lógica matemática

Sumário

Aula 1: Linguagem da Lógica de Predicados 15

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Aspectos das Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Linguagem da Lógica de Predicados . . . . . . . . 18

1.4.1 Sintaxe da Linguagem da Lógica de Predicados 19

1.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . 26

Aula 2: Conectivos e Quantificadores Lógicos 27

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Semântica da Linguagem da Lógica de Predicados . 28

2.3 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


Aula 3: Valorações e Tabelas de Verdade 39

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Valorações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Tabela de Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Uso de Parêntese e Prioridade dos Conec-

tivos Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Tautologia, Contradição e Contingência . . . . . . 46

3.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


Aula 4: Regras de Inferência e Regras de Equivalência 53

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Regras de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Subconjuntos Completos de Conectivos . . . . . . . 58

4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Aula 5: Teorias Axiomáticas 65

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Sistemas Axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.1 Exemplos de Alguns Sistemas Axiomáticos . 68

5.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


Aula 6: Teoria da Demonstração 75

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Teoria da Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3 Tipos de Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3.1 Demonstração Direta . . . . . . . . . . . . . 78

6.3.2 Demonstração Indireta Contrapositiva . . . 79

6.3.3 Demonstração Indireta por Redução ao Ab-

surdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


Aula 7: Teoria de Cantor e Teoria de Zermelo -Fraenkel 85

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2 Teoria dos Conjuntos de Georg Cantor . . . . . . . 86

7.2.1 Conceito de Conjunto . . . . . . . . . . . . 87

7.2.2 Linguagem da Teoria dos Conjuntos . . . . 87

7.2.3 Axiomas da Teoria dos Conjuntos . . . . . . 89

7.2.4 Alguns Tipos de Conjuntos . . . . . . . . . 90

7.3 Paradoxo de Russel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.4 Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel . . . . . 92

7.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


Aula 8: Operações com Conjuntos: União e Interseção101

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2 União de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2.1 Propriedades da União de Conjuntos . . . . 103

8.3 Interseção de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3.1 Propriedades da Interseção de Conjuntos . . 104

8.3.2 Propriedades da União e Interseção de Con-

juntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3.3 Propriedades da Relação de Contido . . . . 105

8.4 Algumas Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


Aula 9: Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar111

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9.2 Diferença de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9.2.1 Propriedades da Diferença de Conjuntos . . 112

9.3 Diferença Simétrica de Conjuntos . . . . . . . . . . 113

9.3.1 Propriedades da Diferença Simétrica de Con-

juntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.4 Complementar de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . 114

9.4.1 Propriedades do Complementar de Conjuntos 114


9.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


Aula 10: Operações com Conjuntos: Produto Cartesiano123

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10.2 Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10.3 Produto Cartesiano de Conjuntos . . . . . . . . . . 128

10.3.1 Propriedades do Produto Cartesiano . . . . 129


10.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134


Aula 11: Relações Binárias 137

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.2 Relações Binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.2.1 Propriedades das Relações Binárias . . . . . 141


11.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

11.5 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

11.6 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS . . . . . . . . 149

Aula 12: Relações de Ordem 151

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

12.2 Relações de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

12.2.1 Cotas Superiores e Cotas Inferiores . . . . . 156

12.2.2 Elementos Maximal, Minimal, Máximo e Mí-

nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


12.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

12.5 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

12.6 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


Aula 13: Relações de Equivalência 165

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

13.2 Relações de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . 166

13.2.1 Partições e Classes de Equivalência . . . . . 168


13.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

13.5 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

13.6 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


Aula 14: Funções 179

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14.2.1 Imagem Direta e Imagem Inversa . . . . . . 182


14.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.5 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.6 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190


Aula 15: Tipos de Funções 193

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.2 Tipos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

15.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

15.5 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204


Aula 16: Propriedades das Funções 207

16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

16.2 Propriedades das Funções Injetoras . . . . . . . . . 208

16.3 Propriedades das Funções Sobrejetoras . . . . . . . 209

16.4 Propriedades das Funções Bijetoras . . . . . . . . . 209


16.6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16.7 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16.8 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216


Aula 17: Números Naturais: Axiomas de Peano 219

17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

17.2 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

17.3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

17.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

17.5 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227


Aula 18: Operações em N 229

18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

18.2 Soma no Conjunto dos Números Naturais . . . . . 230

18.3 Propriedades da soma . . . . . . . . . . . . . . . . 231

18.4 Produto no Conjunto dos Números Naturais . . . . 231

18.5 Propriedades do Produto . . . . . . . . . . . . . . . 232

18.6 Relação de Ordem no Conjunto dos Números Naturais232

18.7 Propriedades da Relação de Ordem . . . . . . . . . 232

18.7.1 Demonstração de Algumas Propriedades . . 233

18.8 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

18.9 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

18.10ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

18.11REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS . . . . . . . . 241

Aula 19: Princípio da Boa Ordem 243

19.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

19.2 Alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

19.3 Princípio da Boa Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 248

19.4 Primeiro Princípio da Indução Finita . . . . . . . . 252

19.5 Segundo Princípio da Indução Finita . . . . . . . . 252


19.7 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

19.8 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

19.9 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

19.10REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS . . . . . . . . 259

Aula 20: Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis 261

20.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

20.2 Cardinalidade de um Conjunto . . . . . . . . . . . 262

20.2.1 Conjuntos Enumeráveis . . . . . . . . . . . 264

20.2.2 Algumas Demonstrações . . . . . . . . . . . 266

20.3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

20.4 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

20.5 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

20.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . 272

1AULA

1LIVRO

Linguagem da Lógicade Predicados

META:

Introduzir o conceito de Linguagem

da Lógica de Predicados

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão

ser capazes de:

Distinguir entre linguagem natural

e linguagem artificial;

Compreender e utilizar a sintaxe da

linguagem da lógica de predicados.

Linguagem da Lógica de Predicados

1.1 Introdução

Caro aluno, seja bem-vindo a nossa primeira aula de Fun-

damentos de Matemática! Nela conheceremos o conceito de lin-

guagem, como ela está estruturada, as diferenças entre linguagens

naturais e linguagens artificiais e, por fim, nosso real objetivo,

estudar quais elementos que a compõe e como é estruturada a Lin-

guagem da Lógica de Predicados.Linguagem “S. f. Ouso da palavra artic-ulada ou escrita comomeio de expressão e co-municação entre pes-soas” (Dicionário Au-rélio). Pode ser de-finida também como“conjunto de sentenças,cada uma de compri-mento finito e formadasa partir de um conjuntofinito de símbolos”. Aprimeira definição servepara descrever as lin-guagens naturais (Por-tuguês, Inglês, e.t.c.) asegunda para descreveras linguagens formais(Linguagens de Progra-mação, Teoria dos Con-juntos e.t.c.)

1.2 Linguagens

Vocês já se perguntaram o que é uma linguagem? Nos di-

cionários podemos obter algo do tipo: linguagem é um sistema

de símbolos que serve como meio de comunicação. Notem que

o vocábulo comunicação não se restringe à comunicação hunano-

humano. A linguagem serve também para comunicação humano-

máquina e máquina-máquina.

As definições de linguagem podem parecer um pouco vagas

e não expressar a verdadeira dimensão e alcance do objeto lin-

guagem. Não é pretensão definir corretamente linguagem, mas tão

somente deixar como tema de reflexão. O interesse é tão somente

estabelecer a linguagem da lógica de predicados, nosso maior ob-

jetivo.

1.3 Aspectos das Linguagens

As linguagens naturais apresentam três aspectos. A saber:

Morfológico diz respeito às regras de formação das palavras.

O Português, por exemplo, tem palavras baseadas em morfemas

16

Fundamentos da Matemática: Livro 1

1AULA

que por sua vez são representados por cadeias de letras de um

conjunto de símbolos (alfabeto). Assim, as cadeias de letras “xz-

zcdzxx” e “aeeeeexxaeeeee” não representam palavras morfologi-

camente válidas na língua portuguesa, enquanto que as palavras

“gato”, “jardim”, “morro” e “subir” atendem a este requisito.

Semântico: diz respeito ao significado das palavras. No caso do

conjunto de palavras morfologicamente válidas “xakação”, “xitei-

ções”, “gato”, “jardim”, “morro” e “subir” apenas “gato”, “jardim”,

“morro” e “subir”, são semanticamente válidas, isto é tem signifi-

cado a elas associado.

Pragmático diz respeito ao uso das construções lingüísticas pe-

los usuários de uma linguagem. Em outras palavras, diz respeito

ao significado subentendido de uma sentença. Vamos exemplificar

com uma piada. Joaquim viaja para o Brasil e deixa seu gato de

estimação aos cuidados de seu amigo Manuel. Dois meses depois,

recebe uma carta do amigo: “Joaquim, seu gato morreu”. Joaquim

quase morreu de susto e tristeza. De volta a Portugal, procura o

amigo e pergunta como o gato morreu. Ô Quim, seu gato subiu

no telhado. No telhado encontrou outro gato. Começou a brigar.

Seu gato caiu do telhado. Eu o levei ao veterinário. Convalesceu

alguns dias. E morreu. Pois é, diz Joaquim, você podia ter me

preparado primeiro para a notícia. Escreveria várias cartas. Na

primeira me dizia “Joaquim, seu gato subiu no telhado”. Na se-

gunda “Joaquim, seu gato encontrou outro gato no telhado”. Até

me contar que ele morreu e eu estaria preparado para a notícia.

De volta ao Brasil, dois meses depois Joaquim recebe mais uma

carta de Manuel. “Joaquim, sua mãe subiu no telhado”. Piada à

parte, a frase “Joaquim sua mãe subiu no telhado”, não quer infor-

17


mar a Joaquim que sua genitora escalou a cobertura da casa e sim

(significado pragmático) que sua mãe faleceu. Significados prag-

máticos são encontrados em maior profusão na linguagem infor-

mal, sobretudo nas gírias em que o significado normal das palavras

e sentenças é subvertido.

Aristóteles 384-322a.C Filósofo gregonascido na cidadede Estagira, um dosmaiores pensadoresde todos os tempos.Prestou inigualáveiscontribuições parao pensamento hu-mano, destacando-se:ética, política, física,metafísica, lógica,psicologia, poesia,retórica, zoologia,biologia, história nat-ural e outras áreas deconhecimento. É con-siderado, por muitos,aoPai da Lógica.

As linguagens artificiais, por outro lado, têm apenas os aspec-

tos sintáticos e semânticos e são, convenientemente, destituídas

de significado pragmático. Afinal, não é desejável em um pro-

grama de computador significados pessoais e subtendidos dos pro-

gramadores. Isto daria um nó no interpretador da máquina.

1.4 Linguagem da Lógica de Predicados

Agora que você já conheceu um pouco sobre as linguagens na-

tural e artificial, passaremos ao estudo da Lógica de Predicados.

Ela é a primeira e talvez a mais importante parte da Lógica, pois

além de ser a mais antiga (desenvolvida inicialmente por Aristó-

teles) serve de base para as demais Lógicas. Em um curso inicial

como o nosso é justo, portanto, começarmos pela defição:

Definição 1.1. Uma proposição é uma sentença a que podemos

associar um de dois valores de verdade: falso 0 ou verdadeiro 1.

Exemplo 1.1. Os seguintes exemplos são proposições:

• “O gato é um mamífero”. Valor de verdade associado: ver-

dadeiro.

18


1AULA

• “Pedro Álvares Cabral descobriu a Nova Zelândia”. Valor de

verdade associado: falso.

• “O hidrogênio é o primeiro elemento da tabela periódica”.

Valor de verdade associado: verdadeiro.

Exemplo 1.2. Os seguintes exemplos não são proposições:

• “Flamengo é o melhor time do mundo”. Exprime uma opinião

pessoal. Verdade apenas para os torcedores do Flamengo.

• “Um sonho azul da cor do mar”. Uma sentença poética.

• “Por favor, não grite!”. Uma sentença exclamativa.

1.4.1 Sintaxe da Linguagem da Lógica de Predicados

A lógica de predicadosé a base para o desen-volvimento de inúmerasoutras lógicas como asalética, deôntica, ep-stemológica, paracon-sistente, paracompleta,fuzzy etc. Você podefazer uma busca, porinformações, na IN-TERNET sobre estestipos de lógicas.

Definição 1.2. A linguagem da Lógica de Predicados em seu as-

pecto sintático é definida por:

• um conjunto enumerável de constantes individuais a, b, . . . , t,

a1, a2, . . . (letras latinas minúsculas até o t)

• um conjunto enumerável de variáveis u, v, x, y, w, z, u1, u1, . . .

(letras latinas minúsculas a partir de u)

• para cada número n natural um conjunto enumerável de

predicados enários A,B, . . . , a1, . . . (letras latinas maiúscu-

las)

• os conectivos negação (¬), conjunção (∧), disjunção (∨), im-

plicação (→), dupla implicação (↔).

• os quantificadores universal (∀) e existencial (∃)

19


• símbolos de pontuação parênteses () para indicar a ordem de

aplicação dos operadores.

OBS 1.1. Constantes individuais são como nomes, identificam um

indivíduo ou um objeto. Neste sentido ’a’ pode representar ’Gato’

e ’b’ pode representar ’Pedro Álvares Cabral’ e as proposições “Gato

é um mamífero” e “Pedro Álvarez Cabral descobriu a Nova Zelân-

dia” podem ser escrtitas respectivamente “a é um mamífero” e “b

descobriu a Nova Zelândia”.

OBS 1.2. Algumas vezes podemos e devemos substituir uma con-

stante individual por uma variável. Então, se a proposição “x é um

homem” e tomarmos para variável ’x’ o valor ’Gato’ ela será obvia-

mente FALSA, enquanto que se a variável ’x’ tomar o valor ’Pedro

Álvares Cabral’ a proposição será obviamente VERDADEIRA. De

modo geral, uma variável tem seus valores tomados sobre um con-

junto denominado Conjunto Universo para a citada variável.

OBS 1.3. Um predicado representa propriedades de um indivíduo

ou grupo de indivíduos ou relações entre indivíduos. Na sentença

“x é um poeta,” é um poeta indica, quando substituída a variável

x, que o indivíduo desta substituição tem a propriedade de ser um

poeta. A sentença “Mara senta entre Fernanda e Lígia” representa

uma relação ternária entre três indivíduos e pode ser reescrita como

“a senta entre b e c” se associarmos ’a’ à ’Mara’, ’b’ à ’Fernanda’

e ’c’ à ’Lígia’. Simbolizando a relação “x senta entre y e z” por

P (x, y, z), podemos reescrever a proposição como P (a, b, c). Nem

todo predicado tem necessariamente uma ou mais variáveis em seu

escopo. A sentença “choveu ontem” pode ser FALSA ou VER-

DADEIRA e não faz referência a nenhum indivíduo ou entidade,

20


1AULA

sendo classificada como predicado zerário.

OBS 1.4. Os conectivos servem para modificar ou criar novas

proposições a partir de outras proposições. Excetuando-se o conec-

tivo de negação que é unário, os demais conectivos são binários, isto

é, conectam duas proposições para construir uma nova proposição.

Assim, a proposição “João é poeta e Fernando é jogador de fute-

bol” pode ser representada, fazendo-se as associações ’a’ ’João’, ’b’

’Fernando’ e os predicados P (x) para “x é poeta” e Q(x) para “x

é jogador de futebol” podemos representar a proposição usando o

conectivo de conjunção por: P (a) ∧Q(b).

OBS 1.5. O quantificador existencial diz respeito a proposições

do tipo “Alguem é poeta”. Nesta sentença estamos afirmando que

existe um indivíduo que tem a propriedade de ser poeta, sem, no

entanto especificar quem é este indivíduo. Já o quantificador uni-

versal diz respeito a proposições do tipo “Todo homem é mortal”.

Nesta sentença estamos afirmando que a totalidade dos homens

tem a propriedade de ser mortal.

Definição 1.3. Dado um predicado enário P (x1, . . . , xk, . . . , xn).

Dizemos que a variável xk é uma variável livre se, somente se xk

não está no escopo de nenhum quantificador.

Exemplo 1.3. Alguns exemplos:

• ∀x(x < 2). Nenhuma variável livre. A variável x está no

escopo de um ∀ quantificador universal.

• x < y2. x e y são variáveis livres. Pois, tanto x quanto y não

estão no escopo de nenhum quantificador.

21


• ∃x(x < y). Apenas y é variável livre. Pois a variável x está

no escopo do ∃ quantificador existencial.

Definição 1.4. Uma sentença em que aparecem uma ou mais vari-

áveis livres é denominada Sentença Livre ou Proposição Livre.

Definição 1.5. Seja P (x1, . . . , xn) um predicado enário. Defini-

mos como Átomos as proposição da forma P (a1, . . . , an) ou P (x1,

. . . , xn).

OBS 1.6. Em uma proposição atômica não podem aparecer conec-

tivos. Uma proposição em que aparecem um ou mais conectivos

são chamadas Proposições Moleculares.

Exemplo 1.4. As seguintes proposições são átomos:

• A em que A é um predicado zerário.

• P (x) ou P (a) onde P é um predicado unário.

• P (x, y, z) ou P (a, b, c) onde P é um predicado terciário.

Exemplo 1.5. As seguintes proposições são proposições molecu-

lares:

• ¬A onde A é um predicado zerário. O conectivo de negação

¬ está modificando A.

• P (x)∧P (y) ou ¬P (a)∨A onde A e P são predicados zerário e

unário respectivamente. Na primeira proposição o conectivo

de conjunção ∧ liga dois átomos P (x) e P (y). Na segunda,

o conectivo de disjunção ∨ liga um átomo A à proposição

molecular ¬P (a).

22


1AULA

• ∀x∃yP (x, y, z) ou ∃zP (a, b, z) onde P é um predicado ter-

ciário. A proposição atômica P (x, y, z) é modificada pelos

quantificadores universal ∀ e existencial ∃. E a proposição

atômica P (a, b, x) é modificada pelo quantificador ∃ existen-

cial.

Definição 1.6. As palavras (fórmulas) da linguagem do cálculo

de predicados são definidas por:

• um átomo é uma fórmula.

• se α e β são fórmulas então ¬α, α∧β, α∨β, α→ β e α↔ β

são fórmulas.

• Se P é um predicado enário e x1, . . . , xn n variáveis. en-

tão ∀x1, . . . , xnP (x1, . . . , xn) e ∃x1, . . . , xnP (x1, . . . , xn) são

fórmulas.

• nada mais é fórmula.

Exemplo 1.6. Os seguintes exemplos são fórmulas válidas na lin-

guagem do cálculo de predicados:

• α

• α ∧ (β → γ)

• (α→ (β ∧ ¬β))→ ¬α

• ∀x(∃y(x < y))

Exemplo 1.7. Os seguintes exemplos são fórmulas não válidas na

linguagem do cálculo de predicados:

• αβ dois átomos que não estão ligados por nenhum conectivo

binário.

23


• α ∧ (β∧ → γ) ∨ α os conectivos ∧ e → juntos.

• (α→ (β¬∧¬β))¬ → ¬α o conectivo ¬ aplicado ao conectivo

→.

• ∀∃x(∃∀y(x < y)) os quantificadores ∀ e ∃ juntos.

1.5 Conclusão

A linguagem é a ferramenta essencial para a comunicação. É

atraves dela que podemos descrever os mecanismos de raciocínio

lógico, na qual utilizamos uma linguagem denominada de Lin-

guagem da Lógica de Predicados. Com regras simples, mas uni-

versais, possibilita que, tanto um Matemático chinês quanto um

Matemático brasileiro possam, sem problemas, ler e compreender

um texto baseado em Lógica de Predicados.

1.6 Resumo

Vimos que as linguagens naturais apresentam três aspectos: o

sintático, o semântico e o pragmático; enquanto que as linguagens

artificiais apresentam apenas dois o sintático e o semântico. O

mofológico diz respeito as regras de construção de palavras e de

frases. O semântico diz respeito ao significado das palavras e das

frases. O pragmático diz respeito aos possíveis significados subten-

dido das frases. A Linguagem da Lógica de Predicados trabalha

com proposições que são frases para as quais podemos associar um

valor verdadeiro ou falso. Vimos também, que a sintaxe da lin-

guagem da lógica de predicados consiste de constantes individuais,

variáveis, predicados enários, dos conectivos negação ¬ (unário),

24


1AULA

conjunção ∧, disjunção ∨, implicação → e dupla implicação ↔

(binários) e dos quantificadores existencial ∃ e universal ∀. Que

uma variável é dita livre se não está no escopo de nenhum quan-

tificador. Que um átomo é um predicado zerário ou um predicado

enário determinado em um conjunto de n constantes individuais

e/ou variáveis. Que as fórmulas (palavras) da lógica de predicados

são definidas por:

• átomos são fórmulas

• se α e β são fórmulas, ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α→ β e α↔ β são

fórmulas.

• se P é um predicado enário e x1, . . . , xn n variáveis. então

∀x1, . . . , xnP (x1, . . . , xn) e ∃x1, . . . , xnP (x1, . . . , xn) são fór-

mulas.

• nada mais é fórmula.

1.7 Atividades

ATIV. 1.1. Escreva cinco exemplos de sentenças em seja seja pos-

sível encontrar aspectos pragmáticos da linguagem.

Comentário: Volte ao texto e reveja o que é significado prag-

mático.

ATIV. 1.2. Elabore a sintaxe de uma linguagem artificial com

apenas dois símbolos iniciais A e B.

Comentário: Observe a sintaxe da linguagem da lógica de predi-

cados.

25


1.8 Referências Bibliográficas

MORTARI, Cezar Augusto. Introdução à Lógica. Editora UNESP.

São Paulo. 2001.

GASPAR, Marisa. Introdução à Lógica Matemática. Disponível

em: http:// mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica. Acessado em

13/01/2007

ABAR, Celina, Noções de Lógica Matemática. Disponível em:

http://www. pucsp.br/∼logica/. Acessado em 13/01/2007

26

2AULA

1LIVRO

Conectivos eQuantificadoresLógicos

META:

Introduzir os conectivos e quantifi-

cadores lógicos.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Compreender a semântica dos

conectivos lógicos;

Aplicar os quantificadores univer-

sal e existencial para modificar

proposições lógicas.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-01 os conhecimentos da sin-

taxe da Linguagem da Lógica de

Predicados.

Conectivos e Quantificadores Lógicos

2.1 Introdução

Em nossa primeira aula, vimos a sintaxe da Linguagem da

Lógica de Predicados. Nesta segunda, complementaremos intro-

duzindo a semântica . Mais precisamente, como os conectivos e

quantificadores modificam o valor de verdade das proposições.

2.2 Semântica da Linguagem da Lógica de

Predicados

Chegamos ao ponto em que é preciso dotar a linguagem do

cálculo de predicados de uma Semântica, isto é, de significado.

Individualmente, a cada átomo podemos associar um de dois valo-

res de verdade: 0 (falso) ou 1 (verdadeiro). Porém, para as fórmu-

las moleculares, precisamos dizer como os conectivos associam um

dos dois valores de verdade à fórmula molecular a partir dos valores

de verdade das fórmulas atômicas que a compõem. Descrevemos

a semântica de uma fórmula molecular usando uma denominada

tabela de verdade, em que cada linha representa uma das possíveis

combinações de valores de verdade de cada átomo que compõem a

fórmula molecular. Na próxima aula, entraremos em detalhe sobre

o uso de tabelas de verdade para a avaliação de fórmulas molecu-

lares. Para uma proposição composta de n átomos são necessárias

2n entradas. Como a maioria dos conectivos são binários, isto é,

conectam duas proposições, o número de possíveis entradas são 4

(quatro). Os conectivos permitem a análise de proposições mais

complexas do tipo “Se Maria tem mais de 18 anos e é mental-

mente sadia, então Maria é juridicamente responsável pelos seus

28


2AULA

atos”. Notem que esta regra não é válida apenas para Maria, seja

lá quem for Maria, vale para todos. Daí, podemos dizer que “To-

das as pessoas que têm mais de 18 anos e são mentalmente sadias

então são juridicamente responsáveis pelos seus atos”. Na segunda

proposição, além do uso de conectivos identificamos o uso do quan-

tificador universal quando dizemos que o predicado ou propriedade

vale para todos os indivíduos.

NEGAÇÃO A negação, como o próprio nome diz, nega a proposi-

ção que tem como argumento. Tem como símbolos ∼ α , ¬α, ou,

algumas vezes, uma barra sobre a variável lógica, α, ou o sinal nega-

tivo, −α, ou o símbolo barra invertida, /α, ou ainda, α′. Lembre-se

de que o símbolo nada mais é que uma simples representação da

negação. O que é relevante é que o significado do símbolo seja

explicitamente declarado. Aqui usaremos o simbólo ¬ para re-

presentar a negação daqui para frente. A semântica do conectivo

negação.

α ¬α

1 0

0 1

Tabela 2.1: semântica do conectivo de negação da Linguagem da

Lógica de Predicados

Exemplo 2.1. Alguns exemplos de uso do conectivo de negação:

• se α =Maria tem um gato, ¬α =Maria não tem um gato.

• se α =O gato é um mamífero, ¬α =O gato não é um mamífe-

ro.

• se α =O rato é um pássaro, ¬α =O rato não é um pássaro.

29


CONJUNÇÃO A conjunção estabelece uma adição entre duas

proposições de modo que se α e β são duas proposições, a con-

junção de α e β será verdade somente no caso em que ambas α e

β forem verdadeiras. O símbolo mais utilizado para a conjunção é

α ∧ β, em Eletrônica Digital é o ponto α • β.

α β α ∧ β

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

Tabela 2.2: semântica do conectivo de conjunção da Linguagem


Exemplo 2.2. Alguns exemplos de uso do conectivo de conjunção:

• caso α =Maria tem um gato malhado e β = O rato é um

pássaro amarelo, teremos então que α ∧ α =Maria tem um

gato malhado e o rato é um pássaro amarelo.

• caso α = A batata é um vegetal e β = Sergipe fica no

Nordeste do Brasil, teremos então que α ∧ β = A batata

é um vegetal e Sergipe fica no nordeste do Brasil.

• caso α = A é a última letra do alfabeto e β = Uma centopéia

tem apenas 11 pares de pernas, teremos então que α ∧ β =

A é a última letra do alfabeto e uma centopéia tem apenas

11 pares de pernas.

• caso α =Um juiz de Direito tem que ser formado em Medi-

cina e q =√

4 = 2 teremos que α ∧ β =Um juiz de Direito

30


2AULA

tem que ser formado em Medicina e√

4 = 2.

DISJUNÇÃO A disjunção estabelece uma separação entre duas

proposições, entendida de modo inclusivo, de modo que se α e β

são duas proposições, a disjunção de α e β será falsa somente no

caso em que ambas α e β forem falsas. O símbolo mais utilizado

para a disjunção é α ∨ β, em Eletrônica Digital, é o mais α+ β.

α β α ∨ β

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 0

Tabela 2.3: semântica do conectivo de disjunção da Linguagem da

Lógica de Predicados

Exemplo 2.3. Alguns exemplos de uso do conectivo de disjunção:

• caso α = O décimo elemento da tabela periódica é o oxigênio

e β = O rato é um pássaro amarelo, teremos então que α∨β =

O décimo elemento da tabela periódica é o oxigênio ou o rato

é um pássaro amarelo.

• caso α =O elefante africano é cinza claro e β =O céu é azul

turquesa, teremos então que α ∨ β =O elefante africano é

cinza claro ou o céu é azul turquesa.

• caso α =Um litro de água pesa um quilo e β = Partículas de

carga elétrica iguais se repelem, teremos então que α∨β =Um

litro de água pesa um quilo ou partículas de carga elétrica

iguais se repelem.

31


• caso α = Uma tartaruga pode viver mais de cem anos e β =

A meningite é uma doença que só ataca as pessoas do sexo

feminino, teremos então que α ∨ β = Uma tartaruga pode

viver mais de cem anos ou a meningite é uma doença que só

ataca as pessoas do sexo feminino.

IMPLICAÇÃO A implicação estabelece uma condição entre

duas proposições: a primeira chamada antecedente e a segunda

de conseqüente, de modo que se α e β são duas proposições, a

implicação α implica em β será falsa somente no caso em que α

(antecedente) for verdadeira e β (conseqüente) é falsa. O símbolo

mais utilizado para a implicação é α→ β, menos usual α ⊃ β.

α β α→ β

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 0 1

Tabela 2.4: semântica do conectivo de implicação da Linguagem


Exemplo 2.4. Alguns exemplos de uso do conectivo de impli-

cação:

• se α =Maria tem um gato e β =O rato é um pássaro, teremos

então que α→ β =Maria tem um gato leva a que o rato é

um pássaro.

• caso α =O elefante é cinza e β =O céu é azul, teremos que

α→ β =Se o elefante é cinza implica em que o céu é azul.

32


2AULA

• caso α =Um litro de água pesa um quilo e β =O Brasil fica

na Ásia, teremos que α→ β = Se um litro de água pesa um

quilo então o Brasil fica na Ásia.

• caso α =Um time de futebol tem 5 jogadores e β =√

4 = 2,

teremos que α→ β =Se um time de futebol tem 5 jogadores

em conseqüência√

4 = 2.

OBS 2.1. A implicação lógica (condicional) pode, a princípio,

parecer estranha pelo fato de que uma implicação é falsa apenas

no caso em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

Este fato é a base de toda a Matemática, ou seja, de uma infor-

mação verdadeira jamais raciocinando matematicamente chegare-

mos a uma conclusão falsa. Na linguagem coloquial, frases como a

do terceiro exemplo não fazem sentido muito embora para a Lógica

de Predicados elas sejam verdadeiras.

DUPLA IMPLICAÇÃO A dupla implicação (bi-condicional)

estabelece uma condição bidirecional entre duas proposições de

modo que se α e β são duas proposições; a dupla implicação será

verdade quando ambas α e β tiverem o mesmo valor de verdade.

O símbolo mais utilizado para a dupla implicação é α↔ β, menos

usual α ≡ β

Exemplo 2.5. Alguns exemplos de uso do conectivo de dupla

implicação:

• se α =Maria tem um gato e β =O rato é um pássaro, teremos

então que α ↔ β =Maria tem um gato se, somente se o

rato é um passaro.

• caso α =O elefante é cinza e β =O céu é azul, teremos então

33


α β α↔ β

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

Tabela 2.5: semântica do conectivo de dupla implicação da Lin-

guagem da Lógica de Predicados

que α ↔ β =O elefante é cinza se, somente se, o céu é

azul.

• caso α =Um litro de água pesa um quilo e β =o hidrogênio

tem peso atômico 17, teremos então que α ↔ β =Um litro

de água pesa um quilo se, somente se, o hidrogênio tem

peso atômico 17.

2.3 Quantificadores

Quantificadores, em Lógica de Predicados, são elementos que

especificam a extensão da validade de um predicado sobre um con-

junto de constantes individuais. Assim, na proposição “todos os

homens são mortais”, estamos estendendo a todos os elementos do

conjunto dos homens a propriedade de ser mortal e na proposição

“existe um planeta com duas luas”, estamos querendo dizer que do

conjunto de todos os planetas ao menos um deles tem duas luas.

QUANTIFICADOR UNIVERSAL Uma proposição é quan-

tificada universalmente quando refere-se à todo elemento do con-

junto do domínio do predicado. O símbolo para o quantificador

universal é ∀.

34


2AULA

QUANTIFICADOR EXISTENCIAL Uma proposição é dita

quantificada existencialmente quando refere-se à algum elemento

do conjunto do domínio do predicado. O símbolo para o quantifi-

cador existencial é ∃.

Exemplo 2.6. Alguns exemplos de uso do quantificador universal

e do quantificador existencial:

• Todo homem é mortal. Podemos aqui representar por P =é

mortal, U =conjunto de todos os homens. Daí, a proposição

pode ser representada por: ∀x, P (x).

• Existe um mamífero de quatro patas. Podemos representar

por P =mamífero de quatro patas, U =conjunto de todos os

mamíferos. Temos então que a proposição pode ser represen-

tada por: ∃x, P (x).

OBS 2.2. A negação de proposições onde aparecem quantificadores

pode ser resumida por:

• ¬(∀x, P (x)) = ∃x,¬P (x).

• ¬(∃x, P (x)) = ∀x,¬P (x).

2.4 Conclusão

A Lógica de Predicados não teria muita utilidade sem os seus

conectivos. Eles ajudam a ligar proposições, de modo a formar

novas e mais complicadas proposições. Os conectivos exercem a

função de reunir fatos para que, posteriormente, possamos tirar

conclusões.

35


2.5 Resumo

A semântica dos conectivos da Linguagem da Lógica de Predi-

cados pode ser resumida na tabela abaixo.

α β ¬α α ∧ β α ∨ β α→ β α↔ β

1 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1

Tabela 2.6: semântica dos conectivos da Linguagem da Lógica de

Predicados

2.6 Atividades

ATIV. 2.1. Para cada um dos conectivos da Lógica de Predicados

escreva três proposições logicamente válidas.

Comentário: Basei-se nos exemplos acima.

ATIV. 2.2. Para cada um dos quantificadores da Lógica de Pre-

dicados escreva uma proposição logicamente válidas.

Comentário: Basei-se nos exemplos acima.



São Paulo. 2001.



13/01/2007

36


2AULA

ABAR, Celina, Noções de Lógica Matemática. Disponível em:


37

3AULA

1LIVRO

Valorações eTabelas de Verdade

META:

Apresentar tabelas de verdade para

classificar proposições lógicas.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Aplicar valorações de um conjunto

de proposiçoes moleculares;

Usar tabelas de verdade para avaliar

as possíveis valorações de um con-

junto de proposições moleculares.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-02 os conhecimentos da

semântica da Linguagem da Lógica

de Predicados.

Valorações e Tabelas de Verdade

3.1 Introdução

Caro aluno, na aula anterior, vimos as definições semânticas

dos conectivos lógicos e dos quantificadores. Hoje, continuare-

mos ainda que em ritmo de valsa, a navegar no mar da Lógica

Matemática aproveitando o passeio para conhecê-la melhor. Nesta

aula, conceituaremos valorações que é uma das formas de se avaliar

as proposições moleculares. Esperamos que o pré-requisito soli-

citado seja realizado, pois ele facilitará a compreensão e o bom

andamento de nossa aula.

3.2 Valorações

Valorações constituem-se em uma das formas de se avaliar uma

proposição molecular a partir de suas proposições atômicas. Para

compreendermos melhor, iniciaremos pela definição:

Definição 3.1. Seja Γ = {α1, . . . , αn} um conjunto com n proposi-

ções atômicas. Definimos uma valoração sobre Γ como uma função

v : Γ 7→ {0, 1}.

OBS 3.1. Uma valoração é uma função que associa a cada uma

das proposições de um conjunto de proposições um de dois valores

de verdade 0 para falso e 1 para verdade.

Exemplo 3.1. Como exemplo podemos tomar Γ = {α, β, γ} uma

possível valoração é v : Γ 7→ {0, 1} dada por:

v(α) = 1, v(β) = 0, v(γ) = 0

.

40


3AULA

A lógica de predicados baseia-se no princípio de que a valoração

de uma proposição molecular é determinada unicamente pelas va-

lorações de suas proposições atômicas. Para estabelecer as regras

que deteminam a valoração de uma proposição molecular, vere-

mos primeiramente algumas operações sobre o conjunto {0, 1}, no

âmbito da álgebra de Boole.George Boole nasceuem Lincoln - Inglaterraem 2 de Novembrode 1815. Autodidata,fundou aos 20 anos deidade a sua própriaescola e dedicou-se aoestudo da Matemática.Em 1847 publicou TheMathematical Analysisof Logic em que in-troduziu os conceitosde lógica simbólicademonstrando quea lógica podia serreduzida a equaçõesalgébricas. Wikipedia

3.3 Álgebra de Boole

A álgebra de Boole ou álgebra booleana foi criada pelo matemá-

tico inglês George Boole e consta do conjunto B = {0, 1} e três

operações + : B ×B 7→ B uma soma, • : B ×B 7→ B um produto

e ∗ : B 7→ B complementar. Definidas pelas tabelas abaixo:

+ 0 1 • 0 1 *

0 0 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1 1 0

OBS 3.2. É fácil verificar (verificação direta) as seguintes pro-

priedades da álgebra de Boole:

• a+ b = b+ a,∀a, b ∈ B

• a+ (b+ c) = (a+ b) + c,∀a, b, c ∈ B

• a • b = b • a,∀a, b ∈ B

• a • (b • c) = (a • b) • c,∀a, b, c ∈ B

• a+ (b • c) = (a+ b) • (a+ c),∀a, b, c ∈ B

• a • (b+ c) = (a • b) + (a • c), ∀a, b, c ∈ B

41


• a+ a∗ = 1, ∀a ∈ B

• a • a∗ = 0, ∀a ∈ B

A partir de agora, caro aluno, podemos definir como calcular uma

valoração de uma proposição molecular a partir da valoração de

suas proposições atômicas. Para isto, usaremos a definição que

representa a semântica dos conectivos lógicos.

Definição 3.2. Sejam α e β proposições atômicas e v : {α, β} 7→

{0, 1} uma valoração então:

• v(¬α) = v(α)∗

• v(α ∧ β) = v(α) • v(β)

• v(α ∨ β) = v(α) + v(β)

• v(α→ β) = v(α)∗ + v(β)

• v(α↔ β) = (v(α)∗ + v(β) • (v(α) + v(β)∗)

3.4 Tabela de Verdade

Dada uma proposição molecular podemos especular sobre quais

os possíveis valores de verdade que ela pode ter para uma deter-

minada valoração de seus átomos. Mais ainda, podemos especular

sobre os valores de verdade que ela pode ter para todas as pos-

síveis valorações de seus átomos. Podemos reunir todas as pos-

síveis valorações de uma proposição molecular em uma tabela, a

qual denominamos de TABELA DE VERDADE. Os possíveis

valores para uma proposição molecular, como vocês já sabem, são

dois: falso 0 e verdadeiro 1. Desta forma, o número de todas as

42


3AULA

possíveis combinações de valores de verdade para um conjunto de

n proposições atômicas é 2n.

OBS 3.3. Cada linha de uma tabela de verdade é denominada

uma instância ou simplesmente uma valoração.

Um conceito muito útil ao se manipular proposições moleculares

é o de subfórmula, que entre outras coisas serve para criação de

tabela de verdade. Vamos à definição:

Definição 3.3. Uma subfórmula é definida pelas seguintes regras:

• se α é uma fórmula então α é uma subfórmula.

• se α, β e γ são fórmulas e α = ¬β, α = β ∧ γ, α = β ∨ γ,

α = β → γ ou α = β ↔ γ então β e γ são subfórmulas de α.

• Se x é uma variável e α = ∀xP (x) ou α = ∃xP (x) então

P (x) é subfórmula de α.

• Se β é subfórmula de α e γ é subfórmula de β então γ é

subfórmula de α.

• nada mais é subfórmula.

Algoritmo s. m.Sistema particular dedisposição que se dáa uma sucessão decálculos numéricos.Dicionário PráticoMichaelis

Vejamos a seguir como o conceito de subfórmula pode ser usado

na elaboração de um algoritmo para criar a tabela de verdade de

uma proposição molecular. Vamos ao algoritmo para construção

da tabela de verdade de uma proposição α molecular.

Passo 1 Contar o número n de símbolos proposicionais.

Passo 2 Montar uma tabela com 2n linhas e tantas colunas, quan-

tas forem as subfórmulas da proposição α.

43


Passo 3 Preencher as colunas dos símbolos proposicionais com 1

ou 0 alternando de cima para baixo para a primeira coluna

1010..., para a segunda coluna 11001100..., para a terceira

coluna 1111000011110000... e assim por diante alternando

sempre em potências de 2.

Passo 4 computar o valor de verdade das outras colunas usando

a semântica dos conectivos lógicos.

3.4.1 Uso de Parêntese e Prioridade dos Conectivos

Lógicos

O uso de parênteses na construção de proposições moleculares

mais complexas é inprescindível. Porém, mesmo em proposições

moleculares relativamente simples o uso de parênteses também é

necessário para evitar ambigüidades. Como exemplo a proposição

α ∨ β ∧ γ que pode ser interpretada de duas maneiras diferentes:

• α ∨ (β ∧ γ)

• (α ∨ β) ∧ γ

Daí, se não usarmos parênteses não poderemos decidir que inter-

pretação teremos.

Em proposições moleculares mais complexas, o número de parên-

teses pode ser reduzido usando-se o subterfúgio da ordem de pri-

oridade. Em palavras mais simples, quem é mais forte do que

quem aplica aos quantificadores lógicos. A convenção para a or-

dem de prioridade dos conectivos lógicos, em ordem crescente de

prioridade é:

44


3AULA

• ¬ negação.

• ∧ conjunção e ∨ disjunção.

• → implicação e ↔ dupla implicação.

Onde, o conectivo ¬ negação é o mais fraco, tem prioridade mais

baixa. Os conectivos ∧ conjunção e ∨ disjunção vem a seguir com

mesmo nível de prioridade, seguidos da → implicação e ↔ dupla

implicação, que têm a maior prioridade, sendo os conectivos mais

fortes.

Desta forma, a proposição (α→ (β ∧ γ)) pode dispensar o par de

parênteses externos e passar a forma α→ (β ∧ γ) que por sua vez,

como a implicação→ tem prioridade sobre a conjunção ∧, o par de

parênteses restante pode ser também dispensado. E a proposição

toma, sem ambigüidade, a forma final α → β ∧ γ. A propósito,

tomaremos esta proposição para exemplificar o algoritmo da tabela

de verdade. Primeiramente vemos que α→ β∧γ tem três átomos.

A saber, α, β e γ, o que nos dá 23 = 8 linhas na tabela de verdade

e como as subfórmulas são: α, β, γ, β ∧ γ e α → β ∧ γ teremos

5 colunas na tabela de verdade. Na coluna referente ao átomo α

alternamos 10101010, na coluna referente ao átomo β alternamos

11001100 e na coluna referente ao átomo γ alternamos 11110000,

construindo a tabela 3.1 .

Finalmente, completamos as colunas restantes (tabela 3.2)

usando a semântica dos conectivos lógicos aplicada a cada uma

das subfórmulas restantes. A saber:

45


α β γ β ∧ γ α→ β ∧ γ

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 0

Tabela 3.1: Proposição α→ β ∧ γ.

3.5 Tautologia, Contradição e Contingência

Você já pensou na possibilidade de que uma proposição molec-

ular possa ser verdadeira independente de quais os valores de ver-

dade de suas proposições atômicas componentes? Se você respon-

deu que já, você acabou de antecipar um conceito importante

TAUTOLOGIA. Para oficializar vamos à definição.

Definição 3.4. Uma fórmula molecular é dita uma tautologia,

denotada >, somente se seu valor de verdade for 1 verdade, para

qualquer combinação de valor de verdade de seus átomos.

A contrapartida da TAUTOLOGIA é a CONTRADIÇÃO que

é falsa independentemete dos valores de verdade de suas proposições

atômicas componentes. Vamos à definição.

Definição 3.5. Uma fórmula molecular é dita uma contradição,

denotada ⊥, somente se seu valor de verdade for 0 falso, para

qualquer combinação de valor de verdade de seus átomos.

46


3AULA

α β γ β ∧ γ α→ β ∧ γ

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 1 0 0

0 0 1 0 1

1 1 0 0 0

0 1 0 0 1

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

Tabela 3.2: Proposição α→ β ∧ γ.

Definição 3.6. Uma fórmula molecular é dita uma contingência,

somente se não for uma tautologia nem uma contradição.

Exemplo 3.2. Como exemplos temos:

• ¬(β → α) uma contingencia.

• α→ (β → α) uma tautologia.

• α ∧ ¬(β → α) uma contradição.

Podemos confirmar verificando a tabela de verdade abaixo.

α β ¬α β → α ¬(β → α) α→ (β → α) α ∧ ¬(β → α)

1 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1 0

Tabela 3.3: Contingência, tautologia e contradição.

47


Caro aluno, por hoje é só. Faremos um pequeno resumo do assunto

exposto nesta aula e propomos algumas atividades de reforço. As

referências bibliográficas fornecem material adicional de consulta,

caso você queira aprofundar-se mais sobre o conteúdo abordado na

aula de hoje.

3.6 Conclusão

Embora as valorações forneçam um modo elegante de definir

a semântica de proposições, as tabelas de verdade constituem um

método mais prático e visual de, também, definir a semântica de

proposições moleculares.

3.7 Resumo

Começamos definindo o conceito de valoração. A saber:

Definição: Seja Γ = {α1, . . . , αn} um conjunto com n proposições

atômicas. Definimos uma valoração sobre Γ como uma função

v : Γ 7→ {0, 1}.

Em seguida, vimos um tipo particular de álgebra definida sobre o

conjunto B = {0, 1} de valores de verdade, conhecida como álgebra

de Boole, e composta de três operações: uma soma, um produto e

um complementar, resumidos nas tabelas:

+ 0 1 • 0 1 *

0 0 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1 1 0

Vimos que a álgebra de Boole permite definir de modo elegante e

conciso, a semântica dos conectivos lógicos, dada por:

48


3AULA

Definição: Se α e β são proposições atômicas e v : {α, β} 7→

{0, 1} uma valoração então, a semântica para os conectivos lógicos

fica definida pelas valorações v(α) e v(β), das proposições α e β,

respectivamente, por:

• v(¬α) = v(α)∗

• v(α ∧ β) = v(α) • v(β)

• v(α ∨ β) = v(α) + v(β)

• v(α→ β) = v(α)∗ + v(β)

• v(α↔ β) = (v(α)∗ + v(β) • (v(α) + v(β)∗)

Que, para traçar a tabela de verdade, que resume todas as pos-

síveis valorações de uma proposição molecular, é útil o conceito de

subfórmula:

Definição: Uma subfórmula é definida pelas seguintes regras:

• se α é uma fórmula então α é uma subfórmula.

• se α, β e γ são fórmulas e α = ¬β, α = β ∧ γ, α = β ∨ γ,

α = β → γ ou α = β ↔ γ então β e γ são subfórmulas de α.

• Se x é uma variável e α = ∀xP (x) ou α = ∃xP (x) então

P (x) é subfórmula de α.

• Se β é subfórmula de α e γ é subfórmula de β então γ é

subfórmula de α.

• nada mais é subfórmula.

Que para traçar uma tabela de verdade para uma proposição mole-

cular usamos o seguinte algoritmo:

49


Passo 1 Contar o número n de símbolos proposicionais.

Passo 2 Montar uma tabela com 2n linhas e tantas colunas quan-

tas forem as subfórmulas da proposição p.

Passo 3 Preencher as colunas dos símbolos proposicionais com 1

ou 0 alternando de cima para baixo para a primeira coluna

1010..., para a segunda coluna 11001100..., para a terceira

coluna 1111000011110000... e assim por diante alternando

sempre em potências de 2.

Passo 4 computar o valor verdade das outras colunas usando as

a semântica dos conectivos lógicos.

Finalmente vimos as definições de tautologia, contradição e con-

tingência dadas por:

Definição: Uma fórmula molecular é dita uma tautologia, de-

notada > se, somente se seu valor de verdade é 1 verdade, para

qualquer combinação de valor de verdade de seus átomos

Definição: Uma fórmula molecular é dita uma contradição, de-

notada ⊥ se, somente se seu valor de verdade é 0 falso para qual-

quer combinação de valor de verdade de seus átomos

Definição: Uma fórmula molecular é dita uma contingência,

somente se não for uma tautologia nem uma contradição

3.8 Atividades

ATIV. 3.1. Construa a tabela de verdade para cada uma das

proposições moleculares abaixo:

• (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ).

50


3AULA

• α→ (β → γ).

Comentário: Reveja o algoritmo e exemplo da seção 3.4.

ATIV. 3.2. Verifique se cada uma das proposições moleculares

abaixo são tautologia, contradição ou contingência:

• (α↔ β) ∧ (β ↔ γ)→ (α↔ γ).

• (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ).

• (α→ β) ∧ (α ∧ ¬β).

Comentário: Use a tabela de verdade para cada uma das proposi-

ções. Reveja o algoritmo e exemplo da seção 3.4



São Paulo. 2001.



13/01/2007

ABAR, Celina. Noções de Lógica Matemática. Disponível em:


51

4AULA

1LIVRO

Regras de Inferênciae Regras deEquivalência

META:

Introduzir algumas regras de

inferência e algumas regras de

equivalência.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Reconhecer se uma proposição é

uma regra de inferência;

Reconhecer se uma proposição é

uma regra de equivalência.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-02 os conhecimentos da

semântica da Linguagem da Lógica

de Predicados.

Regras de Inferência e Regras de Equivalência

4.1 Introdução

Caro aluno, em nossas aulas anteriores, estabelecemos a lin-

guagem da lógica de predicados, conhecida também por lógica de

primeira espécie, estudamos como determinar a semântica de uma

proposição molecular usando tabelas de verdade. Aqui, daremos

um passo adiante, estudaremos as relações de equivalência e vere-

mos como usá-las na manipulação de proposição moleculares.

4.2 Regras de Equivalência

Começaremos nossa aula pela definição do que é uma regra de

equivalência e em seguida, listaremos uma seqüência das principais

regras de equivalência da lógica de predicados. Vejamos:

Definição 4.1. Dizemos que uma fórmula α é semanticamente

equivalente a fórmula β, denotado α ≡ β, somente se α ↔ β for

uma tautologia.

Aqui temos algumas das principais regras de equivalência:

E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção).

E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção).

E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção).

E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção).

E05 (α ∧ β) ∧ γ ≡ α ∧ (β ∧ γ) (Associativa da conjunção).

E06 (α ∨ β) ∨ γ ≡ α ∨ (β ∨ γ) (Associativa da disjunção).

E07 α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) (Distributiva da conjunção).

E08 α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) (Distributiva da disjunção).

E09 ¬¬α ≡ α (Dupla negação).

54


4AULA

E10 ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção).

E11 ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção).

E12 α→ β ≡ ¬α ∨ β (Implicação).

E13 α↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α) (Dupla implicação).

Augustus De Morgannasceu em Madura,na Índia, em 27 dejunho de 1806 - morreuem Londres, 18 demarco de 1871. Foi umMatemático e Lógicobritânico. Formulou asLeis de De Morgan efoi o primeiro a tornarrigorosa a idéia daIndução Matemática.Wikipedia

OBS 4.1. As propriedades comutativas e associativas da con-

junção e da disjunção significam que em uma proposição envol-

vendo só conjunções ou disjunções podemos dispensar o uso de

parênteses. Observamos também, que a dupla implicação também

possui propriedades comutativa e associativa. Por outro lado a

implicação não é comutativa (vide a propriedade contrapositiva)

nem associativa (vide propriedade da implicação).

OBS 4.2. As leis de De Morgan como o nome já indica foram

proposta pelo matemático inglês Augustus De Morgan e descrevem

como a negação é distribuída sobe a conjunção e sobre a disjunção.

OBS 4.3. Uma infinidade de outras regras de equivalência podem

ser propostas. As expostas acima são algumas das mais impor-

tantes, pois representam importantes propriedades dos conectivos

lógicos.

Da mesma forma definiremos primeiramente o que vem a ser uma

regra de inferência, para em seguida listar algumas das principais

regras de inferência da lógica de predicados. A saber:

Definição 4.2. Dizemos que uma fórmula β é semanticamente in-

ferida das fórmulas α1, . . . , αn, denotado α1, . . . , αn ` β se somente

se α1 ∧ · · · ∧ αn → β é uma tautologia.

Aqui temos algumas das principais regras de inferência:

I01 α, β ` α (Simplificação)

55


I02 α ` α ∨ β (Adição)

I03 α, α→ β ` β (Modus pones)

I04 ¬β, α→ β ` ¬α (Modus Tollens)

I05 α→ β, β → γ ` α→ γ (Silogismo hipotético)

OBS 4.4. As regras de inferência, na lógica de predicados, são

infinitas. Porém, aqui listamos apenas algumas das mais impor-

tantes.

Completando as regras de inferência e de equivalência temos os

axiomas, sobre os quais a lógica de predicados é estabelecida. Axi-

omas são em si regras de inferências ou de equivalência tão especiais

que mereceram o status de axiomas isto é, proposições assumidas

como verdades absolutas. O conjunto de axiomas pode ter um ou

mais axiomas substituídos por outros. Mesmo o número de axi-

omas adotados pode variar dependendo da vontade, estilo ou telha

do Lógico Matemático que os propõe. Veremos aqui os axiomas

mais usuais. A saber:

A01 x = x Axioma da identidade.

A02 ((x = y) ∧ P (x)) ` P (y) Axioma da substituição.

A03 (α→ (β ∧ ¬β)) ` ¬α Axioma da não-contradição.

A04 (α→ β) ∧ (¬α→ β) ` β Axioma do terceiro excluído.

OBS 4.5. O axioma da identidade diz que qualquer objeto é igual

a si mesmo. Embora possa parecer óbvio que qualquer coisa é

igual a ela mesma, este objeto do conhecimento comum tem que

ser axiomatizado, visto que em Matemática não existe nada óbvio

56


4AULA

tudo tem que ser provado, demonstrado ou axiomatizado isto é,

assumido como verdade.

OBS 4.6. O axioma da substituição, juntamente com o axioma da

identidade formam uma base sólida para muitas das demonstrações

em Matemática. Em particular o axioma da substituição diz que se

dois objetos matemáticos são iguais, onde aparecem uma instância

do primeiro, ela pode ser substituída pelo segundo.

OBS 4.7. O axioma da não-contradição cuida para que uma pro-

posição não possa ser provada dentro da lógica e que sua negação

também possa ser provada.

OBS 4.8. Um axioma do terceiro excluído, conhecido também

como axioma do meio termo excluído, diz que uma proposição

deverá ser ou falsa ou verdadeira, sendo vedado o direito de ser

falsa e verdadeira e também negado o direito de ser nem falsa nem

verdadeira. Estas duas proibições fincam a base da Matemática.

Porém, como a lógica é mais uma filosofia, desta forma a Lógica

Paraconsistente mantêm o princípio do terceiro excluído com ape-

nas a proibição de uma proposição ser nem falsa e nem verdadeira

e relaxando a proibição de ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.

Já a Lógica Paracompleta mantêm a proibição de uma proposição

ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, porém aceita que uma

proposição possa ser nem falsa e nem verdadeira.

Completando os axiomas acima, temos mais três esquemas de

axiomas. A saber:

A05 (α→ (β → α))

A06 ((α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)))

A07 ((¬β → ¬α)→ ((¬β → α)→ β))

57


4.3 Subconjuntos Completos de Conectivos

O conceito de subconjunto completo de conectivos é importante

para quem deseja desenvolver a lógica de predicados de forma mais

compacta em seu aspecto sintático, porém ao diminuir a quanti-

dade de conectivos para representar uma dada proposição, aumen-

tamos drasticamente o número de parênteses que por sua vez é uma

complicação manter a paridade abre parêntese, fecha parêntese.

Definição 4.3. Denotamos e definimos o conjunto de conectivos

básicos da Lógica de Predicados por:

C = {¬,∧,∨,→,↔}

Definição 4.4. Seja A ⊂ C. Dizemos que A é completo, somente

se todos os conectivos de C poderem ser equivalentes a uma fór-

mula em que constem apenas conectivos de A.

Exemplo 4.1. A = {¬,∧,∨} é um conjunto completo de conec-

tivos.

PROVA:01 α→ β ≡ ¬α ∨ β implicação

02 α↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α) dupla implicação

03 α↔ β ≡ (¬α ∨ β) ∧ (¬β ∨ α) 1 em 2Portanto, 1 e 3 garantem que A é um subconjunto completo de

conectivos de C. �

Vejamos também um segundo exemplo.

Exemplo 4.2. A = {¬,→} é um conjunto completo de conectivos.

58


4AULA

PROVA:01 α→ β ≡ ¬α ∧ β implicação

02 ¬α ∧ β ≡ α→ β α ≡ β ↔ β ≡ α

03 ¬¬α ∧ β ≡ ¬α→ β de 2 e α = ¬α

04 α ∧ β ≡ ¬α→ β de 3 e ¬¬α ≡ αAntes de continuar com a prova é necessário uma nova inferência.

A saber: α ≡ β ` ¬α ≡ ¬β.

PROVA:05 α ≡ β Premissa

06 α↔ β definição

07 (α→ β) ∧ (β → α) dupla implicação

08 (¬β → ¬α) ∧ (¬α→ ¬β) contrapositiva

09 (¬α→ ¬β) ∧ (¬β → ¬α) comut. da conjunção

10 ¬α↔ ¬β dupla implicação

11 ¬α ≡ ¬β definiçãoPodemos agora encontrar uma fórmula para disjunção. A saber:

12 ¬(α ∧ β) ≡ ¬(¬α→ β) aplicando 11 em 4

13 ¬α ∨ ¬β ≡ ¬(¬α→ β) De Morgan

14 ¬¬α ∨ ¬¬β ≡ ¬(¬¬α→ ¬β) α = ¬α e β = ¬β

15 α ∨ β ≡ ¬(α→ ¬β) ¬¬α ≡ α e ¬¬β ≡ βFinalmente vamos encontrar uma fórmula para a dupla implicação.

A saber:16 α↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α) dupla implicação

17 α↔ β ≡ ¬(α→ β)→ (β → α) usando 4 em 16Portanto, 4, 15 e 17 garantem que A é um subconjunto completo

de conectivos de C. �

Podemos também, definir novos conectivos partindo de um con-

junto completo de conectivos, como na tabela abaixo.

59


Descrição Símbolo Definição do conectivo

Tautologia > α ∨ ¬α

Contradição ⊥ α ∧ ¬α

Ou excluusivo�∨ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)

Não-e−∧ ¬(α ∧ β)

Não-ou−∨ ¬(α ∨ β)

Uma pergunta agora seria muito natural. Seria possível encontrar

um conjunto completo de conectivos com apenas um elemento?

A reposta é sim, e esses conectivos são chamados de “barras de

Sheffer” ou “conectivos de Sheffer”, definidos por:

Definição 4.5. Sejam α e β duas proposições atômicas. Defini-

mos os conectivos de Sheffer, denotados, α ↓ β e α|β, por:

α β α ↓ β α|β

1 1 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 1 1

OBS 4.9. Como ¬α ≡ α ↓ α e α ∧ β ≡ (α ↓ α) ↓ (β ↓ β) e

A = {¬,∧} é um conjunto completo. Logo B = {↓} é também um

conjunto completo.

OBS 4.10. Temos que, como ¬α ≡ α|α e α ∨ β ≡ (α|α)|(β|β) e

A = {¬,∨} é um conjunto completo. Logo B = {|} é também um

conjunto completo.

60


4AULA

4.4 Conclusão

Ao final dessa aula, podemos concluir que é possível fazer a

Lógica de predicados com um número menor de conectivos, porém

resulta na complexidade das proposições geradas por estes novos

conjuntos de conectivos.

4.5 Resumo

Começamos por definir o que é uma regra de equivalência:

Definição: Dizemos que uma fórmula α é semanticamente equi-

valente a fórmula β, denotado α ≡ β, somente se α ↔ β for uma

tautologia.

Em seguida vimos vários tipos de regras de equivalência:

E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção).

E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção).

E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção).

E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção).

E05 (α ∧ β) ∧ γ ≡ α ∧ (β ∧ γ) (Associativa da conjunção).

E06 (α ∨ β) ∨ γ ≡ α ∨ (β ∨ γ) (Associativa da disjunção).

E07 α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) (Distributiva da conjunção).

E08 α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) (Distributiva da disjunção).

E09 ¬¬α ≡ α (Dupla negação).

E10 ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção).

E11 ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção).

E12 α→ β ≡ ¬α ∨ β (Implicação).

E13 α↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α) (Dupla implicação).

Vimos também a definição de regras de inferência, dada por:

61


Definição: Dizemos que uma fórmula β é semanticamente inferida

das fórmulas α1, . . . , αn, denotado α1, . . . , αn ` β se somente se

α1 ∧ · · · ∧ αn → β é uma tautologia.

E algumas poucas regras de inferência. A saber:

I01 α, β ` α (Simplificação)

I02 α ` α ∨ β (Adição)

I03 α, α→ β ` β (Modus pones)

I04 ¬β, α→ β ` ¬α (Modus Tollens)

I05 α→ β, β → γ ` α→ γ (Silogismo hipotético)

Vimos que a Lógica Matemática é baseada em alguns axiomas, que

são proposições tomadas como verdadeiras independentemente de

demonstrações. E um conjunto de axiomas pode ser dado por:

A01 x = x Axioma da identidade.

A02 ((x = y) ∧ P (x)) ` P (y) Axioma da substituição.

A03 (α→ (β ∧ ¬β)) ` ¬α Axioma da não-contradição.

A04 (α→ β) ∧ (¬α→ β) ` β Axioma do terceiro excluído.

Em seguida vimos a definição de conjunto completo de conectivos.

A saber:

Definição: Denotamos e definimos o conjunto de conectivos bási-

cos da Lógica de Predicados por: C = {¬,∧,∨,→,↔}

Definição: Seja A ⊂ C. Dizemos que A é completo, somente se

todos os conectivos de C poderem ser equivalentes a uma fórmula

em que constem apenas conectivos de A.

Finalmente vimos os conectivos de Sheffer, definidos pela tabela

de verdade abaixo:

Definição: Sejam α e β duas proposições atômicas. Definimos os

conectivos de Sheffer, denotados, α ↓ β e α|β, por:

62


4AULA

α β α ↓ β α|β

1 1 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 1 1

4.6 Atividades

ATIV. 4.1. Mostre que A = {¬,∧} e A = {¬,∨} são conjuntos

completos de conectivos.

Comentário: Reveja os exemplos da seção 4.3

ATIV. 4.2. Considere os conectivos de Sheffer e mostre, usando

tabela de verdade, que:

• ¬α ≡ α ↓ α

• α ∧ β ≡ (α ↓ α) ↓ (β ↓ β)

• ¬α ≡ α|α

• α ∨ β ≡ (α|α)|(β|β)

Comentário: Reveja a aula anterior sobre tabelas de verdade.



São Paulo. 2001.



13/01/2007

63




64

5AULA

1LIVRO

Teorias Axiomáticas

META:

Apresentar teorias axiomáticas.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Criar teorias axiomáticas;

Provar a independência dos axiomas

de uma teoria axiomática.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-02 e Aula-04 os conhecimen-

tos da semântica da Linguagem

da Lógica de Predicados, das re-

gras de inferência e das regras de

equivalência .


5.1 Introdução

Caro aluno, em nossas aulas anteriores, estabelecemos a lin-

guagem da lógica de predicados, conhecida também por lógica de

primeira espécie. Vimos também como determinar a semântica de

uma proposição molecular usando tabelas de verdade. Estudamos

as relações de equivalência e vimos como usá-las na manipulação

de proposições moleculares. Na aula de hoje, dando continuidade

ao nosso estudo da Lógica, o assunto abordado será “Teorias Axi-

omáticas”.Euclides, matemáticogrego, nasceu emAlexandria. Foi ocriador da famosageometria euclidiana.Escreveu Stoichia(Os elementos, 300a.C.) composto de 13livros: cinco sobregeometria plana, trêssobre números, umsobre a teoria dasproporções, um sobreincomensuráveis e ostrês últimos sobregeometria no espaço.Wikipedia

5.2 Sistemas Axiomáticos

O primeiro sistema axiomático conhecido é a Geometria Eu-

clidiana desenvolvida pelo Matemático grego Euclides. Embora

em uma forma rudimentar, a Geometria Euclidiana tem basica-

mente a mesma estrutura do que hoje denominamos de um sis-

tema axiomático. Seus críticos, no entanto, dizem que ela surgiu

da incapacidade de Euclides provar certas proposições da geome-

tria plana. Se isto é verdade ou não, não sabemos, mas o fato é que

a Geometria Euclidiana teve uma grande importância na história

do desenvolvimento da Matemática.

Definição 5.1. Um Sistema axiomático é uma estrutura consti-

tuída de:

• Termos indefinidos.

• Termos definidos a partir dos termos indefinidos.

• Proposições envolvendo os termos indefinidos e/ou os ter-

mos definidos, assumidas como verdadeiras e denominadas

66


5AULA

axiomas.

OBS 5.1. Para os antigos filósofos gregos, um axioma era uma

reivindicação que poderia ser vista como verdadeira sem nenhuma

necessidade de prova.

OBS 5.2. Na Geometria Euclidiana, Euclides não faz uso de ter-

mos indefinidos. Por exemplo, definiu ponto como: “ponto é aquilo

que não tem dimensão”. No entanto esta definição é vazia, já que o

termo dimensão não foi por ele definido nem assumido como termo

indefinido. Dos três aspectos que definem uma teoria axiomática

apenas os termos definidos podem ser dispensáveis.

Definição 5.2. Um sistema axiomático é dito consistente somente

se, partindo de seus axiomas não podermos provar uma proposição

envolvendo seus termos definidos e/ou indefinidos e provar também

a sua negativa.

Definição 5.3. Um sistema axiomático é dito completo, somente

se for possível provar ou refutar qualquer proposição envolvendo

seus termos definidos e/ou indefinidos.

Definição 5.4. Um sistema axiomático é dito independente, so-

mente se cada um de seus axiomas não pode ser deduzido a partir

dos demais axiomas.

OBS 5.3. Kurt Goedel mostrou que um sistema axiomático pode

ter a propriedade de consistência ou de completude, nunca as

duas ao mesmo tempo. Das duas propriedades a mais impor-

tante para a Matemática é a consistência. Não é admissível poder,

em Matemática, provar que um teorema é ao mesmo tempo falso

67


e verdadeiro. Quanto a independência, alguns matemáticos ad-

mitem sistemas axiomáticos redundantes, cujos axiomas não são

independentes.

5.2.1 Exemplos de Alguns Sistemas Axiomáticos

Exemplo 5.1. Considere o seguinte sistema axiomático

• Termos Indefinidos

TI1 O conjunto A de “termos indefinidos um”

• Termos Definidos

TD1 O operador © : A×A 7→ A “operador um”

TD2 O operador � : A×A 7→ A “operador dois”

• Axiomas

A1 ∀a, b ∈ A, a© b = b© a

A2 ∀a, b, c ∈ A, (a© b)© c = a© (b© c)

A3 ∃x ∈ A|∀a ∈ A, a© x = a

A4 ∀a ∈ A,∃a∗ ∈ A|a© a∗ = x

A5 ∀a, b, c ∈ A, (a�b)�c = a�(b�c)

A6 ∀a, b, c ∈ A, a�(b© c) = (a�b)© (a�c), (b© c)�a =

(b�a)© (c�a)

68


5AULA



TI1 O conjunto A de “termos indefinidos um”, representados

por letras latinas maiúsculas

TI2 O conjunto a de “termos indefinidos dois”, representados

por letras latinas minúsculas

TI3 Uma relação de igualdade (=) entre os “termos indefinidos

um”

TI4 Uma relação binária (©) entre os “termos indefinidos

um” e os “termos indefinidos dois”

• Axiomas

A1 ∀A,B,¬(A = B),∃!x|A© x ∧B© x

A2 ∀x,∃A,B,¬(A = B)|A© x ∧B© x

A3 ∃x,∃A|¬(A© x)



TI1 O conjunto A de “termos indefinidos um”, representados

por letras latinas maiúsculas

TI2 O conjunto a de “termos indefinidos dois”, representados

por letras latinas minúsculas

TI3 Uma relação de igualdade (=) entre os “termos indefinidos

um”

69


TI4 Uma relação binária (©) entre os “termos indefinidos

um” e os “termos indefinidos dois”

• Axiomas

A1 ∃A,B,C,¬(A = B),¬(A = C),¬(B = C)

A2 ∀A,∃!x|A© x

A3 ∀x,∃!A,B,¬(A = B)|A© x ∧B© x

Definição 5.5. Um modelo para um sistema axiomático é uma

estrutura bem definida que dá significado aos termos indefinidos e

satisfaz cada um de seus axiomas.

OBS 5.4. A existência de um modelo concreto para um sistema

axiomático prova a consistência do mesmo. Modelos servem tam-

bém para provar a independência dos axiomas de um sistema axi-

omático. Basta mostrar modelos em que cada um dos axiomas de

um sistema axiomático não é satisfeito, enquanto que os demais

são satisfeitos.

Vamos a alguns modelos para os sistemas axiomáticos exemplifi-

cados acima.

MODELO 5.1. Para o primeiro sistema axiomático, que em ál-

gebra define uma estrutura de anel, um modelo pode ser dado por

A = Z conjunto dos inteiros, © = + soma nos inteiros e � = •

produto nos inteiros. Os axiomas terão, então, os seguintes sig-

nificados: A1 propriedade comutativa da soma, A2 propriedade

associativa da soma, A3 existência do elemento neutro aditivo,

A4 existência do elemento simétrico A5 propriedade associativa

do produto e A6 propriedade distributiva.

70


5AULA

OBS 5.5. Outros modelos envolvendo conjuntos numéricos

constituim-se em um anel como os racionais Q, os reais R e os

complexos C. Temos também em álgebra, muitos exemplos de

anéis finitos isto é, com um número finito de elementos.

MODELO 5.2. Para sistema axiomático do exemplo 2, conhecido

como primeira geometria da incidência, um modelo pode ser dado

por: A = {A,B,C} apenas três elementos, a = {{A,B}, {A,C}, {

B,C}} os três subconjuntos de A constituídos por dois elementos e

© =∈ a relação de pertinência, no sentido da teoria dos conjuntos.

Os axiomas são verificados por exaustão.

A1:

¬(A = B)→ ∃!x, x = {A,B}|A ∈ x ∧B ∈ x

¬(A = C)→ ∃!x, x = {A,C}|A ∈ x ∧ C ∈ x

¬(B = C)→ ∃!x, x = {B,C}|B ∈ x ∧ C ∈ x

Logo:

∀A,B,¬(A = B),∃!x|A© x ∧B© x

A2:

x = {A,B} → ∃A,B,¬(A = B)|A ∈ x ∧B ∈ x

x = {A,C} → ∃A,C,¬(A = C)|A ∈ x ∧ C ∈ x

x = {B,C} → ∃B,C,¬(B = C)|B ∈ x ∧ C ∈ x

Logo:

∀x,∃A,B,¬(A = B)|A© x ∧B© x

A3:

x = {B,C} → ¬(A ∈ x)

Logo:

∃x,∃A|¬(A© x)

Desta forma todos os três axiomas são satisfeitos pelo modelo.

OBS 5.6. Como foi possível encontrar um modelo para os sis-

71


temas axiomáticos dos exemplos 1 e 2, estes sistemas axiomáticos

são consistentes. Porém, o sistema axiomático do exemplo 3 é in-

consistente, desde que com três elementos é impossível satisfazer

os axiomas A2 e A3.

Caro aluno, por hoje é só. Mas como podemos perceber no decor-

rer de nossa aula, o conteúdo abordado exigiu um pouco mais de

atenção e dedicação para obtermos uma compreensão melhor, por

isso continuem estudando e releiam a aula o quanto for necessário.

Não abandone o lápis e o papel e procure repetir as argumentações

apresentadas

5.3 Conclusão

Na Matemática também é necessário acreditar em alguma coisa

e admiti-la como verdade sem nenhuma prova, isto é, são os Sis-

temas Axiomáticos que possiblitam a existência da Matemática

como a conhecemos hoje. Que, dos vários aspectos de uma teoria

axiomática a que mais importa para a Matemática é a sua con-

sistência.

5.4 Resumo

Começamos por estabelecer, via definição, o conceito de sis-

tema axiomático. A saber:

Definição: Um Sistema axiomático é uma estrutura constituída

de:

• Termos indefinidos.

• Termos definidos a partir dos termos indefinidos.

72


5AULA

• Proposições envolvendo os termos indefinidos e/ou os ter-

mos definidos, assumidas como verdadeiras e denominadas

axiomas.

Em seguida definimos três importantes propriedades de sistemas

axiomáticos. A saber:

Definição: Um sistema axiomático é dito consistente, somente

se partindo de seus axiomas não podermos provar uma proposição

envolvendo seus termos definidos e/ou indefinidos e também provar

a sua negativa.

Definição: Um sistema axiomático é dito completo, somente se

for possível provar ou refutar qualquer proposição envolvendo seus

termos definidos e/ou indefinidos.

Definição: Um sistema axiomático é dito independente, somente

se cada um de seus axiomas não pode ser deduzido a partir dos

demais axiomas.

5.5 Atividades

ATIV. 5.1. Modifique os axiomas do exemplo 3 de modo que o

novo sistema axiomático, assim constituído, seja consistente.

Comentário: Volte ao texto e reveja o conceito de consistência.

ATIV. 5.2. Escreva um sistema axiomático com três axiomas e

proponha um modelo para o mesmo.

Comentário: Não é necessário provar nenhuma das propriedades

dos sistemas axiomáticos: independência, completude ou consistên-

cia.

ATIV. 5.3. Proponha um modelo para o sistema axiomático do

exemplo 2.

73


Comentário: Volte ao texto e reveja os exemplos.



São Paulo. 2001.



13/01/2007



74

6AULA

1LIVRO

Teoria daDemonstração

META:

Introduzir os procedimentos

lógicos para uma demonstração

matemática.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Diferenciar de um teorema a

hipótese e a tese;

Aplicar as técnicas de demonstração

na prova de teoremas.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-05 os conhecimentos de

sistemas axiomáticos.

Teoria da Demonstração

6.1 Introdução

Nas aulas anteriores, estabelecemos a linguagem da lógica de

predicados em seu aspecto sintático, conhecida também por lógi-

ca de primeira espécie. Estudamos também, como determinar a

semântica de uma proposição molecular. Fizemos um breve passeio

entre as regras de equivalência e das regras de inferência. Em

nossa aula anterior estudamos os Sistemas Axiiomáticos e suas

propriedades. Na aula de hoje, estudaremos e exemplificaremos

algumas Técnicas de Demonstração e veremos como isolar de um

teorema a hipótese e a tese.

6.2 Teoria da Demonstração

David Hilbert (Königs-berg, 23/01/1862- Göttingen,14/02/1943). Con-solidou a Teoriados Invariantes; ax-iomatizou de formaconsistente a Geome-tria Euclidiana e criouos Espaços de Hilbert.

A teoria da demonstração é uma subdivisão da Lógica Mate-

mática que encara as demonstrações como um objeto formal da

Matemática. Uma demonstração pode, por exemplo, ser vista

como uma estrutura de dados conhecida como estrutura de árvore,

sujeita a certos axiomas. A teoria da demonstração é um subpro-

duto do esforço dos formalistas em sua pretensão de formalizar a

Matemática como uma teoria axiomática, em que sua consistência

fosse provada. Kurt Göedel, entretanto, deu um banho de água

fria nesta pretensão quando provou que um sistema axiomático se

é consistente não é completo e portanto, nem todas as proposições

válidas poderão ser provadas. Entretanto, a teoria da demon-

stração serve como guia para Matemáticos como uma base para ori-

entar as demonstrações nas diversas áreas da Matemática. Come-

çaremos por expor os axiomas propostos por David Hilbert para

sua Teoria da Demonstração:

76


6AULA

A1 Axioma da identidade

∀x, x = x

A2 Axioma da substituição

∀P ((x = y ∧ P (x))→ P (y)

A3 Indução de uma hipótese

α→ (β → α)

A4 Omissão de uma hipótese

(α→ (α→ β))→ (α→ β)

A5 Permutação de hipóteses

(α→ (β → γ))→ (β → (α→ β))

A6 Eliminação de uma proposição

(α→ β)→ ((γ → α)→ (γ → β))

A7 Axioma da não contradição

(α→ β ∧ ¬β)→ ¬α

A8 Axioma da dupla negação

¬¬α→ α

Em adição aos axiomas acima, são válidas as seguintes regras de

inferência:

I1 α ∧ β ` α

I2 α ∧ β ` β

I3 α ` (β → α ∧ β)

I4 α ` α ∨ β

77


I5 α→ γ, β → γ ` (α ∨ β)→ γ

Existem outas versões da teoria da demonstração com apenas cinco

axiomas e uma regra de inferência (Modus ponnes) porém, não é

intenção esgotar o assunto nem extendê-lo mais que o necessário

em um primeiro curso de Fundamentos de Matemática.

6.3 Tipos de Demonstração

Na teoria da demonstração de Hilbert, omitimos o axioma re-

ferente a demonstração por indução. Para esta forma de demons-

tração voltaremos a nossa atenção nas aulas referentes a números.

Neste ponto veremos algumas das técnicas de demonstração seguida

de alguns exemplos ilustrativos. Podemos classificar as diversas

técnicas de demonstrações como:

6.3.1 Demonstração Direta

A demonstração direta consiste em, partindo das proposições α1,

. . . , αn em um modelo MMM, usar as regras de inferência e as regras

de equivalência até chegar na proposição β. Podemos representar

esquematicamente por:

α1, . . . , αn |= β.

As proposições α1, . . . , αn são ditas hipóteses ou premissas en-

quanto que a proposição β é dita tese.

OBS 6.1. De modo geral em uma demonstração, para simplificar

e encurtar ela, é necessário acrescentar ao conjunto de premissas

α1, . . . , αn alguns teoremas já provados e conhecidos no âmbito

do modelo MMM. Este procedimento não se restringe à técnica da

78


6AULA

Demonstração Direta e sim usa-lo como complemento à todas as

técnicas aqui apresentadas.

6.3.2 Demonstração Indireta Contrapositiva

A demonstração indireta contrapositiva consiste em partir da pre-

missa ¬β em um modelo MMM e usando as regras de inferência e as

regras de equivalência chegar no argumento ¬α1∨. . .∨¬αn. Em ou-

tras palavras consiste em provar a contra-positiva de α1∧· · ·∧αn →

β. Podemos representar esquematicamente por:

¬β |= ¬α1 ∨ . . . ∨ ¬αn.

6.3.3 Demonstração Indireta por Redução ao Ab-

surdo

A demonstração indireta por redução ao absurdo em um modelo

MMM consiste em demonstrar, usando as regras de inferência e as

regras de equivalência, que α1 ∧ · · · ∧ αn ∧ ¬β é uma contradição.

Veremos agora, alguns exemplos de demonstrações para ilustrar as

técnicas de demonstrações expostas acima. Mais exemplos poderão

ser encontrados nos livros de Matemática. Demonstração é uma

arte e as técnicas de demonstração são os instrumentos desta arte.

Só a prática leva a uma desenvoltura em demonstrar teoremas. A

intuição e principalmente a completa compreensão do enunciado

dos teoremas e o domínio da Lógica Matemática são essenciais a

uma demonstração.

Exemplo 6.1. Considerando o sistema axiomático 1 (Aula-05),

provaremos, usando demonstração direta, o seguinte teorema:

∀a ∈ A, x�a = x

79


PROVA: ∀a ∈ A(x�a)© (x�a)∗ = x De A4

x© x = x De A3 fazendo a← x

((x© x)�a)© (x�a)∗ = x Do axioma da substituição

((x�a)© (x�a))© (x�a)∗ = x De A6

(x�a)© ((x�a)© (x�a)∗) = x De A2

(x�a)© x = x De A4

∀a ∈ A, x�a = x De A3

Exemplo 6.2. Provaremos , usando demonstração indireta por

contra-positiva, o seguinte teorema:

∀n ∈ N|n2 é par então n é par.

PROVA: A forma contra-positiva do teorema é:

∀n ∈ N|n não é par então n2 não é par.

Que pode ser reescrita como:

∀n ∈ N|n é ímpar então n2 é ímpar.

n ∈ N é ímpar Premissa

∃k ∈ N|n = 2k + 1 Definição de número ímpar

n2 = n2 Axima da identidade

n2 = (2k + 1)2 Axioma da substituição

n2 = (2k + 1) · (2k + 1) Definição de potência

n2 = 4k2 + 4k + 1 Distri. e associ. em N

n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 Distributividade em N

∃j ∈ N, j = 2k2 + 2k|n2 = 2j + 1 Portanto n2 é impar.

Como exemplo, de uma demonstração indireta por redução ao ab-

surdo veremos uma demonstração de unicidade. Demonstrações

de unicidade seguem um padrão. Para demonstrar que só existe

um x que satisfaz a proposição p(x), isto é ∃!x|p(x), basta estabe-

lecer a Hipótese Nula ∃x1, x2, x1 6= x2|p(x1)∧ p(x2) e mostrar que

a mesma é uma contradição chegando que x1 = x2.

80


6AULA

Exemplo 6.3. Considerando o sistema axiomático 1 (Aula-05),

provaremos, usando demonstração indireta por redução ao ab-

surdo, o seguinte teorema:

∃!x ∈ A|∀a ∈ A, a© x = a

PROVA: Usaremos a seguinte Hipótese Nula:

HN ∃x1, x2, x1 ∈ A 6= x2|∀a ∈ A, (a© x1 = a) ∧ (a© x2 = a)

1 a© x1 = a Premissa

2 x2© x1 = x2 Fazendo em 1 a← x2

3 a© x2 = a Premissa

4 x1© x2 = x1 Fazendo em 3 a← x1

5 x2© x1 = x1 Usando em 4 o axioma A1

6 x1 = x2© x1 Propriedade reflexiva da igualdade

7 x1 = x2 De 2 e 6 e da transi. da igualdade

8 x1 6= x2 Premissa

9 (x1 = x2) ∧ (x1 6= x2) Absurdo.

HN é falsa e ∃!x ∈ A|∀a ∈ A, a© x = a

Encerraremos por aqui o capítulo dedicado a Lógica Matemática.

Muito mais poderia ser exposto, porém para um primeiro contato

com os Fundamentos de Matemática, considero suficientes as idéias

aqui expostas. Para um aprofundamento do conteúdo, aconselho

dar uma olhada nas referências bibliográficas e consultar na IN-

TERNET os sites indicados

6.4 Conclusão

Concluímos que, embora demonstrar um proposição em Mate-

mática requera uma boa dose de experiência e inspiração, existem

regras e técnicas que ajudam nesta tarefa.

81


6.5 Resumo

Começamos por expor, em uma forma simplificada, sem o axi-

oma da indução, a Teoria da Demonstração do Matemático alemão

David Hilbert, composta dos seguintes axiomas:

A1 Axioma da identidade

∀x, x = x

A2 Axioma da substituição

∀P ((x = y ∧ P (x))→ P (y)

A3 Indução de uma hipótese

α→ (β → α)

A4 Omissão de uma hipótese

(α→ (α→ β))→ (α→ β)

A5 Permutação de hipóteses

(α→ (β → γ))→ (β → (α→ β))

A6 Eliminação de uma proposição

(α→ β)→ ((γ → α)→ (γ → β))

A7 Axioma da não contradição

(α→ β ∧ ¬β)→ ¬α

A8 Axioma da dupla negação

¬¬α→ α

E das seguintes regras de inferência:

I1 α ∧ β ` α

82


6AULA

I2 α ∧ β ` β

I3 α ` (β → α ∧ β)

I4 α ` α ∨ β

I5 α→ γ, β → γ ` (α ∨ β)→ γ

Quanto às Técnicas de Demonstração, resumimos desta forma:

Demonstração Direta: A demonstração direta consiste em,

partindo das proposições α1, . . . , αn em um modelo MMM, usar as

regras de inferência e as regras de equivalência até chegar na pro-

posição β. Podemos representar esquematicamente por:

α1, . . . , αn |= β.

Demonstração Indireta Contrapositiva: A demonstração

indireta contrapositiva consiste em partir da premissa ¬β em um

modelo MMM e usando as regras de inferência e as regras de equiva-

lência chegar no argumento ¬α1 ∨ . . .∨¬αn. Podemos representar

esquematicamente por:

¬β |= ¬α1 ∨ . . . ∨ ¬αn.

Demonstração Indireta por Redução ao Absurdo A demon-

stração indireta por redução ao absurdo em um modelo MMM consiste

em demonstrar, usando as regras de inferência e as regras de equi-

valência, que α1 ∧ · · · ∧ αn ∧ ¬β é uma contradição.

6.6 Atividades

ATIV. 6.1. Prove que ∀n ∈ N. Se n é par então n2 é par.

Comentário: Reveja no texto o exemplo 6.2.

83


ATIV. 6.2. Considere o sistema axiomático 1 (Aula-05)e prove

por redução ao absurdo que: ∀a ∈ A, ∃!a|a© a = x.

Comentário: Reveja no texto o exemplo 6.3.



São Paulo. 2001.



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84

7AULA

1LIVRO

Teoria de Cantor eTeoria de Zermelo-Fraenkel

META:

Apresentar conjuntos segundo a

ótica da teoria de Georg Cantor e

da teoria de Zermelo-Fraenkel.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Reconhecer os axiomas da teoria

dos conjuntos de Cantor;

Reconhecer os axiomas da teoria

dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

PRÉ-REQUISITOS


sistemas axiomáticos.

Teoria de Cantor e Teoria de Zermelo -Fraenkel

7.1 Introdução

A Matemática tem como motivação problemas oriundos da

Física, da Engenharia, recentemente da Biologia e muitas outras

áreas do conhecimento, sendo usada como uma linguagem univer-

sal e de ferramenta de lógica. Alguns matemáticos têm sua mo-

tivação na inspiração da própria Matemática resultando algumas

das maiores realizações do intelecto humano como a Teoria dos

Conjuntos. “Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou

para nos”. David Hilbert, com esta frase, sintetiza o que a teoria

dos conjuntos representa atualmente para a Matemática, em seus

fundamentos.

Nosso objetivo nesta aula é apresentar de forma axiomática a Teo-

ria dos Conjuntos. Embora o conteúdo de Matemática do Ensino

Fundamental inclua uma parte dos conceitos da Teoria dos Con-

juntos, este não é, nem deveria ser ensinado de forma axiomática

e desta forma passa uma visão deformada de sua importância.

7.2 Teoria dos Conjuntos de Georg Cantor

Na geometria euclidiana clássica existem conjuntos de axiomas

antigos, mas que são inadequados pelos padrões atuais da Mate-

mática. Podemos até questionar se Euclides estava tentando dar

um conjunto de axiomas no sentido moderno do termo ou se estava

apenas anotando algumas proposições que iria usar sem demons-

trar por conveniência do momento.

A teoria axiomática dos conjuntos foi concebida, inicialmente, por

Georg Cantor, tornan-se assim seu principal mentor. Outras ver-

sões da teoria dos conjuntos podem ser encontradas, cada qual com

86


7AULA

suas virtudes e defeitos.

7.2.1 Conceito de Conjunto

Em sua teoria dos conjuntos, Georg Cantor definiu conjunto

da seguinte forma:

Definição 7.1. Conjunto é qualquer coleção de objetos bem defi-

nidos.

OBS 7.1. Aqui, não há qualquer restrição ao termo coleção de

objetos podendo ser de qualquer natureza, matrizes, polinômios

pessoas, carros, outros conjuntos etc. Os objetos são denomina-

dos elementos do conjunto ou membros do conjunto. Se um dado

objeto é elemento de um conjunto, dizemos que ele pertence ao

conjunto.

OBS 7.2. Em teorias axiomáticas mais elaboradas (não foi o caso

de Cantor, pois sua teoria dos conjuntos é conhecida também como

“Teoria Ingênua dos Conjuntos”) conjunto e elemento são termos

primitivos e, portanto sem definição. Neste ponto em particular, a

teoria dos conjuntos de Georg Cantor sofre do mesmo defeito que

a Geometria Euclidiana. Euclides definiu ponto , reta e plano sem

considerar nenhum termo primitivo isto é, sem definição. Aqui, em

uma análise, mesmo que superficial, vemos que os termos coleção

e conjuntos são na verdade sinônimos.

7.2.2 Linguagem da Teoria dos Conjuntos

Definição 7.2. A linguagem da Teoria dos Conjuntos é consti-

tuída de:

87


• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: Letras latinas mi-

núsculas x, y, x, ... possivelmente indexadas, para indicar ob-

jetos conjuntos ou elementos. Letras latinas maiúsculas A,B,

C, ... possivelmente indexadas, para indicar conjuntos e letras

gregas minúsculas α, β, γ, ... possivelmente indexadas, para

representar proposições.

• OPERADORES: A linguagem da Teoria dos Conjuntos

de Cantor admite todos os operadores lógicos, ¬ negação, ∧

conjunção, ∨ disjunção,→ implicação e↔ dupla implicação.

• QUANTIFICADORES: A linguagem da Teoria dos Con-

juntos de Cantor admite os quantificadores lógicos, ∀ para

todo, quantificador universal e ∃ existe, quantificador exis-

tencial.

• OPERADOR DE ESPECIFICAÇÂO: A linguagem da

Teoria dos Conjuntos de Cantor admite também um opera-

dor especial de especificação Set(A) para indicar que A é um

conjunto.

• PREDICATIVOS BINÁRIOS: A linguagem da Teoria

dos Conjuntos de Cantor admite os símbolos predicativos

binários = igual para igualdade e ∈ relação de pertinência.

• SÍMBOLOS ADICIONAIS: A linguagem da Teoria dos

Conjuntos de Cantor admite os seguintes símbolos adicionais

( abre parêntesis, ) fecha parêntesis, { abre chave e } fecha

chave.

OBS 7.3. Na notação de Cantor ∀x,∃y(Set(y)x ∈ Y ) presenta na

moderna Teoria dos Conjuntos ∀x,∃y|x ∈ y.

88


7AULA

7.2.3 Axiomas da Teoria dos Conjuntos

Georg Cantor formulou sua Teoria dos Conjuntos baseada em ape-

nas dois axiomas, o segundo dos quais é tão abrangente que mo-

tivou uma série de paradoxos.

Axioma 1 Extensionalidade:

∀a,∀b, Set(a), Set(b)(∀x(x ∈ a↔ x ∈ b)↔ a = b)

OBS 7.4. Uma conseqüência deste axioma é que um conjunto

fica unicamente determinado pelos seus elementos. Deste modo os

conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 1, 3} são iguais, a ordem em que

os elementos são listados no conjunto é irrelevante. Os conjuntos

A = {a, b, c} e B = {a, a, a, b, b, b, c} são iguais, a repetição de

elementos é irrelevante.

Axioma 2 Compreensão:

∀π,∃a, Set(a)(∀x, x ∈ a↔ π(x))

OBS 7.5. O axioma da compreensão é também conhecido como

axioma da fundação. Tem um alcance muito grande ao garantir

que toda função proposicional π(x) gera um conjunto. Denotamos

A o conjunto gerado por π na forma: A = {x|π(x)}.

OBS 7.6. Os axiomas da extensionalidade e da compreensão jun-

tos implicam em que proposições diferentes podem gerar o mesmo

conjunto. Considere como exemplo as seguintes proposições:

π1 ≡ (x2 − 3x+ 2 = 0) e π2 ≡ (x3 − 4x2 + 5x− 2 = 0) efetuando

o cálculo das raízes teremos:

A = {x|π1(x)} = {1, 2} e B{x|π2(x)} = {1, 2} que são conjuntos

iguais, embora as proposições π1 6= π2 sejam diferentes.

89


7.2.4 Alguns Tipos de Conjuntos

Conjuntos Unitários: Comjunto formado por um só elemento.

∀x,∃A(∀y(y ∈ A↔ y = x)).

OBS 7.7. A = {x|, π(x)} e escolhemos usando o Axioma da Com-

preensão π(x)⇔ (y = x). Representamos também por A = {x}.

Conjunto Vazio: Conjunto que não possui elementos

∃φ(∀x, x /∈ φ)

OBS 7.8. φ = {x|π(x)} e escolhemos usando o Axioma da Com-

preensão π(x) ≡ ¬(x = x) ou qualquer contradição. Representa-

mos também por φ = {}.

7.3 Paradoxo de Russel

Em 1901, Bertrand Russell tomou conhecimento do trabalho

desenvolvido por Gottlob Frege em “Grundgesetze der Arithmetik”.

Mas apenas em 1902, teve oportunidade de analisá-lo detalhada-

mente e de “fazer um estudo mais rigoroso”. Nesta obra, Frege

tentava reduzir a aritmética à lógica. Ao analisá-la, Russell desco-

bre uma contradição no sistema proposto. Esta contradição viria

a ser conhecida como “ Paradoxo de Russell”.

Em sua versão popular o “Paradoxo de Russell”, pode ser enunci-

ado da seguinte maneira:

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:

• Faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazem a

barba a si próprias.

• Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

90


7AULA

O paradoxo surge quando tentamos saber se o barbeiro faz a barba

a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer

a barba a si próprio, para não violar a segunda condição; mas

se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si

próprio, pois essa é a primeira condição. Em sua versão moderna e

matemática o Paradoxo de Russell”, pode ser enunciado da seguinte

maneira: seja y o conjunto de todos os conjuntos que não são

membros de si próprio, isto é, y = {x|x /∈ x}. Pode-se mostrar

que: y ∈ y ↔ y /∈ y e isto é uma contradição.

OBS 7.9. Primeiramente teremos para o conjunto de Russell y =

{x|π(x)}, π(x) ≡ (x /∈ x)

Para mostrar o “Paradoxo de Russell”, tomaremos o seguinte estudo

de casos: ou y é um elemento de y ou y não é um elemento de y

isto é y ∈ y ∨ y /∈ y

a) caso y ∈ y temos que:

y ∈ y ↔ π(y). Da definição de π temos:

π(y)↔ y /∈ y. Logo:

y ∈ y ↔ y /∈ y, que é uma contradição Por outro lado.

b) caso y /∈ y temos que:

y /∈ y ↔ ¬π(y). Da definição de π temos:

¬π(y)↔ ¬(y /∈ y)↔ y ∈ y. Logo:

y /∈ y ↔ y ∈ y, que também é uma contradição. Logo os dois

possíveis casos levam a contradições e portanto, o conjunto de

Russel é paradoxal. �

OBS 7.10. O paradoxo de Russel ocorre porque o axioma da

extencionalidade não impõe qualquer restrição à construção de

conjuntos. E noções como “o conjunto de todos os conjuntos”,

(conjunto universal) e de “o conjunto dos conjuntos que não são

91


elementos de si mesmos”, podem ser aceitas no âmbito da teo-

ria dos conjuntos de Cantor. Para corrigir este defeito, vários

matemáticos reformularam a teoria dos conjuntos, propondo axi-

omas alternativos. Entre todas as proposta a que mais se destacou

foi a “Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel”, dois matemáti-

cos alemães Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo e Adolf Abraham

Halevi Fraenkel, que veremos logo em seguida.

7.4 Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraen-

kel

Zermelo nasceu emBerlim, 27/07/1871 emorreu em Friburgo,21/05/1953 foi ummatemático e filósofoalemão. Formulou umateoria axiomática dosconjuntos que levouseu nome. Wikipedia

Fraenkel nasceu emMunique, 17/02/1891 emorreu em Jerusalém,15/10/1965 foi ummatemático judeunascido e criado naAlemanha. Em 1922,melhorou o sistemaaxiomático criadopor Ernst Zermelo.Wikipedia

A teoria axiomática dos conjuntos foi concebida inicialmente

por George Cantor, tornam-se assim seu principal mentor. Outras

versões da teoria dos conjuntos podem ser encontradas, cada qual

com suas virtudes e defeitos. Aqui, procuraremos dar uma visão

geral da formulação de Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel conhe-

cida como Teoria de Zermelo-Fraenkel ZF.

Na formulação de Zermelo-Fraenkel, os termos primitivos são “con-

junto” representados por letras latinas maiúsculas A,B,C, ..., “e-

lementos”, qualquer objeto de domínio, representados por letras

latinas minúsculas ou maiúsculas, já que um conjunto pode ser

elemento de outro conjunto, e “pertence”, uma relação entre ele-

mentos e conjuntos representada pelo símbolo ∈ onde: x ∈ A lê-se

“o elemento x pertence ao conjunto A”.

A linguagem da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é basi-

camente a mesma da teoria dos conjuntos de Cantor, na qual é

retirado o operador de especificação.

92


7AULAQuanto aos axiomas, a teoria ZF listaremos os nove abaixo:

Começaremos pelo primeiro axioma, Axioma da Existência do

Conjunto Vazio, que é equivalente a definição do conjunto vazio,

um conjunto ao qual nenhum elemento pertence. Visa garantir a

existência do conjunto vazio.

A01 ∃φ|∀x,¬(x ∈ φ)

O segundo axioma é o Axioma da Extensionalidade que equi-

vale a definição de igualdade entre conjuntos.

A02 ∀A, ∀B(∀x(x ∈ A↔ x ∈ B)↔ A = b)

OBS 7.11. Como na teoria dos conjuntos de Cantor, o Axioma da

Extensionalidade nos diz que um conjunto fica unicamente definido

pelos seus elementos. O axioma diz que dados dois conjuntos, eles

são iguais se possuem os mesmos elementos.

O terceiro, axioma, a pedra de toque da axiomática de Zermelo-

Fraenkel, é o Axioma da Separação:

A03 ∀A,∀π,∃B(∀x(x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ π(x))))

OBS 7.12. Aqui π é uma fórmula da linguagem, na qual a vari-

ável x não ocorre livre. Este esquema de axiomas (um para cada

fórmula π) diz-nos que dado um conjunto A e uma fórmula π, é

possível separar os elementos de A em dois conjuntos - no conjunto

dos elementos de A que satisfazem π e no conjunto dos elementos

de A que não satisfazem π. Na verdade, este axioma não é um

axioma e sim um “esquema de axiomas” pois, depende de cada

fórmula π da linguagem.

O quarto axioma, Axioma da Formação de Pares nos per-

mite, dados dois conjuntos, formar um conjunto que possui como

93


elementos esses dois conjuntos.

A04 ∀A,∀B, ∃C(∀x(x ∈ C → (x = A ∨ x = B)))

OBS 7.13. Isto diz, que para todo par de conjuntos A e B exis-

te um conjunto C que contem A e B e nenhum outro elemento.

Formalmente C = {A,B}.

O quinto axioma, Axioma da União. Dado um conjunto A de

conjuntos, a união dos elementos de A é um conjunto. O axioma

da união permite construir um conjunto com elementos de outros

conjuntos.

A05 ∀A,∃B(∀x(x ∈ B ↔ ∃C(C ∈ A ∧ x ∈ C)))

OBS 7.14. Isto diz, que dado um conjunto A existe um conjunto

B que é a união de todos os elementos dos conjuntos que são e-

lementos de A. Isto é, para todo x que pertence a B deve existir

um C pertencente a A tal que x pertence a C. Do axioma da

extensionalidade o conjunto B é único e denotamos B = ∪(A).

OBS 7.15. Para melhor compreensão veja os seguintes exemplos:

• SeA = {a, {b, c}, d, {e, f, g}}} entãoB = ∪(A) = {b, c, e, f, g}.

Pois {b, c} e {e, f, g} são elementos de A.

• Se A = {a, b, c, d, e, f, g} então B = φ. Pois, A não tem

conjuntos como elementos.

Definiremos agora uma operação entre conjuntos denominada união,

pois a usaremos no estabelecimento do sexto axioma.

Definição 7.3. Sejam A e B conjuntos. Definimos a união de A

e B , denotada A ∪B, por:

∀A,∀B(∀x((x ∈ A ∨ x ∈ B)↔ x ∈ A ∪ b)).

94


7AULA

OBS 7.16. Podemos definir alternativamente como A ∪B = ∪({

A,B}).

O sexto axioma, Axioma do Infinito, garante a existência de um

conjunto infinito.

A06 ∃A(φ ∈ A ∧ (∀x(x ∈ A→ (x ∪ {x} ∈ A))))

OBS 7.17. Embutido no Axioma do Infinito está a definição dos

números naturais, que são definidos axiomaticamente como um

conjunto N, tal que, contém um elemento 0 e que se n pertence

a N então seu sucessor n + 1 também pertence a N. Neste caso,

associamos 0 ao conjunto vazio φ e definimos a função “sucessor”

por: se n está associado a x então n+ 1 está associado a x ∪ {x}.

Definiremos agora uma relação entre dois conjuntos denominada

contido, pois a usaremos no estabelecimento do sétimo axioma.

Definição 7.4. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está

contido em B, denotado A ⊂ B da seguinte forma:

∀A,∀B(∀x((x ∈ A→ x ∈ B)↔ A ⊂ B)).

O sétimo axioma, Axioma da Potenciação, garante a existência

do conjunto das partes de um conjunto.

A07 ∀A,∃B(∀C(C ⊂ A→ C ∈ B)).

OBS 7.18. Do axioma da extensionalidade o conjunto é único e

denotamos B = P(A).

OBS 7.19. Se A = {a, b, c} o conjunto das partes de A é dado

por B = P(A) = {φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

O oitavo axioma, Axioma da Substituição, este também é um

“esquema de axiomas”.

A08 ∀A,∀π((∀x(π(x, y) = π(x, z) → y = z) → ∃B(∀x ∈ A,∃y ∈

B ∧ π(x, y))).

95


OBS 7.20. Em outras palavras, dada uma proposição π binária tal

que, ∀x(π(x, y) = π(x, z)→ y = z) isto é, a proposição define uma

função cujo domínio é o conjunto A, então a imagem do conjunto

A pela função definida por π também é um conjunto denominado

de imagem de A pela função π. O axioma da extensionalidade

garante a unicidade do conjunto imagem.

O nono axioma, Axioma da Fundação, também conhecido como

Axioma da Regularidade, diz que para todo conjunto A não

vazio existe um elemento x disjunto de A.

A09 ∀A(∃x(x ∈ A)→ ∃B(B ∈ A ∧ ¬∃z(z ∈ A ∧ z ∈ B))).

OBS 7.21. Este axioma diz, que um conjunto não pode ter ele

mesmo como único elemento isto é, o conjunto A = {A} não é

um conjunto na axiomática de Zermelo-Fraenkel. Entretanto o

conjunto A = {{b}, A} parece a princípio que não é descartado

pelo axioma da fundação pois, tem dois elemento {b} e A. Como

{b}∩A = φ , já que o único elemento de {b} é b e b não é elemento

de A, o axioma parece a princípio satisfeito. Porém, o axioma da

formação de pares descarta qualquer conjunto que tenha ele mesmo

como elemento. Acompanhe o raciocínio: do axioma da formação

de pares para todo par de conjuntos A e B existe um conjunto C,

único pelo axioma da extencionalidade tal que C = {A,B}. Em

particular podemos tomar B = A. Logo C = {A,A} = {A} . Daí

se admitirmos A = {{b}, A} teremos que, como o único elemento

de C é A como A é também elemento de A teremos C ∩ A 6= φ,

o que contraria o axioma da fundação. Desta forma, qualquer

conjunto que contenha a si mesmo como elemento é descartado.

Em adição a estes nove axiomas, podemos acrescentar um décimo

axioma denominado Axioma da Escolha, polêmico, pois não

96


7AULA

possui um caráter construtivista. E a nova teoria dos conjunto é

denominada Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel com Axi-

oma da Escolha ou simplesmente ZFC.

A10 ∀{As}s∈S((∀s ∈ S,As 6= φ) → ∃B(∀s ∈ S, ∃!y(y ∈ As ∧ y ∈

B)))

OBS 7.22. A unicidade exigida de cada elemento de As na cons-

trução do conjunto B permite construir uma função, denominada

função escolha do conjunto de todos os As.

Existem outras formas de enunciar o Axioma da Escolha . Porém,

este, na minha opinião, é o mais adequado ou nosso texto.

OBS 7.23. Toda a matemática que escrevemos está calcada no a-

xioma da fundação. Esse axioma, em outra formulação, nos conta

que todo conjunto foi recursivamente construído a partir dos a-

xiomas ZFC, isto é, todo conjunto tem uma partícula mínima.

Vejamos: ∃x(x ∈ A) é equivalente a dizer que A não é vazio.

Nesse caso, existe um elemento B de A cuja interseção com A é

vazia. Em resumo, não podemos fazer conjuntos sem um “tijolo”

inicial.

Por hoje é só. Em nossa próxima aula, veremos algumas operações

sobre conjuntos.

7.5 Conclusão

Caro aluno, uma teoria dos conjuntos bem fundamentada e

isenta de paradoxos é fundamental para o desenvolvimento da

Matemática. Portanto, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel

é a linguagem usada pela maioria dos matemáticos na construção

de novas teorias.

97


7.6 Resumo

Os axiomas para a Teoria dos Conjuntos de Cantor são:

A01 Extensionalidade

∀a,∀b, Set(a), Set(b)(∀x(x ∈ a↔ x ∈ b)↔ a = b)

A02 Compreensão

∀π,∃a, Set(a)(∀x, x ∈ a↔ π(x))

E os axiomas para a Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel

são:

A01 Existência do Conjunto Vazio

∃φ|∀x,¬(x ∈ φ)

A02 Extensionalidade

∀A,∀B(∀x(x ∈ A↔ x ∈ B)↔ A = b)

A03 Separação

∀A,∀π,∃B(∀x(x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ π(x))))

A04 Formação de Pares

∀A,∀B, ∃C(∀x(x ∈ C → (x = A ∨ x = B)))

A05 União

∀A,∃B(∀x(x ∈ B ↔ ∃C(C ∈ A ∧ x ∈ C)))

A06 Infinito

∃A(φ ∈ A ∧ (∀x(x ∈ A→ (x ∪ {x} ∈ A))))

A07 Potenciação

∀A,∃B(∀C(C ⊂ A→ C ∈ B)).

A08 Substituição

∀A,∀π((∀x(π(x, y) = π(x, z) → y = z) → ∃B(∀x ∈ A,∃y ∈

B ∧ π(x, y))).

A09 Fundação

∀A(∃x(x ∈ A)→ ∃B(B ∈ A ∧ ¬∃z(z ∈ A ∧ z ∈ B))).

98


7AULA

A10 Escolha

∀{As}s∈S((∀s ∈ S,As 6= φ)→ ∃B(∀s ∈ S, ∃!y(y ∈ As ∧ y ∈ B)))

7.7 Atividades

ATIV. 7.1. Considere os axiomas da teoria ZF e prove a existên-

cia de um conjunto unitário.

Comentário: Use o axioma da existência do conjunto vazio como

base para a demonstração.

ATIV. 7.2. Considere os axiomas da teoria ZF e prove a existên-

cia do conjunto {φ, {φ}}.

Comentário: Use o exercício anterior como base para a demons-

tração.


FERREIRA, Fernando.Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim

da Sociedade Portuguesa de Matemática 38: 29-47, 1998.

HALMOS, Paul Richard, Naive Set Theory, Springer-Verlag, 1974.

CASTRUCCI, Benedito. Elementos da Teoria de Conjuntos. São

Paulo: GEEM, 1970.

99

8AULA

1LIVRO

Operações comConjuntos:União e Interseção

META:

Introduzir algumas propriedades da

união e da interseção de conjuntos.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Demonstrar propriedades envol-

vendo união de conjuntos;


vendo interseção de conjuntos.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-04 e Aula-07 os conhecimentos

das regras de inferência e das

regras de equivalência e da teoria

axiomática dos conjuntos.

Operações com Conjuntos: União e Interseção

8.1 Introdução

Na aula anterior, vimos duas teorias axiomáticas dos conjun-

tos. A primeira (Teoria dos Conjuntos de Cantor) que teve sua

importância histórica por ser a primeira a lançar sementes para teo-

rias mais elaboradas como a de Zermelo-Fraenkel. A segunda vista,

com mais detalhes (Teoria dos Conjuntos de Zemelo-Fraenkel) cor-

rigiu alguns dos defeitos da primeira e é hoje em dia a base dos

Fundamentos da Matemática. Embora importante por si só, uma

teoria axiomática é como uma criança cheia de potencial, mas que

é preciso ser desenvolvida. Na aula de hoje, continuaremos por de-

senvolver a Teoria dos Conjuntos, definindo as operações de união

e intersecção e provando algumas de suas propriedades.

8.2 União de Conjuntos

Começaremos nossa aula, definido união de conjuntos. Como

o nome indica, a união de conjuntos é uma idéia intuitiva de criar

um conjunto a partir de dois outros juntando todos os elementos

de cada um dos dois conjuntos.

Definição 8.1. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos a união

de A com B, denotada A ∪B, por:

∀A,∀B(∀x(x ∈ A ∨ x ∈ B)↔ x ∈ A ∪B).

Antes de continuar com as propriedades da união de conjuntos,

observaremos que a definição de igualdade entre conjuntos pode

ser modificada do seguinte modo:

∀A,∀B(∀x(x ∈ A↔ x ∈ B)↔ A = b)

Como α↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α) temos:

102


8AULA

∀A,∀B(∀x((x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))↔ A = b)

Da definição de contido, temos:

∀A,∀B((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)↔ A = b)

Que é uma forma mais conveniente para demonstrações.

8.2.1 Propriedades da União de Conjuntos

Para a união de conjuntos listamos aqui, entre outras, as seguintes

propriedades:

Sejam A, B e C conjuntos,valem então as seguintes propriedades:

• φ ∪A = A

• A ∪A = A

• A ∪B = B ∪A

• A ⊂ A ∪B

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

8.3 Interseção de Conjuntos

Vamos começar esta secção, definindo interseção de conjuntos.

Como o nome indica, a interseção de conjuntos é uma idéia intu-

itiva de criar um conjunto a partir de dois outros, juntando todos

os elementos compartilhados pelos dois conjuntos.

Definição 8.2. Sejam A e B dois conjuntos, definimos a interseção

de A com B, denotada A ∩B, por:

∀A,∀B(∀x(x ∈ A ∧ x ∈ B)↔ x ∈ A ∩B).

103


OBS 8.1. Nem sempre dois conjuntos A e B compartilham ele-

mentos em comum, neste caso dizemos que os conjuntos são dis-

juntos e escrevemos A ∩B = ∅.

8.3.1 Propriedades da Interseção de Conjuntos

Para a interseção de conjuntos listamos aqui, entre outras, as

seguintes propriedades:

Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades:

• φ ∩A = φ

• A ∩A = A

• A ∩B = B ∩A

• A ∩B ⊂ A

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

8.3.2 Propriedades da União e Interseção de Con-

juntos

Para a união e interseção de conjuntos listamos aqui, entre outras,

as seguintes propriedades:


• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Adicionalmente listaremos também algumas propriedades da re-

lação de contido.

104


8AULA

8.3.3 Propriedades da Relação de Contido

Para a relação de contido entre conjuntos listamos aqui, entre ou-

tras, as seguintes propriedades:


• φ ⊂ A

• A ⊂ A

• (A ⊂ B ∧B ⊂ C)→ A ⊂ C

8.4 Algumas Demonstrações

Nesta seção, vamos demonstrar algumas das propriedades vis-

tas acima.

Vamos provar a primeira das propriedades da união e interseção.

A saber:

Propriedade1: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

PROVA É suficiente mostrar que:

A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C) e que (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C).

a) Primeiramente mostraremos que: A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C)

∀x, x ∈ A ∩ (B ∪ C)

Da definição de interseção de conjuntos:

x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)

Da definição de união de conjuntos:

x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

Como α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) temos:

(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)


x ∈ (A ∩B) ∨ x ∈ (A ∩B)

105



x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩B)

Daí, teremos que:

∀x, x ∈ A ∩ (B ∪ C)→ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩B)

Da definição de contido:

A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

b) Em seguida mostrarmos que: (A∩B)∪ (A∩C) ⊂ A∩ (B ∪C)

∀x, x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩B)


x ∈ (A ∩B) ∨ x ∈ (A ∩B)


(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)


x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)


x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)


x ∈ A ∩ (B ∪ C)

Daí, teremos que:

∀x, x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩B)→ x ∈ A ∩ (B ∪ C)


(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C)

Das partes a) e b) teremos:

(A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C))∧((A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C))

Portanto, da definição de igualdade de conjuntos temos:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) �

Veremos agora mais uma demonstração de uma das propriedades

da interseção. A saber:

106


8AULA

Propriedade2: A ∩B = B ∩A


A ∩B ⊂ B ∩A e que B ∩A ⊂ A ∩B.

a) Primeiramente mostraremos que: A ∩B ⊂ B ∩A

∀x, x ∈ A ∩B

Da definição de interseção temos:

x ∈ A ∧ x ∈ B

Como α ∧ β ≡ β ∧ α temos:

x ∈ B ∧ x ∈ A

Da interseção de conjuntos temos:

x ∈ B ∩A

Daí, teremos que:

∀x, x ∈ A ∩B → x ∈ B ∩A


A ∩B ⊂ B ∩A

b) Em seguida mostraremos que: B ∩A ⊂ A ∩B

∀x, x ∈ B ∩A


x ∈ B ∧ x ∈ A

Como α ∧ β ≡ β ∧ α temos:

x ∈ A ∧ x ∈ B

Da interseção de conjuntos temos:

x ∈ A ∩B

Daí, teremos que:

∀x, x ∈ B ∩A→ x ∈ A ∩B


B ∩A ⊂ A ∩A


107


(A ∩B ⊂ B ∩A) ∧ (B ∩A ⊂ A ∩A)


A ∩B = B ∩A �

Caro aluno, a nossa aula termina aqui, mas como você deve ter

percebido o conteúdo abordado, devido ao seu aspecto técnico, exi-

ge uma dedicação maior. Na próxima aula, prosseguiremos vendo

mais operações sobre conjuntos. Em particular detalharemos a

diferença e o complementar.

8.5 Conclusão

Caro aluno, não é sufuciente ter uma teoria dos conjuntos livre

de paradoxos. Precisamos completá-la com operações sobre con-

juntos. Duas operações em especial, a união e a interseção de dois

conjuntos, formam um terceiro reunindo todos os elementos de

cada conjunto e separando os elementos que são comuns aos dois

respectivamente.

8.6 Resumo

Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades

para a união de conjuntos:

• φ ∪A = A

• A ∪A = A

• A ∪B = B ∪A

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

108


8AULA


para a interseção de conjuntos:

• φ ∩A = φ

• A ∩A = A

• A ∩B = B ∩A

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C


para a união e interseção de conjuntos:

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)


para a relação de contido:

• φ ⊂ A

• A ⊂ A

• A ⊂ B ∧B ⊂ C)→ A ⊂ C

8.7 Atividades

Deixamos como atividades a demonstração de alguma das pro-

priedades acima.

ATIV. 8.1. Sejam A e B conjuntos. Mostre que:

109


• φ ∪A = A

• A ∪A = A

Comentário: Reveja a seção: Algumas Demonstrações.


• φ ⊂ A

• A ⊂ B ∧B ⊂ C)→ A ⊂ C

Comentário: Reveja a seção: Algumas Demonstrações.


FERREIRA, Fernando.Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim




Paulo: GEEM, 1970.

110

9AULA

1LIVRO

Operações comConjuntos: Diferençae Complementar

META:

Apresentar algumas propriedades

da diferença e do complementar de

conjuntos.

OBJETIVOS:


ser capazes de:


vendo diferença entre conjuntos;


vendo complementar de conjuntos.

PRÉ-REQUISITOS





Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar

9.1 Introdução

Na aula anterior, vimos operações de união e intersecção en-

tre dois conjuntos e algumas propriedades envolvendo as mesmas.

Provamos duas delas e deixamos outras como atividades em sala de

aula. Na aula de hoje, continuando o estudo das relações entre con-

juntos veremos mais três operações entre conjuntos. A diferença

entre conjuntos e uma operação semelhante denominada diferença

simétrica e o complementar de um conjunto. Veremos também al-

gumas das propriedades destas operações e finalizando, provaremos

duas das propriedades.

9.2 Diferença de Conjuntos

Começaremos nossa aula, definindo a diferença de conjuntos.

Como o nome indica, a diferença de conjuntos é uma idéia intuitiva

de criar um conjunto a partir de dois outros, juntando todos os

elementos de um conjunto que não está no outro conjunto.

Definição 9.1. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos a diferença

de A menos B, denotada A\B, por:

∀A,∀B(∀x(x ∈ A ∧ x /∈ B)↔ x ∈ A\B).

9.2.1 Propriedades da Diferença de Conjuntos

Para a diferença de conjuntos listamos aqui, entre outras, as se-

guintes propriedades:


• A\A = φ

• A\φ = A

112


9AULA

• A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

• A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)

• (A\B) ∪ (A ∩B) = A

9.3 Diferença Simétrica de Conjuntos

Começaremos definindo a diferença simétrica de conjuntos. Co-

mo o nome indica, a diferença de conjuntos não é uma idéia intu-

itiva. A idéia aqui é de criar um conjunto a partir de dois outros,

juntando todos os elementos de um conjunto que não está no outro

conjunto e vice-versa.

Definição 9.2. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos a diferença

simétrica de A e B, denotada A∆B, por:

∀A,∀B(∀x(x ∈ (A ∪B) ∧ x /∈ (A ∩B))↔ x ∈ A∆B).

9.3.1 Propriedades da Diferença Simétrica de Con-

juntos

Para a diferença simétrica de conjuntos listamos aqui, entre outras,

as seguintes propriedades:


• A∆A = φ

• A∆φ = A

• A∆B = B∆A

• A∆(B∆C) = (A∆B)∆C

• A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C)

113


9.4 Complementar de Conjuntos

Começaremos essa seção, definindo o complementar de um con-

junto relativo a outro conjunto que o contém. Como o nome indica,

o complementar de um conjunto relativo a outro conjunto que o

contém é uma idéia intuitiva de criar um conjunto a partir de dois

outros, juntando todos os elementos que pertençam ao primeiro

conjunto e que falta ao segundo para completar o primeiro.

Definição 9.3. Sejam A e B dois conjuntos tais que B ⊂ A.

Definimos o complementar de B relativo a A, denotado {A(B),

por:

∀A,∀B((B ⊂ A)∀x(x ∈ A ∧ x /∈ B)↔ x ∈ {A(B)).

9.4.1 Propriedades do Complementar de Conjuntos

Para o complementar de conjuntos listamos aqui, entre outras, as


Sejam A, B e C conjuntos tais que B,C ⊂ A. Valem então as


• {A(A) = φ

• {A(φ) = A

• {A({A(B)) = B

• {A(B ∪ C) = {A(B) ∩ {A(C)

• {A(B ∩ C) = {A(B) ∪ {A(C)

114


9AULA


Nesta seção, demonstraremos algumas das (mais precisamente

duas) propriedades vistas acima.

Provaremos primeiramente a quarta das propriedades da diferença

entre conjuntos. A saber:

Propriedade1: sejam A, B e C tais que, B ⊂ A e C ⊂ A então

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C).


A\(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C) e que (A\B) ∩ (A\C) ⊂ A\(B ∪ C)

a) Primeiramente mostraremos que: A\(B ∪C) ⊂ (A\B)∩ (A\C)

∀x, x ∈ (A\(B ∪ C))

Da definição de diferença entre conjuntos temos:

(x ∈ A) ∧ x /∈ (B ∪ C)

Ou de outra forma:

(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ (B ∪ C))

Da definição de união de conjuntos temos:

(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)

Da lei de De Morgan ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β temos:

(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C)

De outro modo:

(x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C)

Como α ≡ α ∧ α temos:

(x ∈ A) ∧ (x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C)

Rearrumando temos:

((x ∈ A) ∧ (x /∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∧ (x /∈ C))

Da definição de diferença de conjuntos temos:

x ∈ (A\B) ∧ x ∈ (A\C)

115


Da definição de interseção de conjuntos temos:

x ∈ (A\B) ∩ (A\C)

Daí,

∀x, x ∈ (A\(B ∪ C))→ x ∈ (A\B) ∩ (A\C)

Da definição de contido temos:

A\(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C)

b) Em seguida, mostrarmos que: (A\B) ∩ (A\C) ⊂ A\(B ∪ C)

∀x, x ∈ (A\B) ∩ (A\C)


x ∈ (A\B) ∧ x ∈ (A\C)

Da definição de diferença de conjuntos:

((x ∈ A) ∧ (x /∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∧ (x /∈ C))

Reagrupando temos:

(x ∈ A) ∧ (x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C)

Como α ≡ α ∧ α temos:

(x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C)

De outro modo:

(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C)

Da lei de De Morgan ¬(α ∨ β)⇔ ¬α ∧ ¬β temos:

(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)


(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ (B ∪ C))

De outra forma:

(x ∈ A) ∧ x /∈ (B ∪ C)

Da definição de diferença de conjuntos temos:

x ∈ (A\(B ∪ C))

Daí,

∀x, x ∈ (A\B) ∩ (A\C)→ x ∈ (A\(B ∪ C))

116


9AULA

Da definição de contido: (A\B) ∩ (A\C) ⊂ A\(B ∪ C)

Das partes a) e b) temos:

(A\(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C)) ∧ ((A\B) ∩ (A\C) ⊂ A\(B ∪ C))


A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) �

Veremos agora mais uma demonstração de uma das propriedades

do complementar. A saber:

Propriedade2: {A({A(B)) = B


{A({A(B)) ⊂ B e que B ⊂ {A({A(B))

a) Primeiramente mostraremos que: {A({A(B)) ⊂ B

∀x, x ∈ {A({A(B))

Da definição de complementar temos:

x ∈ A ∧ x /∈ {A(B)

De outro modo:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ {A(B))


x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ x /∈ B)

De outro modo:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B))

Da lei de De Morgan ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β temos:

x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ ¬¬(x ∈ B))

Como ¬¬α ≡ α temos:

x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ x ∈ B)


(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

Como ⊥≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) temos:

⊥ ∨(x ∈ A ∧ x ∈ B)

117


Como ⊥ ∨α ≡ α temos:

x ∈ A ∧ x ∈ B

Como B ⊂ A então x ∈ A ∧ x ∈ B → x ∈ B. Logo:

x ∈ B

Daí, temos:

∀x, x ∈ {A({A(B))→ x ∈ B


{A({A(B)) ⊂ B

b) Em seguida, mostrarmos que: B ⊂ {A({A(B))

∀x, x ∈ B

Como B ⊂ A, x ∈ B → x ∈ A ∧ x ∈ B temos:

x ∈ A ∧ x ∈ B

Como ⊥ ∨α ≡ α temos:

⊥ ∨(x ∈ A ∧ x ∈ B)

Como ⊥≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) temos:

(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

Como α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) temos

x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ x ∈ B)

Como ¬¬α ≡ α temos:

x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ ¬¬(x ∈ B))

Da lei de De Morgan ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β temos:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B))

De outro modo:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ x /∈ B)


x ∈ A ∧ ¬(x ∈ {A(B))

De outro modo:

x ∈ A ∧ x /∈ {A(B)

118


9AULA


x ∈ {A({A(B))

Daí, temos:

∀x, x ∈ B → x ∈ {A({A(B))


B ⊂ {A({A(B))


({A({A(B)) ⊂ B) ∧ (B ⊂ {A({A(B)))


{A({A(B)) = B �

Essa aula caro aluno, devido ao seu aspecto técnico como a

aula anterior, exige uma dedicação maior. Resolva as atividades

propostas e procure esclarecer suas dúvidas, pois na próxima aula,

prosseguiremos vendo mais operações sobre conjuntos e detalhare-

mos produto cartesiano.

9.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos mais duas novas operações sobre con-

juntos, diferença e complementar, e podemos concluir que apesar

de úteis, são menos intuitivas que as da aula anterior união e in-

terseção.

9.7 Resumo


para a diferença de conjuntos:

119


• A\A = φ

• A\φ = A

• A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

• A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)

• (A\B) ∪ (A ∩B) = A


para a diferença simétrica de conjuntos:

• A∆A = φ

• A∆φ = A

• A∆B = B∆A

• A∆(B∆C) = (A∆B)∆C

• A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C)

Sejam A, B e C conjuntos ,tais que B,C ⊂ A. Valem então as

seguintes propriedades para o complementar de conjuntos:

• {A(A) = φ

• {A(φ) = A

• {A({A(B)) = B

• {A(B ∪ C) = {A(B) ∩ {A(C)

• {A(B ∩ C) = {A(B) ∪ {A(C)

120


9AULA

9.8 Atividades


priedades acima.


• A\A = φ

• A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 9.2. Sejam A, B e C conjuntos, tais que B,C ⊂ A. Mostre

que:

• {A(φ) = A

• {A(B ∪ C) = {A(B) ∩ {A(C)

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.


FERREIRA, Fernando,Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim



CASTRUCCI, Benedito, Elementos da Teoria de Conjuntos. São

Paulo: GEEM, 1970.

121

10AULA

1LIVRO

Operações comConjuntos:Produto Cartesiano

META:

Introduzir propriedades para o

produto cartesiano de conjuntos.

OBJETIVOS:


ser capazes de:


vendo pares ordenados;


vendo produto cartesiano de

conjuntos.

PRÉ-REQUISITOS





Operações com Conjuntos: Produto Cartesiano

10.1 Introdução

Nas duas aulas anteriores, vimos as operações de união e in-

terseção entre dois conjuntos e algumas propriedades que as en-

volvem. Provamos duas delas e deixamos outras como atividades

em sala de aula. Vimos também, a diferença entre conjuntos, a

diferença simétrica entre conjuntos e por fim o complementar de

um conjunto com relação a outro que o contenha. Na aula de

hoje, continuaremos estudando as relações entre conjuntos e vere-

mos também, produto cartesiano de conjuntos

10.2 Par Ordenado

Kazimierz Kura-towski nasceu no dia02/02/1896 em Varso-via, mesmo lugar ondemorreu em 18/06/1980.Matemático e Lógicopolonês, entresuas contribuiçõesencontram-se umacaracterização dosEspaços de Hausdorffconhecido como Axi-omas de Fechamentode Kuratowski e acarecterização de paresordenados. Wikipedia

Começaremos nossa aula, definindo par ordenado. Um conceito

importante, pois sem ele a Geometria analítica não seria possível.

Como vimos na aula 07, a ordem em que os elementos são listados

em um conjunto é irrelevante. Porém, há ocasiões em que a ordem

em que os elementos são introduzidos tem relevância. Quem é o

primeiro, quem é o segundo e assim consecutivamente, Quem é o

primeiro, quem é o segundo, o terceiro e assim consecutivamente, é

exemplo do conceito de par ordenado, introduzido pelo matemático

polonês Kuratowski . Em seguida, definiremos também o conceito

de n-úpla ordenada.

Definição 10.1. Sejam a e b objetos quaisquer. Definimos o par

ordenado, denotado (a, b), por:

(a, b) def= {{a}, {a, b}}.

OBS 10.1. A definição acima foi elaborada por Kuratowski. O

fato de a ser o primeiro objeto do par ordenadoX pode ser expresso

124


10AULA

como:

∀x ∈ X, a ∈ x

e o fato de b ser o segundo objeto do par ordenado X pode ser

expresso como:

(∃x ∈ X|b ∈ x) ∧ (∀x1, x2 ∈ X|x1 6= x2 → (b /∈ x1 ∨ b /∈ x2))

A definição vale no caso de a = b pois, se X = (a, a) = {{a}, {a, a}

} = {{a}, {a}} = {{a}} e como a condição x1 6= x2 não pode

ser satisfeita por X, a definição de a ser o segundo objeto fica

vaziamente satisfeita (F → V é verdade).

Teorema 10.1. Sejam X = (a, b) e Y = (c, d) dois pares orde-

nado. X = Y somente se a = c e b = d.

PROVA: Provaremos primeiramente queX = Y → a = c∧b = d.

Para isso usaremos o estudo de casos:

a) Caso a = b

X = (a, b) def= {{a}, {a, b}}:

Como a = b temos:

X = {{a}, {a, a}}

Do axioma da extensionalidade (a repetição de elementos é irrele-

vante) temos:

X = {{a}, {a}}

X = {{a}}

Por outro lado:

Y = (c, d) def= {{c}, {c, d}}

Como X = Y temos:

{{a}} = {{c}, {c, d}}

Do axioma da extensionalidade (um conjunto fica unicamente de-

terminado pelos seus elementos) temos:

125


{a} = {c} = {c, d} → a = c = d

Portanto:

a = b = c = d

b) Caso a 6= b

X = (a, b) def= {{a}, {a, b}} e:

Y = (c, d) def= {{c}, {c, d}}

Como X = Y temos:

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}

Do axioma da extensionalidade temos duas possibilidades {c} =

{a, b} ou {c} = {a}

b1) Caso {c} = {a, b}

Do axioma da extensionalidade temos:

{c} = {a, b} → c = a = b

Daí, temos:

a 6= b ∧ a = b que é um absurdo. Logo vale a segunda opção:

b2) Caso {c} = {a}

{c} = {a}

Do axioma da extensionalidade:

{c} = {a} → a = c

Ok, ainda restam duas possibilidades para {c, d}. {c, d} = {a} ou

{c, d} = {a, b}.

b21) Caso {c, d} = {a}

{c, d} = {a}

Do axioma da extensionalidade:

{c, d} = {a} → c = d = a

Daí, do axioma da extensionalidade temos:

c = d → Y = (c, d) = {{c}, {c, d}} = {{c}, {c, c}} = {{c},

{c}} = {{c}}

126


10AULA

Como X = Y , do axioma da extensionalidade temos:

{{c}} = {{a}, {a, b}} → {c} = {a} = {a, b} → c = a = b

Daí,

a 6= b ∧ a = b absurdo. Logo vale a segunda opção:

b22) Caso {c, d} = {a, b}

{c, d} = {a, b}

Como a = c temos:

{a, d} = {a, b}

Do axioma da extensionalidade temos:

{a, d} = {a, b} → b = d

Dai, temos:

a = c ∧ b = d.

Em segundo lugar, provaremos que a = c ∧ b = d→ X = Y .

Como a = c ∧ b = d e X = (a, b) ∧ Y = (c, d).

É trivial que Y = (a, b) e portanto:

X = Y .

Portanto conclui-se que:

X = Y ↔ a = c ∧ b = d �.

Podemos definir termo ordenado usando o conceito de par orde-

nado da seguinte forma:

Definição 10.2. Sejam a, b e c três objetos quaisquer. Definimos

terno ordenado, denotado (a, b, c), por:

(a, b, c) def= (a, (b, c)).

OBS 10.2. Seguindo a definição de Kuratowski para par orde-

nado, para um terno ordenado temos:

(a, b, c) = (a, (b, c)) = {{a}, {a, (b, c)}}

127


(a, b, c) = {{a}, {a, {{b}, {b, c}}}}.

O conceito de n-úpla ordenada pode ser definido interativamente

por:

Definição 10.3. Sejam x1, x2, . . . xn n objetos. Definimos intera-

tivamente a n-úpla ordenada, denotada (x1, x2, . . . , xn) por:

(x1, x2, . . . , xn) def= (x1, (x2, . . . , xn)),

onde (x2, . . . , xn) é uma n-1-úpla ordenada.

10.3 Produto Cartesiano de Conjuntos

O produto cartesiano leva este nome em homenagem ao Mate-

mático francês Renné Descartes, que o usou na definição da Ge-

ometria Analítica. Consiste em formar, partindo de dois conjun-

tos, um conjunto constituído de todos os pares ordenados, cujo

primeiro objeto pertence ao primeiro conjunto e o segundo objeto

pertence ao segundo conjunto. Vamos à definição:

Definição 10.4. SejamA eB dois conjuntos. Definimos o produto

cartesiano de A por B, denotado A×B, por:

A×B def= {(a, b),∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B}.

Exemplo 10.1. Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 2} então o produto

cartesiano A×B é dado por:

A×B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}

enquanto que o produto cartesiano B ×A é dado por:

B ×A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

Podemos estender o conceito de produto cartesiano à três conjun-

tos, definindo:

128


10AULA

Definição 10.5. Sejam A, B e C três conjuntos. Definimos o

produto cartesiano de A, B e C, denotado A×B × C, por:

A×B × C def= {(a, b, c),∀a ∈ A,∀b ∈ B, c ∈ C}.

Podemos estender facilmente a definição para o produto cartesiano

de n conjuntos. A saber:

Definição 10.6. Sejam A1, A2, . . . , An n conjuntos. Definimos o

produto cartesiano de A1, A2, . . . , An, denotado A1×A2×· · ·×An,

por:

A1×A2×· · ·×Andef= {(a1, a2, . . . , an), ∀a1 ∈ A1, ∀a2 ∈ A2, . . . ,∀an

∈ An}.

10.3.1 Propriedades do Produto Cartesiano

Listaremos aqui, algumas das propriedades do produto cartesiano.

A saber:

Sejam A,B e C três conjuntos, então valem as seguintes pro-

priedades:

• A×B 6= B ×A, se A 6= B e A 6= φ ou B 6= φ.

• A×B × C = A× (B × C) 6= (A×B)× C

• A× φ = φ×A = φ

• A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

• A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

129



Nesta seção, demonstraremos duas propriedades vistas acima.

Provaremos, primeiramente, a segunda das propriedades do pro-

duto cartesiano de conjuntos. A saber:

Propriedade1: Sejam A, B e C conjuntos então, A×B × C =

A× (B × C) 6= (A×B)× C.

PROVA Da definição do produto cartesiano de n conjuntos, no

caso particular de n = 3 temos:

A×B × C def= {(a, b, c),∀a ∈ A∀b ∈ B∀c ∈ C}

Da definição de terno ordenado (a, b, c) def= (a, (b, c)) temos: A ×

B × C def= {(a, (b, c)),∀a ∈ A∀b ∈ B∀c ∈ C}

Por outro lado, da definição de produto cartesiano de dois conjun-

tos temos:

B × C def= {(b, c),∀b ∈ B∀c ∈ C}

Novamente da definição de produto cartesiano de dois conjuntos,

em que o primeiro é A e o segundo é B × C temos:

A× (B × C) def= {(a, x), ∀a ∈ A∀x ∈ B × C}

Daí, como x ∈ B × C → x = (b, c),∀b ∈ B∀c ∈ C temos:

A× (B × C) def= {(a, (b, c)),∀a ∈ A∀b ∈ B∀c ∈ C}

Do axioma da extensionalidade (dois conjuntos são iguais, somente

se tem os mesmos elementos) temos:

A×B × C = A× (B × C)

Que encerra a primeira parte da demonstração.

Para a segunda parte, usando a definição de produto cartesiano de

dois conjuntos temos:

A×B def= {(a, b),∀a ∈ A∀b ∈ B}

Novamente da definição de produto cartesiano de dois conjuntos,

130


10AULA

em que o primeiro é A×B e o segundo C temos:

(A×B)× C def= {(x, c), ∀x ∈ A×B∀c ∈ C}

Daí, como x ∈ A×B → x = (a, b),∀a ∈ A∀b ∈ B temos:

(A×B)× C def= {((a, b), c),∀a ∈ A∀b ∈ B ∈ A×B∀c ∈ C}

Poderíamos pensar que (A×B)×C = A× (B×C) se ((a, b), c) =

(a, (b, c)). Porém, da definção de Kuratowski de par ordenado

temos:

(a, (b, c)) = {{a}, {a, (b, c)}}

Como (b, c) = {{b}, {b, c}} temos:

(a, (b, c)) = {{a}, {a, {{b}, {b, c}}}}

E também:

((a, b), c) = {{(a, b)}, {(a, b), c}}

Como (a, b) = {{a}, {a, b}} temos:

((a, b), c) = {{{{a}, {a, b}}}, {{{a}, {a, b}}, c}}

Daí, fica claro que de modo geral ((a, b), c) 6= (a, (b, c)) e portanto:

(A×B)× C 6= A× (B × C). �

Veremos agora, mais uma demonstração de uma das propriedades

do produto cartesiano. A saber:

Propriedade2: A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)


A×(B∪C) ⊂ (A×B)∪(A×C) e que (A×B)∪(A×C) ⊂ A×(B∪C).

a) Primeiramente mostraremos que: A×(B∪C) ⊂ (A×B)∪(A×C)

∀x, x ∈ A× (B ∪ C)

Da definição de produto cartesiano temos:

x = (a, z), a ∈ A, z ∈ (B ∪ C)

De definição de união temos:

x = (a, z), a ∈ A, (z ∈ B ∨ z ∈ C)

131


Podemos reescrever como:

(x = (a, z), a ∈ A, z ∈ B) ∨ (x = (a, z), a ∈ A, z ∈ C)


(x ∈ A×B) ∨ (x ∈ A× C)

Da definição de união temos:

x ∈ (A×B) ∪ (A× C)

Logo:

∀x, x ∈ A× (B ∪ C)→ x ∈ (A×B) ∪ (A× C)


A× (B ∪ C) ⊂ (A×B) ∪ (A× C)

b) Em seguida mostrarmos que: (A×B)∪ (A×C) ⊂ A× (B ∪C)

∀x, x ∈ (A×B) ∪ (A× C)


x ∈ (A×B) ∨ x ∈ (A× C)


(x = (y, z), y ∈ A, z ∈ B) ∨ (x = (u,w), u ∈ A,w ∈ C)


x = (a, t), a ∈ A, (t ∈ B ∨ t ∈ C)


x = (a, t), a ∈ A, t ∈ (B ∪ C)


x ∈ A× (B ∪ C)

Logo:

∀x, x ∈ (A×B) ∪ (A× C)→ x ∈ A× (B ∪ C)


(A×B) ∪ (A× C) ⊂ A× (B ∪ C)


(A×(B∪C) ⊂ (A×B)∪(A×C))∧((A×B)∪(A×C) ⊂ A×(B∪C))

132


10AULA


A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) �

Aqui encerra-se nosso primeiro módulo, e como algumas aulas ante-

riores, devido ao seu aspecto técnico, essa aula também exige uma

dedicação maior em seu estudo. No próximo módulo, iniciaremos

nossa aula vendo relações binárias

10.5 Conclusão

Ao final dessa aula, concluimos que, embora a ordem dos ele-

mentos de um conjunto seja irrelevante, como afirma o axioma da

extensionalidade, podemos criar ordem em um conjunto usando

como base o conceito de conjuntos e, conseqüentemente, teremos

as n-úplas ordenadas.

10.6 Resumo

Nosso resumo hoje consta das seguintes definições e proprieda-

des:

Definição de par ordenado:

Definição: Sejam a e b objetos quaisquer. Definimos o par

ordenado, denotado (a, b), por:

(a, b) def= {{a}, {a, b}}.

Definição de n-úpla ordenada:

Definição: Sejam x1, x2, . . . xn n objetos. Definimos interativa-

mente a n-úpla ordenada, denotada (x1, x2, . . . , xn) por:

(x1, x2, . . . , xn) def= (x1, (x2, . . . , xn)),

onde (x2, . . . , xn) é uma n-1-úpla ordenada.

133


Definição de produto cartesiano de dois conjuntos:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos. Definimos o produto

cartesiano de A por B, denotado A×B, por:

A×B def= {(a, b),∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B}.

Produto cartesiano de n conjuntos:

Definição: Sejam A1, A2, . . . , An n conjuntos. Definimos o pro-

duto cartesiano de A1, A2, . . . , An, denotado A1 × A2 × · · · × An,

por:

A1×A2×· · ·×Andef= {(a1, a2, . . . , an), ∀a1 ∈ A1, ∀a2 ∈ A2, . . . ,∀an

∈ An}.

Propriedades Para o produto cartesiano vale as seguintes pro-

priedades. Sejam A,B e C então::

• A×B 6= B ×A, se A 6= B e A 6= φ ou B 6= φ.

• A×B × C = A× (B × C) 6= (A×B)× C

• A× φ = φ×A = φ

• A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

• A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

10.7 Atividades


priedades acima.


134


10AULA

• Se A = {{a}, {a, b}} e B = {{c}} então A = B ↔ a = b = c

A = {a} e B = {b, c} então A = B ↔ a = b = c

Comentário: Reveja as demonstrações desta aula, pois servirão

como guias.

ATIV. 10.2. Sejam A, B e C conjuntos, tais que B,C ⊂ A.

Mostre que:

• A× φ = φ×A = φ

• A× (B ∩ C) = (A× b) ∩ (A× C)

Comentário: Reveja as demonstrações desta aula, sobretudo a

segunda que servirá como sua guia.


FERREIRA, Fernando,Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim



CASTRUCCI, Benedito, Elementos da Teoria de Conjuntos. São

Paulo: GEEM, 1970.

135

11AULA

1LIVRO

Relações Binárias

META

Introduzir o conceito de relações e

suas propriedades.

OBJETIVOS


ser capazes de:

Determinar a imagem e o domínio

de uma relação.

Verificar as propriedades de uma

relação.

PRÉ-REQUISITOS


produto cartesiano


11.1 Introdução

Olá caro aluno, iniciaremos nosso segundo módulo vendo re-

lações e suas propriedades. O conceito de relação é bastante in-

tuitivo. Diariamente podemos presenciar vários exemplos de re-

lações. Entre os habitantes de uma cidade, o casamento define

então uma relação entre seus habitantes; entre os times de futebol

de um campeonato, o time x jogou com o time y, também define

uma relação; entre o conjunto dos alunos do Curso de Matemática

e o conjunto das disciplinas do Curso de Matemática, podemos

definir uma relação por : o aluno x cursou a disciplina y. Esses

são alguns de muitos outros exemplos que poderiam ser citados.

Nesta aula, tornaremos a noção de “relação” precisa no sentido da

Matemática.

11.2 Relações Binárias

Começaremos nossa aula diretamente com o conceito (definição)

de relação binária:

Definição 11.1. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos como

uma relação binária do conjunto A com o conjunto B, denotado

R, à qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B:

R ⊂ A×B.

Exemplo 11.1. Sejam A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}:

• R1 = {(a, 1), (b, 3), (d, 2)} é, conforme a definição acima,

uma relação entre o conjunto A e o conjunto B Fig 11.1.

• R2 = {(1, c), (3, a), (2, a)} por sua vez, é uma relação entre o

conjunto B e o conjunto A Fig 11.2.

138


11AULA

• R3 = {(a, 1), (3, b), (c, d)} não é uma relação pois (a, 1) ∈

A×B enquanto que (3, b) ∈ B ×A

Figura 11.1: Relação R1 Figura 11.2: Relação R2

OBS 11.1. Dados dois conjuntos A e B e uma relação R ⊂ A×B

e um par ordenado (a, b), podemos representar de várias formas

o fato do par pertencer a relação. A saber: (a, b) ∈ R ou aR b

para indicar que a está na relação R com b. Podemos representar

o fato do par (a, b) não pertencer a relação escrevendo (a, b) /∈ R

ou alternativamente a 6 R b.

Dois conceitos são importantes no estudo das relações: o conceito

de domínio e o conceito de imagem de uma relação. Abaixo esta-

beleceremos estes conceitos definindo-os.

Definição 11.2. Sejam A e B conjuntos e R ⊂ A×B uma relação

de A em B. Definimos o domínio de R, denotado Dom(R), por:

Dom(R) def= {x ∈ A| ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}


de A em B. Definimos a imagem de R, denotada Img(R), por:

Img(R) def= {y ∈ B| ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}

139


OBS 11.2. Em palavras simples, o domínio de uma relação é cons-

tituído pelos primeiros elementos de todos os pares ordenados que

pertencem a relação, e a imagem de uma relação é constituída pelos

segundos elementos de todos os pares ordenados que pertencem a

relação.

Exemplo 11.2. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}

e a relação R = {(a, 2), (a, 3), (b, 1), (c, 1)} Fig 11.3. Desta forma

temos para domínio da relação:

Dom(R) = {a, b, c}

e para imagem da relação:

Img(R) = {1, 2, 3}

Figura 11.3: Relação R

Podemos também definir a inversa de uma relação. A saber:


de A em B. Definimos a inversa da relação R, denotada R−1, por:

R−1 def= {(y, x) ∈ B ×A| (x, y) ∈ R}

Exemplo 11.3. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}

e a relação R = {(a, 2), (a, 3), (b, 1), (c, 1)} Fig 11.4. Desta forma

temos para a relação inversa de R−1:

R = {(2, a), (3, a), (1, b), (1, c)} Fig 11.5

140


11AULA

Figura 11.4: Relação R Figura 11.5: Relação R−1

11.2.1 Propriedades das Relações Binárias

Veremos agora, algumas propriedades das relações de um con-

junto A sobre ele mesmo. Esses tipos de relações são importantes

na definição de relações de ordem e relações de equivalência, que

veremos com detalhes nas próximas aulas.

Definição 11.5. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação

de A em A. Dizemos que R tem propriedade reflexiva, somente se:

∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

OBS 11.3. A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade reflexiva pois,

∀x ∈ R, x ≥ x.


de A em A. Dizemos que R tem propriedade irreflexiva, somente

se: ∀x ∈ A, (x, x) /∈ R

OBS 11.4. A relação “maior do que” (>) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade irreflexiva pois,

∀x ∈ R, ¬(x > x).

141



de A em A. Dizemos que R tem propriedade coreflexiva, somente

se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ x = y

OBS 11.5. A relação de igualdade (=) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade coreflexiva. A

verificação é trivial pois, ∀x, y ∈ R se x = y então x = y.


de A em A. Dizemos que R tem propriedade simétrica, somente

se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R

OBS 11.6. A relação de parentesco entre as pessoas de uma rua

é um exemplo de relação simétrica pois, se x é parente de y então

y é parente de x.

Definição 11.9. Seja A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação de

A em A. Dizemos que R tem propriedade anti-simétrica, somente

se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y


reais R é um exemplo de relação com propriedade anti-simétrica

pois, ∀x, y ∈ R, x ≥ y ∧ y ≥ x então x = y.

Definição 11.10. Seja A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação

de A em A. Dizemos que R tem propriedade assimétrica, somente

se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) /∈ R

OBS 11.8. A relação “maior do que” (>) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade assimétrica pois,

∀x, y ∈ R, se x > y não podemos ter y > x.

142


11AULA


de A em A. Dizemos que R tem propriedade transitiva, somente

se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R


reais R é um exemplo de relação com propriedade transitiva pois,

∀x, y, z ∈ R, x ≥ y e y ≥ z então x ≥ z.


de A em A. Dizemos que R tem propriedade total, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R

OBS 11.10. A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos

números reais R é um exemplo de relação com propriedade to-

tal pois, ∀x, y ∈ R teremos x ≥ y ou y ≥ x, isto é, qualquer par de

números reais é comparável pela relação “maior ou igual”.


de A em A. Dizemos que R tem propriedade tricotômica, somente

se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R Y (y, x) ∈ R Y x = y

OBS 11.11. A relação “maior do que”, (>) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade tricotômica pois,

∀x, y ∈ R teremos de forma exclusiva ou x = y ou x > y ou y > x.


de A em A. Dizemos que R tem propriedade euclidiana, somente

se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R→ (y, z) ∈ R

OBS 11.12. A relação de igualdade (=) no conjunto dos números

reais R é um exemplo de relação com propriedade euclidiana. A

verificação é trivial pois, ∀x, y, z ∈ R se x = y e x = z então y = z.

143



Veremos agora, algumas demonstrações envolvendo relações

binárias e suas propriedades.

Primeiramente vamos mostrar que:

Propriedade 11.1. Seja A um conjunto e R,S ⊂ A × A duas

relações sobre o conjunto A se R e S são transitivas então, R ∩ S

é transitiva.

PROVA ∀x, y, z ∈ R∩S se (x, y) ∈ R∩S ∧ (y, z) ∈ R∩S temos

que:

Como (x, y) ∈ R ∩ S então (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ S

Por outro lado como (y, z) ∈ R ∩ S então (y, z) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S

Daí, como (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R e R é transitiva temos que:

(x, z) ∈ R.

Do mesmo modo, como (x, y) ∈ S ∧ (y, z) ∈ S e S é transitiva

temos que:

(x, z) ∈ S.

Portanto, temos:

(x, z) ∈ R ∧ (x, z) ∈ S.

Conseqüentemente:

(x, z) ∈ R ∩ S.

Finalmente:

∀x, y, z ∈ R∩S se (x, y) ∈ R∩S∧(y, z) ∈ R∩S então (x, z) ∈ R∩S.

E a relação R ∩ S é transitiva. �

seguida mostraremos que:

Propriedade 11.2. Sejam A, B conjuntos e R,S ⊂ A × B re-

lações de A em B então R−1 ∩ S−1 = (R ∩ S)−1.

144


11AULA

PROVA É suficiente mostrar que R−1 ∩ S−1 ⊂ (R ∩ S)−1 e

(R ∩ S)−1 ⊂ R−1 ∩ S−1.

a) Primeiramente mostraremos que: R−1 ∩ S−1 ⊂ (R ∩ S)−1.

∀(x, y) ∈ R−1 ∩ S−1 temos:

(x, y) ∈ R−1 ∧ (x, y) ∈ S−1.

Da definição de relação inversa temos:

(x, y) ∈ R−1 → (y, x) ∈ R.

Do mesmo modo da definição de relação inversa temos:

(x, y) ∈ S−1 → (y, x) ∈ S.

Logo temos:

(y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S.


(y, x) ∈ R ∩ S.


(x, y) ∈ (R ∩ S)−1. Daí, temos:

∀(x, y) ∈ R−1 ∩ S−1 → (x, y) ∈ (R ∩ S)−1.


R−1 ∩ S−1 ⊂ (R ∩ S)−1.

b) Em seguida mostraremos que: (R ∩ S)−1 ⊂ R−1 ∩ S−1.

∀(x, y) ∈ (R ∩ S)−1.


(y, x) ∈ R ∩ S.


(y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S.


(y, x) ∈ R→ (x, y) ∈ R−1.

Do mesmo modo da definição de relação inversa temos:

(y, x) ∈ S → (x, y) ∈ S−1.

145


Logo temos:

(x, y) ∈ R−1 ∧ (x, y) ∈ S−1.


(x, y) ∈ R−1 ∩ S−1.

Daí, temos:

∀(x, y) ∈ (R ∩ S)−1 → (x, y) ∈ R−1 ∩ S−1.


(R ∩ S)−1 ⊂ R−1 ∩ S−1.


(R−1 ∩ S−1 ⊂ (R ∩ S)−1) ∧ ((R ∩ S)−1 ⊂ R−1 ∩ S−1)


R−1 ∩ S−1 = (R ∩ S)−1 �

11.4 CONCLUSÃO

Caro aluno, ao final dessa aula, podemos concluir que relações

constituem-se em um dos aspectos da Matemática de aplicação

prática mais ampla. Podemos, em teoria, fazer relações com qual-

quer par de conjuntos.

11.5 RESUMO

Nosso resumo consta das seguintes definições:

Definição de relação binária:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos. Definimos como uma

relação binária do conjunto A com o conjunto B, denotado R, à

qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B:

R ⊂ A×B

Definição de domínio de uma relação.

146


11AULA

Definição: Sejam A e B conjuntos e R ⊂ A×B uma relação de

A em B. Definimos o domínio de R, denotado Dom(R), por:

Dom(R) def= {x ∈ A| ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R

Definição de imagem de uma relação.


A em B. Definimos a imagem de R, denotada Img(R), por:

Img(R) def= {y ∈ B| ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R

Definição de inversa de uma relação.


A em B. Definimos a inversa da relação R, denotada R−1, por:

R−1 def= {(y, x) ∈ B ×A| (x, y) ∈ R}

Definição de propriedade reflexiva de uma relação.

Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de

A em A. Dizemos que R tem propriedade reflexiva, somente se:

∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

Definição de propriedade irreflexiva de uma relação.


A em A. Dizemos que R tem propriedade irreflexiva, somente se:

∀x ∈ A, (x, x) /∈ R

Definição de propriedade coreflexiva de uma relação.


A em A. Dizemos que R tem propriedade coreflexiva, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ x = y

Definição de propriedade simétrica de uma relação.


A em A. Dizemos que R tem propriedade simétrica, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R

Definição de propriedade anti-simétrica de uma relação.

147


Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A× A uma relação de A

em A. Dizemos que R tem propriedade anti-simétrica, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y

Definição de propriedade assimétrica de uma relação.


em A. Dizemos que R tem propriedade assimétrica, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) /∈ R

Definição de propriedade transitiva de uma relação.


A em A. Dizemos que R tem propriedade transitiva, somente se:

∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R

Definição de propriedade total de uma relação.

Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação

de A em A. Dizemos que R tem propriedade total, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R

Definição de propriedade tricotômica de uma relação.


em A. Dizemos que R tem propriedade tricotômica, somente se:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R Y (y, x) ∈ R Y x = y

Definição de propriedade euclidiana de uma relação.


A em A. Dizemos que R tem propriedade euclidiana, somente se:

∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R→ (y, z) ∈ R

11.6 ATIVIDADES

Deixamos como atividade a demonstração de algumas pro-

priedades acima.

148


11AULA

ATIV. 11.1. Sejam A um conjunto e R,S ⊂ A×A duas relações

sobre o conjunto A. Mostre que, se R e S são transitivas então

R ∪ S é transitiva.

Comentário: Volte ao texto e reveja com atenção as demons-

trações desta aula.

ATIV. 11.2. Sejam A, B conjuntos e R,S ⊂ A × B relações de

A em B. Mostre que:

R−1 ∪ S−1 = (R ∪ S)−1.

Comentário: Volte ao texto e reveja com atenção as demons-

trações desta aula.

11.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS

DOMINGUES, Higino Hugueros. e IEZZI, Gelson. Álgebra Moder-

na. Atual Editora LTDA. São Paulo. 1979.


Paulo: GEEM, 1970.

149

12AULA

1LIVRO

Relações de Ordem

META:

Apresentar o conceito de relações

de ordem e suas propriedades.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Determinar se uma dada relação é

uma relação de ordem.

Determinar os elementos ninimais,

mínimo, maximais e máximo de um

dado conjunto.

PRÉ-REQUISITOS


relações binárias.

Relações de Ordem

12.1 Introdução

O conceito de relação de ordem é bastante intuitivo. Podemos

ver diariamente muitos exemplos de relações de ordem, como por

exemplo: uma fila em uma sorveteria, a ordem de prioridades de

execução das nossas tarefas diárias, a ordenação léxica de nomes

em uma lista de presença, a ordenação numérica de itens a serem

comprados ordenados pelos respectivos preços e outros. Nessa

aula, faremos uma formalização das idéias por trás do conceito

de ordem.

12.2 Relações de Ordem

Começaremos nossa aula conceituando (definindo) relação de

ordem:

Definição 12.1. Sejam A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação

de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem se, somente

se:

PO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

PO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y

PO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.

OBS 12.1. Em outras palavras, dizemos que uma relação R sobre

um conjunto A é uma relação de ordem se R for: reflexiva, anti-

simétrica e transitiva. A relação de ordem como acima definida é

conhecida também como “relação de ordem parcial”.

Exemplo 12.1. Vejamos alguns exemplos de relações de ordem

parciais.

152


12AULA

• A relação “maior ou igual”, (≥) no conjunto dos reais R.

• Dado um conjunto A a relação de “incluso ou igual”, ⊆ sobre

P(A) o conjunto das partes de A.

Podemos definir em um conjunto A, parcialmente ordenado, uma

relação de ordem estrita. A saber:

Definição 12.2. Seja (A,�) um conjunto parcialmente ordenado.

Definimos a relação ≺∈ A×A por:

∀x, y ∈ A, x ≺ y ↔ x � y ∧ ¬(x = y).

OBS 12.2. O fato de que x ≺ y lê-se: “x precede estritamente y”.

Um tipo particular de relação de ordem é a relação de ordem lexi-

cográfica, definida por:

Definição 12.3. Sejam A e B conjuntos parcialmente ordenados

e ≺A e ≺B suas relações de ordem estrita. Definimos uma relação

de ordem ≺, denominada ordem lexicográfica sobre A × B por:

∀(a1, b1), (a2, b2) ∈ A×B, (a1, b1) ≺ (a2, b2), somente se:

• a1 ≺A a2 ou

• a1 = a2 ∧ b1 ≺B b2

Podemos definir também o conceito de quasi-ordem. A saber:


de A em A. Dizemos que R é uma relação de quasi-ordem, somente

se:

QO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R.

QO2 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.

153

Relações de Ordem


um conjunto A é uma relação de quasi-ordem se R for: reflexiva e

transitiva.

Exemplo 12.2. Vejamos alguns exemplos de relações de quasi-

ordem.

• No conjunto N dos números naturais, a relação “divide”, (|)

em que a|b lê-se a divide b.

• Dado um conjunto A a relação de “incluso ou igual”, ⊆ sobre

P(A) o conjunto das partes de A.

Podemos definir também, o conceito de ordem total. A saber:


de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem total, somente

se:

TO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

TO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y

TO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.

TO4 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R


um conjunto A é uma relação de ordem total se R for: reflexiva,

anti-simétrica, transitiva e total.

Exemplo 12.3. Vejamos alguns exemplos de relações de ordem

total.

• Seja A o conjunto de todos os acontecimentos na vida de um

cidadão. A relação “aconteceu antes de ou ao mesmo tempo

que”, (�) sobre A.

154


12AULA

• A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos reais R.

OBS 12.5. Uma relação de ordem total é também uma relação

de ordem parcial. Um conjunto A com uma relação R ∈ A×A de

ordem parcial é denominado “conjunto parcialmente ordenado”, e

o par (A,R) é dito um “POSET”. Costuma-se, em uma relação de

ordem, denotar o fato de (x, y) ∈ R por x � y que se lê: x precede

y na relação R.

Exemplo 12.4. Mais alguns exemplos de relações de ordem.

• Sejam A = {a, b, c} e R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c)}.

R1 é uma relação de ordem parcial pois, nem (b, c) ∈ R1 nem

(c, b) ∈ R1 e as propriedades reflexiva, anti-simétrica são veri-

ficadas por testes diretos e transitiva é trivialmente satisfeita

pois, nenhum par de elementos de R satisfaz a premissa da

propriedade transitiva.

• Sejam A = {a, b, c} e R2 = {(a, a), (b, b), (c, c)}. R2 é uma

relação de quasi-ordem. Pois, todos os pares da forma (x, x),

x ∈ A pertence a R2 o que garante a propriedade reflexiva e

propriedade transitiva é trivialmente verificada.

• Sejam A = {a, b, c} e R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c),

(a, c)}. R3 é uma relação de ordem total. Pois, todos os

pares da forma (x, x), x ∈ A pertence a R3, nenhum par

da forma (x, y), x, y ∈ A, x 6= y que pertence a relação

(x, y) ∈ R3 arrasta seu simétrico ou seja (y, x) /∈ R3. A pro-

priedade transitiva pode ser verificada por exaustão (a, a) ∧

(a, b)→ (a, b), (b, b) ∧ (b, c)→ (b, c), (a, a) ∧ (a, c)→ (a, c) e

(a, b) ∧ (b, c)→ (a, c) e a propriedade total é satisfeita pelos

155

Relações de Ordem

pares (a, b), (b, c), (a, c) para os pares da forma (x, y), x, y ∈

A, x 6= y e pelos pares (a, a), (b, b), (c, c) para os pares da

forma (x, y), x, y ∈ A, x = y.

12.2.1 Cotas Superiores e Cotas Inferiores

Veremos a seguir, algumas definições relativas a subconjuntos

de conjuntos parcialmente ordenados. Começaremos pela definição

de cota superior de um subconjunto de um conjunto parcialmente

ordenado.

Definição 12.6. Sejam (A,�) um conjunto parcialmente orde-

nado e X ⊂ A. Dizemos que um elemento x ∈ A é uma cota

superior de X, se, somente se: ∀x ∈ X,x � x

De modo semelhante podemos definir cota inferior de um subcon-

junto de um conjunto parcialmente ordenado. A saber:

Definição 12.7. Sejam (A,�) um conjunto parcialmente orde-

nado e X ⊂ A. Dizemos que um elemento x ∈ A é uma cota

inferior de X, se, somente se: ∀x ∈ X, x � x

12.2.2 Elementos Maximal, Minimal, Máximo e Mí-

nimo

Veremos a seguir, algumas definições relativas a conjuntos par-

cialmente ordenados. Começaremos pela definição de elemento

minimal de um conjunto parcialmente ordenado.


Dizemos que um elemento a ∈ A é um elemento minimal, se, so-

mente se: ∀x ∈ A, x � a→ x = a

156


12AULA

De modo semelhante podemos definir um elemento maximal em

um conjunto parcialmente ordenado. A saber:


Dizemos que um elemento a ∈ A é um elemento maximal, se,

somente se: ∀x ∈ A, a � x→ x = a

Adicionalmente definiremos elemento mínimo e elemento máximo

de um conjunto parcialmente ordenado. A saber:

Definição 12.10. Seja (A,�) um conjunto parcialmente orde-

nado. Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento mínimo de

A, se, somente se: ∀x ∈ A, a � x

Definição 12.11. Seja (A,�) um conjunto parcialmente orde-

nado. Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento máximo deA,

se, somente se: ∀x ∈ A, x � a


Veremos agora algumas demonstrações envolvendo relações de

ordem e suas propriedades.

Teorema 12.1. Seja (A,�) um conjunto parcialmente ordenado

então ∀x, y, z ∈ A, x � y ∧ y ≺ z → x ≺ z

PROVA ∀x, y, z ∈ A, x � y ∧ y ≺ z.

Da definição de y ≺ z ↔ y � z ∧ ¬(y = z) temos:

x � y ∧ (y � z ∧ ¬(y = z)).

Como (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) temos:

(x � y ∧ y � z) ∧ ¬(y = z).

De PO3 x � y ∧ y � z → x � z temos:

157

Relações de Ordem

(x � z) ∧ ¬(y = z).

Como p ` p ∨ q temos:

(x � z) ∧ (¬(x = y) ∨ ¬(y = z)).

Usando De Morgan temos:

(x � z) ∧ (¬((x = y) ∧ (y = z))).

Da propriedade transitiva da igualdade (x = y)∧ (y = z)→ x = z

temos:

(x � z) ∧ ¬(x = z).

Da definição da relação “precede estritamente”, (x � z) ∧ ¬(x =

z)↔ x ≺ z temos:

x ≺ z.

Portanto:

∀x, y, z ∈ A, x � y ∧ y ≺ z → x ≺ z. �

Em seguida mostraremos que:

Teorema 12.2. Sejam A um conjuntos e R ⊂ A×A uma relação

de ordem parcial em A, então R−1 é uma relação de ordem parcial

em A.

PROVA É suficiente mostrar que R−1 satisfaz as propriedades

PO1, PO2 e PO3.

a) Primeiramente mostraremos que R−1 satisfaz PO1.

Como R é uma relação de ordem parcial em A R satisfaz PO1 e

temos:

∀x ∈ (x, x) ∈ R.

Da definição de relação inversa (x, x) ∈ R→ (x, x) ∈ R−1 e temos:

∀x ∈ A, (x, x) ∈ R−1.

b) Em segundo lugar mostraremos que R−1 satisfaz PO2.

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, x) ∈ R−1.

158


12AULA

Da definição de relação inversa (x, y) ∈ R−1 ↔ (y, x) ∈ R e tam-

bém (y, x) ∈ R−1 ↔ (x, y) ∈ R. Daí, temos:

∀x, y ∈ A, (y, x) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R.

Como R é uma relação de ordem parcial em A. Logo R satisfaz

PO2 (y, x) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R→ y = x e temos:

y = x.

Como a igualdade tem propriedade comutativa y = x → x = y e

temos:

x = y.

Portanto:

∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, x) ∈ R−1 → x = y.

c) Em terceiro lugar mostraremos que R−1 satisfaz PO3.

∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1.

Da definição de relação inversa (x, y) ∈ R−1 ↔ (y, x) ∈ R e tam-

bém (y, z) ∈ R−1 ↔ (z, y) ∈ R. Daí, temos:

∀x, y, z ∈ A, (y, x) ∈ R ∧ (z, y) ∈ R.

Como p ∧ q ≡ q ∧ p temos:

∀x, y, z ∈ A, (z, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R.

Como R é uma relação de ordem parcial em A. Logo R satisfaz

PO3 (z, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ (z, x) ∈ R e temos.

(z, x) ∈ R

Da definição de relação inversa (z, x) ∈ R↔ (x, z) ∈ R−1 e temos:

∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1 → (x, y) ∈ R−1.

De a), b) e c) R−1 satisfaz PO1, PO2 e PO3 logo é também uma

relação de ordem parcial sobre A. �

159

Relações de Ordem

12.4 CONCLUSÃO

As relações de ordem são constantes tanto na vida real, na

natureza quanto na Matemática. E a classificação das relações de

ordem em diversos tipos como ordem parcial, quasi-ordem e ordem

total, também tem seus pares na vida real.

12.5 RESUMO

Nosso resumo hoje consta das seguintes definições:

Definição de relação de ordem parcial:

Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de

A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem, se, somente se:

PO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

PO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y

PO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R

Definição de relação de quasi-ordem:

Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação de A

em A. Dizemos que R é uma relação de quasi-ordem, se, somente

se:

QO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

QO2 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R

Definição de relação de ordem total:

Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação de A

em A. Dizemos que R é uma relação de ordem total, se, somente

se:

160


12AULA

TO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

TO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y

TO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.

TO4 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R

Definição de cota superior de um subconjunto de um conjunto

parcialmente ordenado:

Definição: Sejam (A,�) um conjunto parcialmente ordenado e

X ⊂ A. Dizemos que um elemento x ∈ A é uma cota superior de

X, se, somente se: ∀x ∈ X,x � x

Definição de cota inferior de um subconjunto de um conjunto par-

cialmente ordenado:

Definição: Sejam (A,�) um conjunto parcialmente ordenado e

X ⊂ A. Dizemos que um elemento x ∈ A é uma cota inferior de

X, se, somente se: ∀x ∈ X, x � x

Definição elemento minimal de um subconjunto de um conjunto


Definição: Seja (A,�) um conjunto parcialmente ordenado.

Dizemos que um elemento a ∈ A é um elemento minimal, se, so-

mente se: ∀x ∈ A, x � a→ x = a

Definição de elemento maximal de um subconjunto de um conjunto



Dizemos que um elemento a ∈ A é um elemento maximal, se,

somente se: ∀x ∈ A, a � x→ x = a

Definição de elemento mínimo:


161

Relações de Ordem

Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento mínimo de A, se,

somente se: ∀x ∈ A, a � x

Definição de elemento máximo:


Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento máximo deA, se,

somente se: ∀x ∈ A, x � a

12.6 ATIVIDADES

Deixamos como atividades algumas demonstrações sobre re-

lações de ordem

ATIV. 12.1. Seja (A,�) um conjunto parcialmente ordenado en-

tão ∀x, y, z ∈ A, x ≺ y ∧ y ≺ z → x ≺ z.

Comentário: Reveja a demonstração do teorema 12.1. Ela será

seu ponto de partida. Com alguma modificação poderá ser usada

para provar a proposição desta atividade.

ATIV. 12.2. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

e escreva a relação de ordem R dada por: ∀x, y ∈ A, (x � y ↔ x|y

(x precede y se, somente se x divide y).

Comentário: Note que esta relação não é de ordem total. Por

exemplo nem par (3, 4) nem (4, 3) está na relação já que nem 3

divide 4 nem 4 divide 3.


DOMINGUES, Higino Hugueros. e IEZZI, Gelson., Álgebra Mo-

derna. Atual Editora LTDA. São Paulo. 1979.

162


12AULA

CASTRUCCI, Benedito., Elementos da Teoria de Conjuntos. São

Paulo: GEEM, 1970.

163

13AULA

1LIVRO

Relações deEquivalência

META:

Introduzir o conceito de relações de

equivalência e suas propriedades.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Identificar se uma dada relação é

uma relação de equivalência.

Determinar as classes de equivalên-

cia de uma relação de equivalência.

Determinar a partição de um

conjunto por uma relação de

equivalência.

PRÉ-REQUISITOS



Relações de Equivalência

13.1 Introdução

O conceito de relação de equivalência assim como o conceito de

relação de ordem também é bastante intuitivo. Podemos ver di-

ariamente muitos exemplos de relações de equivalência. Em uma

farmácia podemos classificar como equivalentes os remédios que

têm o mesmo princípio ativo; em uma biblioteca podemos classi-

ficar como equivalentes os livros que tratam do mesmo tema etc.

Nessa aula, faremos uma formalização das idéias, por trás, do con-

ceito de relação de equivalência.

13.2 Relações de Equivalência

Começaremos diretamente ao conceito (definição) de relação de

equivalência:


de A em A. Dizemos que R é uma relação de equivalência se,

somente se:

E1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

E2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R

E3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.


um conjunto A é uma relação de equivalência se R for: reflexiva,

simétrica e transitiva.

Exemplo 13.1. Vejamos alguns exemplos de relações de equiva-

lência.

166


13AULA

• A relação “igual a”, (=) no conjunto dos reais R.

– ∀x(x = x)

– ∀x, y ∈ R(x = y → y = x)

– ∀x, y, z ∈ R(x = y ∧ y = z → x = z).

• A relação de congruência módulo m sobre o conjunto dos in-

teiros Z i.e. Dizemos que x, y ∈ Z são equivalentes, somente

se x ≡ y mod m (o resto da divisão de x − y por m > 0 é

zero).

– ∀x ∈ Z(x ≡ x mod m)

– ∀x, y ∈ Z(x ≡ y mod m→ y ≡ x mod m)

– ∀x, y, z ∈ Z(x ≡ y mod m ∧ y ≡ z mod m → x ≡ z

mod m).

• Seja A o conjunto de todas as retas de um dado plano. A re-

lação de paralelismo entre duas retas é uma relação de equiva-

lência.

– ∀x ∈ A(x ‖ x)

– ∀x, y ∈ A(x ‖ y → y ‖ x)

– ∀x, y, z ∈ A(x ‖ y ∧ y ‖ z → x ‖ z).

• Seja A = {a, b, c} é de equivalência a relação R ∈ A×A dada

por:

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}.

Para este caso temos:

– Como (a, a), (b, b), (c, c) ∈ R isto garante que ∀x ∈

A, (x, x) ∈ R

167


– Como (a, a) → (a, a), (b, b) → (b, b), (c, c) → (c, c),

(a, b) → (b, a) e (b, a) → (a, b) isto garante que ∀x, y ∈

A, (x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R

– Como (a, a) ∧ (a, a) → (a, a), (b, b) ∧ (b, b) → (b, b),

(c, c) ∧ (c, c) → (c, c), (a, b) ∧ (b, b) → (b, b), (a, a) ∧

(a, b) → (a, b), (b, a) ∧ (a, a) → (b, a) e (b, b) ∧ (b, a) →

(b, a) isto garante que ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈

R→ (x, z) ∈ R.

OBS 13.2. Relações de equivalência podem ser vistas como ex-

tensões do conceito de igualdade. De modo geral, sempre que não

houver dúvidas quanto a relação de equivalência em um dado con-

junto, denotaremos x ≡ y para escrever que x é equivalente a y.

13.2.1 Partições e Classes de Equivalência

Existe uma forma alternativa de se pensar relações de equiva-

lências. Para isto, precisamos de duas definições. A definição de

partição de um conjunto não vazio e a definição de classes de equiv-

alência. Começaremos pela definição de classes de equivalência

Definição 13.2. Sejam A um conjunto não vazio, R ⊂ A × A

uma relação de equivalência em A e a ∈ A. Definimos a classe de

equivalência do elemento a ∈ A, denotada a, por:

adef= {x ∈ A| (x, a) ∈ R}

Exemplo 13.2. Seja A um cesto de frutas e peguemos sacolas

plásticas e separemos as frutas nas sacola segundo a relação de

equivalência: duas frutas são equivalentes se são da mesma espé-

cie. Cada sacola, neste caso, comportará apenas frutas de mesma

espécie. Cada sacola representa uma classe de equivalência.

168


13AULA

Definimos o conjunto quociente por:

Definição 13.3. Sejam A um conjunto não vazio e R ⊂ A × A

uma relação de equivalência em A. Definimos o conjunto quociente

de A por R, denotado A/R, por:

A/Rdef= {x, ∀x ∈ A}

Exemplo 13.3. Seja A = {a, b, c} e a relação de equivalência

R ⊂ A×A dada por:

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}.

Para este caso temos:

• a = {a, b}

• b = {a, b}

• c = {c}

• A/R = {{a, b}, {c}}

Exemplo 13.4. Voltando ao exemplo do conjunto A, um cesto

de frutas. O conjunto de sacolas plásticas com as frutas separadas

por espécies e arrumadas dentro da cesta representa o conjunto

quociente A/R.

Um teorema, só para relaxar, cujo conteúdo mostra que: elementos

que estão relacionados em uma relação de equivalência têm mesma

classe de equivalência.

Teorema 13.1. Sejam A um conjunto não vazio e R ⊂ A × A

uma relação de equivalência, ∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R→ a = b.

PROVA: ∀z ∈ a, da definição temos:

(z, a) ∈ R.

169


Da hipótese (a, b) ∈ R. Dai, temos:

(z, a) ∈ R ∧ (a, b) ∈ R.

Como R é uma relação de equivalência, vale a propriedade transi-

tiva e temos:

(z, a) ∈ R ∧ (a, b) ∈ R→ (z, b) ∈ R.

Como (z, b) ∈ R, da definição de classe de equivalência temos:

z ∈ b.

Daí, temos:

∀z ∈ a→ z ∈ b.


a ⊂ b.

Do mesmo modo, podemos mostrar que:

b ⊂ a.

Logo:

(a ⊂ b) ∧ (b ⊂ a).

Da igualdade de conjuntos temos:

a = b

E finalmente:

∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R→ a = b. �

Outro conceito importante é o de partição. A saber:

Definição 13.4. Sejam A um conjunto e P ⊂ P(A) um sub-

conjunto das partes de A. Dizemos que P é uma partição de A,

somente se:

i - ∀X ∈ P,X ⊂ A ∧X 6= ∅

ii - ∀X,Y ∈ P,X 6= Y → X ∩ Y = φ

iii - ∪P = A

170


13AULA

Exemplo 13.5. Seja A = {a, b, c, d, e}. P = {{a, b}, {c}, {d, e}} é

uma partição de A.

OBS 13.3. A definição de partição não se restringe a conjuntos

finitos. Conjuntos infinitos também podem ter partições. É o caso

de tomarmos A = [0,+∞) ⊂ R e P = {Xn = [n, n+ 1), ∀n ∈ N}.

Temos que ∀Xn ∈ P,Xn 6= ∅, ∀Xn, Xk ∈ P, n 6= k,Xn ∩Xk = ∅ e

A = ∪P .


Veremos agora, que uma relação de equivalência determina uma

partição sobre um conjunto e que uma partição determina uma

relação de equivalência sobre uma conjunto.

Primeramente vamos mostrar que:

Teorema 13.2. Sejam A um conjunto e R ⊂ A×A uma relação

de equivalência sobre A então, A/R é uma partição de A.

PROVA:

a)∀a ∈ A/R.

Como R é uma relação de equivalência (a, a) ∈ R. Portanto:

a ∈ a.

Daí, temos:

a 6= ∅.

Logo:

∀a ∈ A/R, a 6= ∅.

b) ∀a, b ∈ A/R, a 6= b.

Consideremos a hipótese nula:

HN a ∩ b 6= ∅.

Daí, temos:

171


∃z ∈ a ∩ b.

Logo:

z ∈ a ∧ z ∈ b.

Da definição de classe de equivalência.

(z, a) ∈ R ∧ (z, b) ∈ R.

Como R é uma relação de equivalência tem propriedade simétrica

(z, a) ∈ R→ (a, z) ∈ R e temos:

(a, z) ∈ R ∧ (z, b) ∈ R.

Como R é uma relação de equivalência tem propriedade transitiva

(a, z) ∈ R ∧ (z, b) ∈ R→ (a, b) ∈ R e temos:

(a, b) ∈ R.

Do teorema 13.1 (a, b) ∈ R→ a = b e temos:

a = b.

Daí, e da hipótese temos:

(a = b) ∧ (a 6= b).

Absurdo. Logo HN é falsa e a ∩ b = ∅.

Portanto.

∀a, b ∈ A/R, a 6= b→ a ∩ b = ∅.

c) ∀a ∈ A, a ∈ A/R.

Logo:⋃a∈A

a ⊂ A.

Por outro lado:

∀x ∈ A.

Como R é uma relação de equivalência tem propriedade reflexiva

e (x, x) ∈ R e temos:

x ∈ x.

Logo:

172


13AULA

x ∈⋃a∈A

a.

Dai, temos:

∀x ∈ A→ x ∈⋃a∈A

a.


A ⊂⋃a∈A

a.

Como (⋃a∈A

a ⊂ A)∧(A ⊂⋃a∈A

a), da igualdade de conjuntos temos:⋃a∈A

a = A ou escrevendo de outra forma⋃A/R = A.

Juntando as proposições temos:

i - ∀a ∈ A/R, a 6= ∅

ii - ∀a, b ∈ A/R, a 6= b→ a ∩ b = ∅

iii -⋃A/R = A

Logo A/R é uma partição de A. �

Conversivelmente, uma partição determina uma relação de equiva-

lência sobre um conjunto dado, como mostra o teorema a seguir.

Teorema 13.3. Sejam A uma conjunto e P ⊂P(A) uma partição

de A, então existe uma relação R ⊂ A × A de equivalência em A

tal que A/R = P .

PROVA:

Seja R ⊂ A×A a relação definida por:

(x, y) ∈ R↔ ∃X ∈ P |x ∈ X ∧ y ∈ X.

Daí, temos:

a) ∀x ∈ A, como P é uma particão de A, ∃X ∈ P |x ∈ X.

Logo: (x, x) ∈ R.

Daí, temos:

∀x ∈ A, (x, x) ∈ R.

173


b) ∀x ∈ A∀y ∈ A.

Da definição da relação R temos:

(x, y) ∈ R↔ ∃X ∈ P |x ∈ X ∧ y ∈ X.

Como x ∈ X ∧ y ∈ X ≡ y ∈ X ∧ x ∈ X temos:

(x, y) ∈ R↔ ∃X ∈ P | y ∈ X ∧ x ∈ X.


∃X ∈ P | y ∈ X ∧ x ∈ P ↔ (y, x) ∈ R.

Portanto:

(x, y) ∈ R↔ (y, x) ∈ R.

Portanto temos:

∀x, y ∈ A((x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R).

c) ∀x ∈ A∀y ∈ A∀z ∈ A.


(x, y) ∈ R↔ ∃X1 ∈ P |x ∈ X1 ∧ y ∈ X1.

(y, z) ∈ R↔ ∃X2 ∈ P | y ∈ X2 ∧ z ∈ X2.

Como y ∈ X1 ∧ y ∈ X2 temos:

X1 ∩X2 6= ∅.

Como X1, X2 ∈ P e P é uma partição temos:

X1 ∩X2 6= ∅ → X1 = X2.

Portanto:

x ∈ X1 ∧ z ∈ X1.

Daí, temos:

∃X1 ∈ P |x ∈ X1 ∧ z ∈ X1.


∃X1 ∈ P |x ∈ X1 ∧ z ∈ X1 ↔ (x, z) ∈ R.

Logo:

∀x, y, z ∈ A((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R).

Juntando as proposições temos:

174


13AULA

i - ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

ii - ∀x, y ∈ A((x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R)

iii - ∀x, y, z ∈ A((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R)

Logo, R ⊂ A×A é uma relação de equivalência em A. �

13.4 CONCLUSÃO

Concluímos que, assim como as relações de ordem, as relações

de equivalência também são muito comuns. Na prática, as relações

de equivalência são aquilo que definimos como igualdade de obje-

tos.

13.5 RESUMO

Hoje, nosso resumo consta das seguintes definições:

Definição de relação de equivalência:

Definição: Sejam A um conjuntos e R ⊂ A×A uma relação de

A em A. Dizemos que R é uma relação de equivalência se, somente

se:

E1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R

E2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R

E3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R.

Definição de classe de equivalência:

Definição: Sejam A um conjunto não vazio, R uma relação de

equivalência em A e a ∈ A. Definimos a classe de equivalência do

175


elemento a ∈ A, denotada a, por:

a = {x ∈ A| (x, y) ∈ R}

Definição de conjunto quociente:

Definição: Sejam A um conjunto não vazio e R uma relação de

equivalência em A. Definimos o conjunto quociente de A por R,

denotado A/R, por:

A/R = {x,∀x ∈ A}

Definição de partição de um conjunto:

Definição: Sejam A um conjunto e P ⊂P(A) um conjunto de

partes de A. Dizemos que P é uma partição de A, somente se:

i - ∀X ∈ P,X ⊂ A ∧X 6= ∅

ii - ∀X,X ∈ P,X 6= Y → X ∩ Y = φ

iii - ∪P = A

13.6 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração de alguma pro-

priedades acima.

ATIV. 13.1. Seja A é um conjunto e R ⊂ A×A uma relação de

equivalência sobre A. Mostre que: ∀a, b ∈ A, a = b ∨ a ∩ b = ∅.

Comentário: Reveja a demonstração do teorema 13.1. Esta ativi-

dade é sua contrapositiva.

ATIV. 13.2. Sejam A um conjunto e P ⊂P(A uma partição de

A dados por:

A = {a, b, c, d, e, f} e

P = {{a, b}, {c}, {d, e, f}}.

176


13AULA

Determine a relação de equivalência R ⊂ A×A associada a P .

Comentário: Lembre-se que, cada elemento de cada elemento da

partição estará na relação.


DOMINGUES, Higino Hugueros. e IEZZI, Gelson. Álgebra Mo-



Paulo: GEEM, 1970.

177

14AULA

1LIVRO

Funções

META:

Apresentar o conceitos de funções.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Identificar se uma dada relação é

uma função.

Determinar a imagem direta e a

imagem inversa de subconjuntos

por uma função.

PRÉ-REQUISITOS



Funções

14.1 Introdução

Caro aluno, o conceito de função, diferentemente do conceito de

relação, não é intuitivo. Muito embora vejamos no dia a dia muitos

exemplos de funções. Em uma sala de aula a altura associada a

cada aluno é uma função (cada aluno só tem uma altura). Em uma

cesta de frutas o peso de cada fruta é uma função do conjunto das

frutas da cesta no conjunto dos números reais etc. Aqui faremos

uma formalização das idéias do conceito de função.

14.2 Funções

Começaremos diretamente ao conceito (definição) de função:

Definição 14.1. Sejam A e B dois conjuntos e F ⊂ A × A uma

relação. Dizemos que F é uma função de A em B, denotada F :

A 7→ B se, somente se:

Func1 ∀x ∈ A,∃y ∈ B| (x, y) ∈ F

Func2 ∀x ∈ A,∀y, z ∈ B, (x, y) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F → y = z

OBS 14.1. Em outras palavras, dizemos que uma relação F ⊂

A × B do conjunto A sobre o conjunto B é uma função quando

todos os elementos do conjunto A participam da relação e cada

elemento do conjunto A está em relação com apenas um único

elemento do conjunto B.

OBS 14.2. O conjunto A é denominado de domínio da função F e

denotado Dom(F ) = A enquanto que o conjunto B é denominado

de contradomínio de F e denotado Cdom(F ) = B.

180


14AULA

OBS 14.3. Dados A e B dois conjuntos, para denotar que uma

relação F ⊂ A × B em particular é uma função e x ∈ A e y ∈ B

estão relacionados pela função (x, y) ∈ F , escrevemos y = F (x).

O objeto x é denominado argumento da função e o objeto y é

denominado imagem de x pela função F . Um conjunto importante

é o denominado imagem da função e dado por: Img(F ) def= {y ∈

B| ∃x ∈ A, y = F (x)}.

Exemplo 14.1. Vejamos alguns exemplos de funções.

• Sejam A,B dois conjuntos dados por A = {a, b, c, d} e B =

{1, 2, 3}. A relação F1 ⊂ A×B dada por F1 = {(a, 1), (b, 3),

(c, 2), (d, 2)} é uma função Fig 14.1. Neste caso, o domínio

de F1 é Dom(F1) = A = {a, b, c, d} e o contradomínio de F1

é Cdom(F1) = B = {1, 2, 3}.



(c, 1), (d, 1)} é uma função Fig 14.2. Neste caso nem to-

dos os elementos do conjunto B participam da relação. O

domínio de F2 éDom(F2) = A = {a, b, c, d} e o contradomínio

de F2 é Cdom(F2) = {1, 2} 6= B.



(b, 3), (d, 2)} não é uma função Fig 14.3 pois, viola Func1

o elemento c ∈ A não participa da relação F3 e viola Func2

pois o elemento b ∈ A está relacionado com dois elementos

1, 3 ∈ B.


{1, 2, 3}. A relação F4 ⊂ A×B dada por F4 = {(a, 2), (a, 3),

181

Funções

(b, 1), (c, 1)} não é uma função Fig 14.4. pois viola Func1

o elemento d ∈ A não participa da relação F4 e viola Func2

pois, o elemento a ∈ A está relacionado com dois elementos

2, 3 ∈ B.

Figura 14.1: Função F1 Figura 14.2: Função F2

Figura 14.3: Não função F3 Figura 14.4: Não função F4

14.2.1 Imagem Direta e Imagem Inversa

Neste momento, introduziremos dois conceitos importantes no

estudo das funções. São os conceitos de imagem direta de um

subconjunto do domínio e o de imagem inversa de um subconjunto

do contradomínio. Começaremos pela definição de imagem direta.

182


14AULA

Definição 14.2. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F : A 7→

B uma função de A em B e X ⊂ A um subconjunto do domínio

da função F . Definimos a imagem direta de X por F , denotada

F (X), por:

F (X) def= {y ∈ B| ∃x ∈ X, y = F (x)}.

Exemplo 14.2. Seguindo o exemplo da função F1 : A 7→ B com

A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3} dada por F1 = {(a, 1), (b, 3), (c, 2),

(d, 2)} Fig 14.1 a imagem direta do conjunto {a, c, d} é F1({a, c, d})

= {1, 2} e a imagem direta do conjunto {a, b, c} é F1({a, b, c})

= {1, 2, 3}.

A imagem direta de subconjuntos do domínio de uma função F :

A 7→ B tem, entre outras, as seguintes propriedades:

i - ∀X,Y ⊂ A,F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y )

ii - ∀X,Y ⊂ A,F (X ∩ Y ) ⊂ F (X) ∩ F (Y )

iii - ∀X,Y ⊂ A,X ⊂ Y → F (X) ⊂ F (Y )

iv - F (A) = Img(F )

v - F (∅) = ∅

Quanto a imagem inversa de subconjuntos do contradomínio de

uma função, sua definição é:

Definição 14.3. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F :

A 7→ B uma função de A em B e Y ⊂ B um subconjunto do

contradomínio da função F . Definimos a imagem inversa de Y por

F , denotada F−1(Y ), por:

F−1(Y ) def= {x ∈ A|F (x) ∈ Y }.

183

Funções

Exemplo 14.3. Seguindo o exemplo da função F2 : A 7→ B com

A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3} dada por F2 = {(a, 2), (b, 1), (c, 1),

(d, 1)}, Fig 14.2, a imagem inversa do conjunto {1, 2} é F−12 ({1, 2})

= {a, b, c, d} e a imagem inversa do conjunto {3} é F−12 ({3}) = ∅

pois 3 ∈ B não está relacionado com nenhum x ∈ A.

A imagem inversa de subconjuntos do contradomínio de uma função

F : A 7→ B tem, entre outras, as seguintes propriedades:

i - ∀X,Y ⊂ B,F−1(X ∪ Y ) = F−1(X) ∪ F−1(Y )

ii - ∀X,Y ⊂ B,F−1(X ∩ Y ) = F−1(X) ∩ F−1(Y )

iii - ∀X,Y ⊂ B,X ⊂ Y → F−1(X) ⊂ F−1(Y )

iv - ∀X ⊂ B,F−1({B(X)) = {A(F−1(X))

v - F−1(B) = Dom(F )

vi - F−1(∅) = ∅

Um conceito importante no estudo das funções é o de composição

de funções. A saber:

Definição 14.4. Sejam A,B,C três conjuntos e F : A 7→ B e

G : B 7→ C duas funções. Definimos a função composta de G com

F , denotada G ◦ F , por:

(G ◦ F )(x) def= G(F (x)), ∀x ∈ A

Exemplo 14.4. Vejamos um exemplo de composição de funções:

Sejam A = {a, b, c}, B = {x, y} e C = {1, 2, 3} três conjun-

tos e F : A 7→ B e G : B 7→ C duas funções dadas por F =

{(a, x), (b, y), (c, x)} e G = {(x, 1), (y, 3)}. A função composta

G ◦ F : A 7→ C é dada por G ◦ F = {(a, 1), (b, 3), (c, 1)} Fig 14.5.

184


14AULA

Figura 14.5: Função Composta


Nesta seção, demonstraremos algumas das propriedades da ima-

gem direta de subconjuntos do domínio de uma função e algu-

mas das propriedades da imagem inversa de subconjuntos do con-

tradomínio de uma função.

Primeiramente mostraremos que:

Teorema 14.1. Sejam A,B dois conjuntos e F : A 7→ B uma

função de A em B então ∀X,Y ⊂ A,F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y ).

PROVA: É suficiente mostrar que: F (X ∪ Y ) ⊂ F (X) ∪ F (Y ) e

que F (X) ∪ F (Y ) ⊂ F (X ∪ Y ).

a) Primeiramente vamos mostrar que F (X ∪ Y ) ⊂ F (X) ∪ F (Y )

∀z ∈ F (X ∪ Y ).

Da definição de imagem direta temos:

∃x ∈ (X ∪ Y ) ∧ z = f(x).

Daí, temos:

185

Funções

(∃x ∈ X ∧ z = f(x)) ∨ (∃x ∈ Y ∧ z = f(x)).


(z ∈ F (X)) ∨ (z ∈ F (Y )).


z ∈ F (X) ∪ F (Y ).

Portanto:

∀z ∈ F (X ∪ Y )→ z ∈ F (X) ∪ F (Y ).


F (X ∪ Y ) ⊂ F (X) ∪ F (Y ).

b) Nesse segundo momento mostraremos que F (X) ∪ F (Y ) ⊂

F (X ∪ Y )

∀z ∈ F (X) ∪ F (Y ).


z ∈ F (X) ∨ z ∈ F (Y ).


(∃x1 ∈ X ∧ z = f(x1)) ∨ (∃x2 ∈ Y ∧ z = f(x1).

Logo: ∃(x ∈ X ∨ x ∈ Y ) ∧ z = F (x).


∃x ∈ X ∪ Y ∧ z = F (x).


z ∈ F (X ∪ Y ).

Daí, temos:

∀z ∈ F (X) ∪ F (Y )→ z ∈ F (X ∪ Y ).


F (X) ∪ F (Y ) ⊂ F (X ∪ Y ).


(F (X ∪ Y ) ⊂ F (X) ∪ F (Y )) ∧ (F (X) ∪ F (Y ) ⊂ F (X ∪ Y )).

Finalmente, da igualdade de conjuntos temos:

186


14AULA

∀X,Y ⊂ A,F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y ). �

Vamos agora a uma demonstração de uma das propriedades da

imagem inversa de subconjuntos do contradomínio de uma função.

A saber:

Teorema 14.2. Sejam A,B dois conjuntos e F : A 7→ B uma

função de A em B então ∀X ⊂ B,F−1({B(X)) = {A(F−1(X)).

PROVA: É suficiente mostrar que: F−1({B(X)) ⊂ {A(F−1(X))

e {A(F−1(X)) ⊂ F−1({B(X)).

a) Primeiramente, mostraremos que F−1({B(X)) ⊂ {A(F−1(X))

∀x ∈ F−1({B(X)).

Da definição de imagem inversa temos:

F (x) ∈ {B(X).


F (x) ∈ B ∧ F (x) /∈ X.

Como F (x) ∈ B → x ∈ A temos:

x ∈ A ∧ ¬(F (x) ∈ X).


x ∈ A ∧ ¬(x ∈ F−1(X)).

Daí, temos:

x ∈ A ∧ x /∈ F−1(X).


x ∈ {A(F−1(X)).

Logo:

∀x ∈ F−1({B(X))→ x ∈ {A(F−1(X)).


F−1({B(X)) ⊂ {A(F−1(X)).

b) Em segundo lugar mostraremos que {A(F−1(X)) ⊂ F−1({B(X)).

187

Funções

∀x ∈ {A(F−1(X)).


x ∈ A ∧ x /∈ F−1(X).

Como da definição de função x ∈ A→ F (x) ∈ B temos:

F (x) ∈ B ∧ x /∈ F−1(X).

De outro modo:

F (x) ∈ B ∧ ¬(x ∈ F−1(X)).


F (x) ∈ B ∧ ¬(F (x) ∈ X).

Daí, temos:

F (x) ∈ B ∧ F (x) /∈ X.


F (x) ∈ {B(X).


x ∈ F−1({B(X)).

Logo: ∀x ∈ {A(F−1(X))→ x ∈ F−1({B(X)).


{A(F−1(X)) ⊂ F−1({B(X)).


(F−1({B(X)) ⊂ {A(F−1(X))) ∧ ({A(F−1(X)) ⊂ F−1({B(X))).

Finalmente, da igualdade de conjuntos temos:

∀X ⊂ B,F−1({B(X)) = {A(F−1(X)). �

14.4 CONCLUSÃO

Funções são menos intuitivas que as relações. Porém, nem por

isto são menos importantes.

188


14AULA

14.5 RESUMO

Nosso resumo consta das seguintes definições e propriedades:

Definição de função:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos e F ⊂ A×A uma relação.

Dizemos que f é uma função de A em B, denotada F : A 7→ B se,

somente se:

Func1 ∀x ∈ A,∃y ∈ B| (x, y) ∈ F

Func2 ∀x ∈ A,∀y, z ∈ B, (x, y) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F → y = z

Definição de função composta:

Definição: Sejam A,B,C três conjuntos e F : A 7→ B e G :

B 7→ C duas funções. Definimos a função composta de G com F ,

denotada G ◦ F , por:

(G ◦ F )(x) def= G(f(x)),∀x ∈ A

Definição de imagem direta de um subconjunto do domínio:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F ⊂ A× B

uma função de A em B e X ⊂ A um subconjunto do domínio

da função F . Definimos a imagem direta de X por F , denotada

F (X), por:

F (X) = {y ∈ B| ∃x ∈ X ∧ y = F (x)}.

Definição de imagem inversa de um subconjunto do contradomínio:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F ⊂ A× B

uma função de A em B e Y ⊂ B um subconjunto do contradomínio

da função F . Definimos a imagem inversa de Y por F , denotada

F−1(Y ), por:

F−1(Y ) def= {x ∈ A|F (x) ∈ Y }.

Propriedades da imagem direta de subconjuntos do domínio de

uma função F : A 7→ B:

189

Funções

i - ∀X,Y ⊂ A,F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y )

ii - ∀X,Y ⊂ A,F (X ∩ Y ) ⊂ F (X) ∩ F (Y )

iii - ∀X,Y ⊂ A,X ⊂ Y → F (X) ⊂ F (Y )

iv - F (A) = Img(F )

v - F (∅) = ∅

Propriedades da imagem inversa de subconjuntos do contradomínio

de uma função F : A 7→ B:

i - ∀X,Y ⊂ B,F−1(X ∪ Y ) = F−1(X) ∪ F−1(Y )

ii - ∀X,Y ⊂ B,F−1(X ∩ Y ) = F−1(X) ∩ F−1(Y )

iii - ∀X,Y ⊂ B,X ⊂ Y → F−1(X) ⊂ F−1(Y )

iv - ∀X ⊂ B,F−1({B(X)) = {A(F−1(X))

v - F−1(B) = Dom(F )

vi - F−1(∅) = ∅

14.6 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração de algumas das pro-

priedades acima.

ATIV. 14.1. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F ⊂ A×B

uma função de A em B. Mostre que: ∀X,Y ⊂ A,F (X ∩ Y ) ⊂

F (X) ∩ F (Y ).

Comentário: Reveja as demonstrações da seção 14.3. Note que

basta provar a inclusão; a igualdade de modo geral não vale. Como

na função A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} e F : A 7→ B dada por:

190


14AULA

F (a) = 1, F (b) = 1 e F (c) = 3. Para esta função temos F ({a}) =

{1}, F ({b}) = {1} o que dá F ({a}) ∩ F ({b}) = {1} 6= ∅ enquanto

que {a} ∩ {b} = ∅ e das propriedades F ({a} ∩ {b}) = F (∅) = ∅.

Ou seja, para esta função F ({a}∩{b}) = ∅ e F ({a})∩F ({b}) 6= ∅.

ATIV. 14.2. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, F ⊂ A×B

uma função de A em B. Mostre que: ∀X,Y ⊂ B,X ⊂ Y →

F−1(X) ⊂ F−1(Y ).

Comentário: Reveja as demonstrações da seção 14.3.



derna. Atual São Paulo: Editora LTDA. 1979.


Paulo: GEEM, 1970.

LIMA, Elon Lages, Curso de Análise. Volume 1, IMPA, Projeto

Euclides, Rio de Janeiro, 8a edição, 1995.

191

15AULA

1LIVRO

Tipos de Funções

META:

Introduzir os diversos tipos de

funções.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Determinar se uma dada função é

injetora, sobrejetora ou bijetora.

PRÉ-REQUISITOS


funções.

Tipos de Funções

15.1 Introdução

Caro aluno, o conceito de função, que vimos na aula anterior,

será explorado um pouco mais na aula de hoje, classificaremos o

conjunto das funções de um dado conjunto em outro conjunto,

segundo alguma de suas propriedades. Focaremos nossa atenção

nas funções classificadas como injetoras , sobrejetoras e em bije-

toras. Veremos também o conceito de função inversa. Teremos

que cuidar para não confundir função inversa com o conceito de

imagem inversa, visto na aula anterior. Boa aula!

15.2 Tipos de Funções

Começaremos diretamente ao conceito (definição) de função

injetora. A saber:

Definição 15.1. Sejam A e B dois conjuntos e F : A 7→ B uma

função. Dizemos que F é uma função injetora se, somente se:

∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y).

OBS 15.1. Em outras palavras, dizemos que uma função F : A 7→

B do conjunto A no conjunto B é uma função injetora quando ele-

mentos diferentes do domínio são levados pela função em elementos

diferentes na imagem da função.

OBS 15.2. Denotamos Inj(A,B) o conjunto de todas as funções

injetoras do conjunto A no conjunto B.

OBS 15.3. Levando-se em conta que p→ q ≡ ¬q → ¬p podemos

reformular a definição de função injetora para uma forma mais útil

nas demonstrações. A saber:

194


15AULA



∀x, y ∈ A,F (x) = F (y)→ x = y.

Exemplo 15.1. Vejamos alguns exemplos de funções injetoras:


{1, 2, 3, 4, 5}. A função F1 : A 7→ B dada por F1 = {(a, 2),

(b, 1), (c, 3), (d, 4)} é uma função injetora Fig 15.1.


{1, 2, 3}. A função F2 : A 7→ B dada por F2 = {(a, 2), (b, 1),

(c, 1), (d, 1)} não é uma função injetora Fig 15.2. Neste

caso, o elemento do contradomínio 1 ∈ B está relacionado

com três elementos distintos b, c, d ∈ A do domínio.

• A função F : R − {1} 7→ R dada por F (x) =2x+ 1x− 1

é uma

função injetora.

PROVA: ∀x, y ∈ R− {1}, F (x) = F (y).

Substituindo a regra de associação de F temos:2x+ 1x− 1

=2y + 1y − 1

.

Da igualdade de frações temos:

(2x+ 1)(y − 1) = (2y + 1)(x− 1).

Desenvolvendo os produtos temos:

2xy + y − 2x− 1 = 2xy + x− 2y − 1.

Simplificando a expressão acima temos:

3y = 3x.

Daí, temos:

3(y − x) = 0.

Portanto y − x = 0 e temos:

x = y.

195

Tipos de Funções

Logo: ∀x, y ∈ R− {1}, F (x) = F (y)→ x = y.

Portanto, F é uma função injetora. �

• A função F : [−b/2a,+∞) 7→ [−(b2− 4ac)/4a,+∞) definida

por F (x) = ax2 + bx + c em que: a, b, c ∈ R, a > 0 é uma

função injetora.

PROVA: ∀x, y ∈ [−b/2a,+∞), F (x) = F (y).

Substituindo a regra de associação de F temos:

ax2 + bx+ c = ay2 + by + c.

Simplificando a expressão acima temos:

a(x2 − y2) + b(x− y) = 0

Como x2 − y2 = (x+ y)(x− y) temos:

a(x+ y)(x− y) + b(x− y) = 0.

Colocando x− y em evidência temos:

(a(x+ y) + b)(x− y) = 0.

Por outro lado do domínio de F tiramos que:

∀x, y ∈ [−b/2a,+∞)→ x ≥ −b/2a ∧ y ≥ −b/2a.

Daí, somando temos:

x+ y ≥ −b/2a− b/2a.

Logo:

x+ y ≥ −b/a.

De que tiramos:

a(x+ y) + b ≥ 0.

Daí, temos:

(a(x+ y) + b)(x− y)∧ a(x+ y) + b ≥ 0→ x− y = 0∨ a(x+

y) + b = 0.

Observemos que: no domínio da função a(x+ y) + b = 0↔

x = −b/2a ∧ y = −b/2a que leva também a x = y.

Logo:

196


15AULA

∀x, y ∈ [−b/2a,+∞), F (x) = F (y)→ x = y.

Portanto, F é uma função injetora. �

Figura 15.1: Injetora Figura 15.2: Não injetora

Em continuação vamos à definição de função sobrejetora:


função. Dizemos que F é uma função sobrejetora, somente se:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x).

OBS 15.4. Em outras palavras, dizemos que uma função F :

A 7→ B do conjunto A no conjunto B é uma função sobrejetora

quando todos os elementos do contradomínio entram na dança.

E, o contradomínio e o conjunto imagem se confundem isto é

Cdom(F ) = Img(F ).

OBS 15.5. Denotamos Sobre(A,B) o conjunto de todas as funções

sobrejetoras do conjunto A no conjunto B.

Exemplo 15.2. Vamos à alguns exemplos de funções sobrejetoras:



(c, 2), (d, 2)} é uma função sobrejetora Fig 15.3.

197

Tipos de Funções



(c, 1), (d, 1)} não é uma função sobrejetora Fig 15.4. Neste

caso, o elemento do contradomínio 3 ∈ B não está rela-

cionado com nenhum elemento do domínio.

Figura 15.3: Sobrejetora Figura 15.4: Não sobrejetora

• A função F : R 7→ R dada por F (x) = ax+ b em que a 6= 0

é uma função sobrejetora.

PROVA: ∀y ∈ R, procuraremos, caso exista, um x ∈ R tal

que y = F (x).


y = ax+ b.

Daí, como x ∈ R temos:

x = (y − b)/a.

Logo x ∈ R e:

F (x) = F ((y − b)/a) = a(y − b)/a+ b = y.

Portanto:

∀y ∈ R,∃x ∈ R| y = F (x).

E a função F é sobrejetora. �

• A função F : [−b/2a,+∞) 7→ [−(b2− 4ac)/4a,+∞) definida

198


15AULA

por F (x) = ax2 + bx + c em que: a, b, c ∈ R, a > 0, é uma

função sobrejetora.

PROVA: ∀y ∈ [−(b2 − 4ac)/4a,+∞), procuraremos, caso

exista um x ∈ R tal que y = F (x).


y = ax2 + bx+ c.

Daí, temos:

ax2 + bx+ c− y = 0.

Como a > 0, dividindo por a temos:

x2 +b

ax+

c− ya

= 0.

Adicionando o termos nulob2

4a− b2

4atemos:

x2 +b

ax+

b2

4a− b2

4a+c− ya

= 0.

Completando o quadrado temos:(x+

b

2a

)2

− b2

4a+c− ya

= 0.

Operando as frações temos:(x+

b

2a

)2

− b2 − 4ac+ 4ay4a2

= 0.

De outro modo:(x+

b

2a

)2

=b2 − 4ac+ 4ay

4a2.

Como y ∈ [−(b2 − 4ac)/4a,+∞)→ y ≥ −(b2 − 4ac)/4a.

Daí, temos:

b2 − 4ac+ 4ay ≥ 0.

Portanto, podemos extrair a raiz quadrada e obter:

x+b

2a=

√b2 − 4ac+ 4ay

4a2.

Daí, temos:

x = − b

2a+

√b2 − 4ac+ 4ay

4a2.

Obviamente x ∈ [−b/2a,+∞).

Logo x ∈ [−b/2a,+∞) e F (x) = y.

199

Tipos de Funções

Portanto:

∀y ∈ [−(b2 − 4ac)/4a,+∞),∃x ∈ [−b/2a,+∞)| y = F (x).

E a função F é sobrejetora. �

Finalmente, vamos ao conceito de função bijetora:


função. Dizemos que F é uma função bijetora, somente se:

1. ∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y)

2. ∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x)

OBS 15.6. Em outras palavras, dizemos que uma função F : A 7→

B do conjunto A no conjunto B é uma função bijetora quando for

ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Cada elemento do domínio

está associado a um único elemento do contradomínio e vice versa.

Representamos o fato de uma função F ser bijetora dizendo que

“F é 1-1”.

OBS 15.7. Denotamos Bij(A,B) o conjunto de todas as funções

bijetoras do conjunto A no conjunto B.

Exemplo 15.3. Vamos à alguns exemplos de funções bijetoras:


{1, 2, 3, 4}. A função F1 : A 7→ B dada por F1 = {(a, 2), (b, 1),

(c, 3), (d, 4)} é uma função bijetora Fig 15.5.



(c, 1), (d, 1)} não é uma função bijetora Fig 15.6. Neste caso,

o elemento do contradomínio 3 ∈ B não está relacionado com

nenhum elemento do domínio é o bastante para a função não

ser sobrejetora e portanto não ser também bijetora.

200


15AULA

Figura 15.5: Bijetora Figura 15.6: Não bijetora

• A função F : R 7→ R dada por F (x) = ax+ b em que a 6= 0

é uma função bijetora.

PROVA: Temos que mostrar que F (x) é ao mesmo tempo

injetora e sobrejetora. Como já foi mostrado que F (x) é

sobrejetora, basta mostrar que F (x) é injetora.

∀x, y ∈ R, F (x) = F (y).


ax+ b = ay + b

Portanto:

a.(x− y) = 0

Como a 6= 0 temos:

x− y = 0

Logo:

x = y

Logo temos:

∀x, y ∈ R, F (x) = F (y)→ x = y.

E a função F (x) é injetora. Como já mostramos que F (x) é

sobrejetora, concluimos que F (x) é bijetora. �

Para algumas funções é possível reverter seus efeitos e a função

201

Tipos de Funções

encarregada deste feito é denominada de função inversa. Sua

definição é:


função. Definimos a inversa de F , caso exista, e denotada por

F−1 : B 7→ A, por:

i - F−1(F (x)) = x, ∀x ∈ A

ii - F (F−1(y)) = y,∀y ∈ B

Para outras funções não é possível a definição de uma inversa.

Porém, pode ser possível a definição de uma inversa à esquerda ou

de uma inversa à direita. Vamos aos conceitos:


função. Definimos a inversa à esquerda de F , caso exista, e deno-

tada por F−1e : B 7→ A, por:

F−1e (F (x)) = x,∀x ∈ A


função. Definimos a inversa à direita de F , caso exista, e denotada

por F−1d : B 7→ A, por:

F (F−1d (y)) = y,∀y ∈ B

Nossa aula encerra-se aqui. As propriedades das funções injetoras,

sobrejetoras, bijetoras e inversa, bem como as demonstrações de

algumas delas, serâo abordadas específicamente em nossa próxima

aula.

15.3 CONCLUSÃO

As funções podem classificadas quanto as suas características

em injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Injetoras se cada elemento

202


15AULA

da imagem está associado a um só elemento do domínio. Sobreje-

tora se todos os elementos da imagem têm pelo menos um elemento

do domínio a ele associado. E bijetora se é injetora e sobrejetora

ao mesmo tempo.

15.4 RESUMO

Nosso resumo de hoje consta das seguintes definições:

Definição de função injetora:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos e F : A 7→ B uma

função. Dizemos que F é uma função injetora, somente se:

∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y).

Definição de função sobrejetora:


função. Dizemos que F é uma função sobrejetora, somente se:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x).

Definição de função bijetora:


função. Dizemos que F é uma função bijetora, somente se:

1. ∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y)

2. ∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x)

Definição de função inversa:


função. Definimos a inversa de F , caso exista, e denotada por

F−1 : B 7→ A, por:

i - F−1(F (x)) = x, ∀x ∈ A

ii - F (F−1(y)) = y,∀y ∈ B

203

Tipos de Funções

Definição de função inversa à esquerda:

Definição: Sejam A e B dois conjuntos e F : A 7→ B uma função.

Definimos a inversa à esquerda de F , caso exista, e denotada por

F−1e : B 7→ A, por:

F−1e (F (x)) = x,∀x ∈ A

Definição de função inversa à direita:


função. Definimos a inversa à direita de F , caso exista, e denotada

por F−1d : B 7→ A, por:

F (F−1d (y)) = y,∀y ∈ B

15.5 ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 15.1. Seja f : [0,+∞) 7→ R dada por f(x) =1

1 + x2.

Mostre que f é injetora.

Comentário: Volte ao texto e reveja as demonstrações da aula.

E lembre-se que x2 − y2 = (x+ y)(x− y).

ATIV. 15.2. Seja f : [0, 1] 7→ [0, 1] dada por f(x) =√

1− x2.

Mostre que f é sobrejetora.

Comentário: Volte ao texto e reveja as demonstrações da aula.

E lembre-se que se x ∈ [0, 1] então o ≤ x ≤ 1 e que 0 ≤ x ≤ 1 →

0 ≤ x2 ≤ 1.




204


15AULA


Paulo: GEEM, 1970.

Funções Injetoras, Funçoes Sobrejetoras. Disponível em: www.fund

198.ufba. br/apos_cnf/funcinsob.pdf. Acessado em 20 mai. 2007

205

16AULA

1LIVRO

Propriedades dasFunções

META:

Demonstrar algumas propriedades

das funções.

OBJETIVOS:


ser capazes de

Demonstrar propriedades das

funções injetoras, sobrejetoras e

bijetoras.

PRÉ-REQUISITOS


funções.

Propriedades das Funções

16.1 Introdução

O conceito de função que vimos nas aulas anterior será ex-

plorado um pouco mais aqui demonstrando-se algumas de suas

propriedades. Focaremos nossa atenção nas funções classificadas

como injetoras, como sobrejetoras e como bijetoras. Esta aula,

devido ao seu contudo técnico, será, em número de páginas, mais

curta que as anteriores. Ném por isso deverá ser dedicado menos

tempo para absorver seu conteúdo. Bom mão a obra.

16.2 Propriedades das Funções Injetoras

Para começar, vale a pena ver de novo a definição de função

injetora. A saber:



∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y).

Vamos diretamente às propriedades das funções injetoras:

• Sejam f : A 7→ B e g : B 7→ C duas funções. Se f e g são

injetoras então g ◦ f : A 7→ C é injetora.

• Sejam f : A 7→ B e g : B 7→ C duas funções. Se g◦f : A 7→ C

é injetora então f é injetora.

• Sejam f : A 7→ B uma função e X ⊂ A. Se f é injetora

então f−1(f(X)) = X.

• Sejam f : A 7→ B uma função e X,Y ⊂ A. Se f é injetora

então f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).

208


16AULA

• Sejam f : A 7→ B e g, h : C 7→ A funções então f é injetora

se, somente se f ◦ g = f ◦ h→ g = h.

16.3 Propriedades das Funções Sobrejetoras

Aqui começaremos também, revendo a definição de função so-

brejetora. A saber:


função. Dizemos que F é uma função sobrejetora se, somente se:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x).

Em continuação vamos às propriedades das funções sobrejetoras:


sobrejetoras então g ◦ f : A 7→ C é sobrejetora.


é sobrejetora então g é sobrejetora.

• Sejam f : A 7→ B uma função e X ⊂ B. Se f é sobrejetora

então f(f−1(X)) = X.

• Sejam f : A 7→ B uma função. Se f é sobrejetora ∃g : B 7→

A| f ◦ g = IB.

• Sejam f : A 7→ B e g, h : B 7→ C funções então f é sobreje-

tora se, somente se g ◦ f = h ◦ f → g = h.

16.4 Propriedades das Funções Bijetoras

Começaremos também, revendo a definição de função bijetora.

A saber:

209



função. Dizemos que F é uma função bijetora se, somente se:

1. ∀x, y ∈ A, x 6= y → F (x) 6= F (y)

2. ∀y ∈ B, ∃x ∈ A| y = F (x)

Finalmente as propriedades das funções bijetoras:


bijetoras então g ◦ f : A 7→ C é bijetora.

• Seja f : A 7→ B uma função. Se f é sobrejetora então ∃g :

B 7→ A| g = f−1.

• Sejam f : A 7→ B e g, h : B 7→ C funções então f é bijetora

se, somente se g ◦ f = h ◦ f → g = h.


Vamos, aqui, demonstrar algumas das propriedades das funções

injetoras, sobrejetoras e injetoras. As demais podem ficar como ex-

celentes exercícios. Vamos lá.

Primeiramente vamos demonstrar uma das propriedades das funções

injetoras. Mais precisamente.

Propriedade1: Sejam f : A 7→ B uma função e X ⊂ A. Se f é

injetora então f−1(f(X)) = X.

PROVA: Precisamos de um resultado intermediário, que vale para

qualquer função. A saber:

Resultado A: f : A 7→ B uma função e X ⊂ A então X ⊂

f−1(f(X)).

210


16AULA

PROVA: ∀x ∈ X.

Da definição de imagem direta de uma função temos:

f(x) ∈ f(X)

Da definição de imagem inversa de uma função temos:

x ∈ f−1(f(X))

Logo:

∀x ∈ X → x ∈ f−1(f(X))

Portanto, da definição de contido:

X ⊂ f−1(f(X)). �

Voltemos à prova propriamente dita.

∀x ∈ f−1(f(X))→ f(x) ∈ f(X)

Como f é injetora temos:

f(x) ∈ f(X)→ x ∈ X.

Caso contrario, ∃y /∈ X|f(x) = f(y) e como x ∈ X ∧ y /∈ X temos

x 6= y∧ f(x) = f(y) o que contraria o fato de f ser injetora. Logo:

∀x ∈ f−1(f(X))→ x ∈ X.

Portanto da definição de contido temos:

f−1(f(X)) ⊂ X.

Juntando isto ao Resultado A temos:

(f−1(f(X)) ⊂ X) ∧ (X ⊂ f−1(f(X))).

Da definição de igualdade de conjuntos temos:

f−1(f(X)) = X.

Portanto:

Se f é injetora então f−1(f(X)) = X. �

Continuando, vamos agora a uma propriedade das funções sobre-

jetoras. A seguinte:

Propriedade2: Sejam f : A 7→ B uma função e Y ⊂ B. Se f é

sobrejetora então f(f−1(Y )) = Y .

211


PROVA: Precisamos de um resultado intermediário, que vale para

qualquer função. A saber:

Resultado B: f : A 7→ B uma função e Y ⊂ B então f(f−1(Y )) ⊂

Y .

PROVA: ∀y ∈ f(f−1(Y ))

Da definição de imagem direta de uma função temos:

∃x ∈ f−1(Y )| y = f(x)

Daí, temos:

y = f(x) ∧ f(x) ∈ Y

Logo:

y ∈ Y .

Daí, temos:

∀y ∈ f(f−1(Y ))→ y ∈ Y

Portanto, da definição de contido temos:

f(f−1(Y )) ⊂ Y. �

Voltemos à prova propriamente dita.

∀y ∈ Y

Como f é sobrejetora temos:

∃x ∈ f−1(Y )| y = f(x).

E neste caso temos:

y = f(x) ∧ f(x) ∈ f(f−1(Y )).

Logo:

y ∈ f(f−1(Y )).

Daí, temos:

∀y ∈ Y → y ∈ f(f−1(Y ))


Y ⊂ f(f−1(Y )).

Juntando isto ao Resultado B temos:

212


16AULA

(Y ⊂ f(f−1(Y ))) ∧ (f(f−1(Y )) ⊂ Y ).

Da definição de igualdade de conjuntos temos:

f(f−1(Y )) = Y .

Portanto:

Se f é sobrejetora então f(f−1(Y )) = Y. �

Vamos concluir esta seção com uma demonstração de uma pro-

priedade das funções bijetoras.

Propriedade3: Sejam f : A 7→ B e g : B 7→ C duas funções. Se

f e g são bijetoras então g ◦ f : A 7→ C é bijetora.

PROVA Dividiremos a prova em duas partes:

a) Primeiramente vamos provar que g ◦ f é injetora.

∀x, y ∈ A

(g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y).

Da definição de composição de funções temos:

g(f(x)) = g(f(y)).

Fazendo u = f(x) e w = f(y) temos:

g(u) = g(w).

Como g é bijetora é também injetora. Daí, temos:

u = w.

f(x) = f(y).

Como f é bijetora é também injetora. Daí, temos:

x = y.

Juntando tudo.

∀x, y ∈ A, (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y)→ x = y.

Portanto g ◦ f é injetora.

b) Em segundo vamos provar que g ◦ f é sobrejetora.

∀z ∈ C.

Como g é bijetora é também sobrejetora. Daí,

213


∃y ∈ B| g(y) = z.

Por outro lado, como f é bijetora:

∃x ∈ A| y = f(x).

Daí, temos:

z = g(y) ∧ y = f(x)→ g(f(x)) = z → (g ◦ f)(x) = z.

Combinando tudo temos:

∀z ∈ C,∃x ∈ A| (g ◦ f)(x) = z.

Portanto g ◦ f é sobrejetora.

Das partes a) e b) temos que g ◦ f é portanto bijetora. �

16.6 CONCLUSÃO

Concluímos que a operação de composição de funções preserva

a característica das mesmas. Assim, a composição de funções inje-

tora é injetora, a composição de funções sobrejetoras é sobrejetora

e a composição de funções bijetoras é bijetora.

16.7 RESUMO

Nosso resumo hoje consta das seguintes propriedades:

Propriedades das funções injetoras:


injetoras então g ◦ f : A 7→ C é injetora.



• Sejam f : A 7→ B uma função e X ⊂ A. Se f é injetora

então f−1(f(X)) = X.

214


16AULA

• Sejam f : A 7→ B uma função e X,Y ⊂ A. Se f é injetora

então f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).



Propriedades das funções sobrejetoras:





• Sejam f : A 7→ B uma função e X ⊂ B. Se f é sobrejetora

então f(f−1(X)) = X.

• Seja f : A 7→ B uma função. Se f é sobrejetora então ∃g :

B 7→ A| f ◦ g = IB.

• Sejam f : A 7→ B e g, h : B 7→ C funções então f é sobreje-

tora se, somente se g ◦ f = h ◦ f → g = h.

Propriedades das funções bijetoras:


bijetoras então g ◦ f : A 7→ C é bijetora.

• Seja f : A 7→ B uma função. Se f é bijetora então ∃g : B 7→

A| g = f−1.

• Sejam f : A 7→ B e g, h : B 7→ C funções então f é bijetora

se, somente se g ◦ f = h ◦ f → g = h.

215


16.8 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração de algumas das pro-

priedades acima.

ATIV. 16.1. Prove as seguintes propriedades das funções inje-

toras:





Comentário: Reveja as demonstrações acima.

ATIV. 16.2. Prove as seguintes propriedades das funções sobre-

jetoras:





Comentário: Reveja as demonstrações acima.


DOMINGUES, Higino Hugueros. e IEZZI, Gelson., Álgebra Mo-



Paulo: GEEM, 1970.

216


16AULA

FIFS:Funções Injetoras, Funçoes Sobrejetoras. http://www.fund

198.ufba.br/ funcinsob.pdf. Acessado em 20 mai. 2007

217

17AULA

1LIVRO

Números Naturais:Axiomas de Peano

META:

Introduzir o conceito de números

naturais através dos axiomas de

Peano.

OBJETIVOS:


ser capazes de

Definir o conjunto dos números na-

turais, usando para isto os axiomas

de Peano e demonstrar algumas de

suas propriedades.

PRÉ-REQUISITO: Aula-05

e Aula-15 os conhecimentos de

sistemas axiomáticos e de tipos de

funções

Números Naturais: Axiomas de Peano

17.1 Introdução

O conceito de conjunto dos números naturais é fundamental

para a Matemática. Ele serve de base para a definição dos demais

conjuntos numéricos. Desde os tempos mais antigos o homem tem

usado os números naturais, mas só no século XIX é que surgiu

a idéia de axiomatizar esta teoria. O primeiro a fazer isto foi

Grassman, depois Peano que completou e sistematizou os axiomas

de Grassman, e seus axiomas são os usados até hoje para construir

a teoria dos números naturais.

17.2 Axiomas de Peano

O conjunto dos números naturais, como idealizado por Peano,

é um sistema axiomático com trés termos indefinidos:

Termos Indefinidos:

• N o conjunto dos números naturais

• s : N 7→ N a função sucessor e

• 1 ∈ N um número natural especial denominado “um”.

três axiomas envolvendo os termos indefinidos:

Axiomas

A1 ∃!1 ∈ N| 1 /∈ s(N)

A2 ∀m,n ∈ N, s(m) = s(n)→ m = n

A3 X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X → X = N

Vejamos algumas observações sobre os axiomas:

220


17AULA

OBS 17.1. O primeiro axioma ∃!1 ∈ N| 1 /∈ s(N) diz que o número

natural especial é único e que não é sucessor de nenhum número

natural. Em outras palavras, a função s sucessor não é sobrejetora.

OBS 17.2. O segundo axioma ∀m,n ∈ N, s(m) = s(n)→ m = n

diz que a função s sucessor é injetora. Equivale também a definição

de igualdade no conjunto N dos números naturais. Pois, como s é

uma função temos: m = n → s(m) = s(n) e portanto: ∀m,n ∈

N, s(m) = s(n)↔ m = n

OBS 17.3. O terceiro axioma X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X →

X = N é também conhecido como “Princípio da Indução Finita”,

gerando uma técnica de demonstração de proposições definida so-

bre o conjunto dos números naturais denominada “Demonstração

por Indução”.

Há uma pergunta que não quer calar. Será que os axiomas A1,

A2 e A3 são realmente independentes? A resposta é positiva e

seguiremos dando exemplos de três conjuntos, cada um munido de

uma função sucessor que satisfaz a um par de axiomas sem satis-

fazer ao terceiro.

MODELO 1 tomaremos {1∗,N∗, s∗} em que 1∗ = 1, N∗ = N e

s∗ : N∗ 7→ N∗ dada por ∀n∗ ∈ N∗, n∗ = n, s∗(n∗) = s(s(n)). Este

modelo satisfaz os axiomas A1 e A2 e não satisfaz A3.

PROVA: Dividiremos a prova em três partes:

a) HN ∃n∗ ∈ N∗|s∗(n∗) = 1∗.

Das definições de 1∗ e s∗ temos:

s(s(n)) = 1 e portanto 1 é sucessor de s(n) o que viola A1 para o

modelo {1,N, s}.

Portanto HN é falsa e para o modelo {1∗,N∗, s∗} temos:

1∗ /∈ s∗(N∗)

221


Logo {1∗,N∗, s∗} satisfaz o axioma A1.

b) ∀m∗, n∗ ∈ N∗, s∗(m∗) = s∗(n∗).

Da definição do modelo temos:

s(s(m)) = s(s(n)).

Como s é injetora temos:

s(m) = s(n).

Novamente, como s é injetora temos:

m = n.

Da definição do modelo m∗ = m e n∗ = n. Daí, temos:

∀m∗, n∗ ∈ N∗, s∗(m∗) = s∗(n∗)→ m∗ = n∗.

Portanto, para o modelo {1∗,N∗, s∗} A2 é satisfeita.

c) Seja X = N− {s(1)}.

Pela construção de X∗ e do modelo temos:

X ⊂ N∗.

Por outro lado como 1 ∈ N ∧ 1 /∈ {s(1)} temos:

1 ∈ X ∧ 1∗ = 1

Portanto:

1∗ ∈ X.

Por sua vez,

∀m∗ ∈ X, temos:

casso 1 m∗ = 1∗.

Da definição do modelo temos:

s∗(m∗) = s∗(1∗) = s(s(1)).

Daí, temos:

s∗(m∗) ∈ N∗.

Como s(s(1)) 6= s(1) temos:

s∗(m∗) 6= s(1)→ s∗(m∗) /∈ {s(1)}.

Logo: s∗(m∗) ∈ N ∧ s∗(m∗) /∈ {s(1)} → s∗(m∗) ∈ X.

222


17AULA

caso 2 m∗ 6= 1∗.

Da definição do modelo e como s é injetora temos:

m∗ 6= 1→ s∗(m∗) 6= s(1)→ s∗(m∗) /∈ {s(1)}.

E também:

s∗(m∗) ∈ N.

Daí, temos também neste caso:

s∗(m∗) ∈ N ∧ s∗(m∗) /∈ {s(1)} → s∗(m∗) ∈ X.

Portanto:

∀m∗ ∈ X → s∗(m∗) ∈ X

Logo:

s∗(X) ⊂ X.

Daí, temos:

1∗ ∈ X ∧ s∗(X) ⊂ X.

No entanto X 6= N∗.

Portanto, A3 não é satisfeito para este modelo. �

MODELO 2 Tomaremos {1∗,N∗, s∗} em que 1∗ = 1, N∗ = {1∗}

e s∗ : N∗ 7→ N∗ dada por s∗(1∗) = 1∗. Este modelo satisfaz os

axiomas A2 e A3 e não satisfaz A1.


a) ∀m∗, n∗ ∈ N∗, s∗(m∗) = s∗(n∗).

Da definição do modelo, temos:

∀m∗, n∗ ∈ N∗ → m∗ = 1∗ ∧ n∗ = 1∗

Daí, temos::

m∗ = n∗.

Portanto:

∀m∗, n∗ ∈ N∗, s∗(m∗) = s∗(n∗)→ m∗ = n∗.

Logo s∗ é injetora e A2 é satisfeito.

b) Como, da definição do modelo, N∗ = {1∗} temos:

223


X ⊂ N∗ → X = ∅ ∨X = {1∗}

Daí, temos:

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X → X = {1∗}

Como do modelo, N∗ = {1∗} temos:

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X → X = N∗

Daí, podemos construir a proposição (tautologia):

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X, s∗(X) ⊂ X → X = N∗

E o axioma A3 é satisfeito.

c) Como, da definição do modelo:

s∗(1∗) = 1∗.

Temos que:

1∗ ∈ s∗(N∗).

Logo o axioma A1 não é satisfeito. �

MODELO 3 Tomaremos {1∗,N∗, s∗} em que 1∗ = 1, N∗ =

{1∗, n∗}, n∗ = n = s(1) e s∗ : N∗ 7→ N∗ dada por s∗(1∗) =

n∗ ∧ s∗(n∗) = n∗. Este modelo satisfaz os axiomas A1 e A3 e

não satisfaz A2.


a) Da definição do modelo temos:

N∗ = {1∗, n∗} e s∗(1∗) = n∗ ∧ s∗(n∗) = n∗.

Daí, temos:

s∗(N∗) = {n∗}.

Portanto:

1∗ /∈ s∗(N∗).

E o axioma A1 é satisfeito.:

b) Da definição do modelo N∗ = {1∗, n∗}.

Daí, temos:

X ⊂ N∗ → X = ∅ ∨X = {1∗} ∨X = {n∗} ∨X = {1∗, n∗}.

224


17AULA

Por outro lado:

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X → X = {1∗} ∨X = {1∗, n∗}.

Como, da definição do modelo, s∗(1∗) = n∗ ∧ s∗(n∗) = n∗. Daí,

temos:

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X ∧ s∗(X) ⊂ X → X = {1∗, n∗}.

Como, da definição do modelo, N∗ = {1∗, n∗}. Daí, temos:

X ⊂ N∗ ∧ 1∗ ∈ X ∧ s∗(X) ⊂ X → X = N∗.

E o axioma A3 é satisfeito.

c) Como, da definição do modelo, s∗(1∗) = n∗ ∧ s∗(n∗) = n∗. Daí,

temos:

s∗(1∗) = s∗(n∗) ∧ 1∗ 6= n∗.

De outra forma:

¬(∀m∗, n∗ ∈ N∗, s∗(m∗) = s∗(n∗)→ m∗ = n∗).

Logo o axioma A2 não é satisfeito. �

Finalizaremos nossa aula com um teorema que ilustrará o método

de demonstração conhecido como “Indução Finita”:

Teorema 17.1. ∀n ∈ N, n 6= s(n).

PROVA: Definimos o subconjunto de X ⊂ N dado por:

X = {n ∈ N|n 6= s(n)}.

Mostraremos que X = N usando o axioma A3.

Do axioma A1 temos:

1 /∈ s(N).

Logo:

1 6= s(1).

Daí, temos:

1 ∈ X.

225


Por outro lado:

∀n ∈ X → n 6= s(n).

Como s é injetora temos:

n 6= s(n)→ s(n) 6= s(s(n))→ s(n) ∈ X.

Portanto:

∀n ∈ X → s(n) ∈ X.


s(X) ⊂ X.

Juntando tudo:

X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X.

Do axioma A3 temos que:

X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X → X = N.

Portanto:

∀n ∈ N, n 6= s(n). �

17.3 CONCLUSÃO

Do conteúdo visto nessa aula concluímos que: os três axiomas

de Peano são independentes e nenhum número natural é sucessor

de si mesmo.

17.4 RESUMO

O conjunto dos números naturais pode ser definido através do

uso de trés termos indefinidos e três axiomas. Na forma proposta

por Peano temos:

226


17AULA

Termos Indefinidos:

• N o conjunto dos números naturais

• s : N 7→ N a função sucessor e

• 1 ∈ N um número natural especial denominado “um”.

três axiomas envolvendo os temos indefinidos:

Axiomas

A1 ∃!1 ∈ N| 1 /∈ s(N)

A2 ∀m,n ∈ N, s(m) = s(n)→ m = n

A3 X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X → X = N

17.5 ATIVIDADES

Hoje, deixaremos as seguintes atividades:

ATIV. 17.1. Mostre que existem três elementos diferentes entre

si em N.

Comentário: Construa os mesmos usando a função sucessor e

reveja o teorema 17.1.

ATIV. 17.2. Construa um modelo em que N∗ seja finito satis-

fazendo os axiomas A1 e A2 porém, não satisfazendo o axioma

A3. Prove.

Comentário: Reveja os modelos apresentados nesta aula.


CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemáti-

ca. Livraria Sá da Costa. Editora Lisboa, 1984.

227


COELHO, Sonia Pitta, MILIES, Francisco César Polcino. Números

- Uma Introdução à Matemática. Editora EDUSP, terceira edição

2006.

228

18AULA

1LIVRO

Operações em N

META:

Definir as operações de soma e

produto e uma relação de ordem no

conjnto dos números naturais.

OBJETIVOS:


ser capazes de

Demonstrar propriedades da soma

e do produto no conjunto dos

números naturais,

Demonstrar propriedades da relação

de ordem no conjunto dos números

naturais.

PRÉ-REQUISITOS


de regras de inferência e regras

de equivalência e dos axiomas de

Peano.

Operações em N

18.1 Introdução

Em nossa aula anterior, tivemos nosso primeiro contato com os

axiomas de Peano na definição do conjunto dos números naturais

e provamos a independência deles. Hoje, definiremos uma soma,

um produto e uma relação de ordem no conjunto dos números na-

turais e provaremos alguma de suas propriedades. Devido ao seu

conteúdo mais técnico, a aula de hoje é mais curta que as anteri-

ores. Espero que você tenha cumprido o pré requisito solicitado,

pois ele ajudará na compreensão e no bom andamento dessa aula.

Concentre-se e tenha uma ótima aula.

18.2 Soma no Conjunto dos Números Natu-

rais

Em nada adiantaria definir axiomaticamente o conjunto dos

números naturais se não fosse possível, partindo dos axiomas, defi-

nir e provar as propriedades de operações como a soma e o produto

no conjunto dos números naturais. Algumas destas propriedades

foram provadas inicialmente por Grassmam em seus trabalhos so-

bre a axiomática dos números naturais; outras foram por Peano,

que consolidou a definição dos números naturais com seus axi-

omas. Além das operações citadas, complementaremos o assunto

definindo uma relação de ordem no conjunto dos naturais e suas

propriedades. Começaremos então pela definição de soma.

Definição 18.1. Definimos a soma + : N × N 7→ N, de modo

recorrente, por:

i - ∀n ∈ N, n+ 1 = s(n)

230


18AULA

ii - ∀m,n ∈ N,m+ s(n) = s(m+ n)

18.3 Propriedades da soma

A soma, acima definida tem, entre outras, as seguintes pro-

priedades:

S1 ∀m,n, p ∈ N,m+ (n+ p) = (n+m) + p (propriedade associa-

tiva).

S2 ∀m,n ∈ N,m+ n = n+m (propriedade comutativa).

S3 ∀m,n, p ∈ N,m+ p = n+ p→ m = n (lei do corte).

S4 ∀m,n ∈ N apenas uma das condições ocorre:

i - m = n

ii - ∃p ∈ N|m = n+ p

iii - ∃q ∈ N|n = m+ q (tricotomia).

18.4 Produto no Conjunto dos Números Na-

turais

Prosseguindo definiremos aqui, um produto no conjunto dos

números naturais. A saber:

Definição 18.2. Definimos o produto • : N × N 7→ N, de modo

recorrente, por:

i - ∀n ∈ N, n • 1 = n

ii - ∀m,n ∈ N,m • s(n) = (m • n) + n

231

Operações em N

18.5 Propriedades do Produto

O produto, acima definido tem, entre outras, as seguintes pro-

priedades:

P1 ∀m,n, p ∈ N,m•(n•p) = (n•m)•p (propriedade associativa).

P2 ∀m,n ∈ N,m • n = n •m (propriedade comutativa).

P3 ∀m,n, p ∈ N,m • p = n • p→ m = n (lei do corte).

P4 ∀m,n, p ∈ N, (m + n) • p = (m • p) + (n • p) (propriedade

distributiva).

18.6 Relação de Ordem no Conjunto dos Nú-

meros Naturais

Para finalizar, definiremos uma relação de ordem no conjunto

dos números naturais. A saber:

Definição 18.3. Definimos uma relação de ordem no conjunto dos

números naturais, ≥⊂ N× N por:

∀m,n ∈ N,m ≥ n↔ (m = n) ∨ (∃p ∈ N|m = n+ p)

OBS 18.1. Podemos definir uma relação de ordem estrita >⊂

N× N por:

∀m,n ∈ N,m > n↔ ∃k ∈ N|m = n+ k.

18.7 Propriedades da Relação de Ordem

A Relação de Ordem, acima definida, tem entre outras, as


232


18AULA

O1 ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n → m + p ≥ n + p (compatibilidade com

a soma).

O2 ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n→ m • p ≥ n • p (compatibilidade com o

produto).

O3 ∀m,n, p ∈ N,m+ p = n+ p→ m = n (transitividade).

O4 ∀m,n ∈ N apenas uma das condições ocorre:

i - m = n

ii - m > n

iii - n > m (tricotomia).

18.7.1 Demonstração de Algumas Propriedades

Neste momento, demonstraremos três das propriedades listadas

acima. As demais ficam como excelentes exercícios.

Começaremos demonstrando a propriedade associativa da soma.

A saber:

Propriedade 1 ∀m,n, p ∈ N,m+ (n+ p) = (m+ n) + p.

PROVA: Começamos definindo o conjunto X ⊂ N dado por:

X = {p ∈ N|∀m,n ∈ N,m+ (n+ p) = (m+ n) + p}.

a)Da segunda parte da definição de soma temos:

∀m,n ∈ N,m+ s(n) = s(m+ n).

Da primeira parte da definição de soma temos:

s(n) = n+ 1 ∧ s(m+ n) = (m+ n) + 1.

Daí, temos:

∀m,n ∈ N,m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1.

Portanto:

233

Operações em N

1 ∈ X.

b) Por outro lado,

∀p ∈ X.

∀m,n ∈ N,m+ (n+ p) = (m+ n) + p.

Como s é uma função temos:

s(m+ (n+ p)) = s((m+ n) + p).

Da segunda parte da definição de soma temos:

s(m+ (n+ p)) = m+ s(n+ p).


s(m+ (n+ p)) = m+ (n+ s(p)).

Por outro lado, da segunda parte da definição de soma temos:

s((m+ n) + p) = (m+ n) + s(p).

Como s(m+(n+p)) = s((m+n)+p), s(m+(n+p)) = m+s(n+

s(p)) e s((m+ n) + p) = (m+ n) + s(p) temos:

m+ (n+ s(p)) = (m+ n) + s(p)

Da definição de X temos:

s(p) ∈ X.

Logo: ∀p ∈ X → s(p) ∈ X.


s(X) ⊂ X.

Juntando tudo:

X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X.

Do axioma A3 temos:

X = N.

Portanto:

∀m,n, p ∈ N,m+ (n+ p) = (m+ n) + p. �

Partimos agora à demonstração da propriedade distributiva do

produto sobre a soma. Admitiremos como provadas, pois serão

234


18AULA

necessárias, as propriedades: associativa S1 e comutativa S2 da

soma. Vejamos:

Propriedade 2 ∀m,n, p ∈ N, (m+ n) • p = (m • p) + (n • p).

PROVA: Começamos por definir o conjunto X ⊂ N dado por:

X = {p ∈ N|∀m,n ∈ N, (m+ n) • p = (m • p) + (n • p)}.

a) Da primeira parte da definição de produto temos:

∀m,n ∈ N, (m+ n) • 1 = m+ n.

Também, da primeira parte da definição de produtom = m•1∧n =

n • 1. Dai, temos:

(m+ n) • 1 = (m • 1) + (n • 1).

Portanto:

1 ∈ X.

b) Por outro lado:

∀p ∈ X.

∀m,n ∈ N, (m+ n) • p = (m • p) + (n • p).

Da segunda parte da definição de produto temos:

(m+ n) • s(p) = (m+ n) • p+ (m+ n).

Daí, temos:

(m+ n) • s(p) = ((m • p) + (n • p)) + (m+ n).

Da propriedade associativa da soma S1 temos:

(m+ n) • s(p) = (m • p) + ((n • p) + (m+ n)).

Da propriedade comutativa da soma S2 temos:

(m+ n) • s(p) = (m • p) + ((n • p) + (n+m)).


(m+ n) • s(p) = (m • p) + (((n • p) + n) +m).

Como da segunda parte da definição de produto (n•p)+n = n•s(p)

temos:

(m+ n) • s(p) = (m • p) + ((n • s(p)) +m).

235

Operações em N


(m+ n) • s(p) = (m • p) + (m+ (n • s(p))).


(m+ n) • s(p) = ((m • p) +m) + (n • s(p)).

Como da segunda parte da definição de produto (m • p) + m =

m • s(p) temos:

(m+ n) • s(p) = (m • s(p)) + (n • s(p)).

Da definição de X temos:

s(p) ∈ X.

Logo: ∀p ∈ X → s(p) ∈ X.


s(X) ⊂ X.

Juntando tudo:

X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X.

Do axioma A3 temos:

X = N.

Portanto:

∀m,n, p ∈ N, (m+ n) • p = (m • p) + (n • p). �

Para finalizar, faremos a demonstração da propriedade transitiva

da relação de ordem. Admitiremos como provadas, pois serão

necessária, as propriedades associativa S1, comutativa S2 e a lei

do corte da soma S3.

Propriedade 3 ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n ∧ n ≥ p→ m ≥ p.

PROVA: para: ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n ∧ n ≥ p temos:

((m = n) ∨ (m > n)) ∧ ((n = p) ∨ (n > p)).

Distinguimos quatro casos:

Caso 1 (m = n) ∧ (n = p).

Neste caso, usando a propriedade transitiva da igualdade temos:

236


18AULA

m = p.

Como m = p ` (m = p) ∨ (m > p). Regra de inferência adição.

Logo:

m ≥ p.

Caso 2 (m = n) ∧ (n > p).

Do axioma da substituição da Lógica Matemática.

(m = n) ∧ (n > p)→ m > p.

Por outro lado da regra de inferência adição temos:

m > p ` (m = p) ∨ (m > p).

Logo:

m ≥ p.

Caso 3 (m > n) ∧ (n = p).

Do axioma da substituição da Lógica Matemática.

(m > n) ∧ (n = p)→ m > p.

Por outro lado da regra de inferência adição temos:

m > p ` (m = p) ∨ (m > p).

Logo:

m ≥ p.

Caso 4 (m > n) ∧ (n > p) o mais complicadinho.

Como m > n∧n > p da definição da relação de ordem no conjunto

dos números naturais temos:

∃k1, k2 ∈ N|m = n+ k1 ∧ n = p+ k2.

Do axioma da substituição da Lógica Matemática temos:

m = (p+ k2) + k1.


m = p+ (k2 + k1).

Daí, temos:

∃k ∈ N, k = k2 + k1|m = p+ k.

237

Operações em N

Portanto:

m > p.

Da regra de inferência adição temos:

m > p ` (m = p) ∨ (m > p).

Portanto:

m ≥ p.

Em todos os casos temos:

m ≥ n ∧ n ≥ p→ m ≥ p.

Daí, finalmente temos:

∀m,n, p ∈ N,m ≥ n ∧ n ≥ p→ m ≥ p. �

18.8 CONCLUSÃO

Concluímos que, embora, feita de forma interativa, as definições

de soma e de números naturais pareçam artificiais, elas têm as mes-

mas propriedades intuitivas a que estamos acostumados.

18.9 RESUMO

Resumiremos nossa aula com as seguintes definições e pro-

priedades:

Definição da soma no conjunto dos números naturais:

Definição:

Definimos a soma + : N× N 7→ N, de modo recorrente, por:

i - ∀n ∈ N, n+ 1 = s(n)

ii - ∀m,n ∈ N,m+ s(n) = s(m+ n)

238


18AULA

A soma no conjunto dos números naturais tem, entre outras, as


S1 ∀m,n, p ∈ N,m+ (n+ p) = (n+m) + p (propriedade associa-

tiva).

S2 ∀m,n ∈ N,m+ n = n+m (propriedade comutativa).

S3 ∀m,n, p ∈ N,m+ p = n+ p→ m = n (lei do corte).

S4 ∀m,n ∈ N apenas uma das condições ocorre:

i - m = n

ii - ∃p ∈ N|m = n+ p

iii - ∃q ∈ N|n = m+ q (tricotomia).

Definição do produto no conjunto dos números naturais:

Definição:

Definimos o produto • : N× N 7→ N, de modo recorrente, por:

i - ∀n ∈ N, n • 1 = n

ii - ∀m,n ∈ N,m • s(n) = (m • n) + n

O produto no conjunto dos números naturais tem, entre outras, as


P1 ∀m,n, p ∈ N,m•(n•p) = (n•m)•p (propriedade associativa).

P2 ∀m,n ∈ N,m • n = n •m (propriedade comutativa).

P3 ∀m,n, p ∈ N,m • p = n • p→ m = n (lei do corte).

P4 ∀m,n, p ∈ N, (m + n) • p = (m • p) + (n • p) (propriedade

distributiva).

239

Operações em N

Definição de uma relação de ordem no conjunto dos números na-

turais:

Definição:

Definimos uma relação de ordem ≥⊂ N× N por:

∀m,n ∈ N,m ≥ n↔ (m = n) ∨ (∃p ∈ N|m = n+ p)

A relação de ordem no conjunto dos números naturais, acima

definida, tem, entre outras, as seguintes propriedades:

O1 ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n → m + p ≥ n + p (compatibilidade com

a soma).

O2 ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n→ m • p ≥ n • p (compatibilidade com o

produto).

O3 ∀m,n, p ∈ N,m+ p = n+ p→ m = n (transitividade).

O4 ∀m,n ∈ N apenas uma das condições ocorre:

i - m = n

ii - m > n

iii - n > m (tricotomia).

18.10 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração de algumas pro-

priedades acima.

ATIV. 18.1. Prove a propriedade comutativa da soma ∀m,n ∈

N,m+ n = n+m.

Comentário: Primeiramente mostre que a soma de 1 com qual-

quer número natural n ∈ N é comutativa, partindo do conjunto

X = {n ∈ N|n + 1 = 1 + n}. Em seguida, defina o subconjunto

240


18AULA

dos números naturais Z = {m ∈ N|m + n = n + m,∀n ∈ N} e

mostre então que Z = N.

ATIV. 18.2. Prove a propriedade comutativa do produto ∀m,n ∈

N,m • n = n •m.

Comentário: Primeiramente mostre que o produto de 1 com qual-

quer número natural n ∈ N é comutativo, partindo do conjunto

X = {n ∈ N|n • 1 = 1 • n}. Em seguida, defina o subconjunto dos

números naturais Z = {m ∈ N|m • n = n •m,∀n ∈ N} e mostre

então que Z = N.






2006.

241

19AULA

1LIVRO

Princípio daBoa Ordem

META

Introduzir o princípio da boa ordem

nos números naturais e algumas de

suas conseqüências.

OBJETIVOS


ser capazes de:

Aplicar o princípio da boa or-

dem na demonstração de algumas

proposições envolvendo números

naturais.

PRÉ-REQUISITOS

Aula-18 os conhecimentos das

operações no conjunto dos números

naturais.

Princípio da Boa Ordem

19.1 Introdução

A relação de ordem, definida na aula anterior no conjunto dos

números naturais, é uma relação de ordem total e como veremos

em nesta aula, ela garante no conjunto dos números naturais o

Princípio da Boa Ordem, isto é, todo subconjunto dos naturais

possui um menor elemento. Este fato será provado como base

para o segundo princípio da indução finita.

19.2 Alguns Teoremas

Para começar, veremos o seguinte teorema:

Teorema 19.1. ∀n ∈ N, s(n) > n. Todo número natural é menor

que seu sucessor.

PROVA: Da primeira parte da definição de soma no conjunto dos

números naturais temos:

∀n ∈ N, n+ 1 = s(n).

Da propriedade comutativa da igualdade temos:

∀n ∈ N, s(n) = n+ 1.

Que podemos reescrever como:

∀n ∈ N,∃k ∈ N, k = 1|(n) = n+ k.

Da definição da relação de ordem estrita temos:

∀n ∈ N, s(n) > n. �

Teorema 19.2. ∀n ∈ N, n ≥ 1.

PROVA: ∀n ∈ N, distinguimos dois casos:

Caso 1 n = 1.


244


19AULA

n = 1 ` (n = 1) ∨ (n > 1).

Portanto:

n ≥ 1.

Caso 2 ¬(n = 1).

E usamos a hipótese nula:

HN 1 > n.

Da definição de > temos:

∃p ∈ N|1 = n+ p.


1 = p+ n.

Como ¬(n = 1) do axioma A1 temos:

∃m ∈ N|n = s(m).

Daí, temos:

1 = p+ s(m).


1 = s(p+m).

Do axioma A1 isto é um absurdo (1 não é sucessor de nenhum

número natural). Portanto a hipótese nula é falsa e:

¬(n < 1).

Como ¬(n = 1) ∧ ¬(n < 1), da tricotomia da relação de ordem

temos que a única opção é:

n > 1.

Dos dois casos temos:

(n = 1) ∨ (n > 1).

Portanto, da definição da relação de ordem temos:

∀n ∈ N, n ≥ 1. �

OBS 19.1. O teorema 19.1 diz que o conjunto N dos números

naturais é limitado inferiormente e seu elemento mínimo é o 1.

245


Uma conseqüência do teorema 19.2 é que não existe um número

natural entre um número natural e seu sucessor, como veremos no

próximo teorema. A saber:

Teorema 19.3. ∀n ∈ N,@m ∈ N|n < m < s(n).

PROVA: Consideremos a seguinte hipótese nula:

HN ∃n ∈ N, ∃m ∈ N|n < m < s(n).

Como n < m temos:

∃k ∈ N|m = n+ k e,

Como m < s(n) temos:

∃p ∈ N|s(n) = m+ p.

Daí, temos:

s(n) = (n+ k) + p.


s(n) = n+ (k + p).

Da primeira parte da definição de soma temos:

n+ 1 = n+ (k + p).

Da lei do cancelamento da soma temos:

1 = k + p.

Logo:

1 > k.

Do teorema 19.2 temos:

k > 1.

Da tricotomia temos que:

1 > k ∧ 1 < k é um absurdo, pois apenas uma das possibilidade é

verdadeira. Logo HN é falsa e:

∀n ∈ N,@m ∈ N|n < m < s(n). �

246


19AULA

Os teoremas a seguir darão sentido à relação de ordem no conjunto

dos números naturais. A saber:

Teorema 19.4. ∀n ∈ N, n ≥ n. (propriedade reflexiva)

PROVA: Como do axioma da igualdade da Lógica Matemática

∀n ∈ N, n = n.


n = n ` n = n ∨ n > n.

Portanto:

∀n ∈ N, n ≥ n. �

Teorema 19.5. ∀m,n ∈ N, n ≥ m ∧ m ≥ n → m = n. (pro-

priedade anti-simétrica)

PROVA: Da hipótese do teorema temos:

n ≥ m ∧m ≥ n.

Da definição da relação de ordem temos:

(n = m ∨ n > m) ∧ (m = n ∨m > n).

Da regra de equivalência distributiva da conjunção sobre a dis-

junção temos:

(n = m ∧ (m = n ∨m > n)) ∨ (n > m ∧ (m = n ∨m > n)).

Novamente da regra de equivalência distributiva da conjunção so-

bre a disjunção temos:

((n = m∧m = n)∨ (n = m∧m > n))∨ ((n > m∧m = n)∨ (n >

m ∧m > n)).

Como a disjunção tem propriedades associativa e comutativa, são

desnecessários parênteses para indicar a ordem de precedência deste

modo temos:

(n = m ∧m = n) ∨ (n = m ∧m > n) ∨ (n > m ∧m = n) ∨ (n >

247


m ∧m > n).

A propriedade de tricotomia diz que as opções 2, 3 e 4 não são

possíveis isto é, n = m ∧ m > n ≡⊥, n > m ∧ m = n ≡⊥ e

n > m ∧m > n ≡⊥ e temos:

(n = m ∧m = n)∨ ⊥ ∨ ⊥ ∨ ⊥.

Portanto:

m = n.

Logo:

∀m,n ∈ N, n ≥ m ∧m ≥ n→ m = n. �

Desta forma a nossa relação ≥⊂ N× N dada por ∀m,n ∈ N,m ≥

n↔ (m = n∨∃p ∈ N|m = n+p) possui as seguintes propriedades:

1. ∀m ∈ N,m ≥ m.

2. ∀m,n,∈ N,m ≥ n ∧ n ≥ m→ m = n.

3. ∀m,n, p ∈ N,m ≥ n ∧ n ≥ p→ m ≥ p.

4. ∀m,n ∈ N,m ≥ n ∨ n ≥ m

Portanto nossa relação ≥ é uma relação de ordem total no con-

junto N dos números naturais. As propriedades 3 e 4 ficam como

exercícios.

19.3 Princípio da Boa Ordem

Veremos agora, o Princípio da Boa Ordem que diz que qual-

quer subconjunto não vazio do conjunto N dos números naturais

tem um menor elemento, isto leva à definição:

248


19AULA

Definição 19.1. Sejam A um conjunto e ≥ A×A uma relação de

ordem total em A. Dizemos que A é bem ordenado, somente se:

∀X ⊂ A|X 6= ∅, ∃x ∈ X, z ≥ x,∀z ∈ X.

A seguir, um teorema de fácil demonstração porém, útil na de-

monstração do princípio da boa ordem no conjunto N dos números

naturais.

Teorema 19.6. ∀n ∈ N,¬(a > a).

PROVA: Do axioma da igualdade da Lógica Matemática temos:

a = a.

Portanto, da tricotomia temos:

¬(a > a). �

Agora ao teorema da boa ordem. A saber:

Teorema 19.7. ∀A ⊂ N, A 6= ∅, ∃a ∈ A|x ≥ a,∀x ∈ A.

PROVA: Como A 6= ∅, dois casos são possíveis:

Caso 1 1 ∈ A.

Neste caso, como ∀n ∈ N, n ≥ 1 temos:

∃a ∈ A, a = 1|x ≥ 1, ∀x ∈ A.

E a = 1 é o menor elemento de A e está provado o teorema.

Caso 2 1 /∈ A.

Neste caso, definimos o conjunto X ⊂ N dado por:

X = {x ∈ N|z > x∀z ∈ A}.

Vamos a alguns fatos:

Primeiramente como ∀n ∈ N,¬(n > n) temos:

∀a ∈ A¬(a > a).

249


Portanto:

∀a ∈ A→ a /∈ X.

Desta forma:

A ∩X = ∅

E como A 6= ∅ temos:

X 6= N.

Em segundo como ∀n ∈ N, n ≥ 1 temos:

∀z ∈ A, z ≥ 1.

Como 1 /∈ A da tricotomia temos:

∀z ∈ A, z > 1.

Daí, temos:

1 ∈ X.

Vamos agora a uma hipótese nula:

HN ∀x ∈ X → s(x) ∈ X.

Da HN temos:

s(X) ⊂ X.

Logo:

X ⊂ N ∧ 1 ∈ X ∧ s(X) ⊂ X.

Do axioma da indução A3 temos:

X = N.

Daí, temos:

X 6= N ∧X = N.

Absurdo. Logo HN é falsa e sua negativa verdadeira:

∃x ∈ X|x ∈ X ∧ s(x) /∈ X.

Como x ∈ X temos:

z > x∀z ∈ A.

Por outro lado como s(x) /∈ X temos:

∃a ∈ A|s(x) ≥ a.

250


19AULA

Mais uma hipótese nula:

HN1 s(x) > a.

Neste caso temos:

s(x) > a > x.


¬(s(x) > a > x) ∧ s(x) > a > x.

Absurdo. Logo HN1 é falsa e temos:

¬(s(x) > a).

Daí, temos:

s(s) ≥ a ∧ ¬(s(x) > a).

Da definição de ≥ temos:

((s(x) = a) ∨ (s(x) > a)) ∧ ¬(s(x) > a).

Portanto, temos:

s(x) = a.

Vamos à última hipótese nula.

HN2 ∃z ∈ A|a > z.

Como x ∈ X ∧ z ∈ A temos:

z > x.

Como de HN2 a > z ∧ s(x) = a temos:

s(x) > z > x.


¬(s(x) > z > x) ∧ s(x) > z > x.

Absurdo. Logo HN2 é falsa e temos:

∀z ∈ A,¬(a > z).

Da tricotomia temos:

∀z ∈ A, z ≥ a.

E a ∈ A é o menor elemento.

Juntando os caso 1 e caso2 temos:

251


∀A ⊂ N, A 6= ∅, ∃a ∈ A|x ≥ a,∀x ∈ A. �

19.4 Primeiro Princípio da Indução Finita

O Primeiro Princípio da Indução Finita nada mais é que uma

reinterpretação do terceiro axioma de Peano reescrito da seguinte

forma:

Primeiro Princípio da Indução Finita Seja p(n) uma proposi-

ção aberta satisfazendo:

i - p(1)

ii - p(n)→ p(s(n))

então ∀n ∈ N, p(n).

O Primeiro Princípio da Indução Finita pode ser ilustrado com o

seguinte raciocínio:

Tendo como exemplo uma fileira de pedras de dominó:

a) a primeira pedra cai.

b) se n-ésima pedra cai então a (n+ 1)-ésima pedra cai.

Conclusão: todas as pedras do dominó caem.

19.5 Segundo Princípio da Indução Finita

Usaremos aqui o teorema da boa ordem para provar o Segundo

Princípio da Indução. Um princípio mais elaborado que o primeiro

e tão útil quanto este.

Segundo Princípio da Indução Finita Seja p(n) uma proposi-

ção aberta satisfazendo:

i - p(1)

252


19AULA

ii - (∀z ∈ N, 1 < z < n, p(z))→ p(n)

então ∀n ∈ N, p(n)

PROVA: Vamos supor, por absurdo, a hipótese nula de que sejam

válidos o ítem i e a hipótese do ítem ii porém, a conclusão do ítem

ii seja falsa para alguma proposição p(n) aberta no conjunto N dos

números naturais isto é:

HN

i - p(1)

ii - (∀n ∈ N, (∀z ∈ N, 1 < z < n, p(z))→ p(n))∧¬(∀n ∈ N, p(n))

e definimos o conjunto:

X = {n ∈ N|¬p(n)}.

Como assumimos a hipótese nula:

X 6= ∅.

Primeiro fato:

Como p(1) temos:

1 /∈ X. Do teorema 19.7 X tem um menor elemento:

∃m ∈ X|m ≤ z, ∀z ∈ X.

Como 1 /∈ X temos:

m 6= 1.

Portanto, como m é o menor elemento de X temos:

∀z ∈ N, 1 ≤ z < m, z /∈ X.

De outra forma:

∀z ∈ N, 1 ≤ z < m, p(z).

Portanto, do item ii da suposição temos:

(∀z ∈ N, 1 ≤ z < m, z, p(z))→ p(m).

Porém, como m ∈ X temos:

¬p(m).

253


Daí, temos:

p(m) ∧ ¬p(m).

Absurdo. Logo HN é falsa e:

i - p(1)

ii - (∀n ∈ N, (∀z ∈ N, 1 < z < n, p(z)) → p(n)) → (∀n ∈

N, p(n)). �


Aqui vermos algumas demonstrações que ilustraram aplicações

do Princípio da Indução Finita. Nas atividades serão propostas

também alguns problemas, cuja solução envolve a aplicação do

Princípio da Indução Finita.

PROBLEMA 1: ∀n ∈ N, n < 2n.

PROVA: Considerando a proposição aberta:

p(n) ≡ n < 2n.

a) A proposição é verdade para n = 1 pois,

p(1) ≡ 1 < 21 é verdade.

b) Supondo que a desigualdade vale para um número natural n

temos:

p(n) ≡ n < 2n.

Para n+1 , do axioma da igualdade da Lógica Matemática, temos:

n+ 1 = n+ 1.

Como, ∀n ∈ N, 1 ≤ n temos:

n+ 1 ≤ n+ n.

De outra forma:

n+ 1 ≤ 2n.

Como, por suposição, n < 2n temos:

254


19AULA

n+ 1 < 2.2n.

Usando propriedade das potências de mesma base temos:

n+ 1 < 2n+1.

Daí, temos:

p(n+ 1) = p(s(n)) ≡ n+ 1 < 2n+1 é verdade.

Portanto:

1. p(1)

2. p(n)→ p(s(n))

Do Primeiro Princípio da Indução Finita temos:

∀n ∈ N, p(n).

De outra forma:

∀n ∈ N, n < 2n. �

PROBLEMA 2: ∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.


p(n) ≡ 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.


p(1) ≡ 1 =1(1 + 1)

2, é verdade.

b) Supondo que a fórmula vale para o natural n ∈ N temos:

p(n) ≡ 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2Para n+ 1 podemos escrever:

1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1) = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n) + (n+ 1).

Como supomos que a proposição vale para o natural n ∈ N temos:

1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1).

Operando a fração do lado direito da expressão temos:

1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1) =n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2.

Simplificando temos:

255


1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2.


1 + 2 + 3 + · · ·+ (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2.

Ou seja p(n+ 1) = p(s(n)) é verdade.

Daí, temos:

p(n)→ p(s(n)).

Como:

i - p(1)

ii - p(n)→ p(s(n))

Do Princípio da Indução Finita temos:

∀n ∈ N, p(n).

Ou seja:

∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2. �

Para finalizar, vamos a um problema em que, para sua solução, é

necessário o segundo princípio da indução finita.

PROBLEMA 3: ∀n ∈ N, n ≥ 2, n = p1.p2 · · · pm em que m ∈ N

e p1, p2, . . . , pm são primos possivelmente repetidos.


p(n) ≡ n = p1.p2 · · · pm


p(2) ≡ 2 = 2

em que m = 1 e p1 = 2.

b) Supondo que ∀k ∈ N, 2 ≤ k ≤ n, p(n) vale temos, para n + 1

dois casos:

Caso 1: n+ 1 é primo. Neste caso:

256


19AULA

p(n+ 1) ≡ n+ 1 = p1

E a proposição vale para n+ 1.

Caso 2 n+ 1 não é primo. Neste caso:

n+ 1 = a.b em que 2 ≤ a ≤ n e 2 ≤ b ≤ n.

Como ∀k ∈ N, 2 ≤ k ≤ n, p(n) temos:

a = p1 · · · pm e b = pm+1 · · · ps.

Daí, temos:

p(m+ 1) = p1 · · · pmpm+1 · · · ps.

Ou seja p(n+ 1) = p(s(n)) é verdade.

Daí, temos:

(∀k ∈ N, 2 ≤ k ≤ n, p(n))→ p(s(n)).

Como:

i - p(2)

ii - (∀k ∈ N, 2 ≤ k ≤ n, p(n))→ p(s(n))

Do Segundo Princípio da Indução Finita temos:

∀n ∈ N, p(n).

Ou seja:

∀n ∈ N, n ≥ 2, n = p1.p2 · · · pm em que m ∈ N e p1, p2, . . . , pm são

primos. �

19.7 CONCLUSÃO

Concluímos que o Princípio da Boa Ordem corresponde a mossa

experiência do dia a dia, em qualquer conjunto de números naturais

um deles será o menor de todos.

257


19.8 RESUMO

Nosso resumo hoje consta dos seguintes teoremas:

TEOREMA 1 ∀n ∈ N, n ≥ 1.

TEOREMA 2 ∀n ∈ N, n ≥ 1.

TEOREMA 3 ∀n ∈ N, @m ∈ N|n < m < s(n).

TEOREMA 4 ∀n ∈ N, n ≥ n.

TEOREMA 5 ∀m,n ∈ N, n ≥ m ∧m ≥ n→ m = n.

TEOREMA 6 ∀n ∈ N,¬(a > a).

TEOREMA 7 ∀A ⊂ N, A 6= ∅, ∃a ∈ A|x ≥ a,∀x ∈ A.

19.9 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração de algumas proposi-

ções definidas sobre o conjunto N dos números naturais.

ATIV. 19.1. Mostre que: ∀n ∈ N, 7n − 1 é divisível por 6.

Comentário: Escreva a proposição aberta p(n) ≡ 6|7n − 1 (seis

divide 7n − 1) e use o princípio da indução finita.

ATIV. 19.2. Mostre que: ∀n ∈ N, 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

258


19AULA

Comentário: Escreva a proposição aberta p(n) ≡ 12 + 22 + 32 +

· · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6e use o princípio da indução finita.






2006.

259

20AULA

1LIVRO

Cardinalidade eConjuntosEnumeráveis

META:

Estabelecer os conceitos de cardina-

lidade e de conjuntos enumeráveis.

OBJETIVOS:


ser capazes de:

Conceituar cardinalidade de con-

juntos.

Conceituar conjuntos enumeráveis.

PRÉ-REQUISITOS


funções injetoras, sobrejetoras e

bijetoras.

Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis

20.1 Introdução

Caro aluno, chegamos à nossa última aula e para ercerrar-

mos nossa disciplina veremos cardinalidade e conjuntos enueráveis.

Trata portanto, de forma analítica, do problema da contagem, isto

é, um problema de comparação entre conjuntos. Este é, na ver-

dade, um dos problemas mais antigos que aguçaram a imaginação

dos seres humanos. Desde o tempo das cavernas a humanidade

percebeu a necessidade de contar: contar seus parentes, os animais

no rebanho etc. No bojo, o problema da cardinalidade arrasta o

problema da comparação de conjuntos infinitos. Vamos lá e boa

aula.

20.2 Cardinalidade de um Conjunto

Cardinalidade é a medida do tamanho de um conjunto, e se

tratando de um conjunto finito é o número de elementos do con-

junto. A saber:

Definição 20.1. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A e

B são equinumerosos, denotado A ∼ B, somente se existe uma

bijeção f : A 7→ B.

OBS 20.1. Se dois conjuntos são finitos e equinumerosos eles têm

o mesmo tamanho, no sentido em que podemos podemos empa-

relhar seus elementos. Mesmo conjuntos infinitos é possível, em

alguns casos, emparelhar seus elementos, como veremos mais adi-

ante no conceito de conjuntos enumeráveis.

Uma característica importante da equinumerosidade entre conjun-

tos é que a mesma trata-se de uma relação de equivalência, visto

262


20AULA

que:

a) Para todo conjunto A, a função identidade I : A 7→ A, tal que

∀a ∈ A, I(a) = a é uma função bijetora. Logo A ∼ A e a equinu-

merosidade de conjuntos tem propriedade reflexiva.

b) Para todos conjuntos A e B, se A ∼ B, existe uma bijeção

f : A 7→ B. Daí, como f é uma bijeção possui uma inversa

f−1 : B 7→ A que também é uma bijeção de B em A. Portanto,

B ∼ A. Logo A ∼ B → B ∼ A e a equinumerosidade de conjuntos

possui propriedade simétrica.

c) Para todos conjuntos A, B e C, se A ∼ B e B ∼ C, então

existem bijeções f : A 7→ B e g : B 7→ C. Daí, a composta

h : A 7→ C, dada por ∀a ∈ A, h(a) = g(f(a)), é uma bijeção de A

em C. Portanto, A ∼ C. Logo, A ∼ B ∧ B ∼ C → A ∼ C e a

equinumerosidade de conjuntos tem propriedade transitiva.

Dos ítens a) b) e c) acima concluimos que a equinumerosodade de

conjuntos é uma relação de equivalência.

Georg Cantor fez uma definição genial: dois conjuntos seriam de

mesma cardinalidade quando houvesse alguma bijeção entre eles.

E, a aparente obviedade deste conceito fica por conta de tudo pare-

cer extraordinário. A saber:

Definição 20.2. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A e B

são cardinalmente equivalentes isto é, têm mesma cardinalidade,

denotado |A| = |B| somente se: A ∼ B.

OBS 20.2. A definição acima diz apenas quando dois conjuntos

tem a mesma cardinalidade, sem no entanto, definir a cardinalidade

em si. Isto será feito em partes. Primeiramente definiremos classes

de equivalência de conjuntos.

263


A classe de equivalência de conjuntos equinumerosos pode ser defi-

nida por:

Definição 20.3. Seja A um conjunto. Definimos a classe de equi-

valência de A, denotada A por:

A = {X|A ∼ X}.

agora, podemos definir a cardinalidade de um conjunto como sua

classe de equivalência. Formalmente temos:

Definição 20.4. Seja A um conjunto. Definimos a cardinalidade

de A por:

|A| def= A.

OBS 20.3. Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c} têm mesma

cardinalidade, já que a função f : A 7→ B dada por f(1) = a,

f(2) = b e f(3) = c é uma bijeção de A em B.

A definição 20.2 pode parecer prematura, no entanto, isto reflete

apenas formas diferentes de encarar o conceito de cardinalidade.

A primeira definição é um modo funcional de encarar a cardiali-

dade, enquanto que, a definição em si da cardinalidade incorpora a

noção de número cardinal (que mede o tamanho de um conjunto).

Normalmente só pensamos em conjuntos finitos e estas diferenças

podem parecer sem sentido.

20.2.1 Conjuntos Enumeráveis

Para conjuntos finitos o conceito de cardinalidade é excelente

e constitui-se em uma das noções comuns mais intuitivas. In-

tuitiva a ponto de ser compartilhada com muitos animais. Afi-

nal, experiências têm mostrado que alguns animais possuem a

264


20AULA

noção de contagem embora limitada a um máximo de 6 (caso do

macaco). Porém, somente o homem concebe conjuntos infinitos.

Quanto a isto, a noção predominante de quantidade que vinha dos

primórdios da civilização, acenava haver mais números naturais

que números pares. Um dos axiomas admitidos por Aristóteles

dizia que o todo é sempre maior que suas partes. Galileu Galilei

contudo, conhecia o fato de que existem tantos pares quantos os

naturais, postos emparelhados pela bijeção: f(n) = 2n, o que der-

rubava a crença de que o todo é sempre maior que suas partes, isto,

como vemos, não vale para conjuntos infinitos. No entanto, coube

a Cantor ser o primeiro Matemático a conceituar com precisão a

noção de conjunto infinito bem como, tratar da comparação de con-

juntos infinitos, introduzindo o conceito de conjunto enumerável.

Definição 20.5. Seja A um conjunto. Dizemos que A é um con-

junto enumerável, somente se A é vazio ou ∃ϕ ∈ Sobre(N, A).

OBS 20.4. A denominação “enumerável”, justifica-se pois, se A

não é vasio então ϕ(1), ϕ(2), ϕ(3), . . . é uma enumeração dos ele-

mentos de A.

Um outro conceito importante é o de numeração, definido da se-

guinte forma:

Definição 20.6. Seja A um conjunto. Dizemos que ϕ : A 7→ N é

uma numeração de A, somente se: ϕ ∈ Inj(A,N).

OBS 20.5. Veremos adiante, na forma do teorema 17.1 que, se

um conjunto é numerável então ele é enumerável. Muitas vezes é

mais fácil mostrar que um determinado conjunto é numerável.

Com base na observação acima, vejamos alguns exemplos de con-

juntos enumeráveis:

265


Exemplo 20.1. O conjunto A = N × N é enumerável. Basta

mostrar (veja as atividades) que a numeração de Göedel ϕ : N ×

N 7→ N dada por ϕ(k, n) = 2k3n é uma função injetora de N × N

em N.

Exemplo 20.2. O conjunto A = Z dos números inteiros é enu-

merável. Basta mostrar que a função ϕ : N 7→ Z dada por:

ϕ(n) =

k, n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . .

−k, n = 2k, k = 0, 1, 2, . . .é injetora. Os primeiros valores de ϕ(n) são: ϕ(0) = 0, ϕ(1) =

1, ϕ(2) = −1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = −2, · · · .

20.2.2 Algumas Demonstrações

Veremos agora, algumas demonstrações de propriedades de con-

juntos enumeráveis.

Teorema 20.1. Seja A uma conjunto infinito. A é enumerável

se, somente se, existe ϕ ∈ Inj(A,N).

PROVA: Dividimos a demonstração em duas partes.

a) Primeiramente vamos mostrar que se A é enumerável então e-

xiste uma função injetora de A em N. Faremos isso, definindo uma

tal função.

Da definição de conjunto enumerável, existe ϕ ∈ Sobre(N, A).

Seja h : A 7→ N, dada por:

∀a ∈ A, h(a) = k em que ϕ(k) = a ∧ ∀n ∈ N|ϕ(n) = a, k ≤ n.

Isto é, k é o menor número natural associado a cada a ∈ A. Como

ϕ é sobrejetora, a função h está portanto bem definida.

Por outro lado, da definição de h temos:

∀a, b ∈ A, h(a) = h(b)→ ϕ(h(a)) = ϕ(h(b))→ a = b.

266


20AULA

Daí, ∀a, b ∈ A, h(a) = h(b)→ a = b.

Portanto, h ∈ Inj(A,N).

Logo, se A é enumerável então existe h ∈ Inj(A,N).

b) Em segundo lugar vamos mostrar que se existe uma função

injetora de a em N então A é um conjunto enumerável.

Seja h ∈ Inj(A,N) uma função injetora. Como A 6= ∅ então

∃b ∈ A. Vamos então definir uma outa função ϕ : N 7→ A dada

por:

ϕ(n) =

a, ∃a ∈ A|h(a) = n

b, @a ∈ A|h(a) = n

Como h é injetora, para cada a ∈ A existe no máximo um n ∈ N

tal que h(a) = n. Daí, a função ϕ está bem definida.

Por outro lado, como h está definida para todo a ∈ A, a função ϕ

é naturalmente uma função sobrejetora.

Daí, A é um conjunto enumerável.

Logo, se existe h ∈ Inj(A,N) então A é enumerável.

Dos ítens a) e b) temos que: A é enumerável, somente se existe

h ∈ Inj(A,N). �

Como conseqüência do teorema acima temos dois corolários. O

primeiro deles pode ser usado como uma definição alternativa de

conjuntos enumeráveis. A saber:

Corolário 20.1. Seja A uma conjunto infinito. A é enumerável

se, somente se, existe ϕ ∈ Bij(A,N).

Corolário 20.2. Sejam A e B conjuntos infinitos e enumeráveis

então existe ϕ ∈ Bij(A,B).

O teorema a seguir, consideramos uma obra prima de Georg Can-

tor, trata da comparação entre qualquer conjunto e o conjunto de

suas partes.

267


Teorema 20.2. Seja A um conjunto então |A| < |P(A)|.

PROVA: Este teorema equivale a dizer que não existe nenhuma

função sobrejetora de A em P(A). Portanto, vamos tomar a

hipótese nula:

HN ∃ϕ ∈ Sobre(A,P(A)).

Definindo o conjunto:

Xdef= {x ∈ A|x /∈ ϕ(x)}.

Como pela definição X ⊂ A temos:

X ∈P(A).

Daí, como de HN ϕ é sobrejetora temos:

∃m ∈ A|X = ϕ(m).

Consideraremos então dois casos:

Caso 1 m ∈ X.

Neste caso:

m ∈ X → m /∈ ϕ(m)→ m /∈ X.

Logo:

(m ∈ X) ∧ (m /∈ X).

Absurdo.

caso 2 m /∈ X.

Nste caso:

m /∈ X → ¬(m /∈ ϕ(m)→ m ∈ ϕ(m)→ m ∈ X.

Logo:

(m ∈ X) ∧ (m /∈ X).

Absurdo.

Portanto, HN é falsa e:

@ϕ ∈ Sobre(A,P(A)).

Concluimos que:

|A| < |P(A)|. �

268


20AULA

OBS 20.6. O teorema acima mostra que a cardinalidade de um

conjunto é sempre menor que a cardinalidade do conjunto das parte

do conjunto. Em particular, isto quer dizer que P(N) é um con-

junto infinito maior que N. Coisa impensável antes de Cantor. O

teorema acima, também nos dá uma forma de construir conjun-

tos infinitos com cardinalidades cada vez maior. Como exemplo

P(P(N)) tem cardinalidade maior que P(N), que por sua vez

tem cardinalidade maior que N.

Teorema 20.3. O conjunto X = (0, 1) ⊂ R não é enumerável.

PROVA: Suponhamos por absurdo que X seja um conjunto enu-

merável e que ϕ : N 7→ X seja uma enumeração de X. Como

X = (0, 1) são os reais entre zero e um, podemos usar represen-

tação decimal para escrever todos os elementos de X. Deste modo:

ϕ(0) = 0, x01x02x03x04 · · ·

ϕ(1) = 0, x11x12x13x14 · · ·

ϕ(2) = 0, x21x22x23x24 · · ·

ϕ(3) = 0, x31x32x33x34 · · ·...

...

Aqui, xkn representa a n-ésima casa decimal de ϕ(k). Podemos

agora, criar um número decimal x ∈ X de modo que: x = 0, a1a2a3

a4a5a6 · · · em que an é a e-ésima casa decimal de x e que escolhe-

mos

an =

0, xnn 6= 0

1, xnn = 0Construido deste modo temos que x ∈ X e

também que ϕ(n) 6= x,∀n ∈ N e portanto x escapa da enumeração

de X, não importando que seja a função ϕ, o que representa um

absurdo. Logo X é não enumerável. �

269


Terminaremos nossa aula com o seguinte teorema:

Teorema 20.4. O conjunto R dos números reais é não enumerável.

PROVA: Basta ver que a função f : (0, 1) 7→ R dada por:

f(x) = tan(π(x− 1/2))

é uma bijeção de X = (0, 1) em R.

Daí, se R fosse enumerável X também o sería. �.

Chegamos ao fim de nosso curso. Espero que você tenha gostado

e que nossas aulas tenham possibilitado a você uma idéia, ainda

que superficial, do que são os Fundamentos da Matemática.

20.3 CONCLUSÃO

Caro aluno, na aula de hoje, podemos cuncluir que conjuntos

infinitos também podem ser comparados. Existem conjuntos in-

finitos maiores que outros; infinitos mais infinitos que outros por

assim dizer. O conjunto das partes de um conjuto é maior que o

conjunto, seja ele infinito ou não. Agora completamos 100% do

curso de Fundamentos da Matemática. Até breve.

20.4 RESUMO

Nosso resumo consta das seguintes definições e teoremas:

Definição de equinumerosidade:

Definição: Sejam Ae B dois conjuntos. Dizemos que A e B são

equinumerosos, denotado A ∼ B,somente se existe uma bijeção

f : A 7→ B.

Definição de equivalência de conjuntos por equinumerosidade:

270


20AULA

Definição: Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A e B

são cardinalmente equivalentes isto é, têm mesma cardinalidade,

denotado |A| = |B| somente se: A ∼ B.

Definição de classes de equivalência de conjuntos por equinumerosi-

dade:

Definição: Seja A um conjunto. Definimos a classe de equivalên-

cia de A, denotada A por:

A = {X|A ∼ X}.

Definição de cardinalidade:

Definição: Seja A um conjunto. Definimos a cardinalidade de A

por:

|A| def= A.

Definição de conjunto enumerável:

Definição: Seja A um conjunto. Dizemos que A é um conjunto

enumerável, somente se A é vasio ou ∃ϕ ∈ Sobre(N, A).

Definição de numeração:

Definição: Seja A um conjunto. Dizemos que ϕ : A 7→ N é uma

numeração de A, somente se: ϕ ∈ Inj(A,N).

Teorema:

Seja A uma conjunto infinito. A é enumerável, somente se, existe

ϕ ∈ Inj(A,N).

Corolário:

Seja A uma conjunto infinito. A é enumerável, somente se, existe

ϕ ∈ Bij(A,N).

Corolário:

Sejam A e B conjuntos infinitos e enumeráveis então existe ϕ ∈

Bij(A,B).

Teorema:

271


Seja A um conjunto então |A| < |P(A)|.

Teorema:

O conjunto X = (0, 1) ⊂ R não é enumerável.

Teorema:

O conjunto R não é enumerável.

20.5 ATIVIDADES

Deixamos como atividades a demonstração dos seguintes pro-

blemas:

ATIV. 20.1. Seja ϕ : N 7→ Q dada por: ϕ(n) =n

1 + n. Mostre

que ϕ é injetora e portanto A = {z ∈ Q|z =n

1 + n,∀n ∈ N} é um

subconjunto infinito enumerável de Q.

Comentário: Reveja a aula-15 sobre tipos de funções. Especial-

mente a parte de demonstrações de que certas funções são inje-

toras.

ATIV. 20.2. Mostre que numeração de Göedel dada por ϕ :

N × N 7→ N dada por ϕ(k, n) = 2k3n é uma função injetora de

N× N em N e conclua que o conjunto N× N é enumerável.

Comentário: Reveja a aula-15 sobre tipos de funções. Especial-

mente a parte de demonstrações de que certas funções são inje-

toras. Notem também que 3a2b = 1↔ a = 0 ∧ b = 0.

20.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS




272


20AULA


2006.

273

lógica matemática

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