VI. PROJETO DE CONTROLADORESA funo do controle realimentado assegurar que o sistema em malha fechada tenha resposta desejvel no transitrio e em regime permanente. desejvel que um sistema em malha fechada satisfaa os seguintes critrios de performance:1- Estabilidade em malha fechada; 2- Efeito das perturbaes minimizadas; 3- Respostas rpidas e no-oscilatrias; 4- Eliminao de offset; 5- Evitar aes de controle excessivas; 6- O sistema de controle deve ser robusto, isto , insensvel a mudanas no

processo e a erros de modelo. Em geral, as especificaes de desempenho dos sistemas de controle no devem ser mais restritivas do que o necessrio para desempenhar a tarefa estabelecida. Existem vrios mtodos para se projetar um controlador, estes mtodos so baseados nos modelos do processo. A seguir apresentaremos os mtodos mais utilizados.

VI.1 MTODO DA STESE DIRETAUm controlador pode ser projetado usando o modelo do processo e especificando a resposta em malha fechada desejada. A sntese direta interessante, pois fornece a relao entre o processo e o controlador resultante. A desvantagem deste mtodo que o controlador resultante pode no ter a estrutura de um PID. Consideremos o seguinte diagrama em blocos de um sistema de controle:

99

Km- compensador de setpoint. Transforma o setpoint na mesma grandeza medida. A funo de transferncia do sistema em malha fechada, para o caso servo, pode ser escrito como: Km Gc G f G p y Y ( s) = 1 + Gc G f G p Gm sp ( s ) Considerando Gm ( s) = Km e chamando G( s) = G f G p Gm = G f G p Km temos:Y ( s) Gc G Y ( s) 1+ Gc G sp

y Chamando Gsp y a resposta desejada para o sistema, temos: sp d Gc G Gsp 1+ Gc G (6.1) Rearranjando temos: 1 Gsp Gc ( s) = G 1 Gsp (6.2) A expresso de Gc pode ser obtida se o modelo do processo (G) conhecido e a resposta em malha fechada especificada (GSP). Note que o controlador tem o modelo do processo invertido devido ao termo 1 na equao. Esta situao encontrada em muitas tcnicas de controle baseada em G modelos. Controle Perfeito Idealmente, gostaramos que a varivel controlada acompanhasse a alterao de setpoint instantaneamente sem erro. Esta situao conhecida como controle perfeito.

100

Y ( s) = Ysp ( s)

ou

Gsp ( s) = 1

Substituindo na equao (6.2) temos: 1 1 G c ( s) = G c ( s) = G 1 1 Infelizmente o controle perfeito impossvel, pois o controlador necessitaria de um ganho infinito. Porm, o controlador perfeito pode ser aproximado pelo seguinte: k Gc ( s) = c G onde: k c o ganho do controlador. Substituindo Gc na equao (6.1) temos: kc G kc G G sp ( s) = G sp ( s) = kc 1 + kc 1+ G G Assim, o controle perfeito obtido fazendo o limite de k G sp ( s) = 1 . Exemplo: Considerando um modelo do processo de 2a ordem: k G( s) = 2 s + 2s + 1 O controlador : k G c ( s) = c G kc 2 2 Gc ( s) = ( s + 2s + 1) k A ao de controle se baseia na derivada segunda do erro ( termo em s 2 ). Na presena de processo ruidoso, este controlador reagir muito com pequenas alteraes no sinal do erro. Na prtica, o controle perfeito, para processos de 2a ordem, tem problemas de implementao:

ou

Controlador Baseado em Tempo de Decaimento Finito Uma considerao mais prtica considerar uma funo de transferncia realstica em malha fechada. Consideremos uma funo de transferncia de 1a ordem:

101

1 cs + 1 onde: c a constante de tempo em malha fechada.

Gsp ( s) =

Substituindo Gsp na equao (6.2) temos:

1 s+1 1 Gc ( s) = c 1 G 1 cs + 1 Gc ( s) =1 1 G cs

Exemplo: Projetar o controlador para os seguintes processos: a) Processo de 1a ordem: kp G ( s) = ps + 1Gc ( s) =

ps + 1kp

1 cs

G c ( s) =

p c k p

1 1 + s p

Na forma do controlador padro PI, temos: 1 Gc ( s) = k c 1 + i s Identificando os termos, temos: p kc = ck p i = p

102

b) Processo de 2a ordem kp G ( s) = 2 2 s + 2 p s + 1

Gc ( s) = Gc ( s) =

2 s 2 + 2 p s + 1kp

1 c s

p s + 2 p s + 1 k p c s2 2

p2 Gc ( s) = + + s k p c k p c s k p c1

2 p

p2 Gc ( s) = + + s k p c k p c 2 p s k p c 2 p1

2 p

2 p

2 p

2 p p2 1 1 + Gc ( s) = + k p c 2 p s 2 p

s

Na forma do controlador PID padro, temos:

1 Gc ( s) = k c 1 + + d s is Identificando os termos, temos: 2 p kc = ck p i = 2 p

d =

2p p = 2 p 2

Processos Com Tempo Morto Se a funo de transferncia do processo contm um tempo morto , razovel desejar uma funo de transferncia em malha fechada da forma:

e c s Gsp ( s) = cs + 1onde: c e c so parmetros de projeto c , porque a varivel controlada no pode responder a alterao no setpoint num tempo menor do que .

103

Substituindo Gsp na equao (6.2) temos: e c s 1 cs +1 Gc ( s) = e c s G 1 s +1 c

Gc ( s) =

1 e c s c s G c s + 1 e

Este controlador no tem a forma de PID padro, mas o termo 1 e cs no denominador representa uma compensao de tempo morto. Aproximando o termo de tempo morto do denominador ( e c s ) por uma expanso em srie de Taylor de 1a ordem (proposta de Smith ), temos: e c s = 1 c s Substituindo na equao anterior temos:

e c s 1 Gc ( s) = G c s + 1 (1 c s) Gc ( s) = 1 e cs G ( c + c ) s

Exemplo: Projetar o controlador para os seguintes processos:

a) Processo de 1a ordem com tempo morto. k p e s G( s) = ps +1

Gc ( s) =Gc ( s) =

ps + 1k p e s

e c s ( c + c )se (c ) s

k p ( c + c ) s

ps + 1

Fazendo c = temos: ps + 1 1 G c ( s) = kp ( c + )s

104

Gc ( s) =

1 1 + s k p ( c + ) p

p

Na forma do controlador padro PI, temos:

1 Gc = k c 1 + i sIdentificando os termos, temos: Kc = K p ( c+ )

p

i = pb) Processo de 2a ordem com tempo morto

G( s)

K p e c s

p 2 s 2 + 2 p s + 1 p 2 s 2 + 2 p s + 1K p e s e c s ( c + )s

G c ( s)

p 2 s 2 + 2 p s + 1 ( ) s Gc ( s) e Kp e + s

(

)

c

Fazendo c = temos:G c ( s) =

p 2 s 2 + 2 p s + 1Kp

1 ( c + )s

G c ( s) =

K p ( c + )2 p

2 p

+

K p ( c + ) s

1

+

K p ( c + )

p2

s

p2 1 1 + G c ( s) = + s K p ( c + ) 2 p s 2 p s Na forma do controlador PID padro, temos:

1 Gc ( s) = Kc 1 + + d s Is

105

Identificando os termos, temos: Kc = K p ( c + ) 2 p

I = 2 p

p2 p d = = 2 p 2A seguir, apresentamos um resumo das formas do controlador obtidas por sntese direta: 1 Gsp Gc = G 1 Gsp Caso Resposta em malha fechada Gs p = 1Gs p = Gs p = 1 c s + 1 1 c s + 1 G=

Modelo de processo

Kc

c

d

A B C

QualquerG= Kp

Kc =

ps + 1Kp

p s + 2 p s + 12 2

cK p 2 p Kc = c KpKc =

Kc =

p

I = I = p

d = 0 d = 0

I = 2 p

d =

p 2

D

Gs p

e s = c s + 1 e s c s + 1

Gs p =

K p e s

cs + 1K p e s

( + ) Kc

p

I = pp

d = 0

E

Gs p =

G=

p s + 2 p s + 12 2

Kc =

(

2 pc

+ )K p

I = 2 p

d =

p 2

VI.2 CONTROLE PELO MODEL CONTROL-IMC)

MODELO

INTERNO

(INTERNAL

Como na sntese direta o IMC (Controle pelo Modelo Interno) um mtodo de projeto baseado na relao direta entre o modelo do processo e os parmetros do controlador. IMC tem as seguintes vantagens: Permite ao projetista balancear a performance do sistema do controle e a robustez do sistema com alteraes do processo e incerteza do modelo. Explicita a incerteza do modelo. Suponha o seguinte diagrama em blocos de um controle realimentado:

106

Temos a seguinte relao do controle convencional em malha fechada: Gc G 1 Y= Ys p + d 1 + Gc G 1 + Gc G A abordagem do IMC baseado no seguinte diagrama em blocos:

Temos a seguinte relao do IMC em malha fechada:

Y=

~ Ys p + ~ d 1 + Gc * ( G G ) 1 + Gc * ( G G )

Gc * G

~ 1 Gc * G

Para os dois diagramas em blocos serem idnticos temos que fazer:

Gc G Gc* G = ~ 1 + Gc G 1 + Gc* ( G G ) ~ Gc 1 + Gc * (G G ) = Gc * [1 + Gc G ]

[

]

~ Gc + Gc Gc * G Gc Gc* G = Gc * + Gc GC * G ~ Gc Gc Gc* G = Gc *

107

Gc * Gc = ~ 1 Gc * G O controlador IMC projetado em duas etapas:Etapa 1 - Fatorar o modelo do processo

~ ~ ~ G = G+ G ~ onde G+ contm algum tempo morto, zeros no semi-plano direito e ganho igual a 1.

Etapa 2 - Especificar o controlador1 Gc * = ~ f G

onde f um filtro passa-baixa com ganho 1. O filtro IMC tpico tem a forma:

f =

( s + 1)c

1

r

onde: c a constante de tempo desejado para malha fechada. r um nmero inteiro positivo escolhido de tal forma que a ordem do numerador de Gc * exceda a ordem do denominador em uma unidade. ~ Notar que o controlador ( G * c ) contm o inverso de G no lugar do modelo ~ ~ inteiro ( G ) , pois se o G fosse utilizado, teramos um termo de previso ( e +s ) ou um plo instvel. Sendo a relao do IMC em malha fechada:

Y=

~ Ysp + ~ d 1 + Gc * ( G G ) 1 + Gc * ( G G )

Gc * G

~ 1 Gc * G

1 ~ ~ ~ Para o caso do modelo perfeito G = G = G G+ e Gc * = ~ f temos: G * ~ * ~ Y = Gc GYsp + (1 Gc G )d

108

1 ~ ~ 1 ~ ~ Y = ~ fG G+ Ysp + 1 ~ fG G+ d G G ~ ~ Y = G + fYsp + (1 G + f )d

Para o caso servo, temos: ~ Y = G+ f YSP O IMC equivalente sntese direta se:

~ Gsp = G+ fExemplo: Calcular o controlador IMC para um processo de primeira ordem com tempo morto e encontre os parmetros equivalentes aos do PID padro. Soluo: A funo de transferncia do modelo de 1a ordem com tempo morto representado por:

G( s) =

k p e s

ps + 1

O tempo morto pode ser aproximado pelo quociente de polinmios, conhecido como aproximao de Pad:

e s = 1 s +Aproximando pela 1a ordem, temos:

2 s22!

3s33!

+

e s =

e

2

s

=s

1

s

e2

2 s 1+ 2

e

s

=

1 1+

2 2

s s

109

~ Substituindo em G , temos: K p 1 s 2 1 + s p s + 1 2

~ G ( s) =

(

)

~ ~ ~ Fatorando o modelo em G = G+ G onde:

~ G ( s) + = 1 s 2~ G ( s) = Kp 1 + s p s + 1 2

(

)

Aplicando um filtro do IMC de 1a ordem, temos:f = 1 c s + 1

1 Gc* = ~ f G

Gc* =

1 + s p s + 1 2

(

)

K p ( c s + 1)

Representando o sistema na forma de um PID na malha fechada convencional temos: Gc* Gc = ~ 1 Gc* G onde:Gc* = 1 + s p s + 1 2

(

)

K p ( c s + 1)

~ G=

k p 1 s 2 1 + s p s + 1 2

(

)

110

Substituindo, temos:Gc = 1 + s p s + 1 2

(

))

K p c + s 2

GC =

1 p s 2 + p + s + 1 2 s K p c + 2 1

(

p + 1 p 1 1 1 + + Gc = s c p kp 2 + 1 p + s 2 + 1 2 2 Na forma do controlador PID padro, temos:

1 Gc ( s ) = k c 1 + + d s i s Identificando os termos, temos:

p +1 1 kc = kp 2 c +1 2

i = p +

2

d =

p p 2 +1

Recomenda-se que c seja tal que:

p c > 0,8 e c = 10

para o processo em questo.

VI.3 CRITRIOS SEMI-EMPRICOS (COHEN & COON)Em 1953 Cohen, G.H e Coon desenvolveram relaes de projeto de controladores baseados na curva de reao do processo.

111

Os critrios de projeto do sistema em malha fechada so: Minimizao do Erro Quadrtico (ISE); Razo de decaimento de , que em um sistema de 2a ordem corresponde a um fator de amortecimento () de 0,2 e um overshoot de 50%.

Procedimento de Teste

Seja o seguinte sistema do controle

1) Colocar o controlador em manual.

A funo de transferncia em malha aberta dada por:Ym( s ) c( s) = G f G p G m = G ( s)

112

2) Aplicar um degrau na sada (M)

3) Observar a resposta do processo e aproximar o modelo a um processo de 1a ordem com tempo morto:

G( s) =

k p e s

ps + 1

A aproximao do modelo pode ser feita da seguinte forma:

kp =

css M

p = 15(t 63% t 28% ) .

t = 15 t 28% 63% . 3 s - ponto de inflexo do processo

=

p

4) Calcular os parmetros do controlador de acordo com a tabela a seguir: Controlador PKcI

d

1 1 + K p 3

____ 30 + 3 9 + 20 32 + 6 9 + 20

____ ____ 4 11 + 2

PI PID

1 0,9 + K p 12 1 1,333 + K p 4

113

O mtodo de Cohen-Coon pode ser utilizado como estimativa inicial dos parmetros do controlador. Se a aproximao da curva de reao do processo no for bem ajustada, a sintonia tambm no ser boa. Notar que Kc maior para o controlador P do que o PI, e Kc maior para o controlador PID devido a ao estalizante da ao derivativa.

O coeficiente = conhecido como Razo de Controlabilidade. p Quanto maior , maior a dificuldade de controle, ou seja, o sistema tende a oscilar. Para um controlador PI o valor do ganho do controlador dado por : kc =

1 0,9 + k p 12

Reordenando os parmetros temos:kc k p =1 0,9 + 12 0,9

onde: k c k p chamado de ganho da malha.Graficamente podemos representar

kc k p =

+ 0,083

114

VI.4 PROJETO BASEADO NO CRITRIO DA INTEGRAL DO ERROUma abordagem alternativa do projeto de controladores baseado em ndices de performance. Estes ndices so obtidos pela ponderao de toda a resposta temporal.

e(t ) = YSP ( t ) Y ( t )Os ndices de performance mais populares so:Integral do erro absoluto (IAE - Integral of absolute error)

Este critrio pondera os mdulos dos erros, e til quando os erros so pequenos ( | e | < 1 ).

IAE = e ( t ) dt0

115

Integral do quadrado do erro (ISE - Integral square Error)

Este critrio pondera os erros ao quadrado, e til quando os erros so grandes ( | e | >1 ).

ISE = e( t ) dt2 0

Integral do erro absoluto multiplicado pelo tempo (ITAE - Integral of time weighted absolute error)

Este critrio pondera os mdulos dos erros, penalizando os erros que persistem com o tempo. Este critrio mais til quando os sistemas tendem a ter offset.

ITAE = t e( t ) dt0

Integral do erro ao quadrado multiplicado pelo tempo (ITSE - Integral of time weighted square error)

Este critrio pondera os erros quadrticos, penalizando os erros que persistem com o tempo. Este critrio mais seletivo do que o ISE.

ITSE = t e( t ) dt2 0

Os diferentes critrios, os diferentes casos (servo, regulador), os diferentes pontos em que introduzidos e diferentes modelos, levam a ajustes diferentes . Temos a seguinte metodologia dos critrios: 1) Para um determinado caso e sistema, calcular o erro (e ( t ) ) como funo de k c , I e d ; 2) Aplicar o critrio integral escolhido durante o intervalo de tempo, tal que a resposta tenha se assentado. obtida assim uma funo dos parmetros ex: ISE ( k c , I , d ) ;

(

)

3) Aplicar o critrio de otimizao da hipersuperfcie, onde o vale mais profundo dado por:Minimizar ISEk c , I , d

4) O ponto de mnimo determinado usando algum mtodo de otimizao. ISE =0 kc

ISE =0 I ISE =0 d

116

Parmetros Recomendados

Da Universidade de Lousiana surgiram os resultados baseados no modelo de 1 ordem com tempo morto.a

G ( s) =

k p e s

ps + 1

e =

p

Caso regulador d 0, y sp = 0

(

)ISE IAE Gc ( s) = k c 0.902 -0.985 ITAE

Parmetros Coef. Controlador Proporcional (P) a1 k p k c = a1 b1 b1 Controlador Proporcional-Integral (PI)

1.411 -0.917

0.490 -1.084 1 Gc ( s) = k c 1 + I s 0.859 -0.977 0.674 0.680

k p k c = a1 b1

i 1 = b p a2

2

a1 b1 a2 b2

1.305 -0.959 0.492 0.739

0.984 -0.985 0.608 0.707

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

1 Gc ( s) = k c 1 + + d s I s 1.435 -0.921 0.878 0.749 0.482 1.137 1.357 -0.947 0.842 0.738 0.381 0.995

k p k c = a1 b1

i 1 = b p a2 d = a 3 b p

2

a1 b1 a2 b2 a3 b3

1.495 -0.945 1.101 0.771 0.560 0.1006

3

117

Caso servo y sp 0, d = 0 Parmetros

(

)Coef. IAE ITAE 1 Gc ( s) = k c 1 + I s

Controlador Proporcional-Integral (PI)

k p k c = a1 b1

i 1 = p a 2 + b2

a1 b1 a2 b2

0.758 -0.861 1.020 -0.323

0.586 -0.916 1.030 -0.165

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

1 Gc ( s) = k c 1 + + d s I s 0.965 -0.855 0.796 -0.147 0.308 0.9292

k p k c = a1 b1

i 1 = p a 2 + b2

a1 b1 a2 b2 a3 b3

1.086 0.869 0.740 0.130 0.348 0.914

d = a 3 b p

3

Estas relaes tem algumas consideraes empricas que limita a sua aplicabilidade a 01 < < 0.258 para o critrio IAE e 01 < < 0.379 para o critrio . . ITAE. Um pouco fora desta faixa o desempenho tambm pode ser aceitvel.Exemplo

Use o critrio de erro integral para obter os parmetros do controlador para um processo com a seguinte funo de transferncia: 10e s G( s) = 2s + 1 Comparar os controladores PI projetadas para o caso regulador.Soluo

k p = 10

p = 2 =1

=

1 = p 2

= 0,5

118

Controlador Proporcional-Integral (PI) Parmetros k p k c = a1 b1 Coef. a1 b1 a2 b2 ISE 1.305 -0.959 0.492 0.739

1 Gc ( s) = k c 1 + I sIAE 0.984 -0.985 0.608 0.707 ITAE 0.859 -0.977 0.674 0.680

i 1 = b p a2Para Kc

2

10 kc = 1,305 ( 0,5 )

0,959

k c = 0,245 k c = 0,195 k c = 0,169

10 k c = 0,984 (0,5) 10 k c = 0,857 ( 0,5)Para i

0 , 985

0 , 977

I2

=

1 (0,5) 0,739 0,492 1 (0,5) 0,707 0,608 1 (0,5) 0,680 0,674Critrio ISE IAE ITAE

I = 2,44

I2

=

I = 2,02 I = 1,85kc0,245 0,195 0,169

I2

=

i2,44 2,02 1,85

Graficamente:

119

Notar que a sintonia com o critrio ISE nos d um comportamento oscilatrio e com um tempo de estabilizao maior. Os resultados com o critrios IAE e ITAE so parecidos.Exemplo

Para o modelo do processo. 4 e 3 , 5 s G( s) = 7s + 1 Compare os controladores PI e PID baseados no critrio ITAE nos casos servo regulador.Soluo:kp = 4

p = 7 = 3,5

=

3,5 = 7 p

= 0,5Critrio ITAE

Controlador PI

4 k c = 0,586 ( 0,5) I 1 = 7 1,03 0165 0.5 .0 , 916

Caso Servo

4 k c = 0,859 (0,5) I 1 (0,5) 0,680 = 7 0,674 4 k c = 1,357 (0,5) I 1 (0,5) 0,738 = 7 0,842 d 0 , 995 = 0,381( 0,5) 7

Caso Regulador

0 , 977

PID

4k c = 0,965 ( 0,5) I 1 = 7 0,796 0147 0.5 . d 0 , 9292 = 0,308(0,5) 70 ,855

0 , 947

Controlador PI PID

Caso Servo k c = 0,276

Caso Regulador k c = 0,423

i = 7,39k c = 0,435 i = 9,69

i = 6,48k c = 0,654 i = 4,98

d = 113 ,

d = 1,34

120

GraficamenteCaso Servo

Caso Regulador

Notar que o caso servo temos um grande overshoot quando sintonizado pelo critrio ITAE-regulador. No caso regulador os overshoot nos dois critrios so semelhantes, porm mais lento pelo critrio ITAE-servo, e mais acentuado para o PID. Portanto a sintonia mais adequada (conservativa) seria pelo critrio PI-ITAEservo.

VI.5 COMPARAO DOS PROJETOS DE CONTROLADORESAs relaes de projeto apresentadas so baseadas em diferentes critrios de performance, que de forma geral, podem ser concludas como:1.

O ganho do controlador k c inversamente proporcional ao produto dos outros ganhos da malha fechada.kc 1 k

121

Onde:

k = kv k p km

2. O k c deve diminuir com o aumento da razo de controlabilidade = . Em p geral, a qualidade do controle reduz com o aumento de , pois temos tempos de estabilizaes e oscilaes maiores.3. Os tempos integral ( I ) e derivativo ( d ) aumentam com o acrscimo de . De modo geral a relao d fica na faixa: i 0,1 < d < 0,2 I Uma regra prtica d = 0,25 i Quando acrescenta-se a ao integral (I) no controlador, isto permite que se reduza o valor de k c . Entretanto, se acrescentarmos a ao derivativa(D) podemos aumentar o valor de k c .4. 5.

O critrio de projeto de Cohen-Coon tende produzir uma resposta oscilatria em malha fechada com uma razo de decaimento de . Se desejarmos uma resposta menos oscilatria podemos reduzir o k c e aumentar I .

6. Dos critrios da integral do erro, o critrio ITAE fornece o ajuste mais conservativo, enquanto que o critrio ISE nos d o ajuste menos conservativo.

As relaes apresentadas foram desenvolvidas para controladores PID ideais e com sistema sem interaes. Os critrios de projeto so comparados atravs do seguinte exemplo:Exemplo

Considere um processo com o seguinte modelo: G( s) = 2 es s +1

Compare os ajustes do controlador PI e a resposta em malha fechada para o caso regulador usando os seguintes critrios: com c = 0,0 IMC IMC com c = 0,8 Cohen-Coon ITAE-Regulador

122

Considere tambm uma alterao no ganho do processo para 3 ( erro no modelo) e verifique a robustez do controlador.Soluo Para o controlador IMC

k e s ~ ( s) = G s +1 Aproximando para e s = 1 s temos k (1 s) ~ G ( s) = s +1 ~ ~ ~ Fatorando o modelo em G = G+ G temos ~ G+ = 1 s~ G =

k s +1

Utilizando o IMC temos:1 Gc* = ~ f G

e Gc* Gc = ~ 1 Gc* G Simplificando temos:f Gc = ~ ~ G fG

f ou Gc = ~ ~ G (1 fG+ )

Aplicando um filtro de 1a ordem, temos:f =1 cs + 1

Gc =

s +1 1 s k ( c + 1) 1 c s + 1

123

Gc =

s +1 k ( c + )s

Identificando os parmetros do PI padro, temos: Gc = 1 1 + k ( c + ) s

Portanto: kc = k ( c + )

I = No caso, temos: k =2

=1 =1Para c = 0,0.

=

=1

1 = 1

kc =

1 2( 0 + 1)

k c = 0,5

I = 1Para c = 0,8kc =1 2( 0,8 + 1)k c = 0,28

I = 1

Para o critrio Cohen - Coon

kc =

1 0,9 + k 12

124

I = Portantokc =

30 + 3 9 + 2

1 1 0,9 + 12 2 1 30 + 3 1 9 + 20 1

k c = 0,49

I =

I = 1,14

Para o critrio ITAE - reguladorkc =0,859 ( ) 0,977 k

I =

0,674

0,680

Portanto:

kc =

0,859 0,977 1 2

k c = 0,43

I =

1 0,680 1 0,674

I = 1,48

Critrio IMC (c = 0,0) IMC (c = 0,8) Cohen-Coon ITAE-Regulador

kc0,50 0,28 0,49 0,43

i1,00 1,00 1,14 1,48

A resposta em malha fechada representada graficamente por:

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respostas menos oscilatrias do que o IMC ( c = 0) e Cohen-Coon. Considerando o modelo do processo com erro, temos: k =3

O sistema com critrios IMC ( c = 0,8) e ITAE-regulador apresentam

=1 =1

=1Critrio IMC (c = 0,0) IMC (c = 0,8) Cohen-Coon ITAE-Regulador

kc0,33 0,19 0,33 0,29

i1,00 1,00 1,14 1,48

A resposta em malha fechada representada graficamente por:

O comportamento mostra a fraca robustez do critrio Cohen-Coon. Tanto os critrios IMC c = 0,8 como o ITAE-regulador apresentam resultados satisfatrios nos casos de erros no modelo. Um comportamento semelhante observado no caso servo e quando temos um acrscimo de 50% no tempo morto do modelo.

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