Logaritmos e Equações Logarítmicas

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Prof.: Joni Fusinatojoni.fusinato@ifsc.edu.brjfusinato@gmail.com

Um pouco de História...• O método dos logaritmos foi proposto

em 1614 por John Napier, em um livrointitulado Mirifici Logarithmorum CanonisDescriptio (Descrição da maravilhosa regrados logaritmos).

• Com a simplificação de cálculos difíceis, oslogaritmos contribuíram para o avanço daciência, especialmente da astronomia. Foramcríticos para os avanços na agrimensura,na navegação astronômica e Contabilidade.

• A expansão comercial e marítima nos séculosXV e XVI demandam técnicas de navegaçãomais práticas que facilitassem os cálculosastronômicos (referencial para localização nomar) e do acúmulo de riquezas gerados pelocomércio).

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4https://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c

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Sejam a, b Є R*+ e a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a, oexpoente em que a deve ser elevado para que a potência obtida debase a seja igual a b.

Definição

log2 16 = 4 pois 24 = 16

• Logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.

Por que a, b Є R*+ e a ≠ 1?

• Calcular log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2 usando a definição de logaritmo.

log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível

log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível

log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível

log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível

log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível

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Sistema de Logaritmos

logablogaritmos de

base a

log10 b ou log b logaritmos decimais

(Briggs)

loge x ou ln x logaritmos naturais ou logaritmos neperianos

Os sistemas de logaritmos são definidos por suas bases

e = 2,7182...Base qualquera Є R*+ e a ≠ 1

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

• Admitindo-se válidas as condições de existência doslogaritmos, temos os seguintes casos especiais, que sãoconsequências da definição.

loga 1 = 0

loga a = 1

loga ak = k

porque a0 = 1

porque a1 = a

porque ak = ak

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Atividades

a) log3 27 b) log5 625

c) log2 32 d) logx 8 = 3

e) logx 81 = 4 f) log2 X = 5

g) log 1 h) log 10

Gabarito: a) 3; b) 4; c) 5; d) 2; e) 3; f) 32; g) 0; h) 1

Usando a definição de logaritmos loga b = x se ax = b, calcule:

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Atividades

Calcule:

a) log4 16 = b) log5 125 =

c) log4 32= d) logx 8 = 3

e) logx 256 = 4 f) log2 X = 4

g) log9 27 = x h) log2 X = 7

i) log7 1 = j) log 100 =

a) 2, b) 3, c) 5/2, d) 2, e) 4, f) 16, g) 3/2, h) 128, i) 0, j) 2

Usando a definição de logaritmos loga b = x se ax = b, calcule:

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Propriedade dos Logaritmos

loga 1 = 0

loga a = 1

log2 (8.4) = log28 + log24log2 (8.4) = 3 + 2log2 (8.4) = 5

log2 (8/4) = log28 - log24log2 (8/4) = 3 - 2log2 (8/4) = 1

log2 (25) = 5. log22log2 (25) = 5 . 1log2 (25) = 5

Exemplos:

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Atividades

2) Dados loga B = 2 e loga C = 3 use as propriedades para calcular:

1) Assinale a propriedade que está correta:

Gabarito: a) 6 b) 0

Gabarito: e

Matemática Financeira

Química

Física

Geologia

Biologia

14Geografia

Matemática Financeira

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Gisele aplica R$ 5.000,00 a uma taxa de 0,5 % a.m. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 6.000,00?

Dados: M = C .(1 + i)t.

M (montante) = 6.000C (capital) = 5.000i (taxa) = 0,5% = 0,005t = ?

M = C.(1 + i)t

6000 = 5000.(1 + 0,005)t

6000/5000 = 1,005t

1,005t = 1,2

Aplicando logaritmo e usando apropriedade da potência temos:

log1,005t = log 1,2

t .log 1,005 = log 1,2

t .0,002166 = 0,07918

t = 0,07918/0,002166

t = 36,5 meses ≃ 3 anos

Química

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Uma amostra de 1 kg de uma substância radiativa se desintegra a uma taxa de 2% ao ano. Em quanto tempo a amostra estará reduzida a 0,2 kg? Dado: M = M0.e–kt onde M é a massa da substância, k é a taxa anual de desintegração e t é o tempo.

M = 0,2 kgMo = 1 kgk = 2% = 0,02t = ?

-1,6094 = -0,02t ln e

-1,6094/-0,02 = t

t = 80,47 anos

M = M0.e–kt

0,2 = 1.e–0,02t

0,2 = e–0,02t

Aplicando logaritmos

ln 0,2 = ln e–0,02t

ln 0,2 = -1,6094 e ln e = 1

Física

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Um amplificador libera 1000 W para uma potência de entrada de 100 mW. Qual a intensidade sonora liberada? (em dB)

Equação:

Onde:

Ps: potência de saídaPe: potência de entradax = intensidade sonora

Psaída = 1000 W = 103 WPentrada = 100.10-3 W = 10-1 W

3

1

3 1

4

10x 10log10

x 10log10 .10x 10log10x 4.10log10x 40.1x 40 dB

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Geologia: Escala Richter

• Mede a energia liberada pelos terremotos.

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Geologia: Escala Richter

Geologia

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter?Equação:

I: intensidade do tremorE: energia liberada em kW/hE0: 7 x 10-3 kW/h.

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o

2 EI log3 E

o

3

3

3

9 9 33

6

2 EI log3 E2 E6 log3 7.10

18 Elog2 7.10

E9 log7.10E10 E 10 .7.10

7.10E 7.10 kW / h

A energia liberada por um terremoto de 6

graus na escala Richter é de 7.106 kW/h.

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https://www.youtube.com/watch?v=esdFuyG7zGs – Conceito inicial

https://www.youtube.com/watch?v=VJEEfcKSFw8 – Propriedades

https://www.youtube.com/watch?v=vaxEHiMDvDw - Exemplos