tem q

utras letras

1 24 = 24

5 4 3 2 1 é

problema sultado ser

mos n!

este problermos todaso do proble

o entre si mos estesé calculad

tem a ver cmplo a seg

alavra SEJ

ou não) o

ão SAJE, J

a trocarmosimples. E

alavra LIV

omeçam co

omeçam co

ue ser L: 1

s (4 letras)

anagrama

o que já e

falasse emria 4! e ass

ema seria s as troca

ema.

significar ps tipo de o como P

com permuguir

JA?

btidas pelo

ESA etc.

s as posiçEntão temo

VRO que:

om L e term

om L ou te

1 possibilid

): P4 = 4! =

as.

estudamos

m 5 criançsim por di

pensarmoas possíve

permutar eresolução

Pn = n! (le

utação? Va

o rearranjo

ções das los P4 = 4!

minam com

rminam co

dade

= 24

e se

ças o ante.

s em is de

estes o de mos:

amos

o das

etras = 24

m O

om O

Desen Funda

 

b) Ta

TAR

TAR

1TARE

Pelo

c) te

TAR

TAR

TAR

1TARE

Pelo

d) Cconttermpor que itens

Ativ

mais

c) os

Font

Fim

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ambém tem

REFA 1: a ú

REFA 2: tro

4TARE

    1

1 EFA

o Princípio

emos 3 tare

REFA 1: a p

REFA 2: a ú

REFA 3: tro

1TARE

    1

1 EFA

o Princípio

Como o anatar os ana

minam comexemplo, começam

s A e B e s

vidade 6: F

s velho na

s filhos Ser

te: http://ww

da ativida

strucional

/ Consórcio CE

mos 2 tare

última letra

ocar a posi

4!2 EFA

Multiplicat

efas

primeira le

última letra

ocar a posi

3!TAREF

  1

2 EFA

Multiplicat

agrama poagramas q O. No entLIVRO, LV com L e t

subtrair o it

Flashs

outra pont

rgio e Carl

ww.sxc.hu/p

ade 6

EDERJ

efas

a da palavr

ção das ou

tivo temos

tra da pala

a da palavr

ção das ou

3 FA

tivo temos

ode começque começtanto, estaVIRO e etcterminam ctem C, isto

f

ta (não há

os não tira

photo/13684

| 15 

ra tem que

utras letras

1 24 = 24

avra tem q

ra tem que

utras letras

1 1 6 = 6 a

çar com L oçam por L

aremos conc., ou sejacom O. Te

o é, 24 + 24

Joana desao lado dformas elesabendo q

a) eles pod

b) o mais gêmeos)

am fotos ju

439

e ser O: 1 p

s (4 letras)

anagrama

ue ser L: 1

e ser O: 1 p

s (3 letras)

anagramas

ou terminaL somar cntando anaa, temos qemos que 4 – 6 = 42

seja tirar fdo outro, es podem que:

dem ficar e

novo deve

untos

possibilidad

): P4 = 4! =

as.

1 possibilid

possibilidad

): P3 = 3! =

s.

ar com O ecom os aagramas reque retirar somar os anagrama

foto dos sedetermin

se organiz

em qualqu

e ficar em

de

= 24

dade

de

= 6

então podenagramas epetidos, cos anagraresultados

as.

eus 5 filhose de quazar para a

er posição

uma ponta

emos que

como amas s dos

s um antas foto,

o

a e o

Desen Funda

 

Seçã

Um PascPascprop

Paraformcomda lantesegu

N.D:

Font

Por exem

Font

Esteprop

Prop2 ele3, qu

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ão 6: Triân

recurso mcal. Esse cal (1623-1

priedades.

a entendermando um t

1 e termininha 2 em

erior e termuintes. Veja

: Favor, de

te: http://ww

exemplo, mplos no tr

te: http://up

e “triângulpriedades i

priedade daevado ao nue é forma

strucional

/ Consórcio CE

ngulo de P

uito utilizatriângulo

1662), po

r sua contriângulo cnamos comm diante cminamos ca o triângu

esenhar u

ww.mundo

a linha 4 riângulo ab

pload.wikim

o” é conmportante

as linhas: número da

ada pelos n

EDERJ

Pascal

do em Anáo recebe ois foi el

strução, pcom a segum 1 (com ecomeçamocom 1, e culo:

uma image

oeducacao

foi formadbaixo.

media.org/w

nhecido cos deste triâ

A soma doa linha cornúmeros 1

| 16 

álise Combesse nomle quem

podemos duinte proprexceção daos com 1 continuam

em igual a

o.com.br/up

da assim 1

wikipedia/c

omo triânângulo.

os elementrresponden 3 3 1 (l

binatória é me devido

descobriu

dispor númriedade: ema linha 0 qsomamosos com e

a figura do

pload/cont

1 (1+3) (3+

commons/9

ngulo de

tos de umante. Por exlembremos

o chamado ao matu a maio

meros de m cada linhue terá só

s os elemesta regra

o triângulo

eudo/Untit

+3) (3+1)

9/97/Pasca

Pascal. V

a linha é igxemplo, tos que a pri

do Triângutemático Boria de

linha em ha começa

ó o númeroentos da para as li

o acima.

tled-4(40).j

1. Veja al

al3.png

Veremos

gual ao númmemos a imeira linha

ulo de Blaise

suas

linha amos o 1) e linha nhas

pg 

guns

duas

mero linha a é a

Desen Funda

 

linhasom

Fonthttp:png

Propcolude una li

Font

Nos 4 + 1

Voltabinô

Ativ

Façaprop

Fim

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

a zero), tema dos elem

te: //upload.w

priedade dna começa

uma determnha seguin

te: http://ww

exemplos10 + 20 = 3

aremos nemio de Ne

vidade 7: M

a o desepriedades d

da ativida

strucional

/ Consórcio CE

mos nesta mentos da

wikimedia.o

das colunaando do p

minada linhnte da próx

ww.somate

da figura 35.

este triângewton.

Mãos na m

nho do Tda linha e d

ade 7

EDERJ

linha a solinha n é ig

org/math/6/

as: Se somrimeiro eleha então axima colun

ematica.co

acima tem

gulo na p

massa

Triângulo da coluna.

| 17 

oma 1 + 3 gual a 2n.

 

/4/d/64d37

marmos osemento de soma ser

na. Veja a f

om.br/eme

mos que 1 +

próxima au

de Pasca

+ 3 + 1 =

7a3311d35

s elementsta coluna

rá igual ao figura a se

dio/binomi

+ 2 + 3 + 4

ula quand

al até a l

8 = 2³. De

5a03f675ce

os de uma e indo até

número qeguir.

o/binomio3

4 + 5 + 6 =

o tratarmo

inha 10 e

e forma ge

e04a63d72

ma determié um elemue se enco

36.gif

= 21. E que

os do ass

e verifique

ral, a

291.

nada mento ontra

e 1 +

sunto

e as

Desen Funda

 

Vejamen

Box

Duramateinause te

O pdinamateapar1724datade 1

Yanga AessêmaisPascChu antigconh

Font

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

a no boxe nos três séc

xe Saiba M

ante a dinaemática disgurou no sem notícia

eríodo qustia Yüanemáticos imreceram. D4), Li Yehados de 12299 e 130

g Hui, cujoArte da Mência seu ms antiga acal. Há umShï-kié e

go em seuhecido na C

te: Introduç

strucional

/ Consórcio CE

saiba maiculos ante

Mais

astia Tangsponíveis, século VIIIsó aparec

e vai da n marca mportantesDentre os h (com livr261 e 12753).

os livros sãMatemáticamétodo eraapresentaçma outra mm 1303; éu tempo. ÉChina de lo

ção a Histó

EDERJ

s que o trs da existê

, reuniu-separa uso

I, mas o pceu em 180

última paro pináculs despontamatemátic

ros datado5) e, o ma

ão uma esa, trabalhoa o mesmo

ção presermanifestaçãé interessaÉ possíveonga data.

ória da Ma

| 18 

riângulo deência de P

e uma coleoficial nosrimeiro livr04.

rte da dino da maaram e mucos estavaos de 124ior de todo

pécie de eou habilmo que se urvada do ão do triânante que Cl então qu.

atemática,

e Pascal jáascal.

eção dos ms exames ro de mate

nastia Sunatemática uitos livrosam Ch’in K48 e 1259os, Chu Sh

extensão dente com

usa hoje. Dchamado gulo num

Chu fala due o teore

Howard Ev

á era conh

mais impoimperiais. emática im

ng até a pchinesa

s de matemKiu-shao (9), Yang Hhï-kié (cujo

dos Nove C frações

Devemos aTriângulo

livro posteo triângulo

ema do bin

ves. Pp.24

hecido por

rtante livroA imprens

mpresso de

parte iniciaantiga. Mmática valicujo livro

Hui (com los livros d

Capítulos sdecimais;

a ele tambéo aritméticerior escritoo como algnômio já f

45 e 246.

pelo

os de sa se e que

al da Muitos

iosos é de livros atam

sobre em ém a o de o por go já fosse

Desen Funda

 

Triân

Fonthttp:/300

Maisaparnota

O Tpubl

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ngulo de P

te: //upload.w

0px-Yanghu

s adiante rece no traar que Pasc

Traité Du Ticado em 1

strucional

/ Consórcio CE

Pascal, da

wikimedia.oui_triangle

no mesmabalho de cal é do sé

Triangle Ar1665.

EDERJ

maneira co

org/wikiped.gif

mo livro Eoutro ma

éculo XVII,

rithmétique

| 19 

omo foi de

dia/commo

Eves descrtemático, portanto 3

e de Pasc

esenhado e

ons/thumb/

reve o mo francês 3 séculos d

cal foi escr

em 1303 po

e/ea/Yang

esmo triâBlaise Pa

depois de C

rito em 16

or Chu Shï

hui_triang

ngulo em ascal, deveChu Shï-ki

653 mas s

ï-kié

le.gif

que emos ié.

só foi

Desen Funda

 

Pági

Fonthttp:GU/%

PascObtétodoesqu

35 =

Font

A defaziadiscun obdo tprimpor munprop

Fim

É imaprecont

Res

•

•

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ina da mon

te: //lh4.ggph%5BUNSE

cal construém-se quaos os elemuerda do e

= 15 + 10 +

te: http://ww

eterminaçãa do seu ussões so

bjetos tomariângulo a

meiro a moslongo tem

ndo ocidenpriedades d

do boxe sa

mportante esentadas tando um a

umindo

Fatorial

Princípipossibilpossibilp1·p2·..

strucional

/ Consórcio CE

nagrafia de

t.com/_j5kET%5D.gif

uía seu “talquer elemmentos daelemento d

+ 6 + 3 + 1.

ww.matem

ão dos coe triângulobre probabados r de

aritmético, strar o triâpo (até 19tal e deviddo triângulo

aiba mais”

observarmpara a re

a um. Most

de um nú

o Multiplicidades paidades par.·pn.

EDERJ

e Blaise Pa

kbeGgXcbo

riângulo amento (daa linha preesejado. A

.

matica.br/hi

eficientes bo. Ele tambilidade, pacada vez. várias delngulo com935) o primdo ao deseo, este torn

”

mos, com eesolução traremos m

mero n é d

cativo: se tara a tarra a tarefa

| 20 

ascal

o/S3YNeLU

aritmético” a segunda ecedente

Assim, na q

istoria/imag

binomiais embém o ara determHá muitas

las desenvmo vimos ameiro descenvolvimennou-se con

estes exemde proble

mais técnic

dado por n

temos p1 prefa T2 ea Tn então

UhOiI/AAA

conforme linha em

situados equarta linha

gens/triang

era uma dausava, pa

minar o núms relaçõesvolvidas p

anteriormencobridor conto e aplicnhecido co

mplos, a iemas que cas de con

! = n (n – 1

possibilidae assim so o total de

AAAAAAB_

mostra a diante) cexatamenta,

g_pascal.g

as aplicaçõarticularmemero de co envolvendor Pascal.nte, mas conhecido d

cações queomo triângu

mportâncialevaríamo

tagem na

1) ... 2 1

des para asucessivame possibilid

_Y/xvRiWP

figura abcomo somte acima

gif

ões que Paente em ombinaçõedo os núm. Ele não

como Pascdo triângule fez de mulo de Pas

a das técnos muito próxima au

a tarefa Tmente atédades é ig

PDTz

baixo. a de ou à

ascal suas

es de meros

foi o cal foi lo no

muitas scal.

nicas temo ula.

1, p2 é pn ual a

Desen Funda

 

•

Veja

Para

•

•

•

•

Refe

Aabo

Boye

Eves

Iezzciên

MorgCom

Res

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

Permuta

a Ainda

a saciar su

http://ww

2005 qu

http://ww

de Pasc

http://ww

triângulo

http://ww

ades so

erências

oe, A., Epi

er C. B., H

s H., Introd

i, G., Dolcencia e aplic

gado, A.C.mbinatória

posta das

dades 1: a

dade 2: 2

dade 3: 2

dade 4: 45

dade 5: 4

dade 6: a)

strucional

/ Consórcio CE

ação simp

a curiosida

ww.rpm.org.

ue trata da

ww.educ.fc.u

cal)

ww.educ.fc.u

o de Pasca

ww.educ.fc.u

obre o triân

isódios da

istória da

dução a h

e, O., Degecações, vo

., Carvalhoa e Probab

s atividade

a) 210

9 3 4 = 614

8 peças. 5

5 = 1024

3! = 24

) 5! = 120

EDERJ

les: permu

ade, indica

.br/conheca/

história da

ul.pt/docent

ul.pt/docent

al e suas p

ul.pt/docent

ngulo de Pa

a História

Matemáti

história da

enszajn, Dol.2, Ed Sa

o, J.B.P., Cbilidade. S

es

b) 120

44

55 peças

E 4 2! 2

b) 1 3! 1

| 21 

utar n objet

amos os se

/57/contage

a Análise c

es/opombo/

es/opombo/

propriedad

es/opombo/

ascal)

antiga da

ica, Ed. Ed

a matemát

D., Périgo, araiva.

Carvalho, PSBM, 9ª Ed

c) 10

! = 16

= 6

to entre si

eguintes si

em.pdf (artigcombinatór

/seminario/p

/seminario/p

es)

/seminario/p

a matemát

dgard Blüc

ica. Editor

R., de Alm

P.C.P, Fernd.2006.

05 d)

c) 120 –

é calcular

ites:

go da RPMria)

pasca_l/biog

pasca_l/pasc

pasca_l/curio

ica. SBM.

cher.

ra Unicamp

meida, N., M

nandez, P.

) 4

4! 2! = 72

Pn = n!

M n° 57 de

grafia.htm(vi

cal.htm(o qu

os.htm(curio

p.

Matemátic

, Análise

da

ue é

osid

ca

Desen Funda

 

Ativi

Ane

O qu

1) Oconsescuuma1. Ocódi

Se 0101

Se 1000

No sde cleitucódi0000

Em códiesqu

(A) 1

Solu

Paraapenou epara

Pelo

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

dade 7: fig

xo

ue pergun

O código dsiste num cura ou nãoa barra clarObserve ab

go com 20

o leitor 110101110

o leitor 011010111

sistema decada códigra da esqugo 000001111

um sistemgos com uerda, des

14.

ução:

a a 1ª barrnas, pois descura) e aa a 3ª barra

o princípio

strucional

/ Consórcio CE

gura

ntam por a

de barras, conjunto d

o. Quando ra é convebaixo um e0 barras.

óptico fo010110001

óptico fo101011010

e código deo, deve-seuerda para

100000000

ma de códileitura daconsideran

(B) 12.

ra. temos deve ser iga penúltimaa temos 2 o

multiplicat

EDERJ

aí?

contido nade várias bum leitor órtida no nú

exemplo si

or passad1

or passad0

e barras, pe levar em a a direita

0, no sistem

igos que ua esquerdando-se tod

(C

duas opçõgual a prima barra apopções(cla

tivo, temos

| 22 

a maior pabarras que óptico pasúmero 0 e implificado

do da es

do da di

para se orgconsideraigual à da

ma descrito

utilize apena para a

das as barr

C) 8.

ões (clara meira. Parapenas umaara ou escu

s 2 2 2 1 1

arte dos ppodem es

sa sobre ea de uma

o de um có

squerda p

reita para

ganizar o pação que aa direita p

o acima.

nas cinco direita igu

ras claras o

(D) 6.

ou escuraa a 2ª barra, pois devura).

1 = 8. No

produtos instar preencessas barrbarra escu

ódigo em

para a d

a a esqu

processo dalguns códpara a esq

barras, a ual à da ou todas a

a) e para úra, temos

ve ser igua

entanto n

ndustrializachidas comas, a leiturura, no númum sistem

direita irá

uerda irá

de leitura óigos podemuerda, com

quantidaddireita pa

as escuras,

(E) 4.

última 1 o2 opções(

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